5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):"

Transkript

1 5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit trojúhelníková nerovnost: + = 9,8 m + > + = 11,8 m + > + = 13,2 m + > Trojúhelník lze nrýsovt. = 7,6 m = 5,6 m = 4,2 m ) konstruke: k C l postup: 1. AB ; AB 7,6 m 2. k ; ka (, 5,6 m) 3. l ; lb (, 4,2 m) 4. C ; C k l 5. trojúhelník ABC A B ) Ověření diskuse: Trojúhelník vyhovuje zdání v polorovině je právě 1 řešení

2 2. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: = AB = 3,2 m, = BC = 4,6 m, = AC = 3,9 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit trojúhelníková nerovnost: + = 8,5 m + = 7,8 m + = 7,1 m Trojúhelník lze nrýsovt. + > + > + > ) konstruke: k C l postup: 1. AB ; AB 3,2 m 2. k ; ka (, 3,9 m) 3. l ; lb (, 4,6 m) 4. C ; C k l 5. trojúhelník ABC A B ) Ověření diskuse: Trojúhelník vyhovuje zdání v polorovině je právě 1 řešení

3 3. Nrýsuj trojúhelník KLM, je-li dáno: m = KL = 7,5 m, k = LM = 6,1 m, l = KM = 2,5 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit trojúhelníková nerovnost: k + l = 8,6 m k + m = 13,6 m l + m =10,0 Trojúhelník lze nrýsovt. k+ l> m k+ m> l l+ m> k ) konstruke: k M l postup: 1. KL; KL 7,5 m 2. k ; kk (, 2,5 m) 3. l ; ll (, 6,1 m) 4. M; M k l 5. trojúhelník KLM K L ) Ověření diskuse: Trojúhelník vyhovuje zdání v polorovině je právě 1 řešení

4 4. Nrýsuj trojúhelník KLM, je-li dáno: m = KL = 5,5 m, k = LM = 6,1 m, l = KM = 3,5 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit trojúhelníková nerovnost: k + l = 9,6 m k + m = 11,6 m l + m = 9,0 Trojúhelník lze nrýsovt. k+ l> m k+ m> l l+ m> k ) konstruke: k M l postup: 1. KL; KL 5,5 m 2. k ; kk (, 3,5 m) 3. l ; ll (, 6,1 m) 4. M; M k l 5. trojúhelník KLM K L ) Ověření diskuse: Trojúhelník vyhovuje zdání v polorovině je právě 1 řešení

5 5. Nrýsuj trojúhelník KLM, je-li dáno: m = KL = 2,1 m, k = LM = 3,0 m, l = KM = 4,8 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit trojúhelníková nerovnost: k + l = 7,8 m k + m = 5,1 m l + m = 6,9 Trojúhelník lze nrýsovt. k+ l> m k+ m> l l+ m> k ) konstruke: k M postup: 1. KL; KL 2,1 m 2. k ; kk (, 4,8 m) 3. l ; ll (, 3 m) 4. M; M k l 5. trojúhelník KLM l K L ) Ověření diskuse: Trojúhelník vyhovuje zdání v polorovině je právě 1 řešení

6 6. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 9,9 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit trojúhelníková nerovnost: + = 9,8 m + > NEPLATÍ + = 14,1 m + > + =15,5 m + > Trojúhelník NELZE nrýsovt

7 7. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, 35 Řešení: Vrhol C leží n polopříme BX n kružnii k (B, 4,2 m). ) konstruke: C k X postup: 1. AB ; AB 7,6 m 2. k; k( B, 4,2 m) 3.; ABX ; ABX C; C k BX 5. trojúhelník ABC A B ) Ověření diskuse: Polopřímk BX má s kružnií k právě 1 společný od, proto má úloh v polorovině právě 1 řešení, které vyhovuje zdání úlohy. (Je to podle věty sus.) - 7 -

8 8. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 4,5 m, AC = 4,2 m, 84 Řešení: Vrhol C leží n polopříme AX n kružnii k (A, 4,2 m). ) konstruke: X C k postup: 1. AB ; AB 4,5 m 2. k; k( A, 4,2 m) 3.; BAX ; BAX C; C k AX 5. trojúhelník ABC A B ) Ověření diskuse: Polopřímk AX má s kružnií k právě 1 společný od, proto má úloh v polorovině právě 1 řešení, které vyhovuje zdání úlohy. (Je to podle věty sus.) - 8 -

9 9. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AC = 5,3 m, BC = 4,1 m, 111 Řešení: Vrhol B leží n polopříme CX n kružnii k (C, 4,1 m). ) konstruke: C X B postup: 1. AC; AC 5,3 m 2. k; k( C, 4,1 m) 3.; ACX ; ACX B; Bk CX 5. trojúhelník ABC A k ) Ověření diskuse: Polopřímk CX má s kružnií k právě 1 společný od, proto má úloh v polorovině právě 1 řešení, které vyhovuje zdání úlohy. (Je to podle věty sus.) - 9 -

10 10. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, 37, 58 Vrhol B leží n polopříme CX n kružnii k (C, 4,1 m). Pro velikosti úhlů musí pltit, že velikost součtu dvou úhlů je menší než Trojúhelník lze nrýsovt. ) konstruke: X C Y postup: 1. AB; AB 7,6 m 2. BAX ; BAX ABY ; ABY C; C AX BY 5. trojúhelník ABC A B ) Ověření diskuse: Polopřímky se protínjí právě v jednom odě. Proto má úloh právě jedno řešení, které vyhovuje zdání úlohy. (Je to podle věty usu)

11 11. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 8,4 m, 112, 15 Řešení: Pro velikosti úhlů musí pltit, že velikost součtu dvou úhlů je menší než Trojúhelník lze nrýsovt. ) konstruke: X C Y postup: 1. AB; AB 8,4 m 2. BAX ; BAX ABY; ABY C; C AX BY 5. trojúhelník ABC A B ) Ověření diskuse: Polopřímky se protínjí právě v jednom odě. Proto má úloh právě jedno řešení, které vyhovuje zdání úlohy. (Je to podle věty usu)

12 12. Sestroj trojúhelník ABC, je-li Řešení: AB AC 0 5 m, 4,6 m, 58. Vrhol C leží: n ka (, 4,6 m) BX n ) konstruke: k C X postup: 1. AB ; AB 5 m 2. ABX ; 0 ABX k ; ka (, 4,6 m) 4. C ; C k BX 5. trojúhelník ABC C A B ) Ověření diskuse: Polopřímk BX má s kružnií k právě 2 společné ody, proto má úloh v polorovině právě 2 řešení: ABC, ABC '. O trojúhelníky vyhovují zdání úlohy. (Je to podle věty ssu.)

13 Konstruke s využitím dlšíh prvků: Příkldy jsou dány oeně. 1. trojúhelník ABC,, v ) : Řešení: ( C leží n: p ve vzdálenosti v AX, XAB ) konstruke (oeně pouze postup, konkrétní příkldy viz níže): postup: 1. AB ; AB 2. XAB; XAB 3. p; p p, vc 4. C ; C p AX 5. trojúhelník ABC ) Diskuse ověření: Polopřímk AX protíná přímku p právě v jednom odě, úloh má v polorovině právě 1 řešení

14 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 3,8 m, v = 3 m, α = 100 o. C leží n: p ve vzdálenosti v AX, XAB ) konstruke: X C p postup: 1. AB; AB 3,8 m 2. XAB; XAB p; p p, 3 m 4. C; C AX p 5. ABC A B ) Diskuse ověření: Polopřímk AX protíná přímku p právě v jednom odě, úloh má v polorovině právě 1 řešení

15 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: α = 87, = 3 m, v = 2,7 m. Řešení: C leží n: p ve vzdálenosti v AX, XAB ) konstruke X C p postup: 1. AB; AB 3 m 2. XAB; XAB p; p p, 2,7 m 4. C; C AX p 5. ABC A B ) Diskuse ověření: Polopřímk AX protíná přímku p právě v jednom odě, úloh má v polorovině právě 1 řešení

16 2. trojúhelník ABC,, t ) : Řešení: ( C leží n: AX, XAB k ; k( C0, t ), C0 je střed strny AB ) konstruke (oeně pouze postup, konkrétní příkldy viz níže): postup: 1. AB ; AB 2. XAB; XAB 3. C 0 ; C0 AB, C0 A C0B 4. k ; k ( C0, t ) 5. C ; C AX k 6. trojúhelník ABC ) Diskuse ověření: Oeně kružnie přímk mjí 0, 1 neo 2 společné ody. Pokud k neprotíná AX, není žádné řešení, dotýká-li se AX, je právě 1 řešení protíná-li k AX, jsou právě 2 řešení v polorovině

17 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 3,8 m, t = 2,7 m, α = 52. Řešení: C leží n: AX, XAB k ; k( C0, t ), C0 je střed strny AB ) konstruke: C postup: 1. AB; AB 3,8 m A X C 0 B k 2. XAB; XAB C0; C0 AB AC0 BC0 4. k; k( C 0, 2,7 m) 5. C; C AX k 6. ABC ) Diskuse ověření: Kružnie k polopřímk jeden trojúhelník. AX má právě 1 společný od. Správným řešením je právě

18 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 5 m, t = 3,4 m, α = 110. Řešení: C leží n: AX, XAB k ; k( C0, t ), C0 je střed strny AB ) konstruke: postup: 1. AB; AB 5 m C X A C 0 B k 2. XAB; XAB 110 C ; C AB AC BC k; k( C 0, 3,4 m) 5. C; C AX k 6. ABC ) Diskuse ověření: Kružnie k polopřímk jeden trojúhelník. AX má právě 1 společný od. Správným řešením je právě

19 3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 4,2 m, α = 75, t = 4,3 m. Řešení: C leží n: AX, XAB k ; k( C0, t ), C0 je střed strny AB ) konstruke: C k postup: 1. AB; AB 4,2 m 2. XAB; XAB 75 C ; C AB AC BC k; k( C 0, 4,3 m) 5. C; C AX k 6. ABC X A C 0 B ) Diskuse ověření: Kružnie k polopřímk jeden trojúhelník. AX má právě 1 společný od. Správným řešením je právě

20 4.Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 4,2 m, α = 75, t = 4,3 m. Řešení: C leží n: AX, AX AB0 AB CB 0 0 K sestrojení je nutné využít středovou souměrnost se středem v odě B 0, která od A zorzí jko od C. ) konstruke: X B 0 C k postup: 1. AB; AB 4,2 m 2. XAB; XAB k; k( B, 4,3 m) 4. B0; B0 AX k 5. C; S : A C B0 6. ABC A B ) Diskuse ověření: Kružnie k polopřímk jeden trojúhelník. AX má právě 1 společný od. Správným řešením je právě

21 3. trojúhelník ABC(, v, t ) : Řešení: C leží n: p //, p, v k ; k( C0, t ), C0 je střed strny ) konstruke (oeně pouze postup, konkrétní příkldy viz níže): postup: 1. AB ; AB 2. p ; p, v 3. C 0 ; C0 AB, C0 A C0B 4. k ; k ( C0, t ) 5. C ; C p k 6. trojúhelník ABC ) Diskuse ověření: Oeně kružnie přímk mjí 0, 1 neo 2 společné ody. Pokud t < v, není žádní řešení (kružnie přímk se neprotnou), když t = v, je v polorovině právě 1 řešení (kružnie se přímky dotýká) pokud t > v, jsou v polorovině právě 2 řešení (kružnie přímk se protínjí ve dvou odeh.)

22 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 5 m, t = 3,4 m, v = 3 m. Řešení: C leží n: p //, p, k ; k( C0, t ), C0 je střed strny v ) konstruke: k C C p postup: 1. AB; AB 5 m 2. p; p p, 3 m C ; C AB AC BC k; k( C 0, 3,4 m) 5. C; C p k 6. ABC A C 0 B ) Diskuse ověření: Kružnie přímk mjí 2 společné ody. V polorovině jsou právě 2 řešení

23 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 4,5 m, v = 2,5 m, t = 3 m. Řešení: C leží n: p //, p, v k ; k( C0, t ), C0 je střed strny ) konstruke: A k C C C 0 B p postup: 1. AB; AB 4,5 m 2. p; p p, 2,5 m C ; C AB AC BC k; k( C 0, 3 m) 5. C; C p k 6. ABC ) Diskuse ověření: Kružnie přímk mjí 2 společné ody. V polorovině jsou právě 2 řešení

24 3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 3,6 m, v = 3,3 m, t = 6 m. Řešení: C leží n: BA1, kde A 1 je pt kolmie, A1 BC, (tzn. v AA1 ) k ; k( C0, t ), C0 je střed strny Bod A 1 leží n Thletově kružnii nd strnou AB. ) konstruke: C k postup: 1. AB; AB 4,5 m C ; C AB AC BC l A 1 t t; t( C, r C A) l; l( A, 3,3 m) 5. A1; A1t l 6. k; k( C 0, 6 m) 7. C; C BA1 k 8. ABC A C 0 B ) Diskuse ověření: Kružnie l kružnie t mjí právě 1 společný od A 1. Polopřímk BA 1 kružnie k mjí právě 1 společný od. V polorovině je právě 1 trojúhelník, který splňuje zdání úlohy

25 4. trojúhelník ABC, v, v ) : Řešení: ( C leží n: BA1, A1 je pt v p // ve vzdálenosti v ) konstruke (oeně pouze postup, konkrétní příkldy viz níže): postup: 1. AB; AB 2. p; p p, v C ; C AB C A C B ttc ; ( 0, ) 2 5. k; k( A, v ) 6. A1; A1t k 7. C; C p BA1 8. ABC ) Diskuse ověření: Dvě kružnie k h mohou mít dv ( v < ), jeden ( v = prvoúhlý), neo žádný společný od A 1 ( v > ). A1 B, trojúhelník je

26 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 4,5 m, v = 3,4 m, v = 4 m. Řešení: B leží n: CA1, A1 je pt v p // ve vzdálenosti v ) konstruke: C postup: 1. AC; AC 4,5 m k t 2. p; p p, 4 m B ; B AC B A B C A B 0 A 1 B p t; t( B, r B A) k; k( A, 3,4 m) 6. A1; A1t k 7. B; B CA1 p 8. ABC ) Diskuse ověření: Dvě kružnie k t mjí v polorovině 1 společný od A 1. Polopřímk CA 1 přímk p mjí 1 společný od B. Řešením je právě jeden trojúhelník v polorovině

27 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 5,2 m, v = 4,1 m, v = 3,8 m. Řešení: C leží n: BA1, A1 je pt v p // ve vzdálenosti v ) konstruke: k C p postup: 1. AB; AB 5,2 m 2. p; p p, 4,1 m C ; C AB C A C B A C 0 A 1 t B t; t( C, C A ) k; k( A, 3,8 m) 6. A1; A1t k 7. C; C p BA1 8. ABC ) Diskuse ověření: Dvě kružnie k t mjí v polorovině 1 společný od A 1. Polopřímk BA 1 přímk p mjí 1 společný od C. Řešením je právě jeden trojúhelník v polorovině

28 3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 6,3 m, v = 4,6 m, v = 5,4 m. Řešení: C leží n: BA1, A1 je pt v p // ve vzdálenosti v ) konstruke: k C p postup: 1. AB; AB 6,3 m 2. p; p p, 4,6 m C ; C AB C A C B A 1 t t; t( C, C A ) k; k( A, 5,4 m) 6. A1; A1t k 7. C; C p BA1 8. ABC A C 0 B ) Diskuse ověření: Dvě kružnie k t mjí v polorovině 1 společný od A 1. Polopřímk BA 1 přímk p mjí 1 společný od C. Řešením je právě jeden trojúhelník v polorovině

29 5. trojúhelník ABC, t, v ) Řešení: ( Doplníme n rovnoěžník ABDC : D leží n: p // k ( A,2. t ) Neo využijeme vlstnosti, že střední příčk spojuje středy strn ( půlí příslušnou výšku n 2 shodné části): C leží n: BA1, A1 je pt v, l ( A, t ) ) konstruke (oeně pouze postup, konkrétní příkldy viz níže): postup: jsou 2 různé 1. AB; AB 2. p; p p, v 3. k; k( A,2 t ) 4. D; Dk p A ; A AD A A A D C; C BA1 p 7. ABC 1. AB ; AB 2. n ; n, 3. l ; l A, t ) ( v 2 4. A 1 ; A1 k n, BA1 5.C ; S( A 1 ) : B C 6. ABC ) Diskuse ověření: Kružnie přímk mjí dv, jeden neo žádný společný od. Jestliže je 2.t > v, kružnie k protíná přímku p ve dvou odeh jsou v polorovině právě 2 řešení, když 2.t = v, kružnie k se dotýká přímky p je právě 1 řešení když 2.t < v, kružnie k neprotíná přímku p není žádné řešení

30 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 5 m, v = 4 m, t = 3,5 m Řešení: Doplníme n rovnoěžník ABDC : D leží n: p // k A,2. t ) ( ) konstruke: postup: 1. AB; AB 5 m C l p D k 2. p; p p, 4 m 3. k; k( A, 7 m) 4. D; Dk p 5. l; l( D, 5 m) 6. C; C l p 8. ABC A B ) Diskuse ověření: Kružnie k přímk p mjí dv společné ody. Dostáváme 2 řešení v polorovině

31 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 4,2 m, v = 4,3 m, t = 4,7 m Řešení: Doplníme n rovnoěžník ABDC : D leží n: p // k A,2. t ) ( ) konstruke: p C l k D postup: 1. AB; AB 4,2 m 2. p; p p, 4,3 m 3. k; k( A, 9,4 m) 4. D; Dk p 5. l; l( D, 4,2 m) 6. C; C l p 8. ABC A B ) Diskuse ověření: Kružnie k přímk p mjí dv společné ody. Dostáváme 2 řešení v polorovině

32 3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 3,8 m, v = 3,8 m, t = 1,7 m Řešení: Doplníme n rovnoěžník ABDC : D leží n: p k A,2. t ) ( ) konstruke: A p k B postup: 1. AB; AB 3,8 m 2. p; p p, 3,8 m 3. k; k( A, 3,4 m) 4. D; Dk p 5. l; l( D, 3,8 m) 6. C; C l p 8. ABC ) Diskuse ověření: Kružnie k přímk p nemjí společný od. Tto úloh nemá řešení

33 6. trojúhelník ABC, v, v ) Řešení: ( Bod C leží n: AB1 BA 1 ) konstruke (oeně pouze postup, konkrétní příkldy viz níže): postup: 1. AB; AB C ; C AB C A C B t; t( C, r C B ) k; k( A, v ) 5. A1; A1k t 6. l; l( B, v ) 7. B1; B1l t C; C BA AB 9. ABC ) Diskuse ověření: Jestliže délky výšek udou větší než délk strny, neude mít úloh žádné řešení. Kružnie se neprotnou. Jestliže délky oou výšek udou rovny déle strny, oě pty y yly ve vrholeh A B neude žádné řešení. Jestliže délk jedné výšky ude rovn délk druhé ude menší než, ude v polorovině právě jedno řešení. Jestliže délky oou výšek ude menší než délk, udou v polorovině právě 2 řešení

34 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 3,6 m, v = 3,3 m, v = 2,8 m Řešení: Bod C leží n: AB1 BA 1 ) konstruke: C postup: 1. AB; AB 3,6 m A t B 1 k C 0 A 1 B l C ; C AB C A C B t; t( C, r C B ) k; k( A, 3,6 m) 5. A1; A1k t 6. l; l( B, 2,8 m) 7. B1; B1l t C; C BA AB 8. ABC ) Diskuse ověření: Jestliže délk jedné výšky ude rovn délk druhé ude menší než, ude v polorovině právě jedno řešení

35 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 7,2 m, v = 6,3 m, v = 5,8 m. Řešení: Bod C leží n: AB1 BA 1 ) konstruke: k C l postup: 1. AB; AB 7,2 m C ; C AB C A C B t B 1 A 1 t; t( C, r C B ) k; k( A, 6,3 m) 5. A1; A1k t 6. l; l( B, 5,8 m) 7. B1; B1l t C; C BA AB 8. ABC A ) Diskuse ověření: C 0 B Jestliže délky oou výšek ude menší než délk, udou v polorovině právě 2 řešení

36 3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 5 m, v = 4,5 m, v = 3,8 m Řešení: Bod C leží n: AB1 BA 1 ) konstruke: k C l postup: 1. AB; AB 5 m C ; C AB C A C B A t B 1 C 0 A 1 B t; t( C, r C B ) k; k( A, 4,5 m) 5. A1; A1k t 6. l; l( B, 3,8 m) 7. B1; B1l t C; C BA AB 8. ABC ) Diskuse ověření: Jestliže délky oou výšek ude menší než délk, udou v polorovině právě 2 řešení

37 7. trojúhelník ABC(, v, t ) Vrhol C leží n: BA1 l ( C0, t ) ) konstruke: postup: 1. AB; AB C ; C AB AC BC t; t( C, r AC ) k; k( A, v ) 5. A1; A1t k 6. l; l( C0, t ) 7. C; C l BA1 8. ABC ) Diskuse ověření: Jestliže v >, úloh nemá řešení. Jestliže v =, ude trojúhelník prvoúhlý v rovině ude právě 1 řešení. Jestliže v <, udou mít kružnie h k 2 společné ody v rovině udou právě 2 řešení

38 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 5 m, v = 3,5 m, t = 3 m Řešení: Vrhol C leží n: BA1 l C, t ) ( 0 ) konstruke: postup: 1. AB; AB 5 m C ; C AB AC BC t; t( C, r AC ) k; k( A,3,5 m) 5. A1; A1t k 6. llc ; ( 0,3 m) 7. C; C l BA1 8. ABC A k C A 1 C 0 t B l ) Diskuse ověření: Kružnie t k mjí v polorovině právě 1 společný od. Vznikne právě jedn polopřímk BA 1 t se protne s kružnií l právě v 1 odě. Řešením je právě 1 trojúhelník ABC

39 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 7,4 m, v = 2,8 m, t = 3,4 m Řešení: Vrhol C leží n: BA1 l C, t ) ( 0 ) konstruke: postup: 1. AB; AB 7,4 m C ; C AB AC BC t; t( C, r AC ) k; k( A,2,8 m) 5. A1; A1t k 6. llc ; ( 0,3,4 m) 7. C; C l BA1 8. ABC A k A 1 C C 0 t l B ) Diskuse ověření: Kružnie t k mjí v polorovině právě 1 společný od. Vznikne právě jedn polopřímk BA 1 t se protne s kružnií l právě v 1 odě. Řešením je právě 1 trojúhelník ABC

40 3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 4,2 m, v = 4,3 m, t = 4,2 m Řešení: Vrhol C leží n: BA1 l C, t ) ( 0 ) konstruke: postup: 1. AB; AB 4,2 m k C ; C AB AC BC t; t( C, r AC ) k; k( A,4,3 m) 5. A1; A1t k 6. llc ; ( 0,4,2 m) 7. C; C l BA1 8. ABC A C 0 t B l ) Diskuse ověření: Kružnie t k nemjí v polorovině společný od. Zdná úloh nemá řešení

41 8. Sestrojte trojúhelník ABC, t, t ) ( Těžiště T získáme podle věty sss Pltí: 2TB0 TB Vrhol C leží n: BA0 S( A0 ) : B C ) konstruke: postup: 1. AB; AB 2. 2 k; k( A, r t ) l; l( B, r t ) 3 4. T; T k l 5. A0 ; A0 AT AA0 t 6. C; S( A0 ) : B C 7. ABC ) Diskuse ověření: Jestliže trojúhelník ABT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení

42 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 5 m, t = 4,5 m, t = 3,6 m Těžiště T získáme podle věty sss Pltí: 2TB0 TB Vrhol C leží n: BA0 S( A0 ) : B C ) konstruke: postup: 1. AB; AB 5 m 2 2. k; k( A, r t 3 m) l; l( B, r t 2,4 m) 3 4. T; T k l A ; A AT AA t 4,5 m B ; B BT BB t 3,6 m k B 0 T C A0 l C; C AB BA 8. ABC A B ) Diskuse ověření: Jestliže trojúhelník ABT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení

43 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 6,2 m, t = 4,2 m, t = 4,8 m Řešení: Těžiště T získáme podle věty sss Pltí: 2TB0 TB Vrhol C leží n: BA0 S( A0 ) : B C ) konstruke: postup: 1. AB; AB 6,2 m 2 2. k; k( A, r t 2,8 m) l; l( B, r t 3,2 m) 3 4. T; T k l A ; A AT AA t 4,2 m B ; B BT BB t 4,8 m C; C AB BA 8. ABC ) Diskuse ověření: A k B l Trojúhelník ABT NELZE sestrojit podle trojúhelníkové nerovnosti: 2,8 + 3,2 = 6,0 6,0 < 6,2 (součet dvou strn trojúhelníku musí ýt větší než strn třetí). Trojúhelník ABC nemá řešení

44 3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 7 m, t = 6,9 m, t = 8,1 m Řešení: Těžiště T získáme podle věty sss Pltí: 2TB0 TB Vrhol C leží n: BA0 S( A0 ) : B C ) konstruke: postup: 1. AB; AB 7 m 2 2. k; k( A, r t 4,6 m) l; l( B, r t 5,4 m) 3 4. T; T k l 5. A0 ; A0 AT AA0 t 6,9 m 6. B0 ; B0 BT BB0 t 8,1 m 7. C; C AB0 BA0 8. ABC k B 0 C T A 0 l A B ) Diskuse ověření: Jestliže trojúhelník ABT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení

45 9. Sestrojte trojúhelník ABC (, t, t ) Těžiště T získáme podle věty sss. Vrhol C leží n: l ( C0, t ) ) konstruke: postup: 1. AB; AB C 0 T C ; C AB AC BC k; k( A, r t ) l; l( C0, r t ) 5. T; T k l 3 6. C; C C0T CC0 t 7. ABC ) Diskuse ověření: Jestliže trojúhelník ABT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení

46 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 5 m, t = 4,5 m, t = 3,6 m Těžiště T získáme podle věty sss. Vrhol C leží n: C 0 T l ( C0, t ) ) konstruke: postup: 1. AB; AB 5 m C ; C AB AC BC k; k( A, r t 3 m) l; l( C0, r t 1,2 m) 5. T; T k l 3 C; C C T CC t 3,6 m ABC ) Diskuse ověření: Jestliže trojúhelník ABT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení. A C 0 T C B 3,01 m 1,21 m 3,61 m

47 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 7,2 m, t = 6,9 m, t = 6,3 m Řešení: Těžiště T získáme podle věty sss. Vrhol C leží n: T l ( C0, t ) C 0 ) konstruke: postup: 1. AB; AB 7,2 m C ; C AB AC BC k; k( A, r t 4,6 m) l; l( C0, r t 2,1 m) 5. T; T k l 3 C; C C T CC t 6,3 m ABC T C A C 0 B ) Diskuse ověření: Jestliže trojúhelník ABT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení ,63 m 2,11 m 6,31 m

48 3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 6,3 m, t = 5,1 m, t = 5,7 m Řešení: Těžiště T získáme podle věty sss. Vrhol C leží n: T l ( C0, t ) C 0 ) konstruke: postup: 1. AB; AB 6,3 m C C ; C AB AC BC k; k( A, r t 3,4 m) l; l( C0, r t 1,9 m) 5. T; T k l 3 C; C C T CC t 5,7 m ABC k T l ) Diskuse ověření: Jestliže trojúhelník ABT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení. A C 0 B 3,40 m- 48-1,91 m 5,71 m

49 10. Sestrojte trojúhelník ABC ( t, t, t ) Budeme řešit pomoí pomoného trojúhelníku ADT (podle věty sss): AT t, AD t, TD t ) konstruke: postup: AT; AT 2 t 3 2 k; k( A, r t ) l; l( T, r t ) 3 4. D; Dk l 5. C; S( T) : D C C ; C DT DC TC B; S( C0) : A B 8. ABC ) Diskuse ověření: Jestliže trojúhelník ADT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení

50 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: t = 3 m, t = 4,5 m, t = 6 m Budeme řešit pomoí pomoného trojúhelníku ADT (podle věty sss): AT t, AD t, TD t ) konstruke: postup: 2 1. AT; AT t 2 m k; k( A, r t 3 m) l; l( T, r t 4 m) 3 4. D; Dk l 5. C; S( T) : D C C ; C DT DC TC B; S( C0) : A B 8. ABC A C 0 T C B ) Diskuse ověření: Jestliže trojúhelník ADT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení. D 3,02 m 1,99 m

51 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: t = 6,3 m, t = 5,1 m, t = 5,7 m Řešení: Budeme řešit pomoí pomoného trojúhelníku ADT (podle věty sss): AT t, AD t, TD t ) konstruke: postup: 2 1. AT; AT t 4,2 m k; k( A, r t 3,4 m) l; l( T, r t 3,8 m) 3 4. D; Dk l 5. C; S( T) : D C C ; C DT DC TC B; S( C0) : A B 8. ABC A T B ) Diskuse ověření: Jestliže trojúhelník ADT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení. k l 3,40 m 4,17 m

52 3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: t = 6,9 m, t = 8,1 m, t = 3,3 m Řešení: Budeme řešit pomoí pomoného trojúhelníku ADT (podle věty sss): AT t, AD t, TD t ) konstruke: postup: 2 1. AT; AT t 4,6 m k; k( A, r t 5,4 m) l; l( T, r t 2,2 m) 3 4. D; Dk l 5. C; S( T) : D C C ; C DT DC TC A T k l B 7. B; S( C0) : A B 8. ABC ) Diskuse ověření: Jestliže trojúhelník ADT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení. 5,42 m 4,58 m 2,23 m

53 11. Sestrojte trojúhelník ABC( 6 m, v 4,5 m, 60 ) Řešení: Tuto úlohu můžeme řešit pomoí posunutí neo pomoí úsekového úhlu. Hledáme množinu vrholů úhlu 0 o velikosti 60, pod kterou vidíme dnou úsečku AB. Vrhol C leží n: AB1 n příslušném olouku k ( S, SA) Jinou možností je využití množiny odů dné vlstnosti. Konstruki trojúhelníku zčínáme sestrojením úhlu γ. ) konstruke: Postup 1: 1. XAY; XAY p; p CX ; Xp 4,5 m C 3. B; B p CY 4. k; k ; 6 m 5. A; A k CX 6. ABC X Y B p k A ) Diskuse ověření: Průnikem polopřímky přímky p je právě jeden od B. Kružnie k polopřímk CX má právě jeden společný od A. Řešením úlohy je právě jeden trojúhelník ABC

54 Postup 2 (úsekový úhel): 1. AB; AB 6 m C ; C AB AC BC oab; C0 oab oab AB 4. BAX ; BAX 60 (úsekový úhel) 5. XAY ; XAY S; S oab AY 7. k; k( S, SA ) k o AB B 1 Y S C t l 8. t; t( C0, C0A 3 m) 9. l; l( B,4,5 m) 10. B1; B1t l 11. C; C AB1 k 12. ABC ) Diskuse ověření: A X C 0 B V polorovině ABY existuje právě jeden střed S. Polopřímk 1 AB protíná olouk kružnie k v jediném odě C. V polorovině je právě 1 řešení

55 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 5 m, v = 4,5 m, γ = 50 Řešení: Tuto úlohu můžeme řešit pomoí úsekového úhlu. Hledáme množinu vrholů úhlu 0 o velikosti 60, pod kterou vidíme dnou úsečku AB. Vrhol C leží n: AB1 n příslušném olouku k ( S, SA) ) konstruke: postup 1: 1. XCY; XCY p, p CX p, C v 4,5 m 3. B; B CY p 4. k; k( B,5 m) 5. A; Ak CX 6. ABC

56 1. AB; AB 5 m C ; C AB AC BC oab; C0 oab oab AB 4. BAX ; BAX 50 (úsekový úhel) 5. XAY ; XAY S; S oab AY 7. k; k( S, SA ) 8. t; t( C0, C0A 2,5 m) 9. l; l( B,4,5 m) 10. B1; B1t l 11. C; C AB1 k 12. ABC ) Diskuse ověření: V polorovině ABY existuje právě jeden střed S. Polopřímk AB 1 protíná olouk kružnie k v jediném odě C. V polorovině je právě 1 řešení. A k Y X C o AB S C 0 t l B

57 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 4 m, v = 3,5 m, γ = 30 Řešení: Tuto úlohu můžeme řešit pomoí posunutí neo pomoí úsekového úhlu. Hledáme množinu vrholů úhlu 0 o velikosti 50, pod kterou vidíme dnou úsečku AB. Vrhol C leží n: p; p p, v n příslušném olouku k ( S, SA) ) konstruke: postup: 1. AB; AB 4 m C C ; C AB AC BC k 3. oab; C0 oab oab AB 4. BAX ; BAX 30 (úsekový úhel) 5. XAY ; XAY S; S oab AY S o AB Y l 7. k; k( S, SA ) t; t( C, C A ) l; l( B,3,5 m) 10. B1; B1t l 11. C; C AB1 k 12. ABC A C 0 t B X ) Diskuse ověření: V polorovině ABY existuje právě jeden střed S. Polopřímk 1 AB protíná olouk kružnie k v jediném odě C. V polorovině je právě 1 řešení

58 3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 4 m, v = 4,3 m, γ = 40 Řešení: Tuto úlohu můžeme řešit pomoí posunutí neo pomoí úsekového úhlu. Hledáme množinu vrholů úhlu o 0 velikosti 50, pod kterou vidíme dnou úsečku AB. Vrhol C leží n: p; p p, v n příslušném olouku k ( S, SA) ) konstruke: postup: 1. AB; AB 4 m C ; C AB AC BC oab; C0 oab oab AB 4. BAX ; BAX 40 (úsekový úhel) k o AB l Y 5. XAY ; XAY S; S oab AY S 7. k; k( S, SA ) t; t( C, C A ) l; l( B,4,3 m) 10. B1; B1t l 11. C; C AB1 k 12. ABC A C 0 X t B ) Diskuse ověření: V polorovině ABY existuje právě jeden střed S. Polopřímk 1 AB neprotíná olouk kružnie k. V polorovině není řešení

59 12. trojúhelník ABC t, t, v ) ( Využijeme vlstnosti výšky v potom uď zvolíme C 0 pomoí t sestrojíme C neo 2 nopk. Njdeme T pomoí t njdeme A podle S( C 0 ) : A B. 3 ) konstruke: 1. CC ; CC t X ; X CC XC XC 3. t; t ( X ; XC ) 4. k; k ( C; v ) 5. C ; C k t T; T CC0 TC t l; l ( T, t 3 8. A; Al C C B; S( C ) : A B 10. ABC ) diskuse:

60 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: t 3 m, t 4,5 m, v 4 m Řešení: ) rozor Využijeme vlstnosti výšky v potom uď zvolíme C 0 pomoí t sestrojíme C neo nopk. Njdeme T pomoí 2 t njdeme 3 A podle S( C 0 ) : A B. ) konstruke: Postup: 1. CC ; CC t 4,5 m X ; X CC XC XC 3. t; t ( X ; XC ) 0 0 C t k 4. k; k ( C; v 4 m) 5. C ; C k t T; T CC0 TC t 3 m l; l ( T, t 2 m) 3 8. A; Al C C B; S( C ) : A B 10. ABC A C 1 B' X A' B ) diskuse: Kružnie k t mjí 2 společné ody. Řešením jsou 2 ody C 1. Kružnie k přímk CC 1 mjí 2 společné ody A, A. V polorovině jsou 2 různá řešení, v rovině elkem 4 různá řešení

61 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: t 7,5 m, t 6 m, v 3 m Řešení: Využijeme vlstnosti výšky potom uď zvolíme C 0 v pomoí t sestrojíme C neo nopk. 2 Njdeme T pomoí t njdeme 3 A podle S C ) : A B. ( 0 ) konstruke: Postup: 1. CC ; CC t 6 m X ; X CC XC XC 3. t; t ( X ; XC ) k; k ( C; v 3 m) 5. C ; C k t 2 6. T; T CC0 TC t 4 m l; l ( T, t 5 m) 3 8. A; Al C C B; S( C ) : A B 10. ABC A C 1 B' C X t k A' ) diskuse: B Kružnie k t mjí 2 společné ody. Řešením jsou 2 ody C 1. Kružnie k přímk CC 1 mjí 2 společné ody A, A. V polorovině jsou 2 různá řešení, v rovině elkem 4 různá řešení

62 3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: t 7,5 m, t 6 m, v 6,5 m Řešení: Využijeme vlstnosti výšky v potom uď zvolíme C 0 pomoí t sestrojíme C neo nopk. Njdeme T 2 pomoí t njdeme A podle 3 S( C 0 ) : A B. ) konstruke: Postup: 1. CC ; CC t 6 m X ; X CC XC XC 3. t; t ( X ; XC ) k; k ( C; v 6,5 m) 5. C ; C k t 2 6. T; T CC0 TC t 4 m l; l ( T, t 5 m) 3 8. A; Al C C B; S( C ) : A B 10. ABC C X t k ) diskuse: Kružnie k t nemjí společné ody. Úloh nemá řešení

63 13. trojúhelník ABC (, v, r ) Buď zčneme rýsovt od strny (řešení v polorovině), neo od kružnie (řešení v rovině). Musíme řešit vzth mezi r ( smozřejmě i s v ). ) konstruke Postup: 1. AB; AB 2. k; k ( B, r) 3. k '; k ' ( A; r) 4. S; S k k ' 5. o; o ( S; r) 6. p; p AB; Ap v 7. C; C p o 8. ABC ) diskuse: Kružnie k, k mohou mít společné 0, 1 neo 2 ody.kružnie o přímk p mohou mít společné 0, 1 neo 2 ody. Potom můžeme dostt 0, 2 neo 4 řešení v rovině

64 1. Sestrojte trojúhelník ABC: = 5 m, v = 2,5 m, r = 3 m Řešení: Buď zčneme rýsovt od strny (řešení v polorovině), neo od kružnie (řešení v rovině). Musíme řešit vzth mezi r ( smozřejmě i s v ). ) konstruke Postup: 1. AB; AB 5 m 2. k; k ( B, 3 m) 3. k '; k ' ( A; 3 m) 4. S; S k k ' 5. o; o ( S; 3 m) 6. p; p AB; Ap 2,5 m 7. C; C p o 8. ABC ) diskuse Kružnie k k mjí 2 společné ody, vzniknou 2 středy kružni opsnýh v rovině. Kružnie o přímk p mjí 2 společné ody C C. Úloh má 2 řešení v polorovině, 4 řešení (osově souměrné) v rovině. A k' k o B

65 2. Sestrojte trojúhelník ABC: = 5 m, v = 6 m, r = 3,5 m Řešení: ) rozor Buď zčneme rýsovt od strny (řešení v polorovině), neo od kružnie (řešení v rovině). Musíme řešit vzth mezi r ( smozřejmě i s v ). ) konstruke Postup: 1. AB; AB 5 m 2. k; k ( B, 3,5 m) 3. k '; k ' ( A; 3,5 m) 4. S; S k k ' 5. o; o ( S; 3,5 m) 6. p; p AB; Ap 6 m 7. C; C p o 8. ABC k' C S k A B ) diskuse Kružnie k k mjí 2 společné ody, vzniknou 2 středy kružni opsnýh v rovině. Kružnie o přímk p mjí 2 společné ody C C. Úloh má 2 řešení v polorovině, 4 řešení (osově souměrné s osou AB) v rovině. o

66 3. Sestrojte trojúhelník ABC: = 5 m, v = 3,8 m, r = 2,6 m Řešení: ) rozor Buď zčneme rýsovt od strny (řešení v polorovině), neo od kružnie (řešení v rovině). Musíme řešit vzth mezi r ( smozřejmě i s v ). ) konstruke Postup: 1. AB; AB 5 m 2. k; k ( B, 2,6 m) 3. k '; k ' ( A; 2,6 m) 4. S; S k k ' 5. o; o ( S; 2,6 m) k' k 6. p; p AB; Ap 3,8 m 7. C; C p o 8. ABC A S B o ) diskuse Kružnie k k mjí 2 společné ody, vzniknou 2 středy kružni opsnýh v rovině. Kružnie o přímk p mjí 0 společnýh odů. Úloh nemá řešení

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2.

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2. 76 Další metriké úlohy II Předpoklady: 7 Př : Najdi přímku rovnoěžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od odu A[ ; ] Osou I a III kvadrantu je přímka y = x přímky s ní rovnoěžné mají rovnii x y + = 0

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

VY_32_INOVACE_04_Shodnost trojúhelníků -věta sss_02. Škola: Základní škola Slušovice, okres Zlín, příspěvková organizace

VY_32_INOVACE_04_Shodnost trojúhelníků -věta sss_02. Škola: Základní škola Slušovice, okres Zlín, příspěvková organizace VY_32_INOVACE_04_Shodnost trojúhelníků -věta sss_02 Autor: Růžena Krupičková Škola: Základní škola Slušovice, okres Zlín, příspěvková organizace Název projektu: Zkvalitnění ICT ve slušovské škole Číslo

Více

3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky

3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky ..7 Příkldy řešené pomocí ět pro trojúhelníky Předpokldy:, 6 Pedgogická poznámk: U následujících příkldů ( u mnoh dlších příkldů z geometrie) pltí, že nedílnou součástí řešení je nápd (který se tké nemusí

Více

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I 3.4.3 Množiny odů dné vlstnosti I Předpoldy: 3401 Něteé z těchto množin už známe. J je definován užnice ( ; )? Množin všech odů oviny, teé mjí od středu vzdálenost. Předchozí vět znmená dvě věci: Vzdálenost

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

6. Úhel a jeho vlastnosti

6. Úhel a jeho vlastnosti 6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol

Více

53. ročník matematické olympiády. q = 65

53. ročník matematické olympiády. q = 65 53. ročník matematické olympiády! 1. V rovině je dán obdélník ABCD, kde AB = a < b = BC. Na jeho straně BC eistuje bod K a na straně CD bod L tak, že daný obdélník je úsečkami AK, KL a LA rozdělen na čtyři

Více

M - Planimetrie pro studijní obory

M - Planimetrie pro studijní obory M - Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh:

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

3.4.12 Konstrukce na základě výpočtu II

3.4.12 Konstrukce na základě výpočtu II 3.4. Konstruk n záklě výpočtu II Přpokly: 34 Př. : J án úsčk o jnotkové él úsčky o élkáh,, >. Nrýsuj: ) úsčku o él = +, ) úsčku o él Při rýsování si élky úsčk, vhoně zvol. =. Prolém: O výrzy ni náhoou

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

= 8 25 + 19 12 = 32 43 32 = 11. 2 : 1 k > 0. x k + (1 x) 4k = 2k x + 4 4x = 2 x = 2 3. 1 x = 3 1 2 = 2 : 1.

= 8 25 + 19 12 = 32 43 32 = 11. 2 : 1 k > 0. x k + (1 x) 4k = 2k x + 4 4x = 2 x = 2 3. 1 x = 3 1 2 = 2 : 1. 4 4 = 8 8 8 = 5 + 19 1 = 4 = 11 : 1 k > 0 k 4k x 1 x x k + (1 x) 4k = k x + 4 4x = x = x 1 x = 1 = : 1. v h h s 75 v 50 h s v v 50 s h 75 180 v h 90 v 50 h 180 90 50 = 40 s 65 v 80 60 80 80 65 v 50 s 50

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Maturitní příklady 2011/2012

Maturitní příklady 2011/2012 Mturitní příkldy 0/0 Výroková logik, množiny, důkzy Ve třídě je 0 dívek 5 hohů Jedn čtvrtin dívek nosí rýle elkem 0% žáků ve třídě má rýle Kolik hohů nenosí rýle? Ze 00 studentů se 0 učí němeky, 8 špnělsky

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 62. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Čtvercová tabulka je rozdělena na 16 16 políček. Kobylka se po ní pohybuje dvěma směry: vpravo nebo dolů, přičemž střídá skoky

Více

Planimetrie pro studijní obory

Planimetrie pro studijní obory Variace 1 Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Planimetrie Planimetrie

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 Název školy Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Název a číslo OP OP Vzdělávání

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

OSOVÁ SOUMĚRNOST. Lekce je navržená pro dvě vyučovací hodiny, 90 minut. Průběh lekce:

OSOVÁ SOUMĚRNOST. Lekce je navržená pro dvě vyučovací hodiny, 90 minut. Průběh lekce: OSOVÁ SOUMĚRNOST Lekce je navržená pro dvě vyučovací hodiny, 90 minut. Průběh lekce: EVOKACE Metoda: volné psaní Každý žák obdrží obrázek zámku Červená Lhota. Obrázek je také možné promítnout na interaktivní

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta Katedra matematiky

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta Katedra matematiky UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta Katedra matematiky MICHAL HECZKO 2. ročník program celoživotního vzdělávání Program: Matematika - učitelství pro 2. stupeň ZŠ VYUŽITÍ GEOMETRICKÝCH APLIKACÍ

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické Osvětlení Vypracoval: Zbyšek Sedláček Třída: 8.M Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie

Více

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 PLANIMETRIE Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti Název školy Název šablony Předmět Tematický celek

Více

Vybrané kapitoly z matematiky Geometrie na 2. stupni ZŠ

Vybrané kapitoly z matematiky Geometrie na 2. stupni ZŠ ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka Vybrané kapitoly z matematiky Geometrie na 2. stupni ZŠ Poznámka autora Následující studijní materiál slouží jako pomůcka

Více

v trojúhelníku P QC sestrojíme vý¹ky na základnu a jedno rameno, patu vý¹ky na rameno oznaèíme R a patu na základnu S

v trojúhelníku P QC sestrojíme vý¹ky na základnu a jedno rameno, patu vý¹ky na rameno oznaèíme R a patu na základnu S Øe¹ení 5. série IV. roèníku kategorie JUNIOR RS-IV-5-1 Pro na¹e úvahy bude vhodné upravit si na¹í rovnici do tvaru 3 jx 1 4 j+2 = 5 + 4 sin 2x: Budeme uva¾ovat o funkci na pravé stranì na¹í rovnice, tj.

Více

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ 5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na

Více

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie)

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Geometrie (původně zeměměřictví) nyní část matematiky, zabývající se studiem geometrických objektů Planimetrie rovinná geometrie Stereometrie prostorová geometrie

Více

ZÁKLADY PLANIMETRIE. 1.1 Přímka. Základy planimetrie, Jaroslav Reichl, 2013

ZÁKLADY PLANIMETRIE. 1.1 Přímka. Základy planimetrie, Jaroslav Reichl, 2013 ZÁKLADY PLANIMETRIE Planimetrie je část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Těmito útvary v rovině jsou: 1. body - značí se velkými písmeny latinské abecedy (A, B, C, D,

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

ÚVOD... 5 CÍLE PŘEDMĚTU... 7 1. ROVINNÉ ÚTVARY... 9 1.1. ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY... 10 ZNAČENÍ A ZÁPIS ZÁKLADNÍCH PLANIMETRICKÝCH ÚTVARŮ...

ÚVOD... 5 CÍLE PŘEDMĚTU... 7 1. ROVINNÉ ÚTVARY... 9 1.1. ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY... 10 ZNAČENÍ A ZÁPIS ZÁKLADNÍCH PLANIMETRICKÝCH ÚTVARŮ... O B C H O D N Í A K A D E M I E O R L O V Á M A T E M A T I K A I II Z Á K L A D Y G E O M E T R I E U Č E B N Í T E X T P R O D I S T A N Č N Í F O R M U V Z D Ě L Á V Á N Í E V A B A R T O Ň O V Á P

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Planimetrie. Přímka a její části

Planimetrie. Přímka a její části Planimetie Přímka a její části Bod - značí se velkými tiskacími písmeny - bod ozděluje přímku na dvě opačné polooviny Přímka - značí se malými písmeny latinské abecedy nebo AB, AB - přímka je dána dvěma

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

Gymnázium, Ostrava-Poruba, Čs. exilu 669

Gymnázium, Ostrava-Poruba, Čs. exilu 669 Gymnázium, Ostrava-Poruba, Čs. exilu 669 TUDIJNÍ OPOR DITNČNÍHO VZDĚLÁVÁNÍ ŘEŠENÍ PLNIMETRIKÝH KONTRUKČNÍH ÚLOH EV DVIDOVÁ Ostrava 2005 Zpracovala: RNDr. Eva Davidová Recenzenti: Doc. RNDr. Pavel Květoň,

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

R O V N O B Ž N Í K (2 HODINY)

R O V N O B Ž N Í K (2 HODINY) R O V N O B Ž N Í K (2 HODINY)? Co to vlastn rovnobžník je? Na obrázku je dopravní znaka, která íká, že vzdálenost k železninímu pejezdu je 1 m (dva pruhy, jeden pruh pedstavuje vzdálenost 80 m): Pozorn

Více

Š ÍŠ Ť ž Ť Ý č ď č š Ť č č č š č Ť š š Ť Í šč š č č č č Ď č Ť č š š ť Š Ť Ť Š č č č ž Š č č š Ť Ť ž Ť ť Ť č š š Ť ť Ť ť č č Ť ž š Ť š Ť Ť š Ť š Ť Ť ť Č š Ť č š Ť č Ť ť č č š Ť ť Ý Ť š ď š Í Ť Í ť Ť ť š

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

Direct emailing na míru Emailing podle kategorií Traffic pro váš web Databáze firem SMS kampaně Propagace přes slevový portál Facebook marketing

Direct emailing na míru Emailing podle kategorií Traffic pro váš web Databáze firem SMS kampaně Propagace přes slevový portál Facebook marketing I N T E R N E T O V Ý M A R K E T I N G e f e k t i v n í a c í l e n ý m a r k e t i n g p r o f e s i o n á l n í e m a i l i n g š p i č k o v é t e c h n i c k é z á z e m í p r o p r a c o v a n é

Více

1.7.10 Střední příčky trojúhelníku

1.7.10 Střední příčky trojúhelníku 1710 Střední příčky trojúhelníku Předpoklady: Př 1: Narýsuj libovolný trojúhelník (zvol ho tak, aby se co nejvíce lišil od trojúhelníku, který narýsoval soused) Najdi středy všech stran S a, S b a S c

Více

5.2.2 Matematika - 2. stupeň

5.2.2 Matematika - 2. stupeň 5.2.2 Matematika - 2. stupeň Charakteristika předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu: Vyučovací předmět Matematika na 2. stupni školy navazuje svým vzdělávacím obsahem na předmět Matematika

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po

Více

1. Opakování učiva 6. ročníku

1. Opakování učiva 6. ročníku . Opakování učiva 6. ročníku.. Čísla, zlomek ) Z číslic, 6 a sestavte všechna trojciferná čísla tak, aby v každém z nich byly všechny tři číslice různé. ) Z číslic, 0, 3, sestavte všechna čtyřciferná čísla

Více

Zobrazení a řezy těles v Mongeově promítání

Zobrazení a řezy těles v Mongeově promítání UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta Katedra matematiky Michaela Sukupová 3. ročník prezenční studium Obor: Matematika se zaměřením na vzdělávání a český jazyk se zaměřením na vzdělávání

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò:

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò: 9. TØÍDA PZ 2012 9. tøída I MA D Matematika Až zahájíš práci, nezapomeò: každá úloha má jen jedno správné øešení úlohy mùžeš øešit v libovolném poøadí test obsahuje 30 úloh na 60 minut sleduj bìhem øešení

Více

Konstrukce pravého úhlu pomocí kružítka 3 úlohy

Konstrukce pravého úhlu pomocí kružítka 3 úlohy Konstrukce pravého úhlu pomocí kružítka 3 úlohy Mgr. Jitka Koubová N{zev školy Z{kladní škola a Mateřsk{ škola Číslo projektu CZ. 1.07 N{zev šablony klíčové aktivity Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Než si uvedem pravidla hry slovní logik a motivační úlohy k tomto příkladu, vyřešme následující úlohu.

Než si uvedem pravidla hry slovní logik a motivační úlohy k tomto příkladu, vyřešme následující úlohu. 1 1 Kategorie C V této kapitole se budeme věnovat problémovým úlohám a úlohám k procvičení, které jsou vhodným výchozím studijním materiálem pro úspěšné zvládnutí domácí části matematické olympiády kategorie

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

STEREOMETRIE, TĚLESA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

STEREOMETRIE, TĚLESA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky STEREOMETRIE, TĚLESA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

FOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině

FOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině FOTOGRAMMETRIE Máme-li k dispozici jednu nebo několik fotografií daného objektu (objekt zobrazený v lineární perspektivě), pomocí fotogrammetrie můžeme zjistit jeho tvar, rozměr či polohu v prostoru. Známe-li

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Prioritní osa: 1 Počáteční vzdělávání Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21. 0918 Název projektu:inovace vzdělávání v

Více

! "#" $ % % &$ ' ( # )

! # $ % % &$ ' ( # ) "#"$%% &$'(# ) "# $ %& ' "*+ ", -.-/% ", ) 0"/-/% 1 1"234/ 5" 5 "#) 0 6",7## 5 8"3/ /. 0 "%#) #9 10 ",. :% ; /% # /;.)9).% # #) =? /#) ;/ " @A : "#" ) A% 3?>#B#: @C3 55516

Více

(A) o 4,25 km (B) o 42,5 dm (C) o 42,5 m (D) o 425 m

(A) o 4,25 km (B) o 42,5 dm (C) o 42,5 m (D) o 425 m . Když od neznámého čísla odečtete 54, výsledek vydělíte 3 a následně přičtete 6, získáte číslo 9. Jaká je hodnota tohoto neznámého čísla? (A) 0 (B) 03 (C) 93 (D) 89 2. Na úsečce SV, jejíž délka je 3 cm,

Více

NĚKTERÉ NETRADIČNÍ VHLEDY DO GEOMETRIE. SOČ z matematiky

NĚKTERÉ NETRADIČNÍ VHLEDY DO GEOMETRIE. SOČ z matematiky NĚKTERÉ NETRADIČNÍ VHLEDY DO GEOMETRIE SOČ z matematiky Jan Kuchařík Gymnázium Jihlava, 011/01 1 Anotace: Tato SOČ je zaměřená na některé netradiční partie geometrie, které se běžně neprobírají na středních

Více

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel Ročník: I. - vytváří si názoru představu o čísle 5, 10, 20 - naučí se vidět počty prvků do 5 bez počítání po jedné - rozpozná a čte čísla 0 5 - pozná a čte čísla 0 10 - určí a čte čísla 0 20 Číselná řada

Více

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 01/13-1- Obsah Posloupnosti... 4 Aritmetická posloupnost... 5 Geometrická posloupnost... 6 Geometrické řady... 7 Finanční matematika... 8 Vektor, operace s vektory... 9 Vzdálenosti

Více

Člověk a svět práce rýsování Design a konstruování. Mgr. Dana Pavlíková

Člověk a svět práce rýsování Design a konstruování. Mgr. Dana Pavlíková Člověk a svět práce rýsování Design a konstruování Mgr. Dana Pavlíková Brno 2012 Obsah KAPITOLA 1 Planimetrie... 4 KAPITOLA 2 Shodnost a podobnost trojúhelníků.... 20 KAPITOLA 3 Kružnice a kruh. Obvodové

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace. Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Mezipředmětové vztahy, průřezová témata, projekty, kurzy

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace. Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Mezipředmětové vztahy, průřezová témata, projekty, kurzy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Žák: čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla provádí početní operace s přirozenými čísly zpaměti a písemně provádí

Více

5. ročník, 2015 / 2016 Mezinárodní korespondeční seminář iks

5. ročník, 2015 / 2016 Mezinárodní korespondeční seminář iks Řešení 1. série Úloha N1. Existuje nekonečná posloupnost přirozených čísel a 1, a 2,... taková, že a i a a j jsou nesoudělná právě když i j = 1? Řešení. Označme {r i } posloupnost všech prvočísel seřazených

Více

Matematika a její aplikace. Matematika a její aplikace

Matematika a její aplikace. Matematika a její aplikace Oblast Předmět Období Časová dotace Místo realizace Charakteristika předmětu Průřezová témata Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace 1. 9. ročník 1. ročník 4 hodiny týdně 2. 5. ročník 5

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

Deskriptivní geometrie II.

Deskriptivní geometrie II. Střední průmyslová škola elektrotechnická a Vyšší odborná škola Pardubice, Karla IV. 13 Deskriptivní geometrie II. Ing. Rudolf Rožec Pardubice 2001 Skripta jsou určena pro předmět deskriptivní geometrie

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

M - Goniometrie a trigonometrie

M - Goniometrie a trigonometrie M - Goniometrie a trigonometrie Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia a jako shrnující učební text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více