Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Transkript

1 Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je lichá v proměnné y, tj. fx, y) = fx, y), je nejjednodušší provést substituci x = X y = Y = J = ; 4x + y 4 4X + Y 4. Po této substituci dostaneme I = x y dx dy = X Y dx dy = I = I = = x y dx dy =. Spočtěte = { x, y) ; y x, y x 4 }. xy dx dy, Řešení: Oblast integrace lze zapsat pomocí nerovností Podle Fubiniovy věty pak je xy dx dy = 4 y x y + 4 = y y + 8 = y 4. y+4 dy xy dx = 4 y y+4) 4 y4) dy = [ ] y 4 4 y 4 + 8y y y6 = 9. 4 Spočtěte dx dy dz, = {x, y, z) ; x, y, z, x + y + z }. Řešení: Když zapíšeme integrační obor pomocí nerovností jako z x y, x, y = z x y, x, y, x y, lze použít Fubiniovu větu a psát = { x, y) R ; x, y, x + y }. Zapíšeme-li ještě množinu ve tvaru x y x y) dx dy, y x, x = y x, x, x = x a použijeme na integrál přes opět Fubiniovu větu, dostaneme dx x x y) dy = x) dx = [ 6 x)3] = 6. Typeset by MS-TEX

2 Určete těžiště tělesa v R 3, = { x, y, z) ; z x + y, x y }. Řešení: Souřadnice těžiště T = [ ] x T ; y T ; z T homogenního tělesa najdeme ze vzorce x T = x dx dy dz, y T = y dx dy dz, z T = z dx dy dz, V V V dx dy dz. Při výpočtu integrálů budeme používat Fubiniovu větu. Z rovnic popisujících množinu plyne, že platí x +y fx, y, z) dx dy fx, y, z) dz, množina = { x, y) R ; x y } = { x, y) R ; x y, x } = = { x, y) R ; x y, x }. Poslední tvar množiny je vhodný pro další použití Fubiniovy věty a vede k rovnosti x +y fx, y, z) dx dy fx, y, z) dz. Pro objem tělesa takto dostaneme dx x dy x +y [ x 3 = 3 x5 5 + x 3 x7 ] dz = = x dx x + y ) dy = x x x x6) dx = Při výpočtu souřadnice x T tělesa je nerychlejší si všimnout, že těleso je symetrické vzhledem k rovině yz, tj. vzhledem k transformaci [x; y; z] [ x; y; z]. V takovém případě vede substituce x = X, y = Y a z = Z ke vztahu x X dx dy dz = x dx dy dz x x T =. Pro výpočet souřadnice y T musíme najít integrál x +y y dx dy y dz = = Podobně dostaneme z x x + 4 x6 4 x8) dx = dx x dx y x + y ) dy = x [ x x ] 4 x7 4 x9 36 x +y dy z dz = dx x + y ) dy = x = x x + 5 x6 3 x8 5 x) dx = = [ x x3 9 + x ] 5 x7 7 x9 7 x = = 6.

3 Tedy souřadnice těžiště jsou x T =, y T =, z T = Určete objem tělesa = { x, y, z) ; z x y, x + y, x, y }. Řešení: Ze zadání oblasti integrace je zřejmé, že podle Fubiniovy věty platí x y x y) dx dy, = { x, y) R ; x y, x + y, x, y }. Lze se přesvědčit, třeba s náčrtku v rovině, že podmínka x+y je důsledkem nerovnosti x +y. Proto lze psát = { x, y) R ; x + y, x, y }. bychom našli integrál přes množinu, zavedeme polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π, J = r. Množina je v proměnných r a ϕ dána nerovnostmi x + y = r <, x = r cos ϕ >, y = r sin ϕ > = < ϕ < π. Tedy hledaný objem je = dr / r r cos ϕ r sin ϕ) = πr r ) dr = π 3. [ r ϕ r sin ϕ + r cos ϕ ] π/ dr = Vypočtěte integrál xy dx dy, = { x, y) ; x + y ), x + y ) 4 }. Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose y, tj. vzhledem k substituci [x; y] [ x; y], a funkce fx, y) je lichá v proměnné x, tj. f x, y) = fx, y), je nejjednodušší provést substituci x = X y = Y = J = ; x + y ), x + y ) 4 = X + Y ), X + Y ) 4. Po této substituci dostaneme I = xy dx dy = XY dx dy = I = I = = xy dx dy =. 3

4 Určete souřadnice těžiště obrazce = { x, y) ; x + y ) y 3}. Řešení: Souřadnice těžiště x T a y T rovinného obrazce určíme ze vztahů x T = x dx dy, y T = y dx dy, P = P P Množinu v příkladu, lze poměrně snadno popsat v polárních souřadnicích x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π, J = r. Když dosadíme do nerovnosti, která popisuje množinu, dostaneme dx dy. r 4 r 3 sin 3 ϕ = < r < sin 3 ϕ = sin ϕ > = < ϕ < π. Tedy podle věty o substituci a Fubiniovy věty je Z tohoto vztahu dostaneme P = dx dy = fx, y) dx dy = sin 3 ϕ jsem použil známý rekurentní vztah sin 3 ϕ r dr = sin n ϕ = n n fr cos ϕ, r sin ϕ) rdr. sin 6 ϕ = π = 5 8 π, sin n ϕ, který platí pro n. Souřadnici x T těžiště bychom mohli zjistit okamžitě, kdybychom si uvědomili, že množina je symetrická vzhledem k ose y, tj. vzhledem k transformaci [x; y] [ x; y]. Z toho ihned plyne x T =. Pomocí integrálu bychom dostali x dx dy = sin 3 ϕ r cos ϕ dr = 8 3 jsme v posledním integrálu použili substituci sin x = t. K výpočtu souřadnice y T těžiště potřebujeme najít integrál y dx dy = sin 3 ϕ r sin ϕ dr = 8 3 sin 9 ϕ cos ϕ = sin ϕ = 8 3 [ ] π 8 3 sin ϕ =, π, jsem opět využil pro výpočet posledního integrálu rekurentní vzorec. dostaneme souřadnice těžiště x T =, y T =. Z těchto vztahů už Vypočtěte obsah obrazce = { x, y) ; x + y ) x y ), x + y }. 4

5 Řešení: Danou množinu je výhodné popisovat v polárních souřadnicích x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, π < ϕ < 3 π, J = r. V těchto souřadnicích jsou nerovnosti, které popisují množinu x + y ) x y ) = r cos ϕ sin ϕ ) = cos ϕ, x + y = r. Tedy množina je v polárních souřadnicích popsána nerovnostmi r cos ϕ, cos ϕ > = ϕ 6 π, 6 π) 5 6 π, 7 6 π). Obsah P množiny najdeme pomocí integrálu P = dx dy = = /6 π/6 /6 π/6 cos ϕ cos ϕ [ sin ϕ ϕ = ] π/6 π/6 r dr + 7π/6 5π/6 ) + 7π/6 5π/6 [ sin ϕ ϕ + cos ϕ cos ϕ ) = ] 7π/6 5π/6 = 3 π 3. r dr = Vypočtěte obsah obrazce a, b >. = { x, y) ; x } a + y b x + y, Řešení: Množina je elipsa, která má osy rovnoběžné s osami souřadnic. Najdeme proto její střed a poloosy. Nerovnost, která definuje množinu, je možné upravit na x a + y x x + y = b a x + y b y = a ) x a + ) b x b a + b. 4 Jedná se tedy o elipsu se středem v bodě [ a ; b] a poloosami a a + b a b a + b. Proto zavedeme souřadnice x = a + a a + b r cos ϕ, y = b + b a + b r cos ϕ, r >, < ϕ < π, J = aba + b ) 4 V těchto souřadnicích je daná elipsa určená nerovnostmi < r < a < ϕ < π. Tedy obsah P dané elipsy je P = dx dy = aba + b ) π rdr = π 4 4 aba + b ). Určete obsah obrazce = {x, y) ; x + y, x y x, x, y }. r. Řešení: Jestliže zapíšeme nerovnosti, které definují množinu, ve tvaru x + y, x y x = x + y, y x, 5

6 je zřejmé, že bude výhodné použít souřadnice u = x + y, v = y x. ) V souřadnicích u a v množina definována nerovnostmi u a v, a tedy je čtverec. Ještě musíme najít jakobián této transformace. Ten splňuje vztah Z rovnic ) plyne u J = det x v x u y v = det yx y x = u + v, y = uv + v. Jestliže tyto vztahy dosadíme do jakobiánu, dostaneme Tedy hledaný obsah P množiny je P = dx dy = J = x x + y = u + v). dv x u du + v) = 3 ) = x + y x. dv + v) = 4. Určete polární moment obrazce, tj. x + y ) dx dy, = {x, y) ; xy, x y x, x }. Řešení: Jestliže zapíšeme nerovnosti, které definují množinu, ve tvaru xy, x y x = xy, y x, je zřejmé, že bude výhodné použít souřadnice u = xy, v = y x. ) V souřadnicích u a v množina definována nerovnostmi u a v, a tedy je čtverec. Ještě musíme najít jakobián této transformace. Ten splňuje vztah u J = det x v x u y y x v = det yx y x ) = y x = v. Z rovnic ) plyne x = u v, y = uv. Proto dostaneme x + y ) dx dy = u + v ) dv v 6 du v = 3 4 v + ) dv = 9 8.

7 Určete moment setrvačnosti J z ) = x + y ) dx dy dz tělesa = { x, y, z) ; x + y z +, x + y + z 4 }. Řešení: Jestliže zapíšeme nerovnosti, které popisují množinu, ve tvaru x + y + ) z 4 x y, nabízí se použít při výpočtu integrálu Fubiniovu větu x +y ) je množina R dána nerovností 4 x y dx dy x +y ) dz = x +y ) 3 3 x +y ) ) dx dy, x +y )+ x + y ) + 4 x y. Protože integrovaná funkce i nerovnosti, které definují závisí pouze na proměnné r = x + y, zdá se výhodné použít při výpočtu integrálu polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π, J = r. V těchto souřadnicích je množina dána nerovností x + y ) + 4 x y = r + 4 r = r = r. Podle věty o substituci a Fubiniovy věty tedy je x + y ) 3 π [ ] r r r 4 ) rdr = 3π r6 = π. 6 Určete objem tělesa = { x, y, z) ; x + y + z 9, z }. Řešení: Když zapíšeme nerovnosti, které definují množinu, ve tvaru můžeme použít Fubiniovu větu a psát z je kruh x + y 9 z, z, dz dx dy, z z = { x, y) R ; x + y 9 z }. Integrál přes kruh z najdeme nejsnáze pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. 7

8 Kruh z je v těchto souřadnicích dán nerovností < r < 9 z. Pak je Tedy hledaný objem tělesa je z dx dy = π π 9 z r dr = π 9 z ). 9 z ) dz = 3 π. Určete moment setrvačnosti J z ) = x + y ) dx dy dz tělesa = { x, y, z) ; x + y 4, x + y + z 4, z }. Řešení: Jestliže zapíšeme nerovnosti, které definují množinu, ve tvaru z 4 x y, x + y 4, je zřejmé, že můžeme k výpočtu integrálu použít Fubiniovu větu ve tvaru J z ) = x +y ) množina je určena nerovnostmi dx dy 4 x y x + y 4, 4 x y = x + y 4. x +y ) dz = x +y ) 4 x y ) dx dy, Protože integrujeme přes kruh, je výhodné použít k výpočtu polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože množina je v polárních souřadnicích určena nerovnostmi < r <, je podle věty o substituci J z ) = dr Určete souřadnice těžiště tělesa π = r 4 r cos ϕ r sin ϕ ) r = 8π { x, y, z) ; je-li hustota rozložení hmoty rovna jedné. x } a + y b z 4, r 3 = 3π. Řešení: Souřadnice těžiště T = [ x T ; y T ; z T ] homogenního tělesa najdeme ze vzorce x T = x dx dy dz, y T = V V dx dy dz. y dx dy dz, z T = V z dx dy dz, Protože je těleso souměrné vzhledem k rovině yz, tj. vzhledem k substituci [x; y; z] [ x; y; z], resp. vzhledem k rovině xz, tj. vzhledem k substituci [x; y; z] [x; y; z], je zřejmé, že x T = y T =. 8

9 Souřadnici z T těžiště nalezneme pomocí integrálů. Jestliže zapíšeme nerovnosti, které definují těleso v ekvivalentním tvaru x a + y b z, z 4, lze použít Fubiniovu větu ve tvaru z je elipsa x a + y b zavést souřadnice fx, y, z) 4 dz fx, y, z) dx dy, z z. Protože integrujeme přes elipsu, je při výpočtu dvojného integrálu x = ar cos ϕ, y = ar sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = abr. V těchto souřadnicích je elipsa z určená nerovností Proto je 4 dz r z, < ϕ < π = < r < z, < ϕ < π. z z dr π 4 dz abr = πab z dr π 4 dz z z abr = πab r dr = πab 4 4 z dz = 64 3 πab. z dz = 8πab. Tedy souřadnice těžiště jsou x T = y T =, z T = 8 3. Určete souřadnice těžiště tělesa = { x, y, z) ; je-li hustota rozložení hmoty rovna jedné x } a + y b z c, z c, Řešení: Souřadnice těžiště T = [ x T ; y T ; z T ] homogenního tělesa najdeme ze vzorce x T = x dx dy dz, y T = V V dx dy dz. y dx dy dz, z T = V z dx dy dz, Protože je těleso souměrné vzhledem k rovině yz, tj. vzhledem k substituci [x; y; z] [ x; y; z], resp. vzhledem k rovině xz, tj. vzhledem k substituci [x; y; z] [x; y; z], je zřejmé, že x T = y T =. Souřadnici z T těžiště nalezneme pomocí integrálů. Z nerovnic, které popisují těleso lze nahlédnout, že budou výhodné souřadnice x = ar cos ϕ, y = br cos ϕ, z = ch, r >, < ϕ < π, h R ; J = abcr. 9

10 Protože v těchto souřadnicích je těleso popsáno nerovnostmi jsou hledané integrály r h, h = < r < h, < h <, < ϕ < π, z π π Tedy souřadnice těžiště tělesa jsou dh dh h h abcr dr = abc ch abcr dr = abc π π h dh = 3 πabc, h 3 dh = 4 πabc. x T = y T =, z T = 3 4 c. Spočtěte x + y + z) dx dy dz, = { x, y, z) ; x + y y, z, z x + y }. Řešení: Jestliže zapíšeme nerovnosti, které definují množinu, ve tvaru z x + y, x + y y, je snadno vidět, že můžeme použít Fubiniovu větu ve tvaru je množina x +y x + y + z) dx dy x + y + z) dz = = x + y) x + y + x + y )) dx dy, = { x, y) R ; x + y y }. Integrály přes tuto množinu se často počítají pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Množina je v souřadnicích r a ϕ určena nerovnostmi Tedy podle věty o substituce je x + y + z) < r < sin ϕ = sin ϕ > = < ϕ < π. = 4 = 4 sin ϕ cos ϕ + sin ϕ + ) r 3 dr = sin 4 ϕ cos ϕ + sin 5 ϕ + sin4 ϕ ) = [ 4 sin5 ] π [ ] π cos ϕ ) π = π 4.

11 Určete moment setrvačnosti J z ) = x + y ) dx dy dz pro těleso = { x, y, z) ; x } a + y b + z c, z. Řešení: Protože integrujeme přes polovinu elipsoidu, bude výhodné použít pro výpočet integrálu souřadnice x = ar cos θ cos ϕ, y = br cos θ sin ϕ, z = cr sin θ, r >, π < θ < π, < ϕ < π ; J = abcr cos θ. Množina je v těchto souřadnicích popsána nerovnostmi < r, sin θ, < ϕ < π = < r, < θ < π, < ϕ < π. Podle věty o substituci pak je J z ) = x + y ) = / 5 abc cos 3 θ dθ π π / dθ a cos ϕ + b sin ϕ ) = = 5 abc 3 π a + b ) = 5 πabc a + b ). r cos θ a cos ϕ + b sin ϕ ) abcr cos θ dr = Spočtěte x + y + z dx dy dz, = { x, y, z) ; x + y + z z }. Řešení: Integrály přes tuto množinu se poměrně často počítají pomocí sférických souřadnic x = r cos θ cos ϕ, y = r cos θ sin ϕ, z = r sin θ, r >, π < θ < π, < ϕ < π ; J = r cos θ. V těchto souřadnicích je množina popsána nerovnostmi < r sin θ = sin θ = < r < sin θ, < θ < π, < ϕ < π. Podle věty o substituci pak je x + y + z π / / = 8π dθ sin θ r 3 cos θ dr = [ sin 4 θ cos θ dθ = 8π 5 sin5 θ ] π/ = 8 5 π.

12 Spočtěte integrál = sinx + y) dx dy, { x, y) ; y >, x + y < π }, x y > π. Řešení: Nejprve přepíšeme nerovnosti, které definují množinu, na tvar y >, y π < x < π y = y >, y π < π y = < y < π, který je vhodný pro použití Fubiniovy věty. Z ní pak dostaneme sinx + y) dx dy = = / / dy / y y π/ sinx + y) dx = / [ cosx + y) [ ] π/ cosy π) dy = siny π) =. ] π/ y y π/ dy = Spočtěte integrál dx dy, = { x, y) ; x y) + x a }. Řešení: Z nerovnice, která definuje množinu je zřejmé, že bude výhodná substituce x y = u, x = v, u, v R ; J =, která převede množinu na kruh se středem v počátku souřadnic a poloměrem a. Podle věty o substituci je dx dy = du dv, = { u, v) R ; u + v = a }. Integrál přes množinu který je samozřejmě πa ) najdeme třeba pomocí polárních souřadnic u = r cos ϕ, v = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože je množina v těchto souřadnicích určena nerovnostmi < r < a a < ϕ < π, je podle věty o substituci a Fubiniovy věty dx dy = π a r dr = πa. Spočtěte integrál dx dy, = {x, y) ; xy, x + y 5 }, x >, y >.

13 Řešení: Nejprve přepíšeme nerovnosti, které definují množinu, na tvar x >, x < y < 5 x = x >, x < 5 x = x >, x 5 x + < = < x <, který je vhodný pro použití Fubiniovy věty. Z ní pak dostaneme dx dy = / 5/ x 5 dx dy = /x / x ) [ 5 dx = x x ] x ln x = 5 / 8 ln. Spočtěte integrál x x dx dy, + y = { x, y) ; x y, y x }. Řešení: Nejprve přepíšeme nerovnosti, které definují množinu, na tvar x y x = x x = x. který je vhodný pro použití Fubiniovy věty. Z ní pak dostaneme x dx dy x + y = = x dx x / x dy x + y = [ π 4 x x arctg x + ln x + 4 ) [ arctg y ] x dx = x x / ] = ln. Spočtěte polární moment J ) = x + y ) dx dy množiny = { x, y) ; x y, y x }. π 4 arctg x ) dx = Řešení: Nejprve přepíšeme nerovnosti, které definují množinu, na tvar x y x = x x = x. který je vhodný pro použití Fubiniovy věty. Z ní pak dostaneme J ) = x + y ) dx dy = x dx x + y ) dy = x x 5/ + 3 x3/ x 4 3 x6) dx = Vypočtěte y 3 x dx dy, + y = {x, y) ; x y, y 4}. 3

14 Řešení: Nejprve přepíšeme nerovnosti, které definují množinu, na tvar x y, y 4 = y, y 4 = y 4. který je vhodný pro použití Fubiniovy věty. Z ní pak dostaneme y 3 dx dy 4 y x + y = y 3 dx dy x + y = 4 [ y arctg x y ] y dy = 4 π 4 y dy = 6 3 π. Vypočtěte x y dx dy, = { x, y) ; y, x + y x }. Řešení: Tato množina se při výpočtu integrálů často popisuje pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, π < ϕ < π ; J = r. V souřadnicích r a ϕ pak je množina určena nerovnostmi x +y x, y = < r cos ϕ, cos ϕ, sin ϕ = < r cos ϕ, ϕ π. Podle věty o substituci a Fubiniovy věty proto je x y dx dy = / = 3 5 / cos ϕ r cos ϕ r sin ϕ r dr = cos 7 ϕ sin ϕ = 3 5 [ 8 cos8 ϕ / ] π/ = 4 5. cos ϕ r 4 cos ϕ sin ϕ dr = Vypočtěte x x dx dy, + y = {x, y) ; y x y, x }. Řešení: Nejprve přepíšeme nerovnosti, které definují množinu, na tvar x y x, x = x x, x = x. který je vhodný pro použití Fubiniovy věty. Z ní pak dostaneme x dx dy x x + y = x dy dx x/ x + y = [ arctg y ] x dx = x x/ π 4 arctg ) dx = π arctg. Vypočtěte x 3 x y) dx dy, 4

15 = { x, y) ; y x, x y }. Řešení: Nejprve přepíšeme nerovnosti, které definují množinu, na tvar x y x = x x = x. který je vhodný pro použití Fubiniovy věty. Z ní pak dostaneme x 3 x y ) dx dy = x dx x 3 x y ) dy = x x 7/ x3 x 5 + x6) dx = 54. Vypočtěte objem tělesa, = { x, y, z) ; x y, z 4 x y }. Řešení: Podle Fubiniovy věty je 4 x y 4 x y) dx dy, = { x, y) R ; x y, 4 x y }. Protože je to vidět třeba z obrázku) množina bodů, pro které je x y, je podmnožina poloroviny x + y 4, je množina určena nerovnostmi x y. Přepíšeme ještě nerovnosti, které definují množinu do tvaru, který je výhodný pro použití Fubiniovy věty, tj. na tvar x y = x = x. Pak dostaneme dx 4 x y) dy = x 4 4x x + x 3 + x4) dx = Vypočtěte objem tělesa, = {x, y, z) ; z 4 x y, x 3, y }. Řešení: Podle Fubiniovy věty je 4 x y 4 x y) dx dy, = { x, y) R ; x 3, y, 4 x y }. Přepíšeme ještě nerovnosti, které definují množinu do tvaru, který je výhodný pro použití Fubiniovy věty. Z nerovnic plyne, že platí y, y 4 x, x 3 = y min, 4 x), x 3. Protože 4 x pro x a 4 x < pro x > napíšeme množinu jako sjednocení dvou disjunktních množin =, = { x, y) R ; y, x } a = { x, y) R ; y 4 x, < x 3 }. 5

16 Pak můžeme psát 4 x y) dx dy + 4 x y) dx dy = = = dx 4 x y) dy + 3 dx [ 6x x ] + [ 6 4 x)3 ] 3 = x 4 x y) dy = 6 x) dx x) dx = Vypočtěte objem tělesa, = { x, y, z) ; x + y, x + z, x, y, z }. Řešení: Nejprve přepíšeme nerovnosti, které definují množinu, na tvar y x, y, z x, z, x = y x, z x, x. který je vhodný pro použití Fubiniovy věty. Z ní pak dostaneme x x x ) dx = 3. Vypočtěte objem tělesa, = { x, y, z) ; x, y, z x + y }. Řešení: Množina je zapsána tak, že lze přímo využít Fubiniovu větu. Podle ní je x +y dx x +y ) dy = x + 3) 8 dx = 3. Vypočtěte xy dx dy dz, = {x, y, z) ; z xy, x + y, x > }. Řešení: Nerovnosti, které popisují množinu, jsou zapsány ve tvaru, které nám umožňuje použít Fubiniovu větu a psát xy množina R je popsána nerovnostmi dx dy xy xy dz = x y dx dy, xy, x + y, x > = y x, x > = x, x > = < x. 6

17 Tedy Fubiniova věta dává xy dx x x y dy = 3 x x) 3 dx = 8. Vypočtěte obsah obrazce = {x, y) ; xy, x y x, x > }. Řešení: Protože je x >, lze zapsat nerovnosti, které popisují množinu, ve tvaru xy, x y x = xy, y x, zdá se výhodné zavést souřadnice u = xy, v = y ) x, y, v > ; y x J = det x y x = y x = v. Protože je množina v souřadnicích u, v definována nerovnostmi je podle věty o substituci a Fubiniovy věty P ) = u, v, dx dy = dv du v = ln. Vypočtěte obsah obrazce = { x, y) ; x y 4x, y x 4y }. Řešení: Nerovnosti, které popisují množinu, lze zapsat ve tvaru x y 4x, y x 4y = y x 4, x y 4, zdá se výhodné zavést souřadnice u = y x, ) v = x y, y, v > ; x J = det y x y xy x y = 3. Protože je množina v souřadnicích u, v definována nerovnostmi je podle věty o substituci a Fubiniovy věty P ) = u 4, v 4, dx dy = 4 4 dv du 3 =. 7

18 Určete objem tělesa = { x, y, z) ; z x + y +, x + y + z 4 }, Řešení: Jestliže zapíšeme nerovnosti, které popisují množinu, ve tvaru nabízí se použít Fubiniovu větu ve tvaru V ) = je množina dána nerovností x + y + ) z 4 x y, 4 x y dx dy dz = 3 3 x + y ) ) dx dy, x +y )+ x + y ) + 4 x y. Protože se v nerovnostech, které definují oblast integrace i v integrované funkci vyskytují proměnné x a y pouze v kombinaci r = x + y, je výhodné použít při výpočtu integrálu polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π, J = r. V těchto souřadnicích má nerovnost, která popisuje množinu tvar x + y ) + 4 x y = r + 4 r = r = r. Podle věty o substituci a Fubiniovy věty tedy je V ) = 3 π r ) rdr = 3π r r 3 ) dr = 3π. Určete souřadnice těžiště homogenního tělesa = { x, y, z) ; x + y + z 9, z }. Řešení: Souřadnice těžiště homogenního tělesa lze najít pomocí integrálů x T = x dx dy dz, y T = V V dx dy dz. y dx dy dz, z T = V z dx dy dz, Protože je těleso souměrné vzhledem k rovině yz, tj. vzhledem k záměně [x; y; z] [ x; y; z], resp. vzhledem k rovině xz, tj. vzhledem k záměně [x; y; z] [x; y; z], je zřejmé, že pro souřadnice těžiště platí x T = y T =. Třetí souřadnici těžiště najdeme pomocí integrálů. Jestliže zapíšeme nerovnosti, které popisují množinu ve tvaru x + y 9 z, z, 8

19 můžeme použít Fubiniovu větu ve tvaru z je kruh fx, y, z) dz fx, y, z) dx dy, z z = { x, y) R ; x + y 9 z }. Integrál přes kruh z nalezneme pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože kruh z je v souřadnicích r a ϕ dán nerovnostmi platí podle věty o substituci a Fubiniovy věty z < r < 9 z, < ϕ < π, dz dz π π 9 z 9 z r dr = π zr dr = π 9 z ) dz = 3 π, 9 z ) z dz = 39 4 π. Tedy souřadnice tělesa jsou x T = y T =, z T = 7 8. Určete souřadnice těžiště homogenního tělesa = { x, y, z) ; x + y 4, z, x + y + z 4 }. Řešení: Souřadnice těžiště homogenního tělesa lze najít pomocí integrálů x T = x dx dy dz, y T = y dx dy dz, z T = V V V dx dy dz. Přepíšeme-li nerovnosti, které popisují těleso ve tvaru z 4 x y, x + y 4, lze pro výpočet integrálů použít Fubiniovu a psát x y z 4 x y dx dy dx dy dx dy dx dy 4 x y 4 x y 4 x y 9 dz = 4 x y) dx dy x dz = y dz = z dz = x4 x y) dx dy y4 x y) dx dy z dx dy dz, 4 x y) dx dy,

20 je množina R určená nerovnostmi 4 x y, x + y 4. Snadno se lze přesvědčit třeba z náčrtku), že je kruh x +y 4 podmnožinou poloroviny x+y 4. Proto je množina kruh x + y 4. Pro integrály přes kruh se středem v počátku je velmi často výhodné použít polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože kruh je v souřadnicích r a ϕ dán nerovnostmi platí podle věty o substituci a Fubiniovy věty x y z = = π dr dr dr π π π dr dr Tedy souřadnice těžiště tělesa jsou < r, < ϕ < π, π π 4 r cos ϕ r sin ϕ)r = 8π 4 r cos ϕ r sin ϕ)r cos ϕ r = π 4 r cos ϕ r sin ϕ)r sin ϕ r = π 4 r cos ϕ r sin ϕ) r = r dr = 6π r dr = 8 3 π r dr = 8 3 π 6 + r 8r cos ϕ 8r sin ϕ + r cos ϕ sin ϕ ) r = 6 + r ) r dr = 36π. x T = y T = 6, z T = 9 4. Spočtěte objem tělesa = { x, y, z) ; x + y + z, x + y }. Řešení: Protože nerovnosti, které popisují těleso, obsahují proměnné x a y pouze v kombinaci x + y, jedná se o rotační těleso. Taková tělesa se většinou popisují pomocí válcových souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z, r >, < ϕ < π, z R ; J = r. Podle věty o substituci pak dostaneme množina R je dána nerovnostmi dr dz π r = π r dr dz, < r, r + z = r z r, < r.

21 Z těchto nerovností plyne, že π r dr r dz = 4π r r [ r dr = 4π 3 r ) ] 3/ = 4 ). 3 Určete objem tělesa = { x, y, z) ; x + y 4, y + z, y z }. Řešení: Nerovnice, které definují těleso, zapíšeme ve tvaru x + y 4, y z y, který je vhodný pro použití Fubiniovy věty. Z ní plyne R je dána nerovnostmi y y) dx dy, y x + y 4, y y = x + y 4, y. Snadno se přesvědčíme třeba z náčrtku), že kruh x + y 4 je podmnožinou poloroviny y. Proto je množina kruh x + y 4. bychom našli integrál přes kruh, zavedeme polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože v souřadnicích r a ϕ je množina popsána nerovnostmi je podle věty o substituci a Fubiniovy věty dr < r, < ϕ < π, π r sin ϕ) r = 8π r dr = 6π. Určete souřadnice těžiště tělesa = { x, y, z) ; x + y y, z, z x + y }. Řešení: Souřadnice těžiště homogenního tělesa lze najít pomocí integrálů x T = x dx dy dz, y T = y dx dy dz, z T = V V V dx dy dz. z dx dy dz, Protože je těleso symetrické vzhledem k rovině yz, tj. nemění se při záměně [x; y; z] [ x; y; z], je jeho souřadnice x T =. Jestliže zapíšeme nerovnosti, které popisují těleso ve tvaru z x + y, x + y y,

22 lze při výpočtu integrálů použít Fubiniovu větu. Ta dává M xz = M xy = y z x +y x + y dx dy x +y dx dy y dz = y x + y dx dy x +y dx dy z dz = x + y ) dx dy, R je dána nerovností x + y y. Integrály přes množinu se často počítají pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. V těchto souřadnicích je množina dána nerovnostmi r >, < ϕ < π, r r sin ϕ = < r sin ϕ, < ϕ < π = = < r sin ϕ, sin ϕ, < ϕ < π = < r sin ϕ, < ϕ < π. Podle věty o substituci a Fubiniovy věty pak platí M xz = M xy = sin ϕ sin ϕ sin ϕ Tedy souřadnice těžiště tělesa jsou r dr = 8 3 r 3 sin ϕ dr = 4 r 3 dr = sin 3 ϕ = = 3 9 x T =, y T = 6 5, z T = 7 8 π. sin 5 ϕ = = 64 3 sin 4 ϕ = 3 4 π = 3 4 π. Spočtěte x + y dx dy dz, = { x, y, z) ; x + y z, z }. Řešení: Protože nerovnosti, které popisují těleso, obsahují proměnné x a y pouze v kombinaci x + y, jedná se o rotační těleso. Taková tělesa se většinou popisují pomocí válcových souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z, r >, < ϕ < π, z R ; J = r. Nerovnosti, které popisují těleso, pak jsou r z, z, < ϕ < π.

23 Podle věty o substituci pak dostaneme x + y je množina R dána nerovnostmi Z Fubiniovy věty pak plyne dr dz π r = π r dr dz, r >, r z, z = < r z, < z. x + y π dz z r dr = 3 π z 3 dz = π 6. Spočtěte moment setrvačnosti J z ) = x + y ) dx dy dz pro těleso = { x, y, z) ; x + y + z R, z }. Řešení: Protože těleso je polokoule, je výhodné použít při výpočtu integrálu sférické souřadnice x = r cos θ cos ϕ, y = r cos θ sin ϕ, z = r sin θ, r >, π < θ < π, < ϕ < π ; J = r cos θ. V těchto souřadnicích je těleso určeno nerovnostmi r R, r sin θ = < r R, sin θ = < r R, θ < π, < ϕ < π. Tedy podle věty o substituci a Fubiniovy věty je J z ) = x + y ) R dr = π R r 4 dr / / dθ π cos 3 θ dθ = π 5 R5 3 = 4 5 πr5. r cos θ r cos θ = Spočtěte x + y + z dx dy dz, = { x, y, z) ; x + y + z, x }. Řešení: Protože těleso je polokoule, je výhodné použít při výpočtu integrálu sférické souřadnice na rozdíl od obvyklých sférických souřadnic jsem přeměnil osy, aby byla jednodušší podmínka x ) x = r sin θ, y = r cos θ cos ϕ, z = r cos θ sin ϕ, r >, π < θ < π, < ϕ < π ; J = r cos θ. V těchto souřadnicích je těleso určeno nerovnostmi r, r sin θ = < r, sin θ = < r, θ < π, < ϕ < π. 3

24 Tedy podle věty o substituci a Fubiniovy věty je x + y + z π / dθ r 3 cos θ dr = π. Spočtěte xyz dx dy dz, = { x, y, z) ; x + y + z R, x >, y >, z > }. Řešení: Protože těleso je polokoule, je výhodné použít při výpočtu integrálu sférické souřadnice x = r cos θ cos ϕ, y = r cos θ sin ϕ, z = r sin θ, r >, π < θ < π, < ϕ < π ; J = r cos θ. V těchto souřadnicích je těleso určeno nerovnostmi r R, r cos θ cos ϕ, r cos θ cos ϕ, r sin θ = = < r R, sin θ, cos ϕ, sin ϕ = < r R, θ < π, < ϕ π. Tedy podle věty o substituci a Fubiniovy věty je xyz = / / / dθ cos ϕ sin ϕ R r 3 cos θ sin θ cos ϕ sin ϕ r cos θ dr = / cos 3 θ sin θ dθ R r 5 dr = 4 R6 6 = R6 48. Spočtěte objem tělesa = { x, y, z) ; x a + y b + z c, x } a + y b z c, z. Řešení: Z tvaru nerovností, které popisují těleso, lze nahlédnout, že by mohla být, aspoň v první fázi, výhodná substituce x = ar cos ϕ, y = br sin ϕ, z = ch, r >, < ϕ < π, h R ; J = abcr. po této substituci přejdou nerovnosti, které popisují množina na nerovnosti r + h, r h, h, r >, ) které už nezávisí na ϕ ani na parametrech a, b a c. Podle věty o substituci a Fubiniovy věty pak je dr dh π abcr = πabc r dr dh, množina R je dána nerovnostmi ). Integrál přes množinu lze najít například v polárních souřadnicích r = ρ cos θ, h = ρ sin θ, ρ >, < θ < π ; J = ρ. 4

25 V souřadnicích ρ a θ mají nerovnosti ) tvar ρ, cos θ sin θ, ρ sin θ, ρ cos θ > = < ρ <, < θ 4 π. Tedy podle věty o substituci a Fubiniovy věty je πabc dρ /4 ρ cos θ ρ dθ = πabc ρ dρ /4 cos θ dθ = 3 πabc. Vypočtěte objem tělesa = { x, y, z) ; x + y + z R, x + y Rx }. Řešení: Upravíme-li nerovnosti, které určují množinu, na tvar R x y z R x y, x + y Rx, lze použít Fubiniovu větu a integrovat přes proměnnou z. Tak dostaneme Z R x y dx dy dz = R x y dx dy, R x y je množina R dána nerovností x + y Rx, x + y R. ) bychom našli integrál přes množinu, zavedeme polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, π < ϕ < π ; J = r. V souřadnicích r a ϕ má nerovnost ) tvar r Rr cos ϕ, r R = < r R cos ϕ = cos ϕ = π ϕ π. Podle věty o substituci a Fubiniovy věty tedy je / R cos ϕ / [ R r rdr = 3 R r ) ] 3/ R cos ϕ = π/ π/ = / 3 R3 sin 3 ϕ ) = 4 / 3 R3 sin 3 ϕ ) = 4 π 3 R3 ) = ) 3π 4 R π/ 5