5.2.4 Kolmost přímek a rovin II

Save this PDF as:

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "5.2.4 Kolmost přímek a rovin II"

Transkript

1

2 5..4 Kolmost přímek rovin II Předpokldy: 503 Př. 1: Zformuluj stereometrické věty nlogické k plnimetrické větě: ným bodem lze v rovině k dné přímce vést jedinou kolmici. Vět: ným bodem lze v prostoru k dné přímce vést jedinou kolmici. je nesprávná, kolmých přímek je nekonečně mnoho tvoří rovinu. můžeme zformulovt dvě věty: ným bodem lze v prostoru k dné přímce vést jedinou kolmou rovinu. ným bodem lze v prostoru k dné rovině vést jedinou kolmici. Pedgogická poznámk: Studenti budou určitě nejdříve nvrhovt větu: ným bodem lze v prostoru k dné přímce vést jedinou kolmici. Že je vět nesprávná můžeme pomocí tužek ukázt sndno. Pokud je čs, je možné diskusi směřovt k tomu, že kolmý směr, který hledáme, je vlstně zbytkem do počtu rozměrů. V dvojrozměrné rovině k přímce zbývl jediný směr, který se směrem přímky nemá nic společného (je n ní kolmý) proto bylo hledání kolmice dným bodem jednoznčné. V trojrozměrném prostoru zbývjí k přímce dv rozměry, které spolu se zdným bodem jednoznčně určují rovinu. Př. : Ve stndrdní krychli njdi: ) přímku kolmou n rovinu procházející bodem, b) rovinu kolmou n přímku procházející bodem. ) přímk kolmá n rovinu procházející bodem b) rovin kolmá n přímku procházející bodem lednou přímkou je přímk (je kolmá n přímku přímku ). lednou rovinou je rovin (obshuje dvě přímky kolmé n přímku : přímku přímku ). 1

3 Př. 3: Ve stndrdní krychli njdi: ) rovinu kolmou n přímku Sprocházející bodem, b) přímku kolmou n rovinu S procházející bodem. ) rovin kolmá n přímku S procházející bodem b) přímk kolmá n rovinu S procházející bodem S S S S Přímk S leží v přední stěně hledná rovin určitě obshuje přímku (je kolmá n přední stěnu). ruhou přímkou hledné roviny je přímk S (leží v přední stěně je kolmá n S ). lednou rovinou je rovin S. ledná přímk leží v levé boční stěně (boční stěn je kolmá k přímce ), musí být kolmá n přímku S jde o přímku S. Př. 4: oplň následující věty tk, by pltily pro libovolné přímky p, q libovolné roviny ρ σ : ) Je-li p ρ q ρ pk b) Je-li p ρ q! p pk c) Je-li p ρ σ p pk d) Je-li p ρ ρ! σ pk ) Je-li p ρ q ρ, pk p! q. b) Je-li p ρ q! p pk q ρ. c) Je-li p ρ σ p pk ρ! σ. d) Je-li p ρ ρ! σ pk p σ. Kolmý (prvoúhlý) průmět Př. 5: V prxi se čsto využívá kolmý průmět bodu do roviny. Nvrhni, postup konstrukce. Kolmým průmětem bodu do roviny ρ je pt kolmice vedené bodem k rovině ρ. kolmice bodem je pouze jedn kolmý průmět je jednoznčně určený bodem rovinou ρ.

4 Př. 6: Njdi: ) kolmý průmět vrcholu V prvidelného čtyřbokého jehlnu V do roviny podstvy, b) kolmý průmět vrcholu do roviny ve stndrdní krychli. ) kolmý průmět vrcholu V prvidelného čtyřbokého jehlnu V do roviny podstvy V b) kolmý průmět vrcholu do roviny ve stndrdní krychli S S ledným bodem je střed S podstvy jehlnu. ledným bodem je bod S - střed prvé boční stěny. Kolmý průmět útvru do roviny ρ je množin kolmých průmětů jeho bodů (prvoúhlé promítání). Jk budeme konstruovt kolmý (prvoúhlý) průmět přímky? Promítneme dv vhodné body spojíme je. Př. 7: Ve stndrdní krychli njdi prvoúhlý průmět přímky S S do: ) roviny (horní stěn), b) roviny (přední stěn), c) roviny (prvá boční stěn). ) prvoúhlý průmět přímky S S do roviny (horní stěn) S b) prvoúhlý průmět přímky S S do roviny (přední stěn) S S S 3

5 c) prvoúhlý průmět přímky S S do roviny (prvá boční stěn) S S Př. 8: Njdi kritérium pro kolmost dvou rovin. vě roviny jsou k sobě kolmé právě tehdy, když jedn z nich obshuje přímku kolmou k druhé rovině. Píšeme ρ σ, vzth je oboustrnný. Př. 9: Je dán stndrdní krychle tři roviny,,. Urči, které dvě jsou n sebe kolmé. Nvzájem kolmé jsou roviny. Npříkld rovin obshuje přímku kolmou n přímky. Př. 10: Je dán rovin ρ dvě k ní kolmé nvzájem různoběžné roviny σ τ. Rozhodni, co musí pltit pro průsečnici Rovin σ obshuje směr kolmý k rovině ρ, stejně jko rovin τ, směr průsečnice je společným směrem obou rovin průsečnice je kolmá k rovině ρ. předchozí úvh ukzuje cestu jk hledt kolmice n rovinu: K rovině njdeme dvě nvzájem kolmé roviny jejich průsečnice je hlednou kolmo přímkou. 4

6 Př. 11: Rozhodni, zd pro roviny ρ, σ přímku p pltí vět: Je-li ρ σ p ρ, pk p σ. Vět nepltí. Npříkld rovin je kolmá n rovinu, přesto v rovině leží přímk, která n rovinu kolmá není. Přímk je dokonce s rovinou rovnoběžná. Shrnutí: 5

7 5..6 Odchylk rovin Předpokldy: 504 Odchylku dvou přímek už umíme, jk definovt odchylku dvou rovin? o by měl definice splňovt: podobně jko u osttních věcí ji musíme převést n něco co už umíme (si odchylku přímek), měl by být jednoznčná, měl by dávt očekávné výsledku u jsných přípdů (rovnoběžných kolmých rovin). Odchylk dvou rovin je odchylk jejich průsečnic s rovinou, která je k oběm rovinám kolmá. Odchylku rovin ρ σ píšeme: ρσ. p Jk njdeme rovinou kolmou n obě roviny? ledná rovin je kolmá n průsečnici obou rovin. Př. 1: Je dán stndrdní krychle. Urči odchylku rovin. ), b), c), ), Průsečnicí obou rovin je přímk pomocnou kolmou rovinou je rovin (přední stěn) určujeme odchylku průsečnic ϕ = 45. b), Průsečnicí obou rovin je přímk pomocnou kolmou rovinou je rovin (prvá boční stěn) určujeme odchylku průsečnic ϕ = 45. 1

8 p p c), Průsečnicí obou rovin je přímk pomocnou kolmou rovinou je rovin určujeme odchylku průsečnic SS ϕ = 90. p p Obrázek v klsické poloze je velmi nepřehledný, stčí jej otočit o 90 situce je podsttně zřejmější. Pedgogická poznámk: Studenti by si měli vyzkoušet v bodě c) nkreslit krychli z jiné strny, je to v některých přípdech ž nečekně účinné. Př. : Je dán stndrdní krychle. Urči odchylku rovin. Průsečnicí obou rovin je přímk pomocnou kolmou rovinou je rovin určujeme odchylku průsečnic S nkreslíme si situci v rovině

9 p Odchylku spočteme z prvoúhlého trojúhelníku tgϕ = = = = ϕ = S S: S Př. 3: Je dán prvidelný čtyřboký jehln V; = = 6cm, V = b = 8cm. Urči odchylku rovin V V. Průsečnicí obou rovin je přímk procházející vrcholem V rovnoběžná s přímkou pomocnou kolmou rovinou je rovin SSV určujeme odchylku průsečnic SV SV nkreslíme si situci v rovině SSV. V V p d d v S V d v S S ϕ S sin = S S V S Vzdálenost SV určíme z rovnormenného trojúhelníku V. 4v d = v = v = 4 4 4v 4v d = = 4 3

10 ϕ SS 6 sin = = = = SV 4v 4v ϕ = 3 51 ϕ = Př. 4: Jdou dány dvě dvojice rovnoběžných rovin ρ, ρ σ, σ. Jký je vzth odchylek ρσ ρσ? Pltí: ρσ = ρ σ Jk jink určit odchylku dvou rovin? Směr roviny je určen tké přímkou, která je k ní kolmá (normál roviny) odchylku rovin můžeme určit jko odchylku jejich normál. Př. 5: Je dán prvidelný čtyřstěn. Urči odchylku stěn. Průsečnicí obou rovin je přímk pomocnou kolmou rovinou je rovin S určujeme odchylku průsečnic S S nkreslíme si situci v trojúhelníku S. p v S S S v ϕ S sin = S 4

11 élku výšky určíme z rovnostrnného trojúhelníku. 4 v = = = 4 4 v = = S ϕ S 1 ϕ sin = = = = ϕ = S 3 3 Př. 6: Petáková: strn 94/cvičení 37 b) strn 94/cvičení 35 d) e) strn 94/cvičení 36 d) Shrnutí: Odchylku rovin určujeme jko odchylku průsečnic s pomocnou n obě roviny kolmou rovinou. 5

12 5..7 Odchylk přímky roviny Předpokldy: 50, 506 Jk odchylk přímky roviny? o by měl definice splňovt: podobně jko u osttních věcí ji musíme převést n něco co už umíme (si odchylku dvou přímek), měl by být jednoznčná, měl by dávt očekávné výsledku u jsných přípdů (přímk rovnoběžná kolmá k rovině). K přímce přidáme její kolmý průmět do roviny určíme odchylku těchto přímek. p Selže někdy tento postup? Když je přímk kolmá k rovině, jejím průmětem je pouze bod nepůjde to spočítt přes odchylku přímek odchylku musíme stnovit přímo. Není-li přímk kolmá k rovině, je odchylk přímky roviny rovn odchylce přímky jejího prvoúhlého průmětu do této roviny. Je-li přímk kolmá k rovině, je její odchylk 90. Př. 1: Je dán stndrdní krychle. Urči odchylku: ) přímky roviny, b) přímky roviny, c) přímky roviny. ) Odchylk přímky roviny. Přímk leží v rovině, která je rovnoběžná s rovinou přímk je rovnoběžná s rovinou odchylk přímky od roviny je 0. 1

13 b) Odchylk přímky roviny. Přímk je kolmá k rovině odchylk přímky od roviny je 90. c) Odchylk přímky roviny. Kolmým průmětem přímk do roviny je přímk odchylk přímek je 45 odchylk přímky od roviny je 45. Pedgogická poznámk: Všechny body předchozího příkldu by studenti měli vyřešit zpměti bez pomoci obrázků. Odchylk přímky od roviny (tedy odchylk přímky od jejího kolmého průmětu do této roviny) je rovn nejmenší odchylce přímky od libovolné přímky v rovině. Pedgogická poznámk: Předchozí poznámku je dobré demonstrovt pomocí modelu v rbi3. Př. : Je dán stndrdní krychle. Urči odchylku: ) přímky roviny, b) přímky SS roviny, c) přímky S roviny. ) Odchylk přímky roviny.

14 Kolmým průmětem přímky do roviny je přímk odchylku určíme pomocí obdélníku. Velikost úhlu můžeme určit z prvoúhlého trojúhelníku : tgϕ =. Velikost strny (úhlopříčk čtverce): = + = =. 1 tg ϕ = = = ϕ = Odchylk přímky roviny se rovná b) Odchylk přímky SS roviny. S S S Kolmým průmětem přímky SS do roviny je přímk S odchylku určíme pomocí obdélníku SS. S S S Velikost strny S ze čtverce : S 3

15 Velikost úhlu můžeme určit z prvoúhlého SS trojúhelníku SS : tg ϕ = S. S x S = S + = = = 4 1 tgϕ = = ϕ = Odchylk přímky SS roviny se rovná c) Odchylk přímky S roviny. Kolmým průmětem přímky je přímk S pomocí obdélníku SS. S do roviny odchylku určíme S S S S S Velikost úhlu můžeme určit z prvoúhlého SS trojúhelníku SS : tg ϕ = S. Stejná situce jko v předchozím bodě ϕ = 4 6. Odchylk přímky S roviny se rovná

16 Př. 3: Je dán prvidelný šestiboký jehln V, se středem podstvy S. Pltí: = = 3cm, SV = v = 5cm. Urči odchylku přímky S V roviny. V Kolmým průmětem přímky SV do roviny S V je přímk S S (S je střed šestiúhelníku, kolmým průmětem úsečky V je úsečk ) odchylku určíme pomocí prvoúhlého trojúhelníku SSS V. S S S V v v S V S S S Z podobnosti trojúhelníků SV S S S V v je vidět, že pltí: SV S S =. S V S S S Vzdálenost S S je tké výškou v rovnostrnném trojúhelníku se strnou. x x= = = =. 4 4 x v S S v SV SS v 5 tgϕ = = = = ϕ = SS Odchylk S V roviny se rovná

17 Př. 4: Je dán stndrdní krychle. Urči odchylku přímky roviny. Kolmým průmětem přímky do roviny je přímk S odchylku určíme pomocí obdélníku. S Velikost úhlu ϕ můžeme spočítt pomocí kosinové věty z trojúhelníku S (trojúhelník nemá viditelné speciální vlstnosti musíme určit délky všech tří strn). Kosinová vět: S c b bcosγ = + S = (polovin úhlopříčky podstvy) S : přepon v prvoúhlém trojúhelníku S = + = + = + S S S = = : přepon v prvoúhlém trojúhelníku ( ) = + = + = + = = b c cosγ = b ( 3) S 3 6 S S 4 cosϕ = = = = 3 ( 3) cosϕ = ϕ = Odchylk přímky roviny se rovná

18 Př. 5: Petáková: strn 94/cvičení 33 ) c) d) h) strn 94/cvičení 34 b) d) Shrnutí: Odchylku přímku roviny určujeme jko odchylku přímky jejího kolmého průmětu do roviny. 7

Vzdálenost roviny a přímky

Vzdálenost roviny a přímky 511 Vzdálenost roviny přímky Předpokldy: 510 Př 1: Rozhodni, kdy má smysl uvžovt o vzdálenosti přímky od roviny, nvrhni definici této vzdálenosti Uvžovt o vzdálenosti přímky roviny můžeme pouze v přípdě,

Více

Vzdálenosti přímek

Vzdálenosti přímek 5..11 Vzdálenosti přímek Předpokldy: 510 Př. 1: Rozhodni, kdy má smysl uvžovt o vzdálenosti dvou přímek nvrhni definici této vzdálenosti. Vzdálenost přímek má smysl, když přímky nemjí společné body tedy

Více

Vzdálenosti přímek

Vzdálenosti přímek 5..1 Vzdálenosti přímek Předpokldy: 511 Př. 1: Rozhodni, kdy má smysl uvžovt o vzdálenosti dvou přímek nvrhni definici této vzdálenosti. Vzdálenost přímek má smysl, když přímky nemjí společné body tedy

Více

5.2.7 Odchylka přímky a roviny

5.2.7 Odchylka přímky a roviny 57 Odchylk přímky roiny Předpokldy: 50, 506 Jk odchylk přímky roiny? o by měl definice splňot: podobně jko u osttních ěcí ji musíme přeést n něco co už umíme (si odchylku dou přímek), měl by být jednoznčná,

Více

5.2.4 Kolmost přímek a rovin II

5.2.4 Kolmost přímek a rovin II 5.2.4 Kolmost přímek a rovin II Předpoklady: 5203 Př. 1: Zformuluj stereometrické věty analogické k planimetrické větě: aným bodem lze v rovině k dané přímce vést jedinou kolmici. Věta: aným bodem lze

Více

5.2.8 Vzdálenost bodu od přímky

5.2.8 Vzdálenost bodu od přímky 5..8 Vzdálenost bodu od přímky ředpokldy: 507 edgogická poznámk: Tříd počítá smosttně. tnáct minut před koncem se sejdeme n příkld 4 ), který pk řešíme společně. Vzdálenost bodů, je rovn délce úsečky,

Více

Vzdálenost rovin

Vzdálenost rovin 510 zdálenost rovin ředpokldy: 509 Kdy má cenu uvžovt o vzdálenosti dvou rovin? ouze, když jsou rovnoběžné, jink se protínjí ř 1: Nvrhni definici vzdálenosti dvou rovnoběžných rovin Z vzdálenost dvou rovnoběžných

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body, přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů), rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

Stereometrie metrické vlastnosti 01

Stereometrie metrické vlastnosti 01 Stereometrie metrické vlstnosti 01 Odchylk dvou přímek Odchylk dvou různoběžek je velikost kždého z ostrých nebo prvých úhlů, které přímky spolu svírjí. Odchylk rovnoběžek je 0. Odchylk mimoběžných přímek

Více

9.6. Odchylky přímek a rovin

9.6. Odchylky přímek a rovin 9 Stereometrie 96 Odchylky přímek rovin Odchylku dvou přímek, dvou rovin přímky od roviny převádíme n určení velikosti úhlu dvou různoběžek Odchylk dvou přímek Odchylk dvou přímek splývjících nebo rovnoběžných

Více

Stereometrie metrické vlastnosti

Stereometrie metrické vlastnosti Stereometrie metrické vlstnosti Odchylk dvou přímek Odchylk dvou různoběžek je velikost kždého z ostrých nebo prvých úhlů, které přímky spolu svírjí. Odchylk rovnoběžek je 0. Odchylk mimoběžných přímek

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů. Přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů) Rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

5.2.9 Vzdálenost bodu od roviny

5.2.9 Vzdálenost bodu od roviny 5..9 zdálenost bodu od roiny ředpokldy: 508 Opkoání z minulé hodiny (definice zdálenosti bodu od přímky): Je dán přímk p bod. zdáleností bodu od přímky p rozumíme zdálenost bodu od bodu, který je ptou

Více

Metrické vlastnosti v prostoru

Metrické vlastnosti v prostoru Metrické vlastnosti v prostoru Ž2 Metrické vlastnosti v prostoru Odchylka přímek p, q v prostoru V planimetrii jsme si definovali pojem odchylky dvou přímek p, q pro různoběžky a pro rovnoběžky. Ve stereometrii

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

2.4.7 Shodnosti trojúhelníků II

2.4.7 Shodnosti trojúhelníků II 2.4.7 Shodnosti trojúhelníků II Předpokldy: 020406 Př. 1: oplň tbulku. Zdání sss α < 180 c Zdání Náčrtek Podmínky sss sus usu b + b > c b + c > c + c > b b α < 180 c α + β < 180 c Pedgogická poznámk: Původní

Více

= prostorová geometrie, geometrie v prostoru část M zkoumající vlastnosti prostor. útvarů vychází z tzv. axiómů, využívá věty

= prostorová geometrie, geometrie v prostoru část M zkoumající vlastnosti prostor. útvarů vychází z tzv. axiómů, využívá věty STROMTRI STROMTRI = prostorová geometrie, geometrie v prostoru část M zkoumající vlastnosti prostor. útvarů vychází z tzv. axiómů, využívá věty xióm je jednoduché názorné tvrzení, které se nedokazuje.

Více

5.2.1 Odchylka přímek I

5.2.1 Odchylka přímek I 5..1 Odchylka přímek I Předpoklady: 5110 Metrické vlastnosti určování měřitelných veličin (délky a velikosti úhlů) Výhoda metrické vlastnosti jsme už určovali v planimetrii můžeme si brát inspiraci Všechny

Více

5.2.8 Vzdálenost bodu od přímky

5.2.8 Vzdálenost bodu od přímky zdálenost bodu od přímky zdálenost bodu od roiny zdálenost roin zdálenost bodu od přímky zdálenost bodu od roiny zdálenost roin 5..8 zdálenost bodu od přímky ředpokldy: 507 edgogická poznámk: Tříd počítá

Více

9 Axonometrie ÚM FSI VUT v Brně Studijní text. 9 Axonometrie

9 Axonometrie ÚM FSI VUT v Brně Studijní text. 9 Axonometrie 9 Axonometrie Mongeov projekce má řdu předností: jednoduchost, sndná měřitelnost délek úhlů. Je všk poměrně nenázorná. Podsttnou část technických výkresů proto tvoří kromě půdorysu, nárysu event. bokorysu

Více

8 Mongeovo promítání

8 Mongeovo promítání 8 Mongeovo promítání Pomocí metod uvedených v kpitolách 3. 4., 3. 6. bychom mohli promítnout do roviny 3 libovolný útvr U E. V prxi všk většinou nestčí sestrojit jeden průmět. Z průmětu útvru U je většinou

Více

3.1.3 Vzájemná poloha přímek

3.1.3 Vzájemná poloha přímek 3.1.3 Vzájemná poloh přímek Předpokldy: 3102 Dvě různé přímky v rovině mximálně jeden společný od Jeden společný od průsečík různoěžné přímky (různoěžky) P Píšeme: P neo = { P} Žádný společný od rovnoěžné

Více

3.2.1 Shodnost trojúhelníků I

3.2.1 Shodnost trojúhelníků I 3.2.1 hodnost trojúhelníků I Předpokldy: 3108 v útvry jsou shodné, pokud je možné je přemístěním ztotožnit. v prxi těžko proveditelné hledáme jinou možnost ověření shodnosti v útvry jsou shodné, pokud

Více

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu .. Goniometriké funke ostrého úhlu Předpokldy: 7 Dnešní látku opkujeme už potřetí (poprvé n zčátku mtemtiky, podruhé ve fyzie) je to oprvdu důležité. C C C C C C Všehny prvoúhlé trojúhelníky s úhlem α

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

Konstrukce na základě výpočtu I

Konstrukce na základě výpočtu I ..11 Konstrukce n zákldě výpočtu I Předpokldy: Pedgogická poznámk: Původně yl látk rozepsnou do dvou hodin, v první ylo kromě dělení úseček zřzen i čtvrtá geometrická úměrná. Právě její prorání se nestíhlo,

Více

C. METRICKÉ VLASTNOSTI ÚTVARŮ V PROSTORU

C. METRICKÉ VLASTNOSTI ÚTVARŮ V PROSTORU 36. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan V. Určete průsečíky přímky s hranicí jehlanu. Pro body, platí: = S, = S SV, bod S je střed podstavy.. TRIÉ VSTOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU.1 Odchylky přímek a rovin V odchylka

Více

4.2.7 Zavedení funkcí sinus a cosinus pro orientovaný úhel I

4.2.7 Zavedení funkcí sinus a cosinus pro orientovaný úhel I 4..7 Zvedení funkcí sinus cosinus pro orientovný úhel I Předpokldy: 40, 40, 404, 406 Prolém s definicí funkcí sin ( ) cos( ) : Definice pomocí prvoúhlého trojúhelníku je π možné použít pouze pro ( 0 ;90

Více

9. Planimetrie 1 bod

9. Planimetrie 1 bod 9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

Další polohové úlohy

Další polohové úlohy 5.1.16 alší polohové úlohy Předpoklady: 5115 Průniky přímky s tělesem Př. 1: Je dána standardní krychle. Sestroj průnik přímky s krychlí pokud platí: leží na polopřímce, =, leží na polopřímce, =. Příklad

Více

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N AČENÍ bod (A, B, C, ), přímka (a, b, p, q, AB, ), rovina (α, β, ρ,

Více

Geometrie. 1 Metrické vlastnosti. Odchylku boční hrany a podstavy. Odchylku boční stěny a podstavy

Geometrie. 1 Metrické vlastnosti. Odchylku boční hrany a podstavy. Odchylku boční stěny a podstavy 1 Metrické vlastnosti 9000153601 (level 1): Úhel vyznačený na obrázku znázorňuje: eometrie Odchylku boční hrany a podstavy Odchylku boční stěny a podstavy Odchylku dvou protilehlých hran Odchylku podstavné

Více

STEREOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

STEREOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky STEREOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia utoři projektu Student na prahu 21. století - využití IT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTIE

Více

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky.

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky. 2.cvičení 1. Polopřímk: od O dělí přímku n dvě nvzájem opčné polopřímky. Úsečk: průnik dvou polopřímek,. Polorovin: přímk dělí rovinu n dvě nvzájem opčné poloroviny. Úhel: průnik polorovin (pozor n speciální

Více

4. cvičení z Matematiky 2

4. cvičení z Matematiky 2 4. cvičení z Mtemtiky 2 14.-18. březn 2016 4.1 Njděte ity (i (ii (iii (iv 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y 1 2 z 2 y 2 z yz 1 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 2 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 3 (i Pro funkci f(, y = 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y

Více

( ) ( ) Sinová věta II. β je úhel z intervalu ( 0;π ). Jak je vidět z jednotkové kružnice, úhly, pro které platí. Předpoklady:

( ) ( ) Sinová věta II. β je úhel z intervalu ( 0;π ). Jak je vidět z jednotkové kružnice, úhly, pro které platí. Předpoklady: 4.4. Sinová vět II Předpokldy 44 Kde se stl hy? Námi nlezené řešení je správné, le nenšli jsme druhé hy ve hvíli, kdy jsme z hodnoty sin β určovli úhel β. β je úhel z intervlu ( ;π ). Jk je vidět z jednotkové

Více

STEREOMETRIE. Odchylky přímky a roviny. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0117

STEREOMETRIE. Odchylky přímky a roviny. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0117 STEREOMETRIE Odchylky přímky a roviny Mgr. Jakub Němec VY_3_INOVACE_M3r0117 ODCHYLKA PŘÍMKY A ROVINY Poslední kapitolou, která se týká problematiky odchylek v prostoru, je odchylka přímky a roviny. V této

Více

SBÍRKA ÚLOH STEREOMETRIE. Polohové vlastnosti útvarů v prostoru

SBÍRKA ÚLOH STEREOMETRIE. Polohové vlastnosti útvarů v prostoru SÍR ÚO STROTRI Polohové vlastnosti útvarů v prostoru Sbírka úloh STROTRI Polohové vlastnosti útvarů v prostoru gr. arie hodorová, Ph.. rafická úprava a sazba: arcel Vrbas OS SZN POUŽÍVNÝ SYOŮ 5. ZÁY STROTRI

Více

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady:

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady: 443 Kosinová vět Předpokldy 44 Př Rozhodni zd dokážeme spočítt zývjíí strny úhly u všeh trojúhelníků zdnýh pomoí trojie prvků (délek strn velikostí úhlů) V sinové větě vystupují dvě dvojie strn-protější

Více

Pravidelný čtyřboký jehlan (se čtvercovou podstavou)

Pravidelný čtyřboký jehlan (se čtvercovou podstavou) Prvidelný čtyřboký jehln (se čtvercovou odstvou) Jehln se čtvercovou odstvou je trojrozměrné těleso, jehož ovrch tvoří čtyři stejné trojúhelníky čtverec jko odstv. S = obsh odstvy vj v v = výšk trojúhelníku

Více

Říkáme, že přímka je tečnou elipsy. p T Přímka se protíná s elipsou právě v jednom bodě.

Říkáme, že přímka je tečnou elipsy. p T Přímka se protíná s elipsou právě v jednom bodě. 7.5. Elips přímk Předpokldy: 7504, 7505, 7508 Př. : epiš všechny možné vzájemné polohy elipsy přímky. Ke kždému přípdu nkresli obrázek. Z obrázků je zřejmé, že existují tři přípdy vzájemné polohy kružnice

Více

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}?

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}? 1.3.8 Intervly Předpokldy: 010210, 010301, 010302, 010303 Problém Množinu A = { x Z;2 x 5} zpíšeme sndno i výčtem: { 2;3; 4;5} Jk zpst množinu B = { x R;2 x 5}? A =. Jde o nekonečně mnoho čísel (2, 5 všechno

Více

Fotbalový míč má tvar mnohostěnu složeného z pravidelných pětiúhelníků a z pravidelných šestiúhelníků.

Fotbalový míč má tvar mnohostěnu složeného z pravidelných pětiúhelníků a z pravidelných šestiúhelníků. FOTLOÝ MÍČ Popis aktivit ýpočt odchlek přímek a rovin v tělese, resp. velikostí úhlů, které svírají stěn a hran v mnohostěnu. Předpokládané znalosti Odchlka rovin a přímk, odchlka dvou rovin. Definice

Více

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice

Více

( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306

( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306 7.3.8 Nerovnice pro polorovinu Předpokldy: 736 Pedgogická poznámk: Příkld 1 není pro dlší průěh hodiny důležitý, má smysl pouze jko opkování zplnění čsu při zpisování do třídnice. Nemá smysl kvůli němu

Více

3) Vypočtěte souřadnice průsečíku dané přímky p : x = t, y = 9 + 3t, z = 1 + t, t R s rovinou ρ : 3x + 5y z 2 = 0.

3) Vypočtěte souřadnice průsečíku dané přímky p : x = t, y = 9 + 3t, z = 1 + t, t R s rovinou ρ : 3x + 5y z 2 = 0. M1 Prog4 D1 1) Určete vektor c kolmý na vektory a = 2 i 3 j + k, b = i + 2 j 4 k. 2) Napište obecnou a parametrické rovnice roviny, která prochází bodem A[ 1; 1; 2] a je kolmá ke dvěma rovinám ρ : x 2y

Více

Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce

Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce 1116 Podonosti trojúhelníků, goniometriké funke Předpokldy: 010104, úhel Pedgogiká poznámk: Zčátek zryhlit α γ β K α' l M γ' m k β' L Trojúhelníky KLM n nšem orázku mjí stejný tvr (vypdjí stejně), le liší

Více

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2] Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.

Více

Sada 7 odchylky přímek a rovin I

Sada 7 odchylky přímek a rovin I Sada 7 odchylky přímek a rovin I Odchylky přímek 1) Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku daných přímek a) AB, AE b) AB, AD c) AE, AF d) AB, BD e) CD, GH f) AD, FG g) AB, SAEF h) ED, FC 2) Je dána

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol STEREOMETRIE

Více

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21 2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému

Více

9.5. Kolmost přímek a rovin

9.5. Kolmost přímek a rovin 9.5. Kolmost přímek a rovin Pro kolmost přímek a rovin platí následující věty, které budeme demonstrovat na krychli ABCDEFGH se středy podstav S, Q. Přímka kolmá k rovině je kolmá ke všem přímkám této

Více

2.7.7 Obsah rovnoběžníku

2.7.7 Obsah rovnoběžníku 77 Osh rovnoěžníku Předpokldy: 00707 Osh (znčk S): kolik míst útvr zujímá, počet čtverečků 1 x 1, které se do něj vejdou, kolik koerce udeme muset koupit, ychom pokryli podlhu, Př 1: Urči osh čtverce o

Více

5.1.8 Vzájemná poloha rovin

5.1.8 Vzájemná poloha rovin 5.1.8 Vzájemná oloha rovin Předoklady: 5107 Př. 1: Kolik solečných bodů mohou mít dvě roviny? Každou možnost dokumentuj omocí dvou rovin určených vrcholy krychle a urči vzájemnou olohu rovin. Mohou nastat

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

11 Vzdálenost podprostorů

11 Vzdálenost podprostorů 11 Vzdálenost podprostorů 11.1 Vzdálenost bodů Eukleidovský bodový prostor E n = afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. (Pech:AGLÚ/str.126) Definováním skalárního součinu

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázi zákldní vzdělávání Jroslv Švrček kolektiv Rámcový vzdělávcí progrm pro zákldní vzdělávání Vzdělávcí oblst: Mtemtik její plikce Temtický okruh: Nestndrdní plikční

Více

Komentáře k domácímu kolu kategorie Z9

Komentáře k domácímu kolu kategorie Z9 5. ročník Mtemtické olympiády Komentáře k domácímu kolu ktegorie Z9. Čtyřúhelník, který nemá žádné dvě strny stejně dlouhé, nzveme nerovnostrnným. Prvidelný dvnáctiúhelník má obsh 8 cm. Nrýsujte všechny

Více

Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ

Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Petra Pirklová Liberec, únor 07 . Zobrazte tyto body a určete jejich

Více

Hledání hyperbol

Hledání hyperbol 759 Hledání hyperol Předpokldy: 756, 757, 758 Pedgogická poznámk: Některé příkldy jsou zdlouhvější, pokud mám dosttek čsu proírám tuto následující hodinu ěhem tří vyučovcích hodin Př : Npiš rovnici hyperoly,

Více

Rovnice přímky v prostoru

Rovnice přímky v prostoru Rovnice přímky v prostoru Každá přímka v prostoru je jednoznačně zadána dvěma body. K vyjádření všech bodů přímky lze použít parametrické rovnice. Parametrická rovnice přímky p Pokud A, B jsou dva různé

Více

II. kolo kategorie Z5

II. kolo kategorie Z5 II. kolo ktegorie Z5 Z5 II 1 Z prvé kpsy klhot jsem přendl 4 pětikoruny do levé kpsy z levé kpsy jsem přendl 16 dvoukorun do prvé kpsy. Teď mám v levé kpse o 13 korun méně než v prvé. Ve které kpse jsem

Více

SBÍRKA ÚLOH STEREOMETRIE

SBÍRKA ÚLOH STEREOMETRIE SÍR ÚO STROTRI OS seznm používných symbolů 7. Zákldy stereometrie 9.1 Zákldní stereometrické pojmy.......................................................... 9.2 Zobrzování prostorových útvrů v rovině............................................11.

Více

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1 Základní úlohy v Mongeově promítání Předpokladem ke zvládnutí zobrazení v Mongeově promítání je znalost základních úloh. Ale k porozumění následujícího textu je třeba umět zobrazit bod, přímku a rovinu

Více

14. přednáška. Přímka

14. přednáška. Přímka 14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1

Více

Hyperbola a přímka

Hyperbola a přímka 7.5.8 Hperol přímk Předpokld: 75, 75, 755, 756 N orázku je nkreslen hperol = se středem v počátku soustv souřdnic. Jká je vzájemná poloh této hperol přímk, která prochází počátkem soustv souřdnic? E B

Více

Základní příklady. 18) Určete velikost úhlu δ, jestliže velikost úhlu α je 27.

Základní příklady. 18) Určete velikost úhlu δ, jestliže velikost úhlu α je 27. Zákldní příkld 1) Stín věže je dlouhý 55 m stín tče vsoké 1,5 m má v tutéž dou délku 150 cm. Vpočtěte výšku věže. ) Určete měřítko mp, jestliže odélníkové pole o rozměrech 600 m 450 m je n mpě zkresleno

Více

Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu

Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu 10.1.6 Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervlu Předpokldy: 10104, 10105 Př. 1: Nkresli, jk funkce f ( x ) dná grfem zobrzí vyznčené okolí bodu n ose x n osu y. Poté nkresli n osu x vzor okolí

Více

KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE

KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE Přednáška Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Deskriptivní geometrie 2

Deskriptivní geometrie 2 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 2 Pomocný učební text - díl II Světlana Tomiczková Plzeň 4. května 2011 verze 1.0 Obsah 1 Středové promítání

Více

Mongeovo zobrazení. Osová afinita

Mongeovo zobrazení. Osová afinita Mongeovo zobrazení Osová afinita nechť je v prostoru dána průmětna π, obecná rovina ρ a v této rovině libovolný trojúhelník ABC, promítneme-li trojúhelník kolmo do průmětny π, dostaneme trojúhelník A

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE

ANALYTICKÁ GEOMETRIE Technická niverzit v Liberci Fklt přírodovědně-hmnitní pedgogická Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky NLYTICKÁ GEOMETRIE Pomocný čební text Petr Pirklová Liberec, listopd 2015 NLYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH

Více

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25 56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou

Více

PRAVIDELNÉ MNOHOSTĚNY

PRAVIDELNÉ MNOHOSTĚNY PRVIDELNÉ MNOHOĚNY Vlst Chmelíková, Luboš Morvec MFF UK 007 1 Úvod ento text byl vytvořen s cílem inspirovt učitele středních škol k zčlenění témtu prvidelné mnohostěny do hodin mtemtiky, neboť při výuce

Více

Definice limit I

Definice limit I 08 Definice limit I Předpokld: 006 Pedgogická poznámk: N úvod je třeb upozornit, že tto hodin je ze strn studentů snd nejvíce sbotovnou látkou z celé studium (podle rekcí 4B009) Jejich ochot brát n vědomí

Více

ROTAČNÍ KVADRIKY V PŘÍKLADECH

ROTAČNÍ KVADRIKY V PŘÍKLADECH Univerzit Plckého v Olomouci Rozšíření kreditce učitelství mtemtiky učitelství deskriptivní geometrie n PřF UP v Olomouci o formu kombinovnou CZ..07/..00/8.003 ROTAČNÍ KVADRIKY V PŘÍKLADECH Mrie OŠLEJŠKOVÁ,

Více

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje. 1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/

Více

Trigonometrie trojúhelníku

Trigonometrie trojúhelníku 1 Trojúhelníky Trigonometrie trojúhelníku Vypočítejte výšku v c v trojúhelníku, je-li úhel β = 59 strn = 14 cm. (Výsledek zokrouhlete n celé centimetry.) 9000121701 (level 1): Je dán trojúhelník, jehož

Více

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika - stereometrie. Mgr. Hedvika Novotná

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika - stereometrie. Mgr. Hedvika Novotná Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po

Více

ROVNOBĚŽNÉ PROMÍTÁNÍ, VOLNÉ ROVNOBĚŽNÉ PROMÍTÁNÍ

ROVNOBĚŽNÉ PROMÍTÁNÍ, VOLNÉ ROVNOBĚŽNÉ PROMÍTÁNÍ Technická univerzit v Liberci Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky ROVNOĚŽNÉ PROMÍTÁNÍ, VOLNÉ ROVNOĚŽNÉ PROMÍTÁNÍ Pomocný učební text Petr Pirklová Liberec, září 2013

Více

STEREOMETRIE. Tělesa. Značení: body A, B, C,... přímky p, q, r,... roviny ρ, σ, τ,...

STEREOMETRIE. Tělesa. Značení: body A, B, C,... přímky p, q, r,... roviny ρ, σ, τ,... STEREOMETRIE Stereometrie je část geometrie, která se zabývá studiem prostorových útvarů. Základními prostorovými útvary, se kterými budeme pracovat, jsou bod, přímka a rovina. Značení: body A, B, C,...

Více

c 2 b 2 a 2 2.8.20 Důkazy Pythagorovy věty Předpoklady: 020819

c 2 b 2 a 2 2.8.20 Důkazy Pythagorovy věty Předpoklady: 020819 .8.0 Důkzy Pythgorovy věty Předpokldy: 00819 Pedgogická poznámk: V řešení kždého příkldu jsou uvedeny rdy, které dávám postupně žákům, bych jim pomohl. Pedgogická poznámk: Diskuse o následujícím příkldu

Více

5.1.2 Volné rovnoběžné promítání

5.1.2 Volné rovnoběžné promítání 5.1.2 Volné rovnoběžné promítání Předpoklady: 5101 Základní stereometrický problém: zabýváme se trojrozměrnými objekty, ale k práci používáme dvojrozměrný papír musíme najít způsob, jak trojrozměrné objekty

Více

3. Kvadratické rovnice

3. Kvadratické rovnice CZ..07/..08/0.0009. Kvdrtické rovnice se v tetice oznčuje lgebrická rovnice druhého stupně, tzn. rovnice o jedné neznáé, ve které neznáá vystupuje ve druhé ocnině (²). V zákldní tvru vypdá následovně:

Více

8. cvičení z Matematiky 2

8. cvičení z Matematiky 2 8. cvičení z Mtemtiky 2 11.-1. dubn 2016 8.1 Njděte tři pozitivní čísl jejichž součin je mximální, jejichž součet je roven 100. Zdání příkldu lze interpretovt tké tk, že hledáme mximální objem kvádru,

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

5.1.7 Vzájemná poloha přímky a roviny

5.1.7 Vzájemná poloha přímky a roviny 5..7 Vzájemná oloha římky a roviny Předoklady: 506 Pedagogická oznámka: Tato a následující hodina je obtížně řiditelná. ni jedna z těchto hodin neobsahuje nic zásadního, v říadě časového skluzu je možné

Více

5.1.4 Obrazy těles ve volném rovnoběžném promítání II

5.1.4 Obrazy těles ve volném rovnoběžném promítání II 5.1.4 Obrazy těles ve volném rovnoběžném promítání II Předpoklady: 5103 tejně jako minule začneme opakováním pravidel. Pravidla uvádíme od nejvíce a nejsnáze používaných k méně a hůře použitelným. Útvary

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2]

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2] ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten MONGEOVO PROMÍTÁNÍ π 1... půdorysna π 2... nárysna x... osa x (průsečnice průměten) sdružení průměten A 1... první průmět bodu A A 2... druhý průmět bodu A ZOBRAZENÍ

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x. KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou

Více

5.1.4 Obrazy těles ve volném rovnoběžném promítání II

5.1.4 Obrazy těles ve volném rovnoběžném promítání II 5.1.4 Obrazy těles ve volném rovnoběžném promítání II Předpoklady: 050103 tejně jako minule začneme opakováním pravidel. Pravidla uvádíme od nejvíce a nejsnáze používaných k méně a hůře použitelným. Útvary

Více

Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou

Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou Rozvinutelné plochy Rozvinutelná plocha je každá přímková plocha, pro kterou existuje izometrické zobrazení do rov iny, tj. lze ji rozvinout do roviny. Dá se ukázat, že každá rozvinutelná plocha patří

Více

( ) ( ) ( ) ( ) Skalární součin II. Předpoklady: 7207

( ) ( ) ( ) ( ) Skalární součin II. Předpoklady: 7207 78 Skalární součin II Předpoklady: 707 Pedagogická poznámka: Hodina má tři části, považuji tu prostřední za nejméně důležitou a proto v případě potřeby omezuji hlavně ji Na začátku hodiny je důležité nechat

Více