Planimetrie. Obsah. Stránka 668

Transkript

1

2 Obsh 3. Plnimetrie Úhel Prvidelné mnohoúhelníky Pythgorov vět Eukleidovy věty konstruke úseček Euklidovy věty, prvoúhlý trojúhelník Obvody obshy rovinnýh útvrů Obvodový středový úhel Množiny bodů dné vlstnosti Konstruke trojúhelníku polohové úlohy Konstruke trojúhelníku nepolohové úlohy Konstruke čtyřúhelníků Shodná podobná zobrzení v rovině Stránk 668

3 3. Plnimetrie 3.. Úhel. N obrázku jsou přímky, b,, d, pro které pltí, že je znám velikost dvou úhlů. Určete velikost zbývjííh úhlů,, N obrázku jsou přímky, b,, d, pro které pltí, že je znám velikost dvou úhlů. Určete velikost zbývjííh úhlů,, N obrázku jsou přímky, b,, d, pro které pltí, že je znám velikost dvou úhlů. Určete velikost zbývjííh úhlů,,. Stránk 669

4 N obrázku jsou přímky, b,, d, pro které pltí, že je znám velikost dvou úhlů. Určete velikost zbývjííh úhlů,, N obrázku jsou přímky, b,, d, e pro které pltí, že e b je znám velikost dvou úhlů. Určete velikost zbývjííh úhlů,, Stránk 670

5 6. N obrázku jsou přímky, b,, d, e pro které pltí, že e, b je znám velikost dvou úhlů. Určete velikost zbývjííh úhlů N obrázku jsou přímky, b,, d, e pro které pltí, že e, b je znám velikost dvou úhlů. Určete velikost zbývjííh úhlů,, Stránk 67

6 3.. Prvidelné mnohoúhelníky. Určete počet úhlopříček v prvidelném mnohoúhelníku s uvedeným počtem vrholů. ) n 0 ) n 00 b) n 5 d) n 8 ) b) ) d) n 0 u nn 3 u n 5 u n 00 u n 8 u Určete počet vrholů prvidelného mnohoúhelníku s uvedeným počtem úhlopříček. ) u 90 ) u 0 b) u 740 d) u 09 ) b) u 90 u nn 3 u n 3n n n u n 3 0 3n n, n 5 n N nevyhovuje zdání u 740 n n u n 3 0 3n n, n 40 n 37 N nevyhovuje zdání Stránk 67

7 ) d) u 0 n n, 3n N nevyhovuje zdání u 09 n 3n n, n n 9 N nevyhovuje zdání 3. Určete počet úhlopříček prvidelného mnohoúhelníku, jehož středový úhel má velikost: ) 4 ) 8 b) 5 d) 7 ) b) ) d) n 5 4 u n 4 5 u n 0 8 u n 5 7 u Určete velikost vnitřního úhlu v prvidelném mnohoúhelníku s uvedeným počtem vrholů. ) n 0 ) n b) n 00 d) n 35 Stránk 673

8 ) b) ) d) n 0 80 n n n ,8 76,4 n ,63 n , Určete počet vrholů prvidelného mnohoúhelníku, jehož vnitřní úhel má velikost: ) 08 ) 40 b) 56 d) 6 ) b) n n n n 08n80n360 7n n n n 56n80n360 4n n 5 4 Stránk 674

9 ) d) n n 40n80n360 40n n n n 6n80n360 8n n Určete počet úhlopříček prvidelného mnohoúhelníku, jehož vnitřní úhel má velikost: ) 50 ) 60 b) 56 d) 68 ) n n 50n80n360 30n 360 b) 360 n 30 u u n n 56n80n360 4n n 5 4 u Stránk 675

10 ) n n 60n80n360 0n n 8 0 u d) n n 68n80n360 n n 30 u Určete středový úhel prvidelného mnohoúhelníku, jehož vnitřní úhel má velikost: ) 90 ) 44 b) 0 d) 35 ) n n 90n80n360 90n n : 4 90 b) n n 0n80n360 60n n : 6 60 Stránk 676

11 ) d) n n 44n80n360 36n n : n n 35n80n360 45n n :8 45 Stránk 677

12 3.3. Pythgorov vět Eukleidovy věty konstruke úseček. Sestrojte úsečku dné délky pomoí Pythgorovy věty. Jednotku volte délky m: ) ) 8 e) 4 b) 5 d) 0 f) 6 ) b b 4 m, m, m b) b b 4 m, m, 5 m ) b b 8 m, 3 m, 3 m d) e) b b 0 m, 4 m, m b b 5 m, m, 4 m Stránk 678

13 f) b b 6 m, 5 m, m. Sestrojte úsečku dné délky pomoí Euklidovy věty o výše. Jednotku volte délky m: ) ) 8 e) 4 b) 5 d) 0 f) 6 ) v v m, 4 m, 3 m b b b) v v 5 m, 5 m, 3 m b b ) v v 8 m, 6 m, 3 m b b Stránk 679

14 d) v v 0 m, 5 m, 4 m b b e) v v 4 m, 6 m, 4 m b b Stránk 680

15 f) v v 6 m, 3 m, m b b 3. Sestrojte úsečku dné délky pomoí Euklidovy věty o odvěsně. Jednotku volte délky m: ) ) 8 e) 4 b) 5 d) 0 f) 6 ) b) m, 4 m, 3 m m, 5 m, 3 m ) m, 6 m, 3 m Stránk 68

16 d) m, 5 m, 4 m e) f) m, 6 m, 4 m m, 3 m, m Stránk 68

17 3.4. Euklidovy věty, prvoúhlý trojúhelník. Vypočítejte zbývjíí prvky v prvoúhlém trojúhelníku ABC s prvým úhlem při vrholu C, je-li dáno = m, b = 8 m. (, b, v, α, β) ) Výpočet strny b: b b b 8 9,8 m b) Výpočet strny : 8 4 m 4 6,93 m ) Výpočet výšky v: v b v 48 5,66 m d) Výpočet úhlu α: sin 6,93 sin 0, e) Výpočet úhlu β: 90 b b Vypočítejte zbývjíí prvky v prvoúhlém trojúhelníku ABC s prvým úhlem při vrholu C, je-li dáno = 6 m, v = 4,5 m. (b,,, b, α, β) ) Výpočet vyházíme z prvoúhlého trojúhelníku BPC (Pythgorov vět): v 6 4,5 5, 75 3,97 m Stránk 683

18 b) Výpočet strny (Euklidov vět o odvěsně): 6 9,07 m 3,97 ) Výpočet b : b b 9, 07 3,97 5, m d) Výpočet strny b: b b b 9, 07 5, 6,8 m e) Výpočet úhlů: sin 6 sin 9, V prvoúhlém trojúhelníku ABC jsou délky odvěsen = 7, m, b = 0,4 m. Vypočtěte: ) délky úseků přepony b) výšku k přeponě ) b 7, 0, 4,65 m 7, 4, m,65 b, 65 4, 8,55 m b b) v v 7, 4, 5,9 m Stránk 684

19 4. Úseky přepony prvoúhlého trojúhelníku mjí délky = 6 m, b = 4 m. Určete: ) výšku trojúhelníku b) délky jeho odvěsen. ) v v b 64 m b) b m ,4 m b b b ,83 m 5. Prvoúhlý trojúhelník má délku odvěsny 4 m délku přepony 30 m. Vypočítejte výšku trojúhelníku. 4 9, m 30 v v 4 9, 4,4 m Výšk trojúhelníku je 4,4 m. 6. Prvoúhlý trojúhelník ABC má přeponu = 30 m výšku v = m. Jk velké úseky vytíná výšk v n přeponě? Stránk 685

20 b b, b b Plnimetrie v b v b b u b b b b b b b D m m Jednotlivé úseky mjí délky 6 4 m. 7. Průměr kmene je 80 m. Je možné z něj vytest čtvere o strně 65 m? d 80 m 65 m u 65 9,9 m d u Tento čtvere se do dné kružnie nevejde. 8. Řešte trojúhelník ABC s prvým úhlem při vrholu C, je-li dáno: ) 45 m, b) b 58 mm, 34 0 ) 364 m, 7 0 d) 6,9 m, 65 e),6 m, 38 ) sin sin 45 sin ,8 m b b 45 33,8 30, 4 m ,8 m, b 30, 4 m, 4 30 Stránk 686

21 b) ) d) e) b sin b sin 58 0,84 m sin 340 b 0, ,9 m ,9 m, 0,84 m, 5540 os os ,3 m os70 b b 38, , 6 m b3, 6 m, 38,3 m, 740 b sin bsin b 6,9 sin 65 5,3 m b 6,9 5,3 7,3 m ,3 m, b5,3 m, 5 b tg btg b,6 tg 38 9,9 m b, 6 9,9 6 m b 9,9 m, 6 m, 5 48 Stránk 687

22 9. Řešte trojúhelník ABC s prvým úhlem při vrholu C, je-li dáno: ) 5,4 m, b 0,6 m b) 3,5 m, 8, 4 m ) b6,7 m, 5,8 m ) b) ) tg b 5,4 tg 0, 75 0, b 5,4 0,6 5,7 m ,7 m, 3647, 533 sin 3,5 sin 0, 48 8, b b 8, 4 3,5 4,99 m 83, 637, b 4,99 m b os 6,7 os 0, 4 5, b 5,8 6, 7 4,3 m 4,3 m, 6454, V rovnormenném trojúhelníku ABC o zákldně určete zbývjíí strny, úhly výšku n strnu, je-li dáno: ) 4 m, m b) 7,6 m, 5 5 ) 5,6 m, 4 5 Stránk 688

23 ) 4 m, m m PB PB 6 m v 6 os 0, ,65 m v,65 m, 6437 b) 7,6 m, ,44,88 m 7,6 4,03 6,44 Plnimetrie v sin b v sin 34 7,6 v 7,6sin 34 4,03 m 34, v 4, 03 m,,88 m ) 5,6 m, v tg v tg 45 7,8 v 7,8 tg 45 7,09 m 7, 09 7,8 0,54 m b0, , v 7,09 m, 0,54 m, b 0,54 m Stránk 689

24 . Určete plošný obsh prvoúhlého trojúhelníku, je-li dáno 4,6 m, b S sin sin 840 4,6 sin 840 0,46 m 4,6 b os b os 840 b 4,6 os ,38 m 4,6 0,4637,38 S 38,4 m Obsh trojúhelníku je 38,4 m. V prvoúhlém trojúhelníku je dáno S 99,54 m, 5 6. Vypočtěte délku přepony. b b S 99,54 99, 08 b 99,08,5 bb tg tg 56,5,5b b b b 99, 08 b,6 m,5,5,6 5,75 m Přepon měří 0,7 m. b 5, 75, 6 0,7 m Stránk 690

25 3. V prvoúhlém trojúhelníku je dáno S 48,8 m, Vypočtěte délku přepony. b b S 48,8 96,36 b 96,36 b 96,36 0,55 b b b tg tg 856 0,55 b 0,55 96,36 3,4 m 0,55 b0,55 b 0,553,4 7,3 m Přepon měří 5,08 m. 4. Silnie má stoupání,3 %. Jký je úhel stoupání?,3 tg 00 tg 0,3 7 Úhel stoupání je 7. b 3, 4 7, 3 5, 08 m 5. Žebřík dlouhý 3,8 m je přiložen ke zdi pod úhlem 3. Jk vysoko žebřík dosáhne? x sin 3 3,8 x 3,8 sin 3 0,4 Žebřík dosáhne do výšky 0,4 m. Stránk 69

26 6. Úhlopříčky obdélníku svírjí úhel 56, delší strn měří 50 mm. Vypočtěte obsh obdélníku tg 6 tg 6 b 33 m b b tg6 S b S m Obsh obdélníku je mm. 7. Z pozoroví věže byl sptřen loď v hloubkovém úhlu 3, výšk věže je 45,5 m. Jk dleko je loď od věže? 45,5 tg 3 x 45,5 x 699,78 m tg 3 Loď je od věže vzdálená 699,78 m. 8. Profil příkopu je rovnormenný lihoběžník. Hloubk příkopu je,85 m. Boční stěny mjí od vodorovné roviny odhylku 36. Dolní šířk příkopu je 4,5 m. Vypočtěte horní šířku příkopu.,85 tg 36 x,85 x 3,9 m tg 36 x 4,5 3,9 4,5,09 m Horní šířk příkopu je,09 m. Stránk 69

27 9. Vodorovná vzdálenost dvou bodů n silnii je 70 m. Jejih výškový rozdíl je 33 m. V jkém úhlu stoupá silnie? 33 tg 70 tg 0, 658 Silnie stoupá pod úhlem Vypočtěte úhlopříčky kosočtvere, je-li jeho obsh 640 m poměr úhlopříček je 5 : 4. u : u 5: 4 u 5x u 4x u u S 5x4x 80 0 u m x x 8 u 48 3 m Délky úhlopříček jsou 40 m 3 m.. Štít střehy tvru rovnormenného trojúhelníku má výšku 6 m. Sklon střehy je 40. Vypočítejte šířku střehy. 6 tg 40 4,3 m tg 40 Střeh má šířku 4,3 m.. Rovné prkno je opřeno o zeď ve výše,6 m. Jký úhel svírá prkno s podlhou, je-li jeho délk,3 m.,6 sin 0, 7,3 44 Prkno svírá s podlhou úhel 44. Stránk 693

28 3. V jkém úhlu stoupá shodiště, jehož shody jsou 8 m široké 5 m vysoké? 5 tg 0, Shodiště stoupá pod úhlem Z rozhledny vysoké 6 m 5 m vzdálené od krje řeky je vidět řek pod zorným úhlem 8. Jk je řek široká? 6 tg b5 x b tg 6 b 6 tg ,89 m x 99, ,89 m Řek je široká 47,89 m. 5. Jk velký úhel svírá úhlopříčk obdélníku o strnáh,6 m 6,4 m s krtší strnou?,6 tg,3 6,4 547 Úhlopříčk se strnou svírjí úhel Stránk 694

29 6. Lnovk má přímou trť délky 50 m stoupá pod úhlem 39. Jký je výškový rozdíl horní dolní stnie? v sin v 50 sin , 65 m Výškový rozdíl mezi stniemi je 786,65 m. 7. Jk vysoká je budov vrhjíí stín dlouhý 38,6 m, dopdjí-li pprsky Slune n vodorovnou rovinu pod úhlem 3? v tg 3 38,6 v 38,6 tg 3 3,9 m Budov je vysoká 3,9 m. 8. Obsh prvoúhlého trojúhelníku je 04 m, odvěsn = 7 m. Vypočítej velikosti vnitřníh úhlů trojúhelníku. b 7 b 408 S 04 b 4 m 7 7 tg tg 0, b Úhly v trojúhelníku měří Tečny vedené z bodu A ke kružnii s poloměrem 58 mm svírjí úhel 68. Vypočítej vzdálenost středu S bodu A. 58 sin 34 x 58 x 03,7 m sin 34 Střed S je od bodu A vzdálen 03,7 mm. Stránk 695

30 30. Jk vysoká je věž, jehož špii vidí pozorovtel vysoký 86 m ze vzdálenosti 8 m pod výškovým úhlem 53? x tg 53 8 x 8 tg 53 37,6 m v x,86 v 37,6,86 39 m Věž je vysoká 39 m. 3. Z okn domu, které je ve výše m nd zemí je vidět komín ihelny. Jeho vrhol pozorujeme pod výškovým úhlem 6, jeho ptu pod hloubkovým úhlem. Jk je komín vysoký? 4 tg 4 65,86 m tg x tg 6 x tg 6 65,86 x 65,86tg 6 3, m v x4 v 3, 4 46, m Komín ihelny je vysoký 46, m. 3. Délk rmen rovnormenného trojúhelníku je čtyřnásobkem délky jeho zákldny. Vypočítej velikosti vnitřníh úhlů tohoto trojúhelníku. os Vnitřní úhly trojúhelník měří 850, 4 0. Stránk 696

31 33. V prvoúhlém trojúhelníku ABC s prvým úhlem při vrholu C je dáno: = 3 m, = 5 m. Vypočtěte b,, b, v. Dnou úlohy řešíme užitím Pythgorovy věty, b b. Odvěsnu b vypočteme užitím Pythgorovy věty: b b b b Eukleidovýh vět v, b b m Část úseku přepony přilehlého k odvěsně vypočteme užitím Eukleidovy věty o odvěsně: 3 9,8 m 5 5 Část úseku přepony b přilehlého k odvěsně b vypočteme užitím Eukleidovy věty o odvěsně: b 4 6 b 3, m 5 5 Výšku n zákldnu v vypočteme užitím Eukleidovy věty o výše: v b b b v b b v,4 m Stránk 697

32 34. V prvoúhlém trojúhelníku ABC s prvým úhlem při vrholu C je dáno: b = 5 m, = 3 m. Vypočtěte,, b, v. Dnou úlohy řešíme užitím Pythgorovy věty, b b. Odvěsnu b vypočteme užitím Pythgorovy věty: b b b b Eukleidovýh vět v, b m Část úseku přepony přilehlého k odvěsně vypočteme užitím Eukleidovy věty o odvěsně: 44 m 3 3 Část úseku přepony b přilehlého k odvěsně b vypočteme užitím Eukleidovy věty o odvěsně: b 5 5 m b 3 3 Výšku n zákldnu v vypočteme užitím Eukleidovy věty o výše: v b b v b b b v m Stránk 698

33 35. V prvoúhlém trojúhelníku ABC s prvým úhlem při vrholu C je dáno: = 6 m, b = 8 m. Vypočtěte, v,, b. Dnou úlohy řešíme užitím Pythgorovy věty, b b. Přeponu vypočteme užitím Pythgorovy věty: b b b Eukleidovýh vět v, b m Část úseku přepony přilehlého k odvěsně vypočteme užitím Eukleidovy věty o odvěsně: ,6 m 0 5 Část úseku přepony b přilehlého k odvěsně b vypočteme užitím Eukleidovy věty o odvěsně: b b b b 0 6,4 m 0 5 Výšku n zákldnu v vypočteme užitím Eukleidovy věty o výše: v b v b b v 4,8 m Stránk 699

34 36. V prvoúhlém trojúhelníku ABC s prvým úhlem při vrholu C je dáno: = 5 m, v = 4 m. Vypočtěte b,,, b. Dnou úlohy řešíme užitím Pythgorovy věty b Eukleidovýh vět, b b. Část úseku přepony přilehlého k odvěsně vypočteme užitím Pythgorovy věty: v v v v, b m Část úseku přepony b přilehlého k odvěsně b vypočteme užitím Eukleidovy věty o výše: v b b v 4 6 m b 3 3 Délk přepony je rovn součtu délek jednotlivýh úseků přilehlýh k odvěsnám: m Odvěsnu b vypočteme užitím Eukleidovy věty o odvěsně: b b b b b b m Stránk 700

35 37. V prvoúhlém trojúhelníku ABC s prvým úhlem při vrholu C je dáno: b = 3 m, v = 5 m. Vypočtěte,,, b. Dnou úlohy řešíme užitím Pythgorovy věty b Eukleidovýh vět, b b. Část úseku přepony b přilehlého k odvěsně b vypočteme užitím Pythgorovy věty: b v b v b b b v b v, b b m Část úseku přepony přilehlého k odvěsně vypočteme užitím Eukleidovy věty o výše: v b v 5 5 m Délk přepony je rovn součtu délek jednotlivýh úseků přilehlýh k odvěsnám: b m Odvěsnu vypočteme užitím Eukleidovy věty o odvěsně: b m 44 Stránk 70

36 38. V prvoúhlém trojúhelníku ABC s prvým úhlem při vrholu C je dáno: = 0 m, = 8 m. Vypočtěte b,, b, v. Dnou úlohy řešíme užitím Pythgorovy věty, b b. Přeponu vypočteme užitím Eukleidovy věty o odvěsně: 0 00,5 m 8 8 Odvěsnu b vypočteme užitím Pythgorovy věty: b b b b Eukleidovýh vět v, b b,5 0 56, , 5 7,5 m Část úseku přepony b přilehlého k odvěsně b vypočteme užitím Eukleidovy věty o odvěsně: b b b b b 7,5 56, 5 4,5 m,5,5 Výšku n zákldnu v vypočteme užitím Eukleidovy věty o výše: v b v b v 84, m Stránk 70

37 3.5. Obvody obshy rovinnýh útvrů. Kosočtvere má úhlopříčky u m, u 8 m. Určete velikost strny kosočtvere. e f ,8 m. Uprostřed čtverového pozemku se strnou délky 56 m je ninstlovné zvlžování, které dosáhne do vzdálenosti 0 m. Kolik proent pozemku nemá závlhu? Závlhu nemá 59,9 % pozemku. S r S 0 S 56,64 m S S S S , 64 S 879,36 m 336 m...00 % 879,36 m... x % 879,3600 x 336 x 59,9 % S S S m 3. Obvod obdélníku je 64 m, poměr strn je 3:5. Vypočtěte obsh obdélníku. o 64 m : b 3: 5 3x b 5x o ( b) 64 (3x5 x) 64 8x 64 6x x 4 3x 34 m b 5x b 54 b 0 m S b S 0 S 40 m Obsh obdélníku je S 40 m. Stránk 703

38 4. Obsh obdélníku je 008 m. Poměr strn je 4:7. Vypočtěte obvod obdélníku. S 008 m : b 4 : 7 4x b 7x S b 008 4x7x 008 8x x 36 x 6 Obvod obdélníku je 3 m m b 76 b 4 m o ( b) o (4 4) o 66 o 3 m 5. Jestliže délku strny zvětšíme o dvě pětiny, zvětší se obvod čtvere o 6 m. Vypočtěte obsh původního čtvere. o 4 o / o o m S 0 m S 00 m Obsh čtvere je 00 m. 6. Jestliže délku strny zvětšíme o třetinu, zvětší se obsh čtvere o m. Vypočtěte obvod původního čtvere. S S S S Stránk 704

39 4 3 6 = / o 4 o 4 o 48 m Obvod čtvere je 48 m. 7. Délky strn obdélníkové zhrdy jsou v poměru 3: 4. Spojnie středů sousedníh strn měří 0 m. Vypočítejte výměru zhrdy. 3x b 4x 3x b 4x 3x 4x 9x 6x 400 5x x 6x 00 / x 6 x 4 3x b 4x m b 6 m S b S 6 S 9 m Zhrd měří 9 m. Stránk 705

40 8. Vypočítejte obsh obrze složeného z půlkružni. Poloměr jedné je dvkrát větší než poloměr druhé, délk úsečky AB 8 m. AB AB 8 m 6r 6r 8 m S r 3 m S r r S r 6 m S Obsh obrze je 84,83 m. S S r 3 8, 7 m r 6 3, m S S S S 3, 8, 7 S 84,83 m 9. Čtveri o strně = 4 m je vepsná opsná kružnie. Vypočítejte obsh mezikruží. S r u r u u 4 u 9,8 m r r S 9,8 9,9 m 9,9 S 307,9 m Obsh mezikruží je 53,96 m. S r r 4 r r 7 m S S 7 53,94 m S S S S 307,9 53,94 S 53,96 m Stránk 706

41 0. Pozemek tvru půlkruhu je proztím oploen pouze po déle oblouku. Plot má délku přibližně 6,8 m. Kolik metrů pletiv bude potřeb n rovnou část plotu? o r o 6,8 r 6,8 r 6,8 6,8 r r 9,9 d r d 39,98 m N rovnou část spotřebujeme 39,98 m pletiv.. Vypočítejte obsh vyšrfovného obrze, délk strny čtvere sítě je mm. Lihoběžník ABCD S v 7 S 4 S 36 mm Lihoběžník DEFG 3 S S 4 mm Obsh obrze je 3 mm. S S S S 36 4 S 3 mm Stránk 707

42 . Je dán rovnormenný prvoúhlý trojúhelník ABC, s prvým úhlem při vrholu C. Odvěsny mjí délku AC BC 6 m. Kolem kždého vrholu je opsán kružnie o poloměru r 3 m. Oblouky oddělují z trojúhelník ABC obrze P. Určete, kolik proent z obshu trojúhelník ABC tvoří P. S obsh ABC b S 66 S S 8 m P S ( V V V ) 3 P 8 (7, 3,55 3,55) P 3,8 m 8 m...00 % 3,8 m... x % 3,8 00 x 8 x, % V obsh oblouku při vrholu C 360 : 90 4 r V 4 3 V 4 V 7, m V, V 3 obsh oblouku při vrholu A,B 360 : 45 8 V V V V CAB CBA 45 r ,55 m V 3 3,55 m Obrze P tvoří, % plohy trojúhelníku ABC. Stránk 708

43 3. Obsh kosočtvere je 50 m úhel sousedníh strn je 56. Vypočtěte jeho obvod. Obvod kosočtvere je 53,8 m. S v v sin 50 v v v sin 56 sin 56 v 50 v sin 56 v 50sin 56 v 4,36 v,5,5 sin 56 3, 45 m o 4 o 43, 45 o 53,8 m 4. Zhrd tvru obdélníku o rozměreh 50 m 8 m byl ohrzen plotem. Kolik proent délky plotu byhom ušetřili, pokud by pozemek měl tvr čtvere o stejné ploše? 50 m b 8 m S S S S m 400 m ,8 m o ( b) o (50 8) o 356 m o o o 4 464,8 59, m úspor , úspor 96,8 m 356 m...00 % 96,8 m... x % 96,800 x 356 x 7,9 % Ušetřili byhom 7,9 % plotu. Stránk 709

44 5. Odvoďte vzore pro obsh rovnostrnného trojúhelníku o strně. v S S 4 3 Obsh rovnostrnného trojúhelníku o strně je S. 4 v v v v v 3 S 6. V prvidelném osmiúhelníku je poloměr kružnie vepsné 5 m. Vypočtěte poloměr kružnie opsné. (360 :8) : os r r 6,4 m r os 30 Poloměr kružnie opsné je 6,4 m. Stránk 70

45 7. Vypočtěte obsh prvidelného desetiúhelníku, je-li poloměr kružnie opsné m. 360 :0 : 8 v S 0 v os v os8 v 0,9 m sin sin 44 44sin8 3,6 m 3,6 0,9 S 0 S 4,56 m Obsh prvidelného desetiúhelníku je 4,56 m. 8. Nd strnmi rovnostrnného trojúhelníku o strně velikosti m jsou vně sestrojeny čtvere. Vypočtěte obsh šestiúhelníku, vzniklého spojením jejih sousedníh vrholů. Stránk 7

46 S S 3S 3S S S 3 44 m S v S v v v ,39 S 3 3 S 6, ,34 S 68,36 m Obsh šestiúhelníku je 68,36 m. 0,39 S S 6,34 m v S3 360 (90 60 ) 0 v3 os 60 v os 60 3 v3 6 m sin 60 sin sin 60 0,78 S S 3 3 0,786 6,34 m Stránk 7

47 9. Určete obsh obdélníku ABCD, je-li jedn strn 4 m úhlopříčk je o 36 m delší než druhá strn. Obsh obdélníku je 73 m. ( b 36) 4 b b 7b b 7b b 468 b 6,5 S b S 46,5 S 73 m 0. Určete obsh prvoúhlého lihoběžníku ABCD, je-li = 33 m; = 9 m kosé rmeno je o 8 m delší než rmeno kolmé. Obsh lihoběžníku je 47 m. x 33 9 x 4 ( b8) 4 b b 36b b 36b b 5 b 7 S v 33 9 S 7 S 47 m. Vypočtěte výšku lihoběžníku o zákldnáh 36 m m obshu 399 m. S v v 399 8,5v v 4 m Výšk lihoběžníku je 4 m. Stránk 73

48 . Vypočtěte obsh rovnormenného lihoběžníku, jehož zákldny jsou v poměru 4: 3, rmeno b = 6 m výšk v = 4 m. Obsh lihoběžníku je 680 m. : 4 : 3 4x 3x x 6 4 x / x x x x S v S 4 S 680 m 3. Kosočtvere má obsh S = 867 m, poměr úhlopříček e: f :3. Vypočítejte velikost úhlopříček délku strny. Stránk 74

49 u u S u u x3x x x x u x u 3x u 7 34 m u : : m 5, , 5 30, 65 m Úhlopříčky mjí délky 34 m 5 m, délk strny = 30, 65 m. 4. Určete velikosti všeh úhlů trojúhelníku ABC Úhly u jednotlivýh vrholů měří 45, Vypočítejte hodnotu úhlu Stránk 75

50 Úhel má velikost Určete obvod prvoúhlého trojúhelníku, jestliže délk jedné odvěsny je 75 % délky druhé odvěsny obsh trojúhelníku je 486 m. Obvod trojúhelníku je 08 m. b S 0,75 S 0, , m b 0,75 b 0,7536 b 7 m m o b o o 08 m Stránk 76

51 7. Délky strn dvou čtverů jsou v poměru : 5. Vypočítejte plohu kružnie opsné menšímu čtveri, jestliže obsh většího čtvere je 400 m. : : 5 S S m m u 64 u r r 5,66 m 5,66 Sk 00,64 m Ploh kružnie opsné menšímu čtveri je 00,64 m. u u,3 m S S k k r 8. Vypočtěte obvod čtvere, jehož obsh je roven čtyřnásobku obshu čtvere o velikosti strny. S S 4 4 o 4 o 4 o 8 Obvod čtvere je roven Vypočítej rozměry obdélníku, který má obvod 8 m obsh 364 m. o ( b) S b 8 ( b) / : 364 b 4 b 4 b 364 (4 b) b 364 4bb b 4b b, b 8 m b 3 m Rozměry obdélníku jsou 3 m 8 m. 4 b m 43 8 m Stránk 77

52 30. Vypočítejte obvod kosočtvere, jehož obsh je 40 m jedn úhlopříčk má velikost 0 m. Obvod kosočtvere je 48,84 m. S 40 m u u S 0u 80 0u 40 / u 0 m u 4 m , m o 4 o 4, o 48,84 m 3. Dřevěné dese tvru kosočtvere se strnou délky 6 m je vepsán kružnie o poloměru m. Určete obvod obsh kosočtvere. 6 m m v v v 4 m S v S 64 S 64 m o 4 o 04 m Obvod kosočtvere je 04 m, obsh 64 m. Stránk 78

53 3. Vypočítej obsh kosočtvere, jehož obvod je 300 m poměr úhlopříček 3: 4. o 300 m o m Obsh kosočtvere je 5400 m. u : u 3: 4 u 3x u 5x 500 4x 3x 4x 9x 6x x x 900 x 30 u 330 u 90 m u u m u u S 900 S S 5400 m 33. Obdélník má úhlopříčku u = 7 m. Zvětšíme-li kždou jeho strnu o m, zvětší se jeho obsh o 50 m. Vypočítejte obvod obdélníku. b 7 b 89 S S ( ) ( b ) b 50 b b b 4 b 50 b 46 b 3 3 b b 89 (3 b) b b b b 89 b 46b b, b 5 m b 8 m o ( b) (5 8) 46 m Obvod obdélníku je 46 m. Stránk 79

54 34. Lihoběžník má delší zákldnu = 66 m, výšk v = 30 m. Všehny dlší strny mjí stejnou délku. Vypočtěte obvod obsh lihoběžníku. S v S 3430 S 00 m o o 68 m xy 66 x66 y x y 4y y 900 3y 64y y 30 (66 y) y 30 y 88y y, y, y 7 m y 6 m x 66 7 x 78...nevyhovuje zdání x x m Obvod lihoběžníku je 68 m obsh 00 m. 35. Výšk rovnoběžné strny lihoběžníku jsou v poměru : 7 : 4, obsh lihoběžníku je 99 m. Vypočítej výšku strny,. v : : : 7 : 4 S 99 m S v v x 7x 4x 7x 4x 99 x 99 x x 9 x 3 v 6 m m m Výšk v = 6 m, strn = m strn = m. Stránk 70

55 36. Vypočítejte obvod prvidelného šestiúhelníku, jehož obsh je 374,4 m. Obvod šestiúhelníku je 7 m. S 374, 4 m S 374, 4 / , m o 6 o 7 m Vypočítejte obsh rovnoběžníku, jehož strny jsou = 6 m, b = 4 m, je-li úhel sevřený strnmi m b 4 m 68 S bsin S 64sin 68 S 337,5 m Obsh rovnoběžníku je 337,5 m. 38. Vypočítejte obvod rovnormenného lihoběžníku, mjí-li zákldny velikosti = 38 m, b = 4 m je-li obsh S = 465 m. S v 465 3v v 5 m S v 38 4 x 7 m b 7 5 b 74 b 6,55 m o b ,55 95, m Obvod lihoběžníku je 95, m. Stránk 7

56 39. Vypočtěte obsh plohy n obrázku (rozměry v mm). Obsh obrze je mm. S S S S S S S S mm v mm S S 6600 mm 40. Vypočtěte obsh plohy n obrázku (rozměry v mm). Stránk 7

57 S S S S S S S S S mm mm 6S S 4 : Obsh vyšrfovné plohy je 9 58,08 mm. v S4 x tg30 37 x 37 tg30 x,36 x 4,7 mm S S S S , ,3 mm 6790,3 474,9 mm S ,9 S 958,08 mm Stránk 73

58 4. Vypočtěte obsh plohy n obrázku (rozměry v mm). Obsh vyšrfovné plohy je mm. S S S S S S S S S S S S S mm mm mm S S 8500 mm 4. Obsh kosočtvere je 98 m. Jedn úhlopříčk je dvojnásobkem druhé. Vypočtěte délky úhlopříček délku strny kosočtvere. Stránk 74

59 S u u u u u u u u 6 m u 6 3 m ,89 m Úhlopříčky jsou dlouhé 6 3 m, délk strny = 7,89 m. 43. Dvě kol o poloměreh 40 m jsou spojen řemenií délky 0 m. Vypočítejte vzdálenost os obou kol. Vzdálenost středů je 3, 75 m. r 40 o r o 40 o 5,33 m o,5 m 0,5 d d 3,75 m 44. Vypočítejte obsh vyšrfovné části (rozměry v mm). u u 60 84,85 u 60 84,85 60 r,43 mm S r, ,39 mm Obsh kruhu je 485,39 mm. Stránk 75

60 45. Vypočítejte obsh vyšrfovné části (rozměry v mm). Obsh vyšrfovné části je 7,65 mm. S S S S S S S S mm r ,6 mm S ,6 S 7,65 mm 46. Vypočtěte obvod obsh prvidelného osmiúhelníku vepsného kružnii o poloměru m. Obsh osmiúhelníku je 408,48 m. S 8S v S 360 :8 30 v os v os 30, m x sin x sin 30 4,6 m x9, m 9,, S 8 408,48 m Stránk 76

61 47. Vypočtěte obvod obsh prvidelného desetiúhelníku vepsného kružnii o poloměru 7 m. Obsh desetiúhelníku je 43,86 m. S 0S v S 360 :0 8 v os v 7 os8 6,66 m 7 x sin x 7 sin8,6 m 7 x4,3 m 4,36,66 S 0 43,86 m 48. Vypočtěte obsh prvidelného osmiúhelníku, který je opsán kružnii o poloměru 8 m. S 8S v S 360 :8 30 x tg x 8 tg 30 3,3 m 8 x6,6 m 6,68 S 8,84 m Obsh osmiúhelníku je,84 m. Stránk 77

62 49. Vypočítejte obsh prvidelného pětiúhelníku, který je vepsán kružnii o poloměru 6 m. Obsh pětiúhelníku je 85,6 m. v S : 5 36 x sin x 6 sin 36 3,53 m 6 x7,06 m v os v 6os36 4,85 m 6 7,064,85 S 5 85,6 m 50. Vypočítejte obsh sedmiúhelníku, který je opsán kružnii o poloměru 8 m. v S : x tg x 8 tg ,85 m 8 x7,7 m 7,78 S 7 5,6 m Obsh sedmiúhelníku je 5,6 m. r 5. Jsou dány dvě soustředné kružnie k S, S r. Vypočítejte obvod obsh výseče mezikruží se středovým úhlem α 0. k, Stránk 78

63 Kruhová výseč mezikruží odpovídjíí středovému úhlu α 0 je 3 elkového mezikruží ( ), proto při výpočtu obshu obvodu této výseče vypočteme 3 z elkového obshu popř. obvodu mezikruží. U obvodu musíme le připočítt obě boční strny. r r 4r r 3r r S r r r r o r r 3 r r r r 3 r r r r 3 3 3r r r r r 5. Jsou dány dvě soustředné kružnie k S, S r. Vypočítejte obvod obsh výseče mezikruží se středovým úhlem α 50. k, Kruhová výseč mezikruží odpovídjíí středovému úhlu α 50 je 5 elkového mezikruží ( ), proto při výpočtu obshu obvodu této výseče vypočteme z elkového obshu popř. obvodu mezikruží. U obvodu musíme le připočítt obě boční strny. 5 5 r 5 r 5 4r r 5 3 r S r r r r r 6 o 5 r r 5r 5 r r 4 4 r 5 r r 5 5 r r r r 3 r r Stránk 79

64 r 53. Jsou dány dvě soustředné kružnie k S, 3 S r. Vypočítejte obvod obsh výseče mezikruží se středovým úhlem α 0. k, Kruhová výseč mezikruží odpovídjíí středovému úhlu α 0 je 3 elkového mezikruží ( ), proto při výpočtu obshu obvodu této výseče vypočteme 3 z elkového obshu popř. obvodu mezikruží. U obvodu musíme le připočítt obě boční strny. r r 9r r 8 r 8 r S r r r r r r 3 r r 3 r r r o r r r r r 4r 8 r 4r 4r r 54. Jsou dány dvě soustředné kružnie k S, 3 S r. Vypočítejte obvod obsh výseče mezikruží se středovým úhlem α 50. k, Stránk 730

65 Kruhová výseč mezikruží odpovídjíí středovému úhlu α 50 je 5 elkového mezikruží ( ), proto při výpočtu obshu obvodu této výseče vypočteme z elkového obshu popř. obvodu mezikruží. U obvodu musíme le připočítt obě boční strny. 5 5 r 5 r 5 9r r 5 8 r S r r r r r 7 5 r 5 r 3 r r 5 3 r r r o r r r r r 4r 0 r 4r r r 55. Jsou dány dvě soustředné kružnie k S, 4 S r. Vypočítejte obvod obsh výseče mezikruží se středovým úhlem α 0. k, Kruhová výseč mezikruží odpovídjíí středovému úhlu α 0 je 7 elkového mezikruží ( ), proto při výpočtu obshu obvodu této výseče vypočteme z elkového obshu popř. obvodu mezikruží. U obvodu musíme le připočítt obě boční strny. Stránk 73

66 7 7 r 7 r 7 6r r 7 S r r r r r 6 35 r 64 7 r 7 r 4r r 7 r r 3r o r r r r r 3r 35 r 3r r r 56. Jsou dány dvě soustředné kružnie k S, 4 S r. Vypočítejte obvod obsh výseče mezikruží se středovým úhlem α 40. k, Kruhová výseč mezikruží odpovídjíí středovému úhlu α 40 je 3 elkového mezikruží ( ), proto při výpočtu obshu obvodu této výseče vypočteme 3 z elkového obshu popř. obvodu mezikruží. U obvodu musíme le připočítt obě boční strny. r r 6r r 5 r S r r r r r 8 r r 4r r r r 3r o r r r r r 3r 5r 3r 5 3 r Stránk 73

67 57. Vypočtěte obsh prvoúhlého lihoběžníku s prvým úhlem při vrholu A, jestliže zákldny lihoběžníku mjí délky 9 m, 4 m výšk lihoběžníku je o m menší než délk rmene. vb v b b b b b 9 4 b / b b 5 0 b 5 0 b 6 0 / 6 b 6 / : b3 m v m S v 9 4 S 33 S S 98 m 58. Vypočtěte obsh prvoúhlého lihoběžníku s prvým úhlem při vrholu A, jestliže zákldny lihoběžníku mjí délky m, 7 m výšk lihoběžníku je o m menší než délk rmene. Stránk 733

68 vb v b b b b 4b 4 7 b / b 4b b b 0 0 / 0 4b 0 / : 4 Plnimetrie S v 7 S 3 0 S 3 S 30 m b 5 m v 3 m 59. Vypočtěte obsh prvoúhlého lihoběžníku s prvým úhlem při vrholu A, jestliže zákldny lihoběžníku mjí délky 7 m, 5 m délk rmene je o m větší než výšk lihoběžníku. bv v b v v v 7 5 v 4v 4 / v 4v v 4 / v / : 4 v 35 m b 37 m S v 7 5 S 35 S 35 S 385 m Stránk 734

69 60. Vypočtěte obsh prvoúhlého lihoběžníku s prvým úhlem při vrholu A, jestliže zákldny lihoběžníku mjí délky 3 m, 8 m délk rmene je o m větší než výšk lihoběžníku. v v bv v b v 3 8 v v / v 5 v 5 v / 4 v / : v m b3 m S v 3 8 S S S 6 m 6. Vypočtěte obsh rovnormenného lihoběžníku s obvodem 44 m, jestliže strny lihoběžníku jsou v poměru 0 : 5 : : 5. Stránk 735

70 b d 44 0x 5x x 5x 44 0x b 5x x d 5x x 44 / : 0 x 0 0 m b 5 0 m 4 m d 5 0 m b v 0 4 v 00 v 64 / v 00 v 36 / : v 36 v 6 m S v 0 4 S 6 4 S 6 S 7 m 6. Vypočtěte obsh rovnormenného lihoběžníku s obvodem 96 m, jestliže strny lihoběžníku jsou v poměru 6 : 3 : 6 : 3. Stránk 736

71 6x b 3x 6x d 3x b d 96 6x 3x 6x 3x 96 48x 96 / : 48 x 6 3 m b 3 6 m 6 6 m d 3 6 m b v 3 v 676 v 00 / v 6 v v 576 v 4 m 576 / : 76 S v 3 S 4 44 S 4 S 58 m Stránk 737

72 3.6. Obvodový středový úhel. Vypočtěte velikosti vnitřníh úhlů ve čtyřúhelníku, který dostneme spojením bodů odpovídjííh číslům, 3, 7, 0 n iferníku hodin. 0, 7,3 0, S, ,3, 7, S, ,,0 3, S, ,0,7, S, Vypočtěte velikosti vnitřníh úhlů ve čtyřúhelníku, který dostneme spojením bodů odpovídjííh číslům, 5, 7, n iferníku hodin., 7,5, S, Stránk 738

73 7,5, 7, S, ,, 5, S, ,,7, S, Vypočtěte velikosti vnitřníh úhlů ve čtyřúhelníku, který dostneme spojením bodů odpovídjííh číslům, 4, 6, 0 n iferníku hodin. 0,6,4 0, S, , 4, 6, S, ,,0 4, S, ,0,6, S, Vypočtěte velikosti vnitřníh úhlů ve čtyřúhelníku, který dostneme spojením bodů odpovídjííh číslům, 4, 7, n iferníku hodin.,7,4, S, ,4, 7, S, ,, 4, S, ,,7, S, Stránk 739

74 5. Vypočtěte velikosti vnitřníh úhlů ve čtyřúhelníku, který dostneme spojením bodů odpovídjííh číslům, 3, 6, n iferníku hodin., 6,3, S, ,3, 6, S, ,, 3, S, ,,6, S, Vypočtěte velikosti vnitřníh úhlů ve čtyřúhelníku, který dostneme spojením bodů odpovídjííh číslům, 3, 6, n iferníku hodin., 6,3, S, ,3, 6, S, Stránk 740

75 3,, 3, S, ,,6, S, Stránk 74

76 3.7. Množiny bodů dné vlstnosti Plnimetrie. Je dán úsečk AB 3 m. Sestrojte množinu všeh bodů v rovině, pro které pltí: AXB 60 AX m. Postup konstruke:. AB; AB 3 m. G ; G X ; AXB G ; G X ; AX m 4. G; GG G X ; AXB 60 AX m pozn. Řešením je množin G (zelená) bez bodu A. Stránk 74

77 . Je dán úsečk AB 3 m. Sestrojte množinu všeh bodů v rovině, pro které pltí: AXB 60 AX m. Postup konstruke:. AB; AB 3 m. G ; G X ; AXB G ; G X ; AX m 4. G; GG G X ; AXB 60 AX m pozn. Řešením je množin G (zelená) bez bodu B. 3. Je dán úsečk AB 3 m. Sestrojte množinu všeh bodů v rovině, pro které pltí: AXB 60 AX m. Postup konstruke:. AB; AB 3 m. G ; G X ; AXB G ; G X ; AX m 4. G; GG G X ; AXB 60 AX m Stránk 743

78 pozn. Řešením je vnitřek množiny G (zelená) bez bodu A. 4. Je dán úsečk AB 3 m. Sestrojte množinu všeh bodů v rovině, pro které pltí: AXB 60 AX m. Stránk 744

79 Postup konstruke:. AB; AB 3 m. G ; G X ; AXB G ; G X ; AX m 4. G; GG G X ; AXB 60 AX m pozn. Řešením je vnitřek množiny G (zelená) bez bodu A. 5. Je dán úsečk AB 3 m. Sestrojte množinu všeh bodů v rovině, pro které pltí: AXB 60 X, AB m. Postup konstruke:. AB; AB 3 m. G ; G X ; AXB G G X X AB ; ;, 4. G; G G G X ; AXB 60 X, AB m m pozn. Řešením je vnitřek množiny G (zelená) bez bodů A, B. Stránk 745

80 6. Je dán úsečk AB 3 m. Sestrojte množinu všeh bodů v rovině, pro které pltí: AXB 60 X, AB m. Postup konstruke:. AB; AB 3 m. G ; G X ; AXB G G X X AB ; ;, 4. G; G G G X ; AXB 60 X, AB m m pozn. Řešením je vnitřek množiny G (zelená). Stránk 746

81 3.8. Konstruke trojúhelníku polohové úlohy. Je dán úsečk AB, pro kterou pltí AB = 5 m. Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, pro které pltí ) rozbor: b 4 m t 4 m. b) postup konstruke:. AB; AB 5 m. C ; C AB, AC C B 3. k ; k C ;4 m 4. k ; k A;4 m 5. C; C k k 6. ABC ) konstruke: d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Stránk 747

82 . Je dán úsečk AB, pro kterou pltí AB = 5 m. Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, pro které pltí = 4 m, = 50. ) rozbor: b) postup konstruke:. AB; AB 5 m. k; k B;4 m 3. G; G X ; BAX C; C k G 5. ABC ) konstruke: k d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Stránk 748

83 3. Je dán úsečk AB, pro kterou pltí AB = 5 m. Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, pro které pltí v = 4 m, b = 6 m. ) rozbor: b) postup konstruke:. AB; AB 5 m. S; AS SB 3. ; S; AB 4. k ; k A;4 m 5. A ; A k k ; k A;6 m 7. C; C BA k 8. ABC ) konstruke: 0 d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Stránk 749

84 4. Je dán úsečk AB, pro kterou pltí AB = 5 m. Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, pro které pltí v b = 5 m, 70. ) rozbor: b) postup konstruke:. AB; AB 5 m. S; AS SB 3. ; S; AB 4. k ; k B;4 m 5. B ; B k G; G X ; BAX C; C AB G 8. ABC ) konstruke: 0 d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Stránk 750

85 5. Je dán úsečk AB, pro kterou pltí AB = 5 m. Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, pro které pltí 40, 50. ) Rozbor: b) postup konstruke:. AB; AB 5 m. ABX ; ABX G; G Y ; BAY C; C BX G 5. ABC ) konstruke: d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Poznámk: Výpočtem velikosti úhlů lze úlohu převést n konstruki prvoúhlého trojúhelník s prvým úhlem při vrholu A. Stránk 75

86 6. Je dán úsečk AB, pro kterou pltí AB = 5 m. Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, pro které pltí t, = 6 m, v = 4 m. ) rozbor: b) postup konstruke:. AB; AB 5 m. C ; C AB, AC C B 3. k ; k A ;4 m 4. ; S; AB 5. A ; A k k ; k C ;6 m 7. C; C k BA 8. ABC ) konstruke: 0 d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Stránk 75

87 7. Je dán úsečk AB, pro kterou pltí AB = 5 m. Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, pro které pltí v b = 4 m, t = 4,5 m. ) rozbor: b) postup konstruke:. AB; AB 5 m. S; S AB, AS SB 3. ; S; AB 4. k ; k B;4 m 5. B ; B k k ; k A; t =9 m 7. BY; BY 8. X ; X k BY 9. XZ; XZ AB 0. C; C XZ AB. ABC ) konstruke: AB 0 0 k Y Z k d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Stránk 753

88 8. Je dán úsečk AB, pro kterou pltí AB = 5 m. Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, pro které pltí v = 4 m, t = 4,5 m. ) rozbor: b) postup konstruke:. AB; AB 5 m. p; p AB pab 4 m 3. k; k A;t 9 m 4. X ; X k p 5. A ; AA A X 6. C; C BA p 7. ABC ) konstruke: d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Stránk 754

89 9. Je dán úsečk AB, pro kterou pltí AB = 5 m. Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, pro které pltí b = 4 m, v b = 4,5 m. ) rozbor: b) postup konstruke:. AB; AB 5 m 0 0. k; k A;4 m 3. S; S AB, AS SB 4. ; S; AB 5. l; l B,4,5 m 6. B ; B l 7. C; C AB k 8. ABC ) konstruke: 0 d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Stránk 755

90 0. Je dán úsečk AB, pro kterou pltí AB = 5 m. Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, pro které pltí b = 6 m, v = 4,5 m. ) rozbor: b) postup konstruke:. AB; AB 5 m 0 0. k; k A;6 m 3. S; S AB, AS SB 4. ; S; AB 4. l; l A,4,5 m 5. A ; A l 6. C; C BA k 7. ABC ) konstruke: 0 d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Stránk 756

91 . Je dán úsečk AB, pro kterou pltí AB = 5 m. Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, pro které pltí v = 4 m, v b = 4,5 m. ) rozbor: b) postup konstruke:. AB; AB 5 m k; k A;4 m 3. S; S AB, AS SB 4. ; S; AB 4. l; l B,4,5 m 5. A ; A l 6. B ; B k 7. C; C BA AB 8. ABC ) konstruke: 0 0 d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Stránk 757

92 . Je dán úsečk AB, pro kterou pltí AB = 5 m. Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, pro které pltí = 40, t = 4 m. ) rozbor: b) postup konstruke:. AB; AB 5 m. BAX ; BAX p; p AX B p 4. k; k A;t 8 m 4. Y ; Y k p 5. S; AS SY 6. C; C BS AX 8. ABC ) konstruke: d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Stránk 758

93 3. Je dán úsečk AB, pro kterou pltí AB = 5 m. Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, pro které pltí: =50, t = 4,5 m. ) rozbor: b) postup konstruke:. AB; AB 5 m. G; G Y ; AYB A ; AA A B 4. k; k A ;4,5 m 5. C; C k G 6. ABC ) konstruke: d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Stránk 759

94 4. Je dán úsečk AB, pro kterou pltí AB = 5 m. Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, pro které pltí: v =4, t = 4,5 m. ) rozbor: b) postup konstruke:. AB; AB 5 m. p; p AB pab 4 m 3. A ; AA A B k; k A ;4,5 m 5. C; C k p 8. ABC ) konstruke: 0 d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Stránk 760

95 5. Je dán úsečk AB, pro kterou pltí AB = 5 m. Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, pro které pltí: = 40, v = 4,5 m. ) rozbor: b) postup konstruke:. AB; AB 5 m. BAX ; BAX S; S AB, AS SB 4. ; S; AB 5. k; k A;4,5 m 6. A ; A C; C BA AX 8. ABC ) konstruke: k 0 d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Stránk 76

96 6. Je dán úsečk AB, pro kterou pltí AB = 5 m. Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, pro které pltí: = 40, = 4 m. ) rozbor: b) postup konstruke:. AB; AB 5 m. BAX ; BAX k; k B;4 m 4. C; C k AX 5. ABC ) konstruke: d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Stránk 76

97 7. Je dán úsečk AA 0, pro kterou pltí AA 0 = 5 m. Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, pro které je úsečk AA 0 výškou v, pro které pltí: = 50, = 7 m. ) rozbor: b) postup konstruke:. AA ; AA 5 m 0 0. p; A p p AA G; G X ; AXB C; C G p 5. k; k A,7 m 6. B; B p k 7. ABC ) konstruke: d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Druhý průsečík p k nevyhovuje zdání. Stránk 763

98 8. Je dán úsečk AA 0, pro kterou pltí AA 0 = 5 m. Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, pro které je úsečk AA 0 výškou v, pro které pltí: t b = 4 m, = 6 m. ) rozbor: b) postup konstruke:. AA ; AA 5 m 0 0. p; A p p AA k; k A,6 m 4. B; B k p 5. l; l B,t 8 m 6. q; q p Aq 7. X ; X l q 8. S; XS SB 9. C; C AS p 0. ABC ) konstruke: b d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Stránk 764

99 9. Je dán úsečk AA 0, pro kterou pltí AA 0 = 5 m. Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, pro které je úsečk AA 0 výškou v, pro které pltí: v b = 4 m, = 6 m. ) rozbor: b) postup konstruke:. AA ; AA 5 m 0 0. p; A p p AA k; k A,6 m 4. B; B k p 5. S; S AB, AS SB 6. ; S; AB 7. l; l B;4,5 m 8. B ; B 9. C; C AB p 0. ABC ) konstruke: l 0 d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Stránk 765

100 0. Je dán úsečk AA 0, pro kterou pltí AA 0 = 5 m. Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, pro které je úsečk AA 0 výškou v, pro které pltí: v b = 4 m, b = 6 m. ) rozbor: b) postup konstruke:. AA ; AA 5 m 0 0. p; A p p AA k; k A,6 m 4. B; B k p 5. S; S AB, AS SB 6. ; S; AB 7. l; l B;4 m 8. B ; B 9. C; C AB p 0. ABC ) konstruke: l 0 d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Stránk 766

101 . Je dán úsečk AA 0, pro kterou pltí AA 0 = 5 m. Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, pro které je úsečk AA 0 výškou v, pro které pltí: = 6 m, = 70. ) rozbor: b) postup konstruke:. AA ; AA 5 m 0 0. p; A p p AA k; k A,6 m 4. B; B k p 5. G; G X ; AXA C; C G p 7. ABC ) konstruke: 0 d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Stránk 767

102 . Je dán úsečk AA 0, pro kterou pltí AA 0 = 5 m. Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, pro které je úsečk AA 0 výškou v, pro které pltí: = 40, = 70. ) rozbor: b) postup konstruke:. AA ; AA 5 m 0 0. p; A p p AA G ; G X ; AXA C; C G p 5. G ; G X ; AXA B; B G p 7. ABC ) konstruke: d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Stránk 768

103 3. Je dán úsečk AA 0, pro kterou pltí AA 0 = 5 m. Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, pro které je úsečk AA 0 výškou v, pro které pltí: = 60, t b = 5,5 m. ) rozbor: b) postup konstruke:. AA ; AA 5 m 0 0. p; A p p AA G; G X ; AXA B; B G p 5. k; k B,t m 6. q; q p Aq 7. X ; X k q 8. B ; XB B B 9. C; C AB p 0. ABC ) konstruke: b 0 d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Stránk 769

104 4. Je dán úsečk AA 0, pro kterou pltí AA 0 = 5 m. Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, pro které je úsečk AA 0 výškou v, pro které pltí: = 60,v = 6 m. ) rozbor: b) postup konstruke:. AA ; AA 5 m 0 0. p; A p p AA G; G X ; AXA C; C G p 5. k; k C,6 m 6. S; AS 7. ; S, AC 8. C ; C k 9. B; B AC p 0. ABC SC 0 0 ) konstruke: d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Stránk 770

105 5. Je dán úsečk AA 0, pro kterou pltí AA 0 = 5 m. Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, pro které je úsečk AA 0 výškou v, pro které pltí: β = 40, b = 6 m. ) rozbor: b) postup konstruke:. AA ; AA 5 m 0 0. p; A p p AA G; G X ; AXA B; B G p 5. k; k A,6 m 6. C; C p k 7. ABC ) konstruke: 0 d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Stránk 77

106 6. Je dán úsečk AA 0, pro kterou pltí AA 0 = 5 m. Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, pro které je úsečk AA 0 výškou v, pro které pltí: = 50, b = 4,5 m. ) rozbor: b) postup konstruke:. AA ; AA 5 m 0 0. p; A p p AA G; G X ; AXA B; B G p 5. k; k A,6 m 6. C; C p k 7. ABC ) konstruke: 0 d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Stránk 77

107 7. Je dán úsečk AA 0, pro kterou pltí AA 0 = 5 m. Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, pro které je úsečk AA 0 výškou v, pro které pltí: = 40, t = 6 m. ) rozbor: b) postup konstruke:. AA ; AA 5 m 0 0. p; A p p AA G; G X ; AXA B; B G p 5. S; AS SB 6. k; k S,6 m 7. C; C p k 8. ABC ) konstruke: 0 d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Stránk 773

108 8. Je dán úsečk AA, pro kterou pltí AA = 5 m. Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, pro které je úsečk AA těžnií t, pro které pltí: = 50, b = 4 m. ) rozbor: b) postup konstruke:. AA ; AA 5 m. k; k A,4 m 3. G; G X ; AXA C; C G k 5. l; l A, r CA 6. B; B l CA 7. ABC ) konstruke: d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Stránk 774

109 9. Je dán úsečk AA, pro kterou pltí AA = 5 m. Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, pro které je úsečk AA těžnií t, pro které pltí: = 4 m, = 60. ) rozbor: b) postup konstruke:. AA ; AA 5 m. G; G X ; AXA k; k A, m r m 4. C; C G k 6. B; B k CA 7. ABC ) konstruke: d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Stránk 775

110 30. Je dán úsečk AA, pro kterou pltí AA = 5 m. Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, pro které je úsečk AA těžnií t, pro které pltí: = 7 m, v = 4,5 m. ) rozbor: b) postup konstruke:. AA ; AA 5 m ) konstruke:. S; AS 3. ; = S; r AS 4. k; k A,4 m 5. A ; A l; l A,3,5 m 7. B; B k A A 0 8. C; C k A A 7. ABC SA k 0 d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Stránk 776

111 3.9. Konstruke trojúhelníku nepolohové úlohy Úlohy mohou mít několik způsobů řešení.. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 5 m; b 3 m; r 3,5 m. (r je poloměr kružnie opsné) ) rozbor: b) postup konstruke:. ; BC 5 m. l ; l B,3,5 m S 3. l ; l C,3,5 m 4. S; S l l 5. k; k,3,5 m 6. m; m B,3 m 7. A; Am k 8. ABC ) konstruke: d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Stránk 777

112 . Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 6 m; t 5 m; t 7 m. ) rozbor: b) postup konstruke:. ; AB 6 m. k; k A, r t 3 3. k; k B, r tb 3 4. T; T k k b 5. l ; l A,5 m 6. l ; l B,7 m 7. A ; A l AT 8. B ; B l BT 9. C; C AT BT 0. ABC ) konstruke: d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Stránk 778

113 3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: b 6 m; t 4 m; 5 m. ) rozbor: b) postup konstruke:. b; b AC 6 m. k ; k C, r t 8 m 3. k ; k A, r 5 m 4. D; D k k 5. C ; DC C C 6. l; l C,5 m 7. B; B l CC 8. ABC ) konstruke: d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Stránk 779

114 4. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: v 3 m; v 6 m; 70. ) rozbor: b) postup konstruke:. XBY ; XBY 70. p ; p BX p BX 6 m 3. C; C p BY 4. p ; p BC p BC 3 m 5. A; Ap BX 6. ABC ) konstruke: d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Stránk 780

115 5. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 6 m; r 4 m; 60. (r je poloměr kružnie opsné) ) rozbor: b) postup konstruke:. XBY ; XBY 70. p ; p BX p BX 6 m 3. C; C p BY 4. p ; p BC p BC 3 m 5. A; Ap BX 6. ABC ) konstruke: d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Stránk 78

116 6. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: b 6 m; v 4 m; t 5 m. ) rozbor: b) postup konstruke:. p. A; A p 3. q; q p pq 4 m 4. k; k A,6 m 5. C; C k q 6. ll ; C,5 m 7. C ; C p l 8. m; m C, r AC 9. B; B p m 0. ABC ) konstruke: d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Bod C nevyhovuje zdání. Stránk 78

117 7. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 60 ; 50 ; r m. (r je poloměr kružnie vepsné) ) rozbor: b) postup konstruke:. k; k S, m. T ; T k C C 3. p; p ST T p 4. T SX ; T SX C 5. T ; T k SX b b 6. q; q ST T q 7. A; Ap q 8. T SY ; T SY C 9. T ; T k SY 0. r; r ST T r. C; C p r. ABC b C C C b ) konstruke: d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Stránk 783

118 8. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 60 ; v =5 m; t 4 m. ) rozbor: b) postup konstruke:. XAY ; XAY 60. p; p AX p AX 5 m 3. C; C p AY 4. k; k A, r t 8m 5. D; D p k 6. S; AS SD 7. B; B AX CS 8. ABC ) konstruke: d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Bod D nevyhovuje zdání. Stránk 784

119 9. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 45 ; 75 ; 5 m. ) rozbor: b) postup konstruke:. XAY ; XAY 45. p; p AX p AX 5 m 3. C; C p AY 4. ACZ; ACZ B; B p CZ 6. ABC v ) konstruke: d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Bod D nevyhovuje zdání. Stránk 785

120 0. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 50 ; 6 m ; r m. (r je poloměr kružnie vepsné) ) rozbor: b) postup konstruke:. BC; BC 8 m. p; p BC p, BC m 3. BCX ; BCX S; S p CX 5. S ; BS S S 6. ; B, r BS 7. T ; T k 8. S ; BS S S 9. ; C, r CS 0. T ; T. C; C BT BT. ABC k ) konstruke: d) počet řešení: Úloh má řešení v dné polorovině. Stránk 786

121 3.0. Konstruke čtyřúhelníků Plnimetrie. Sestrojte čtyřúhelník ABCD, jestliže: 6 m, b 5 m, d 4 m, 0, 0. ) náčrt b) postup konstruke:. AB; AB 6 m. ABX ; ABX 0 3. k ; k B; 5 m 4. C; C BX k 5. k; k A; 4 m 6. G; G X ; AXC 0 7. D; DGk 8. čtyřúhelník ABCD ) konstruke: d) počet řešení: úloh má jedno řešení v dné polorovině Stránk 787

122 . Sestrojte čtyřúhelník ABCD, jestliže: 5 m, b 4 m, d 6 m, 60, 45. ) náčrt b) postup konstruke:. AB; AB 5 m. BAX ; BAX k ; k B; 4 m 4. k ; k A; 6 m 5. D; D AX k 6. G; G X ; BXD C; C G k 8. čtyřúhelník ABCD ) konstruke: d) počet řešení: úloh má jedno řešení v dné polorovině Stránk 788

123 3. Sestrojte čtyřúhelník ABCD, jestliže: 5 m, b 4 m, f 7 m, 0, 60. ) náčrt b) postup konstruke:. AB; AB 5 m. ABX ; ABX 0 3. k ; k B; 4 m 4. C; C BX k 5. k; k B; 7 m 6. G; G X ; AXC D; D G k 8. čtyřúhelník ABCD ) konstruke: d) počet řešení: úloh má dvě řešení v dné polorovině Stránk 789

124 4. Sestrojte čtyřúhelník ABCD, jestliže: 6 m, d 4 m, e 8 m, 60, 60. ) náčrt b) postup konstruke:. AB; AB 6 m. BAX ; BAX k ; k A; 4 m 4. D; D AX k 5. k; k B; 8 m 6. G; G X ; BXD C; C G k 8. čtyřúhelník ABCD ) konstruke: d) počet řešení: úloh má dvě řešení v dné polorovině Stránk 790

125 3.. Shodná podobná zobrzení v rovině. Jsou dány dvě kružnie k S, r,, k S r mezi nimi přímk p. Sestrojte všehny úsečky XY, které jsou kolmé n přímku p, přičemž přímk p prohází středem úsečky XY X k Y k. rozbor: užijeme osové souměrnosti (v osové souměrnosti podle přímky p se bod X zobrzí n bod Y) postup konstruke:. k ; k ; p. k ; O p : k / / 3. Y; Y k k / 4. X ; O p : Y X 5. XY k počet řešení: úloh má dvě řešení. Je dán kružnie k S, r, čtvere ABCD mezi nimi přímk p. Sestrojte všehny úsečky XY, které jsou kolmé n přímku p, přičemž přímk p prohází středem úsečky XY X k Y ABCD. rozbor: užijeme osové souměrnosti (v osové souměrnosti podle přímky p se bod X zobrzí n bod Y) Stránk 79

126 postup konstruke:. k; ABCD; p /. k ; O 3. Y; / Y k ABCD 4. X ; O p : Y X 5. XY p : k k počet řešení: úloh má dvě řešení / 3. Je dán obdélník ABCD bod M, který leží uvnitř obdélníku není jeho středem. Sestrojte všehny úsečky XY tk, by body X Y ležely n obvodu obdélníku bod M byl středem úsečky XY. rozbor: užijeme středové souměrnosti (ve středové souměrnosti podle bodu M se bod X zobrzí n bod Y) Stránk 79

127 postup konstruke:. ABCD; M. 3. Plnimetrie / / / / / / / / A B C D ; S M : ABCD A B C D / / / / X ; X A B C D ABCD 4. Y; S M : X Y 5. XY počet řešení: úloh má jedno řešení 4. Je dán trojúhelník ABC, přímk p, která neprotíná trojúhelník, bod O. Sestrojte všehny úsečky XY tk, by bod X ležel n trojúhelníku, bod Y n příme p bod O byl středem úsečky XY. rozbor: užijeme středové souměrnosti (ve středové souměrnosti podle bodu O se bod X zobrzí n bod Y) postup konstruke:. ABC; p; O. 3. Y; / / / / / / / / / Y A B C p 4. X ; S O : Y X 5. XY A B C ; S O : ABC počet řešení: úloh má dvě řešení 5. Je dán kružnie, 4 m A B C k S bod C, kde SC,5 m. Sestrojte všehny rovnostrnné trojúhelníky ABC tk, by A k B k. rozbor: užijeme otočení (v otočení podle bodu C o úhel 60 se bod A zobrzí n bod B) Stránk 793

128 postup konstruke:. k; C 3. A; A k k /. k ; R C; 60 : k k 4. B; R C; 60 : A B 5. ABC počet řešení: úloh má dvě řešení / 6. Jsou dány kružnie k S, 3 m,, m / k S, kde SS 6 m, bod C, kde SC 4 m. Sestrojte všehny rovnostrnné trojúhelníky ABC tk, by A k B k. rozbor: užijeme otočení (v otočení podle bodu C o úhel 60 se bod A zobrzí n bod B) postup konstruke:. k ; k ; C. k ; R C; 60 : k k / / 3. A; A k k / 4. B; R C; 60 : A B 5. ABC počet řešení: úloh má dvě řešení Stránk 794

129 7. Je dán kružnie, 4 m k S úsečk AB ležíí vně kružnie, kde AB,5 m. Sestrojte všehny úsečky XY, pro které pltí: X k, Y k, XY AB, XY AB. rozbor: užijeme posunutí (v posunutí o vektor AB se bod X zobrzí n bod Y) Stránk 795

130 postup konstruke:. k; AB. / / k ; T AB : k k 3. X ; X k k 4. Y; T BA : X Y 5. XY počet řešení: úloh má dvě řešení / 8. Je dán obdélník ABCD úsečk EF, kde EF 3 m. Sestrojte všehny úsečky XY, pro které pltí, že body X Y leží n obvodu obdélníku, XY EF, XY EF. rozbor: užijeme posunutí (v posunutí o vektor EF se bod X zobrzí n bod Y) postup konstruke:. ABCD; EF. A B C D ; T EF : ABCD / / / / / / / / 3. X ; X ABCD A B C D 4. Y; T FE : X Y 5. XY počet řešení: úloh má dvě řešení / / / / A B C D Stránk 796