5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):"

Transkript

1 5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit trojúhelníková nerovnost: + = 9,8 m + > + = 11,8 m + > + = 13,2 m + > Trojúhelník lze nrýsovt. = 7,6 m = 5,6 m = 4,2 m ) konstruke: k C l postup: 1. AB ; AB 7,6 m 2. k ; ka (, 5,6 m) 3. l ; lb (, 4,2 m) 4. C ; C k l 5. trojúhelník ABC A B ) Ověření diskuse: Trojúhelník vyhovuje zdání v polorovině je právě 1 řešení

2 2. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: = AB = 3,2 m, = BC = 4,6 m, = AC = 3,9 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit trojúhelníková nerovnost: + = 8,5 m + = 7,8 m + = 7,1 m Trojúhelník lze nrýsovt. + > + > + > ) konstruke: k C l postup: 1. AB ; AB 3,2 m 2. k ; ka (, 3,9 m) 3. l ; lb (, 4,6 m) 4. C ; C k l 5. trojúhelník ABC A B ) Ověření diskuse: Trojúhelník vyhovuje zdání v polorovině je právě 1 řešení

3 3. Nrýsuj trojúhelník KLM, je-li dáno: m = KL = 7,5 m, k = LM = 6,1 m, l = KM = 2,5 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit trojúhelníková nerovnost: k + l = 8,6 m k + m = 13,6 m l + m =10,0 Trojúhelník lze nrýsovt. k+ l> m k+ m> l l+ m> k ) konstruke: k M l postup: 1. KL; KL 7,5 m 2. k ; kk (, 2,5 m) 3. l ; ll (, 6,1 m) 4. M; M k l 5. trojúhelník KLM K L ) Ověření diskuse: Trojúhelník vyhovuje zdání v polorovině je právě 1 řešení

4 4. Nrýsuj trojúhelník KLM, je-li dáno: m = KL = 5,5 m, k = LM = 6,1 m, l = KM = 3,5 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit trojúhelníková nerovnost: k + l = 9,6 m k + m = 11,6 m l + m = 9,0 Trojúhelník lze nrýsovt. k+ l> m k+ m> l l+ m> k ) konstruke: k M l postup: 1. KL; KL 5,5 m 2. k ; kk (, 3,5 m) 3. l ; ll (, 6,1 m) 4. M; M k l 5. trojúhelník KLM K L ) Ověření diskuse: Trojúhelník vyhovuje zdání v polorovině je právě 1 řešení

5 5. Nrýsuj trojúhelník KLM, je-li dáno: m = KL = 2,1 m, k = LM = 3,0 m, l = KM = 4,8 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit trojúhelníková nerovnost: k + l = 7,8 m k + m = 5,1 m l + m = 6,9 Trojúhelník lze nrýsovt. k+ l> m k+ m> l l+ m> k ) konstruke: k M postup: 1. KL; KL 2,1 m 2. k ; kk (, 4,8 m) 3. l ; ll (, 3 m) 4. M; M k l 5. trojúhelník KLM l K L ) Ověření diskuse: Trojúhelník vyhovuje zdání v polorovině je právě 1 řešení

6 6. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 9,9 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit trojúhelníková nerovnost: + = 9,8 m + > NEPLATÍ + = 14,1 m + > + =15,5 m + > Trojúhelník NELZE nrýsovt

7 7. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, 35 Řešení: Vrhol C leží n polopříme BX n kružnii k (B, 4,2 m). ) konstruke: C k X postup: 1. AB ; AB 7,6 m 2. k; k( B, 4,2 m) 3.; ABX ; ABX C; C k BX 5. trojúhelník ABC A B ) Ověření diskuse: Polopřímk BX má s kružnií k právě 1 společný od, proto má úloh v polorovině právě 1 řešení, které vyhovuje zdání úlohy. (Je to podle věty sus.) - 7 -

8 8. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 4,5 m, AC = 4,2 m, 84 Řešení: Vrhol C leží n polopříme AX n kružnii k (A, 4,2 m). ) konstruke: X C k postup: 1. AB ; AB 4,5 m 2. k; k( A, 4,2 m) 3.; BAX ; BAX C; C k AX 5. trojúhelník ABC A B ) Ověření diskuse: Polopřímk AX má s kružnií k právě 1 společný od, proto má úloh v polorovině právě 1 řešení, které vyhovuje zdání úlohy. (Je to podle věty sus.) - 8 -

9 9. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AC = 5,3 m, BC = 4,1 m, 111 Řešení: Vrhol B leží n polopříme CX n kružnii k (C, 4,1 m). ) konstruke: C X B postup: 1. AC; AC 5,3 m 2. k; k( C, 4,1 m) 3.; ACX ; ACX B; Bk CX 5. trojúhelník ABC A k ) Ověření diskuse: Polopřímk CX má s kružnií k právě 1 společný od, proto má úloh v polorovině právě 1 řešení, které vyhovuje zdání úlohy. (Je to podle věty sus.) - 9 -

10 10. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, 37, 58 Vrhol B leží n polopříme CX n kružnii k (C, 4,1 m). Pro velikosti úhlů musí pltit, že velikost součtu dvou úhlů je menší než Trojúhelník lze nrýsovt. ) konstruke: X C Y postup: 1. AB; AB 7,6 m 2. BAX ; BAX ABY ; ABY C; C AX BY 5. trojúhelník ABC A B ) Ověření diskuse: Polopřímky se protínjí právě v jednom odě. Proto má úloh právě jedno řešení, které vyhovuje zdání úlohy. (Je to podle věty usu)

11 11. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 8,4 m, 112, 15 Řešení: Pro velikosti úhlů musí pltit, že velikost součtu dvou úhlů je menší než Trojúhelník lze nrýsovt. ) konstruke: X C Y postup: 1. AB; AB 8,4 m 2. BAX ; BAX ABY; ABY C; C AX BY 5. trojúhelník ABC A B ) Ověření diskuse: Polopřímky se protínjí právě v jednom odě. Proto má úloh právě jedno řešení, které vyhovuje zdání úlohy. (Je to podle věty usu)

12 12. Sestroj trojúhelník ABC, je-li Řešení: AB AC 0 5 m, 4,6 m, 58. Vrhol C leží: n ka (, 4,6 m) BX n ) konstruke: k C X postup: 1. AB ; AB 5 m 2. ABX ; 0 ABX k ; ka (, 4,6 m) 4. C ; C k BX 5. trojúhelník ABC C A B ) Ověření diskuse: Polopřímk BX má s kružnií k právě 2 společné ody, proto má úloh v polorovině právě 2 řešení: ABC, ABC '. O trojúhelníky vyhovují zdání úlohy. (Je to podle věty ssu.)

13 Konstruke s využitím dlšíh prvků: Příkldy jsou dány oeně. 1. trojúhelník ABC,, v ) : Řešení: ( C leží n: p ve vzdálenosti v AX, XAB ) konstruke (oeně pouze postup, konkrétní příkldy viz níže): postup: 1. AB ; AB 2. XAB; XAB 3. p; p p, vc 4. C ; C p AX 5. trojúhelník ABC ) Diskuse ověření: Polopřímk AX protíná přímku p právě v jednom odě, úloh má v polorovině právě 1 řešení

14 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 3,8 m, v = 3 m, α = 100 o. C leží n: p ve vzdálenosti v AX, XAB ) konstruke: X C p postup: 1. AB; AB 3,8 m 2. XAB; XAB p; p p, 3 m 4. C; C AX p 5. ABC A B ) Diskuse ověření: Polopřímk AX protíná přímku p právě v jednom odě, úloh má v polorovině právě 1 řešení

15 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: α = 87, = 3 m, v = 2,7 m. Řešení: C leží n: p ve vzdálenosti v AX, XAB ) konstruke X C p postup: 1. AB; AB 3 m 2. XAB; XAB p; p p, 2,7 m 4. C; C AX p 5. ABC A B ) Diskuse ověření: Polopřímk AX protíná přímku p právě v jednom odě, úloh má v polorovině právě 1 řešení

16 2. trojúhelník ABC,, t ) : Řešení: ( C leží n: AX, XAB k ; k( C0, t ), C0 je střed strny AB ) konstruke (oeně pouze postup, konkrétní příkldy viz níže): postup: 1. AB ; AB 2. XAB; XAB 3. C 0 ; C0 AB, C0 A C0B 4. k ; k ( C0, t ) 5. C ; C AX k 6. trojúhelník ABC ) Diskuse ověření: Oeně kružnie přímk mjí 0, 1 neo 2 společné ody. Pokud k neprotíná AX, není žádné řešení, dotýká-li se AX, je právě 1 řešení protíná-li k AX, jsou právě 2 řešení v polorovině

17 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 3,8 m, t = 2,7 m, α = 52. Řešení: C leží n: AX, XAB k ; k( C0, t ), C0 je střed strny AB ) konstruke: C postup: 1. AB; AB 3,8 m A X C 0 B k 2. XAB; XAB C0; C0 AB AC0 BC0 4. k; k( C 0, 2,7 m) 5. C; C AX k 6. ABC ) Diskuse ověření: Kružnie k polopřímk jeden trojúhelník. AX má právě 1 společný od. Správným řešením je právě

18 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 5 m, t = 3,4 m, α = 110. Řešení: C leží n: AX, XAB k ; k( C0, t ), C0 je střed strny AB ) konstruke: postup: 1. AB; AB 5 m C X A C 0 B k 2. XAB; XAB 110 C ; C AB AC BC k; k( C 0, 3,4 m) 5. C; C AX k 6. ABC ) Diskuse ověření: Kružnie k polopřímk jeden trojúhelník. AX má právě 1 společný od. Správným řešením je právě

19 3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 4,2 m, α = 75, t = 4,3 m. Řešení: C leží n: AX, XAB k ; k( C0, t ), C0 je střed strny AB ) konstruke: C k postup: 1. AB; AB 4,2 m 2. XAB; XAB 75 C ; C AB AC BC k; k( C 0, 4,3 m) 5. C; C AX k 6. ABC X A C 0 B ) Diskuse ověření: Kružnie k polopřímk jeden trojúhelník. AX má právě 1 společný od. Správným řešením je právě

20 4.Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 4,2 m, α = 75, t = 4,3 m. Řešení: C leží n: AX, AX AB0 AB CB 0 0 K sestrojení je nutné využít středovou souměrnost se středem v odě B 0, která od A zorzí jko od C. ) konstruke: X B 0 C k postup: 1. AB; AB 4,2 m 2. XAB; XAB k; k( B, 4,3 m) 4. B0; B0 AX k 5. C; S : A C B0 6. ABC A B ) Diskuse ověření: Kružnie k polopřímk jeden trojúhelník. AX má právě 1 společný od. Správným řešením je právě

21 3. trojúhelník ABC(, v, t ) : Řešení: C leží n: p //, p, v k ; k( C0, t ), C0 je střed strny ) konstruke (oeně pouze postup, konkrétní příkldy viz níže): postup: 1. AB ; AB 2. p ; p, v 3. C 0 ; C0 AB, C0 A C0B 4. k ; k ( C0, t ) 5. C ; C p k 6. trojúhelník ABC ) Diskuse ověření: Oeně kružnie přímk mjí 0, 1 neo 2 společné ody. Pokud t < v, není žádní řešení (kružnie přímk se neprotnou), když t = v, je v polorovině právě 1 řešení (kružnie se přímky dotýká) pokud t > v, jsou v polorovině právě 2 řešení (kružnie přímk se protínjí ve dvou odeh.)

22 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 5 m, t = 3,4 m, v = 3 m. Řešení: C leží n: p //, p, k ; k( C0, t ), C0 je střed strny v ) konstruke: k C C p postup: 1. AB; AB 5 m 2. p; p p, 3 m C ; C AB AC BC k; k( C 0, 3,4 m) 5. C; C p k 6. ABC A C 0 B ) Diskuse ověření: Kružnie přímk mjí 2 společné ody. V polorovině jsou právě 2 řešení

23 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 4,5 m, v = 2,5 m, t = 3 m. Řešení: C leží n: p //, p, v k ; k( C0, t ), C0 je střed strny ) konstruke: A k C C C 0 B p postup: 1. AB; AB 4,5 m 2. p; p p, 2,5 m C ; C AB AC BC k; k( C 0, 3 m) 5. C; C p k 6. ABC ) Diskuse ověření: Kružnie přímk mjí 2 společné ody. V polorovině jsou právě 2 řešení

24 3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 3,6 m, v = 3,3 m, t = 6 m. Řešení: C leží n: BA1, kde A 1 je pt kolmie, A1 BC, (tzn. v AA1 ) k ; k( C0, t ), C0 je střed strny Bod A 1 leží n Thletově kružnii nd strnou AB. ) konstruke: C k postup: 1. AB; AB 4,5 m C ; C AB AC BC l A 1 t t; t( C, r C A) l; l( A, 3,3 m) 5. A1; A1t l 6. k; k( C 0, 6 m) 7. C; C BA1 k 8. ABC A C 0 B ) Diskuse ověření: Kružnie l kružnie t mjí právě 1 společný od A 1. Polopřímk BA 1 kružnie k mjí právě 1 společný od. V polorovině je právě 1 trojúhelník, který splňuje zdání úlohy

25 4. trojúhelník ABC, v, v ) : Řešení: ( C leží n: BA1, A1 je pt v p // ve vzdálenosti v ) konstruke (oeně pouze postup, konkrétní příkldy viz níže): postup: 1. AB; AB 2. p; p p, v C ; C AB C A C B ttc ; ( 0, ) 2 5. k; k( A, v ) 6. A1; A1t k 7. C; C p BA1 8. ABC ) Diskuse ověření: Dvě kružnie k h mohou mít dv ( v < ), jeden ( v = prvoúhlý), neo žádný společný od A 1 ( v > ). A1 B, trojúhelník je

26 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 4,5 m, v = 3,4 m, v = 4 m. Řešení: B leží n: CA1, A1 je pt v p // ve vzdálenosti v ) konstruke: C postup: 1. AC; AC 4,5 m k t 2. p; p p, 4 m B ; B AC B A B C A B 0 A 1 B p t; t( B, r B A) k; k( A, 3,4 m) 6. A1; A1t k 7. B; B CA1 p 8. ABC ) Diskuse ověření: Dvě kružnie k t mjí v polorovině 1 společný od A 1. Polopřímk CA 1 přímk p mjí 1 společný od B. Řešením je právě jeden trojúhelník v polorovině

27 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 5,2 m, v = 4,1 m, v = 3,8 m. Řešení: C leží n: BA1, A1 je pt v p // ve vzdálenosti v ) konstruke: k C p postup: 1. AB; AB 5,2 m 2. p; p p, 4,1 m C ; C AB C A C B A C 0 A 1 t B t; t( C, C A ) k; k( A, 3,8 m) 6. A1; A1t k 7. C; C p BA1 8. ABC ) Diskuse ověření: Dvě kružnie k t mjí v polorovině 1 společný od A 1. Polopřímk BA 1 přímk p mjí 1 společný od C. Řešením je právě jeden trojúhelník v polorovině

28 3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 6,3 m, v = 4,6 m, v = 5,4 m. Řešení: C leží n: BA1, A1 je pt v p // ve vzdálenosti v ) konstruke: k C p postup: 1. AB; AB 6,3 m 2. p; p p, 4,6 m C ; C AB C A C B A 1 t t; t( C, C A ) k; k( A, 5,4 m) 6. A1; A1t k 7. C; C p BA1 8. ABC A C 0 B ) Diskuse ověření: Dvě kružnie k t mjí v polorovině 1 společný od A 1. Polopřímk BA 1 přímk p mjí 1 společný od C. Řešením je právě jeden trojúhelník v polorovině

29 5. trojúhelník ABC, t, v ) Řešení: ( Doplníme n rovnoěžník ABDC : D leží n: p // k ( A,2. t ) Neo využijeme vlstnosti, že střední příčk spojuje středy strn ( půlí příslušnou výšku n 2 shodné části): C leží n: BA1, A1 je pt v, l ( A, t ) ) konstruke (oeně pouze postup, konkrétní příkldy viz níže): postup: jsou 2 různé 1. AB; AB 2. p; p p, v 3. k; k( A,2 t ) 4. D; Dk p A ; A AD A A A D C; C BA1 p 7. ABC 1. AB ; AB 2. n ; n, 3. l ; l A, t ) ( v 2 4. A 1 ; A1 k n, BA1 5.C ; S( A 1 ) : B C 6. ABC ) Diskuse ověření: Kružnie přímk mjí dv, jeden neo žádný společný od. Jestliže je 2.t > v, kružnie k protíná přímku p ve dvou odeh jsou v polorovině právě 2 řešení, když 2.t = v, kružnie k se dotýká přímky p je právě 1 řešení když 2.t < v, kružnie k neprotíná přímku p není žádné řešení

30 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 5 m, v = 4 m, t = 3,5 m Řešení: Doplníme n rovnoěžník ABDC : D leží n: p // k A,2. t ) ( ) konstruke: postup: 1. AB; AB 5 m C l p D k 2. p; p p, 4 m 3. k; k( A, 7 m) 4. D; Dk p 5. l; l( D, 5 m) 6. C; C l p 8. ABC A B ) Diskuse ověření: Kružnie k přímk p mjí dv společné ody. Dostáváme 2 řešení v polorovině

31 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 4,2 m, v = 4,3 m, t = 4,7 m Řešení: Doplníme n rovnoěžník ABDC : D leží n: p // k A,2. t ) ( ) konstruke: p C l k D postup: 1. AB; AB 4,2 m 2. p; p p, 4,3 m 3. k; k( A, 9,4 m) 4. D; Dk p 5. l; l( D, 4,2 m) 6. C; C l p 8. ABC A B ) Diskuse ověření: Kružnie k přímk p mjí dv společné ody. Dostáváme 2 řešení v polorovině

32 3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 3,8 m, v = 3,8 m, t = 1,7 m Řešení: Doplníme n rovnoěžník ABDC : D leží n: p k A,2. t ) ( ) konstruke: A p k B postup: 1. AB; AB 3,8 m 2. p; p p, 3,8 m 3. k; k( A, 3,4 m) 4. D; Dk p 5. l; l( D, 3,8 m) 6. C; C l p 8. ABC ) Diskuse ověření: Kružnie k přímk p nemjí společný od. Tto úloh nemá řešení

33 6. trojúhelník ABC, v, v ) Řešení: ( Bod C leží n: AB1 BA 1 ) konstruke (oeně pouze postup, konkrétní příkldy viz níže): postup: 1. AB; AB C ; C AB C A C B t; t( C, r C B ) k; k( A, v ) 5. A1; A1k t 6. l; l( B, v ) 7. B1; B1l t C; C BA AB 9. ABC ) Diskuse ověření: Jestliže délky výšek udou větší než délk strny, neude mít úloh žádné řešení. Kružnie se neprotnou. Jestliže délky oou výšek udou rovny déle strny, oě pty y yly ve vrholeh A B neude žádné řešení. Jestliže délk jedné výšky ude rovn délk druhé ude menší než, ude v polorovině právě jedno řešení. Jestliže délky oou výšek ude menší než délk, udou v polorovině právě 2 řešení

34 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 3,6 m, v = 3,3 m, v = 2,8 m Řešení: Bod C leží n: AB1 BA 1 ) konstruke: C postup: 1. AB; AB 3,6 m A t B 1 k C 0 A 1 B l C ; C AB C A C B t; t( C, r C B ) k; k( A, 3,6 m) 5. A1; A1k t 6. l; l( B, 2,8 m) 7. B1; B1l t C; C BA AB 8. ABC ) Diskuse ověření: Jestliže délk jedné výšky ude rovn délk druhé ude menší než, ude v polorovině právě jedno řešení

35 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 7,2 m, v = 6,3 m, v = 5,8 m. Řešení: Bod C leží n: AB1 BA 1 ) konstruke: k C l postup: 1. AB; AB 7,2 m C ; C AB C A C B t B 1 A 1 t; t( C, r C B ) k; k( A, 6,3 m) 5. A1; A1k t 6. l; l( B, 5,8 m) 7. B1; B1l t C; C BA AB 8. ABC A ) Diskuse ověření: C 0 B Jestliže délky oou výšek ude menší než délk, udou v polorovině právě 2 řešení

36 3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 5 m, v = 4,5 m, v = 3,8 m Řešení: Bod C leží n: AB1 BA 1 ) konstruke: k C l postup: 1. AB; AB 5 m C ; C AB C A C B A t B 1 C 0 A 1 B t; t( C, r C B ) k; k( A, 4,5 m) 5. A1; A1k t 6. l; l( B, 3,8 m) 7. B1; B1l t C; C BA AB 8. ABC ) Diskuse ověření: Jestliže délky oou výšek ude menší než délk, udou v polorovině právě 2 řešení

37 7. trojúhelník ABC(, v, t ) Vrhol C leží n: BA1 l ( C0, t ) ) konstruke: postup: 1. AB; AB C ; C AB AC BC t; t( C, r AC ) k; k( A, v ) 5. A1; A1t k 6. l; l( C0, t ) 7. C; C l BA1 8. ABC ) Diskuse ověření: Jestliže v >, úloh nemá řešení. Jestliže v =, ude trojúhelník prvoúhlý v rovině ude právě 1 řešení. Jestliže v <, udou mít kružnie h k 2 společné ody v rovině udou právě 2 řešení

38 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 5 m, v = 3,5 m, t = 3 m Řešení: Vrhol C leží n: BA1 l C, t ) ( 0 ) konstruke: postup: 1. AB; AB 5 m C ; C AB AC BC t; t( C, r AC ) k; k( A,3,5 m) 5. A1; A1t k 6. llc ; ( 0,3 m) 7. C; C l BA1 8. ABC A k C A 1 C 0 t B l ) Diskuse ověření: Kružnie t k mjí v polorovině právě 1 společný od. Vznikne právě jedn polopřímk BA 1 t se protne s kružnií l právě v 1 odě. Řešením je právě 1 trojúhelník ABC

39 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 7,4 m, v = 2,8 m, t = 3,4 m Řešení: Vrhol C leží n: BA1 l C, t ) ( 0 ) konstruke: postup: 1. AB; AB 7,4 m C ; C AB AC BC t; t( C, r AC ) k; k( A,2,8 m) 5. A1; A1t k 6. llc ; ( 0,3,4 m) 7. C; C l BA1 8. ABC A k A 1 C C 0 t l B ) Diskuse ověření: Kružnie t k mjí v polorovině právě 1 společný od. Vznikne právě jedn polopřímk BA 1 t se protne s kružnií l právě v 1 odě. Řešením je právě 1 trojúhelník ABC

40 3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 4,2 m, v = 4,3 m, t = 4,2 m Řešení: Vrhol C leží n: BA1 l C, t ) ( 0 ) konstruke: postup: 1. AB; AB 4,2 m k C ; C AB AC BC t; t( C, r AC ) k; k( A,4,3 m) 5. A1; A1t k 6. llc ; ( 0,4,2 m) 7. C; C l BA1 8. ABC A C 0 t B l ) Diskuse ověření: Kružnie t k nemjí v polorovině společný od. Zdná úloh nemá řešení

41 8. Sestrojte trojúhelník ABC, t, t ) ( Těžiště T získáme podle věty sss Pltí: 2TB0 TB Vrhol C leží n: BA0 S( A0 ) : B C ) konstruke: postup: 1. AB; AB 2. 2 k; k( A, r t ) l; l( B, r t ) 3 4. T; T k l 5. A0 ; A0 AT AA0 t 6. C; S( A0 ) : B C 7. ABC ) Diskuse ověření: Jestliže trojúhelník ABT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení

42 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 5 m, t = 4,5 m, t = 3,6 m Těžiště T získáme podle věty sss Pltí: 2TB0 TB Vrhol C leží n: BA0 S( A0 ) : B C ) konstruke: postup: 1. AB; AB 5 m 2 2. k; k( A, r t 3 m) l; l( B, r t 2,4 m) 3 4. T; T k l A ; A AT AA t 4,5 m B ; B BT BB t 3,6 m k B 0 T C A0 l C; C AB BA 8. ABC A B ) Diskuse ověření: Jestliže trojúhelník ABT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení

43 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 6,2 m, t = 4,2 m, t = 4,8 m Řešení: Těžiště T získáme podle věty sss Pltí: 2TB0 TB Vrhol C leží n: BA0 S( A0 ) : B C ) konstruke: postup: 1. AB; AB 6,2 m 2 2. k; k( A, r t 2,8 m) l; l( B, r t 3,2 m) 3 4. T; T k l A ; A AT AA t 4,2 m B ; B BT BB t 4,8 m C; C AB BA 8. ABC ) Diskuse ověření: A k B l Trojúhelník ABT NELZE sestrojit podle trojúhelníkové nerovnosti: 2,8 + 3,2 = 6,0 6,0 < 6,2 (součet dvou strn trojúhelníku musí ýt větší než strn třetí). Trojúhelník ABC nemá řešení

44 3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 7 m, t = 6,9 m, t = 8,1 m Řešení: Těžiště T získáme podle věty sss Pltí: 2TB0 TB Vrhol C leží n: BA0 S( A0 ) : B C ) konstruke: postup: 1. AB; AB 7 m 2 2. k; k( A, r t 4,6 m) l; l( B, r t 5,4 m) 3 4. T; T k l 5. A0 ; A0 AT AA0 t 6,9 m 6. B0 ; B0 BT BB0 t 8,1 m 7. C; C AB0 BA0 8. ABC k B 0 C T A 0 l A B ) Diskuse ověření: Jestliže trojúhelník ABT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení

45 9. Sestrojte trojúhelník ABC (, t, t ) Těžiště T získáme podle věty sss. Vrhol C leží n: l ( C0, t ) ) konstruke: postup: 1. AB; AB C 0 T C ; C AB AC BC k; k( A, r t ) l; l( C0, r t ) 5. T; T k l 3 6. C; C C0T CC0 t 7. ABC ) Diskuse ověření: Jestliže trojúhelník ABT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení

46 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 5 m, t = 4,5 m, t = 3,6 m Těžiště T získáme podle věty sss. Vrhol C leží n: C 0 T l ( C0, t ) ) konstruke: postup: 1. AB; AB 5 m C ; C AB AC BC k; k( A, r t 3 m) l; l( C0, r t 1,2 m) 5. T; T k l 3 C; C C T CC t 3,6 m ABC ) Diskuse ověření: Jestliže trojúhelník ABT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení. A C 0 T C B 3,01 m 1,21 m 3,61 m

47 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 7,2 m, t = 6,9 m, t = 6,3 m Řešení: Těžiště T získáme podle věty sss. Vrhol C leží n: T l ( C0, t ) C 0 ) konstruke: postup: 1. AB; AB 7,2 m C ; C AB AC BC k; k( A, r t 4,6 m) l; l( C0, r t 2,1 m) 5. T; T k l 3 C; C C T CC t 6,3 m ABC T C A C 0 B ) Diskuse ověření: Jestliže trojúhelník ABT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení ,63 m 2,11 m 6,31 m

48 3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 6,3 m, t = 5,1 m, t = 5,7 m Řešení: Těžiště T získáme podle věty sss. Vrhol C leží n: T l ( C0, t ) C 0 ) konstruke: postup: 1. AB; AB 6,3 m C C ; C AB AC BC k; k( A, r t 3,4 m) l; l( C0, r t 1,9 m) 5. T; T k l 3 C; C C T CC t 5,7 m ABC k T l ) Diskuse ověření: Jestliže trojúhelník ABT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení. A C 0 B 3,40 m- 48-1,91 m 5,71 m

49 10. Sestrojte trojúhelník ABC ( t, t, t ) Budeme řešit pomoí pomoného trojúhelníku ADT (podle věty sss): AT t, AD t, TD t ) konstruke: postup: AT; AT 2 t 3 2 k; k( A, r t ) l; l( T, r t ) 3 4. D; Dk l 5. C; S( T) : D C C ; C DT DC TC B; S( C0) : A B 8. ABC ) Diskuse ověření: Jestliže trojúhelník ADT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení

50 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: t = 3 m, t = 4,5 m, t = 6 m Budeme řešit pomoí pomoného trojúhelníku ADT (podle věty sss): AT t, AD t, TD t ) konstruke: postup: 2 1. AT; AT t 2 m k; k( A, r t 3 m) l; l( T, r t 4 m) 3 4. D; Dk l 5. C; S( T) : D C C ; C DT DC TC B; S( C0) : A B 8. ABC A C 0 T C B ) Diskuse ověření: Jestliže trojúhelník ADT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení. D 3,02 m 1,99 m

51 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: t = 6,3 m, t = 5,1 m, t = 5,7 m Řešení: Budeme řešit pomoí pomoného trojúhelníku ADT (podle věty sss): AT t, AD t, TD t ) konstruke: postup: 2 1. AT; AT t 4,2 m k; k( A, r t 3,4 m) l; l( T, r t 3,8 m) 3 4. D; Dk l 5. C; S( T) : D C C ; C DT DC TC B; S( C0) : A B 8. ABC A T B ) Diskuse ověření: Jestliže trojúhelník ADT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení. k l 3,40 m 4,17 m

52 3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: t = 6,9 m, t = 8,1 m, t = 3,3 m Řešení: Budeme řešit pomoí pomoného trojúhelníku ADT (podle věty sss): AT t, AD t, TD t ) konstruke: postup: 2 1. AT; AT t 4,6 m k; k( A, r t 5,4 m) l; l( T, r t 2,2 m) 3 4. D; Dk l 5. C; S( T) : D C C ; C DT DC TC A T k l B 7. B; S( C0) : A B 8. ABC ) Diskuse ověření: Jestliže trojúhelník ADT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení. 5,42 m 4,58 m 2,23 m

53 11. Sestrojte trojúhelník ABC( 6 m, v 4,5 m, 60 ) Řešení: Tuto úlohu můžeme řešit pomoí posunutí neo pomoí úsekového úhlu. Hledáme množinu vrholů úhlu 0 o velikosti 60, pod kterou vidíme dnou úsečku AB. Vrhol C leží n: AB1 n příslušném olouku k ( S, SA) Jinou možností je využití množiny odů dné vlstnosti. Konstruki trojúhelníku zčínáme sestrojením úhlu γ. ) konstruke: Postup 1: 1. XAY; XAY p; p CX ; Xp 4,5 m C 3. B; B p CY 4. k; k ; 6 m 5. A; A k CX 6. ABC X Y B p k A ) Diskuse ověření: Průnikem polopřímky přímky p je právě jeden od B. Kružnie k polopřímk CX má právě jeden společný od A. Řešením úlohy je právě jeden trojúhelník ABC

54 Postup 2 (úsekový úhel): 1. AB; AB 6 m C ; C AB AC BC oab; C0 oab oab AB 4. BAX ; BAX 60 (úsekový úhel) 5. XAY ; XAY S; S oab AY 7. k; k( S, SA ) k o AB B 1 Y S C t l 8. t; t( C0, C0A 3 m) 9. l; l( B,4,5 m) 10. B1; B1t l 11. C; C AB1 k 12. ABC ) Diskuse ověření: A X C 0 B V polorovině ABY existuje právě jeden střed S. Polopřímk 1 AB protíná olouk kružnie k v jediném odě C. V polorovině je právě 1 řešení

55 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 5 m, v = 4,5 m, γ = 50 Řešení: Tuto úlohu můžeme řešit pomoí úsekového úhlu. Hledáme množinu vrholů úhlu 0 o velikosti 60, pod kterou vidíme dnou úsečku AB. Vrhol C leží n: AB1 n příslušném olouku k ( S, SA) ) konstruke: postup 1: 1. XCY; XCY p, p CX p, C v 4,5 m 3. B; B CY p 4. k; k( B,5 m) 5. A; Ak CX 6. ABC

56 1. AB; AB 5 m C ; C AB AC BC oab; C0 oab oab AB 4. BAX ; BAX 50 (úsekový úhel) 5. XAY ; XAY S; S oab AY 7. k; k( S, SA ) 8. t; t( C0, C0A 2,5 m) 9. l; l( B,4,5 m) 10. B1; B1t l 11. C; C AB1 k 12. ABC ) Diskuse ověření: V polorovině ABY existuje právě jeden střed S. Polopřímk AB 1 protíná olouk kružnie k v jediném odě C. V polorovině je právě 1 řešení. A k Y X C o AB S C 0 t l B

57 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 4 m, v = 3,5 m, γ = 30 Řešení: Tuto úlohu můžeme řešit pomoí posunutí neo pomoí úsekového úhlu. Hledáme množinu vrholů úhlu 0 o velikosti 50, pod kterou vidíme dnou úsečku AB. Vrhol C leží n: p; p p, v n příslušném olouku k ( S, SA) ) konstruke: postup: 1. AB; AB 4 m C C ; C AB AC BC k 3. oab; C0 oab oab AB 4. BAX ; BAX 30 (úsekový úhel) 5. XAY ; XAY S; S oab AY S o AB Y l 7. k; k( S, SA ) t; t( C, C A ) l; l( B,3,5 m) 10. B1; B1t l 11. C; C AB1 k 12. ABC A C 0 t B X ) Diskuse ověření: V polorovině ABY existuje právě jeden střed S. Polopřímk 1 AB protíná olouk kružnie k v jediném odě C. V polorovině je právě 1 řešení

58 3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 4 m, v = 4,3 m, γ = 40 Řešení: Tuto úlohu můžeme řešit pomoí posunutí neo pomoí úsekového úhlu. Hledáme množinu vrholů úhlu o 0 velikosti 50, pod kterou vidíme dnou úsečku AB. Vrhol C leží n: p; p p, v n příslušném olouku k ( S, SA) ) konstruke: postup: 1. AB; AB 4 m C ; C AB AC BC oab; C0 oab oab AB 4. BAX ; BAX 40 (úsekový úhel) k o AB l Y 5. XAY ; XAY S; S oab AY S 7. k; k( S, SA ) t; t( C, C A ) l; l( B,4,3 m) 10. B1; B1t l 11. C; C AB1 k 12. ABC A C 0 X t B ) Diskuse ověření: V polorovině ABY existuje právě jeden střed S. Polopřímk 1 AB neprotíná olouk kružnie k. V polorovině není řešení

59 12. trojúhelník ABC t, t, v ) ( Využijeme vlstnosti výšky v potom uď zvolíme C 0 pomoí t sestrojíme C neo 2 nopk. Njdeme T pomoí t njdeme A podle S( C 0 ) : A B. 3 ) konstruke: 1. CC ; CC t X ; X CC XC XC 3. t; t ( X ; XC ) 4. k; k ( C; v ) 5. C ; C k t T; T CC0 TC t l; l ( T, t 3 8. A; Al C C B; S( C ) : A B 10. ABC ) diskuse:

60 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: t 3 m, t 4,5 m, v 4 m Řešení: ) rozor Využijeme vlstnosti výšky v potom uď zvolíme C 0 pomoí t sestrojíme C neo nopk. Njdeme T pomoí 2 t njdeme 3 A podle S( C 0 ) : A B. ) konstruke: Postup: 1. CC ; CC t 4,5 m X ; X CC XC XC 3. t; t ( X ; XC ) 0 0 C t k 4. k; k ( C; v 4 m) 5. C ; C k t T; T CC0 TC t 3 m l; l ( T, t 2 m) 3 8. A; Al C C B; S( C ) : A B 10. ABC A C 1 B' X A' B ) diskuse: Kružnie k t mjí 2 společné ody. Řešením jsou 2 ody C 1. Kružnie k přímk CC 1 mjí 2 společné ody A, A. V polorovině jsou 2 různá řešení, v rovině elkem 4 různá řešení

61 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: t 7,5 m, t 6 m, v 3 m Řešení: Využijeme vlstnosti výšky potom uď zvolíme C 0 v pomoí t sestrojíme C neo nopk. 2 Njdeme T pomoí t njdeme 3 A podle S C ) : A B. ( 0 ) konstruke: Postup: 1. CC ; CC t 6 m X ; X CC XC XC 3. t; t ( X ; XC ) k; k ( C; v 3 m) 5. C ; C k t 2 6. T; T CC0 TC t 4 m l; l ( T, t 5 m) 3 8. A; Al C C B; S( C ) : A B 10. ABC A C 1 B' C X t k A' ) diskuse: B Kružnie k t mjí 2 společné ody. Řešením jsou 2 ody C 1. Kružnie k přímk CC 1 mjí 2 společné ody A, A. V polorovině jsou 2 různá řešení, v rovině elkem 4 různá řešení

62 3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: t 7,5 m, t 6 m, v 6,5 m Řešení: Využijeme vlstnosti výšky v potom uď zvolíme C 0 pomoí t sestrojíme C neo nopk. Njdeme T 2 pomoí t njdeme A podle 3 S( C 0 ) : A B. ) konstruke: Postup: 1. CC ; CC t 6 m X ; X CC XC XC 3. t; t ( X ; XC ) k; k ( C; v 6,5 m) 5. C ; C k t 2 6. T; T CC0 TC t 4 m l; l ( T, t 5 m) 3 8. A; Al C C B; S( C ) : A B 10. ABC C X t k ) diskuse: Kružnie k t nemjí společné ody. Úloh nemá řešení

63 13. trojúhelník ABC (, v, r ) Buď zčneme rýsovt od strny (řešení v polorovině), neo od kružnie (řešení v rovině). Musíme řešit vzth mezi r ( smozřejmě i s v ). ) konstruke Postup: 1. AB; AB 2. k; k ( B, r) 3. k '; k ' ( A; r) 4. S; S k k ' 5. o; o ( S; r) 6. p; p AB; Ap v 7. C; C p o 8. ABC ) diskuse: Kružnie k, k mohou mít společné 0, 1 neo 2 ody.kružnie o přímk p mohou mít společné 0, 1 neo 2 ody. Potom můžeme dostt 0, 2 neo 4 řešení v rovině

64 1. Sestrojte trojúhelník ABC: = 5 m, v = 2,5 m, r = 3 m Řešení: Buď zčneme rýsovt od strny (řešení v polorovině), neo od kružnie (řešení v rovině). Musíme řešit vzth mezi r ( smozřejmě i s v ). ) konstruke Postup: 1. AB; AB 5 m 2. k; k ( B, 3 m) 3. k '; k ' ( A; 3 m) 4. S; S k k ' 5. o; o ( S; 3 m) 6. p; p AB; Ap 2,5 m 7. C; C p o 8. ABC ) diskuse Kružnie k k mjí 2 společné ody, vzniknou 2 středy kružni opsnýh v rovině. Kružnie o přímk p mjí 2 společné ody C C. Úloh má 2 řešení v polorovině, 4 řešení (osově souměrné) v rovině. A k' k o B

65 2. Sestrojte trojúhelník ABC: = 5 m, v = 6 m, r = 3,5 m Řešení: ) rozor Buď zčneme rýsovt od strny (řešení v polorovině), neo od kružnie (řešení v rovině). Musíme řešit vzth mezi r ( smozřejmě i s v ). ) konstruke Postup: 1. AB; AB 5 m 2. k; k ( B, 3,5 m) 3. k '; k ' ( A; 3,5 m) 4. S; S k k ' 5. o; o ( S; 3,5 m) 6. p; p AB; Ap 6 m 7. C; C p o 8. ABC k' C S k A B ) diskuse Kružnie k k mjí 2 společné ody, vzniknou 2 středy kružni opsnýh v rovině. Kružnie o přímk p mjí 2 společné ody C C. Úloh má 2 řešení v polorovině, 4 řešení (osově souměrné s osou AB) v rovině. o

66 3. Sestrojte trojúhelník ABC: = 5 m, v = 3,8 m, r = 2,6 m Řešení: ) rozor Buď zčneme rýsovt od strny (řešení v polorovině), neo od kružnie (řešení v rovině). Musíme řešit vzth mezi r ( smozřejmě i s v ). ) konstruke Postup: 1. AB; AB 5 m 2. k; k ( B, 2,6 m) 3. k '; k ' ( A; 2,6 m) 4. S; S k k ' 5. o; o ( S; 2,6 m) k' k 6. p; p AB; Ap 3,8 m 7. C; C p o 8. ABC A S B o ) diskuse Kružnie k k mjí 2 společné ody, vzniknou 2 středy kružni opsnýh v rovině. Kružnie o přímk p mjí 0 společnýh odů. Úloh nemá řešení

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25 56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou

Více

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky.

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky. 2.cvičení 1. Polopřímk: od O dělí přímku n dvě nvzájem opčné polopřímky. Úsečk: průnik dvou polopřímek,. Polorovin: přímk dělí rovinu n dvě nvzájem opčné poloroviny. Úhel: průnik polorovin (pozor n speciální

Více

. V trojúhelníku ABC platí 180. Součet libovolného vnitřního úhlu a jemu odpovídajícího vnějšího úhlu je úhel přímý. /

. V trojúhelníku ABC platí 180. Součet libovolného vnitřního úhlu a jemu odpovídajícího vnějšího úhlu je úhel přímý. / TROJÚHELNÍK Trojúhelník, vlstnosti trojúhelníků Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA, CAB; přitom ody A, B, C jsou různé neleží v jedné příme. Trojúhelník ABC zpisujeme symoliky ABC. Symoliky píšeme:

Více

9. Planimetrie 1 bod

9. Planimetrie 1 bod 9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,

Více

PODOBNÁ ZOBRÁZENÍ 1. SHODNOST TROJÚHELNÍKŮ 2. PRÁVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK

PODOBNÁ ZOBRÁZENÍ 1. SHODNOST TROJÚHELNÍKŮ 2. PRÁVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK PODOBNÁ ZOBRÁZENÍ Kždá stejnolehlost je podonost ne oráeně! Podonost má vždy koefiient podonosti kldný znčíme jej k k >0 k R zhovává rovnoěžnost podonost shodnost nevlstní podonost úhly poměry Dělíme ji

Více

3.2.1 Shodnost trojúhelníků I

3.2.1 Shodnost trojúhelníků I 3.2.1 hodnost trojúhelníků I Předpokldy: 3108 v útvry jsou shodné, pokud je možné je přemístěním ztotožnit. v prxi těžko proveditelné hledáme jinou možnost ověření shodnosti v útvry jsou shodné, pokud

Více

1.7.4 Výšky v trojúhelníku II

1.7.4 Výšky v trojúhelníku II 1.7.4 Výšky v trojúhelníku II Předpokldy: 010703 Opkování z minulé hodiny Výšk trojúhelníku: úsečk, která spojuje vrhol trojúhelníku s ptou kolmie n protější strnu. 0 0 v v 0 Př. 1: Nrýsuj trojúhelník

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2.

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2. 76 Další metriké úlohy II Předpoklady: 7 Př : Najdi přímku rovnoěžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od odu A[ ; ] Osou I a III kvadrantu je přímka y = x přímky s ní rovnoěžné mají rovnii x y + = 0

Více

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti, Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje

Více

2.4.7 Shodnosti trojúhelníků II

2.4.7 Shodnosti trojúhelníků II 2.4.7 Shodnosti trojúhelníků II Předpokldy: 020406 Př. 1: oplň tbulku. Zdání sss α < 180 c Zdání Náčrtek Podmínky sss sus usu b + b > c b + c > c + c > b b α < 180 c α + β < 180 c Pedgogická poznámk: Původní

Více

7 Analytická geometrie

7 Analytická geometrie 7 Anlytiká geometrie 7. Poznámk: Když geometriké prolémy převedeme pomoí modelu M systému souřdni n lgeriké ritmetiké prolémy pk mluvíme o nlytiké geometrii neo též o metodě souřdni užité v geometrii.

Více

Konstrukce na základě výpočtu I

Konstrukce na základě výpočtu I ..11 Konstrukce n zákldě výpočtu I Předpokldy: Pedgogická poznámk: Původně yl látk rozepsnou do dvou hodin, v první ylo kromě dělení úseček zřzen i čtvrtá geometrická úměrná. Právě její prorání se nestíhlo,

Více

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky

Více

Planimetrie. Obsah. Stránka 668

Planimetrie. Obsah. Stránka 668 Obsh 3. Plnimetrie... 669 3.. Úhel... 669 3.. Prvidelné mnohoúhelníky... 67 3.3. Pythgorov vět Eukleidovy věty konstruke úseček... 678 3.4. Euklidovy věty, prvoúhlý trojúhelník... 683 3.5. Obvody obshy

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

TROJÚHELNÍK. JAN MALÝ UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. sin α = b a.

TROJÚHELNÍK. JAN MALÝ UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. sin α = b a. TROJÚHELNÍK JAN MALÝ UK v Prze UJEP v Ústí n. L. 1. Zn ení. Uvºujme trojúhelník ABC, jeho strny i jejih délky jsou,,, úhly α, β, γ. Osh trojúhelník zn íme P. Vý²k spu²t ná z odu C n strnu se zn í v její

Více

9 Axonometrie ÚM FSI VUT v Brně Studijní text. 9 Axonometrie

9 Axonometrie ÚM FSI VUT v Brně Studijní text. 9 Axonometrie 9 Axonometrie Mongeov projekce má řdu předností: jednoduchost, sndná měřitelnost délek úhlů. Je všk poměrně nenázorná. Podsttnou část technických výkresů proto tvoří kromě půdorysu, nárysu event. bokorysu

Více

( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306

( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306 7.3.8 Nerovnice pro polorovinu Předpokldy: 736 Pedgogická poznámk: Příkld 1 není pro dlší průěh hodiny důležitý, má smysl pouze jko opkování zplnění čsu při zpisování do třídnice. Nemá smysl kvůli němu

Více

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Geometrie Mgr. Jrmil Zelená Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou Výpočty v prvoúhlém trojúhelníku VY_3_INOVACE_05_3_1_M Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou PRAVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK 1 Pojmy oznčení:,.odvěsny

Více

3.1.3 Vzájemná poloha přímek

3.1.3 Vzájemná poloha přímek 3.1.3 Vzájemná poloh přímek Předpokldy: 3102 Dvě různé přímky v rovině mximálně jeden společný od Jeden společný od průsečík různoěžné přímky (různoěžky) P Píšeme: P neo = { P} Žádný společný od rovnoěžné

Více

Konstrukce na základě výpočtu I

Konstrukce na základě výpočtu I .4.11 Konstruke n zákldě výpočtu I Předpokldy: Pedgogiká poznámk: Je důležité si uvědomit, že následujíí sled příkldů neslouží k tomu, y si žái upevnili mehniký postup n dělení úseček. Jediné, o y si měli

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 PLANIMETRIE 000/001 Cifrik, M-ZT První příklad ze zadávacích listů 1 Zadání: Sestrojte trojúhelník ABC, pokud je dáno: ρ

Více

( ) ( ) Sinová věta II. β je úhel z intervalu ( 0;π ). Jak je vidět z jednotkové kružnice, úhly, pro které platí. Předpoklady:

( ) ( ) Sinová věta II. β je úhel z intervalu ( 0;π ). Jak je vidět z jednotkové kružnice, úhly, pro které platí. Předpoklady: 4.4. Sinová vět II Předpokldy 44 Kde se stl hy? Námi nlezené řešení je správné, le nenšli jsme druhé hy ve hvíli, kdy jsme z hodnoty sin β určovli úhel β. β je úhel z intervlu ( ;π ). Jk je vidět z jednotkové

Více

( t) ( t) ( ( )) ( ) ( ) ( ) Vzdálenost bodu od přímky I. Předpoklady: 7308

( t) ( t) ( ( )) ( ) ( ) ( ) Vzdálenost bodu od přímky I. Předpoklady: 7308 731 Vzdálenost odu od římky I Předokldy: 7308 Pedgogiká oznámk: Pokud máte málo čsu, můžete odvodit vzore ez smosttné ráe studentů oužít některý z říkldů z dlší hodiny Tím jednu ze dvou hodin ro vzdálenost

Více

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p. 1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)

Více

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Základní útvary v rovině Bod je nejzákladnější geometrický pojem. Body zapisujeme písmeny velké abecedy: A, B, N, H, Přímka Přímky zapisujeme písmeny

Více

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Registrační číslo projektu: Název projektu: Název a číslo globálního grantu: CZ.1.07/1.1.12/02.0010 Šumavská škola = evropská škola Zvyšování kvality ve vzdělání v Plzeňském kraji CZ.1.07/1.1.12 Název

Více

Vzdálenosti přímek

Vzdálenosti přímek 5..11 Vzdálenosti přímek Předpokldy: 510 Př. 1: Rozhodni, kdy má smysl uvžovt o vzdálenosti dvou přímek nvrhni definici této vzdálenosti. Vzdálenost přímek má smysl, když přímky nemjí společné body tedy

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy)

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy) KVADRATICKÁ FUNKCE (vlstnosti, gr) Teorie Kvdrtikou unkí se nzývá kždá unke dná předpisem ; R,, R; D( ) je proměnná z příslušného deiničního ooru unke (nejčstěji množin R),, jsou koeiient kvdrtiké unke,

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol SHODNÁ

Více

Vzdálenosti přímek

Vzdálenosti přímek 5..1 Vzdálenosti přímek Předpokldy: 511 Př. 1: Rozhodni, kdy má smysl uvžovt o vzdálenosti dvou přímek nvrhni definici této vzdálenosti. Vzdálenost přímek má smysl, když přímky nemjí společné body tedy

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů. Přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů) Rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

EU PENÍZE ŠKOLÁM Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost

EU PENÍZE ŠKOLÁM Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost ZÁKLADNÍ ŠKOLA OLOMOUC příspěvková organizace MOZARTOVA 48, 779 00 OLOMOUC tel.: 585 427 142, 775 116 442; fax: 585 422 713 e-mail: kundrum@centrum.cz; www.zs-mozartova.cz Projekt: ŠKOLA RADOSTI, ŠKOLA

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 63. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Určete, jaké nejmenší hodnoty může nabýt výraz V = (a b) + (b c) + (c a), splňují-li reálná čísla a, b, c dvojici podmínek a +

Více

Shodné zobrazení v rovině

Shodné zobrazení v rovině Gymnázium Cheb Shodné zobrazení v rovině seminární práce Cheb, 2007 Lojza Tran Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Shodné zobrazení v rovině vypracoval zcela sám za použití pramenů

Více

KVADRATICKÉ FUNKCE. + bx + c, největší hodnotu pro x = a platí,

KVADRATICKÉ FUNKCE. + bx + c, největší hodnotu pro x = a platí, KVADRATICKÉ FUNKCE Definice Kvadratická funkce je každá funkce na množině R (tj. o definičním ooru R), daná ve tvaru y = ax + x + c, kde a je reálné číslo různé od nuly,, c, jsou liovolná reálná čísla.

Více

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2] Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.

Více

Základní příklady. 18) Určete velikost úhlu δ, jestliže velikost úhlu α je 27.

Základní příklady. 18) Určete velikost úhlu δ, jestliže velikost úhlu α je 27. Zákldní příkld 1) Stín věže je dlouhý 55 m stín tče vsoké 1,5 m má v tutéž dou délku 150 cm. Vpočtěte výšku věže. ) Určete měřítko mp, jestliže odélníkové pole o rozměrech 600 m 450 m je n mpě zkresleno

Více

Hyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná

Hyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná Hyperol Hyperol je množin odů, které mjí tu vlstnost, že solutní hodnot rozdílu jejich vzdáleností od dvou dných různých odů E, F je rovn kldné konstntě. Zkráceně: Hyperol = {X ; EX FX = }; kde symolem

Více

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich

Více

Vlasta Moravcová. Matematicko-fyzikální fakulta & Nad Ohradou 23 Univerzita Karlova v Praze Praha 3. Letní škola geometrie 2018,

Vlasta Moravcová. Matematicko-fyzikální fakulta & Nad Ohradou 23 Univerzita Karlova v Praze Praha 3. Letní škola geometrie 2018, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY Katedra didaktiky matematiky Gymnázium Na Pražačce Matematicko-fyzikální fakulta & Nad Ohradou 23 Univerzita Karlova v Praze Praha 3 Letní škola geometrie 2018, 4. července 2018, Česká

Více

Úlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem

Úlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem Úlohy MO z let 1994 2012 navržené dr. Jaroslavem Švrčkem 1. Je dána polokružnice o středu S sestrojená nad průměrem AB. Sestrojte takovou její tečnu t s dotykovým bodem T (A T B), aby platilo P BCS =

Více

3.4.9 Konstrukce čtyřúhelníků

3.4.9 Konstrukce čtyřúhelníků 3.4.9 Konstruce čtyřúhelníů Předpoldy: 030408 Trojúhelníy byly určeny třemi prvy. Př. 1: Obecný čtyřúhelní je dán délmi všech svých čtyř strn. Rozhodni, zd je určen nebo ne. Nejjednodušší je vzít čtyři

Více

Konstrukce na základě výpočtu II

Konstrukce na základě výpočtu II 3.3.1 Konstruke n zákldě výpočtu II Předpokldy: 030311 Př. 1: Jsou dány úsečky o délkáh,,. Sestroj úsečku o déle =. Njdi oený postup, jk sestrojit ez měřítk poždovnou úsečku pro liovolné konkrétní délky

Více

STEREOMETRIE. Tělesa. Značení: body A, B, C,... přímky p, q, r,... roviny ρ, σ, τ,...

STEREOMETRIE. Tělesa. Značení: body A, B, C,... přímky p, q, r,... roviny ρ, σ, τ,... STEREOMETRIE Stereometrie je část geometrie, která se zabývá studiem prostorových útvarů. Základními prostorovými útvary, se kterými budeme pracovat, jsou bod, přímka a rovina. Značení: body A, B, C,...

Více

Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce

Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce 1116 Podonosti trojúhelníků, goniometriké funke Předpokldy: 010104, úhel Pedgogiká poznámk: Zčátek zryhlit α γ β K α' l M γ' m k β' L Trojúhelníky KLM n nšem orázku mjí stejný tvr (vypdjí stejně), le liší

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Shodnost Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Definice (Vzdálenost) Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB

Více

9.6. Odchylky přímek a rovin

9.6. Odchylky přímek a rovin 9 Stereometrie 96 Odchylky přímek rovin Odchylku dvou přímek, dvou rovin přímky od roviny převádíme n určení velikosti úhlu dvou různoběžek Odchylk dvou přímek Odchylk dvou přímek splývjících nebo rovnoběžných

Více

Úlohy domácího kola kategorie A

Úlohy domácího kola kategorie A 49. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie A 1. Nechť P (x), Q(x) jsou kvadratické trojčleny takové, že tři z kořenů rovnice P (Q(x)) = 0 jsou čísla 22, 7, 13. Určete čtvrtý kořen této

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie A

Návody k domácí části I. kola kategorie A Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené číslo n takové, že p n + 1 je třetí mocninou některého přirozeného čísla. 1. Určete všechny trojice

Více

8 Mongeovo promítání

8 Mongeovo promítání 8 Mongeovo promítání Pomocí metod uvedených v kpitolách 3. 4., 3. 6. bychom mohli promítnout do roviny 3 libovolný útvr U E. V prxi všk většinou nestčí sestrojit jeden průmět. Z průmětu útvru U je většinou

Více

Definice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost

Definice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost Kuželosečky Kružnice Definice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost (poloměr r).?! Co získáme, když v definici výraz stejnou nahradíme stejnou nebo

Více

Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností.

Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Metody řešení konstrukčních úloh: množinou bodů zobrazením výpočtem kombinací předchozích způsobů Konstrukční

Více

63. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Ostrava, března 2014

63. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Ostrava, března 2014 63. ročník mtemtické olympiády III. kolo ktegorie Ostrv, 23. 26. řezn 204 MO . Nechť n je celé kldné číslo. Oznčme všechny jeho kldné dělitele d, d 2,..., d k tk, y pltilo d < d 2

Více

Úlohy domácího kola kategorie B

Úlohy domácího kola kategorie B 50. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie B 1. Řešte v oboru kladných čísel soustavu rovnic 3x + y = 598,6, x + y = 73,4, v níž x a y označují po řadě čísla x a y zaokrouhlená na desítky.

Více

Extremální úlohy v geometrii

Extremální úlohy v geometrii Extremální úlohy v geometrii Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikované matematiky, Fakulta elektrotechniky a informatiky, Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava 30.4. 2013 Petr

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině.

2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině. ZS1BK_PGE1 Geometrie I: Vybrané úlohy z elementární geometrie 1. Které geometrické útvary mohou vzniknout a) jako průnik dvou polopřímek téže přímky, b) jako průnik dvou polorovin téže roviny? V případě

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body, přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů), rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině Typeset by LATEX2ε 1 8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině 8.1 Stejnolehlost (homotetie) v rovině Definice 8.1.1. Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC) rozumíme

Více

VY_32_INOVACE_04_Shodnost trojúhelníků -věta sss_02. Škola: Základní škola Slušovice, okres Zlín, příspěvková organizace

VY_32_INOVACE_04_Shodnost trojúhelníků -věta sss_02. Škola: Základní škola Slušovice, okres Zlín, příspěvková organizace VY_32_INOVACE_04_Shodnost trojúhelníků -věta sss_02 Autor: Růžena Krupičková Škola: Základní škola Slušovice, okres Zlín, příspěvková organizace Název projektu: Zkvalitnění ICT ve slušovské škole Číslo

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

O P A K O V Á N Í A P R O H L O U B E N Í U I V A O J E D N O D U C H Ý C H K O N S T R U K C Í C H 1,5 HODINY

O P A K O V Á N Í A P R O H L O U B E N Í U I V A O J E D N O D U C H Ý C H K O N S T R U K C Í C H 1,5 HODINY O P A K O V Á N Í A P R O H L O U B E N Í U I V A O J E D N O D U C H Ý C H K O N S T R U K C Í C H 1,5 HODINY Díve, než spolen pikroíme k uivu o množinách bod, pokusíme se zopakovat nkteré jednoduché

Více

Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ

Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Petra Pirklová Liberec, únor 07 . Zobrazte tyto body a určete jejich

Více

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose

Více

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 35 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte [( 3 3 ) ( 1 4 5 3 0,5 ) ] : 1 6 1. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE

Více

5.2.4 Kolmost přímek a rovin II

5.2.4 Kolmost přímek a rovin II 5..4 Kolmost přímek rovin II Předpokldy: 503 Př. 1: Zformuluj stereometrické věty nlogické k plnimetrické větě: ným bodem lze v rovině k dné přímce vést jedinou kolmici. Vět: ným bodem lze v prostoru k

Více

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících.

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících. 4.4. Sinová vět Předpokldy Trigonometrie řešení úloh o trojúhelnííh. Prktiké využití změřování měření vzdáleností, tringulční síť Tringulční síť je prolém měřit vzdálenosti dvou odů v krjině změříme velmi

Více

SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ

SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.001 SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ SOUŘADNICE BODU NA PŘÍMCE ČÍSELNÁ OSA na přímce je určena počátkem O a jednotkou měření. Libovolný bod A na číselné ose

Více

PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti)

PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti) Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PODOBNÁ

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Příjemce: Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova

Více

Výfučtení: Geometrické útvary a zobrazení

Výfučtení: Geometrické útvary a zobrazení Výfučtení: Geometrické útvry zorzení V geometrii očs nrzíme n to, že některé geometrické orzce vykzují jistou symetrii. Popřípdě můžeme slyšet, že nějké dv útvry jsou si podoné. V tomto Výfučtení udeme

Více

2) Přednáška trvala 80 minut a skončila v 17:35. Jirka na ni přišel v 16:20. Kolik úvodních minut přednášky Jirka

2) Přednáška trvala 80 minut a skončila v 17:35. Jirka na ni přišel v 16:20. Kolik úvodních minut přednášky Jirka Téma 4: (převody jednotek, funkce, konstrukční úlohy, osová a středová souměrnost) Převody jednotek 1) Kolik gramů je pět třetin z 2,1 kilogramu? a) 1 260 g b) 3 500 g c) 17 000 g d) 700 g 2) Přednáška

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ 7. 5. 0 Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Je každé zobrazení v rovině takové, že pro libovolné body roviny

Více

Funkce 1) Zakreslete body K, L a M do souřadného systému Oxy, jsou-li dány jejich souřadnice: K[-3;0]; L[0;-2]; M[4;3].

Funkce 1) Zakreslete body K, L a M do souřadného systému Oxy, jsou-li dány jejich souřadnice: K[-3;0]; L[0;-2]; M[4;3]. Téma 4: (převody jednotek, funkce, konstrukční úlohy, osová a středová souměrnost) Převody jednotek 1) Kolik gramů je pět třetin z 2,1 kilogramu? a) 1 260 g b) 3 500 g c) 17 000 g d) 700 g 2) Přednáška

Více

Tangens a kotangens

Tangens a kotangens 4.3.12 Tngens kotngens Předpokldy: 040311 Př. 1: Úhel, pod kterým je možné ze pozorovt vrhol věže ze vzdálenosti 19 m od její pty, yl změřen n 53 od vodorovné roviny. Jk je věž vysoká? h 53 19 m Z orázku

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice KRUŽNICE, KRUH Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k(s;r) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu S vzdálenost r. Můžeme také říci. Kružnicí k

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

p ACD = 90, AC = 7,5 cm, CD = 12,5 cm

p ACD = 90, AC = 7,5 cm, CD = 12,5 cm Úloha Je dán pravoúhlý trojúhelník ACD s pravým úhlem při vrcholu C, AC = 7,5 cm, CD =,5 cm. Na přímce CD určete bod B tak, aby AB = BD Řešení: Úlohu vyřešíme nejprve geometrickou konstrukcí. a) Z rozboru

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie B

Úlohy domácí části I. kola kategorie B 67. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B 1. Najděte všechny mnohočleny tvaru ax 3 + bx + cx + d, které při dělení dvojčlenem x + 1 dávají zbytek x + a při dělení dvojčlenem

Více

3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky

3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky ..7 Příkldy řešené pomocí ět pro trojúhelníky Předpokldy:, 6 Pedgogická poznámk: U následujících příkldů ( u mnoh dlších příkldů z geometrie) pltí, že nedílnou součástí řešení je nápd (který se tké nemusí

Více

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I 3.4.3 Množiny odů dné vlstnosti I Předpoldy: 3401 Něteé z těchto množin už známe. J je definován užnice ( ; )? Množin všech odů oviny, teé mjí od středu vzdálenost. Předchozí vět znmená dvě věci: Vzdálenost

Více

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice

Více

Stereometrie metrické vlastnosti

Stereometrie metrické vlastnosti Stereometrie metrické vlstnosti Odchylk dvou přímek Odchylk dvou různoběžek je velikost kždého z ostrých nebo prvých úhlů, které přímky spolu svírjí. Odchylk rovnoběžek je 0. Odchylk mimoběžných přímek

Více

DUM č. 11 v sadě. Ma-2 Příprava k maturitě a PZ geometrie, analytická geometrie, analýza, komlexní čísla

DUM č. 11 v sadě. Ma-2 Příprava k maturitě a PZ geometrie, analytická geometrie, analýza, komlexní čísla projekt GML Brno Docens DUM č. v sdě M- Příprv k mturitě PZ geometrie, nltická geometrie, nlýz, komlení čísl 4. Autor: Mgd Krejčová Dtum: 3.8.3 Ročník: mturitní ročník Anotce DUMu: Anltická geometrie v

Více

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

5. P L A N I M E T R I E

5. P L A N I M E T R I E 5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční

Více

Seznam pomůcek na hodinu technického kreslení

Seznam pomůcek na hodinu technického kreslení Seznam pomůcek na hodinu technického kreslení Sešit bez linek, formát A4 Psací potřeby propiska nebo pero, mikrotužky 2B, H Pravítko s ryskou Rovné pravítko Úhloměr Kružítko Šablona písma 3,5 mm Šablona

Více