Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky"

Transkript

1 Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako dvojrozměrný objekt ve třírozměrném eventuelně vícerozměrném prostoru, jehož body je možné popsat dvojicí souřadnic Například každý bod na povrchu koule můžeme popsat jeho zeměpisnou šířkou a zeměpisnou délkou V aplikacích se pojmu plochy používá pro modelování těles, která mají jeden rozměr zanedbatelný vůči rozměrům ostatním Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky složitější objekt Jeho studium vyžaduje komplikovanější matematický aparát V našem výkladu se proto omezíme na jednodušší typy ploch, které vzniknou sjednocením konečně mnoha grafů spojitě diferencovatelných funkcí Tato restrikce není příliš omezující z hlediska inženýrských aplikací, neboť téměř všechny potřebné plochy je možno reprezentovat tímto způsobem Čtenáře, který by se chtěl seznámit s teorií ploch v její plné obecnosti odkazujeme na učebnici [] Základním prototypem plochy pro nás je graf C 1 funkce dvou proměnných tedy množina definovaná rovností z = g(x, y) Jedna z takovýchto ploch je znázorněna např na obrázku 11 alší příklady je možno získat záměnou souřadnic, tedy jako grafy funkcí, jejichž definičním oborem je základní oblast v rovině yz nebo xz Takovéto plochy budeme nazývat elementárními plochami efinice 81 Množina M R 3 se nazývá elementární plochou, jestliže platí alespoň jedna z následujících rovností (i) M = {(x, y, z) z = g 1 (x, y), (x, y) 1 }, kde g(x, y) je funkce spojitá na základní oblasti 1 R a třídy C 1 na vnitřku 1, (ii) M = {(x, y, z) x = g (y, z), (y, z) }, kde g (y, z) je funkce spojitá na základní oblasti R a třídy C 1 na vnitřku, (iii) M = {(x, y, z) y = g 3 (x, z), (x, z) 3 }, kde g 3 (x, z) je funkce spojitá na základní oblasti 3 R a třídy C 1 na vnitřku 3 117

2 118 KAPITOLA 8 PLOCHA A JEJÍ OBSAH Krajem K(M) elementární plochy M dané grafem funkce g na oblasti rozumíme množinu K(M) = {(x, y, z) (x, y), z = g(x, y)}, kde je hranice oblasti (viz [1], efinice 13 nebo efinice 111) Připomeňme, že vnitřek množiny R n jsou všechny body z kromě hraničních, tj \ Tři podmínky z efinice 81 zní možná složitě, ale říkají přesně to, že elementární plocha je část grafu funkce dvou proměnných při vhodném natočení Vezměme si například krychli Její horní stěna je elementární plocha, neboť je to část grafu dokonce konstantní funkce Pokud by v efinici 81 byl pouze bod (i), museli bychom vyloučit například boční stěnu této krychle z elementárních ploch Boční stěna, co by plocha, není o nic složitější než horní Vylučovat ji by bylo nelogické Proto jsou do definice přidány body (ii) a (iii), které zahrnují do elementárních ploch ploch i nevhodně natočené grafy funkce g(x, y) Příklad 8 (i) Množina M = {(x, y, z) z = 1 x y, x y 1} je grafem funkce g(x, y) = 1 x y definované na základní oblasti, kterou je kruh se středem v počátku a poloměrem 1 Množina M je tedy elementární plocha (horní polosféra), jejímž krajem je kružnice { } K(M) = (x, y, z) x y = 1, z = (ii) Množina M = { } (x, y, z) y = 1 x, x, z 1 je definována jako graf funkce g(x, z) = 1 x, jejímž definičním oborem je jednotkový čtverec {(x, z) x, z 1} v rovině xz Tato plocha je částí povrchu válce s osou z a poloměrem 1 Krajem této plochy je uzavřená křivka, která vznikne sjednocením dvou rovnoběžných úseček a dvou oblouků kružnice efinice a výpočet obsahu plochy Hlavním cílem této části je definovat základní kvantitativní charakteristiku plochy její obsah alším úkolem bude nalézt integrální vyjádření Tato úloha je analogická problému stanovit délku křivky Vzhledem ke dvourozměrnému charakteru ploch nás její řešení zavede ke dvojnému integrálu Stejně jako v předchozích kapitolách budeme obsah elementární plochy definovat axiomaticky Označme symbolem S(g, ) hledaný obsah elementární plochy dané grafem funkce g na základní oblasti Je jasné, že zobrazení, které dvojici (g, ) přiřadí číslo S(g, ) vyhovuje axiomu aditivity Tedy (A) S(g, ) = S(g, 1 ) S(g, ),

3 EFINICE A VÝPOČET OBSAHU PLOCHY 119 kde 1, je rozklad na základní oblasti nemající společný vnitřní bod Pokusme se nyní zjistit, jak se velikost obsahu plochy mění v závislosti na charakteru funkce g Podívejme se na následující obrázek obr 81 z z x y x y (a) Obr 81 Máme pocit, že obsah plochy na obrázku (b) je větší než obsah plochy na obrázku (a) Je to způsobeno tím, že jedna z ploch je grafem funkce s větším růstem Intuitivně se tak přikláníme k názoru (exaktně ověřitelném například pro části rovin nebo rotační tělesa), že graf funkce bude mít větší obsah při větším stoupání čí klesání dané funkce Protože mírou rychlosti změny funkce je velikost jejího gradientu, viz ([1]), Kapitola 5, jsme vedeni k pozorování, že (M ) S(g, ) S(h, ), kdykoliv grad g grad h na oblasti Ukážeme, že pro jednoznačné určení obsahu postačí dokonce vyžadovat nerovnost (M ) v případě, kdy grafem funkce h je část roviny Proto se pokusíme nejprve stanovit obsah S(h, ) Předpokládejme tedy, že plocha M je grafem funkce h(x, y) = ax by, jejímž definičním oborem je základní oblast v rovině xy Jedná se o rovinnou plochu, která je součástí roviny ϱ s rovnicí z = ax by Typický příklad takovéto plochy je znázorněn na obr 8 (b) z M ϱ y x Obr 8

4 1 KAPITOLA 8 PLOCHA A JEJÍ OBSAH Na plochu M se můžeme dívat jako na oblast v rovině ϱ, která vznikne promítnutím oblasti do roviny ϱ ve smyslu rovnoběžného promítání ve směru osy z V rovině ϱ můžeme zavést kartézský systém souřadnic (libovolným způsobem) a chápat ji tak jako kopii dvourozměrného prostoru R Označme si jako e 1 a e jednotkové a kolmé vektory ležící v ϱ Označme dále symbolem Φ příslušnou projekci, tj zobrazení, jež každému bodu (x, y) základní souřadnicové roviny xy přiřadí bod na rovině ϱ, který je průmětem bodu (x, y) do roviny ϱ při rovnoběžném promítání ve směru osy z, Φ(x, y) = (x, y, ax by) Zobrazení Φ budeme chápat jako zobrazení z R do R, Φ(x, y) = (Φ 1 (x, y), Φ (x, y)), jehož složky jsou dané rovnicí (x, y, ax by) = Φ 1 (x, y) e 1 Φ (x, y) e Z geometrické podstaty je ihned vidět, že Φ zachovává aritmetické operace s vektory, což znamená, že Φ je lineární Linearitu lze také snadno ověřit přímo ze vzorce pro Φ Jakobián Φ je pro lineární zobrazení konstantní funkce, viz 31 le pravidla o substituci v integrálu použité na zobrazení Φ máme (81) S(h, ) = 1 = Φ = Φ obsah(), Φ() Jinými slovy, obsah Φ() je vždy je Φ násobek obsahu, tedy (8) obsah(φ()) = Φ obsah() Tento vztah říká, že poměr obsahů původního a promítnutého obrazce je vždy konstantní a roven jakobiánu Φ Představme si nyní na okamžik, že je jednotkový čtverec, 1, 1 V tomto případě je Φ() rovnoběžníkem, jehož strany jsou dány vektory u = (1,, a) a v = (, 1, b) Z analytické geometrie víme, že obsah tohoto rovnoběžníku je velikost vektorového součinu u v Tedy (83) obsah(φ()) = u v = ( a, b, 1) = 1 a b Vzhledem k tomu, že obsah() = 1 dostáváme tak z (8), že Φ = 1 a b Na základě (8) a předchozí rovnosti máme pro obecnou základní oblast následující vztah (84) S(h, ) = 1 a b obsah()

5 EFINICE A VÝPOČET OBSAHU PLOCHY 11 Po stanovení obsahu rovinné plochy se můžeme opět vrátit k principu monotonie (M ) Předpokládejme, že existuje bod (x, y ) v oblasti, ve které je velikost gradientu funkce g maximální Tedy nechť Položíme-li nyní funkci h(x, y) grad g(x, y ) = max( grad g(x, y) ) h(x, y) = g (x, y ) x g (x, y ) y, (x, y), pak h(x, y) popisuje rovinu rovnoběžnou s tečnou rovinou ke grafu funkce g sestrojenou v bodě s největší velikostí grad g Geometricky to znamená, že tato rovina je nejstrmější ze všech tečných rovin grafu funkce g Podle předchozích úvah s volbou a = g (x, y ), b = g (x, y ) je (85) S(h, ) = 1 ( ) g ( ) g (x, y ) (x, y ) obsah() Víme rovněž, že grad h(x, y) = grad g(x, y ), a tak grad g grad h Podle (M ) je pak S(g, ) S(h, ) Spojením s (85) máme tak konečně nerovnost S(g, ) max 1 obsah() Zcela analogická úvaha pro minimum funkce grad g pak v závěru implikuje nerovnosti (M) min 1 obsah() S(g, ) max 1 obsah() Nyní se zdá, že už máme vlastnosti (A) a (M), které jsme hledali Je tu však maličkost kazící dojem V průběhu analýzy celé situace jsme v jednom okamžiku řekli: Nechť (x, y ) je bod z, ve kterém je grad g maximální Takový bod ovšem nemusí existovat Příkladem je např horní polosféra daná funkcí g(x, y) = 1 x y, = {(x, y) x y 1} Bezprostředním výpočtem zjistíme, že grad g je na shora neomezená funkce ůvod našich potíží spočívá v tom, že jsme od funkce g požadovali, aby byla třídy C 1 pouze na vnitřku Abychom se vyhnuli této nepříjemnosti, budeme definovat obsah nejprve pro speciálnější elementární plochy a pak ho rozšíříme na všechny elementární plochy V následující definici tak budeme požadovat, aby uvažovaná elementární plocha byla dána funkcí třídy C 1 na (Připomeňme si, že to znamená, že existuje otevřená množina G obsahující, na které je funkce g třídy C 1 ) To zaručí existenci minima i maxima grad g na

6 1 KAPITOLA 8 PLOCHA A JEJÍ OBSAH efinice 83 Zobrazení, které každé elementární ploše M dané grafem funkce g třídy C 1 na základní oblasti přiřadí číslo S(g, ), se nazývá obsah plochy M, jestliže splňuje následující axiomy: (A) aditivita S(g, ) = S(g, 1 ) S(g, ), kdykoliv 1, tvoří rozklad oblasti na základní oblasti 1 a bez společného vnitřního bodu; (M) monotonie min 1 obsah() S(g, ) max 1 obsah() Nyní, jak už jsme v axiomatické metodě zvyklí, musíme ukázat, že efinice 83 vůbec něco definuje Věta 84 Zobrazení S(g, ) z efinice 83 existuje a je jediné Platí přitom, že pro každou elementární plochu M danou C 1 funkcí g na základní oblasti je (86) obsah(m) = S(g, ) = 1 ůkaz Existence alespoň jednoho takového zobrazení je snadná V (86) máme takového kandidáta přímo uvedeného Musíme jen ověřit, že splňuje axiomy (A) a (M) Aditivita vyplývá z vlastnosti dvojného integrálu Počítáme-li integrály přes 1 a tvořící rozklad základní oblasti, dostaneme v součtu integrál přes Podobně jednoduchá je verifikace monotonie: 1 ( g ) max 1 = max 1 1 = obsah() Zbývá tak dokázat jednoznačnost takového S(g, ) To se děje pomocí metody horních a dolních součtů Takový postup jsme v předchozím textu prováděli detailně alespoň dvakrát a alespoň jednou ho ještě budeme provádět Proto se nyní omezíme na konstatování, že i zde tato metoda dá jednoznačnost zobrazení S(g, ) Příklad 85 Určete obsah S kulového vrchlíku M = {(x, y, z) R 3 x y z = 1, x y 1/}

7 EFINICE A VÝPOČET OBSAHU PLOCHY 13 Přitom a tedy Uvedená plocha je grafem funkce Podle Věty 84 máme g(x, y) = 1 x y, kde x y 1 g x (x, y) = 1 1 x y, S = = g y (x, y) = 1 1 x y 1 1 x y Zvolme pro výpočet tohoto integrálu polární souřadnice Pak S = π 1/ ϱ 1 ϱ dϱ dϕ = π [ 1 ϱ ] 1/ 1 x y ( ) 3 = π 1 Před efinicí 83 jsme slíbili, že zjistíme, jak spočítat obsah elementární plochy bez dodatečného omezení o diferencovatelnosti integrované funkce na celé základní oblasti Stejný trik jsme již užili v závěru Kapitoly Mějme základní oblast danou např = {(x, y) R x a 1, a, s 1 (x) y s (x)}, s 1 (x) < s (x) na a 1, a, která je na obrázku 3(a) Nechť g je funkce třídy C 1 na vnitřku Označíme n = {(x, y) R x a 1 1 n, a 1, s 1 (x) 1 n n y s (x) 1 } n Pak n jsou základní oblasti obsažené ve vnitřku, viz obr 83 s (x) 1 n 1 n 1 n n 1 n s 1 (x) a 1 a Obr 83

8 14 KAPITOLA 8 PLOCHA A JEJÍ OBSAH ále, n n1 a jejich sjednocení n=1 n dá celý vnitřek základní oblasti Funkce g je tak třídy C 1 na každém n Elementární plochy M n dané funkcí g nad n se postupně zvětšují až vyplní celou plochu M až na její kraj K(M) Obsahy ploch M n se tím blíží k hledanému obsahu plochy M Položíme tedy obsah(m) = lim n obsah(m n) Věta 84 dovoluje spočítat obsahy M n, a tak lim obsah(m n) = lim 1 n n n = 1 Proto prohlásíme, že obsah elementární plochy M dané funkcí g třídy C 1 na vnitřku základní oblasti je (87) obsah(m) = 1 Vidíme, že vzorec je zcela stejný jako v případě elementární plochy dané C 1 funkcí na Rozdíl spočívá v tom, že v předešlém případě vychází obsah vždy konečný, zatímco v případě obecné elementární plochy může být obsah nekonečný Při výpočtu integrálu představujícího obsah plochy se často používají jiné než kartézské souřadnice V Příkladu 85 jsme v průběhu výpočtu přešli k souřadnicím polárním Protože popis plochy v jiných než kartézských souřadnicích je velice užitečný, odvodíme si v dalším výkladu vyjádření obsahu přímo pomocí nově zavedených souřadnic Před přesnou formulací tohoto pravidla se podívejme na geometrický význam výrazu 1 ( g ) ( g ), který se v integrálním vyjádření obsahu vyskytuje Vektor ( g, g, 1) je normálový vektor ke grafu funkce g(x, y) směřující vzhůru Vidíme tak, že výraz 1 není nic jiného než velikost normálového vektoru indukovaného kartézskou parametrizací dané plochy Věta 84 tak vlastně říká, že obsah plochy spočítáme integrací velikosti kanonického normálového vektoru Víme, že normálový vektor ( g, g, 1) vznikl jako vektorový součin následujících dvou tečných vektorů: (1,, g g ) a (, 1, ) Tedy ( (88) 1 = 1,, g ) (, 1, g ) Při popisu kartézskými souřadnicemi je elementární plocha dána jako obraz Φ() základní oblasti R, prostřednictvím zobrazení Φ(x, y) = (x, y, g(x, y)), (x, y)

9 EFINICE A VÝPOČET OBSAHU PLOCHY 15 Zobrazení Φ se často nazývá kartézská parametrizace dané plochy Pro parciální derivace tohoto zobrazení platí: ( = 1,, g ), ( =, 1, g S tímto novým značením a pomocí (88) můžeme integrální vyjádření obsahu přepsat do tvaru (89) S(f, ) = Vidíme tedy, že obsah plochy můžeme chápat jako integrál z velikosti vektorového součinu parciálních derivací její kartézské parametrizace Nyní se podívejme na alternativní způsob popisu plochy Plocha M může být popsána systémem rovnic x = Φ 1 (s, t), y = Φ (s, t), z = Φ 3 (s, t), (s, t) T Uvedeným rovnicím se říká parametrizace elementární plochy M vzhledem k souřadnicím (parametrům) s, t Hodnoty dvojice parametrů (s, t) jsou brány ze zadané základní oblasti T Často budeme užívat následující stručný zápis: Zavedeme vektor Φ(s, t) = ( Φ 1 (s, t), Φ (s, t), Φ 3 (s, t) ) Pak Φ je vlastně zobrazení Φ: T M, neboť každé dvojici parametrů přiřazuje bod na ploše M Pro elementární plochu danou grafem funkce g na základní oblasti vždy platí (81) Φ 3 = g(φ 1, Φ ), což vznikne dosazením za x, y a z do rovnice z = g(x, y) Speciálně vidíme, že první dvě složky (Φ 1, Φ ) parametrizace Φ představují zobrazení základní oblasti T do : ( ) Φ 1 (s, t), Φ (s, t) pro každé (s, t) T Následující tvrzení říká, že rovnost (89) platí pro parametrický popis daný jakýmkoliv jiným systémem souřadnic Tvrzení 86 Nechť M je elementární plocha daná funkcí z = g(x, y) definované v základní oblasti R Nechť Φ = (Φ 1, Φ, Φ 3 ): T R 3 je spojitá parametrizace plochy M Předpokládejme, že Φ je třídy C 1 na vnitřku T a že zobrazení θ = (Φ 1, Φ ): T je prosté a má nenulový jakobián θ na vnitřku T Pak (811) obsah(m) = T )

10 16 KAPITOLA 8 PLOCHA A JEJÍ OBSAH Poznámka 87 Kdyby elementární plocha M byla dána např jako graf funkce typu x = g(y, z), pak zobrazení θ bude vytvořeno ze složek Φ a Φ 3 Obecně bude θ vytvořeno z těch složek parametrizace Φ, které odpovídají nezávisle proměnným u funkce popisující elementární plochu ůkaz ůkaz Tvrzení 86 je založen na použití věty o substituci pro dvojný integrál Víme, že obsah(m) = 1 Zobrazení θ : T představuje přechod od souřadnic s, t ke kartézským souřadnicím x, y θ(s, t) = ( Φ 1 (s, t), Φ (s, t) ) Rozepsáno ve složkách x = Φ 1 (s, t) y = Φ (s, t) První krok důkazu bude spočívat ve vyjádření výrazu v kartézských souřadnicích Rovnice (81) udává vztah mezi složkami parametrizace Φ Proto Nyní můžeme začít počítat Analogicky Φ = ( Φ 1, Φ, g(φ 1, Φ ) ) ( = 1,, g 1 g ( = 1,, g 1 g ) ) Provedeme vektorový součin obou výše uvedených vektorů Když členy, které se navzájem odečítají již nebudeme uvádět, dostaneme = (( 1 = Protože 1 1 ) ( g, 1 1 ( 1 = 1 = det ) g, 1 můžeme poslední rovnost přepsat ve tvaru ( ) ( = det J θ g ) (81), g, = det J θ, ) ( ) 1 = g ), g, 1

11 EFINICE A VÝPOČET OBSAHU PLOCHY 17 Proto (813) = θ 1 Podle předpokladu θ na vnitřku Můžeme tak psát (814) 1 = 1 θ ále, zobrazení θ je prosté na vnitřku Tím jsou splněny předpoklady Věty 31 o substituci pro θ Jejím použitím spolu s uvážením (814) dostáváme následující rovnosti: ( ) g obsah(m) = 1 = 1 = Tím je důkaz ukončen 1 θ = θ T T θ(t ) Při popisu geometrických útvarů, které intuitivně řadíme k plochám však s elementárními plochami nevystačíme Kulovou plochu není například možné vyjádřit jako graf funkce žádné z dvojic proměnných Lze ji však na druhé straně vyjádřit jako sjednocení elementárních ploch, horní a dolní polosféry Jsme tak vedeni k myšlence definovat plochy jako sjednocení konečně mnoha ploch elementárních Je přirozené přitom požadovat, aby jednotlivé elementární plochy na sebe navazovaly svými kraji Formálním vyjádřením těchto požadavků je následující definice: efinice 88 Souvislá množina M R 3 se nazývá plocha, jestliže existují elementární plochy M 1, M,, M k takové, že (i) M = M 1 M M k ; (ii) Je-li i j, pak M i M j K(M i ) K(M j ), přičemž průnik M i M j je buďto křivka nebo konečná či prázdná množina; Množinu elementárních ploch {M 1, M,, M k } splňujících výše uvedené požadavky nazýváme rozkladem plochy M Rozklad plochy M na elementární plochy M 1, M,, M k není jednoznačný Plochu M lze rozložit mnoha způsoby To je však z našeho hlediska nedůležité, neboť lze dokázat, že jak obsah tak i později integrace přes takovou plochu nezávisí na způsobu rozkladu Příklad 89 (i) Kulová plocha M = {(x, y, z) x y z = r }, o poloměru r >, je uzavřenou plochou Jeden z jejích rozkladů je M 1 = {(x, y, z) R 3 z = 1 x y, x y 1} M = {(x, y, z) R 3 z = 1 x y, x y 1}

12 18 KAPITOLA 8 PLOCHA A JEJÍ OBSAH (ii) Povrch krychle se skládá ze šesti stěn, z nichž každá je elementární plochou (iii) Sjednocení čtverců M 1 =, 1, 1 {} a M = {}, 1, 1 je plocha složená ze dvou elementárních ploch Každou plochu danou parametricky můžeme rozložit na elementární plochy dané parametricky Pro tyto elementární plochy platí Tvrzení 86 Protože součet obsahů elementárních ploch je roven obsahu plochy dostáváme z aditivity integrálu vůči integračnímu oboru obecnější tvrzení Věta 81 (Obecná parametrizace) Nechť M R 3 je plocha se spojitou parametrizací Φ: T M třídy C 1 a prostou na vnitřku základní oblasti T R Pak obsah(m) = T Příklad 811 Určete obsah S povrchu koule o poloměru r > aná kulová plocha je popsána rovnicí x y z = r Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že střed je v počátku souřadnicového systému Pro popis této sféry je výhodné použít sférických souřadnic (ϕ, ϑ) Přitom (815) x = r cos ϕ cos ϑ (= Φ 1 (ϕ, ϑ)) y = r sin ϕ cos ϑ (= Φ (ϕ, ϑ)) z = r sin ϑ (= Φ 3 (ϕ, ϑ)), kde (ϕ, θ), π π/, π/ Čtenář si jistě povšiml, že jsme použili jinou variantu sférických souřadnic než v Kapitole 4, (44) Z geometrického významu rovnic (815) je vidět, že parametrizace Φ je prostá na (, π) ( π/, π/): Parametr θ udává zeměpisnou délku a φ zeměpisnou šířku bodu na sféře Pokud nejsme na pólech nebo na nultém poledníku, má bod jednoznačně určené hodnoty (φ, θ) Podle Věty 81 S = ϕ ϑ Vzhledem k tomu, že,π π/,π/ ϕ = ( r sin ϕ cos ϑ, r cos ϕ cos ϑ, ) ϑ = ( r cos ϕ sin ϑ, r sin ϕ sin ϑ, r cos ϑ) ϕ ϑ = r (cos ϑ cos ϕ, cos ϑ sin ϕ, sin ϑ cos ϑ),

13 3 CVIČENÍ 19 dostáváme (816) ϕ ϑ = r cos ϑ Závěrem je tedy S = π π/ π/ r cos ϑ dϑ dϕ = πr [sin ϑ] π/ π/ = 4πr Poznámka 81 Poznamenejme, že k výpočtu velikosti vektorového součinu se často používá identita (817) u v = u v ( u v) Tato rovnost umožní výpočet velikosti normálového vektoru, aniž tento vektor přímo stanovíme Je to obzvlášť výhodné pro kolmé vektory u a v Pak je u v = a u v = u v 3 Cvičení Úloha Určete obsah S rovinné plochy popsané podmínkami z = ax by, x y 1 (a, b, Řešení Uvedená plocha je elipsa, která je průnikem roviny o rovnici z = ax by a válce zadaného nerovností x y 1 Vzhledem k tomu, že se jedná o graf funkce g(x, y) = ax by definované na kruhu = {(x, y) x y 1}, můžeme bezprostředně využít (84) a dostat tak S = 1 a b obsah() = π 1 a b Úloha Určete obsah části hyperboloidu kde x y 1 z = xy, Řešení Jedná se o elementární plochu, která je grafem funkce g(x, y) = xy,

14 13 KAPITOLA 8 PLOCHA A JEJÍ OBSAH jejíž definiční obor je jednotkový kruh = {(x, y) x y 1} Podle Věty 84 je S = 1 x y Pro výpočet tohoto integrálu je vhodné použít polární souřadnice x = ϱ cos ϕ, y = ϱ sin ϕ, kde ϕ, π, ϱ, 1 ostáváme tak 1 x y = π ϱ ϱ dϱ dϕ = π = 3 π [ (1 ϱ ) 3 ] 1 = 3 π( 1) ϱ 1 ϱ dϱ Úloha Určete obsah S stěny nádoby tvaru rotačního paraboloidu z = 1 (x y ), x y 1 Řešení Přímou aplikací vztahu (86) dostaneme (818) S = 1 x y, kde je jednotkový kruh Úloha vede ke stejnému integrálu jako v předchozím příkladě Proto S = 3 π( 1) Pro srovnání si nyní ukážeme alternativní způsob výpočtu založený na popisu zadané plochy v cylindrických souřadnicích x = ϱ cos ϕ, y = ϱ sin ϕ, z = z; kde ϕ, π, ϱ > V těchto souřadnicích je plocha vymezena podmínkami z = 1 ϱ, ϱ, 1, ϕ, π Pro použití vztahu (811) je třeba stanovit parciální derivace parametrizace Φ(ϱ, ϕ) = Jednoduchým výpočtem dostaneme ( ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ, 1 ϱ) ϱ = (cos ϕ, sin ϕ, ϱ); = ( ϱ sin ϕ, ϱ cos ϕ, ) ϕ

15 3 CVIČENÍ 131 Při výpočtu vektorového součinu je možno použít vztah (817) ϱ ϕ = (1 ϱ )ϱ = ϱ 1 ϱ Pak konečně S = π 1 ϱ 1 ϱ dϱdϕ Všimněme si, že tento integrál je vyjádřením integrálu (818) v polárních souřadnicích Jeho vyčíslením tedy musíme dospět ke stejnému výsledku Úloha Určete velikost plochy zadané vztahy y z = 4ax, z, y ax, x 4a, a >, Řešení Nejvýhodnější způsob jak uvedený obsah spočítat je reprezentovat zadanou plochu jako graf funkce proměnných y a z, tedy funkce x = h(y, z) = 1 4a (y z ) Jejím definičním oborem je průmět dané plochy do souřadnicové roviny yz Pokusme se tento průmět stanovit na základě zadaných nerovností Z podmínky x 4a máme (819) Z nerovnosti y ax dostaneme Po úpravě (8) 1 4a (y z ) 4a, a tedy y z 16a y a 4a (y z ) = 1 4 (y z ) 3 4 y z 4, tj z 3 y Spojení podmínek (819) a (8) implikuje, že je kruhová výseč omezená kružnicí se středem v počátku o poloměru 4a a dvojicí polopřímek z = 3y, y ; z = 3y, y Z Věty 86 máme S = 1 ( ) h ( ) h = z Přechodem k polárním souřadnicím pak dostáváme S = 1 a π/3 4a π/3 4a ϱ ϱ dϱ dϕ = π 6a 1 4a a y z [ ] 1 4a 3 (4a ϱ ) 3/ = 4 9 πa ( 15 1)

16 13 KAPITOLA 8 PLOCHA A JEJÍ OBSAH Úloha Stanovte jakou část zemského povrchu představuje oblast mezi 3 o a 31 o severní šířky a o a 1 o východní délky Řešení Zadaný problém budeme řešit obecně jako otázku obsahu části kulové plochy o poloměru r >, která je ve sférických souřadnicích x = r cos ϕ cos ϑ y = r sin ϕ cos ϑ z = r sin ϑ vymezena intervaly ϕ ϕ 1, ϕ, ϑ ϑ 1, ϑ Využitím (816) a goniometrických identit dostáváme pro hledaný povrch S vztahy S = ϕ ϑ ϕ 1 ϑ 1 r cos ϑ dϑ dϕ = (ϕ ϕ 1 )r [sin ϑ] ϑ ϑ 1 = ( = (ϕ ϕ 1 )r ϑ1 ϑ cos Pro hledaný poměr u tedy platí ( ) ( ) (ϕ ϕ 1 )r cos ϑ1 ϑ sin ϑ ϑ 1 u = 4πr = ) sin ( ϑ ϑ 1 ) ( ) (ϕ ϕ 1 ) cos ϑ1 ϑ π ( ) sin ϑ1 ϑ Pro zadané numerické hodnoty (ϕ 1 = 18 π, ϕ = 1 18 π, ϑ 1 = 3 18 π, ϑ = 31 18π) je u = π 61π 18 cos 36 sin π 36 π =, Úloha Nalezněte obsah povrchu S anuloidu, jehož průřez má poloměr R, přičemž vzdálenost středu průřezové kružnice od jeho osy je R 1 (R 1 > R ) Řešení K popisu této plochy se hodí souřadnice (ϕ, ψ), kde ϕ je úhel popisující polohu bodu v průřezové kružnici a ψ je úhel určující otočení vzhledem k ose z, viz obr 84 z R ϕ x ψ R 1 y Obr 84

17 3 CVIČENÍ 133 Tedy x = (R 1 R cos ϕ) cos ψ y = (R 1 R cos ϕ) sin ψ z = R sin ϕ (= Φ 1 (ϕ, ψ)) (= Φ (ϕ, ψ)) (= Φ 3 (ϕ, ψ)), kde (ϕ, ψ), π, π Platí, že ϕ = (R sin ϕ cos ψ, R sin ϕ sin ψ, R cos ϕ) ψ = ( (R 1 R cos ϕ) sin ψ, (R 1 R cos ϕ) cos ψ, ) Vzhledem k tomu, že ϕ = R, ψ = R 1 R cos ϕ, ϕ ψ = máme Konečně, S = ϕ ψ = R (R 1 R cos ϕ) π π Stanovte obsah následujících ploch: R (R 1 R cos ϕ) dϕ dψ = 4π R 1 R 1 průniku roviny o rovnici z = xy s eliptickým válcem daným nerovnicí x 9 y 16 1; grafu funkce f(x, y) = x a, b, c > ; a y b definované na množině dané nerovností x a y b c 3 části kulové plochy o rovnici x y z = r, kterou z ní vytíná válec určený podmínkami x y rx, z ; 4 plochy dané parametrickým vyjádřením x = u cos v, y = u sin v, z = u, (u, v), 4, π ; 5 plochy dané parametrickým vyjádřením x = uv, y = u v, z = v, (u, v), 1 ; 6 helikoidu daného parametrickým vyjádřením x = u cos v, y = u sin v, z = v, (u, v), 1, π ; 7 plochy dané parametrizací x = u cos v, y = u sin v, z = 1 u sin v, (u, v), 1,

18 134 KAPITOLA 8 PLOCHA A JEJÍ OBSAH 8 Předpokládejme, že f je nezáporná spojitá funkce definovaná na intervalu a, b Pomocí Věty 81 ukažte, že obsah plochy M, která vznikne rotací grafu funkce f kolem osy x je dán vztahem b obsah(m) = π a f(x) 1 f (x) dx 9 Určete obsah rotační plochy, která vznikne rotací grafu funkce f(x) = sin x, x, π kolem osy x 1 Stanovte obsah povrchu elipsoidu s poloosami a, a, c, kde a < c (Obsah povrchu obecného elipsoidu nelze explicitně vyjádřit bez tzv eliptických integrálů) 11 Nechť C je rovinná křivka a f : C R je nezáporná spojitá funkce Ukažte, že je-li M = {(x, y, z) (x, y) C, z f(x, y)}, pak obsah(m) = C f Výsledky 1 1 6π; 3 πab ( (1 c ) 3/ 1 ) ; 3 r (π ); 4 π 6 ( ); 5 3 ln( 3); 6 π ( ln(1 ) ) ; 7 3 ( 8 1); 9 π ( ln(1 ) ) ; 1 πa ( a ε arcsin ε a), kde ε = c a c

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

Plošný integrál funkce

Plošný integrál funkce Kapitola 9 Plošný integrál funkce efinice a výpočet Plošný integrál funkce, kterému je věnována tato kapitola, je z jistého pohledu zobecněním integrálů dvojného a křivkového. Základním podnětem k jeho

Více

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3. Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

V. Riemannův(dvojný) integrál

V. Riemannův(dvojný) integrál V. Riemannův(dvojný) integrál Obsah 1 Základní pojmy a definice 2 2 Podmínky existence dvojného integrálu 4 3 Vlastnosti dvojného integrálu 4 4 Výpočet dvojného integrálu; převod na dvojnásobný integrál

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

svou hloubku, eleganci i široké spektrum aplikací bývají tyto věty považovány za jedny

svou hloubku, eleganci i široké spektrum aplikací bývají tyto věty považovány za jedny Kapitola Integrální věty V této kapitole se seznámíme s hlubšími větami integrálního počtu, které vyjadřují souvislost mezi typy integrálů, s nimiž jsme se setkali během předchozího výkladu. Jedná se Gaussovu

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,

Více

7. Integrál přes n-rozměrný interval

7. Integrál přes n-rozměrný interval 7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Základní vlastnosti ploch

Základní vlastnosti ploch plocha zpravidla se definuje jako výsledek spojitého pohybu jisté tvořící křivky podél zadané trajektorie lze obohatit o možnost spojitých změn tvaru tvořící křivky x v průběhu pohybu podél trajektorie

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový

Více

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

Křivkový integrál vektorového pole

Křivkový integrál vektorového pole Kapitola 7 Křivkový integrál vektorového pole 1 Základní pojmy Křivkový integrál vektorového pole je modifikací křivkového integrálu skalární funkce, která vznikla z potřeb aplikací ve fyzice, chemii a

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

Těleso racionálních funkcí

Těleso racionálních funkcí Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1, Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál.

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál. E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 III.6. Aplikace trojných integrálů Příklad 6. Užitím vorce pro výpočet objemu tělesa pomocí trojného integrálu (tj.v ddd ukažte, že objem

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Základní rovnice popisující napěťově-deformační chování materiálu při jednoosém namáhání jsou Hookeův zákon a Poissonův zákon. σ = E ε odtud lze vyjádřit také poměrnou

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2 PŘÍKLADY K MATEMATICE ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměnných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x )

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x ) 6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 8 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

Cvičení z Lineární algebry 1

Cvičení z Lineární algebry 1 Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY 3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky

Více

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky.

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Maturitní témata Matematika Školní rok 2016/17 Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Příprava ke zkoušce trvá 15 minut, ústní zkouška

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 10. 2011 Obsah přednášky 1 Literatura

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

12. Křivkové integrály

12. Křivkové integrály 12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010 Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy

Více

2. Kinematika bodu a tělesa

2. Kinematika bodu a tělesa 2. Kinematika bodu a tělesa Kinematika bodu popisuje těleso nebo také bod, který se pohybuje po nějaké trajektorii, křivce nebo jinak definované dráze v závislosti na poloze bodu na dráze, rychlosti a

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva

Více

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve

Více