Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,"

Transkript

1 Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je lichá v proměnné y, tj. fx, y) = fx, y), je nejjednodušší provést substituci x = X y = Y = J = ; 4x + y 4 4X + Y 4. Po této substituci dostaneme I = x y dx dy = X Y dx dy = I = I = = x y dx dy =. Spočtěte = { x, y) ; y x, y x 4 }. xy dx dy, Řešení: Oblast integrace lze zapsat pomocí nerovností Podle Fubiniovy věty pak je xy dx dy = 4 y x y + 4 = y y + 8 = y 4. y+4 dy xy dx = 4 y y+4) 4 y4) dy = [ ] y 4 4 y 4 + 8y y y6 = 9. 4 Spočtěte dx dy dz, = {x, y, z) ; x, y, z, x + y + z }. Řešení: Když zapíšeme integrační obor pomocí nerovností jako z x y, x, y = z x y, x, y, x y, lze použít Fubiniovu větu a psát = { x, y) R ; x, y, x + y }. Zapíšeme-li ještě množinu ve tvaru x y x y) dx dy, y x, x = y x, x, x = x a použijeme na integrál přes opět Fubiniovu větu, dostaneme dx x x y) dy = x) dx = [ 6 x)3] = 6. Typeset by MS-TEX

2 Určete těžiště tělesa v R 3, = { x, y, z) ; z x + y, x y }. Řešení: Souřadnice těžiště T = [ ] x T ; y T ; z T homogenního tělesa najdeme ze vzorce x T = x dx dy dz, y T = y dx dy dz, z T = z dx dy dz, V V V dx dy dz. Při výpočtu integrálů budeme používat Fubiniovu větu. Z rovnic popisujících množinu plyne, že platí x +y fx, y, z) dx dy fx, y, z) dz, množina = { x, y) R ; x y } = { x, y) R ; x y, x } = = { x, y) R ; x y, x }. Poslední tvar množiny je vhodný pro další použití Fubiniovy věty a vede k rovnosti x +y fx, y, z) dx dy fx, y, z) dz. Pro objem tělesa takto dostaneme dx x dy x +y [ x 3 = 3 x5 5 + x 3 x7 ] dz = = x dx x + y ) dy = x x x x6) dx = Při výpočtu souřadnice x T tělesa je nerychlejší si všimnout, že těleso je symetrické vzhledem k rovině yz, tj. vzhledem k transformaci [x; y; z] [ x; y; z]. V takovém případě vede substituce x = X, y = Y a z = Z ke vztahu x X dx dy dz = x dx dy dz x x T =. Pro výpočet souřadnice y T musíme najít integrál x +y y dx dy y dz = = Podobně dostaneme z x x + 4 x6 4 x8) dx = dx x dx y x + y ) dy = x [ x x ] 4 x7 4 x9 36 x +y dy z dz = dx x + y ) dy = x = x x + 5 x6 3 x8 5 x) dx = = [ x x3 9 + x ] 5 x7 7 x9 7 x = = 6.

3 Tedy souřadnice těžiště jsou x T =, y T =, z T = Určete objem tělesa = { x, y, z) ; z x y, x + y, x, y }. Řešení: Ze zadání oblasti integrace je zřejmé, že podle Fubiniovy věty platí x y x y) dx dy, = { x, y) R ; x y, x + y, x, y }. Lze se přesvědčit, třeba s náčrtku v rovině, že podmínka x+y je důsledkem nerovnosti x +y. Proto lze psát = { x, y) R ; x + y, x, y }. bychom našli integrál přes množinu, zavedeme polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π, J = r. Množina je v proměnných r a ϕ dána nerovnostmi x + y = r <, x = r cos ϕ >, y = r sin ϕ > = < ϕ < π. Tedy hledaný objem je = dr / r r cos ϕ r sin ϕ) = πr r ) dr = π 3. [ r ϕ r sin ϕ + r cos ϕ ] π/ dr = Vypočtěte integrál xy dx dy, = { x, y) ; x + y ), x + y ) 4 }. Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose y, tj. vzhledem k substituci [x; y] [ x; y], a funkce fx, y) je lichá v proměnné x, tj. f x, y) = fx, y), je nejjednodušší provést substituci x = X y = Y = J = ; x + y ), x + y ) 4 = X + Y ), X + Y ) 4. Po této substituci dostaneme I = xy dx dy = XY dx dy = I = I = = xy dx dy =. 3

4 Určete souřadnice těžiště obrazce = { x, y) ; x + y ) y 3}. Řešení: Souřadnice těžiště x T a y T rovinného obrazce určíme ze vztahů x T = x dx dy, y T = y dx dy, P = P P Množinu v příkladu, lze poměrně snadno popsat v polárních souřadnicích x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π, J = r. Když dosadíme do nerovnosti, která popisuje množinu, dostaneme dx dy. r 4 r 3 sin 3 ϕ = < r < sin 3 ϕ = sin ϕ > = < ϕ < π. Tedy podle věty o substituci a Fubiniovy věty je Z tohoto vztahu dostaneme P = dx dy = fx, y) dx dy = sin 3 ϕ jsem použil známý rekurentní vztah sin 3 ϕ r dr = sin n ϕ = n n fr cos ϕ, r sin ϕ) rdr. sin 6 ϕ = π = 5 8 π, sin n ϕ, který platí pro n. Souřadnici x T těžiště bychom mohli zjistit okamžitě, kdybychom si uvědomili, že množina je symetrická vzhledem k ose y, tj. vzhledem k transformaci [x; y] [ x; y]. Z toho ihned plyne x T =. Pomocí integrálu bychom dostali x dx dy = sin 3 ϕ r cos ϕ dr = 8 3 jsme v posledním integrálu použili substituci sin x = t. K výpočtu souřadnice y T těžiště potřebujeme najít integrál y dx dy = sin 3 ϕ r sin ϕ dr = 8 3 sin 9 ϕ cos ϕ = sin ϕ = 8 3 [ ] π 8 3 sin ϕ =, π, jsem opět využil pro výpočet posledního integrálu rekurentní vzorec. dostaneme souřadnice těžiště x T =, y T =. Z těchto vztahů už Vypočtěte obsah obrazce = { x, y) ; x + y ) x y ), x + y }. 4

5 Řešení: Danou množinu je výhodné popisovat v polárních souřadnicích x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, π < ϕ < 3 π, J = r. V těchto souřadnicích jsou nerovnosti, které popisují množinu x + y ) x y ) = r cos ϕ sin ϕ ) = cos ϕ, x + y = r. Tedy množina je v polárních souřadnicích popsána nerovnostmi r cos ϕ, cos ϕ > = ϕ 6 π, 6 π) 5 6 π, 7 6 π). Obsah P množiny najdeme pomocí integrálu P = dx dy = = /6 π/6 /6 π/6 cos ϕ cos ϕ [ sin ϕ ϕ = ] π/6 π/6 r dr + 7π/6 5π/6 ) + 7π/6 5π/6 [ sin ϕ ϕ + cos ϕ cos ϕ ) = ] 7π/6 5π/6 = 3 π 3. r dr = Vypočtěte obsah obrazce a, b >. = { x, y) ; x } a + y b x + y, Řešení: Množina je elipsa, která má osy rovnoběžné s osami souřadnic. Najdeme proto její střed a poloosy. Nerovnost, která definuje množinu, je možné upravit na x a + y x x + y = b a x + y b y = a ) x a + ) b x b a + b. 4 Jedná se tedy o elipsu se středem v bodě [ a ; b] a poloosami a a + b a b a + b. Proto zavedeme souřadnice x = a + a a + b r cos ϕ, y = b + b a + b r cos ϕ, r >, < ϕ < π, J = aba + b ) 4 V těchto souřadnicích je daná elipsa určená nerovnostmi < r < a < ϕ < π. Tedy obsah P dané elipsy je P = dx dy = aba + b ) π rdr = π 4 4 aba + b ). Určete obsah obrazce = {x, y) ; x + y, x y x, x, y }. r. Řešení: Jestliže zapíšeme nerovnosti, které definují množinu, ve tvaru x + y, x y x = x + y, y x, 5

6 je zřejmé, že bude výhodné použít souřadnice u = x + y, v = y x. ) V souřadnicích u a v množina definována nerovnostmi u a v, a tedy je čtverec. Ještě musíme najít jakobián této transformace. Ten splňuje vztah Z rovnic ) plyne u J = det x v x u y v = det yx y x = u + v, y = uv + v. Jestliže tyto vztahy dosadíme do jakobiánu, dostaneme Tedy hledaný obsah P množiny je P = dx dy = J = x x + y = u + v). dv x u du + v) = 3 ) = x + y x. dv + v) = 4. Určete polární moment obrazce, tj. x + y ) dx dy, = {x, y) ; xy, x y x, x }. Řešení: Jestliže zapíšeme nerovnosti, které definují množinu, ve tvaru xy, x y x = xy, y x, je zřejmé, že bude výhodné použít souřadnice u = xy, v = y x. ) V souřadnicích u a v množina definována nerovnostmi u a v, a tedy je čtverec. Ještě musíme najít jakobián této transformace. Ten splňuje vztah u J = det x v x u y y x v = det yx y x ) = y x = v. Z rovnic ) plyne x = u v, y = uv. Proto dostaneme x + y ) dx dy = u + v ) dv v 6 du v = 3 4 v + ) dv = 9 8.

7 Určete moment setrvačnosti J z ) = x + y ) dx dy dz tělesa = { x, y, z) ; x + y z +, x + y + z 4 }. Řešení: Jestliže zapíšeme nerovnosti, které popisují množinu, ve tvaru x + y + ) z 4 x y, nabízí se použít při výpočtu integrálu Fubiniovu větu x +y ) je množina R dána nerovností 4 x y dx dy x +y ) dz = x +y ) 3 3 x +y ) ) dx dy, x +y )+ x + y ) + 4 x y. Protože integrovaná funkce i nerovnosti, které definují závisí pouze na proměnné r = x + y, zdá se výhodné použít při výpočtu integrálu polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π, J = r. V těchto souřadnicích je množina dána nerovností x + y ) + 4 x y = r + 4 r = r = r. Podle věty o substituci a Fubiniovy věty tedy je x + y ) 3 π [ ] r r r 4 ) rdr = 3π r6 = π. 6 Určete objem tělesa = { x, y, z) ; x + y + z 9, z }. Řešení: Když zapíšeme nerovnosti, které definují množinu, ve tvaru můžeme použít Fubiniovu větu a psát z je kruh x + y 9 z, z, dz dx dy, z z = { x, y) R ; x + y 9 z }. Integrál přes kruh z najdeme nejsnáze pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. 7

8 Kruh z je v těchto souřadnicích dán nerovností < r < 9 z. Pak je Tedy hledaný objem tělesa je z dx dy = π π 9 z r dr = π 9 z ). 9 z ) dz = 3 π. Určete moment setrvačnosti J z ) = x + y ) dx dy dz tělesa = { x, y, z) ; x + y 4, x + y + z 4, z }. Řešení: Jestliže zapíšeme nerovnosti, které definují množinu, ve tvaru z 4 x y, x + y 4, je zřejmé, že můžeme k výpočtu integrálu použít Fubiniovu větu ve tvaru J z ) = x +y ) množina je určena nerovnostmi dx dy 4 x y x + y 4, 4 x y = x + y 4. x +y ) dz = x +y ) 4 x y ) dx dy, Protože integrujeme přes kruh, je výhodné použít k výpočtu polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože množina je v polárních souřadnicích určena nerovnostmi < r <, je podle věty o substituci J z ) = dr Určete souřadnice těžiště tělesa π = r 4 r cos ϕ r sin ϕ ) r = 8π { x, y, z) ; je-li hustota rozložení hmoty rovna jedné. x } a + y b z 4, r 3 = 3π. Řešení: Souřadnice těžiště T = [ x T ; y T ; z T ] homogenního tělesa najdeme ze vzorce x T = x dx dy dz, y T = V V dx dy dz. y dx dy dz, z T = V z dx dy dz, Protože je těleso souměrné vzhledem k rovině yz, tj. vzhledem k substituci [x; y; z] [ x; y; z], resp. vzhledem k rovině xz, tj. vzhledem k substituci [x; y; z] [x; y; z], je zřejmé, že x T = y T =. 8

9 Souřadnici z T těžiště nalezneme pomocí integrálů. Jestliže zapíšeme nerovnosti, které definují těleso v ekvivalentním tvaru x a + y b z, z 4, lze použít Fubiniovu větu ve tvaru z je elipsa x a + y b zavést souřadnice fx, y, z) 4 dz fx, y, z) dx dy, z z. Protože integrujeme přes elipsu, je při výpočtu dvojného integrálu x = ar cos ϕ, y = ar sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = abr. V těchto souřadnicích je elipsa z určená nerovností Proto je 4 dz r z, < ϕ < π = < r < z, < ϕ < π. z z dr π 4 dz abr = πab z dr π 4 dz z z abr = πab r dr = πab 4 4 z dz = 64 3 πab. z dz = 8πab. Tedy souřadnice těžiště jsou x T = y T =, z T = 8 3. Určete souřadnice těžiště tělesa = { x, y, z) ; je-li hustota rozložení hmoty rovna jedné x } a + y b z c, z c, Řešení: Souřadnice těžiště T = [ x T ; y T ; z T ] homogenního tělesa najdeme ze vzorce x T = x dx dy dz, y T = V V dx dy dz. y dx dy dz, z T = V z dx dy dz, Protože je těleso souměrné vzhledem k rovině yz, tj. vzhledem k substituci [x; y; z] [ x; y; z], resp. vzhledem k rovině xz, tj. vzhledem k substituci [x; y; z] [x; y; z], je zřejmé, že x T = y T =. Souřadnici z T těžiště nalezneme pomocí integrálů. Z nerovnic, které popisují těleso lze nahlédnout, že budou výhodné souřadnice x = ar cos ϕ, y = br cos ϕ, z = ch, r >, < ϕ < π, h R ; J = abcr. 9

10 Protože v těchto souřadnicích je těleso popsáno nerovnostmi jsou hledané integrály r h, h = < r < h, < h <, < ϕ < π, z π π Tedy souřadnice těžiště tělesa jsou dh dh h h abcr dr = abc ch abcr dr = abc π π h dh = 3 πabc, h 3 dh = 4 πabc. x T = y T =, z T = 3 4 c. Spočtěte x + y + z) dx dy dz, = { x, y, z) ; x + y y, z, z x + y }. Řešení: Jestliže zapíšeme nerovnosti, které definují množinu, ve tvaru z x + y, x + y y, je snadno vidět, že můžeme použít Fubiniovu větu ve tvaru je množina x +y x + y + z) dx dy x + y + z) dz = = x + y) x + y + x + y )) dx dy, = { x, y) R ; x + y y }. Integrály přes tuto množinu se často počítají pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Množina je v souřadnicích r a ϕ určena nerovnostmi Tedy podle věty o substituce je x + y + z) < r < sin ϕ = sin ϕ > = < ϕ < π. = 4 = 4 sin ϕ cos ϕ + sin ϕ + ) r 3 dr = sin 4 ϕ cos ϕ + sin 5 ϕ + sin4 ϕ ) = [ 4 sin5 ] π [ ] π cos ϕ ) π = π 4.

11 Určete moment setrvačnosti J z ) = x + y ) dx dy dz pro těleso = { x, y, z) ; x } a + y b + z c, z. Řešení: Protože integrujeme přes polovinu elipsoidu, bude výhodné použít pro výpočet integrálu souřadnice x = ar cos θ cos ϕ, y = br cos θ sin ϕ, z = cr sin θ, r >, π < θ < π, < ϕ < π ; J = abcr cos θ. Množina je v těchto souřadnicích popsána nerovnostmi < r, sin θ, < ϕ < π = < r, < θ < π, < ϕ < π. Podle věty o substituci pak je J z ) = x + y ) = / 5 abc cos 3 θ dθ π π / dθ a cos ϕ + b sin ϕ ) = = 5 abc 3 π a + b ) = 5 πabc a + b ). r cos θ a cos ϕ + b sin ϕ ) abcr cos θ dr = Spočtěte x + y + z dx dy dz, = { x, y, z) ; x + y + z z }. Řešení: Integrály přes tuto množinu se poměrně často počítají pomocí sférických souřadnic x = r cos θ cos ϕ, y = r cos θ sin ϕ, z = r sin θ, r >, π < θ < π, < ϕ < π ; J = r cos θ. V těchto souřadnicích je množina popsána nerovnostmi < r sin θ = sin θ = < r < sin θ, < θ < π, < ϕ < π. Podle věty o substituci pak je x + y + z π / / = 8π dθ sin θ r 3 cos θ dr = [ sin 4 θ cos θ dθ = 8π 5 sin5 θ ] π/ = 8 5 π.

12 Spočtěte integrál = sinx + y) dx dy, { x, y) ; y >, x + y < π }, x y > π. Řešení: Nejprve přepíšeme nerovnosti, které definují množinu, na tvar y >, y π < x < π y = y >, y π < π y = < y < π, který je vhodný pro použití Fubiniovy věty. Z ní pak dostaneme sinx + y) dx dy = = / / dy / y y π/ sinx + y) dx = / [ cosx + y) [ ] π/ cosy π) dy = siny π) =. ] π/ y y π/ dy = Spočtěte integrál dx dy, = { x, y) ; x y) + x a }. Řešení: Z nerovnice, která definuje množinu je zřejmé, že bude výhodná substituce x y = u, x = v, u, v R ; J =, která převede množinu na kruh se středem v počátku souřadnic a poloměrem a. Podle věty o substituci je dx dy = du dv, = { u, v) R ; u + v = a }. Integrál přes množinu který je samozřejmě πa ) najdeme třeba pomocí polárních souřadnic u = r cos ϕ, v = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože je množina v těchto souřadnicích určena nerovnostmi < r < a a < ϕ < π, je podle věty o substituci a Fubiniovy věty dx dy = π a r dr = πa. Spočtěte integrál dx dy, = {x, y) ; xy, x + y 5 }, x >, y >.

13 Řešení: Nejprve přepíšeme nerovnosti, které definují množinu, na tvar x >, x < y < 5 x = x >, x < 5 x = x >, x 5 x + < = < x <, který je vhodný pro použití Fubiniovy věty. Z ní pak dostaneme dx dy = / 5/ x 5 dx dy = /x / x ) [ 5 dx = x x ] x ln x = 5 / 8 ln. Spočtěte integrál x x dx dy, + y = { x, y) ; x y, y x }. Řešení: Nejprve přepíšeme nerovnosti, které definují množinu, na tvar x y x = x x = x. který je vhodný pro použití Fubiniovy věty. Z ní pak dostaneme x dx dy x + y = = x dx x / x dy x + y = [ π 4 x x arctg x + ln x + 4 ) [ arctg y ] x dx = x x / ] = ln. Spočtěte polární moment J ) = x + y ) dx dy množiny = { x, y) ; x y, y x }. π 4 arctg x ) dx = Řešení: Nejprve přepíšeme nerovnosti, které definují množinu, na tvar x y x = x x = x. který je vhodný pro použití Fubiniovy věty. Z ní pak dostaneme J ) = x + y ) dx dy = x dx x + y ) dy = x x 5/ + 3 x3/ x 4 3 x6) dx = Vypočtěte y 3 x dx dy, + y = {x, y) ; x y, y 4}. 3

14 Řešení: Nejprve přepíšeme nerovnosti, které definují množinu, na tvar x y, y 4 = y, y 4 = y 4. který je vhodný pro použití Fubiniovy věty. Z ní pak dostaneme y 3 dx dy 4 y x + y = y 3 dx dy x + y = 4 [ y arctg x y ] y dy = 4 π 4 y dy = 6 3 π. Vypočtěte x y dx dy, = { x, y) ; y, x + y x }. Řešení: Tato množina se při výpočtu integrálů často popisuje pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, π < ϕ < π ; J = r. V souřadnicích r a ϕ pak je množina určena nerovnostmi x +y x, y = < r cos ϕ, cos ϕ, sin ϕ = < r cos ϕ, ϕ π. Podle věty o substituci a Fubiniovy věty proto je x y dx dy = / = 3 5 / cos ϕ r cos ϕ r sin ϕ r dr = cos 7 ϕ sin ϕ = 3 5 [ 8 cos8 ϕ / ] π/ = 4 5. cos ϕ r 4 cos ϕ sin ϕ dr = Vypočtěte x x dx dy, + y = {x, y) ; y x y, x }. Řešení: Nejprve přepíšeme nerovnosti, které definují množinu, na tvar x y x, x = x x, x = x. který je vhodný pro použití Fubiniovy věty. Z ní pak dostaneme x dx dy x x + y = x dy dx x/ x + y = [ arctg y ] x dx = x x/ π 4 arctg ) dx = π arctg. Vypočtěte x 3 x y) dx dy, 4

15 = { x, y) ; y x, x y }. Řešení: Nejprve přepíšeme nerovnosti, které definují množinu, na tvar x y x = x x = x. který je vhodný pro použití Fubiniovy věty. Z ní pak dostaneme x 3 x y ) dx dy = x dx x 3 x y ) dy = x x 7/ x3 x 5 + x6) dx = 54. Vypočtěte objem tělesa, = { x, y, z) ; x y, z 4 x y }. Řešení: Podle Fubiniovy věty je 4 x y 4 x y) dx dy, = { x, y) R ; x y, 4 x y }. Protože je to vidět třeba z obrázku) množina bodů, pro které je x y, je podmnožina poloroviny x + y 4, je množina určena nerovnostmi x y. Přepíšeme ještě nerovnosti, které definují množinu do tvaru, který je výhodný pro použití Fubiniovy věty, tj. na tvar x y = x = x. Pak dostaneme dx 4 x y) dy = x 4 4x x + x 3 + x4) dx = Vypočtěte objem tělesa, = {x, y, z) ; z 4 x y, x 3, y }. Řešení: Podle Fubiniovy věty je 4 x y 4 x y) dx dy, = { x, y) R ; x 3, y, 4 x y }. Přepíšeme ještě nerovnosti, které definují množinu do tvaru, který je výhodný pro použití Fubiniovy věty. Z nerovnic plyne, že platí y, y 4 x, x 3 = y min, 4 x), x 3. Protože 4 x pro x a 4 x < pro x > napíšeme množinu jako sjednocení dvou disjunktních množin =, = { x, y) R ; y, x } a = { x, y) R ; y 4 x, < x 3 }. 5

16 Pak můžeme psát 4 x y) dx dy + 4 x y) dx dy = = = dx 4 x y) dy + 3 dx [ 6x x ] + [ 6 4 x)3 ] 3 = x 4 x y) dy = 6 x) dx x) dx = Vypočtěte objem tělesa, = { x, y, z) ; x + y, x + z, x, y, z }. Řešení: Nejprve přepíšeme nerovnosti, které definují množinu, na tvar y x, y, z x, z, x = y x, z x, x. který je vhodný pro použití Fubiniovy věty. Z ní pak dostaneme x x x ) dx = 3. Vypočtěte objem tělesa, = { x, y, z) ; x, y, z x + y }. Řešení: Množina je zapsána tak, že lze přímo využít Fubiniovu větu. Podle ní je x +y dx x +y ) dy = x + 3) 8 dx = 3. Vypočtěte xy dx dy dz, = {x, y, z) ; z xy, x + y, x > }. Řešení: Nerovnosti, které popisují množinu, jsou zapsány ve tvaru, které nám umožňuje použít Fubiniovu větu a psát xy množina R je popsána nerovnostmi dx dy xy xy dz = x y dx dy, xy, x + y, x > = y x, x > = x, x > = < x. 6

17 Tedy Fubiniova věta dává xy dx x x y dy = 3 x x) 3 dx = 8. Vypočtěte obsah obrazce = {x, y) ; xy, x y x, x > }. Řešení: Protože je x >, lze zapsat nerovnosti, které popisují množinu, ve tvaru xy, x y x = xy, y x, zdá se výhodné zavést souřadnice u = xy, v = y ) x, y, v > ; y x J = det x y x = y x = v. Protože je množina v souřadnicích u, v definována nerovnostmi je podle věty o substituci a Fubiniovy věty P ) = u, v, dx dy = dv du v = ln. Vypočtěte obsah obrazce = { x, y) ; x y 4x, y x 4y }. Řešení: Nerovnosti, které popisují množinu, lze zapsat ve tvaru x y 4x, y x 4y = y x 4, x y 4, zdá se výhodné zavést souřadnice u = y x, ) v = x y, y, v > ; x J = det y x y xy x y = 3. Protože je množina v souřadnicích u, v definována nerovnostmi je podle věty o substituci a Fubiniovy věty P ) = u 4, v 4, dx dy = 4 4 dv du 3 =. 7

18 Určete objem tělesa = { x, y, z) ; z x + y +, x + y + z 4 }, Řešení: Jestliže zapíšeme nerovnosti, které popisují množinu, ve tvaru nabízí se použít Fubiniovu větu ve tvaru V ) = je množina dána nerovností x + y + ) z 4 x y, 4 x y dx dy dz = 3 3 x + y ) ) dx dy, x +y )+ x + y ) + 4 x y. Protože se v nerovnostech, které definují oblast integrace i v integrované funkci vyskytují proměnné x a y pouze v kombinaci r = x + y, je výhodné použít při výpočtu integrálu polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π, J = r. V těchto souřadnicích má nerovnost, která popisuje množinu tvar x + y ) + 4 x y = r + 4 r = r = r. Podle věty o substituci a Fubiniovy věty tedy je V ) = 3 π r ) rdr = 3π r r 3 ) dr = 3π. Určete souřadnice těžiště homogenního tělesa = { x, y, z) ; x + y + z 9, z }. Řešení: Souřadnice těžiště homogenního tělesa lze najít pomocí integrálů x T = x dx dy dz, y T = V V dx dy dz. y dx dy dz, z T = V z dx dy dz, Protože je těleso souměrné vzhledem k rovině yz, tj. vzhledem k záměně [x; y; z] [ x; y; z], resp. vzhledem k rovině xz, tj. vzhledem k záměně [x; y; z] [x; y; z], je zřejmé, že pro souřadnice těžiště platí x T = y T =. Třetí souřadnici těžiště najdeme pomocí integrálů. Jestliže zapíšeme nerovnosti, které popisují množinu ve tvaru x + y 9 z, z, 8

19 můžeme použít Fubiniovu větu ve tvaru z je kruh fx, y, z) dz fx, y, z) dx dy, z z = { x, y) R ; x + y 9 z }. Integrál přes kruh z nalezneme pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože kruh z je v souřadnicích r a ϕ dán nerovnostmi platí podle věty o substituci a Fubiniovy věty z < r < 9 z, < ϕ < π, dz dz π π 9 z 9 z r dr = π zr dr = π 9 z ) dz = 3 π, 9 z ) z dz = 39 4 π. Tedy souřadnice tělesa jsou x T = y T =, z T = 7 8. Určete souřadnice těžiště homogenního tělesa = { x, y, z) ; x + y 4, z, x + y + z 4 }. Řešení: Souřadnice těžiště homogenního tělesa lze najít pomocí integrálů x T = x dx dy dz, y T = y dx dy dz, z T = V V V dx dy dz. Přepíšeme-li nerovnosti, které popisují těleso ve tvaru z 4 x y, x + y 4, lze pro výpočet integrálů použít Fubiniovu a psát x y z 4 x y dx dy dx dy dx dy dx dy 4 x y 4 x y 4 x y 9 dz = 4 x y) dx dy x dz = y dz = z dz = x4 x y) dx dy y4 x y) dx dy z dx dy dz, 4 x y) dx dy,

20 je množina R určená nerovnostmi 4 x y, x + y 4. Snadno se lze přesvědčit třeba z náčrtku), že je kruh x +y 4 podmnožinou poloroviny x+y 4. Proto je množina kruh x + y 4. Pro integrály přes kruh se středem v počátku je velmi často výhodné použít polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože kruh je v souřadnicích r a ϕ dán nerovnostmi platí podle věty o substituci a Fubiniovy věty x y z = = π dr dr dr π π π dr dr Tedy souřadnice těžiště tělesa jsou < r, < ϕ < π, π π 4 r cos ϕ r sin ϕ)r = 8π 4 r cos ϕ r sin ϕ)r cos ϕ r = π 4 r cos ϕ r sin ϕ)r sin ϕ r = π 4 r cos ϕ r sin ϕ) r = r dr = 6π r dr = 8 3 π r dr = 8 3 π 6 + r 8r cos ϕ 8r sin ϕ + r cos ϕ sin ϕ ) r = 6 + r ) r dr = 36π. x T = y T = 6, z T = 9 4. Spočtěte objem tělesa = { x, y, z) ; x + y + z, x + y }. Řešení: Protože nerovnosti, které popisují těleso, obsahují proměnné x a y pouze v kombinaci x + y, jedná se o rotační těleso. Taková tělesa se většinou popisují pomocí válcových souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z, r >, < ϕ < π, z R ; J = r. Podle věty o substituci pak dostaneme množina R je dána nerovnostmi dr dz π r = π r dr dz, < r, r + z = r z r, < r.

21 Z těchto nerovností plyne, že π r dr r dz = 4π r r [ r dr = 4π 3 r ) ] 3/ = 4 ). 3 Určete objem tělesa = { x, y, z) ; x + y 4, y + z, y z }. Řešení: Nerovnice, které definují těleso, zapíšeme ve tvaru x + y 4, y z y, který je vhodný pro použití Fubiniovy věty. Z ní plyne R je dána nerovnostmi y y) dx dy, y x + y 4, y y = x + y 4, y. Snadno se přesvědčíme třeba z náčrtku), že kruh x + y 4 je podmnožinou poloroviny y. Proto je množina kruh x + y 4. bychom našli integrál přes kruh, zavedeme polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože v souřadnicích r a ϕ je množina popsána nerovnostmi je podle věty o substituci a Fubiniovy věty dr < r, < ϕ < π, π r sin ϕ) r = 8π r dr = 6π. Určete souřadnice těžiště tělesa = { x, y, z) ; x + y y, z, z x + y }. Řešení: Souřadnice těžiště homogenního tělesa lze najít pomocí integrálů x T = x dx dy dz, y T = y dx dy dz, z T = V V V dx dy dz. z dx dy dz, Protože je těleso symetrické vzhledem k rovině yz, tj. nemění se při záměně [x; y; z] [ x; y; z], je jeho souřadnice x T =. Jestliže zapíšeme nerovnosti, které popisují těleso ve tvaru z x + y, x + y y,

22 lze při výpočtu integrálů použít Fubiniovu větu. Ta dává M xz = M xy = y z x +y x + y dx dy x +y dx dy y dz = y x + y dx dy x +y dx dy z dz = x + y ) dx dy, R je dána nerovností x + y y. Integrály přes množinu se často počítají pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. V těchto souřadnicích je množina dána nerovnostmi r >, < ϕ < π, r r sin ϕ = < r sin ϕ, < ϕ < π = = < r sin ϕ, sin ϕ, < ϕ < π = < r sin ϕ, < ϕ < π. Podle věty o substituci a Fubiniovy věty pak platí M xz = M xy = sin ϕ sin ϕ sin ϕ Tedy souřadnice těžiště tělesa jsou r dr = 8 3 r 3 sin ϕ dr = 4 r 3 dr = sin 3 ϕ = = 3 9 x T =, y T = 6 5, z T = 7 8 π. sin 5 ϕ = = 64 3 sin 4 ϕ = 3 4 π = 3 4 π. Spočtěte x + y dx dy dz, = { x, y, z) ; x + y z, z }. Řešení: Protože nerovnosti, které popisují těleso, obsahují proměnné x a y pouze v kombinaci x + y, jedná se o rotační těleso. Taková tělesa se většinou popisují pomocí válcových souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z, r >, < ϕ < π, z R ; J = r. Nerovnosti, které popisují těleso, pak jsou r z, z, < ϕ < π.

23 Podle věty o substituci pak dostaneme x + y je množina R dána nerovnostmi Z Fubiniovy věty pak plyne dr dz π r = π r dr dz, r >, r z, z = < r z, < z. x + y π dz z r dr = 3 π z 3 dz = π 6. Spočtěte moment setrvačnosti J z ) = x + y ) dx dy dz pro těleso = { x, y, z) ; x + y + z R, z }. Řešení: Protože těleso je polokoule, je výhodné použít při výpočtu integrálu sférické souřadnice x = r cos θ cos ϕ, y = r cos θ sin ϕ, z = r sin θ, r >, π < θ < π, < ϕ < π ; J = r cos θ. V těchto souřadnicích je těleso určeno nerovnostmi r R, r sin θ = < r R, sin θ = < r R, θ < π, < ϕ < π. Tedy podle věty o substituci a Fubiniovy věty je J z ) = x + y ) R dr = π R r 4 dr / / dθ π cos 3 θ dθ = π 5 R5 3 = 4 5 πr5. r cos θ r cos θ = Spočtěte x + y + z dx dy dz, = { x, y, z) ; x + y + z, x }. Řešení: Protože těleso je polokoule, je výhodné použít při výpočtu integrálu sférické souřadnice na rozdíl od obvyklých sférických souřadnic jsem přeměnil osy, aby byla jednodušší podmínka x ) x = r sin θ, y = r cos θ cos ϕ, z = r cos θ sin ϕ, r >, π < θ < π, < ϕ < π ; J = r cos θ. V těchto souřadnicích je těleso určeno nerovnostmi r, r sin θ = < r, sin θ = < r, θ < π, < ϕ < π. 3

24 Tedy podle věty o substituci a Fubiniovy věty je x + y + z π / dθ r 3 cos θ dr = π. Spočtěte xyz dx dy dz, = { x, y, z) ; x + y + z R, x >, y >, z > }. Řešení: Protože těleso je polokoule, je výhodné použít při výpočtu integrálu sférické souřadnice x = r cos θ cos ϕ, y = r cos θ sin ϕ, z = r sin θ, r >, π < θ < π, < ϕ < π ; J = r cos θ. V těchto souřadnicích je těleso určeno nerovnostmi r R, r cos θ cos ϕ, r cos θ cos ϕ, r sin θ = = < r R, sin θ, cos ϕ, sin ϕ = < r R, θ < π, < ϕ π. Tedy podle věty o substituci a Fubiniovy věty je xyz = / / / dθ cos ϕ sin ϕ R r 3 cos θ sin θ cos ϕ sin ϕ r cos θ dr = / cos 3 θ sin θ dθ R r 5 dr = 4 R6 6 = R6 48. Spočtěte objem tělesa = { x, y, z) ; x a + y b + z c, x } a + y b z c, z. Řešení: Z tvaru nerovností, které popisují těleso, lze nahlédnout, že by mohla být, aspoň v první fázi, výhodná substituce x = ar cos ϕ, y = br sin ϕ, z = ch, r >, < ϕ < π, h R ; J = abcr. po této substituci přejdou nerovnosti, které popisují množina na nerovnosti r + h, r h, h, r >, ) které už nezávisí na ϕ ani na parametrech a, b a c. Podle věty o substituci a Fubiniovy věty pak je dr dh π abcr = πabc r dr dh, množina R je dána nerovnostmi ). Integrál přes množinu lze najít například v polárních souřadnicích r = ρ cos θ, h = ρ sin θ, ρ >, < θ < π ; J = ρ. 4

25 V souřadnicích ρ a θ mají nerovnosti ) tvar ρ, cos θ sin θ, ρ sin θ, ρ cos θ > = < ρ <, < θ 4 π. Tedy podle věty o substituci a Fubiniovy věty je πabc dρ /4 ρ cos θ ρ dθ = πabc ρ dρ /4 cos θ dθ = 3 πabc. Vypočtěte objem tělesa = { x, y, z) ; x + y + z R, x + y Rx }. Řešení: Upravíme-li nerovnosti, které určují množinu, na tvar R x y z R x y, x + y Rx, lze použít Fubiniovu větu a integrovat přes proměnnou z. Tak dostaneme Z R x y dx dy dz = R x y dx dy, R x y je množina R dána nerovností x + y Rx, x + y R. ) bychom našli integrál přes množinu, zavedeme polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, π < ϕ < π ; J = r. V souřadnicích r a ϕ má nerovnost ) tvar r Rr cos ϕ, r R = < r R cos ϕ = cos ϕ = π ϕ π. Podle věty o substituci a Fubiniovy věty tedy je / R cos ϕ / [ R r rdr = 3 R r ) ] 3/ R cos ϕ = π/ π/ = / 3 R3 sin 3 ϕ ) = 4 / 3 R3 sin 3 ϕ ) = 4 π 3 R3 ) = ) 3π 4 R π/ 5

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1, Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál.

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál. E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 III.6. Aplikace trojných integrálů Příklad 6. Užitím vorce pro výpočet objemu tělesa pomocí trojného integrálu (tj.v ddd ukažte, že objem

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,

Více

VKM/IM /2015. Zintegrujte. f (x, y) dx dy = f (x, y) = (y x) 2, Ω : x 2 + y 2 4, x 0.

VKM/IM /2015. Zintegrujte. f (x, y) dx dy = f (x, y) = (y x) 2, Ω : x 2 + y 2 4, x 0. VKM/IM - 4/5 Zintegrujte f, y) d dy pro f, y) y ), : + y 4,. Řešení: S využitím postupů a výsledků použitých při řešení příkladů z předchozí části věnované dvojnému integrálu, se můžeme bez obav pustit

Více

7. Integrál přes n-rozměrný interval

7. Integrál přes n-rozměrný interval 7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme

Více

je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + je omezena + =1, + + =3, =0

je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + je omezena + =1, + + =3, =0 Příklad 1 Vypočtěte trojné integrály transformací do cylindrických souřadnic a) b) c) d), + + +,,, je omezena + =1,++=3,=0 je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + Řešení 1a,

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2.

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2. Křivové integrál prvního druhu Vpočítejte dané řivové integrál prvního druhu v R. Přílad. ds x, de je úseča AB, A[, ], B[4, ]. Řešení: Pro řivový integrál prvního druhu platí: fx, ) ds β α fϕt), ψt)) ϕ

Více

Plošný integrál funkce

Plošný integrál funkce Kapitola 9 Plošný integrál funkce efinice a výpočet Plošný integrál funkce, kterému je věnována tato kapitola, je z jistého pohledu zobecněním integrálů dvojného a křivkového. Základním podnětem k jeho

Více

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 1 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 1 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL DVOJNÝ A TROJNÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál

III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( III.. Fubiniov (Fubiniho vět pro trojný integrál Vpočítejte trojné integrál n dných množinách E : Příkld. I Řešení : I ( + d d d; {[,, E

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1

= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad 1 Vypočtěte integrály a) b) c) d) e) f) g) h) i) j),, = 0,1 1,3 je oblast ohraničená přímkami =,=,=0 1+, :=0,=1,=1,= +3, :=0,=,=0,=1 sin+, 3,,,, :=0,=,= : + 4 : =4+,+3=0

Více

má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2,

má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2, 4. Parciální derivace a diferenciál. řádu 0-a3b/4dvr.tex Příklad. Určete parciální derivace druhého řádu funkce f v obecném bodě a v daných bodech. Napište obecný tvar. diferenciálu, jeho hodnotu v daných

Více

III. Dvojný a trojný integrál

III. Dvojný a trojný integrál E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 III. vojný a trojný integrál III.. Eistence Necht je měřitelná v Jordanově smslu množina v E resp. E a funkce f je omezená na. Necht

Více

Pedagogická fakulta. Aplikovaná matematika - sbírka řešených

Pedagogická fakulta. Aplikovaná matematika - sbírka řešených Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Diplomová práce Aplikovaná matematika - sbírka řešených příkladů Autor diplomové práce: Eva Kutová Vedoucí diplomové práce: RNDr. Libuše

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

svou hloubku, eleganci i široké spektrum aplikací bývají tyto věty považovány za jedny

svou hloubku, eleganci i široké spektrum aplikací bývají tyto věty považovány za jedny Kapitola Integrální věty V této kapitole se seznámíme s hlubšími větami integrálního počtu, které vyjadřují souvislost mezi typy integrálů, s nimiž jsme se setkali během předchozího výkladu. Jedná se Gaussovu

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

Petr Hasil

Petr Hasil Základy Vyšší Matematiky Petr Hasil hasil@mendelu.cz Poznámka 1. Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny

Více

VI. Derivace složené funkce.

VI. Derivace složené funkce. VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

Diferenciální rovnice separace proměnných verze 1.1

Diferenciální rovnice separace proměnných verze 1.1 Úvod Diferenciální rovnice separace proměnných verze. Následující tet popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně metodu separace proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA ATEATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ ATEATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Dvojný integrál princip řešení a sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: gr. Iveta

Více

(3) vnitřek čtyřúhelníka tvořeného body [0, 0], [2, 4], [4, 0] a [3, 3]. (2) těleso ohraničené rovinami x = 1, y = 0 z = x a z = y

(3) vnitřek čtyřúhelníka tvořeného body [0, 0], [2, 4], [4, 0] a [3, 3]. (2) těleso ohraničené rovinami x = 1, y = 0 z = x a z = y 3. Násobné integrály 3.. Oblasti v R. Načrtněte množinu R a najděte meze integrálů f(x, y)dxdy, kde je dána: () = {(x, y) : x, y 3} () vnitřek trojúhelníka tvořeného body [, ], [, ] a [, ]. (3) vnitřek

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

Matematika pro chemické inženýry

Matematika pro chemické inženýry Matematika pro chemické inženýry Drahoslava Janovská Plošný integrál Přednášky Z 216-217 ponzorováno grantem VŠCHT Praha, PIGA 413-17-6642, 216 Povinná látka. Bude v písemkách a bude se zkoušet při ústní

Více

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0.

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0. Test M-ZS- M-ZS-/ Příklad Najděte tečnu grafu funkce f x x 6 3 x, která je kolmá na přímku p :x y 3 0. Zřejmě D f R. Přímka p má směrnici, tečna na ní kolmá má proto směrnici. Protože směrnice tečny ke

Více

PROGRAMU 2. Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c= =23.07

PROGRAMU 2. Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c= =23.07 VZOROVÉ ŘEŠENÍ A VYSVĚTLENÍ PROGRAMU. Ing. Marek Nikodým Ph.D. Katedra matematiky a deskriptívní geometrie VŠB-TU Ostrava 1 Výpočty v trojúhelníku Je dán trojúhelník ABC v prostoru A[, 3, 3], B[4, 5, ],

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

1. Přirozená topologie R n

1. Přirozená topologie R n Příklady PŘÍKLADY A CVIČENÍ. Přirozená topologie R n. Dokažte, že čtverec M = {(x, y) R n ; x + y } je kompaktní množina. Řešení: Stačí ukázat, že množina M je uzavřená a ohraničená. Uzavřenost lze dokázat

Více

V. Riemannův(dvojný) integrál

V. Riemannův(dvojný) integrál V. Riemannův(dvojný) integrál Obsah 1 Základní pojmy a definice 2 2 Podmínky existence dvojného integrálu 4 3 Vlastnosti dvojného integrálu 4 4 Výpočet dvojného integrálu; převod na dvojnásobný integrál

Více

Momenty setrvačnosti a deviační momenty

Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty charakterizují spolu shmotností a statickými momenty hmoty rozložení hmotnosti tělesa vprostoru. Jako takové se proto vyskytují

Více

8.1. Separovatelné rovnice

8.1. Separovatelné rovnice 8. Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Cíle V předchozí kapitole jsme poznali separovaný tvar diferenciální rovnice, který bezprostředně umožňuje nalézt řešení integrací. Eistuje široká skupina

Více

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z Diferenciální počet příklad Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce fx, y) = xy, která je kolmá na přímku x + = y + = 1 z Řešení: Směrový vektor dané přímky je n p =, 1, 1). Na ploše dané rovnicí

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde Homogenní rovnice Uvažujme rovnici kde y = f(, y), (4) f(λ, λy) = f(, y), λ. Tato rovnice se nazývá homogenní rovnice 1. řádu. Ukážeme, že tuto rovnici lze převést substitucí na rovnici se separovanými

Více

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34. I. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. e d substituce t = ln ln(ln ) d substituce t = ln(ln ), dt = ln 3 e 4 d substituce

Více

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3. Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,

Více

II. 5. Aplikace integrálního počtu

II. 5. Aplikace integrálního počtu 494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. (f(x) g(x)) dx.

VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. (f(x) g(x)) dx. VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. Výpo et obsahu rovinných ploch a) Plocha ohrani ená k ivkami zadanými v kartézských sou adnicích. Obsah S rovinné plochy ohrani ené dv ma spojitými

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Kružnice, kruh, tečny, obsahy, goniometrické funkce, integrace

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové

Více

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve

Více

KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE

KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE Jiří Novotný Ústav matematiky a deskriptivní geometrie, Fakulta stavební, Vysoké učení technické v Brně Abstrakt: V rámci řešení projektu Inovace bakalářského studia Počítačová

Více

Neurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012

Neurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012 Neurčitý integrál Robert Mařík 4. března 0 V tomto souboru jsou vysvětleny a na příkladech s postupným řešením demonstrovány základní integrační metody. Ikonka za integrálem načte integrál do online aplikace

Více

4.3.2 Goniometrické nerovnice

4.3.2 Goniometrické nerovnice 4 Goniometrické nerovnice Předpoklady: 40 Pedagogická poznámka: Nerovnice je stejně jako rovnice možné řešit grafem i jednotkovou kružnicí Oba způsoby mají své výhody i nevýhody a jsou v podstatě rovnocenné

Více

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad. 8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová 1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu 22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte

Více

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

Příklad 1. a) lim. b) lim. c) lim. d) lim. e) lim. f) lim. g) lim. h) lim. i) lim. j) lim. k) lim. l) lim ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 ČÁST 7

Příklad 1. a) lim. b) lim. c) lim. d) lim. e) lim. f) lim. g) lim. h) lim. i) lim. j) lim. k) lim. l) lim ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 ČÁST 7 Příklad 1 Pomocí l Hôpitalova pravidla spočtěte následující limity. Poznámka a) lim b) lim c) lim d) lim e) lim f) lim g) lim h) lim i) lim j) lim k) lim l) lim cotg Všechny limity uvedené v zadání vedou

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. 3 arctg x 1+x 2 dx 2. (x 2 + 2x + 17)e x dx 3. 1 x 3 x dx Vypočtěte integrál: 3 arctg x 1 + x 2 dx Příklad 1. Řešení: Použijeme substituci: arctg x = t 3 arctg x dx = 1 dx = dt 1+x 2

Více

1 Nulové body holomorfní funkce

1 Nulové body holomorfní funkce Nulové body holomorfní funkce Bod naýváme nulový bod funkce f), jestliže f ) =. Je-li funkce f) holomorfní v bodě, pak le funkci f) v jistém okolí bodu rovinout v Taylorovu řadu: f) = n= a n ) n, a n =

Více

0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému

0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému 2 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 1 2 Jméno a příjmení: ID.č. 9.5.2016 1. Řešte diferenciální rovnici: y + 2xy x 2 + 3 = sin x x 2 + 3. y = C cos x x 2 + 1 2. Vypočtěte z 2 e z dz, kde je křivka

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN

CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN Rovnováha, Síly na rovinné stěny CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN Příklad č. 1: Nákladní automobil s cisternou ve tvaru kvádru o rozměrech H x L x B se pohybuje přímočarým pohybem po nakloněné rovině se zrychlením

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB4 pondělí 25. května 2015, 9:00 11:00 Vypočítejte integrál y d(, y), kde Ω Objekt Ω načrtněte do obrázku! Ω = { (, y) R 2 :, y 0 4 + y 4 1 ( 4 + y 4 ) 3 16

Více

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb. SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 2000 3 Předmluva Tato sbírka doplňuje přednášky z Matematické

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení .. Výklad Nní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení M R, kde M R nazývat stručně funkce. Zopakujeme, že funkce je každé zobrazení f : M R, M R, které každému

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

Spojitost funkcí více proměnných

Spojitost funkcí více proměnných Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

Odhad změny rotace Země při změně poloměru

Odhad změny rotace Země při změně poloměru Odhad změny rotace Země při změně poloměru NDr. Pavel Samohýl. Seznam symbolů A, A, A součinitel vztahu pro závislost hustoty Země na vzdálenosti od středu, totéž v minulosti a současnosti B, B, B součinitel

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2 PŘÍKLADY K MATEMATICE ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměnných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

verze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1

verze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1 1 Úvod Vázané extrémy funkcí více proměnných verze 1. Následující text popisuje hledání vázaných extrémů funkcí více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více