Úvod do číslicové filtrace

Transkript

1 Ústav infromačních technologií a elektroniky Technická univerzita v Liberci 2008

2 Osnova

3 Osnova

4 Pojem filtr a filtrace Filtrace je proces, kdy systém (filtr) mění složení vstupního signálu (mechanický, optický, elektrický).

5 Pojem filtr a filtrace Filtrace je proces, kdy systém (filtr) mění složení vstupního signálu (mechanický, optický, elektrický). Filtry: mechanický - např. prachový optický - sluneční brýle elektronický - analogové, digitální

6 Filtrace ve smyslu elektroinženýrském Filtrace je proces měnící frekvenční spektrum vstupního signálu X f (θ) Y f (θ).

7 Filtrace ve smyslu elektroinženýrském Filtrace je proces měnící frekvenční spektrum vstupního signálu X f (θ) Y f (θ). Digitální filtr realizuje proces filtrace diktrétnich signálů.

8 Příklady elektonických filtrů 1 Potlačení šumu - radiové signály, videosignály, bioelektrické signály (EEG, EKG,... ), zvukové signály....

9 Příklady elektonických filtrů 1 Potlačení šumu - radiové signály, videosignály, bioelektrické signály (EEG, EKG,... ), zvukové signály Zvýraznění frekvenčních pásem - grafický ekvalizér (výšky, hloubky), zvukové efekty (ozvěna, hala, koupelna), zaostření obrázků (hrany - ostré přechody - zvýraznění vysokých frekvencí)

10 Příklady elektonických filtrů 1 Potlačení šumu - radiové signály, videosignály, bioelektrické signály (EEG, EKG,... ), zvukové signály Zvýraznění frekvenčních pásem - grafický ekvalizér (výšky, hloubky), zvukové efekty (ozvěna, hala, koupelna), zaostření obrázků (hrany - ostré přechody - zvýraznění vysokých frekvencí) 3 Omezení přenosového pásma v komunikačních kanálech (ADSL, rozhlasové + TV vysílání)

11 Příklady elektonických filtrů 1 Potlačení šumu - radiové signály, videosignály, bioelektrické signály (EEG, EKG,... ), zvukové signály Zvýraznění frekvenčních pásem - grafický ekvalizér (výšky, hloubky), zvukové efekty (ozvěna, hala, koupelna), zaostření obrázků (hrany - ostré přechody - zvýraznění vysokých frekvencí) 3 Omezení přenosového pásma v komunikačních kanálech (ADSL, rozhlasové + TV vysílání) 4 Potlačení/odstranění specifických frekvencí (blokování DC složky, potlačení rušení ze sítě 50/60Hz)

12 Příklady elektonických filtrů 1 Potlačení šumu - radiové signály, videosignály, bioelektrické signály (EEG, EKG,... ), zvukové signály Zvýraznění frekvenčních pásem - grafický ekvalizér (výšky, hloubky), zvukové efekty (ozvěna, hala, koupelna), zaostření obrázků (hrany - ostré přechody - zvýraznění vysokých frekvencí) 3 Omezení přenosového pásma v komunikačních kanálech (ADSL, rozhlasové + TV vysílání) 4 Potlačení/odstranění specifických frekvencí (blokování DC složky, potlačení rušení ze sítě 50/60Hz) 5 Speciální operace - diferenciace, integrace, Hilbertova transformace...

13 Proč digitální filtry? Vlastnosti analogových filtrů aplikace na signály spojité v čase realizace pomocí operačních zesilovačů, rezistorů, kapacitorů teoreticky nekonečný frekveční rozsah (prakticky max. GHz - mikrovlné součástky)

14 Proč digitální filtry? Vlastnosti analogových filtrů aplikace na signály spojité v čase realizace pomocí operačních zesilovačů, rezistorů, kapacitorů teoreticky nekonečný frekveční rozsah (prakticky max. GHz - mikrovlné součástky) Nevýhody analogových filtrů citlivé na šum, nestálost a nepřesnost jednotlivých součástek, nelinearity omezený dynamický rozsah špatná výrobní reprodukovatelnost

15 Proč digitální filtry? Vlastnosti digitálních filtrů aplikace na signály diskrétní v čase (a hodnotách - SC obvody) implementace pomocí aritmetických operací (+,*, mov) vysoce lineární (až na kvantizační šum) flexibilní softwarová implementace => změna parametrů za běhu (adaptivní filtry) perfektní reprodukovatelnost takřka neomezený dynamický rozsah (floating point)

16 Proč digitální filtry? Vlastnosti digitálních filtrů aplikace na signály diskrétní v čase (a hodnotách - SC obvody) implementace pomocí aritmetických operací (+,*, mov) vysoce lineární (až na kvantizační šum) flexibilní softwarová implementace => změna parametrů za běhu (adaptivní filtry) perfektní reprodukovatelnost takřka neomezený dynamický rozsah (floating point) Nevýhody digitálních filtrů frekvenční rozsah dán vzorkovací frekvencí (f r f s/2 vyžadují A/D a D/A převodníky pro kontakt s reálným světem

17 Číslicové filtry v PZS V PZS se budeme zabývat návrhem filtrů

18 Číslicové filtry v PZS V PZS se budeme zabývat návrhem filtrů lineárních a časově invariantních (LTI) LTI systém musí splňovat podmínky: aditivity: je-li y 1 [n],y 2 [n] odezva systému na vstupní signály x 1 [n],x 2 [n], pak odezva systému na signál x 1 [n] + x 2 [n] musí být y 1 [n] + y 2 [n] homogenity: je-li y[n] odezva sytému na x[n], pak odezva na αx[n] musí být αy[n] časové invariance: je-li y[n] odezva sytému na x[n], pak odezva na časově zpožděný x[n k] je y[n k]

19 Číslicové filtry v PZS V PZS se budeme zabývat návrhem filtrů lineárních a časově invariantních (LTI) reálných a racionálních systém je reálný: je-li vstupem reálný signál, pak výstupem je také reálný signál => magnitudová odezva je symetrická, fázová odezva antisymetrická

20 Číslicové filtry v PZS V PZS se budeme zabývat návrhem filtrů lineárních a časově invariantních (LTI) reálných a racionálních systém je racionální: když jeho přenosová funkce je racionální lomená.

21 Číslicové filtry v PZS V PZS se budeme zabývat návrhem filtrů lineárních a časově invariantních (LTI) reálných a racionálních kauzálních systém je kauzální: pokud jeho výstupní signál v čase n 0 tj. y[n 0 ] je nezávislý na hodnotách vstupního signálu v časech n > n 0

22 Číslicové filtry v PZS V PZS se budeme zabývat návrhem filtrů lineárních a časově invariantních (LTI) reálných a racionálních kauzálních stabilních systém je stabilní ve smyslu BIBO: pokud vstupní signál s omezenou velikostí x[n] A vyvolá výstupní signál y[n] s omezenou velikostí y[n] B. A a B jsou libolné kladné konečné konstanty.

23 Popis filtru v časové oblasti Impulzní odezva - odezva na jednotkový puls y[n] = x[n] h[n] = x[k]h[n k] = x[n k]h[k] k= k=

24 Popis filtru v časové oblasti Impulzní odezva - odezva na jednotkový puls Diferenční rovnice y[n] = bx[n] a 1 y[n 1] a 2 y[n 2]

25 Popis filtru v časové oblasti Impulzní odezva - odezva na jednotkový puls Diferenční rovnice Blokové schéma

26 Popis filtru v obrazové oblasti Přenosová funkce filtru je racionální lomená funkce definovaná v z-rovině: H z (z) = bo + b 1z 1 + b 2 z 2 + b qz q 1 + a 1 z 1 + a 2 z 2 + a pz p

27 Popis filtru v obrazové oblasti Přenosová funkce filtru je racionální lomená funkce definovaná v z-rovině: H z (z) = bo + b 1z 1 + b 2 z 2 + b qz q 1 + a 1 z 1 + a 2 z 2 + a pz p Podle přenosové funkce dělíme filtry na: IIR - s nekonečnou impulzní odezvou (p 1 a a p 0) FIR - s konečnou impulzní odezvou (p = 0) a impulzní odezva h[n] FIR filtru je: { bn, 0 n q h[n] = 0, jindy

28 Popis filtru v obrazové oblasti Frekveční charakteristika filtru

29 Dolní propust Horní propust Pásmová propust Pásmová zádrž Vícepásmové filtry Osnova 1 2 Dolní propust Horní propust Pásmová propust Pásmová zádrž Vícepásmové filtry 3 4 5

30 Dolní propust Horní propust Pásmová propust Pásmová zádrž Vícepásmové filtry Ideální filtry

31 Dolní propust Horní propust Pásmová propust Pásmová zádrž Vícepásmové filtry Ideální filtry a) Dolní propust (Low-pass) propouští frekvence od 0 do zlomové frekvence (cut-off) θ 0, blokuje ostatní.

32 Dolní propust Horní propust Pásmová propust Pásmová zádrž Vícepásmové filtry Ideální filtry b) Horní propust (High-pass) propouští frekvence od θ 0 do zlomové frekvence (cut-off) π, blokuje ostatní.

33 Dolní propust Horní propust Pásmová propust Pásmová zádrž Vícepásmové filtry Ideální filtry c) Pásmová propust (Band-pass) propouští frekvence od θ 1 do θ 2, blokuje ostatní.

34 Dolní propust Horní propust Pásmová propust Pásmová zádrž Vícepásmové filtry Ideální filtry d) Pásmová zádrž (Band-stop) blokuje frekvence od θ 1 do θ 2, propouští ostatní.

35 Dolní propust Horní propust Pásmová propust Pásmová zádrž Vícepásmové filtry Dolní propust

36 Dolní propust Horní propust Pásmová propust Pásmová zádrž Vícepásmové filtry Dolní propust Propustné pásmo (pass-band) pro frekvenční rozsah 0 θ θ p platí: 1 δ H f (θ) 1 + δ +

37 Dolní propust Horní propust Pásmová propust Pásmová zádrž Vícepásmové filtry Dolní propust Nepropustné pásmo (pass-band) pro frekvenční rozsah θ s θ π platí: 0 H f (θ) δ s

38 Dolní propust Horní propust Pásmová propust Pásmová zádrž Vícepásmové filtry Dolní propust Přechodové pásmo (transition-band) pro frekvenční rozsah θ p < θ < θ s H f (θ) nedefinována

39 Dolní propust Horní propust Pásmová propust Pásmová zádrž Vícepásmové filtry Dolní propust Zvlnění v propustném pásmu (pass-band ripple) je velikost δ p = max {δ +, δ }, v db A p max {δ +, δ }

40 Dolní propust Horní propust Pásmová propust Pásmová zádrž Vícepásmové filtry Dolní propust Útlum v nepropustném pásmu (stop-band attenuation) δ s v db A s = 20 log 10 δ s

41 Dolní propust Horní propust Pásmová propust Pásmová zádrž Vícepásmové filtry Horní propust

42 Dolní propust Horní propust Pásmová propust Pásmová zádrž Vícepásmové filtry Pásmová propust

43 Dolní propust Horní propust Pásmová propust Pásmová zádrž Vícepásmové filtry Pásmová zádrž

44 Dolní propust Horní propust Pásmová propust Pásmová zádrž Vícepásmové filtry Vícepásmový filtr

45 Osnova

46 Frekvenční odezva Přenosová funkce H z (z) je komplexní funkce komplexní proměnné z (4D zobrazení), zajímá nás vliv H z (z) na spektrum signálu, tj. jen v oblasti z = e jθ

47 Frekvenční odezva Přenosová funkce H z (z) je komplexní funkce komplexní proměnné z (4D zobrazení), zajímá nás vliv H z (z) na spektrum signálu, tj. jen v oblasti z = e jθ Frekvenční odezva H f (θ) je komplexní funkce reálné proměnné θ Složkový tvar: H f (θ) = H f r (θ) + jh f i (θ) Polární tvar: H f (θ) = H f (θ) e jψ(θ)

48 Frekvenční odezva Přenosová funkce H z (z) je komplexní funkce komplexní proměnné z (4D zobrazení), zajímá nás vliv H z (z) na spektrum signálu, tj. jen v oblasti z = e jθ Frekvenční odezva H f (θ) je komplexní funkce reálné proměnné θ Složkový tvar: H f (θ) = H f r (θ) + jh f i (θ) Polární tvar: H f (θ) = H f (θ) e jψ(θ) Magnituda a fáze frekveční odezvy Magnituda: H f (θ) = [Hr f (θ)] 2 + [Hi f (θ)]2 Fáze: Ψ(θ) = viz dále

49 Osnova

50 Definice fázové odezvy Frekvenční odezva H f (θ) Polární tvar: H f (θ) = H f (θ) e jψ(θ)

51 Definice fázové odezvy Frekvenční odezva H f (θ) Polární tvar: H f (θ) = H f (θ) e jψ(θ) Ψ(θ) Ψ(θ) = { atan2{h f i (θ), Hr f (θ)}, H f (θ) 0 nedefinováno, H f (θ) = 0 kde α = atan2(y, x) je unikátní úhel α ( π, π > pro který platí cos(α) = x (x 2 + y 2 ), sin(α) = y (x 2 + y 2 )

52 Průběh atan vs. atan2

53 Osnova 1 2 Dolní propust Horní propust Pásmová propust Pásmová zádrž Vícepásmové filtry 3 4 5

54 Průběh fáze Ψ(θ) je spojitý až na 2 případy: 1 v bodech θ 0 kde Hi f (θ 0 ) = 0 a Hr f (θ) < 0 nabývá hodnoty Ψ(θ 0 ) = π (z definice). Pro Hi f (θ 0 ) < 0 nebo Hf i (θ + 0 ) < 0 nabývá Ψ(θ+ 0 ) nebo Ψ(θ 0 ) hodnoty π. Dochází ke skoku ve fázi 2π (2π nespojitost).

55 Průběh fáze Ψ(θ) je spojitý až na 2 případy: 1 v bodech θ 0 kde Hi f (θ 0 ) = 0 a Hr f (θ) < 0 nabývá hodnoty Ψ(θ 0 ) = π (z definice). Pro Hi f (θ 0 ) < 0 nebo Hf i (θ + 0 ) < 0 nabývá Ψ(θ+ 0 ) nebo Ψ(θ 0 ) hodnoty π. Dochází ke skoku ve fázi 2π (2π nespojitost). 2 v bodech H f (θ 0 ) = 0 (tj. H f i (θ 0 ) = 0 a H r (θ 0 ) = 0) není fáze definována, dochází ke skoku ve fázi o π (π nespojitost).

56 Průběh fáze Ψ(θ) je spojitý až na 2 případy: 1 v bodech θ 0 kde Hi f (θ 0 ) = 0 a Hr f (θ) < 0 nabývá hodnoty Ψ(θ 0 ) = π (z definice). Pro Hi f (θ 0 ) < 0 nebo Hf i (θ + 0 ) < 0 nabývá Ψ(θ+ 0 ) nebo Ψ(θ 0 ) hodnoty π. Dochází ke skoku ve fázi 2π (2π nespojitost). 2 v bodech H f (θ 0 ) = 0 (tj. H f i (θ 0 ) = 0 a H r (θ 0 ) = 0) není fáze definována, dochází ke skoku ve fázi o π (π nespojitost). Počet nespojitostí Necht H z (z) je RCSR (reálná, kauzální, stabilní, racionální), pak H f i (θ) = 0 a H f r (θ 0 ) 0 nastane jen v konečném počtu bodů na intervalu π < 0 π.

57 Průběh fáze Ψ(θ) je spojitý až na 2 případy: 1 v bodech θ 0 kde Hi f (θ 0 ) = 0 a Hr f (θ) < 0 nabývá hodnoty Ψ(θ 0 ) = π (z definice). Pro Hi f (θ 0 ) < 0 nebo Hf i (θ + 0 ) < 0 nabývá Ψ(θ+ 0 ) nebo Ψ(θ 0 ) hodnoty π. Dochází ke skoku ve fázi 2π (2π nespojitost). 2 v bodech H f (θ 0 ) = 0 (tj. H f i (θ 0 ) = 0 a H r (θ 0 ) = 0) není fáze definována, dochází ke skoku ve fázi o π (π nespojitost). Počet nespojitostí Necht H z (z) je RCSR (reálná, kauzální, stabilní, racionální), pak H f i (θ) = 0 a H f r (θ 0 ) 0 nastane jen v konečném počtu bodů na intervalu π < 0 π. Věta o nespojitosti fáze Necht H z (z) je RCSR přenosová funkce. Pak v bodech nespojitosti (konečný počet na π < θ π) se fáze mění bud o 2π nebo π radiánů.

58 Osnova 1 2 Dolní propust Horní propust Pásmová propust Pásmová zádrž Vícepásmové filtry 3 4 5

59 Nespojitá fáze Příklad Necht H z (z) = 1 z 1. Frekvenční odezva je: Magnituda: Fáze: H f (θ) = 1 e jθ = (e j0.5θ + e j0.5θ )e j0.5θ = 2j sin(0.5θ)e j0.5θ Ψ(θ) = H f (θ) = 2 sin(0.5θ)e j(0.5π 0.5θ) H f (θ) = 2 sin(0.5θ) Fáze v bodě θ 0 = 0 nespojitost 2. druhu: { 0.5π 0.5θ, 0 < θ < π 0.5π 0.5θ, π < θ < 0 Ψ(θ 0 ) = 0.5π, Ψ(θ+ 0 ) = 0.5π

60 Nespojitá fáze

61 Reprezentace frekvenční odezvy pomocí spojité fáze Definice Frekvenční odezva RCSR přenosové funkce H z (z) lze vyjádřit jako: H f (θ) = A(θ)e jφ(θ)

62 Reprezentace frekvenční odezvy pomocí spojité fáze Definice Frekvenční odezva RCSR přenosové funkce H z (z) lze vyjádřit jako: H f (θ) = A(θ)e jφ(θ) A(θ) se nazývá amplitudová funkce (reálná, nemusí být kladná).

63 Reprezentace frekvenční odezvy pomocí spojité fáze Definice Frekvenční odezva RCSR přenosové funkce H z (z) lze vyjádřit jako: H f (θ) = A(θ)e jφ(θ) A(θ) se nazývá amplitudová funkce (reálná, nemusí být kladná). Φ(θ) se nazývá spojitá fáze (spojitá funkce)

64 Přechod nespojitá fáze spojitá fáze Krok 1 Najdeme první bod nespojitosti θ 1 napravo od π

65 Přechod nespojitá fáze spojitá fáze Krok 2 Nadefinujeme: A(θ) = H f (θ), Φ(θ) = Ψ(θ), π < θ < θ 1 A(θ 1 ) = lim θ θ1 A(θ), Φ(θ 1 ) = lim θ θ1 Φ(θ)

66 Přechod nespojitá fáze spojitá fáze Krok 3 Najdeme další bod nespojitosti napravo od θ 1 a definujeme A(θ) = ( 1) k H f (θ), Φ(θ) = Ψ(θ) + kπ, θ 1 < θ < θ 2

67 Přechod nespojitá fáze spojitá fáze Krok 4 opakujeme krok 3 dokud neodstraníme poslední bod nespojitosti

68 Přechod nespojitá fáze spojitá fáze Krok 5 Zajistíme jednoznačnost reprezentace: posuneme (přičteme) Φ(θ) o π nebo 2π tak, aby 0 θ(0) < π. Při posunu o π musíme otočit znaménko, tj. A(θ) = A(θ). Při posunu o 2π A(θ) zůstává.

69 Reprezentace pomocí spojité fáze Příklad A(θ) = 2 sin(0.5θ), Φ(θ) = 0.5π 0.5θ

70 Reprezentace pomocí spojité fáze Příklad A(θ) = 2 sin(0.5θ), Φ(θ) = 0.5π 0.5θ

71 Osnova 1 2 Dolní propust Horní propust Pásmová propust Pásmová zádrž Vícepásmové filtry 3 4 5

72 Filtr s lineární fází Necht má číslicový filtr frekvenční odezvu H f (θ) = A(θ)e jθτp, kde τ p = konst.

73 Filtr s lineární fází Necht má číslicový filtr frekvenční odezvu H f (θ) = A(θ)e jθτp, kde τ p = konst. pak se nazývá filtr s lineární fází

74 Filtr s lineární fází Necht má číslicový filtr frekvenční odezvu H f (θ) = A(θ)e jθτp, kde τ p = konst. pak se nazývá filtr s lineární fází konstanta τ p se nazývá fázové zpoždění (ve vzorcích)

75 Celočíselné fázové zpoždění Příklad Mějme filtr H z (z) = z L, H f (θ) = e jθl, kde L je celé číslo. y[n] = x[n] h[n] = IDTFT (H f (θ)x f (θ)) y[n] = 1 2π y[n] = 1 2π π π π π H f (θ)x f (θ)e jθn dθ X f (θ)e jθ(n L) dθ y[n] = x[n L]

76 Celočíselné fázové zpoždění Příklad Mějme filtr H z (z) = z L, H f (θ) = e jθl, kde L je celé číslo. y[n] = x[n] h[n] = IDTFT (H f (θ)x f (θ)) y[n] = 1 2π y[n] = 1 2π π π π π H f (θ)x f (θ)e jθn dθ X f (θ)e jθ(n L) dθ y[n] = x[n L] Má-li filtr konstantní celočíselné fázové zpoždění (lineární fází) na intervalu θ 1 θ θ 2, bude y[n] v tomto pásmu ovlivněn pouze magnitudou a zpožděn o L vzorků.

77 Neceločíselné fázové zpoždění Příklad Mějme filtr H f (θ) = e jθ(l+δ), kde L + δ není celé číslo. y[n] = 1 2π π π [ 1 π ] x[m]e jθm e jθ(n L δ) dθ = 2π π m= y[n] = m= X f (θ)e jθ(n L δ) dθ = m= x[m]sinc(n m L δ) [ 1 π ] x[m] e jθ(n L δ) dθ 2π π

78 Neceločíselné fázové zpoždění Příklad Mějme filtr H f (θ) = e jθ(l+δ), kde L + δ není celé číslo. y[n] = 1 2π π π [ 1 π ] x[m]e jθm e jθ(n L δ) dθ = 2π π m= y[n] = m= X f (θ)e jθ(n L δ) dθ = m= x[m]sinc(n m L δ) [ 1 π ] x[m] e jθ(n L δ) dθ 2π π Má-li filtr konstantní neceločíselné fázové zpoždění (lineární fází) na intervalu θ 1 θ θ 2, bude y[n] v tomto pásmu ovlivněn pouze magnitudou a zpožděn jakoby o L + δ vzorků (sinc interpolace).

79 Fázové zpoždění obecně Pro filtry nemající lineární fázi definujeme: τ p(θ) = φ(θ) θ

80 Příklad Necht má filtr frekvenční odezvu (filtr nemá lineární fázi) e jφ0 jθ(l+δ), θ 1 θ θ 2 H f (θ) = e jφ0 jθ(l+δ), θ 2 θ θ 1 libovolné, jinde kde L je přirozené číslo, δ zlomek, φ 0 fixní úhel a θ 1, θ 2 fixní frekvence. Vstupní signál x[n] (obálka) je amplitudově modulován na nosnou frekvenci θ c, tj. x[n]cos(θ cn). Dále předpokládejme: 1 modulující signál x[n] je pásmově omezený, tj. θ θ 0 2 platí následující nerovnost: θ 1 θ c θ 0 < θ c + θ 0 θ 2 Otázka: Jak bude vypadat výstupní signál?

81 Příklad Necht má filtr frekvenční odezvu (filtr nemá lineární fázi) e jφ0 jθ(l+δ), θ 1 θ θ 2 H f (θ) = e jφ0 jθ(l+δ), θ 2 θ θ 1 libovolné, jinde kde L je přirozené číslo, δ zlomek, φ 0 fixní úhel a θ 1, θ 2 fixní frekvence. Vstupní signál x[n] (obálka) je amplitudově modulován na nosnou frekvenci θ c, tj. x[n]cos(θ cn). Dále předpokládejme: 1 modulující signál x[n] je pásmově omezený, tj. θ θ 0 2 platí následující nerovnost: θ 1 θ c θ 0 < θ c + θ 0 θ 2 Otázka: Jak bude vypadat výstupní signál? y[n] = w[n]cos[θ cn + φ 0 θ c(l + δ)]

82 Filtr se zobecněnou lineární fází (GLP - Generalized linear phase) GLP filtr má frekveční odezvu ve tvaru H f (θ) = A(θ)e j(φ 0 θτ g ) τ g se nazývá skupinové zpoždění (group delay) - ve vzorcích.

83 Filtr se zobecněnou lineární fází (GLP - Generalized linear phase) GLP filtr má frekveční odezvu ve tvaru H f (θ) = A(θ)e j(φ 0 θτ g ) τ g se nazývá skupinové zpoždění (group delay) - ve vzorcích. Skupinové zpoždění pro obecný filtr τ g = dφ(θ) dθ

84 Skupinové zpoždění Výpočet skupinového zpoždění pro obecný filtr τ g(θ) = d dθ arctan2{hf i (θ), H f r (θ)} = dh r f (θ) dθ Hf i (θ) dhf i (θ) dθ Hf r (θ) [H i f (θ)]2 +[Hr f (θ)]2

85 Skupinové zpoždění Výpočet skupinového zpoždění pro obecný filtr τ g(θ) = d dθ arctan2{hf i (θ), H f r (θ)} = dh r f (θ) dθ Hf i (θ) dhf i (θ) dθ Hf r (θ) [H i f (θ)]2 +[Hr f (θ)]2 Výpočet skupinového zpoždění pro FIR H f (θ) = N n=0 h[n]e jθn, dh f (θ) dθ = j N n=0 nh[n]e jθn

86 Skupinové zpoždění Výpočet skupinového zpoždění pro obecný filtr τ g(θ) = d dθ arctan2{hf i (θ), H f r (θ)} = dh r f (θ) dθ Hf i (θ) dhf i (θ) dθ Hf r (θ) [H i f (θ)]2 +[Hr f (θ)]2 Výpočet skupinového zpoždění pro FIR H f (θ) = N n=0 h[n]e jθn, dh f (θ) dθ = j N n=0 nh[n]e jθn Výpočet skupinového zpoždění pro racionální IIR Skupinové zpoždění je dáno rozdílem skuoinového zpoždění čitatele a jmenovatele: τ g(θ) = τ b g (θ) τ a g (θ)

87 Vliv polohy nulových bodů na τ g Příklad H1 z (z) = (1 0.5z 1 )(1 0.2z 1 ), H z 1 z z 2 2 (z) = 0.5(1 2z 1 )(1 0.2z 1 ) 1 z z 2 H3 z (z) = 0.2(1 0.5z 1 )(1 5z 1 ), H z 1 z z 2 4 (z) = 0.1(1 2z 1 )(1 5z 1 ) 1 z z 2

88 Vliv polohy nulových bodů na τ g Příklad H1 z (z) = (1 0.5z 1 )(1 0.2z 1 ), H z 1 z z 2 2 (z) = 0.5(1 2z 1 )(1 0.2z 1 ) 1 z z 2 H3 z (z) = 0.2(1 0.5z 1 )(1 5z 1 ), H z 1 z z 2 4 (z) = 0.1(1 2z 1 )(1 5z 1 ) 1 z z 2 Obrázek: Magnituda filtrů

89 Poloha nul a pólů

90 Skupinové zpoždění H1 z (z) = (1 0.5z 1 )(1 0.2z 1 ), H z 1 z z 2 2 (z) = 0.5(1 2z 1 )(1 0.2z 1 ) 1 z z 2 H3 z (z) = 0.2(1 0.5z 1 )(1 5z 1 ), H z 1 z z 2 4 (z) = 0.1(1 2z 1 )(1 5z 1 ) 1 z z 2

91 Filtr s minimální fází Filtr s minimální fází nemá žádný nulový body vně jednotkového kruhu

92 Filtr s minimální fází Filtr s minimální fází nemá žádný nulový body vně jednotkového kruhu Filtr s maximální fází má všechny nulové body vně jednotkového kruhu

93 Filtr s minimální fází Filtr s minimální fází nemá žádný nulový body vně jednotkového kruhu Filtr s maximální fází má všechny nulové body vně jednotkového kruhu Filtr s smíšenou fází má libovolně rozmístěné nulové body

94 Převod filtru s neminimální na minimální fázi 1 Navrhneme filtr splňující požadavky na magnitudu, ignorujeme fázi

95 Převod filtru s neminimální na minimální fázi 1 Navrhneme filtr splňující požadavky na magnitudu, ignorujeme fázi 2 Najdeme nulové body filtru z n

96 Převod filtru s neminimální na minimální fázi 1 Navrhneme filtr splňující požadavky na magnitudu, ignorujeme fázi 2 Najdeme nulové body filtru z n 3 Nahradíme nuly vně jednotkového kruhu (tj. z n > 1 ) jejich komplexně sdruženými inverzemi, tj. z n z n 1.

97 Převod filtru s neminimální na minimální fázi 1 Navrhneme filtr splňující požadavky na magnitudu, ignorujeme fázi 2 Najdeme nulové body filtru z n 3 Nahradíme nuly vně jednotkového kruhu (tj. z n > 1 ) jejich komplexně sdruženými inverzemi, tj. z n z n 1. 4 Přizpůsobíme zisk (magnitudu) filtru (násobením konstantou K ) tak, aby odpovídal původnímu.

98 - fázovací články mají konstatní magitudovou odezvu H f (θ) = 1 Racionální filtr je all-pass: 1 když má stejný počet nul a pólů

99 - fázovací články mají konstatní magitudovou odezvu H f (θ) = 1 Racionální filtr je all-pass: 1 když má stejný počet nul a pólů 2 každé nule odpovídá koplexně srdužený pól

100 - fázovací články mají konstatní magitudovou odezvu H f (θ) = 1 Racionální filtr je all-pass: 1 když má stejný počet nul a pólů 2 každé nule odpovídá koplexně srdužený pól 3 přenosová fuknkce má tvar: H z (z) = p k=1 α k z 1 1 α k z 1

101 Osnova