5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):"

Transkript

1 5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit trojúhelníková nerovnost: + = 9,8 m + > + = 11,8 m + > + = 13,2 m + > Trojúhelník lze nrýsovt. = 7,6 m = 5,6 m = 4,2 m ) konstruke: k C l postup: 1. AB ; AB 7,6 m 2. k ; ka (, 5,6 m) 3. l ; lb (, 4,2 m) 4. C ; C k l 5. trojúhelník ABC A B ) Ověření diskuse: Trojúhelník vyhovuje zdání v polorovině je právě 1 řešení

2 2. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: = AB = 3,2 m, = BC = 4,6 m, = AC = 3,9 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit trojúhelníková nerovnost: + = 8,5 m + = 7,8 m + = 7,1 m Trojúhelník lze nrýsovt. + > + > + > ) konstruke: k C l postup: 1. AB ; AB 3,2 m 2. k ; ka (, 3,9 m) 3. l ; lb (, 4,6 m) 4. C ; C k l 5. trojúhelník ABC A B ) Ověření diskuse: Trojúhelník vyhovuje zdání v polorovině je právě 1 řešení

3 3. Nrýsuj trojúhelník KLM, je-li dáno: m = KL = 7,5 m, k = LM = 6,1 m, l = KM = 2,5 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit trojúhelníková nerovnost: k + l = 8,6 m k + m = 13,6 m l + m =10,0 Trojúhelník lze nrýsovt. k+ l> m k+ m> l l+ m> k ) konstruke: k M l postup: 1. KL; KL 7,5 m 2. k ; kk (, 2,5 m) 3. l ; ll (, 6,1 m) 4. M; M k l 5. trojúhelník KLM K L ) Ověření diskuse: Trojúhelník vyhovuje zdání v polorovině je právě 1 řešení

4 4. Nrýsuj trojúhelník KLM, je-li dáno: m = KL = 5,5 m, k = LM = 6,1 m, l = KM = 3,5 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit trojúhelníková nerovnost: k + l = 9,6 m k + m = 11,6 m l + m = 9,0 Trojúhelník lze nrýsovt. k+ l> m k+ m> l l+ m> k ) konstruke: k M l postup: 1. KL; KL 5,5 m 2. k ; kk (, 3,5 m) 3. l ; ll (, 6,1 m) 4. M; M k l 5. trojúhelník KLM K L ) Ověření diskuse: Trojúhelník vyhovuje zdání v polorovině je právě 1 řešení

5 5. Nrýsuj trojúhelník KLM, je-li dáno: m = KL = 2,1 m, k = LM = 3,0 m, l = KM = 4,8 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit trojúhelníková nerovnost: k + l = 7,8 m k + m = 5,1 m l + m = 6,9 Trojúhelník lze nrýsovt. k+ l> m k+ m> l l+ m> k ) konstruke: k M postup: 1. KL; KL 2,1 m 2. k ; kk (, 4,8 m) 3. l ; ll (, 3 m) 4. M; M k l 5. trojúhelník KLM l K L ) Ověření diskuse: Trojúhelník vyhovuje zdání v polorovině je právě 1 řešení

6 6. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 9,9 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit trojúhelníková nerovnost: + = 9,8 m + > NEPLATÍ + = 14,1 m + > + =15,5 m + > Trojúhelník NELZE nrýsovt

7 7. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, 35 Řešení: Vrhol C leží n polopříme BX n kružnii k (B, 4,2 m). ) konstruke: C k X postup: 1. AB ; AB 7,6 m 2. k; k( B, 4,2 m) 3.; ABX ; ABX C; C k BX 5. trojúhelník ABC A B ) Ověření diskuse: Polopřímk BX má s kružnií k právě 1 společný od, proto má úloh v polorovině právě 1 řešení, které vyhovuje zdání úlohy. (Je to podle věty sus.) - 7 -

8 8. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 4,5 m, AC = 4,2 m, 84 Řešení: Vrhol C leží n polopříme AX n kružnii k (A, 4,2 m). ) konstruke: X C k postup: 1. AB ; AB 4,5 m 2. k; k( A, 4,2 m) 3.; BAX ; BAX C; C k AX 5. trojúhelník ABC A B ) Ověření diskuse: Polopřímk AX má s kružnií k právě 1 společný od, proto má úloh v polorovině právě 1 řešení, které vyhovuje zdání úlohy. (Je to podle věty sus.) - 8 -

9 9. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AC = 5,3 m, BC = 4,1 m, 111 Řešení: Vrhol B leží n polopříme CX n kružnii k (C, 4,1 m). ) konstruke: C X B postup: 1. AC; AC 5,3 m 2. k; k( C, 4,1 m) 3.; ACX ; ACX B; Bk CX 5. trojúhelník ABC A k ) Ověření diskuse: Polopřímk CX má s kružnií k právě 1 společný od, proto má úloh v polorovině právě 1 řešení, které vyhovuje zdání úlohy. (Je to podle věty sus.) - 9 -

10 10. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, 37, 58 Vrhol B leží n polopříme CX n kružnii k (C, 4,1 m). Pro velikosti úhlů musí pltit, že velikost součtu dvou úhlů je menší než Trojúhelník lze nrýsovt. ) konstruke: X C Y postup: 1. AB; AB 7,6 m 2. BAX ; BAX ABY ; ABY C; C AX BY 5. trojúhelník ABC A B ) Ověření diskuse: Polopřímky se protínjí právě v jednom odě. Proto má úloh právě jedno řešení, které vyhovuje zdání úlohy. (Je to podle věty usu)

11 11. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 8,4 m, 112, 15 Řešení: Pro velikosti úhlů musí pltit, že velikost součtu dvou úhlů je menší než Trojúhelník lze nrýsovt. ) konstruke: X C Y postup: 1. AB; AB 8,4 m 2. BAX ; BAX ABY; ABY C; C AX BY 5. trojúhelník ABC A B ) Ověření diskuse: Polopřímky se protínjí právě v jednom odě. Proto má úloh právě jedno řešení, které vyhovuje zdání úlohy. (Je to podle věty usu)

12 12. Sestroj trojúhelník ABC, je-li Řešení: AB AC 0 5 m, 4,6 m, 58. Vrhol C leží: n ka (, 4,6 m) BX n ) konstruke: k C X postup: 1. AB ; AB 5 m 2. ABX ; 0 ABX k ; ka (, 4,6 m) 4. C ; C k BX 5. trojúhelník ABC C A B ) Ověření diskuse: Polopřímk BX má s kružnií k právě 2 společné ody, proto má úloh v polorovině právě 2 řešení: ABC, ABC '. O trojúhelníky vyhovují zdání úlohy. (Je to podle věty ssu.)

13 Konstruke s využitím dlšíh prvků: Příkldy jsou dány oeně. 1. trojúhelník ABC,, v ) : Řešení: ( C leží n: p ve vzdálenosti v AX, XAB ) konstruke (oeně pouze postup, konkrétní příkldy viz níže): postup: 1. AB ; AB 2. XAB; XAB 3. p; p p, vc 4. C ; C p AX 5. trojúhelník ABC ) Diskuse ověření: Polopřímk AX protíná přímku p právě v jednom odě, úloh má v polorovině právě 1 řešení

14 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 3,8 m, v = 3 m, α = 100 o. C leží n: p ve vzdálenosti v AX, XAB ) konstruke: X C p postup: 1. AB; AB 3,8 m 2. XAB; XAB p; p p, 3 m 4. C; C AX p 5. ABC A B ) Diskuse ověření: Polopřímk AX protíná přímku p právě v jednom odě, úloh má v polorovině právě 1 řešení

15 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: α = 87, = 3 m, v = 2,7 m. Řešení: C leží n: p ve vzdálenosti v AX, XAB ) konstruke X C p postup: 1. AB; AB 3 m 2. XAB; XAB p; p p, 2,7 m 4. C; C AX p 5. ABC A B ) Diskuse ověření: Polopřímk AX protíná přímku p právě v jednom odě, úloh má v polorovině právě 1 řešení

16 2. trojúhelník ABC,, t ) : Řešení: ( C leží n: AX, XAB k ; k( C0, t ), C0 je střed strny AB ) konstruke (oeně pouze postup, konkrétní příkldy viz níže): postup: 1. AB ; AB 2. XAB; XAB 3. C 0 ; C0 AB, C0 A C0B 4. k ; k ( C0, t ) 5. C ; C AX k 6. trojúhelník ABC ) Diskuse ověření: Oeně kružnie přímk mjí 0, 1 neo 2 společné ody. Pokud k neprotíná AX, není žádné řešení, dotýká-li se AX, je právě 1 řešení protíná-li k AX, jsou právě 2 řešení v polorovině

17 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 3,8 m, t = 2,7 m, α = 52. Řešení: C leží n: AX, XAB k ; k( C0, t ), C0 je střed strny AB ) konstruke: C postup: 1. AB; AB 3,8 m A X C 0 B k 2. XAB; XAB C0; C0 AB AC0 BC0 4. k; k( C 0, 2,7 m) 5. C; C AX k 6. ABC ) Diskuse ověření: Kružnie k polopřímk jeden trojúhelník. AX má právě 1 společný od. Správným řešením je právě

18 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 5 m, t = 3,4 m, α = 110. Řešení: C leží n: AX, XAB k ; k( C0, t ), C0 je střed strny AB ) konstruke: postup: 1. AB; AB 5 m C X A C 0 B k 2. XAB; XAB 110 C ; C AB AC BC k; k( C 0, 3,4 m) 5. C; C AX k 6. ABC ) Diskuse ověření: Kružnie k polopřímk jeden trojúhelník. AX má právě 1 společný od. Správným řešením je právě

19 3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 4,2 m, α = 75, t = 4,3 m. Řešení: C leží n: AX, XAB k ; k( C0, t ), C0 je střed strny AB ) konstruke: C k postup: 1. AB; AB 4,2 m 2. XAB; XAB 75 C ; C AB AC BC k; k( C 0, 4,3 m) 5. C; C AX k 6. ABC X A C 0 B ) Diskuse ověření: Kružnie k polopřímk jeden trojúhelník. AX má právě 1 společný od. Správným řešením je právě

20 4.Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 4,2 m, α = 75, t = 4,3 m. Řešení: C leží n: AX, AX AB0 AB CB 0 0 K sestrojení je nutné využít středovou souměrnost se středem v odě B 0, která od A zorzí jko od C. ) konstruke: X B 0 C k postup: 1. AB; AB 4,2 m 2. XAB; XAB k; k( B, 4,3 m) 4. B0; B0 AX k 5. C; S : A C B0 6. ABC A B ) Diskuse ověření: Kružnie k polopřímk jeden trojúhelník. AX má právě 1 společný od. Správným řešením je právě

21 3. trojúhelník ABC(, v, t ) : Řešení: C leží n: p //, p, v k ; k( C0, t ), C0 je střed strny ) konstruke (oeně pouze postup, konkrétní příkldy viz níže): postup: 1. AB ; AB 2. p ; p, v 3. C 0 ; C0 AB, C0 A C0B 4. k ; k ( C0, t ) 5. C ; C p k 6. trojúhelník ABC ) Diskuse ověření: Oeně kružnie přímk mjí 0, 1 neo 2 společné ody. Pokud t < v, není žádní řešení (kružnie přímk se neprotnou), když t = v, je v polorovině právě 1 řešení (kružnie se přímky dotýká) pokud t > v, jsou v polorovině právě 2 řešení (kružnie přímk se protínjí ve dvou odeh.)

22 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 5 m, t = 3,4 m, v = 3 m. Řešení: C leží n: p //, p, k ; k( C0, t ), C0 je střed strny v ) konstruke: k C C p postup: 1. AB; AB 5 m 2. p; p p, 3 m C ; C AB AC BC k; k( C 0, 3,4 m) 5. C; C p k 6. ABC A C 0 B ) Diskuse ověření: Kružnie přímk mjí 2 společné ody. V polorovině jsou právě 2 řešení

23 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 4,5 m, v = 2,5 m, t = 3 m. Řešení: C leží n: p //, p, v k ; k( C0, t ), C0 je střed strny ) konstruke: A k C C C 0 B p postup: 1. AB; AB 4,5 m 2. p; p p, 2,5 m C ; C AB AC BC k; k( C 0, 3 m) 5. C; C p k 6. ABC ) Diskuse ověření: Kružnie přímk mjí 2 společné ody. V polorovině jsou právě 2 řešení

24 3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 3,6 m, v = 3,3 m, t = 6 m. Řešení: C leží n: BA1, kde A 1 je pt kolmie, A1 BC, (tzn. v AA1 ) k ; k( C0, t ), C0 je střed strny Bod A 1 leží n Thletově kružnii nd strnou AB. ) konstruke: C k postup: 1. AB; AB 4,5 m C ; C AB AC BC l A 1 t t; t( C, r C A) l; l( A, 3,3 m) 5. A1; A1t l 6. k; k( C 0, 6 m) 7. C; C BA1 k 8. ABC A C 0 B ) Diskuse ověření: Kružnie l kružnie t mjí právě 1 společný od A 1. Polopřímk BA 1 kružnie k mjí právě 1 společný od. V polorovině je právě 1 trojúhelník, který splňuje zdání úlohy

25 4. trojúhelník ABC, v, v ) : Řešení: ( C leží n: BA1, A1 je pt v p // ve vzdálenosti v ) konstruke (oeně pouze postup, konkrétní příkldy viz níže): postup: 1. AB; AB 2. p; p p, v C ; C AB C A C B ttc ; ( 0, ) 2 5. k; k( A, v ) 6. A1; A1t k 7. C; C p BA1 8. ABC ) Diskuse ověření: Dvě kružnie k h mohou mít dv ( v < ), jeden ( v = prvoúhlý), neo žádný společný od A 1 ( v > ). A1 B, trojúhelník je

26 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 4,5 m, v = 3,4 m, v = 4 m. Řešení: B leží n: CA1, A1 je pt v p // ve vzdálenosti v ) konstruke: C postup: 1. AC; AC 4,5 m k t 2. p; p p, 4 m B ; B AC B A B C A B 0 A 1 B p t; t( B, r B A) k; k( A, 3,4 m) 6. A1; A1t k 7. B; B CA1 p 8. ABC ) Diskuse ověření: Dvě kružnie k t mjí v polorovině 1 společný od A 1. Polopřímk CA 1 přímk p mjí 1 společný od B. Řešením je právě jeden trojúhelník v polorovině

27 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 5,2 m, v = 4,1 m, v = 3,8 m. Řešení: C leží n: BA1, A1 je pt v p // ve vzdálenosti v ) konstruke: k C p postup: 1. AB; AB 5,2 m 2. p; p p, 4,1 m C ; C AB C A C B A C 0 A 1 t B t; t( C, C A ) k; k( A, 3,8 m) 6. A1; A1t k 7. C; C p BA1 8. ABC ) Diskuse ověření: Dvě kružnie k t mjí v polorovině 1 společný od A 1. Polopřímk BA 1 přímk p mjí 1 společný od C. Řešením je právě jeden trojúhelník v polorovině

28 3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 6,3 m, v = 4,6 m, v = 5,4 m. Řešení: C leží n: BA1, A1 je pt v p // ve vzdálenosti v ) konstruke: k C p postup: 1. AB; AB 6,3 m 2. p; p p, 4,6 m C ; C AB C A C B A 1 t t; t( C, C A ) k; k( A, 5,4 m) 6. A1; A1t k 7. C; C p BA1 8. ABC A C 0 B ) Diskuse ověření: Dvě kružnie k t mjí v polorovině 1 společný od A 1. Polopřímk BA 1 přímk p mjí 1 společný od C. Řešením je právě jeden trojúhelník v polorovině

29 5. trojúhelník ABC, t, v ) Řešení: ( Doplníme n rovnoěžník ABDC : D leží n: p // k ( A,2. t ) Neo využijeme vlstnosti, že střední příčk spojuje středy strn ( půlí příslušnou výšku n 2 shodné části): C leží n: BA1, A1 je pt v, l ( A, t ) ) konstruke (oeně pouze postup, konkrétní příkldy viz níže): postup: jsou 2 různé 1. AB; AB 2. p; p p, v 3. k; k( A,2 t ) 4. D; Dk p A ; A AD A A A D C; C BA1 p 7. ABC 1. AB ; AB 2. n ; n, 3. l ; l A, t ) ( v 2 4. A 1 ; A1 k n, BA1 5.C ; S( A 1 ) : B C 6. ABC ) Diskuse ověření: Kružnie přímk mjí dv, jeden neo žádný společný od. Jestliže je 2.t > v, kružnie k protíná přímku p ve dvou odeh jsou v polorovině právě 2 řešení, když 2.t = v, kružnie k se dotýká přímky p je právě 1 řešení když 2.t < v, kružnie k neprotíná přímku p není žádné řešení

30 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 5 m, v = 4 m, t = 3,5 m Řešení: Doplníme n rovnoěžník ABDC : D leží n: p // k A,2. t ) ( ) konstruke: postup: 1. AB; AB 5 m C l p D k 2. p; p p, 4 m 3. k; k( A, 7 m) 4. D; Dk p 5. l; l( D, 5 m) 6. C; C l p 8. ABC A B ) Diskuse ověření: Kružnie k přímk p mjí dv společné ody. Dostáváme 2 řešení v polorovině

31 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 4,2 m, v = 4,3 m, t = 4,7 m Řešení: Doplníme n rovnoěžník ABDC : D leží n: p // k A,2. t ) ( ) konstruke: p C l k D postup: 1. AB; AB 4,2 m 2. p; p p, 4,3 m 3. k; k( A, 9,4 m) 4. D; Dk p 5. l; l( D, 4,2 m) 6. C; C l p 8. ABC A B ) Diskuse ověření: Kružnie k přímk p mjí dv společné ody. Dostáváme 2 řešení v polorovině

32 3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 3,8 m, v = 3,8 m, t = 1,7 m Řešení: Doplníme n rovnoěžník ABDC : D leží n: p k A,2. t ) ( ) konstruke: A p k B postup: 1. AB; AB 3,8 m 2. p; p p, 3,8 m 3. k; k( A, 3,4 m) 4. D; Dk p 5. l; l( D, 3,8 m) 6. C; C l p 8. ABC ) Diskuse ověření: Kružnie k přímk p nemjí společný od. Tto úloh nemá řešení

33 6. trojúhelník ABC, v, v ) Řešení: ( Bod C leží n: AB1 BA 1 ) konstruke (oeně pouze postup, konkrétní příkldy viz níže): postup: 1. AB; AB C ; C AB C A C B t; t( C, r C B ) k; k( A, v ) 5. A1; A1k t 6. l; l( B, v ) 7. B1; B1l t C; C BA AB 9. ABC ) Diskuse ověření: Jestliže délky výšek udou větší než délk strny, neude mít úloh žádné řešení. Kružnie se neprotnou. Jestliže délky oou výšek udou rovny déle strny, oě pty y yly ve vrholeh A B neude žádné řešení. Jestliže délk jedné výšky ude rovn délk druhé ude menší než, ude v polorovině právě jedno řešení. Jestliže délky oou výšek ude menší než délk, udou v polorovině právě 2 řešení

34 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 3,6 m, v = 3,3 m, v = 2,8 m Řešení: Bod C leží n: AB1 BA 1 ) konstruke: C postup: 1. AB; AB 3,6 m A t B 1 k C 0 A 1 B l C ; C AB C A C B t; t( C, r C B ) k; k( A, 3,6 m) 5. A1; A1k t 6. l; l( B, 2,8 m) 7. B1; B1l t C; C BA AB 8. ABC ) Diskuse ověření: Jestliže délk jedné výšky ude rovn délk druhé ude menší než, ude v polorovině právě jedno řešení

35 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 7,2 m, v = 6,3 m, v = 5,8 m. Řešení: Bod C leží n: AB1 BA 1 ) konstruke: k C l postup: 1. AB; AB 7,2 m C ; C AB C A C B t B 1 A 1 t; t( C, r C B ) k; k( A, 6,3 m) 5. A1; A1k t 6. l; l( B, 5,8 m) 7. B1; B1l t C; C BA AB 8. ABC A ) Diskuse ověření: C 0 B Jestliže délky oou výšek ude menší než délk, udou v polorovině právě 2 řešení

36 3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 5 m, v = 4,5 m, v = 3,8 m Řešení: Bod C leží n: AB1 BA 1 ) konstruke: k C l postup: 1. AB; AB 5 m C ; C AB C A C B A t B 1 C 0 A 1 B t; t( C, r C B ) k; k( A, 4,5 m) 5. A1; A1k t 6. l; l( B, 3,8 m) 7. B1; B1l t C; C BA AB 8. ABC ) Diskuse ověření: Jestliže délky oou výšek ude menší než délk, udou v polorovině právě 2 řešení

37 7. trojúhelník ABC(, v, t ) Vrhol C leží n: BA1 l ( C0, t ) ) konstruke: postup: 1. AB; AB C ; C AB AC BC t; t( C, r AC ) k; k( A, v ) 5. A1; A1t k 6. l; l( C0, t ) 7. C; C l BA1 8. ABC ) Diskuse ověření: Jestliže v >, úloh nemá řešení. Jestliže v =, ude trojúhelník prvoúhlý v rovině ude právě 1 řešení. Jestliže v <, udou mít kružnie h k 2 společné ody v rovině udou právě 2 řešení

38 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 5 m, v = 3,5 m, t = 3 m Řešení: Vrhol C leží n: BA1 l C, t ) ( 0 ) konstruke: postup: 1. AB; AB 5 m C ; C AB AC BC t; t( C, r AC ) k; k( A,3,5 m) 5. A1; A1t k 6. llc ; ( 0,3 m) 7. C; C l BA1 8. ABC A k C A 1 C 0 t B l ) Diskuse ověření: Kružnie t k mjí v polorovině právě 1 společný od. Vznikne právě jedn polopřímk BA 1 t se protne s kružnií l právě v 1 odě. Řešením je právě 1 trojúhelník ABC

39 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 7,4 m, v = 2,8 m, t = 3,4 m Řešení: Vrhol C leží n: BA1 l C, t ) ( 0 ) konstruke: postup: 1. AB; AB 7,4 m C ; C AB AC BC t; t( C, r AC ) k; k( A,2,8 m) 5. A1; A1t k 6. llc ; ( 0,3,4 m) 7. C; C l BA1 8. ABC A k A 1 C C 0 t l B ) Diskuse ověření: Kružnie t k mjí v polorovině právě 1 společný od. Vznikne právě jedn polopřímk BA 1 t se protne s kružnií l právě v 1 odě. Řešením je právě 1 trojúhelník ABC

40 3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 4,2 m, v = 4,3 m, t = 4,2 m Řešení: Vrhol C leží n: BA1 l C, t ) ( 0 ) konstruke: postup: 1. AB; AB 4,2 m k C ; C AB AC BC t; t( C, r AC ) k; k( A,4,3 m) 5. A1; A1t k 6. llc ; ( 0,4,2 m) 7. C; C l BA1 8. ABC A C 0 t B l ) Diskuse ověření: Kružnie t k nemjí v polorovině společný od. Zdná úloh nemá řešení

41 8. Sestrojte trojúhelník ABC, t, t ) ( Těžiště T získáme podle věty sss Pltí: 2TB0 TB Vrhol C leží n: BA0 S( A0 ) : B C ) konstruke: postup: 1. AB; AB 2. 2 k; k( A, r t ) l; l( B, r t ) 3 4. T; T k l 5. A0 ; A0 AT AA0 t 6. C; S( A0 ) : B C 7. ABC ) Diskuse ověření: Jestliže trojúhelník ABT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení

42 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 5 m, t = 4,5 m, t = 3,6 m Těžiště T získáme podle věty sss Pltí: 2TB0 TB Vrhol C leží n: BA0 S( A0 ) : B C ) konstruke: postup: 1. AB; AB 5 m 2 2. k; k( A, r t 3 m) l; l( B, r t 2,4 m) 3 4. T; T k l A ; A AT AA t 4,5 m B ; B BT BB t 3,6 m k B 0 T C A0 l C; C AB BA 8. ABC A B ) Diskuse ověření: Jestliže trojúhelník ABT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení

43 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 6,2 m, t = 4,2 m, t = 4,8 m Řešení: Těžiště T získáme podle věty sss Pltí: 2TB0 TB Vrhol C leží n: BA0 S( A0 ) : B C ) konstruke: postup: 1. AB; AB 6,2 m 2 2. k; k( A, r t 2,8 m) l; l( B, r t 3,2 m) 3 4. T; T k l A ; A AT AA t 4,2 m B ; B BT BB t 4,8 m C; C AB BA 8. ABC ) Diskuse ověření: A k B l Trojúhelník ABT NELZE sestrojit podle trojúhelníkové nerovnosti: 2,8 + 3,2 = 6,0 6,0 < 6,2 (součet dvou strn trojúhelníku musí ýt větší než strn třetí). Trojúhelník ABC nemá řešení

44 3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 7 m, t = 6,9 m, t = 8,1 m Řešení: Těžiště T získáme podle věty sss Pltí: 2TB0 TB Vrhol C leží n: BA0 S( A0 ) : B C ) konstruke: postup: 1. AB; AB 7 m 2 2. k; k( A, r t 4,6 m) l; l( B, r t 5,4 m) 3 4. T; T k l 5. A0 ; A0 AT AA0 t 6,9 m 6. B0 ; B0 BT BB0 t 8,1 m 7. C; C AB0 BA0 8. ABC k B 0 C T A 0 l A B ) Diskuse ověření: Jestliže trojúhelník ABT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení

45 9. Sestrojte trojúhelník ABC (, t, t ) Těžiště T získáme podle věty sss. Vrhol C leží n: l ( C0, t ) ) konstruke: postup: 1. AB; AB C 0 T C ; C AB AC BC k; k( A, r t ) l; l( C0, r t ) 5. T; T k l 3 6. C; C C0T CC0 t 7. ABC ) Diskuse ověření: Jestliže trojúhelník ABT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení

46 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 5 m, t = 4,5 m, t = 3,6 m Těžiště T získáme podle věty sss. Vrhol C leží n: C 0 T l ( C0, t ) ) konstruke: postup: 1. AB; AB 5 m C ; C AB AC BC k; k( A, r t 3 m) l; l( C0, r t 1,2 m) 5. T; T k l 3 C; C C T CC t 3,6 m ABC ) Diskuse ověření: Jestliže trojúhelník ABT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení. A C 0 T C B 3,01 m 1,21 m 3,61 m

47 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 7,2 m, t = 6,9 m, t = 6,3 m Řešení: Těžiště T získáme podle věty sss. Vrhol C leží n: T l ( C0, t ) C 0 ) konstruke: postup: 1. AB; AB 7,2 m C ; C AB AC BC k; k( A, r t 4,6 m) l; l( C0, r t 2,1 m) 5. T; T k l 3 C; C C T CC t 6,3 m ABC T C A C 0 B ) Diskuse ověření: Jestliže trojúhelník ABT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení ,63 m 2,11 m 6,31 m

48 3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 6,3 m, t = 5,1 m, t = 5,7 m Řešení: Těžiště T získáme podle věty sss. Vrhol C leží n: T l ( C0, t ) C 0 ) konstruke: postup: 1. AB; AB 6,3 m C C ; C AB AC BC k; k( A, r t 3,4 m) l; l( C0, r t 1,9 m) 5. T; T k l 3 C; C C T CC t 5,7 m ABC k T l ) Diskuse ověření: Jestliže trojúhelník ABT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení. A C 0 B 3,40 m- 48-1,91 m 5,71 m

49 10. Sestrojte trojúhelník ABC ( t, t, t ) Budeme řešit pomoí pomoného trojúhelníku ADT (podle věty sss): AT t, AD t, TD t ) konstruke: postup: AT; AT 2 t 3 2 k; k( A, r t ) l; l( T, r t ) 3 4. D; Dk l 5. C; S( T) : D C C ; C DT DC TC B; S( C0) : A B 8. ABC ) Diskuse ověření: Jestliže trojúhelník ADT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení

50 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: t = 3 m, t = 4,5 m, t = 6 m Budeme řešit pomoí pomoného trojúhelníku ADT (podle věty sss): AT t, AD t, TD t ) konstruke: postup: 2 1. AT; AT t 2 m k; k( A, r t 3 m) l; l( T, r t 4 m) 3 4. D; Dk l 5. C; S( T) : D C C ; C DT DC TC B; S( C0) : A B 8. ABC A C 0 T C B ) Diskuse ověření: Jestliže trojúhelník ADT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení. D 3,02 m 1,99 m

51 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: t = 6,3 m, t = 5,1 m, t = 5,7 m Řešení: Budeme řešit pomoí pomoného trojúhelníku ADT (podle věty sss): AT t, AD t, TD t ) konstruke: postup: 2 1. AT; AT t 4,2 m k; k( A, r t 3,4 m) l; l( T, r t 3,8 m) 3 4. D; Dk l 5. C; S( T) : D C C ; C DT DC TC B; S( C0) : A B 8. ABC A T B ) Diskuse ověření: Jestliže trojúhelník ADT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení. k l 3,40 m 4,17 m

52 3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: t = 6,9 m, t = 8,1 m, t = 3,3 m Řešení: Budeme řešit pomoí pomoného trojúhelníku ADT (podle věty sss): AT t, AD t, TD t ) konstruke: postup: 2 1. AT; AT t 4,6 m k; k( A, r t 5,4 m) l; l( T, r t 2,2 m) 3 4. D; Dk l 5. C; S( T) : D C C ; C DT DC TC A T k l B 7. B; S( C0) : A B 8. ABC ) Diskuse ověření: Jestliže trojúhelník ADT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení. 5,42 m 4,58 m 2,23 m

53 11. Sestrojte trojúhelník ABC( 6 m, v 4,5 m, 60 ) Řešení: Tuto úlohu můžeme řešit pomoí posunutí neo pomoí úsekového úhlu. Hledáme množinu vrholů úhlu 0 o velikosti 60, pod kterou vidíme dnou úsečku AB. Vrhol C leží n: AB1 n příslušném olouku k ( S, SA) Jinou možností je využití množiny odů dné vlstnosti. Konstruki trojúhelníku zčínáme sestrojením úhlu γ. ) konstruke: Postup 1: 1. XAY; XAY p; p CX ; Xp 4,5 m C 3. B; B p CY 4. k; k ; 6 m 5. A; A k CX 6. ABC X Y B p k A ) Diskuse ověření: Průnikem polopřímky přímky p je právě jeden od B. Kružnie k polopřímk CX má právě jeden společný od A. Řešením úlohy je právě jeden trojúhelník ABC

54 Postup 2 (úsekový úhel): 1. AB; AB 6 m C ; C AB AC BC oab; C0 oab oab AB 4. BAX ; BAX 60 (úsekový úhel) 5. XAY ; XAY S; S oab AY 7. k; k( S, SA ) k o AB B 1 Y S C t l 8. t; t( C0, C0A 3 m) 9. l; l( B,4,5 m) 10. B1; B1t l 11. C; C AB1 k 12. ABC ) Diskuse ověření: A X C 0 B V polorovině ABY existuje právě jeden střed S. Polopřímk 1 AB protíná olouk kružnie k v jediném odě C. V polorovině je právě 1 řešení

55 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 5 m, v = 4,5 m, γ = 50 Řešení: Tuto úlohu můžeme řešit pomoí úsekového úhlu. Hledáme množinu vrholů úhlu 0 o velikosti 60, pod kterou vidíme dnou úsečku AB. Vrhol C leží n: AB1 n příslušném olouku k ( S, SA) ) konstruke: postup 1: 1. XCY; XCY p, p CX p, C v 4,5 m 3. B; B CY p 4. k; k( B,5 m) 5. A; Ak CX 6. ABC

56 1. AB; AB 5 m C ; C AB AC BC oab; C0 oab oab AB 4. BAX ; BAX 50 (úsekový úhel) 5. XAY ; XAY S; S oab AY 7. k; k( S, SA ) 8. t; t( C0, C0A 2,5 m) 9. l; l( B,4,5 m) 10. B1; B1t l 11. C; C AB1 k 12. ABC ) Diskuse ověření: V polorovině ABY existuje právě jeden střed S. Polopřímk AB 1 protíná olouk kružnie k v jediném odě C. V polorovině je právě 1 řešení. A k Y X C o AB S C 0 t l B

57 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 4 m, v = 3,5 m, γ = 30 Řešení: Tuto úlohu můžeme řešit pomoí posunutí neo pomoí úsekového úhlu. Hledáme množinu vrholů úhlu 0 o velikosti 50, pod kterou vidíme dnou úsečku AB. Vrhol C leží n: p; p p, v n příslušném olouku k ( S, SA) ) konstruke: postup: 1. AB; AB 4 m C C ; C AB AC BC k 3. oab; C0 oab oab AB 4. BAX ; BAX 30 (úsekový úhel) 5. XAY ; XAY S; S oab AY S o AB Y l 7. k; k( S, SA ) t; t( C, C A ) l; l( B,3,5 m) 10. B1; B1t l 11. C; C AB1 k 12. ABC A C 0 t B X ) Diskuse ověření: V polorovině ABY existuje právě jeden střed S. Polopřímk 1 AB protíná olouk kružnie k v jediném odě C. V polorovině je právě 1 řešení

58 3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: = 4 m, v = 4,3 m, γ = 40 Řešení: Tuto úlohu můžeme řešit pomoí posunutí neo pomoí úsekového úhlu. Hledáme množinu vrholů úhlu o 0 velikosti 50, pod kterou vidíme dnou úsečku AB. Vrhol C leží n: p; p p, v n příslušném olouku k ( S, SA) ) konstruke: postup: 1. AB; AB 4 m C ; C AB AC BC oab; C0 oab oab AB 4. BAX ; BAX 40 (úsekový úhel) k o AB l Y 5. XAY ; XAY S; S oab AY S 7. k; k( S, SA ) t; t( C, C A ) l; l( B,4,3 m) 10. B1; B1t l 11. C; C AB1 k 12. ABC A C 0 X t B ) Diskuse ověření: V polorovině ABY existuje právě jeden střed S. Polopřímk 1 AB neprotíná olouk kružnie k. V polorovině není řešení

59 12. trojúhelník ABC t, t, v ) ( Využijeme vlstnosti výšky v potom uď zvolíme C 0 pomoí t sestrojíme C neo 2 nopk. Njdeme T pomoí t njdeme A podle S( C 0 ) : A B. 3 ) konstruke: 1. CC ; CC t X ; X CC XC XC 3. t; t ( X ; XC ) 4. k; k ( C; v ) 5. C ; C k t T; T CC0 TC t l; l ( T, t 3 8. A; Al C C B; S( C ) : A B 10. ABC ) diskuse:

60 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: t 3 m, t 4,5 m, v 4 m Řešení: ) rozor Využijeme vlstnosti výšky v potom uď zvolíme C 0 pomoí t sestrojíme C neo nopk. Njdeme T pomoí 2 t njdeme 3 A podle S( C 0 ) : A B. ) konstruke: Postup: 1. CC ; CC t 4,5 m X ; X CC XC XC 3. t; t ( X ; XC ) 0 0 C t k 4. k; k ( C; v 4 m) 5. C ; C k t T; T CC0 TC t 3 m l; l ( T, t 2 m) 3 8. A; Al C C B; S( C ) : A B 10. ABC A C 1 B' X A' B ) diskuse: Kružnie k t mjí 2 společné ody. Řešením jsou 2 ody C 1. Kružnie k přímk CC 1 mjí 2 společné ody A, A. V polorovině jsou 2 různá řešení, v rovině elkem 4 různá řešení

61 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: t 7,5 m, t 6 m, v 3 m Řešení: Využijeme vlstnosti výšky potom uď zvolíme C 0 v pomoí t sestrojíme C neo nopk. 2 Njdeme T pomoí t njdeme 3 A podle S C ) : A B. ( 0 ) konstruke: Postup: 1. CC ; CC t 6 m X ; X CC XC XC 3. t; t ( X ; XC ) k; k ( C; v 3 m) 5. C ; C k t 2 6. T; T CC0 TC t 4 m l; l ( T, t 5 m) 3 8. A; Al C C B; S( C ) : A B 10. ABC A C 1 B' C X t k A' ) diskuse: B Kružnie k t mjí 2 společné ody. Řešením jsou 2 ody C 1. Kružnie k přímk CC 1 mjí 2 společné ody A, A. V polorovině jsou 2 různá řešení, v rovině elkem 4 různá řešení

62 3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: t 7,5 m, t 6 m, v 6,5 m Řešení: Využijeme vlstnosti výšky v potom uď zvolíme C 0 pomoí t sestrojíme C neo nopk. Njdeme T 2 pomoí t njdeme A podle 3 S( C 0 ) : A B. ) konstruke: Postup: 1. CC ; CC t 6 m X ; X CC XC XC 3. t; t ( X ; XC ) k; k ( C; v 6,5 m) 5. C ; C k t 2 6. T; T CC0 TC t 4 m l; l ( T, t 5 m) 3 8. A; Al C C B; S( C ) : A B 10. ABC C X t k ) diskuse: Kružnie k t nemjí společné ody. Úloh nemá řešení

63 13. trojúhelník ABC (, v, r ) Buď zčneme rýsovt od strny (řešení v polorovině), neo od kružnie (řešení v rovině). Musíme řešit vzth mezi r ( smozřejmě i s v ). ) konstruke Postup: 1. AB; AB 2. k; k ( B, r) 3. k '; k ' ( A; r) 4. S; S k k ' 5. o; o ( S; r) 6. p; p AB; Ap v 7. C; C p o 8. ABC ) diskuse: Kružnie k, k mohou mít společné 0, 1 neo 2 ody.kružnie o přímk p mohou mít společné 0, 1 neo 2 ody. Potom můžeme dostt 0, 2 neo 4 řešení v rovině

64 1. Sestrojte trojúhelník ABC: = 5 m, v = 2,5 m, r = 3 m Řešení: Buď zčneme rýsovt od strny (řešení v polorovině), neo od kružnie (řešení v rovině). Musíme řešit vzth mezi r ( smozřejmě i s v ). ) konstruke Postup: 1. AB; AB 5 m 2. k; k ( B, 3 m) 3. k '; k ' ( A; 3 m) 4. S; S k k ' 5. o; o ( S; 3 m) 6. p; p AB; Ap 2,5 m 7. C; C p o 8. ABC ) diskuse Kružnie k k mjí 2 společné ody, vzniknou 2 středy kružni opsnýh v rovině. Kružnie o přímk p mjí 2 společné ody C C. Úloh má 2 řešení v polorovině, 4 řešení (osově souměrné) v rovině. A k' k o B

65 2. Sestrojte trojúhelník ABC: = 5 m, v = 6 m, r = 3,5 m Řešení: ) rozor Buď zčneme rýsovt od strny (řešení v polorovině), neo od kružnie (řešení v rovině). Musíme řešit vzth mezi r ( smozřejmě i s v ). ) konstruke Postup: 1. AB; AB 5 m 2. k; k ( B, 3,5 m) 3. k '; k ' ( A; 3,5 m) 4. S; S k k ' 5. o; o ( S; 3,5 m) 6. p; p AB; Ap 6 m 7. C; C p o 8. ABC k' C S k A B ) diskuse Kružnie k k mjí 2 společné ody, vzniknou 2 středy kružni opsnýh v rovině. Kružnie o přímk p mjí 2 společné ody C C. Úloh má 2 řešení v polorovině, 4 řešení (osově souměrné s osou AB) v rovině. o

66 3. Sestrojte trojúhelník ABC: = 5 m, v = 3,8 m, r = 2,6 m Řešení: ) rozor Buď zčneme rýsovt od strny (řešení v polorovině), neo od kružnie (řešení v rovině). Musíme řešit vzth mezi r ( smozřejmě i s v ). ) konstruke Postup: 1. AB; AB 5 m 2. k; k ( B, 2,6 m) 3. k '; k ' ( A; 2,6 m) 4. S; S k k ' 5. o; o ( S; 2,6 m) k' k 6. p; p AB; Ap 3,8 m 7. C; C p o 8. ABC A S B o ) diskuse Kružnie k k mjí 2 společné ody, vzniknou 2 středy kružni opsnýh v rovině. Kružnie o přímk p mjí 0 společnýh odů. Úloh nemá řešení

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky.

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky. 2.cvičení 1. Polopřímk: od O dělí přímku n dvě nvzájem opčné polopřímky. Úsečk: průnik dvou polopřímek,. Polorovin: přímk dělí rovinu n dvě nvzájem opčné poloroviny. Úhel: průnik polorovin (pozor n speciální

Více

. V trojúhelníku ABC platí 180. Součet libovolného vnitřního úhlu a jemu odpovídajícího vnějšího úhlu je úhel přímý. /

. V trojúhelníku ABC platí 180. Součet libovolného vnitřního úhlu a jemu odpovídajícího vnějšího úhlu je úhel přímý. / TROJÚHELNÍK Trojúhelník, vlstnosti trojúhelníků Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA, CAB; přitom ody A, B, C jsou různé neleží v jedné příme. Trojúhelník ABC zpisujeme symoliky ABC. Symoliky píšeme:

Více

9. Planimetrie 1 bod

9. Planimetrie 1 bod 9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,

Více

PODOBNÁ ZOBRÁZENÍ 1. SHODNOST TROJÚHELNÍKŮ 2. PRÁVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK

PODOBNÁ ZOBRÁZENÍ 1. SHODNOST TROJÚHELNÍKŮ 2. PRÁVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK PODOBNÁ ZOBRÁZENÍ Kždá stejnolehlost je podonost ne oráeně! Podonost má vždy koefiient podonosti kldný znčíme jej k k >0 k R zhovává rovnoěžnost podonost shodnost nevlstní podonost úhly poměry Dělíme ji

Více

3.2.1 Shodnost trojúhelníků I

3.2.1 Shodnost trojúhelníků I 3.2.1 hodnost trojúhelníků I Předpokldy: 3108 v útvry jsou shodné, pokud je možné je přemístěním ztotožnit. v prxi těžko proveditelné hledáme jinou možnost ověření shodnosti v útvry jsou shodné, pokud

Více

1.7.4 Výšky v trojúhelníku II

1.7.4 Výšky v trojúhelníku II 1.7.4 Výšky v trojúhelníku II Předpokldy: 010703 Opkování z minulé hodiny Výšk trojúhelníku: úsečk, která spojuje vrhol trojúhelníku s ptou kolmie n protější strnu. 0 0 v v 0 Př. 1: Nrýsuj trojúhelník

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2.

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2. 76 Další metriké úlohy II Předpoklady: 7 Př : Najdi přímku rovnoěžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od odu A[ ; ] Osou I a III kvadrantu je přímka y = x přímky s ní rovnoěžné mají rovnii x y + = 0

Více

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti, Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje

Více

Planimetrie. Obsah. Stránka 668

Planimetrie. Obsah. Stránka 668 Obsh 3. Plnimetrie... 669 3.. Úhel... 669 3.. Prvidelné mnohoúhelníky... 67 3.3. Pythgorov vět Eukleidovy věty konstruke úseček... 678 3.4. Euklidovy věty, prvoúhlý trojúhelník... 683 3.5. Obvody obshy

Více

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

TROJÚHELNÍK. JAN MALÝ UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. sin α = b a.

TROJÚHELNÍK. JAN MALÝ UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. sin α = b a. TROJÚHELNÍK JAN MALÝ UK v Prze UJEP v Ústí n. L. 1. Zn ení. Uvºujme trojúhelník ABC, jeho strny i jejih délky jsou,,, úhly α, β, γ. Osh trojúhelník zn íme P. Vý²k spu²t ná z odu C n strnu se zn í v její

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

Konstrukce na základě výpočtu I

Konstrukce na základě výpočtu I .4.11 Konstruke n zákldě výpočtu I Předpokldy: Pedgogiká poznámk: Je důležité si uvědomit, že následujíí sled příkldů neslouží k tomu, y si žái upevnili mehniký postup n dělení úseček. Jediné, o y si měli

Více

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Geometrie Mgr. Jrmil Zelená Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou Výpočty v prvoúhlém trojúhelníku VY_3_INOVACE_05_3_1_M Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou PRAVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK 1 Pojmy oznčení:,.odvěsny

Více

( t) ( t) ( ( )) ( ) ( ) ( ) Vzdálenost bodu od přímky I. Předpoklady: 7308

( t) ( t) ( ( )) ( ) ( ) ( ) Vzdálenost bodu od přímky I. Předpoklady: 7308 731 Vzdálenost odu od římky I Předokldy: 7308 Pedgogiká oznámk: Pokud máte málo čsu, můžete odvodit vzore ez smosttné ráe studentů oužít některý z říkldů z dlší hodiny Tím jednu ze dvou hodin ro vzdálenost

Více

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p. 1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 PLANIMETRIE 000/001 Cifrik, M-ZT První příklad ze zadávacích listů 1 Zadání: Sestrojte trojúhelník ABC, pokud je dáno: ρ

Více

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Registrační číslo projektu: Název projektu: Název a číslo globálního grantu: CZ.1.07/1.1.12/02.0010 Šumavská škola = evropská škola Zvyšování kvality ve vzdělání v Plzeňském kraji CZ.1.07/1.1.12 Název

Více

Vzdálenosti přímek

Vzdálenosti přímek 5..11 Vzdálenosti přímek Předpokldy: 510 Př. 1: Rozhodni, kdy má smysl uvžovt o vzdálenosti dvou přímek nvrhni definici této vzdálenosti. Vzdálenost přímek má smysl, když přímky nemjí společné body tedy

Více

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Základní útvary v rovině Bod je nejzákladnější geometrický pojem. Body zapisujeme písmeny velké abecedy: A, B, N, H, Přímka Přímky zapisujeme písmeny

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

Shodné zobrazení v rovině

Shodné zobrazení v rovině Gymnázium Cheb Shodné zobrazení v rovině seminární práce Cheb, 2007 Lojza Tran Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Shodné zobrazení v rovině vypracoval zcela sám za použití pramenů

Více

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy)

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy) KVADRATICKÁ FUNKCE (vlstnosti, gr) Teorie Kvdrtikou unkí se nzývá kždá unke dná předpisem ; R,, R; D( ) je proměnná z příslušného deiničního ooru unke (nejčstěji množin R),, jsou koeiient kvdrtiké unke,

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol SHODNÁ

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů. Přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů) Rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2] Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.

Více

Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce

Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce 1116 Podonosti trojúhelníků, goniometriké funke Předpokldy: 010104, úhel Pedgogiká poznámk: Zčátek zryhlit α γ β K α' l M γ' m k β' L Trojúhelníky KLM n nšem orázku mjí stejný tvr (vypdjí stejně), le liší

Více

9.6. Odchylky přímek a rovin

9.6. Odchylky přímek a rovin 9 Stereometrie 96 Odchylky přímek rovin Odchylku dvou přímek, dvou rovin přímky od roviny převádíme n určení velikosti úhlu dvou různoběžek Odchylk dvou přímek Odchylk dvou přímek splývjících nebo rovnoběžných

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie A

Návody k domácí části I. kola kategorie A Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené číslo n takové, že p n + 1 je třetí mocninou některého přirozeného čísla. 1. Určete všechny trojice

Více

Úlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem

Úlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem Úlohy MO z let 1994 2012 navržené dr. Jaroslavem Švrčkem 1. Je dána polokružnice o středu S sestrojená nad průměrem AB. Sestrojte takovou její tečnu t s dotykovým bodem T (A T B), aby platilo P BCS =

Více

Úlohy domácího kola kategorie A

Úlohy domácího kola kategorie A 49. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie A 1. Nechť P (x), Q(x) jsou kvadratické trojčleny takové, že tři z kořenů rovnice P (Q(x)) = 0 jsou čísla 22, 7, 13. Určete čtvrtý kořen této

Více

Extremální úlohy v geometrii

Extremální úlohy v geometrii Extremální úlohy v geometrii Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikované matematiky, Fakulta elektrotechniky a informatiky, Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava 30.4. 2013 Petr

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině Typeset by LATEX2ε 1 8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině 8.1 Stejnolehlost (homotetie) v rovině Definice 8.1.1. Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC) rozumíme

Více

8 Mongeovo promítání

8 Mongeovo promítání 8 Mongeovo promítání Pomocí metod uvedených v kpitolách 3. 4., 3. 6. bychom mohli promítnout do roviny 3 libovolný útvr U E. V prxi všk většinou nestčí sestrojit jeden průmět. Z průmětu útvru U je většinou

Více

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících.

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících. 4.4. Sinová vět Předpokldy Trigonometrie řešení úloh o trojúhelnííh. Prktiké využití změřování měření vzdáleností, tringulční síť Tringulční síť je prolém měřit vzdálenosti dvou odů v krjině změříme velmi

Více

Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností.

Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Metody řešení konstrukčních úloh: množinou bodů zobrazením výpočtem kombinací předchozích způsobů Konstrukční

Více

VY_32_INOVACE_04_Shodnost trojúhelníků -věta sss_02. Škola: Základní škola Slušovice, okres Zlín, příspěvková organizace

VY_32_INOVACE_04_Shodnost trojúhelníků -věta sss_02. Škola: Základní škola Slušovice, okres Zlín, příspěvková organizace VY_32_INOVACE_04_Shodnost trojúhelníků -věta sss_02 Autor: Růžena Krupičková Škola: Základní škola Slušovice, okres Zlín, příspěvková organizace Název projektu: Zkvalitnění ICT ve slušovské škole Číslo

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body, přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů), rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ

SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.001 SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ SOUŘADNICE BODU NA PŘÍMCE ČÍSELNÁ OSA na přímce je určena počátkem O a jednotkou měření. Libovolný bod A na číselné ose

Více

Výfučtení: Geometrické útvary a zobrazení

Výfučtení: Geometrické útvary a zobrazení Výfučtení: Geometrické útvry zorzení V geometrii očs nrzíme n to, že některé geometrické orzce vykzují jistou symetrii. Popřípdě můžeme slyšet, že nějké dv útvry jsou si podoné. V tomto Výfučtení udeme

Více

O P A K O V Á N Í A P R O H L O U B E N Í U I V A O J E D N O D U C H Ý C H K O N S T R U K C Í C H 1,5 HODINY

O P A K O V Á N Í A P R O H L O U B E N Í U I V A O J E D N O D U C H Ý C H K O N S T R U K C Í C H 1,5 HODINY O P A K O V Á N Í A P R O H L O U B E N Í U I V A O J E D N O D U C H Ý C H K O N S T R U K C Í C H 1,5 HODINY Díve, než spolen pikroíme k uivu o množinách bod, pokusíme se zopakovat nkteré jednoduché

Více

PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti)

PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti) Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PODOBNÁ

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 35 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte [( 3 3 ) ( 1 4 5 3 0,5 ) ] : 1 6 1. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE

Více

Funkce 1) Zakreslete body K, L a M do souřadného systému Oxy, jsou-li dány jejich souřadnice: K[-3;0]; L[0;-2]; M[4;3].

Funkce 1) Zakreslete body K, L a M do souřadného systému Oxy, jsou-li dány jejich souřadnice: K[-3;0]; L[0;-2]; M[4;3]. Téma 4: (převody jednotek, funkce, konstrukční úlohy, osová a středová souměrnost) Převody jednotek 1) Kolik gramů je pět třetin z 2,1 kilogramu? a) 1 260 g b) 3 500 g c) 17 000 g d) 700 g 2) Přednáška

Více

Tangens a kotangens

Tangens a kotangens 4.3.12 Tngens kotngens Předpokldy: 040311 Př. 1: Úhel, pod kterým je možné ze pozorovt vrhol věže ze vzdálenosti 19 m od její pty, yl změřen n 53 od vodorovné roviny. Jk je věž vysoká? h 53 19 m Z orázku

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice KRUŽNICE, KRUH Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k(s;r) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu S vzdálenost r. Můžeme také říci. Kružnicí k

Více

3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky

3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky ..7 Příkldy řešené pomocí ět pro trojúhelníky Předpokldy:, 6 Pedgogická poznámk: U následujících příkldů ( u mnoh dlších příkldů z geometrie) pltí, že nedílnou součástí řešení je nápd (který se tké nemusí

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Příjemce: Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova

Více

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice

Více

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I 3.4.3 Množiny odů dné vlstnosti I Předpoldy: 3401 Něteé z těchto množin už známe. J je definován užnice ( ; )? Množin všech odů oviny, teé mjí od středu vzdálenost. Předchozí vět znmená dvě věci: Vzdálenost

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ 7. 5. 0 Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Je každé zobrazení v rovině takové, že pro libovolné body roviny

Více

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

5. P L A N I M E T R I E

5. P L A N I M E T R I E 5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,

Více

7.5.3 Hledání kružnic II

7.5.3 Hledání kružnic II 753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4;

je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4; 1 BUAnlytická geometrie - bod, souřdnice bodu, vzdálenost bodů 11 1BRozhodněte, zd trojúhelník s vrcholy A [ ; ], B [ 1; 1] C [ 11; 6] je prvoúhlý 1 1BN ose y njděte bod, který je vzdálený od bodu A [

Více

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. ČÁST MAT. OT 2. OT. Č.. 15: SHODNÁS HODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ, PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY PODOBNOST KDE LÁTKU NAJDETE Kapitola Základy planimetrie

Více

Stereometrie metrické vlastnosti

Stereometrie metrické vlastnosti Stereometrie metrické vlstnosti Odchylk dvou přímek Odchylk dvou různoběžek je velikost kždého z ostrých nebo prvých úhlů, které přímky spolu svírjí. Odchylk rovnoběžek je 0. Odchylk mimoběžných přímek

Více

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce. Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učení mteriál Projekt: Digitální učení mteriály e škole registrční číslo projektu CZ.1.07/1..00/4.07 Příjeme: Střední zdrotniká škol Vyšší odorná škol zdrotniká Huso 71 60 České Budějoie Náze

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

EU PENÍZE ŠKOLÁM Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost

EU PENÍZE ŠKOLÁM Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost ZÁKLADNÍ ŠKOLA OLOMOUC příspěvková organizace MOZARTOVA 48, 779 00 OLOMOUC tel.: 585 427 142, 775 116 442; fax: 585 422 713 e-mail: kundrum@centrum.cz; www.zs-mozartova.cz Projekt: ŠKOLA RADOSTI, ŠKOLA

Více

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu .. Goniometriké funke ostrého úhlu Předpokldy: 7 Dnešní látku opkujeme už potřetí (poprvé n zčátku mtemtiky, podruhé ve fyzie) je to oprvdu důležité. C C C C C C Všehny prvoúhlé trojúhelníky s úhlem α

Více

7.3.7 Přímková smršť. Předpoklady: 7306

7.3.7 Přímková smršť. Předpoklady: 7306 737 Přímkoá smršť Předpokldy 7306 Pedgogiká poznámk Hodin znikl jko reke n prní průhod učenií Třeoni se třídou 42011 Ukázlo se, že studenti mjí prolémy s přiřzením spráného ektoru k různým druhům roni

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie C

Návody k domácí části I. kola kategorie C Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Dokažte, že pro libovolné reálné číslo a platí nerovnost Určete, kdy nastane rovnost. a 2 + 1 a 2 a + 1 a + 1. 1. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x,

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

49. roënìk matematickè olympi dy, III. kolo kategorie A. BÌlovec, 9.ñ12. dubna 2000

49. roënìk matematickè olympi dy, III. kolo kategorie A. BÌlovec, 9.ñ12. dubna 2000 49. roënìk matematickè olympi dy, III. kolo kategorie BÌlovec, 9.ñ. dubna 000 . Nechť n je přirozené číslo. Dokažte, že součet 4 n + 4 n je dělitelný třinácti, právě když n je sudé. (J. Šimša) Řešení.

Více

Pravoúhlá axonometrie

Pravoúhlá axonometrie Pravoúhlá axonometrie bod, přímka, rovina, bod v rovině, trojúhelník v rovině, průsečnice rovin, průsečík přímky s rovinou, čtverec v půdorysně, kružnice v půdorysně V Rhinu vypneme osy mřížky (tj. červenou

Více

Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ

Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ I. ARITMETIKA 1. Zlomky a racionální čísla Jestliže rozdělíme něco (= celek) na několik stejných dílů, nazývá se každá část celku zlomkem. Zlomek tři čtvrtiny = tři

Více

Základní geometrické tvary

Základní geometrické tvary Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.

Více

53. ročník matematické olympiády. q = 65

53. ročník matematické olympiády. q = 65 53. ročník matematické olympiády! 1. V rovině je dán obdélník ABCD, kde AB = a < b = BC. Na jeho straně BC eistuje bod K a na straně CD bod L tak, že daný obdélník je úsečkami AK, KL a LA rozdělen na čtyři

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Další polohové úlohy

Další polohové úlohy 5.1.16 alší polohové úlohy Předpoklady: 5115 Průniky přímky s tělesem Př. 1: Je dána standardní krychle. Sestroj průnik přímky s krychlí pokud platí: leží na polopřímce, =, leží na polopřímce, =. Příklad

Více

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º)

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º) 6 Planimetrie Planimetrie = část matematiky, která se zabývá geometrií (původně věda o měřené země) v rovině (obrazce, jejich vlastnosti, shodnost a podobnost, zobrazení). 6.1 Trojúhelník Každé tři body,

Více

Výpočet obsahu rovinného obrazce

Výpočet obsahu rovinného obrazce Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady:

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady: 443 Kosinová vět Předpokldy 44 Př Rozhodni zd dokážeme spočítt zývjíí strny úhly u všeh trojúhelníků zdnýh pomoí trojie prvků (délek strn velikostí úhlů) V sinové větě vystupují dvě dvojie strn-protější

Více

2. Přeneste úsečku KL na polopřímku s počátkem P a vyznačte tak úsečku PR shodnou s úsečkou KL. Vztah shodnosti mezi těmito úsečkami zapište.

2. Přeneste úsečku KL na polopřímku s počátkem P a vyznačte tak úsečku PR shodnou s úsečkou KL. Vztah shodnosti mezi těmito úsečkami zapište. Konstrukce kružítkem 1. Narýsujte kružnici se středem S a poloměrem shodným s úsečkou AB. Úsečku AB přeneste na polopřímku s počátkem M pomocí kružítka a vyznačte tak úsečku MN shodnou s úsečkou AB. 2.

Více

PLANIMETRIE úvodní pojmy

PLANIMETRIE úvodní pojmy PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Trojúhelník III. konstrukce trojúhelníku. Astaloš Dušan. frontální, fixační

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Trojúhelník III. konstrukce trojúhelníku. Astaloš Dušan. frontální, fixační METODICKÝ LIST DA35 Název tématu: Autor: Předmět: Ročník: Metody výuky: Formy výuky: Cíl výuky: Získané dovednosti: Stručný obsah: Trojúhelník III. konstrukce trojúhelníku Astaloš Dušan Matematika šestý

Více

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená. MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný

Více

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1 Základní úlohy v Mongeově promítání Předpokladem ke zvládnutí zobrazení v Mongeově promítání je znalost základních úloh. Ale k porozumění následujícího textu je třeba umět zobrazit bod, přímku a rovinu

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více