METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

Transkript

1 METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázi zákldní vzdělávání Jroslv Švrček kolektiv Rámcový vzdělávcí progrm pro zákldní vzdělávání Vzdělávcí oblst: Mtemtik její plikce Temtický okruh: Nestndrdní plikční úlohy problémy Typ úloh: Grdovné úlohy

2 Obsh Metodický list

3 Grdovné úlohy Temtický okruh RVP ZV: Nestndrdní plikční úlohy problémy Klíčové pojmy: výrzy s proměnnou, obsh zákldních rovinných útvrů Metodické poznámky Uvedená série úloh vychází z práce s jednoduchým modelem geometrických útvrů, který si žáci mohou sndno rychle vyrobit. Přestože úlohy 4 se djí řešit pouze lgebricky, využití modelu lze jednoznčně doporučit. Výrob modelu je popsán v úloze 1. Kromě níže uvedených tří úloh lze n zákldě vyrobeného modelu formulovt i dlší obdobné úlohy nebo model využít jko podnět k smosttné žákovské tvorbě úloh. Úloh 1 (úroveň 0) Předpokládné znlosti: motivční úloh, pomůcky dv listy měkčího krtónového ppíru (si 160 g/m ) formátu A4, nejlépe ve dvou různých brvách, nůžky Vyrob krtónový model, který se skládá ze čtyř částí: jeden výchozí obdélník formátu A4, dv shodné rovnormenné prvoúhlé trojúhelníky s odvěsnmi shodnými s krtší strnou výchozího obdélníku, jeden obdélník, jehož delší strn je shodná s krtší strnou výchozího obdélníku jehož krtší strn je rozdílem delší krtší strny výchozího obdélníku. Použijeme dv listy formátu A4. Jeden list bude předstvovt velký (výchozí) obdélník. Druhý list rozdělíme nejprve n čtverec se strnou shodnou s krtší strnou ppíru mlý obdélník, čtverec pk po úhlopříčce rozdělíme n dv shodné rovnormenné prvoúhlé trojúhelníky. Nejvhodnější je měkký krtónový ppír, který mohou žáci celkem sndno ohýbt, jk jsou zvyklí npříkld ze skládání lodiček: krtší strnu ppíru přehneme k delší, zrýhneme podle nznčených přerušovných čr rozstřihneme n tři díly. 3

4 Metodické poznámky Po vytvoření modelu je vhodné poskytnout žákům prostor k smosttné mnipulci s modelem k objevení některých vlstností modelovných útvrů. Úloh (úroveň 1) Předpokládné znlosti: Pythgorov vět, úprv výrzů s proměnnou Oznčme délku strny čtverce. Urči délku u úhlopříčky tohoto čtverce. Úhlopříčk čtverce je zároveň přeponou v rovnormenném prvoúhlém trojúhelníku s odvěsnmi délek, proto využijeme Pythgorovu větu u = +, u =, u = = =. Metodické poznámky úlohy je zloženo n využití Pythgorovy věty n jednoduchých úprvách lgebrických výrzů. N modelu je možno demonstrovt rozložení čtverce n dv shodné rovnormenné prvoúhlé trojúhelníky. Úloh 3 (úroveň ) Předpokládné znlosti: Pythgorov vět, obsh obdélníku, obsh trojúhelníku Do obdélníku velikosti ppíru A4 umísti rovnormenný prvoúhlý trojúhelník s odvěsnmi shodnými s krtší strnou obdélníku tk, by právě dv vrcholy trojúhelníku splynuly s některými vrcholy velkého obdélníku. Kolik je možností různých umístění? Urči pro kždé umístění obsh té části obdélníku, která není překryt trojúhelníkem. Oznčme krtší strnu obdélníku. Zdání vyhovují dv typy umístění. V obou přípdech je obsh nezkryté části obdélníku roven rozdílu obshu obdélníku obshu trojúhelníku, tedy S = S 1 S = 4 = ( ) 1.

5 Metodické poznámky Úloh má především poskytnout žákům prostor k řízené smosttné mnipulci s modelem. Nbízí se diskuze o chápání pojmu různá umístění, n němž závisí počet řešení úlohy. V jednom z možných umístění splývá přepon trojúhelníku s delší strnou obdélníku, čímž žáci experimentálně objeví zjímvou prktickou skutečnost, kterou využijí při řešení dlší úlohy: poměr délek strn ppíru A4 je 1:. Úloh 4 (úroveň 3) Předpokládné znlosti: Pythgorov vět, obsh trojúhelníku, obsh rovnoběžníku Do obdélníku s rozměry, jsou vepsány dv shodné rovnormenné prvoúhlé trojúhelníky s odvěsnmi délky tk, že vrcholy prvých úhlů těchto trojúhelníků jsou umístěny ve dvou protějších vrcholech dného obdélníku. Urči vzdálenost v přepon těchto prvoúhlých trojúhelníků. Při umístění trojúhelníků do obdélníku podle zdání vznikne rovnoběžník, jehož jedn strn má délku, druhá strn. Hledná vzdálenost v je pk délkou výšky n strnu v dném rovnoběžníku. v 5

6 Obsh tohoto rovnoběžníku je roven součinu délky strny rovnoběžníku výšky v n tuto strnu, tedy S = v. Zároveň je tento obsh roven rozdílu obshu velkého obdélníku obshů dvou rovnormenných prvoúhlých trojúhelníků, tedy S = S 1 S = = ( 1 ). Z uvedených dvou vyjádření obshu téhož rovnoběžníku tk dostáváme ( ) v = 1, 0, ( ) v = 1, v = v = ( 1 ), ( ) 1 = ( ). Metodické poznámky úlohy 4 je zloženo n obdobném principu jko řešení úlohy 3, vyžduje všk náročnější mnipulci s geometrickými objekty využití více řešitelských kroků. V řešení úlohy je využit vzth pro obsh rovnoběžníku, zároveň je všk možno tento vzth n zákldě popsné konfigurce objektů modelu i odvodit: obsh dného rovnoběžníku je rozdílem obshu velkého obdélníku obshů dvou trojúhelníků, tedy je stejný jko obsh obdélníku o strnách,, přičemž tyto dvě hodnoty chrkterizují právě krtší strnu rovnoběžníku výšku n tuto strnu. Zdroj: Růžičková, L.: Užití podnětných úloh ve výuce mtemtiky, Prh: PedF UK, 01. Obrzový mteriál: dílo utor uprvil Pvel Clábek Autor: PhDr. Lucie Růžičková; lucie ruzickov@seznm.cz 6