Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky"

Transkript

1 Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako dvojrozměrný objekt ve třírozměrném eventuelně vícerozměrném prostoru, jehož body je možné popsat dvojicí souřadnic Například každý bod na povrchu koule můžeme popsat jeho zeměpisnou šířkou a zeměpisnou délkou V aplikacích se pojmu plochy používá pro modelování těles, která mají jeden rozměr zanedbatelný vůči rozměrům ostatním Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky složitější objekt Jeho studium vyžaduje komplikovanější matematický aparát V našem výkladu se proto omezíme na jednodušší typy ploch, které vzniknou sjednocením konečně mnoha grafů spojitě diferencovatelných funkcí Tato restrikce není příliš omezující z hlediska inženýrských aplikací, neboť téměř všechny potřebné plochy je možno reprezentovat tímto způsobem Čtenáře, který by se chtěl seznámit s teorií ploch v její plné obecnosti odkazujeme na učebnici [] Základním prototypem plochy pro nás je graf C 1 funkce dvou proměnných tedy množina definovaná rovností z = g(x, y) Jedna z takovýchto ploch je znázorněna např na obrázku 11 alší příklady je možno získat záměnou souřadnic, tedy jako grafy funkcí, jejichž definičním oborem je základní oblast v rovině yz nebo xz Takovéto plochy budeme nazývat elementárními plochami efinice 81 Množina M R 3 se nazývá elementární plochou, jestliže platí alespoň jedna z následujících rovností (i) M = {(x, y, z) z = g 1 (x, y), (x, y) 1 }, kde g(x, y) je funkce spojitá na základní oblasti 1 R a třídy C 1 na vnitřku 1, (ii) M = {(x, y, z) x = g (y, z), (y, z) }, kde g (y, z) je funkce spojitá na základní oblasti R a třídy C 1 na vnitřku, (iii) M = {(x, y, z) y = g 3 (x, z), (x, z) 3 }, kde g 3 (x, z) je funkce spojitá na základní oblasti 3 R a třídy C 1 na vnitřku 3 117

2 118 KAPITOLA 8 PLOCHA A JEJÍ OBSAH Krajem K(M) elementární plochy M dané grafem funkce g na oblasti rozumíme množinu K(M) = {(x, y, z) (x, y), z = g(x, y)}, kde je hranice oblasti (viz [1], efinice 13 nebo efinice 111) Připomeňme, že vnitřek množiny R n jsou všechny body z kromě hraničních, tj \ Tři podmínky z efinice 81 zní možná složitě, ale říkají přesně to, že elementární plocha je část grafu funkce dvou proměnných při vhodném natočení Vezměme si například krychli Její horní stěna je elementární plocha, neboť je to část grafu dokonce konstantní funkce Pokud by v efinici 81 byl pouze bod (i), museli bychom vyloučit například boční stěnu této krychle z elementárních ploch Boční stěna, co by plocha, není o nic složitější než horní Vylučovat ji by bylo nelogické Proto jsou do definice přidány body (ii) a (iii), které zahrnují do elementárních ploch ploch i nevhodně natočené grafy funkce g(x, y) Příklad 8 (i) Množina M = {(x, y, z) z = 1 x y, x y 1} je grafem funkce g(x, y) = 1 x y definované na základní oblasti, kterou je kruh se středem v počátku a poloměrem 1 Množina M je tedy elementární plocha (horní polosféra), jejímž krajem je kružnice { } K(M) = (x, y, z) x y = 1, z = (ii) Množina M = { } (x, y, z) y = 1 x, x, z 1 je definována jako graf funkce g(x, z) = 1 x, jejímž definičním oborem je jednotkový čtverec {(x, z) x, z 1} v rovině xz Tato plocha je částí povrchu válce s osou z a poloměrem 1 Krajem této plochy je uzavřená křivka, která vznikne sjednocením dvou rovnoběžných úseček a dvou oblouků kružnice efinice a výpočet obsahu plochy Hlavním cílem této části je definovat základní kvantitativní charakteristiku plochy její obsah alším úkolem bude nalézt integrální vyjádření Tato úloha je analogická problému stanovit délku křivky Vzhledem ke dvourozměrnému charakteru ploch nás její řešení zavede ke dvojnému integrálu Stejně jako v předchozích kapitolách budeme obsah elementární plochy definovat axiomaticky Označme symbolem S(g, ) hledaný obsah elementární plochy dané grafem funkce g na základní oblasti Je jasné, že zobrazení, které dvojici (g, ) přiřadí číslo S(g, ) vyhovuje axiomu aditivity Tedy (A) S(g, ) = S(g, 1 ) S(g, ),

3 EFINICE A VÝPOČET OBSAHU PLOCHY 119 kde 1, je rozklad na základní oblasti nemající společný vnitřní bod Pokusme se nyní zjistit, jak se velikost obsahu plochy mění v závislosti na charakteru funkce g Podívejme se na následující obrázek obr 81 z z x y x y (a) Obr 81 Máme pocit, že obsah plochy na obrázku (b) je větší než obsah plochy na obrázku (a) Je to způsobeno tím, že jedna z ploch je grafem funkce s větším růstem Intuitivně se tak přikláníme k názoru (exaktně ověřitelném například pro části rovin nebo rotační tělesa), že graf funkce bude mít větší obsah při větším stoupání čí klesání dané funkce Protože mírou rychlosti změny funkce je velikost jejího gradientu, viz ([1]), Kapitola 5, jsme vedeni k pozorování, že (M ) S(g, ) S(h, ), kdykoliv grad g grad h na oblasti Ukážeme, že pro jednoznačné určení obsahu postačí dokonce vyžadovat nerovnost (M ) v případě, kdy grafem funkce h je část roviny Proto se pokusíme nejprve stanovit obsah S(h, ) Předpokládejme tedy, že plocha M je grafem funkce h(x, y) = ax by, jejímž definičním oborem je základní oblast v rovině xy Jedná se o rovinnou plochu, která je součástí roviny ϱ s rovnicí z = ax by Typický příklad takovéto plochy je znázorněn na obr 8 (b) z M ϱ y x Obr 8

4 1 KAPITOLA 8 PLOCHA A JEJÍ OBSAH Na plochu M se můžeme dívat jako na oblast v rovině ϱ, která vznikne promítnutím oblasti do roviny ϱ ve smyslu rovnoběžného promítání ve směru osy z V rovině ϱ můžeme zavést kartézský systém souřadnic (libovolným způsobem) a chápat ji tak jako kopii dvourozměrného prostoru R Označme si jako e 1 a e jednotkové a kolmé vektory ležící v ϱ Označme dále symbolem Φ příslušnou projekci, tj zobrazení, jež každému bodu (x, y) základní souřadnicové roviny xy přiřadí bod na rovině ϱ, který je průmětem bodu (x, y) do roviny ϱ při rovnoběžném promítání ve směru osy z, Φ(x, y) = (x, y, ax by) Zobrazení Φ budeme chápat jako zobrazení z R do R, Φ(x, y) = (Φ 1 (x, y), Φ (x, y)), jehož složky jsou dané rovnicí (x, y, ax by) = Φ 1 (x, y) e 1 Φ (x, y) e Z geometrické podstaty je ihned vidět, že Φ zachovává aritmetické operace s vektory, což znamená, že Φ je lineární Linearitu lze také snadno ověřit přímo ze vzorce pro Φ Jakobián Φ je pro lineární zobrazení konstantní funkce, viz 31 le pravidla o substituci v integrálu použité na zobrazení Φ máme (81) S(h, ) = 1 = Φ = Φ obsah(), Φ() Jinými slovy, obsah Φ() je vždy je Φ násobek obsahu, tedy (8) obsah(φ()) = Φ obsah() Tento vztah říká, že poměr obsahů původního a promítnutého obrazce je vždy konstantní a roven jakobiánu Φ Představme si nyní na okamžik, že je jednotkový čtverec, 1, 1 V tomto případě je Φ() rovnoběžníkem, jehož strany jsou dány vektory u = (1,, a) a v = (, 1, b) Z analytické geometrie víme, že obsah tohoto rovnoběžníku je velikost vektorového součinu u v Tedy (83) obsah(φ()) = u v = ( a, b, 1) = 1 a b Vzhledem k tomu, že obsah() = 1 dostáváme tak z (8), že Φ = 1 a b Na základě (8) a předchozí rovnosti máme pro obecnou základní oblast následující vztah (84) S(h, ) = 1 a b obsah()

5 EFINICE A VÝPOČET OBSAHU PLOCHY 11 Po stanovení obsahu rovinné plochy se můžeme opět vrátit k principu monotonie (M ) Předpokládejme, že existuje bod (x, y ) v oblasti, ve které je velikost gradientu funkce g maximální Tedy nechť Položíme-li nyní funkci h(x, y) grad g(x, y ) = max( grad g(x, y) ) h(x, y) = g (x, y ) x g (x, y ) y, (x, y), pak h(x, y) popisuje rovinu rovnoběžnou s tečnou rovinou ke grafu funkce g sestrojenou v bodě s největší velikostí grad g Geometricky to znamená, že tato rovina je nejstrmější ze všech tečných rovin grafu funkce g Podle předchozích úvah s volbou a = g (x, y ), b = g (x, y ) je (85) S(h, ) = 1 ( ) g ( ) g (x, y ) (x, y ) obsah() Víme rovněž, že grad h(x, y) = grad g(x, y ), a tak grad g grad h Podle (M ) je pak S(g, ) S(h, ) Spojením s (85) máme tak konečně nerovnost S(g, ) max 1 obsah() Zcela analogická úvaha pro minimum funkce grad g pak v závěru implikuje nerovnosti (M) min 1 obsah() S(g, ) max 1 obsah() Nyní se zdá, že už máme vlastnosti (A) a (M), které jsme hledali Je tu však maličkost kazící dojem V průběhu analýzy celé situace jsme v jednom okamžiku řekli: Nechť (x, y ) je bod z, ve kterém je grad g maximální Takový bod ovšem nemusí existovat Příkladem je např horní polosféra daná funkcí g(x, y) = 1 x y, = {(x, y) x y 1} Bezprostředním výpočtem zjistíme, že grad g je na shora neomezená funkce ůvod našich potíží spočívá v tom, že jsme od funkce g požadovali, aby byla třídy C 1 pouze na vnitřku Abychom se vyhnuli této nepříjemnosti, budeme definovat obsah nejprve pro speciálnější elementární plochy a pak ho rozšíříme na všechny elementární plochy V následující definici tak budeme požadovat, aby uvažovaná elementární plocha byla dána funkcí třídy C 1 na (Připomeňme si, že to znamená, že existuje otevřená množina G obsahující, na které je funkce g třídy C 1 ) To zaručí existenci minima i maxima grad g na

6 1 KAPITOLA 8 PLOCHA A JEJÍ OBSAH efinice 83 Zobrazení, které každé elementární ploše M dané grafem funkce g třídy C 1 na základní oblasti přiřadí číslo S(g, ), se nazývá obsah plochy M, jestliže splňuje následující axiomy: (A) aditivita S(g, ) = S(g, 1 ) S(g, ), kdykoliv 1, tvoří rozklad oblasti na základní oblasti 1 a bez společného vnitřního bodu; (M) monotonie min 1 obsah() S(g, ) max 1 obsah() Nyní, jak už jsme v axiomatické metodě zvyklí, musíme ukázat, že efinice 83 vůbec něco definuje Věta 84 Zobrazení S(g, ) z efinice 83 existuje a je jediné Platí přitom, že pro každou elementární plochu M danou C 1 funkcí g na základní oblasti je (86) obsah(m) = S(g, ) = 1 ůkaz Existence alespoň jednoho takového zobrazení je snadná V (86) máme takového kandidáta přímo uvedeného Musíme jen ověřit, že splňuje axiomy (A) a (M) Aditivita vyplývá z vlastnosti dvojného integrálu Počítáme-li integrály přes 1 a tvořící rozklad základní oblasti, dostaneme v součtu integrál přes Podobně jednoduchá je verifikace monotonie: 1 ( g ) max 1 = max 1 1 = obsah() Zbývá tak dokázat jednoznačnost takového S(g, ) To se děje pomocí metody horních a dolních součtů Takový postup jsme v předchozím textu prováděli detailně alespoň dvakrát a alespoň jednou ho ještě budeme provádět Proto se nyní omezíme na konstatování, že i zde tato metoda dá jednoznačnost zobrazení S(g, ) Příklad 85 Určete obsah S kulového vrchlíku M = {(x, y, z) R 3 x y z = 1, x y 1/}

7 EFINICE A VÝPOČET OBSAHU PLOCHY 13 Přitom a tedy Uvedená plocha je grafem funkce Podle Věty 84 máme g(x, y) = 1 x y, kde x y 1 g x (x, y) = 1 1 x y, S = = g y (x, y) = 1 1 x y 1 1 x y Zvolme pro výpočet tohoto integrálu polární souřadnice Pak S = π 1/ ϱ 1 ϱ dϱ dϕ = π [ 1 ϱ ] 1/ 1 x y ( ) 3 = π 1 Před efinicí 83 jsme slíbili, že zjistíme, jak spočítat obsah elementární plochy bez dodatečného omezení o diferencovatelnosti integrované funkce na celé základní oblasti Stejný trik jsme již užili v závěru Kapitoly Mějme základní oblast danou např = {(x, y) R x a 1, a, s 1 (x) y s (x)}, s 1 (x) < s (x) na a 1, a, která je na obrázku 3(a) Nechť g je funkce třídy C 1 na vnitřku Označíme n = {(x, y) R x a 1 1 n, a 1, s 1 (x) 1 n n y s (x) 1 } n Pak n jsou základní oblasti obsažené ve vnitřku, viz obr 83 s (x) 1 n 1 n 1 n n 1 n s 1 (x) a 1 a Obr 83

8 14 KAPITOLA 8 PLOCHA A JEJÍ OBSAH ále, n n1 a jejich sjednocení n=1 n dá celý vnitřek základní oblasti Funkce g je tak třídy C 1 na každém n Elementární plochy M n dané funkcí g nad n se postupně zvětšují až vyplní celou plochu M až na její kraj K(M) Obsahy ploch M n se tím blíží k hledanému obsahu plochy M Položíme tedy obsah(m) = lim n obsah(m n) Věta 84 dovoluje spočítat obsahy M n, a tak lim obsah(m n) = lim 1 n n n = 1 Proto prohlásíme, že obsah elementární plochy M dané funkcí g třídy C 1 na vnitřku základní oblasti je (87) obsah(m) = 1 Vidíme, že vzorec je zcela stejný jako v případě elementární plochy dané C 1 funkcí na Rozdíl spočívá v tom, že v předešlém případě vychází obsah vždy konečný, zatímco v případě obecné elementární plochy může být obsah nekonečný Při výpočtu integrálu představujícího obsah plochy se často používají jiné než kartézské souřadnice V Příkladu 85 jsme v průběhu výpočtu přešli k souřadnicím polárním Protože popis plochy v jiných než kartézských souřadnicích je velice užitečný, odvodíme si v dalším výkladu vyjádření obsahu přímo pomocí nově zavedených souřadnic Před přesnou formulací tohoto pravidla se podívejme na geometrický význam výrazu 1 ( g ) ( g ), který se v integrálním vyjádření obsahu vyskytuje Vektor ( g, g, 1) je normálový vektor ke grafu funkce g(x, y) směřující vzhůru Vidíme tak, že výraz 1 není nic jiného než velikost normálového vektoru indukovaného kartézskou parametrizací dané plochy Věta 84 tak vlastně říká, že obsah plochy spočítáme integrací velikosti kanonického normálového vektoru Víme, že normálový vektor ( g, g, 1) vznikl jako vektorový součin následujících dvou tečných vektorů: (1,, g g ) a (, 1, ) Tedy ( (88) 1 = 1,, g ) (, 1, g ) Při popisu kartézskými souřadnicemi je elementární plocha dána jako obraz Φ() základní oblasti R, prostřednictvím zobrazení Φ(x, y) = (x, y, g(x, y)), (x, y)

9 EFINICE A VÝPOČET OBSAHU PLOCHY 15 Zobrazení Φ se často nazývá kartézská parametrizace dané plochy Pro parciální derivace tohoto zobrazení platí: ( = 1,, g ), ( =, 1, g S tímto novým značením a pomocí (88) můžeme integrální vyjádření obsahu přepsat do tvaru (89) S(f, ) = Vidíme tedy, že obsah plochy můžeme chápat jako integrál z velikosti vektorového součinu parciálních derivací její kartézské parametrizace Nyní se podívejme na alternativní způsob popisu plochy Plocha M může být popsána systémem rovnic x = Φ 1 (s, t), y = Φ (s, t), z = Φ 3 (s, t), (s, t) T Uvedeným rovnicím se říká parametrizace elementární plochy M vzhledem k souřadnicím (parametrům) s, t Hodnoty dvojice parametrů (s, t) jsou brány ze zadané základní oblasti T Často budeme užívat následující stručný zápis: Zavedeme vektor Φ(s, t) = ( Φ 1 (s, t), Φ (s, t), Φ 3 (s, t) ) Pak Φ je vlastně zobrazení Φ: T M, neboť každé dvojici parametrů přiřazuje bod na ploše M Pro elementární plochu danou grafem funkce g na základní oblasti vždy platí (81) Φ 3 = g(φ 1, Φ ), což vznikne dosazením za x, y a z do rovnice z = g(x, y) Speciálně vidíme, že první dvě složky (Φ 1, Φ ) parametrizace Φ představují zobrazení základní oblasti T do : ( ) Φ 1 (s, t), Φ (s, t) pro každé (s, t) T Následující tvrzení říká, že rovnost (89) platí pro parametrický popis daný jakýmkoliv jiným systémem souřadnic Tvrzení 86 Nechť M je elementární plocha daná funkcí z = g(x, y) definované v základní oblasti R Nechť Φ = (Φ 1, Φ, Φ 3 ): T R 3 je spojitá parametrizace plochy M Předpokládejme, že Φ je třídy C 1 na vnitřku T a že zobrazení θ = (Φ 1, Φ ): T je prosté a má nenulový jakobián θ na vnitřku T Pak (811) obsah(m) = T )

10 16 KAPITOLA 8 PLOCHA A JEJÍ OBSAH Poznámka 87 Kdyby elementární plocha M byla dána např jako graf funkce typu x = g(y, z), pak zobrazení θ bude vytvořeno ze složek Φ a Φ 3 Obecně bude θ vytvořeno z těch složek parametrizace Φ, které odpovídají nezávisle proměnným u funkce popisující elementární plochu ůkaz ůkaz Tvrzení 86 je založen na použití věty o substituci pro dvojný integrál Víme, že obsah(m) = 1 Zobrazení θ : T představuje přechod od souřadnic s, t ke kartézským souřadnicím x, y θ(s, t) = ( Φ 1 (s, t), Φ (s, t) ) Rozepsáno ve složkách x = Φ 1 (s, t) y = Φ (s, t) První krok důkazu bude spočívat ve vyjádření výrazu v kartézských souřadnicích Rovnice (81) udává vztah mezi složkami parametrizace Φ Proto Nyní můžeme začít počítat Analogicky Φ = ( Φ 1, Φ, g(φ 1, Φ ) ) ( = 1,, g 1 g ( = 1,, g 1 g ) ) Provedeme vektorový součin obou výše uvedených vektorů Když členy, které se navzájem odečítají již nebudeme uvádět, dostaneme = (( 1 = Protože 1 1 ) ( g, 1 1 ( 1 = 1 = det ) g, 1 můžeme poslední rovnost přepsat ve tvaru ( ) ( = det J θ g ) (81), g, = det J θ, ) ( ) 1 = g ), g, 1

11 EFINICE A VÝPOČET OBSAHU PLOCHY 17 Proto (813) = θ 1 Podle předpokladu θ na vnitřku Můžeme tak psát (814) 1 = 1 θ ále, zobrazení θ je prosté na vnitřku Tím jsou splněny předpoklady Věty 31 o substituci pro θ Jejím použitím spolu s uvážením (814) dostáváme následující rovnosti: ( ) g obsah(m) = 1 = 1 = Tím je důkaz ukončen 1 θ = θ T T θ(t ) Při popisu geometrických útvarů, které intuitivně řadíme k plochám však s elementárními plochami nevystačíme Kulovou plochu není například možné vyjádřit jako graf funkce žádné z dvojic proměnných Lze ji však na druhé straně vyjádřit jako sjednocení elementárních ploch, horní a dolní polosféry Jsme tak vedeni k myšlence definovat plochy jako sjednocení konečně mnoha ploch elementárních Je přirozené přitom požadovat, aby jednotlivé elementární plochy na sebe navazovaly svými kraji Formálním vyjádřením těchto požadavků je následující definice: efinice 88 Souvislá množina M R 3 se nazývá plocha, jestliže existují elementární plochy M 1, M,, M k takové, že (i) M = M 1 M M k ; (ii) Je-li i j, pak M i M j K(M i ) K(M j ), přičemž průnik M i M j je buďto křivka nebo konečná či prázdná množina; Množinu elementárních ploch {M 1, M,, M k } splňujících výše uvedené požadavky nazýváme rozkladem plochy M Rozklad plochy M na elementární plochy M 1, M,, M k není jednoznačný Plochu M lze rozložit mnoha způsoby To je však z našeho hlediska nedůležité, neboť lze dokázat, že jak obsah tak i později integrace přes takovou plochu nezávisí na způsobu rozkladu Příklad 89 (i) Kulová plocha M = {(x, y, z) x y z = r }, o poloměru r >, je uzavřenou plochou Jeden z jejích rozkladů je M 1 = {(x, y, z) R 3 z = 1 x y, x y 1} M = {(x, y, z) R 3 z = 1 x y, x y 1}

12 18 KAPITOLA 8 PLOCHA A JEJÍ OBSAH (ii) Povrch krychle se skládá ze šesti stěn, z nichž každá je elementární plochou (iii) Sjednocení čtverců M 1 =, 1, 1 {} a M = {}, 1, 1 je plocha složená ze dvou elementárních ploch Každou plochu danou parametricky můžeme rozložit na elementární plochy dané parametricky Pro tyto elementární plochy platí Tvrzení 86 Protože součet obsahů elementárních ploch je roven obsahu plochy dostáváme z aditivity integrálu vůči integračnímu oboru obecnější tvrzení Věta 81 (Obecná parametrizace) Nechť M R 3 je plocha se spojitou parametrizací Φ: T M třídy C 1 a prostou na vnitřku základní oblasti T R Pak obsah(m) = T Příklad 811 Určete obsah S povrchu koule o poloměru r > aná kulová plocha je popsána rovnicí x y z = r Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že střed je v počátku souřadnicového systému Pro popis této sféry je výhodné použít sférických souřadnic (ϕ, ϑ) Přitom (815) x = r cos ϕ cos ϑ (= Φ 1 (ϕ, ϑ)) y = r sin ϕ cos ϑ (= Φ (ϕ, ϑ)) z = r sin ϑ (= Φ 3 (ϕ, ϑ)), kde (ϕ, θ), π π/, π/ Čtenář si jistě povšiml, že jsme použili jinou variantu sférických souřadnic než v Kapitole 4, (44) Z geometrického významu rovnic (815) je vidět, že parametrizace Φ je prostá na (, π) ( π/, π/): Parametr θ udává zeměpisnou délku a φ zeměpisnou šířku bodu na sféře Pokud nejsme na pólech nebo na nultém poledníku, má bod jednoznačně určené hodnoty (φ, θ) Podle Věty 81 S = ϕ ϑ Vzhledem k tomu, že,π π/,π/ ϕ = ( r sin ϕ cos ϑ, r cos ϕ cos ϑ, ) ϑ = ( r cos ϕ sin ϑ, r sin ϕ sin ϑ, r cos ϑ) ϕ ϑ = r (cos ϑ cos ϕ, cos ϑ sin ϕ, sin ϑ cos ϑ),

13 3 CVIČENÍ 19 dostáváme (816) ϕ ϑ = r cos ϑ Závěrem je tedy S = π π/ π/ r cos ϑ dϑ dϕ = πr [sin ϑ] π/ π/ = 4πr Poznámka 81 Poznamenejme, že k výpočtu velikosti vektorového součinu se často používá identita (817) u v = u v ( u v) Tato rovnost umožní výpočet velikosti normálového vektoru, aniž tento vektor přímo stanovíme Je to obzvlášť výhodné pro kolmé vektory u a v Pak je u v = a u v = u v 3 Cvičení Úloha Určete obsah S rovinné plochy popsané podmínkami z = ax by, x y 1 (a, b, Řešení Uvedená plocha je elipsa, která je průnikem roviny o rovnici z = ax by a válce zadaného nerovností x y 1 Vzhledem k tomu, že se jedná o graf funkce g(x, y) = ax by definované na kruhu = {(x, y) x y 1}, můžeme bezprostředně využít (84) a dostat tak S = 1 a b obsah() = π 1 a b Úloha Určete obsah části hyperboloidu kde x y 1 z = xy, Řešení Jedná se o elementární plochu, která je grafem funkce g(x, y) = xy,

14 13 KAPITOLA 8 PLOCHA A JEJÍ OBSAH jejíž definiční obor je jednotkový kruh = {(x, y) x y 1} Podle Věty 84 je S = 1 x y Pro výpočet tohoto integrálu je vhodné použít polární souřadnice x = ϱ cos ϕ, y = ϱ sin ϕ, kde ϕ, π, ϱ, 1 ostáváme tak 1 x y = π ϱ ϱ dϱ dϕ = π = 3 π [ (1 ϱ ) 3 ] 1 = 3 π( 1) ϱ 1 ϱ dϱ Úloha Určete obsah S stěny nádoby tvaru rotačního paraboloidu z = 1 (x y ), x y 1 Řešení Přímou aplikací vztahu (86) dostaneme (818) S = 1 x y, kde je jednotkový kruh Úloha vede ke stejnému integrálu jako v předchozím příkladě Proto S = 3 π( 1) Pro srovnání si nyní ukážeme alternativní způsob výpočtu založený na popisu zadané plochy v cylindrických souřadnicích x = ϱ cos ϕ, y = ϱ sin ϕ, z = z; kde ϕ, π, ϱ > V těchto souřadnicích je plocha vymezena podmínkami z = 1 ϱ, ϱ, 1, ϕ, π Pro použití vztahu (811) je třeba stanovit parciální derivace parametrizace Φ(ϱ, ϕ) = Jednoduchým výpočtem dostaneme ( ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ, 1 ϱ) ϱ = (cos ϕ, sin ϕ, ϱ); = ( ϱ sin ϕ, ϱ cos ϕ, ) ϕ

15 3 CVIČENÍ 131 Při výpočtu vektorového součinu je možno použít vztah (817) ϱ ϕ = (1 ϱ )ϱ = ϱ 1 ϱ Pak konečně S = π 1 ϱ 1 ϱ dϱdϕ Všimněme si, že tento integrál je vyjádřením integrálu (818) v polárních souřadnicích Jeho vyčíslením tedy musíme dospět ke stejnému výsledku Úloha Určete velikost plochy zadané vztahy y z = 4ax, z, y ax, x 4a, a >, Řešení Nejvýhodnější způsob jak uvedený obsah spočítat je reprezentovat zadanou plochu jako graf funkce proměnných y a z, tedy funkce x = h(y, z) = 1 4a (y z ) Jejím definičním oborem je průmět dané plochy do souřadnicové roviny yz Pokusme se tento průmět stanovit na základě zadaných nerovností Z podmínky x 4a máme (819) Z nerovnosti y ax dostaneme Po úpravě (8) 1 4a (y z ) 4a, a tedy y z 16a y a 4a (y z ) = 1 4 (y z ) 3 4 y z 4, tj z 3 y Spojení podmínek (819) a (8) implikuje, že je kruhová výseč omezená kružnicí se středem v počátku o poloměru 4a a dvojicí polopřímek z = 3y, y ; z = 3y, y Z Věty 86 máme S = 1 ( ) h ( ) h = z Přechodem k polárním souřadnicím pak dostáváme S = 1 a π/3 4a π/3 4a ϱ ϱ dϱ dϕ = π 6a 1 4a a y z [ ] 1 4a 3 (4a ϱ ) 3/ = 4 9 πa ( 15 1)

16 13 KAPITOLA 8 PLOCHA A JEJÍ OBSAH Úloha Stanovte jakou část zemského povrchu představuje oblast mezi 3 o a 31 o severní šířky a o a 1 o východní délky Řešení Zadaný problém budeme řešit obecně jako otázku obsahu části kulové plochy o poloměru r >, která je ve sférických souřadnicích x = r cos ϕ cos ϑ y = r sin ϕ cos ϑ z = r sin ϑ vymezena intervaly ϕ ϕ 1, ϕ, ϑ ϑ 1, ϑ Využitím (816) a goniometrických identit dostáváme pro hledaný povrch S vztahy S = ϕ ϑ ϕ 1 ϑ 1 r cos ϑ dϑ dϕ = (ϕ ϕ 1 )r [sin ϑ] ϑ ϑ 1 = ( = (ϕ ϕ 1 )r ϑ1 ϑ cos Pro hledaný poměr u tedy platí ( ) ( ) (ϕ ϕ 1 )r cos ϑ1 ϑ sin ϑ ϑ 1 u = 4πr = ) sin ( ϑ ϑ 1 ) ( ) (ϕ ϕ 1 ) cos ϑ1 ϑ π ( ) sin ϑ1 ϑ Pro zadané numerické hodnoty (ϕ 1 = 18 π, ϕ = 1 18 π, ϑ 1 = 3 18 π, ϑ = 31 18π) je u = π 61π 18 cos 36 sin π 36 π =, Úloha Nalezněte obsah povrchu S anuloidu, jehož průřez má poloměr R, přičemž vzdálenost středu průřezové kružnice od jeho osy je R 1 (R 1 > R ) Řešení K popisu této plochy se hodí souřadnice (ϕ, ψ), kde ϕ je úhel popisující polohu bodu v průřezové kružnici a ψ je úhel určující otočení vzhledem k ose z, viz obr 84 z R ϕ x ψ R 1 y Obr 84

17 3 CVIČENÍ 133 Tedy x = (R 1 R cos ϕ) cos ψ y = (R 1 R cos ϕ) sin ψ z = R sin ϕ (= Φ 1 (ϕ, ψ)) (= Φ (ϕ, ψ)) (= Φ 3 (ϕ, ψ)), kde (ϕ, ψ), π, π Platí, že ϕ = (R sin ϕ cos ψ, R sin ϕ sin ψ, R cos ϕ) ψ = ( (R 1 R cos ϕ) sin ψ, (R 1 R cos ϕ) cos ψ, ) Vzhledem k tomu, že ϕ = R, ψ = R 1 R cos ϕ, ϕ ψ = máme Konečně, S = ϕ ψ = R (R 1 R cos ϕ) π π Stanovte obsah následujících ploch: R (R 1 R cos ϕ) dϕ dψ = 4π R 1 R 1 průniku roviny o rovnici z = xy s eliptickým válcem daným nerovnicí x 9 y 16 1; grafu funkce f(x, y) = x a, b, c > ; a y b definované na množině dané nerovností x a y b c 3 části kulové plochy o rovnici x y z = r, kterou z ní vytíná válec určený podmínkami x y rx, z ; 4 plochy dané parametrickým vyjádřením x = u cos v, y = u sin v, z = u, (u, v), 4, π ; 5 plochy dané parametrickým vyjádřením x = uv, y = u v, z = v, (u, v), 1 ; 6 helikoidu daného parametrickým vyjádřením x = u cos v, y = u sin v, z = v, (u, v), 1, π ; 7 plochy dané parametrizací x = u cos v, y = u sin v, z = 1 u sin v, (u, v), 1,

18 134 KAPITOLA 8 PLOCHA A JEJÍ OBSAH 8 Předpokládejme, že f je nezáporná spojitá funkce definovaná na intervalu a, b Pomocí Věty 81 ukažte, že obsah plochy M, která vznikne rotací grafu funkce f kolem osy x je dán vztahem b obsah(m) = π a f(x) 1 f (x) dx 9 Určete obsah rotační plochy, která vznikne rotací grafu funkce f(x) = sin x, x, π kolem osy x 1 Stanovte obsah povrchu elipsoidu s poloosami a, a, c, kde a < c (Obsah povrchu obecného elipsoidu nelze explicitně vyjádřit bez tzv eliptických integrálů) 11 Nechť C je rovinná křivka a f : C R je nezáporná spojitá funkce Ukažte, že je-li M = {(x, y, z) (x, y) C, z f(x, y)}, pak obsah(m) = C f Výsledky 1 1 6π; 3 πab ( (1 c ) 3/ 1 ) ; 3 r (π ); 4 π 6 ( ); 5 3 ln( 3); 6 π ( ln(1 ) ) ; 7 3 ( 8 1); 9 π ( ln(1 ) ) ; 1 πa ( a ε arcsin ε a), kde ε = c a c

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

V. Riemannův(dvojný) integrál

V. Riemannův(dvojný) integrál V. Riemannův(dvojný) integrál Obsah 1 Základní pojmy a definice 2 2 Podmínky existence dvojného integrálu 4 3 Vlastnosti dvojného integrálu 4 4 Výpočet dvojného integrálu; převod na dvojnásobný integrál

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

1. Přirozená topologie R n

1. Přirozená topologie R n Příklady PŘÍKLADY A CVIČENÍ. Přirozená topologie R n. Dokažte, že čtverec M = {(x, y) R n ; x + y } je kompaktní množina. Řešení: Stačí ukázat, že množina M je uzavřená a ohraničená. Uzavřenost lze dokázat

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu.

http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu. Inženýrská matematika Robert Mařík Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg.

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková VŠPJ Matematika II pro studenty oboru Finance a řízení M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN 978-80-88064-07-7

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

Vzdělávací obor matematika

Vzdělávací obor matematika "Cesta k osobnosti" 6.ročník Hlavní okruhy Očekávané výstupy dle RVP ZV Metody práce (praktická cvičení) obor navázání na již zvládnuté ročník 1. ČÍSLO A Žák používá početní operace v oboru de- Dělitelnost

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

9. Úvod do teorie PDR

9. Úvod do teorie PDR 9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

Geometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0

Geometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Geometrie pro FST 2 Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Předmluva Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie pro FST 2, který vyučujeme

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Matematika I. dvouletý volitelný předmět

Matematika I. dvouletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Matematika I O7A, C3A, O8A, C4A dvouletý volitelný předmět Cíle předmětu Tento předmět je koncipován s cílem usnadnit absolventům gymnázia přechod na vysoké školy

Více

3.2 3DgrafyvMaple 106 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK

3.2 3DgrafyvMaple 106 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK 106 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK > A2:=augment(submatrix(A,1..3,[1]),b,submatrix(A,1..3,[3])); Potom vypočítáme hodnotu x 2 : > x2:=det(a2)/det(a); Zadání matice. Matici M typu (2, 3) zadáme

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

CZ.1.07/1.5.00/34.0527

CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Projekt: Příjemce: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 371 60 České Budějovice

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 ODR1 1 Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 A. Diferenciální rovnice a související pojmy Mnohé fyzikální a jiné zákony lze popsat pomocí rovnic, v nichž jako neznámá vystupuje funkce, přičemž

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Školní rok 2013/2014 Mgr. Lenka Mateová Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup)

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

11 Zobrazování objektů 3D grafiky

11 Zobrazování objektů 3D grafiky 11 Zobrazování objektů 3D grafiky Studijní cíl Tento blok je věnován základním algoritmům zobrazení 3D grafiky. Postupně budou probrány základní metody projekce kolmé promítání, rovnoběžné promítání a

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

Rozptyl. Pozn.: rozptyl je nezávislý na posunu hustoty pravděpodobnosti na ose x, protože Var(X) mi určuje jen šířku rozdělení.

Rozptyl. Pozn.: rozptyl je nezávislý na posunu hustoty pravděpodobnosti na ose x, protože Var(X) mi určuje jen šířku rozdělení. Rozptyl Základní vlastnosti disperze Var(konst) = 0 Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) (nezávislé proměnné) Lineární změna jednotek Y = rx + s, například z C na F. Jak vypočítám střední hodnotu a rozptyl? Pozn.:

Více

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Geometrické transformace v prostoru Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Shodné transformace 1 Shodné transformace stejný přístup jako ve 2D shodné transformace (shodnosti,

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Matematika (MAT) Náplň: Rovnice a nerovnice, kruhy a válce, úměrnost, geometrické konstrukce, výrazy 2 Třída: Tercie Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

3.2 OBJEMY A POVRCHY TĚLES

3.2 OBJEMY A POVRCHY TĚLES . OBJEMY A POVRCHY TĚLES Krychle, kvádr, hranol Dochované matematické texty ze starého Egypta obsahují několik úloh na výpočet objemu čtverhranných obilnic tvaru krychle; lze předpokládat, že stejným způsobem

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více