PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "PŘÍKLADY K MATEMATICE 3"

Transkript

1 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t, + t), t,, ds, kde je úsečka AB, x y je parametrizace křivky. Protože b fx, y) ds = fxt), yt)) x t) + y t) dt, je potom ds x y = = 5 a 4 + 4t + t) dt = t + dt = 5 [ln t + ] = 5 ln. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál x + y) ds, kde je obvod trojúhelníku AB, A =, ), B =, ), =, 3). Řešení: není hladká křivka, ale vznikne spojením tří na sebe navazujících křivek,, 3 stran trojúhelníku AB), kde Potom x + y) ds = : x = + t, y = + t, t,, : x = t, y = + t, t,, 3 : x = + t, y = + t, t,. + t + ) dt + t + ) dt = Příklad.3. Vypočítejme křivkový integrál fx) = ln x, x,. t) + + t)) 8 dt + x ds, kde je graf funkce

2 ZDENĚK ŠIBRAVA Obr. -6 Řešení: Položíme-li x = t, potom y = ln t je ψt) = t, ln t), t, parametrizace křivky. Potom x ds = t + t dt = t t + dt. Označíme-li u = t + a dále du = t dt dostaneme t t + dt = 5 u du = Příklad.4. Vypočítejme křivkový integrál x +y ) ds, kde je křivka Obr. pro a = ) s parametrizací ψt) = acos t + t sin t), asin t t cos t)), t, π, a > ). Řešení: Předně je ψ t) = at cos t, at sin t) a Potom x +y ) ds = π ). x t) + y t) = at) cos t + sin t) = at. a cos t + t sin t) + sin t t cos t) ) at dt = a 3 π +π ). Příklad.5. Vypočítejme křivkový integrál křivka jeden závit kuželové šroubovice) s parametrizací ψt) = t cos t, t sin t, t), Řešení: Opět nejříve vypočítáme ψ t) = cos t t sin t, sin t + t cos t, ) a ) x + y z ds, kde je t, π. x t) + y t) + z t) = + t.

3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 3 Potom ) x + y z ds = = π π t cos t + sin t) t) + t dt = t + t dt = + 4π ) 3 3 ). V příkladech.6.5 vypočítejte křivkové integrály podél křivky. Příklad.6. x+y+ x +y ds, kde je úsečka s krajními body, ), 4, ). Výsledek: 5 ). Příklad.7. xy ds, kde je obvod obdélníku určeného přímkami x =, x = 4, y =, y =. Výsledek: 4 Příklad.8. x y ds, kde je část paraboly y = x, y,. Výsledek: )/3 Příklad.9. x y ds, kde je oblouk kružnice x +y = a a > ) s koncovými body a, ),, a). Výsledek: a 4 /3 Příklad.. x + y ds, kde je kružnice x + y ax = a > ). Výsledek: a Příklad.. y ds, kde je lemniskáta x + y ) = a x y ) a > ). Výsledek: a ) Příklad.. y ds, kde část cykloidy s parametrizací ψt) = at sin t), a cos t)), t, π a > ). Výsledek: 4πa 3/ Příklad.3. z x +y ds, kde je šroubovice ψt) = cos t, sin t, t), t, π. Výsledek: 8π 3 /3 Příklad.4. x ds, kde je průniková křivka ploch x + y + z =, x z =. Výsledek: π/ Příklad.5. x + y) ds, kde je část kružnice x + y + z = a, y = x a > ), ležící v prvním oktantu. Výsledek: a Aplikace křivkového integrálu prvního druhu Geometrické aplikace I) Nechť je jednoduchá křivka. Potom délka této křivky je dána vztahem ) ds.

4 4 ZDENĚK ŠIBRAVA Obr. II) Nechť je jednoduchá rovinná křivka v rovině xy), f je spojitá funkce dvou proměnných nezáporná v bodech křivky a κ = { x, y, z) R 3 : x, y) z fx, y) } je válcová plocha určená řídicí křivkou s přímkami rovnoběžnými s osou z, zdola omezená křivkou a shora průnikem grafu funkce z = fx, y) a plochy κ). Potom pro obsah S válcové plochy κ platí ) S = fx, y) ds. Příklad.6. Vypočítejme délku asteroidy jejíž parametrizace je ψt) = a cos 3 t, a sin 3 t) a >, t, π. Řešení: Asteroida není hladká křivka, neboť v bodech a, ),, a), a, ),, a) k ní neexistuje tečný vektor. Platí totiž ψ t) = 3a cos t sin t, 3a sin t cos t), a např. pro t = je ψ) = a, ) a ψ ) =, ), tj. v bodě a, ) neexistuje tečný vektor. Analogicky je tomu i v ostatních uvedených bodech. V těchto bodech jsou na křivce body vratu Obr. pro a = ). Křivku tedy budeme uvažovat jako spojení čtyř jednoduchých křivek, které na sebe navazují. Protože funkce F x, y) = 3 x + 3 y 3 a je sudá v proměnné x i v proměnné y, je zřejmé, že křivka je souměrná podle osy y i podle osy x a k výpočtu její délky stačí vypočítat pouze délku její části ležící v první kvadrantu a její délku pak násobit čtyřmi.

5 PŘÍKLADY K ATEATIE ,5-3 z, x -,5 - y 3 Obr. 3 Nejdříve určíme x t) + y t) = 3a cos 4 t sin t + sin 4 t cos t = 3a cos t sin t. Odtud ds = 4 ds = 4 π/ [ sin t 3a cos t sin t dt = a ] π/ Příklad.7. Vypočítejme obsah válcové plochy Obr.3) κ = {x, y, z) R 3 : x + y = 4 z } 4 x. Řešení: Podle ) je obsah válcové plochy roven číslu fx, y) ds, = 6a. kde je její řídicí křivka a plocha je zdola omezena rovinou z = a shora grafem funkce fx, y) = 4 x. Křivka kružnice) je parametrizována funkcí ψt) = cos t, sin t), t, π. Potom ψ t) = sin t, cos t) a odtud 4 x ds = π π = cos t dt = 4 sin t dt + 4 π π π sin t dt = 4 sin t) dt = 4 [ cos t] π π sin t dt = ) + [cos t]π π = 6.

6 6 ZDENĚK ŠIBRAVA Příklad.8. Vypočítejte délku křivky s parametrizací ψt) = 3t, 3t, t 3 ), jejímiž krajními body jsou,, ), 3, 3, ). Výsledek: 5 Příklad.9. Vypočítejte délku křivky s parametrizací ψt) = e t cos t, e t sin t, e t ), t,. Výsledek: 3e ) V příkladech..7 vypočítejte obsahy daných válcových ploch. Příklad.. κ = Příklad.. κ = { } x, y, z) R 3 : x + y = z 9x + 4y Výsledek: { } x, y, z) R 3 : x + y = z 4x 4 + y. 4 Výsledek: Příklad.. κ = { x, y, z) R 3 : y = x z x + y x, }. Výsledek: )/3 Příklad.3. κ = { x, y, z) R 3 : y = 3 x3 z x 3 + 3y x, }. Výsledek: )/3 Příklad.4. κ = { x, y, z) R 3 : y = x z Příklad.5. κ = Příklad.6. κ = Příklad.7. κ = { x, y, z) R 3 : x = y z { x, y, z) R 3 : y = ln x z { x, y, z) R 3 : y = sin x z 3π 5π y x+ x, 3 }. Výsledek: 4 }. x y, 4 y+ Výsledek: y x + x, e }. Výsledek: / y cos x cos x+ x, π/ }. Výsledek: / Fyzikální aplikace Nechť je jednoduchá hmotná křivka, jejíž hustota v každém jejím bodě x, y, z) je hx, y, z). I) Hmotnost m této křivky je 3) m = hx, y, z) ds II) Statický moment této křivky vzhledem k rovině xy, resp. vzhledem k rovině xz, resp. vzhledem k rovině yz je 4) S xy = zhx, y, z) ds, S xz = yhx, y, z) ds, S yz = xhx, y, z) ds.

7 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 7 III) Souřadnice těžiště této křivky v pravoúhlém souřadnicovém systému) jsou 5) x T = S yz m, y T = S xz m, z T = S xy m. IV) oment setrvačnosti této křivky vzhledem k ose x, resp. vzhledem k ose y, resp. vzhledem k ose z je I x = y + z )hx, y, z) ds, I y = x + z )hx, y, z) ds, 6) I z = x + y )hx, y, z) ds. V případě rovinné křivky platí všechny uvedené vztahy s tím, že z =. Příklad.8. Vypočítejme souřadnice těžiště homogenní křivky, jejíž parametrizace je ψt) = t sin t, cos t), t, π část cykloidy, Obr.4) Obr. 4 Řešení: Podobně jako u ploch a těles budeme i u homogenních křivek předpokládat, že hustota v každém bodě křivky je. Souřadnice těžiště jsou na této konstantě nezávislé. Je ψ t) = cos t, sin t) a x t) + y t) = cos t) + sin t = sin t. Potom m = ds = π sin t [ dt = 4 cos t ] π = 4.

8 8 ZDENĚK ŠIBRAVA Dále S x = = 4 π π y ds = cos t) sin t π dt = 4 cos t sin t dt = sin t sin t π dt = 4 cos t ) sin t dt = 8 ) u du = 6 3 při výpočtu integrálu volíme substituci u = cos t ) a π S y = x ds = t sin t) sin t π dt = t sin t π dt sin t sin t ) dt = 6 3. První integrál počítáme metodou per partes, ve druhém po úpravě sin t = sin t cos t volíme substituci u = sin t.) Je tedy x t = = 4 3, y t = = 4 3. Příklad.9. Vypočítejte hmotnost části elipsy x + y =, x, y, jestliže 9 4 její hustota je v každém bodě hx, y) = xy. Výsledek: 38/5 Příklad.3. Vypočítejte hmotnost jednoho závitu šroubovice s parametrizací ψt) = a cos t, a sin t, bt), t, π a >, b > ), jestliže její hustota v každém bodě je rovna druhé mocnině vzdálenosti tohoto bodu od počátku, tj. hx, y, z) = r. Výsledek: π a + b 3a + 4π b )/3 Příklad.3. Vypočítejte hmotnost křivky s parametrizací ψt) =, t, t /), t,, jestliže její hustota v každém bodě je hx, y, z) = z. Výsledek: )/3 Příklad.3. Vypočítejte hmotnost drátu, který má tvar kružnice x +y +z =, x + z =, je-li jeho hustota hx, y, z) = x. Výsledek: π/ Příklad.33. Najděte souřadnice těžiště homogenního oblouku cykloidy s parametrizací ψt) = at sin t), a cos t)), t, π a > ). Výsledek: aπ, 4a/3) Příklad.34. Najděte souřadnice těžiště homogenního obvodu sférického trojúhelníku x + y + z = a, x, y, z a > ). Výsledek: 4a/3π), 4a/3π), 4a/3π)) Příklad.35. Drát má tvar kružnice x + y = a a > ). Vypočítejte jeho moment setrvačnosti vzhledem k jeho průměru, je-li jeho hustota hx, y) = x + y. Výsledek: 4a 3 Příklad.36. Vypočítejte momenty setrvačnosti vzhledem k souřadnicovým osám jednoho závitu homogenní šroubovice s parametrizací ψt) = cos t, sin t, t), t, π. Výsledek: I x = I y = 5π + 3π/3), I z = 5π

9 .. Křivkový integrál druhého druhu. PŘÍKLADY K ATEATIE 3 9 Příklad.37. Nechť Fx, y, z) = y z, yz, x ) je vektorové pole a kladně orientovaná hladká křivka s parametrizací ψt) = t, t, t 3 ), t,. Vypočítejme křivkový integrál druhého druhu F T ds. Řešení: Připomeňme si nejdříve několik skutečností, které při výpočtu integrálu použijeme. Je-li Fx, y, z) = P x, y, z), Qx, y, z), Rx, y, z)) vektorové pole, hladká orientovaná křivka s parametrizací ψt) = xt), yt), zt)), t a, b T je její jednotkový tečný vektor), potom 7) F T ds = P x, y, z) dx + Qx, y, z) dy + Rx, y, z) dz. Užitím věty o substituci dostaneme F T ds = P xt), yt), zt))x t) + Qxt), yt), zt))y t) + 8) + Rxt), yt), zt))z t))) dt. Připomeňme ještě, že v případě rovinného vektorového pole 7) i 8) platí, s tím, že R a z jsou nulové. Nyní se vrátíme k našemu příkladu. Protože Fx, y, z) = y z, yz, x ), budeme podle 7) počítat integrál y z ) dx + yz dy x dz, a protože je podle 8) ψt) = t, t, t 3 ) a ψ t) =, t, 3t ), F T ds = t 4 t 6 + t t 3 t t 3t ) dt = 35. Příklad.38. Vypočítejme křivkový integrál x xy) dx + y xy) dy, kde je parabola y = x, x, s počátečním bodem, ) a koncovým bodem, ). Řešení: Křivkový integrál je zadán ve tvaru 7) a Fx, y) = x xy, y xy) je rovinné vektorové pole. Označíme-li xt) = t a yt) = t je ψt) = t, t ), t, parametrizací křivky. Protože, ) je počátečním bodem a, ) koncovým bodem křivky, je křivka při zvolené parametrizaci orientována kladně je orientována ve směru rostoucího parametru). Dále ψ t) =, t) a podle 8) x xy ) dx + y xy ) dy = t t 3 ) + t 4 t 3 ) t ) dt = 4 5.

10 ZDENĚK ŠIBRAVA Příklad.39. Vypočítejme křivkový integrál y) dx + + x) dy, kde je obvod trojúhelníku s vrcholy, ),, ),, ) a orientace je dána uvedeným pořadím vrcholů. Řešení: Křivka není hladká. Vznikne spojením tří na sebe navazujících křivek úseček stran trojúhelníka), a 3 s parametrizacemi : ψt) = t, t), t,, kladně orientovaná, : ψt) = t, t), t,, záporně orientovaná, : ψt) =, t), t,, záporně orientovaná. Potom y) dx+ + x) dy = t++t) dt +t t) dt V příkladech.4.47 vypočítejte křivkové integrály podél křivky. ) dt =. Příklad.4. y dx + x dy, kde je čtvrtkružnice x + y = a, x, y a > ) s počátečním bodem a, ) a koncovým bodem, a). Výsledek: Příklad.4. x + y ) dx + x y ) dy, kde je křivka y = x, x, s počátečním bodem, ). Výsledek: 4/3 Příklad.4. x + y ) dy, kde křivka je obvod obdelníku s vrcholy, ), 5, ), 5, 4),, 4) orientovaná souhlasně s uvedeným pořadím vrcholů. Výsledek: 4 y Příklad.43. dx+x dy, kde křivka je část hyperboly xy = s počátečním x bodem 3, /3) a koncovým bodem /, ). Výsledek: ln 6 5/3 Příklad.44. y 6xy3 ) dx + x 9x y ) dy, kde a) je parabola y = x s počátečním bodem, ) a koncovým bodem, ), b) je úsečka s počátečním bodem, ) a koncovým bodem, ). Výsledek: a), b) Příklad.45. yz dx + z a x dy + yx dz, kde křivka s parametrizací ψt) = a cos t, a sin t, bt), t, π a >, b > ) s počátečním bodem a,, ) a koncovým bodem a,, πb). Výsledek: π a b Příklad.46. x + y + z) dx, kde křivka je obvod trojúhelníku s vrcholy,, ),,, ),,, ) orientovaná souhlasně s uvedeným pořadím vrcholů. Výsledek: Příklad.47. y dx + z dy + x dz, kde je průniková křivka ploch z = xy a x + y = orientovaná souhlasně s pořadím bodů,, ),,, ),,, ). Výsledek: π

11 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 Aplikace křivkového integrálu druhého druhu Fyzikální aplikace Příklad.48. Vypočítejme práci silového pole Fx, y, z) = y, z, x), kterou vykoná posunutím hmotného břemene z bodu,, e π ) do bodu,, ) podél křivky s parametrizací ψt) = cos t, sin t, e t ). Řešení: Připomeňme, že práce W silového pole F podél křivky je 9) W = F T ds = P x, y, z) dx + Qx, y, z) dy + Rx, y, z) dz. Křivka je parametrizována funkcí ψt) = cos t, sin t, e t ) a je ψ) =,, ) a ψπ) =,, e π ). Protože je parametrizována spojitou funkcí, je t, π. Po křivce však postupujeme proti rostoucímu parametru, tj. křivka je orientována záporně, a to znamená, že u počítaného křivkového integrálu musíme změnit znaménko. Pro práci silového pole F podél křivky tedy dostáváme π W = sin t + e t cos t + e t cos t ) dt = + e π + π. Příklad.49. Vypočítejme tok rovinného vektorového pole Fx, y) = x +y, xy) uzavřenou kladně orientovanou křivkou kružnicí) x + y = x. Řešení: Podobně jako v předchozím příkladu nejdříve připomeňme, že tok rovinného vektorového pole Fx, y) = P x, y), Qx, y)) uzavřenou kladně orientovanou křivkou je n je vnější normála křivky) ) F n ds = Qx, y) dx + P x, y) dy. Symbolem zdůrazňujeme, že počítáme křivkový integrál přes uzavřenou křivku.) Pro nalezení toku vektorového pole křivkou budeme tedy počítat Qx, y) dx + P x, y) dy = xy dx + x + y ) dy. Kružnici x + y = x můžeme parametrizovat funkcí ψt) = + cos t, sin t), t, π. Potom π F n ds = + cos t) sin t sin t) + + cos t) cos t) dt =. Příklad.5. Vypočítejme cirkulaci rovinného vektorového pole Fx, y) = x y, xy), podél uzavřené kladně orientované hranice půlkruhu x + y x, y. Řešení: irkulace vektorového pole Fx, y) = P x, y), Qx, y)) podél uzavřené kladně orientované křivky je dána křivkovým integrálem ) F T ds = P x, y) dx + Qx, y) dy.

12 ZDENĚK ŠIBRAVA V našem případě hranice půlkruhu není hladká křivka. Vznikne však spojením dvou na sebe navazujících křivek, tj. půlkružnice x + y = x, y, a, tj. úsečky spojující body, ) a, ). Je tedy F T ds = F T ds + F T ds Křivku budeme parametrizovat funkcí ψt) = + cos t, sin t), t, π a křivku funkcí ψt) = t, ), t,, přičemž obě křivky jsou orientovány shodně s rostoucím parametrem, tedy kladně. Potom π F T ds = sin t cos t ) sin t dt + t dt = =. Příklad.5. Vypočítejte práci, kterou vykoná silového pole Fx, y) =, x ) podél křivky y = x s počátečním bodem, ) a koncovým bodem, ). Výsledek: 8/5 Příklad.5. Vypočítejte práci, kterou vykoná silového pole Fx, y) = x+y, x) podél kladně orientované kružnice x + y = a a > ). Výsledek: πa Příklad.53. Vypočítejte práci, kterou vykoná silového pole Fx, y, z) = x, y, z) podél lomené čáry spojující body,, ),,, ),,, ),,, ) orientované souhlasně s uvedeným pořadím bodů. Výsledek: 3/ Příklad.54. Na hmotný bod, který se pohybuje po elipse x /a + y /b = a >, b > ) z bodu a, ) do bodu, b) působí síla, jejíž velikost je rovna vzdálenosti bodu od středu elipsy, a která směřuje do středu této elipsy. Vypočítejte práci, kterou pole vykoná při pohybu bodu. Výsledek: a b )/ Příklad.55. Vypočítejte práci, kterou vykoná silového pole Fx, y, z) = yz, xz, xy) podél průnikové křivky ploch x + y + z = a x + z = orientované souhlasně s pořadím bodů /,, / ),,, ), /,, / ). Výsledek: V příkladech vypočítejte tok, resp. cirkulaci daného vektorového pole křivkou, resp. podél uzavřené křivky. Příklad.56. Fx, y) = x, y) a je kladně orientovaná hranice množiny 3 x + 3 y 3 a a > ) viz příklad.6), x, y. Výsledek: 3a π/, resp. Příklad.57. Fx, y) = ) x, y+ r r r je vzdálenost bodu x, y) od počátku) a je kladně orientovaná kružnice x ) + y + ) =. Výsledek: π, resp. Příklad.58. Fx, y) = x + y, x) a kladně orientované kružnice x + y = a a > ). Výsledek: πa, resp. πa Příklad.59. Fx, y) = x e y, e y ) a je kladně orientovaná hranice množiny y x, x 4. Výsledek: 76 e 4 e, resp. 6 e +4 e

13 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 3 Příklad.6. Užitím Greenovy věty vypočítejme křivkový integrál x + y) dx x y) dy, kde je kladně orientovaná elipsa x /a ) + y /b ) =, a >, b > ). Řešení: Připomeňme, že je-li Fx, y) = P x, y), Qx, y)) rovinné vektorové pole a jednoduchá uzavřená po částech hladká kladně orientovaná křivka, jež tvoří hranici množiny, pak podle Greenovy věty platí, že tok tohoto vektorového pole přes hranici množiny tj. křivku ) je roven úhrnému množství divergence tohoto pole na. Tedy platí ) F n ds = div F da, tj. 3) Qx, y) dx + P x, y) dy = P x, y) + x ) Qx, y) da. hceme-li nyní použít k výpočtu integrálu x + y) dx x y) dy vzorec 3), ) znamená to, že místo toku vektorového pole Fx, y) = x y), x + y)) přes křivku, můžeme počítat úhrné množství divergence tohoto pole na. Protože div Fx, y) =, ), je π x + y) dx x y) dy = ) da = abr dr dϕ = abπ ) Dvojný integrál jsme vypočítali substitucí pomocí zobecněných polárních souřadnic.) Příklad.6. Užitím Greenovy věty vypočítejme křivkový integrál ) ) y3 + xy dx + x 3 y + x + x3 dy, 3 ) kde je kladně orientovaná hranice množiny { = x, y) R : 4 x + y 9 x y } 3 x. 3 Řešení: Protože počítaný křivkový integrál nám opět představuje levou stranu ve vzorci 3), je Fx, y) = y + x + x3 3, ) y3 xy +. x 3 Odtud div Fx, y) = x + x, x + y ).

14 4 ZDENĚK ŠIBRAVA Podle vzorce 3) pak dostáváme ) ) y3 + xy dx + ) x 3 y + x + x3 dy = 3 3 π/3 = x + y ) da = r 3 dϕ dr = 65 4 π. Dvojný integrál jsme vypočítali substitucí pomocí polárních souřadnic.) Příklad.6. Vypočítejme obsah plochy omezené jedním obloukem cykloidy s parametrizací ψt) = at sin t), a cos t)) a > ), t, π a osou x. Řešení: Jednoduchým důsledkem Greenovy věty je vzorec pro výpočet míry obsahu) množiny ohraničené uzavřenou kladně orientovanou křivkou. Zvolíme-li např. x Fx, y) =, y, je div Fx, y) = ) + = a podle vzorce 3) je 4) y dx + x dy = π/6 + ) da = da = µ). Obecně stačí, zvolíme-li si libovolné rovinné vektorové pole F, jehož div F =. Zvolíme-li např. Fx, y) = x, ) a z 3) dostáváme další vztah pro výpočet míry množiny 5) x dy = da = da = µ). V našem případě je hranice množiny tvořena dvěma jednoduchými na sebe navazujícími křivkami a, kde je část osy x mezi body, ) a aπ, ) a je oblouk cykloidy vycházející z bodu aπ, ) a vracející se do bodu, ). Hranice je pak při takto zvolené orientaci orientována kladně. Připomeňme jednoduché pravidlo pro určení orientace uzavřené křivky - hranice množiny: Procházíme-li křivkou ve směru zvolené orientace a máme-li uzavřenou množinu po levé ruce, je křivka orientována kladně. V případě, že množina je po pravé ruce, je křivka orientována záporně.) Je tedy µ) = y dx + x dy = y dx + x dy + y dx + x dy. Křivku parametrizujeme funkcí ψt) = t, ), t, aπ. Snadno zjistíme, že y dx + x dy =. Křivka je parametrizována funkcí ψt) = at sin t), a cos t)), t, π. Protože jsme hranici množiny orientovali kladně, postupujeme po křivce proti rostoucímu parametru, a to znamená, že při výpočtu druhého integrálu musíme u tohoto integrálu změnit znaménko. Je tedy po úpravě y dx + x dy = a π + cos t + t sin t) dt = 3a π,

15 a tedy PŘÍKLADY K ATEATIE 3 5 µ) = 3a π. Příklad.63. Užitím Stokesovy věty v rovině vypočítejme křivkový integrál ) x x y + xy e x y dx + xy ) y + x e x y dy, ) kde je kladně orientovaná část lemniskáty x + y ) = xy, x, y ). Řešení: Připomeňme, že je-li Fx, y) = P x, y), Qx, y)) rovinné vektorové pole a jednoduchá uzavřená po částech hladká kladně orientovaná křivka jež tvoří hranici množiny, potom pro cirkulaci a rotaci tohoto pole platí k =,, )) 6) F T ds = rot F k da, tj. 7) Předně je P x, y) P x, y) dx + Qx, y) dy = = x e xy +x 3 y e xy x, Potom podle 7) je ) x x y + xy e x y dx + Qx, y) x Qx, y) x ) P x, y) da. = x e xy +x 3 y e xy +y. xy ) y + x e x y dy = y + x ) da, kde = {x, y) R : x + y ) xy x y }. Použítím substituce pomocí polárních souřadnic??) pak dostaneme π/ cos ϕ sin ϕ y + x ) da = r 3 dr dϕ = π 64. V příkladech vypočítejte křivkové integrály pomocí Greenovy věty. Příklad.64. e x sin y 3y 3 ) dx + e x cos y x3) dy, kde je kladně orientovaná křivka 4x + 9y = 36. Výsledek: 8π Příklad.65. ) cos x ln y + e x y sin x ) dx + + e x y + 4 y 3 x3 dy, kde je kladně orientovaná křivka 4x + y = 4. Výsledek: π Příklad.66. ) e x ln y y e x) dx+ x y x y dy, kde je kladně orientovaná křivka x ) + y ) =. Výsledek: 4π Příklad.67. e x sin y xy ) dx + e x cos y x y ) dy, kde je kladně orientovaná křivka x + ) + y + ) =. Výsledek: 4π

16 6 ZDENĚK ŠIBRAVA Příklad.68. xy + y ) dx + x + 3xy) dy, kde je kladně orientovaná hranice množiny = {x, y) R : x + y x}. Výsledek: Příklad.69. xy + y ) dx + x + xy) dy, kde je kladně orientovaná hranice množiny = {x, y) R : x + y y}. Výsledek: Příklad.7. e x cos y) dx e x y sin y) dy, kde je kladně orientovaná { hranice množiny = x, y) R : x, π y } sin x. Výsledek: e π +)/4 Příklad.7. arctg y dx + arctg x dy, kde je kladně orientovaná hranice x x y y množiny = { x, y) R : x + y 4 x y 3 x }. Výsledek: π ln Příklad.7. y 3 dx x 3 dy, kde je kladně orientovaná hranice množiny = {x, y) R : x y x + y ) a x y )} a > ). Výsledek: 3 3 πa4 Příklad.73. e x sin y y) dx + e x cos y ) dy, kde je půlkružnice x + y = ax a > ), y s počátečním bodem, ) a koncovým bodem a, ). [Návod: Doplňte křivku úsečkou spojující počáteční koncový bod půlkružnice na uzavřenou křivku.] Výsledek: πa /8 V příkladech vypočítejte křivkové integrály pomocí Stokesovy věty v rovině. Příklad.74. Pomocí křivkového integrálu odvoďte vztah pro výpočet obsahu kruhu o poloměru R. Příklad.75. Pomocí křivkového integrálu vypočítejte obsah plochy omezené křivkami x = y a x = 4. Výsledek: 3/3 Příklad.76. Pomocí křivkového integrálu vypočítejte obsah plochy omezené křivkami x = y 3, x = 8 a y =. Výsledek: Příklad.77. Vypočítejte obsah plochy ohraničené smyčkou Descartesova listu x 3 + y 3 3at 3axy = a > ) s parametrizací ψt) =, ), 3at t, + ). +t 3 +t 3 Výsledek: 3a / Příklad.78. Vypočítejte obsah plochy ohraničené lemniskátou x + y ) = a x y ) a > ). Výsledek: a

17 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 7 Příklad.79. Vypočítejte obsah plochy ohraničené asteroidou s parametrizací ψt) = a cos 3 t, a sin 3 t) a > ), t, π. Výsledek: 3πa /8 Příklad.8. Vypočítejte obsah plochy ohraničené srdcovkou s parametrizací ψt) = cos t cos t, sin t sin t), t, π. Výsledek: 6π.3. Konzervativní pole. Příklad.8. Vypočítejme křivkový integrál x4 + 4xy 3 ) dx + 6x y 5y 4 ) dy, kde je křivka spojující body, ) a 3, ). Řešení: Nejdříve ukážeme, že rovinné vektorové pole Fx, y) = x 4 + 4xy 3, 6x y 5y 4 ) je v R nerotační, tj. že platí 8) Qx, y) x P x, y) =, tj. Qx, y) x = P x, y). Platí Qx, y) = xy P x, y), = xy x a podmínka 8) je splněna. To znamená, že pole F je nerotační a je v R potenciální konzervativní). Počítaný integrál je tedy nazávislý na cestě a je na nás, jakou křivku spojující body, ) a 3, ) si zvolíme. Zvolme v našem případě jako lomenou čáru složenou ze dvou úseček a spojující body, ), 3, ) a 3, ). Jejich parametrizace jsou Potom x 4 + 4xy 3 ) dx + 6x y 5y 4 ) dy = : x = t, y =, t, 3, : x = 3, y = t, t,. 3 t 4 4t) dt + 54t 5t 4) dt = 6. Příklad.8. Vypočítejme křivkový integrál yz dx + + xz) dy + xy ) dz, kde je křivka spojující body,, ) a,, ). Řešení: Vektorové pole Fx, y, z) = yz, + xz, xy ) je v R 3 nerotační. Platí totiž Rx, y, z) Qx, y, z) P x, y, z) Rx, y, z) Qx, y, z) P x, y, z) =, =, = z z x x a vektorové pole F je potenciální a počítaný integrál je nezávislý na cestě. Zvolme tentokrát za křivku úsečku spojující body,, ) a,, ). Její parametrizace je ψt) = + t, + t, + t), t,. Potom yz dx + + xz) dy + xy ) dz = = + t) t) ) + + t) )) dt = 4.

18 8 ZDENĚK ŠIBRAVA Poznámka.83. V případě, že křivkový integrál je nezávislý na cestě a křivka je libovolná křivka s počáteční bodem A a koncovým bodem B, je zvykem místo F T ds psát B F T ds. Dále je třeba si uvědomit, že křivka, kde A je množina, na které je F potenciální. Příklad.84. Vypočítejme práci, kterou) vykoná rovinné vektorové pole y Fx, y) = x x + arcsin y, + arcsin x posunem hmotného břemene z bodu y A =, ) do bodu B = /, /). Řešení: Ukážeme nejdříve, že pole F je na množině =, ), ) potenciální. Je Qx, y) P x, y) = = x +, x y tj. pole je nerotační a vektorové pole F je na množině potenciální. Dále víme, že práce, kterou vykoná vektorové pole podél křivky křivka musí ležet v ) je dána křivkovým integrálem ) ) y 9) W = + arcsin y x dx + + arcsin x dy. x y Protože pole F je potenciální, existuje skalární pole f potenciál pole F) takové, že F = f, a platí W = fb) fa). Potenciál f budeme hledat analogickou metodou, kterou jsme řešili exaktní diferenciální rovnice. Podle předpokladu je ) y x fx, y) = + arcsin y, + arcsin x, x y tedy fx, y) y = + arcsin y. x x Integrací této rovnice podle x dostaneme fx, y) = y arcsin x + x arcsin y + φy), kde φy) je integrační konstanta, která ovšem může být funkcí y. Derivováním f podle y dostaneme fx, y) Podle předpokladu je ale také fx, y) = x y + arcsin x + φ y). = Qx, y) = x + arcsin x. y

19 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 9 Odtud pak φ y) = φy) = c, kde c je libovolná konstanta můžeme položit c = ). Je tedy fx, y) = y arcsin x + x arcsin y a W = f /, /) f, ) = 4 π. Příklad.85. Vypočítejme práci, kterou vykoná prostorové vektorové pole Fx, y, z) = y z 3 + z, xyz 3 z, 3xy z + x y) posunem hmotného břemene z bodu A =,, ) do bodu B =,, ). Řešení: Podobně jako v předchozím příkladě ukážeme, že pole F je v R 3 nerotační, tedy, že je potenciální. Je Rx, y, z) Qx, y, z) = = 6xyz, z P x, y, z) Rx, y, z) = = 3y z +, z x Qx, y, z) P x, y, z) = = yz 3. x Existuje tedy skalární pole f potenciál pole F) takové, že F = f, a platí W = fb) fa). Potenciál f budeme opět hledat analogicky stejnou metodou jako v předchozím příkladu. Podle předpokladu je fx, y, z) = y z 3 + z, xyz 3 z, 3xy z + x y ), tedy fx, y, z) = y z 3 + z fx, y, z) = xy z 3 + zx + φ y, z), x kde φ y, z) je integrační konstanta, která ovšem může být funkcí y a z. Derivováním f podle y dostaneme fx, y, z) = xyz 3 + φ y, z). Je ale také fx, y, z) = Qx, y, z) = xyz 3 z. Odtud pak φ y, z) = z φ y, z) = zy + φ z), kde φ z) je integrační konstanta, která však už může být funkcí pouze z. Pro funkci f tedy dostáváme fx, y, z) = xy z 3 + zx yz + φ z).

20 ZDENĚK ŠIBRAVA Nyní derivováním f podle z dostaneme fx, y, z) = 3xy z + x y + φ z z), a protože je také fx, y, z) = Rx, y, z) = 3xy z + x y, z dostáváme φ z) = φ z) = c, kde c je libovolná konstanta můžeme položit c = ). Je tedy fx, y, z) = xy z 3 + zx yz a pro velikost vykonané práci W dostáváme v příslušných jednotkách) W = fb) fa) = 5 = 4. Příklad.86. Vypočítejte křivkový integrál y + y) dx + ln x + xy) dy, kde x je křivka s počátečním bodem A =, ) a koncovým bodem B =, 3). Výsledek: 3 ln + 7 Příklad.87. Vypočítejte křivkový integrál ) x ln y y) dx+ x x dy, kde y je křivka s počátečním bodem A =, ) a koncovým bodem B = 3, ). Výsledek: 9 ln 5 Příklad.88. Vypočítejte křivkový integrál 3x y + y ) dx + x 3 y + xy + ) dy, kde je křivka s počátečním bodem A =, ) a koncovým bodem B =, ). Výsledek: Příklad.89. Vypočítejte křivkový integrál xy3 + y + ) dx + 3x y + xy) dy, kde je křivka s počátečním bodem A =, ) a koncovým bodem B =, ). Výsledek: ) y x Příklad.9. Ukažte, že vektorové pole F x, y) = + arctg y, + arctg x +x +y je potenciální, najděte potenciál tohoto pole a určete práci, kterou toto pole vykoná posunem hmotného břemene z bodu A =, ) do bodu B =, ). Výsledek: fx, y) = y arctg x + x arctg y, W = π/ Příklad.9. Ukažte, že vektorové pole F x, y) = x sin y y sin x, cos x + x cos y) je potenciální, najděte potenciál tohoto pole a určete práci, kterou toto pole vykoná posunem hmotného břemene z bodu A =, ) do bodu B = π, ) π. Výsledek: fx, y) = x sin y + y cos x, W = π /4 Příklad.9. Ukažte, že vektorové pole F x, y) = sin y y sin x, x cos y + y cos x) je potenciální, najděte potenciál tohoto pole a určete práci, kterou toto pole vykoná posunem hmotného břemene z bodu A =, ) do bodu B = π, ) π. Výsledek: fx, y) = x sin y + y cos x, W = π/

21 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 Příklad.93. Vypočítejte křivkový integrál x yz) dx + y xz) dy + z xy) dz, kde je křivka s počátečním bodem A =,, ) a koncovým bodem B =,, ). Výsledek: /3 Příklad.94. Vypočítejte křivkový integrál ) ) xz + dx x+z dy + x + dz, kde je křivka s počátečním bodem y y y A =, 3, ) a koncovým bodem B =,, 3). Výsledek: 8 Příklad.95. Vypočítejte křivkový integrál 3x y z dx + x 3 yz z ) dy + x 3 y yz + 3z ) dz, kde je křivka s počátečním bodem A =, 3, ) a koncovým bodem B =,, ). Výsledek: 4 Příklad.96. Ukažte, že vektorové pole ) F x, y, z) = ln yz + xy, xy + x + z, xz + y je potenciální, najděte potenciál tohoto pole a určete práci, kterou toto pole vykoná posunem hmotného břemene z bodu A =,, ) do bodu B =,, ). Výsledek: fx, y, z) = x ln yz + x y + zy, W = ln + 4 Příklad.97. Ukažte, že vektorové pole ) xz F x, y, z) = arctg yz + z, + z xy, + x + yz + je potenciální, najděte potenciál tohoto pole a určete práci, kterou toto pole vykoná posunem hmot- +y z +y z ného břemene z bodu A =,, ) do bodu B =,, 3). Výsledek: fx, y, z) = x arctg yz + xz + yz + z, W = π/

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2.

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2. Křivové integrál prvního druhu Vpočítejte dané řivové integrál prvního druhu v R. Přílad. ds x, de je úseča AB, A[, ], B[4, ]. Řešení: Pro řivový integrál prvního druhu platí: fx, ) ds β α fϕt), ψt)) ϕ

Více

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový

Více

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1, Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,

Více

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných

Více

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n.

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n. SBÍRKA PŘÍKLAŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY III J. ANĚČEK, M. ZAHRANÍKOVÁ Symbolem jsou označeny obtížnější příklady. Posloupnosti Určete limitu posloupnosti n n + lim n n + 5n + lim n n n n4 + n lim n lim n

Více

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3. Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,

Více

Cvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017

Cvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017 z AM-DI Petr Hasil, Ph.D. hasil@mendelu.cz Verze: 1. března 017 Poznámka. Příklady označené na cvičení dělat nebudeme, protože jsou moc dlouhé, popř. složité (jako takové, nebo pro psaní na tabuli). V

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2 PŘÍKLADY K MATEMATICE ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměnných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná

Více

Plošný integrál funkce

Plošný integrál funkce Kapitola 9 Plošný integrál funkce efinice a výpočet Plošný integrál funkce, kterému je věnována tato kapitola, je z jistého pohledu zobecněním integrálů dvojného a křivkového. Základním podnětem k jeho

Více

II. 5. Aplikace integrálního počtu

II. 5. Aplikace integrálního počtu 494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu

Více

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3, Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

Křivkový integrál vektorového pole

Křivkový integrál vektorového pole Kapitola 7 Křivkový integrál vektorového pole 1 Základní pojmy Křivkový integrál vektorového pole je modifikací křivkového integrálu skalární funkce, která vznikla z potřeb aplikací ve fyzice, chemii a

Více

KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE

KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE Jiří Novotný Ústav matematiky a deskriptivní geometrie, Fakulta stavební, Vysoké učení technické v Brně Abstrakt: V rámci řešení projektu Inovace bakalářského studia Počítačová

Více

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)

Více

12. Křivkové integrály

12. Křivkové integrály 12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

1. Dva dlouhé přímé rovnoběžné vodiče vzdálené od sebe 0,75 cm leží kolmo k rovine obrázku 1. Vodičem 1 protéká proud o velikosti 6,5A směrem od nás.

1. Dva dlouhé přímé rovnoběžné vodiče vzdálené od sebe 0,75 cm leží kolmo k rovine obrázku 1. Vodičem 1 protéká proud o velikosti 6,5A směrem od nás. Příklady: 30. Magnetické pole elektrického proudu 1. Dva dlouhé přímé rovnoběžné vodiče vzdálené od sebe 0,75 cm leží kolmo k rovine obrázku 1. Vodičem 1 protéká proud o velikosti 6,5A směrem od nás. a)

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál.

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál. E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 III.6. Aplikace trojných integrálů Příklad 6. Užitím vorce pro výpočet objemu tělesa pomocí trojného integrálu (tj.v ddd ukažte, že objem

Více

svou hloubku, eleganci i široké spektrum aplikací bývají tyto věty považovány za jedny

svou hloubku, eleganci i široké spektrum aplikací bývají tyto věty považovány za jedny Kapitola Integrální věty V této kapitole se seznámíme s hlubšími větami integrálního počtu, které vyjadřují souvislost mezi typy integrálů, s nimiž jsme se setkali během předchozího výkladu. Jedná se Gaussovu

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb. SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 2000 3 Předmluva Tato sbírka doplňuje přednášky z Matematické

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34. I. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. e d substituce t = ln ln(ln ) d substituce t = ln(ln ), dt = ln 3 e 4 d substituce

Více

Pedagogická fakulta. Aplikovaná matematika - sbírka řešených

Pedagogická fakulta. Aplikovaná matematika - sbírka řešených Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Diplomová práce Aplikovaná matematika - sbírka řešených příkladů Autor diplomové práce: Eva Kutová Vedoucí diplomové práce: RNDr. Libuše

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

5. Statika poloha střediska sil

5. Statika poloha střediska sil 5. Statika poloha střediska sil 5.1 Rovnoběžné sily a jejich střed Uvažujeme soustavu vzájemně rovnoběžných sil v prostoru s pevnými působišti. Každá síla má působiště dané polohovým vektorem. Všechny

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve

Více

Matematika II. (LS 2009) FS VŠB-TU Ostrava. Bud te. A = a + 1 2, B = 1. b + 1. y = x 2 + Bx 3A. a osou x.

Matematika II. (LS 2009) FS VŠB-TU Ostrava. Bud te. A = a + 1 2, B = 1. b + 1. y = x 2 + Bx 3A. a osou x. Program 2. Aplikace určitého integrálu zadání 1. y = x 2 + Bx 3A y = ln(bx), x = 1/A a x = 3A Vypočítejte její obsah. 3. Určete obsah plochy ohraničené parametricky zadanou křivkou (tzv. cykloidou) x(t)

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu 22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

Diferenciální geometrie

Diferenciální geometrie Diferenciální geometrie Pomocný učební text díl I. František Ježek Plzeň, červen 2005 Obsah 1 Křivky 4 1.1 Vyjádření křivky......................... 4 1.2 Transformace parametru..................... 5

Více

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

7. Integrál přes n-rozměrný interval

7. Integrál přes n-rozměrný interval 7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme

Více

= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1

= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad 1 Vypočtěte integrály a) b) c) d) e) f) g) h) i) j),, = 0,1 1,3 je oblast ohraničená přímkami =,=,=0 1+, :=0,=1,=1,= +3, :=0,=,=0,=1 sin+, 3,,,, :=0,=,= : + 4 : =4+,+3=0

Více

Matematika 2 (2016/2017)

Matematika 2 (2016/2017) Matematika 2 (2016/2017) Co umět ke zkoušce Průběh zkoušky Hodnocení zkoušky Co umět ke zkoušce Vybrané partie diferenciálního počtu funkcí více proměnných Vybrané partie integrálního počtu funkcí více

Více

8.1. Separovatelné rovnice

8.1. Separovatelné rovnice 8. Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Cíle V předchozí kapitole jsme poznali separovaný tvar diferenciální rovnice, který bezprostředně umožňuje nalézt řešení integrací. Eistuje široká skupina

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

VKM/IM /2015. Zintegrujte. f (x, y) dx dy = f (x, y) = (y x) 2, Ω : x 2 + y 2 4, x 0.

VKM/IM /2015. Zintegrujte. f (x, y) dx dy = f (x, y) = (y x) 2, Ω : x 2 + y 2 4, x 0. VKM/IM - 4/5 Zintegrujte f, y) d dy pro f, y) y ), : + y 4,. Řešení: S využitím postupů a výsledků použitých při řešení příkladů z předchozí části věnované dvojnému integrálu, se můžeme bez obav pustit

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

III. Dvojný a trojný integrál

III. Dvojný a trojný integrál E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 III. vojný a trojný integrál III.. Eistence Necht je měřitelná v Jordanově smslu množina v E resp. E a funkce f je omezená na. Necht

Více

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2]. Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y

Více

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R.

8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R. Řešené příklady k extrémům funkcí více proměnných 8 Určete všechny lokální extrémy funkce fx y x + arctg x + y + y x y R Řešení Funkci f si vyjádříme jako součet f + f kde f x x + arctg x x R f y y + y

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Řešení: Nejdříve musíme určit sílu, kterou působí kladka proti směru pohybu padajícího vědra a napíná tak lano. Moment síly otáčení kladky je:

Řešení: Nejdříve musíme určit sílu, kterou působí kladka proti směru pohybu padajícího vědra a napíná tak lano. Moment síly otáčení kladky je: Přijímací zkouška na navazující magisterské studium - 16 Studijní program Fyzika - všechny obory kromě Učitelství fyziky-matematiky pro střední školy, Varianta A Příklad 1 (5 bodů) Jak dlouho bude padat

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Kružnice, kruh, tečny, obsahy, goniometrické funkce, integrace

Více

Matematika pro chemické inženýry

Matematika pro chemické inženýry Matematika pro chemické inženýry Drahoslava Janovská Plošný integrál Přednášky Z 216-217 ponzorováno grantem VŠCHT Praha, PIGA 413-17-6642, 216 Povinná látka. Bude v písemkách a bude se zkoušet při ústní

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

PROGRAMU 2. Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c= =23.07

PROGRAMU 2. Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c= =23.07 VZOROVÉ ŘEŠENÍ A VYSVĚTLENÍ PROGRAMU. Ing. Marek Nikodým Ph.D. Katedra matematiky a deskriptívní geometrie VŠB-TU Ostrava 1 Výpočty v trojúhelníku Je dán trojúhelník ABC v prostoru A[, 3, 3], B[4, 5, ],

Více

Kinematika rektifikace oblouku (Sobotkova a Kochaňského), prostá cykloida, prostá epicykloida, úpatnice paraboly.

Kinematika rektifikace oblouku (Sobotkova a Kochaňského), prostá cykloida, prostá epicykloida, úpatnice paraboly. Kinematika rektifikace oblouku (Sobotkova a Kochaňského), prostá cykloida, prostá epicykloida, úpatnice paraboly. Výpočty trajektorií bodů při složených pohybech. Příklad 1: Je dána kružnice k s poloměrem

Více

ČÁST V F Y Z I K Á L N Í P O L E. 18. Gravitační pole 19. Elektrostatické pole 20. Elektrický proud 21. Magnetické pole 22. Elektromagnetické pole

ČÁST V F Y Z I K Á L N Í P O L E. 18. Gravitační pole 19. Elektrostatické pole 20. Elektrický proud 21. Magnetické pole 22. Elektromagnetické pole Kde se nacházíme? ČÁST V F Y Z I K Á L N Í P O L E 18. Gravitační pole 19. Elektrostatické pole 20. Elektrický proud 21. Magnetické pole 22. Elektromagnetické pole Mapování elektrického pole -jak? Detektorem.Intenzita

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde

Více

3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY

3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY 3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY V této kapitole se dozvíte: jak je geometricky definována kuželosečka zvaná parabola; co je to ohnisko, řídící přímka, vrchol, osa, parametr paraboly; tvar vrcholové

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Petr Hasil

Petr Hasil Základy Vyšší Matematiky Petr Hasil hasil@mendelu.cz Poznámka 1. Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny

Více

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017 Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7 Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno............................ 4. l Hôpitalovo pravidlo povoleno............................

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému

0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému 2 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 1 2 Jméno a příjmení: ID.č. 9.5.2016 1. Řešte diferenciální rovnici: y + 2xy x 2 + 3 = sin x x 2 + 3. y = C cos x x 2 + 1 2. Vypočtěte z 2 e z dz, kde je křivka

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více