PLOŠNÉ INTEGRÁLY V praxi se vyskytuje potřeba integrovat funkce nejen podle křivých čar, ale i podle křivých ploch (např. přes povrch koule).

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "PLOŠNÉ INTEGRÁLY V praxi se vyskytuje potřeba integrovat funkce nejen podle křivých čar, ale i podle křivých ploch (např. přes povrch koule)."

Transkript

1 LOŠNÉ INTEGRÁLY V praxi se vyskytuje potřeba integrovat funkce nejen podle křivých čar, ale i podle křivých ploch (např. přes povrch koule). uzavřená hladká kraj

2 LOCHY lochy v prostoru, které byly zatím hlavně používány, byly grafy funkcí dvou proměnných. To je, stejně jako u křivek, speciální případ zadání parametricky, nebo speciální případ zadání funkcí tří proměnných (tj., jako množina bodů splňujících rovnost g(x, y, z) = 0 pro nějakou spojitou funkci g, obvykle mající spojité parciální derivace). uzavřená hladká kraj

3 locha je množina {(ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v)); (u, v) I}, kde ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v) jsou reálné spojité funkce definované na nějakém omezeném intervalu I v rovině. ředchozí se nazývá uzavřená, jestliže I je uzavřený a všechny body z hranice I se zobrazí do jediného bodu. uzavřená hladká kraj

4 Kulová je uzavřená, povrch kvádru je uzavřenou plochou, graf funkce dvou proměnných není uzavřenou plochou. Necht 1, 2 jsou zadané na intervalech I 1, I 2 resp., které mají společnou jednu svou stranu. Spojení ploch 1, 2 je pak jejich sjednocení definované na I 1 I 2. Značí se Indukcí lze tento pojem zavést pro spojení konečně mnoha ploch. Např. povrch kvádru vznikne postupným spojením všech obdélníků této. locha zadaná parametry ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v) na intervalu I se nazývá hladká, jestliže platí: 1. funkce ϕ, ψ, τ mají spojité první parciální derivace na I; 2. pro každé (u, v) I má matice ( ϕ u ϕ v ψ u ψ v hodnost 2; 3. každý bod je obrazem jediného bodu (u, v) I s jedinou možnou výjimkou: obrazy bodů z hranice I mohou splývat. Kraj se někdy nazývá hranice, ale pak je nutné odlišovat hranici v R 3 (to je obvykle celá ) a hranici, která se tu nazývá kraj. ro představu si vezměte kruh, jakkoli položený v prostoru, třeba i zvlněný. Je jasné, co znamená kraj tohoto obrazce. řesná definice je dost komplikovaná a nebude zde uváděna. V případech zde používaných bude intuitivně jasné, co kraj znamená. τ u τ v ) uzavřená hladká kraj

5 locha s prázdným krajem je totéž, co uzavřená. o částech hladká je spojení konečně mnoha hladkých ploch. říkladem je povrch krychle nebo válce, nebo,,leporelo",,,sněhulák" nebo lemniskata vynásobená úsečkou. ovrch krychle nebo válce, i,,sněhulák", jsou příklady po částech hladké uzavřené. Každá je parametricky zadaná reálnými spojitými funkcemi ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v), které jsou definované na nějakém omezeném intervalu I v rovině, přičemž ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v) mají spojité parciální derivace všude v I kromě konečně mnoha úseček. o částech hladká, parametricky zadaná zobrazením Φ na uzavřeném intervalu I, se nazývá jednoduše uzavřená jestliže Φ je prosté na vnitřku I, konstantní na hranici I s hodnotou různou od hodnot na vnitřku I. Jednoduše uzavřená rozděluje prostor na dvě souvislé části, jednu omezenou, zvanou vnitřek (značení ι ) a druhou neomezenou. Orientace znamená, že lze mluvit o dvou stranách, jedna se označí za kladnou a druhá za zápornou. uzavřená hladká kraj

6 Je-li orientována, normála vždy sme r uje nad kladnou stranu. U jednoduše uzavr ených ploch, pokud není stanoveno jinak, se za kladnou stranu bere vne jší strana a normála tedy sme r uje ven, nikoli dovnitr. U grafu funkcí dvou prome nných se za kladnou stranu bere horní strana. Orientace hladké znamená, že v každém jejím bode je urc en sme r normály a to spojitým zpu sobem: jestliže pu jdete po jednoduše uzavr ené kr ivce na dané ploše, musíte dojít do výchozího bodu ve stejné poloze. Je-li orientovaná kr ivka C c ástí kraje orientované, r íká se, že obe orientace jsou souhlasné, jestliže pr i chu zi po kr ivce v kladném sme ru a po kladné strane, máte plochu po levé strane. uzavr ená hladká kraj po c ástech hladká jedn.uzavr ená sme rové kosiny te žište desky r íklady Cvic ení Uc ení

7 Nebude-li řečeno jinak, bude se vždy předpokládat, že a jejich kraje jsou orientovány souhlasně. Musí se dávat pozor při orientaci po částech hladkých ploch, protože ve styčných hranách obecně neexistují normály. Necht jsou jednotlivé spojované orientovány a necht jejich kraje jsou uzavřené křivky, které jsou orientovány souhlasně s příslušnými mi. ak je celá orientována, jestliže části krajů, které se stýkají (právě dvě) jsou navzájem orientovány opačně uzavřená hladká kraj

8 LOŠNÉ INTEGRÁLY 1.DRUHU Myšlenka výpočtu integrálu funkce f : R na ploše je podobná jako u křivkového integrálu 1.druhu. omocí určovacích parametrických funkcí se,,narovná" a spočítá se integrál přes podmnožinu roviny. Ono narovnání je trochu složitější než u křivek. Tam bylo nutné příslušnou funkci vynásobit faktorem který odpovídal změně délky při narovnání křivky (od ds se přešlo k dx). Stejně tak u je třeba použít faktor, který udává změnu velikosti křivé při narovnání. V bodě (x, y, z) se velmi malá ploška ds okolo tohoto bodu dá považovat za rovinnou a zjistí se poměr její velikosti ku poměru jejího průmětu, např. do roviny xy (není-li tento průmět úsečka nebo bod). V rovině xy má průmět velikost dx. dy. Skutečná ploška má velikost větší, a to ds = dx. dy/ cos γ, kde γ je úhel, který svírá normála k ploše v (x, y, z) s rovnoběžkou v (x, y, z) s osou z v kladném směru. Je nutné předpokládat, že cos γ 0, tj., že ploška není rovnoběžná s osou z. uzavřená hladká kraj

9 odle druhé podmínky definice hladkých ploch musí být v každém bodě aspoň jeden uvedený kosinus nenulový. locha se rozdělí na nejvýše tři části, a v každé je jeden daný kosinus nenulový. Integrál přes plochu je pak součtem integrálů přes tyto části. odle volby takové části se berou průměty i do rovin xz nebo yz a dostávají se velikosti plošek dx. dz/ cos β, resp. dy. dz/ cos α, kde úhly β, α jsou opět úhly mezi normálou a příslušnými osami (y, resp. x). Kosiny těchto úhlů se nazývají normály. DEFINICE. Necht f je funkce zadaná na hladké ploše, na které je v každém bodě cos γ 0. ak se definuje funkce f přes plochu jako dx dy f(s) ds = f(s) cos γ. M uzavřená hladká kraj

10 Na pravé straně je dvojrozměrný integrál, v něm se za proměnné S, x, y, γ musí dosadit příslušné hodnoty (viz dále). Samozřejmě lze požadavek nenulovosti směrového kosinu oslabit podmínkou, že může nabývat 0 jen na malé množině (nulové). římo z definice lze ukázat následující vlastnosti: OZOROVÁNÍ. Následující 2 rovnosti platí, jakmile mají smysl pravé strany, poslední nerovnost platí, pokud existuje levá strana. 1. (αf(s) + βg(s)) ds = α f(s) ds + β g(s) ds; f(s) ds = 1 f(s) ds + 2 f(s) ds; 3. f(s) ds O( ) max S f(s), kde O( ) je obsah. Úhel γ se samozřejmě mění spolu s bodem (x, y, z) a pro výpočet plošného integrálu je obvykle třeba cos γ vyjádřit pomocí nějakých souřadnic. VĚTA. Necht je grafem funkce h(x, y). otom 1 ( h ) 2 ( h ) 2 cos γ = x y VĚTA. Necht je dána parametricky rovnostmi x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v), z = τ(u, v). otom 1 EG F cos γ = 2, J(ϕ, ψ) uzavřená hladká kraj

11 kde ( ϕ ) 2 ( ψ ) 2 ( τ ) 2 E = + + ( u u u ϕ ) 2 ( ψ ) 2 ( τ ) 2 G = + + v v v F = ϕ ϕ u v + ψ ψ u v + τ ϕ u τv. a J(ϕ, ψ) je Jakobián funkcí ϕ, ψ. Nyní lze uvést převod plošného integrálu 1.druhu na obyčejný integrál přes rovinnou množinu. VĚTA. Necht f je funkce definovaná na hladké ploše. 1. Necht je grafem funkce h definované na množině A. ak ( h ) 2 ( h ) 2 f(s) ds = f(x, y, h(x, y)) dx dy. x y A 2. Necht je určena parametricky funkcemi ϕ, ψ, τ na množině A. ak f(s) ds = f(ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v)) EG F 2 du dv. A uzavřená hladká kraj

12 uzavřená hladká kraj

13 LOŠNÉ INTEGRÁLY 2.DRUHU DEFINICE. Necht je hladká orientovaná a f : R 3 má souřadnice (f 1, f 2, f 3 ). ak se definuje plošný integrál 2.druhu funkce f přes rovností f. dn = (f 1 (x, y, z) dy dz + f 2 (x, y, z) dx dz + f 3 (x, y, z) dx dy). R 2 Integrál na pravé straně je součtem tří integrálů a každý lze brát přes projekci do příslušné roviny (yz nebo xz nebo xy resp.). V definici je pro jednoduchost uvedena integrace přes celou rovinu (rozumí se, že integrovaná funkce se dodefinuje nulou ve zbývajících bodech). uzavřená hladká kraj

14 Opět se snadno ukáže: OZOROVÁNÍ. Následující 3 rovnosti platí, jakmile mají smysl pravé strany. 1. (αf(s) + βg(s)) ds = α C f(s) ds + β C g(s) ds; f(s) ds = 1 f(s) ds + 2 f(s) ds; 3. f(s) ds = f(s) ds; odle uvedené definice plošného integrálu 2.druhu však nelze integrál většinou přímo počítat, protože např. R 2 (f 1 (x, y, z) dy dz obsahuje i proměnnou x, která závisí na y a z. Tato závislost se musí do integrálu dosadit. oužije se věta o substituci na jednotlivé části integrálu podle toho, jak je zadaná. VĚTA. Necht f : R 3 je funkce definovaná na hladké ploše. 1. Necht je grafem funkce g definované na množině A. ak f ds = ( f 1 (x, y, g(x, y)) g x dx dy f 2(x, y, g(x, y)) g A uzavřená hladká kraj y dx dy+f 3(x, y, g(x, y)) dx dy).

15 2. Necht je určena parametricky funkcemi ϕ, ψ, τ na množině A. ak f ds = ± f 1 (ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v))j(ψ, τ) du dv A ± f 2 (ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v))j(ϕ, τ) du dv A ± f 3 (ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v))j(ϕ, ψ) du dv, A kde znaménka před integrály se určí podle souhlasu s obvyklou orientací souřadnicových množin. oslední věta o určení znaménka znamená, např. pro poslední integrál na pravé straně, že znaménko bude stejné jako znaménko Jakobiánu J(ϕ, ψ), pokud při pohledu seshora na rovinu xy vidíme kladnou stranu v nějakém vybraném bodě, ve kterém se nějaké jeho okolí na ploše zobrazuje prostě na rovinu xy. OZOROVÁNÍ. f ds = Necht f : R 3 je funkce definovaná na hladké ploše. otom (f 1 (x, y, z) cos α + f 2 (x, y, z) cos β + f 3 (x, y, z) cos γ) ds, kde uvedené kosiny jsou v bodech z. V integrálu f ds lze tedy f ds chápat jako skalární součin vektoru f s vektorem ds = (cos α, cos β, cos γ) ds uzavřená hladká kraj

16 3 uzavřená hladká kraj

17 GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA Greenova věta převádí křivkový integrál po jednoduše uzavřené křivce na integrál přes vnitřek této křivky. osunutím o dimenzi výše by se měla dostat věta o převodu plošného integrálu po jednoduše uzavřené ploše na integrál přes vnitřek této. Greenův vzorec měl dvě podoby: pro křivkový integrál ze skalárního součinu s tečným vektorem nebo s normálovým vektorem. VĚTA. Necht G je otevřená podmnožina prostoru a je jednoduše uzavřená orientovaná ležící i s vnitřkem v G. Necht f = (f 1, f 2, f 3 ) je funkce G R 3 mající spojité parciální derivace na G. ak platí ( f1 (x, y, z) dy dz + f 2 (x, y, z) dx dz + f 3 (x, y, z) dx dy ) = = ι ( f1 x + f 2 y + f 3 z Důkaz je naznačen v oznámkách a Otázkách. ) dx dy dz. uzavřená hladká kraj

18 odobně jako Greenova věta, dá se i Gaussova Ostrogradského věta vyslovit pro konečná sjednocení ploch uzavřená hladká kraj

19 STOKESOVA VĚTA Na rozdíl od Gaussovy Ostrogradského věty se bude v tomto případě vycházet z Greenova vzorce pro skalární součin funkce a tečného vektoru: VĚTA. Necht C je jednoduše uzavřená křivka v prostoru, která je krajem po částech hladké ιc. Necht C i ιc leží v otevřené množině G, na které je definována funkce f = (f 1, f 2, f 3 ) : G R 3 mající spojité parciální derivace na G. ak platí (f 1 (x, y, z) dx + f 2 (x, y, z) dy + f 3 (x, y, z) dz) = ιc C ( ( f3 y f 2 z ) dy dz + ( f1 z f 3 x ) dx dz + ( f2 x f 1 y ) ) dx dy. odobně jako Greenova věta, dá se i ova věta vyslovit pro mající za kraj konečná sjednocení jednoduše uzavřených křivek v prostoru. 5 5 uzavřená hladká kraj

20 OUŽITÍ LOŠNÝCH INTEGRÁLŮ Obdobně jako u křivkových integrálů, se nyní dají počítat velikosti ploch a jejich těžiště. ro tuto velikost bude používán termín míra. DEFINICE. 1. Míra po částech hladké je rovna ds. 2. Hmotnost zakřivené desky ve tvaru po částech hladké je rovna h ds, kde h je funkce na udávající hustotu. 3. Těžiště zakřivené desky ve tvaru po částech hladké mající hustotu h má souřadnice xh ds yh ds T x =, T y = m m, T zh ds z = m, kde m je hmotnost desky. V integrálech se musí za x, y, z, ds dosadit příslušné výrazy podle toho, jak je popsána. Čitatelé ve vzorcích pro těžiště jsou momenty (statické) vzhledem k rovinám yz nebo xz nebo xy resp. Opět stejně jako u použití Greenovy věty pro míry rovinných obrazců, lze použít Gaussovu Ostrogradského větu pro výpočet objemu tělesa. ostup je zcela stejný. Je-li G otevřená podmnožina prostoru mající za hranici uzavřenou po částech hladkou plochu G, pak objem V (G) tělesa G (nebo jeho uzávěru G) je roven uzavřená hladká kraj

21 V (G) = G x dy dz = G y dx dz = G z dx dy = 1 3 G (x dy dz + y dx dz + x dx dy) z kapitoly LOŠNÉ INTEGRÁLY uzavřená hladká kraj

22 LOCHY locha je množina {(ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v)); (u, v) I}, kde ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v) jsou reálné spojité funkce definované na nějakém omezeném intervalu I v rovině. uzavřená hladká kraj

23 ředchozí se nazývá uzavřená, jestliže I je uzavřený a všechny body z hranice I se zobrazí do jediného bodu. Necht 1, 2 jsou zadané na intervalech I 1, I 2 resp., které mají společnou jednu svou stranu. Spojení ploch 1, 2 je pak jejich sjednocení definované na I 1 I 2. Značí se Indukcí lze tento pojem zavést pro spojení konečně mnoha ploch. locha zadaná parametry ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v) na intervalu I se nazývá hladká, jestliže platí: 1. funkce ϕ, ψ, τ mají spojité první parciální derivace na I; 2. pro každé (u, v) I má matice ( ϕ u ϕ v ψ u ψ v hodnost 2; 3. každý bod je obrazem jediného bodu (u, v) I s jedinou možnou výjimkou: obrazy bodů z hranice I mohou splývat. Kraj se někdy nazývá hranice, ale pak je nutné odlišovat hranici v R 3 (to je obvykle celá ) a hranici, která se tu nazývá kraj. ro představu si vezměte kruh, jakkoli položený v prostoru, třeba i zvlněný. Je jasné, co znamená kraj tohoto obrazce. locha s prázdným krajem je totéž, co uzavřená. o částech hladká je spojení konečně mnoha hladkých ploch. ovrch krychle nebo válce jsou příklady po částech hladké uzavřené. τ u τ v ) uzavřená hladká kraj

24 Každá po c ástech hladká je parametricky zadaná reálnými spojitými funkcemi ϕ(u, v), ψ(u, v), τ (u, v), které jsou definované na ne jakém omezeném intervalu I v rovine, pr ic emž ϕ(u, v), ψ(u, v), τ (u, v) mají spojité parciální derivace všude v I krome konec ne mnoha úsec ek. o c ástech hladká, parametricky zadaná zobrazením Φ na uzavr eném intervalu I, se nazývá jednoduše uzavr ená jestliže Φ je prosté na vnitr ku I, konstantní na hranici I s hodnotou ru znou od hodnot na vnitr ku I. Jednoduše uzavr ená rozde luje prostor na dve souvislé c ásti, jednu omezenou, zvanou vnitr ek (znac ení ι ) a druhou neomezenou. Orientace znamená, že lze mluvit o dvou stranách, jedna se oznac í za kladnou a druhá za zápornou. Je-li orientována, normála vždy sme r uje nad kladnou stranu. U jednoduše uzavr ených ploch, pokud není stanoveno jinak, se za kladnou stranu bere vne jší strana a normála tedy sme r uje ven, nikoli dovnitr. U grafu funkcí dvou prome nných se za kladnou stranu bere horní strana. uzavr ená hladká kraj po c ástech hladká jedn.uzavr ená sme rové kosiny te žište desky r íklady Cvic ení Uc ení

25 Orientace hladké znamená, že v každém jejím bodě je určen směr normály a to spojitým způsobem: jestliže půjdete po jednoduše uzavřené křivce na dané ploše, musíte dojít do výchozího bodu ve stejné poloze. Je-li orientovaná křivka C částí kraje orientované, říká se, že obě orientace jsou souhlasné, jestliže při chůzi po křivce v kladném směru a po kladné straně, máte plochu po levé straně. Nebude-li řečeno jinak, bude se vždy předpokládat, že a jejich kraje jsou orientovány souhlasně. Musí se dávat pozor při orientaci po částech hladkých ploch, protože ve styčných hranách obecně neexistují normály. Necht jsou jednotlivé spojované orientovány a necht jejich kraje jsou uzavřené křivky, které jsou orientovány souhlasně s příslušnými mi. ak je celá orientována, jestliže části krajů, které se stýkají (právě dvě) jsou navzájem orientovány opačně. uzavřená hladká kraj

26 LOŠNÉ INTEGRÁLY 1.DRUHU V bodě (x, y, z) se velmi malá ploška ds okolo tohoto bodu dá považovat za rovinnou a zjistí se poměr její velikosti ku poměru jejího průmětu, např. do roviny xy (není-li tento průmět úsečka nebo bod). V rovině xy má průmět velikost dx. dy. Skutečná ploška má velikost větší, a to ds = dx. dy/ cos γ, kde γ je úhel, který svírá normála k ploše v (x, y, z) s rovnoběžkou v (x, y, z) s osou z v kladném směru. Je nutné předpokládat, že cos γ 0, tj., že ploška není rovnoběžná s osou z. odle druhé podmínky definice hladkých ploch musí být v každém bodě aspoň jeden uvedený kosinus nenulový. locha se rozdělí na nejvýše tři části, a v každé je jeden daný kosinus nenulový. Integrál přes plochu je pak součtem integrálů přes tyto části. uzavřená hladká kraj

27 odle volby takové části se berou průměty i do rovin xz nebo yz a dostávají se velikosti plošek dx. dz/ cos β, resp. dy. dz/ cos α, kde úhly β, α jsou opět úhly mezi normálou a příslušnými osami (y, resp. x). Kosiny těchto úhlů se nazývají normály. DEFINICE. Necht f je funkce zadaná na hladké ploše, na které je v každém bodě cos γ 0. ak se definuje funkce f přes plochu jako dx dy f(s) ds = f(s) cos γ. Na pravé straně je dvojrozměrný integrál, v něm se za proměnné S, x, y, γ musí dosadit příslušné hodnoty (viz dále). ožadavek nenulovosti směrového kosinu lze oslabit podmínkou, že může nabývat 0 jen na malé množině (nulové). VĚTA. Necht je grafem funkce h(x, y). otom 1 ( h ) 2 ( h ) 2 cos γ = x y Necht je určena parametricky funkcemi ϕ, ψ, τ na množině A. ak normálový vektor n k ploše je vektorovým součinem vektorů parciálních derivací ( ϕ n = u, ψ u, τ ) ( ϕ u v, ψ v, τ ) v M uzavřená hladká kraj

28 Vektorový součin vektorů a = (a 1, a 2, a 3 ) = a 1 i + a 2 j + a 3 k a b = (b 1, b 2, b 3 ) = b 1 i + b 2 j + b 3 k je definován i j k a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = a 2 a 3 a b 2 b i 1 a 3 a 3 b 1 b j + 1 a 2 3 b 1 b k 2 Nyní lze napsat převod plošného integrálu 1.druhu na obyčejný integrál přes rovinnou množinu. VĚTA. Necht f je funkce definovaná na hladké ploše. 1. Necht je grafem funkce h definované na množině A. ak ( h ) 2 ( h ) 2 f(s) ds = f(x, y, h(x, y)) dx dy. x y A 2. Necht je určena parametricky funkcemi ϕ, ψ, τ na množině A. ak f(s) ds = f(ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v)) n du dv. A uzavřená hladká kraj

29 1 n n v u říklad. Vypočtěte povrch koule B o poloměru a pomocí sférických souřadnic. Řešení. Máme vypočítat integrál 1 ds. kde Sféru B tedy parametrizujeme B ϕ(u, v) = a cos u cos v, ψ(u, v) = a sin u cos v, τ(u, v) = a sin v, Spočítáme parciální derivace u ( π, π), v ( π 2, π ). 2 u (ϕ, ψ, τ), v (ϕ, ψ, τ) uzavřená hladká kraj

30 a spočítáme vektorový součin těchto dvou vektorů. Výsledek označme n = (n 1, n 2, n 3 ). ak platí Dostáváme B n n n 2 3 = a 4 cos 2 v. 1 ds = a 2 π π π 2 π 2 cos v dv du = 4πa 2. říklad. Zintegrujte funkci x + y + z přes povrch krychle. říklad. Vypočtěte z2 ds, kde je část kužele daná parametrizací x = r cos ϕ sin α, y = r sin ϕ sin α, z = r cos α, r [0, a], ϕ [0, 2π] a α (0, π/2) je konstanta. uzavřená hladká kraj

31 LOŠNÉ INTEGRÁLY 2.DRUHU DEFINICE. Necht je hladká orientovaná a f : R 3 má souřadnice (f 1, f 2, f 3 ). ak se definuje plošný integrál 2.druhu funkce f přes rovností f. dn = (f 1 (x, y, z) dy dz + f 2 (x, y, z) dx dz + f 3 (x, y, z) dx dy). R 2 Integrál na pravé straně je součtem tří integrálů a každý lze brát přes projekci do příslušné roviny (yz nebo xz nebo xy resp.). V definici je pro jednoduchost uvedena integrace přes celou rovinu (rozumí se, že integrovaná funkce se dodefinuje nulou ve zbývajících bodech). odle uvedené definice plošného integrálu 2.druhu však nelze integrál většinou přímo počítat, protože např. R 2 (f 1 (x, y, z) dy dz obsahuje i proměnnou x, která závisí na y a z. Tato závislost se musí do integrálu dosadit. oužije se věta o substituci na jednotlivé části integrálu podle toho, jak je zadaná. uzavřená hladká kraj VĚTA. Necht f : R 3 je funkce definovaná na hladké ploše. 1. Necht je grafem funkce g definované na množině A. ak f ds = ( f 1 (x, y, g(x, y)) g A x dx dy f 2(x, y, g(x, y)) g y dx dy+f 3(x, y, g(x, y)) dx dy). f ds = f(x, y, g(x, y)). n dx dy, kde n = ( g x, g y, 1) je normálový vektor k ploše. A

32 2. Necht je určena parametricky funkcemi ϕ, ψ, τ na množině A. ak f ds = ± f 1 (ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v))j(ψ, τ) du dv A ± f 2 (ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v))j(ϕ, τ) du dv A ± f 3 (ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v))j(ϕ, ψ) du dv, A kde znaménka před integrály se určí podle souhlasu s obvyklou orientací souřadnicových množin. f ds = f(x, y, g(x, y)). n dx dy, kde ( ϕ n = u, ψ u, τ ) u je normálový vektor k ploše. A ( ϕ v, ψ v, τ v OZOROVÁNÍ. Necht f : R 3 je funkce definovaná na hladké ploše. otom f ds = (f 1 (x, y, z) cos α + f 2 (x, y, z) cos β + f 3 (x, y, z) cos γ) ds, f ds = f. n n ds, ) uzavřená hladká kraj

33 kde uvedené kosiny jsou v bodech z. Ve druhém vyjádření jde o složku f ve směru normály k ploše (spočítáno skalárním součinem f a jednotkového vektoru n = (cos α, cos β, cos γ). n říklad. Vypočtěte integrál I = M x dy dz + y dz dx + z dx dy, kde M je sféra o poloměru a orientovaná ve směru vnější normály. Řešení. Substitucí převedeme integrál do sférických souřadnic. oložme tedy kde otom ϕ(u, v) = a cos u cos v, ψ(u, v) = a sin u cos v, τ(u, v) = a sin v, I = M = a 3 π = π π π u ( π, π), v x dy dz + y dz dx + z dx dy = ( π 2 ( π 2 π 2 což jsme měli spočítat. π 2 ( π 2, π ). 2 ) (cos 2 u cos 3 v + sin 2 u cos 3 v + sin 2 v cos v) dv du = ) cos v dv du = 4πa 3, uzavřená hladká kraj

34 GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA VĚTA. Necht G je otevřená podmnožina prostoru a je jednoduše uzavřená orientovaná ležící i s vnitřkem v G. Necht f = (f 1, f 2, f 3 ) je funkce G R 3 mající spojité parciální derivace na G. ak platí ( f1 (x, y, z) dy dz + f 2 (x, y, z) dx dz + f 3 (x, y, z) dx dy ) = = ι ( f1 x + f 2 y + f 3 z ) dx dy dz. uzavřená hladká kraj

35 STOKESOVA VĚTA VĚTA. Necht C je jednoduše uzavřená křivka v prostoru, která je krajem po částech hladké ιc. Necht C i ιc leží v otevřené množině G, na které je definována funkce f = (f 1, f 2, f 3 ) : G R 3 mající spojité parciální derivace na G. ak platí (f 1 (x, y, z) dx + f 2 (x, y, z) dy + f 3 (x, y, z) dz) = ιc C ( ( f3 y f 2 z ) dy dz + ( f1 z f 3 x ) dx dz + ( f2 x f 1 y ) ) dx dy. uzavřená hladká kraj

36 OUŽITÍ LOŠNÝCH INTEGRÁLŮ DEFINICE. 1. Míra po částech hladké je rovna ds. 2. Hmotnost zakřivené desky ve tvaru po částech hladké je rovna h ds, kde h je funkce na udávající hustotu. 3. Těžiště zakřivené desky ve tvaru po částech hladké mající hustotu h má souřadnice xh ds T x =, T y = m kde m je hmotnost desky. yh ds m, T z = zh ds m, V integrálech se musí za x, y, z, ds dosadit příslušné výrazy podle toho, jak je popsána. Čitatelé ve vzorcích pro těžiště jsou momenty (statické) vzhledem k rovinám yz nebo xz nebo xy resp. Opět stejně jako u použití Greenovy věty pro míry rovinných obrazců, lze použít Gaussovu Ostrogradského větu pro výpočet objemu tělesa. ostup je zcela stejný. Je-li G otevřená podmnožina prostoru mající za hranici uzavřenou po částech hladkou plochu G, pak objem V (G) tělesa G (nebo jeho uzávěru G) je roven V (G) = x dy dz = y dx dz = z dx dy = 1 (x dy dz + y dx dz + x dx dy). G 3 G G říklad. Najděte těžiště horní polosféry. G uzavřená hladká kraj

PLOŠNÉ INTEGRÁLY PLOCHY

PLOŠNÉ INTEGRÁLY PLOCHY LOŠNÉ INTEGRÁLY V praxi se vyskytuje potřeba integrovat funkce nejen podle křivých čar, ale i podle křivých ploch (např. přes povrch koule). LOCHY lochy v prostoru, které byly zatí hlavně používány, byly

Více

PLOŠNÉ INTEGRÁLY PLOCHY. V praxi se vyskytuje potřeba integrovat funkce nejen podle křivých čar, ale i podle křivých ploch (např. přes povrch koule).

PLOŠNÉ INTEGRÁLY PLOCHY. V praxi se vyskytuje potřeba integrovat funkce nejen podle křivých čar, ale i podle křivých ploch (např. přes povrch koule). LOŠNÉ INTEGRÁLY V praxi se vyskytuje potřeba integrovat funkce nejen podle křivých čar, ale i podle křivých ploch (např. přes povrch koule). řed definicí plošných integrálů je nutné se zmínit o plochách,

Více

VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE

VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) jako vektor s

Více

VEKTOROVÁ POLE Otázky

VEKTOROVÁ POLE Otázky VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x,

Více

13. cvičení z Matematické analýzy 2

13. cvičení z Matematické analýzy 2 . cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013

Více

14. cvičení z Matematické analýzy 2

14. cvičení z Matematické analýzy 2 4. cvičení z atematické analýzy 2 8. - 2. ledna 28 4. (Greenova věta) Použijte Greenovu větu k nalezení práce síly F (x, y) (2xy 3, 4x 2 y 2 ) vykonané na částici podél křivky Γ, která je hranicí oblasti

Více

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v . a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných

Více

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta

14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta 14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2010/11 14.1 Úvod Definice (zobecněná plocha) Řekneme, že S R n (n 2) je zobecněná (n

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Plošný integrál Studijní text, 16. května Plošný integrál

Plošný integrál Studijní text, 16. května Plošný integrál Plošný integrál tudijní text, 16. května 2011 Plošný integrál Jednoduchý integrál jsme rozšířili zavedením křivkového integrálu. Rozlišovali jsme dva druhy integrálu, přičemž křivkový integrál 2. druhu

Více

terminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy

terminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy 2. Plošný integrál. Poznámka. Obecně: integrování přes k-rozměrné útvary (k-plochy) v R n. Omezíme se na případ k = 2, n = 3. Definice. Množina S R 3 se nazve plocha, pokud S = ϕ(), kde R 2 je otevřená

Více

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26 Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet

Více

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z: PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ. Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více

11. cvičení z Matematické analýzy 2

11. cvičení z Matematické analýzy 2 11. cvičení z Matematické analýzy 11. - 15. prosince 17 11.1 (trojný integrál - Fubiniho věta) Vypočtěte (i) xyz dv, kde je ohraničeno plochami y x, x y, z xy a z. (ii) y dv, kde je ohraničeno shora rovinou

Více

VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE

VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Podíváme se podrobněji na vektorové funkce. Jde často o zkoumání fyzikálních veličin jako tlak vzduchu, proudění tekutin a podobně. VEKTOROVÁ POLE Na zobrazení z roviny do roviny nebo z

Více

12. Křivkové integrály

12. Křivkové integrály 12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ

Více

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE LEKE34-KIN auchyova obecná auchyova auchyův vzorec vičení KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Na konci kapitoly o derivaci je uvedena souvislost existence derivace s potenciálním polem. Existuje

Více

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce. KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2 4.1 Křivkový integrál ve vektrovém poli přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch

Více

PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE

PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE Příklad Představme si, že máme vypočítat integrál I = f(, y) d dy, M kde M = {(, y) R 2 1 < 2 + y 2 < 4}. y M je mezikruží mezi kružnicemi o poloměru 1 a 2 a se

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Matematika pro chemické inženýry

Matematika pro chemické inženýry Matematika pro chemické inženýry Drahoslava Janovská Plošný integrál Přednášky Z 216-217 ponzorováno grantem VŠCHT Praha, PIGA 413-17-6642, 216 Povinná látka. Bude v písemkách a bude se zkoušet při ústní

Více

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

APLIKACE. Poznámky Otázky

APLIKACE. Poznámky Otázky APLIKACE Následující úlohy lze zhruba rozdělit na geometrické, algebraické a úlohy popisující různé stavy v některých oblastech jiných věd, např. fyziky nebo ekonomie. GEOMETRICKÉ ÚLOHY Mezi typické úlohy

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

Parametrické rovnice křivky

Parametrické rovnice křivky Křivkový integrál Robert Mařík jaro 2014 Tento text je tištěnou verzí prezentací dostupných z http://user.mendelu.cz/marik/am. Křivkový integrál Jedná se o rozšíření Riemannova integrálu, kdy množinou

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.

1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g. . Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny.,. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.. Spočtěte všechny první parciální derivace funkcí: a) f(x, y) = x 4 + y 4 4x y, b) f(x,

Více

12 Trojný integrál - Transformace integrálů

12 Trojný integrál - Transformace integrálů Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 8 Trojný integrál - Transformace integrálů. Příklad Spočtěte x + y dxdydz, kde : z, x + y. Řešení Integrační obor určený vztahy z, x + y je válec.

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,

Více

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3. Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,

Více

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé

Více

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná

Více

Matematika 2 (2016/2017)

Matematika 2 (2016/2017) Matematika 2 (2016/2017) Co umět ke zkoušce Průběh zkoušky Hodnocení zkoušky Co umět ke zkoušce Vybrané partie diferenciálního počtu funkcí více proměnných Vybrané partie integrálního počtu funkcí více

Více

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

DERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ

DERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ DERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ vlastnosti holomorfní DERIVACE U reálných funkcí více reálných proměnných nebylo možné definovat derivaci analogicky definici reálné jedné reálné proměnné (nešlo dělit...)

Více

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový

Více

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály . Cvičení: Opakování derivace a integrál Derivace Příklad: Určete derivace následujících funkcí. f() e 5 ( 5 cos + sin ) f () 5e 5 ( 5 cos + sin ) + e 5 (5 sin + cos ) e 5 cos + 65e 5 sin. f() + ( + )

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH DEFINICE. Funkce f více proměnných. má v bodě C D(f) lokální maximum, resp. lokální minimum, jestliže existuje okolí U bodu C takové, že f(c) je maximální (resp. minimální

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Funkce a základní pojmy popisující jejich chování

Funkce a základní pojmy popisující jejich chování a základní pojmy ující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. 511 f bude v této části znamenat zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny

Více

Matematika I 12a Euklidovská geometrie

Matematika I 12a Euklidovská geometrie Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky

Více

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky 6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

10. cvičení z Matematické analýzy 2

10. cvičení z Matematické analýzy 2 . cvičení z Matematické analýzy 3. - 7. prosince 8. (dvojný integrál - Fubiniho věta Vhodným způsobem integrace spočítejte daný integrál a načrtněte oblast integrace (a (b (c y ds, kde : y & y 4. e ma{,y

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) 2. Diferenciál funkce, tečná rovina. Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) df(a, h) = x (a)h + (a)h 2, h = (h, h

Více

y = 2x2 + 10xy + 5. (a) = 7. y Úloha 2.: Určete rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)). f(x, y) = x, a = (1, 1).

y = 2x2 + 10xy + 5. (a) = 7. y Úloha 2.: Určete rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)). f(x, y) = x, a = (1, 1). III Diferenciál funkce a tečná rovina Úloha 1: Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)) f(x, y) = 3x 3 x y + 5xy 6x + 5y + 10, a = (1, 1) Řešení Definičním oborem funkce

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

9. Vícerozměrná integrace

9. Vícerozměrná integrace 9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

Skalární a vektorový popis silového pole

Skalární a vektorový popis silového pole Skalární a vektorový popis silového pole Elektrické pole Elektrický náboj Q [Q] = C Vlastnost materiálových objektů Interakce (vzájemné silové působení) Interakci (vzájemné silové působení) mezi dvěma

Více

Základní topologické pojmy:

Základní topologické pojmy: Křivky Marie Ennemond Camille Jordan (88 9): Křivka je množina bodů, která je surjektivním obrazem nějakého intervalu Giuseppe Peano (858 9): Zobrazení intervalu na čtverec Wacław Franciszek Sierpiński

Více

Derivace funkce Otázky

Derivace funkce Otázky funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu

Více

9. Vícerozměrná integrace

9. Vícerozměrná integrace 9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných

Více

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1, Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,

Více

MFT - Matamatika a fyzika pro techniky

MFT - Matamatika a fyzika pro techniky MFT - Matamatika a fyzika pro techniky Pro každou přednášku by zde měl být seznam klíčových témat, odkaz na literaturu, zápočtový příklad k řešení a další příklady k procvičování převážně ze sbírky příkladů

Více

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2.

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2. Křivové integrál prvního druhu Vpočítejte dané řivové integrál prvního druhu v R. Přílad. ds x, de je úseča AB, A[, ], B[4, ]. Řešení: Pro řivový integrál prvního druhu platí: fx, ) ds β α fϕt), ψt)) ϕ

Více

1/15. Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných

1/15. Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných 1/15 Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných Vlastnosti bodových množin 2/15 Definice: ε-ové okolí... O ε (X) = {Y R n ρ(x, Y ) < ε} prstencové ε-ové okolí... P ε (X) = {Y R n 0 < ρ(x, Y ) < ε} Definice:

Více

Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9

Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9 Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9 2/9 Funkce dvou proměnných Definice: Reálnou funkcí dvou reálných proměnných, definovanou na množině M R 2, rozumíme předpis f, který každé uspořádané dvojici reálných

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

4. Napjatost v bodě tělesa

4. Napjatost v bodě tělesa p04 1 4. Napjatost v bodě tělesa Předpokládejme, že bod C je nebezpečným bodem tělesa a pro zabránění vzniku mezních stavů je m.j. třeba zaručit, že napětí v tomto bodě nepřesáhne definované mezní hodnoty.

Více

5. cvičení z Matematiky 2

5. cvičení z Matematiky 2 5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými

Více

2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: 2, b n = n. n n n.

2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: 2, b n = n. n n n. Písemka matematika 3 s řešením 1. Vypočtěte lim n( 1 + n 2 n), n lim n (( 1 + 1 n e ) n ) n. 1/2, 1/ e 2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: a n = sin nπ ( 2, b n = n

Více

11. cvičení z Matematické analýzy 2

11. cvičení z Matematické analýzy 2 11. cvičení z Mtemtické nlýzy 1. - 1. prosince 18 11.1 (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y

Více

III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).

III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ). III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,

Více

VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A

VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.

Více

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné . Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Tečny a tečné roviny 1 / 16 Matematika 1 pro PEF PaE 7. Tečny a tečné roviny Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Tečny a tečné roviny Tečny a normály grafů funkcí jedné proměnné / 16 Tečny a normály

Více

7. Aplikace derivace 7E. Křivky. 7E. Křivky

7. Aplikace derivace 7E. Křivky. 7E. Křivky 7E. Křivky Derivace nacházejí uplatnění také při studiu křivek. Obrazně řečeno křivka v rovině je množina bodů, která vznikne pohybem pera po papíře. Předpokládáme přitom, že hrot pera je stále v kontaktu

Více

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

7. Integrál přes n-rozměrný interval

7. Integrál přes n-rozměrný interval 7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme

Více

5.3. Implicitní funkce a její derivace

5.3. Implicitní funkce a její derivace Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

1. přednáška 1. října Kapitola 1. Metrické prostory.

1. přednáška 1. října Kapitola 1. Metrické prostory. 1. přednáška 1. října 2007 Kapitola 1. Metrické prostory. Definice MP, izometrie. Metrický prostor je struktura formalizující jev vzdálenosti. Je to dvojice (M, d) složená z množiny M a funkce dvou proměnných

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více