12 - Frekvenční metody

Transkript

1 12 - Frekvenční metody Michael Šebek Automatické řízení

2 Proč frekvenční metody? Řídicích systémy se posuzují z časových odezev na určité vstupní signály Naopak v komunikačních systémech častěji užívají frekvenční odezvu (signály většinou sinusovky nebo periodické) Přesto jsou frekvenční metody důležitým doplňkem, neboť z frekvenčních vlastností můžeme odhadnout časové Pracují s naměřenou frekvenční odezvou, nemusíme hledat model To je současně nevýhodou: frekvenční odezva se musí dát naměřit! Metody tedy obvykle fungují jen pro stabilní (a často minimálně fázové) soustavy. Naopak jim nevadí dopravní zpoždění. Často dávají více než jen test CL stability: dávají informaci o velikosti stability či nestability Pro pouhý test CL stability se dnes (máme-li model) nepoužívají Pro zkoumání stability neminimálně-fázových systémů nepoužívej Bodeho graf, ale jen Nyquistův Michael Šebek ARI

3 Nyquistovo kritérium stability Z Cauchyho principu argumentu plyne pro řízení: Nyquistův graf otevřené smyčky obkrouží kritický bod -1 ve směru hodinových ručiček právě tolikrát, kolik je počet ryze nestabilních CL pólů minus počet ryze nestabilních OL pólů. Jinak řečeno: CL systém má právě tolik ryze nestabilních pólů, kolik je počet ryze nestabilních OL pólů plus počet obkroužení bodu -1 Nyquistovým grafem OL po směru hodinových ručiček. Obkroužení proti směru hodinových ručiček se počítají záporně. Nyquistovo kritérium stability CL systém je stabilní počet obkroužení kritického bodu -1 proti směru hodinových ručiček roven počtu ryze nestabilních OL pólů Speciálně pro OL stabilní systém Je-li OL systém stabilní, pak je i CL systém stabilní Nyquistův OL graf neobkrouží kritický bod -1 Michael Šebek Pr-ARI

4 Amplitudová bezpečnost Gain Margin Verze pro stabilní OL přenos, který dá po uzavření smyčky (CL) stabilní systém, tedy OL graf neobkrouží kritický bod. Co se stane, když zvětšujeme zesílení? Fáze zůstává stejná, amplituda roste rezerva v zesílení klesá, až klesne na nulu, graf L( jω) protne kritický bod a CL systém je na mezi stability ω18 K = 3 K = 2 K =1 ω18 Označíme (phase crossover) frekvenci ω : L( jω ) = Definujeme amplitudovou bezpečnost (Gain Margin): GM = 1 L( jω ) 18 GM říká, kolikrát se ještě může zvětšit OL zesílení, než CL ztratí stabilitu Michael Šebek 4

5 Fázová bezpečnost Phase Margin Co se stane, když (za stejných podmínek) naopak zmenšujeme fázi např. přidáním dopravního zpoždění (při stejném zesílení)? amplituda zůstává stejná, fáze roste rezerva ve fázi klesá, až klesne na nulu, graf L( jω) protne kritický bod a CL je na mezi stability ω C Označíme přechodovou (gain crossover) frekvenci ωc : L( jω C) = 1 = db Definujeme fázovou bezpečnost (Phase Margin): PM = 18 + L( jω C ) Říká, o kolik ještě můžeme zmenšit fázi (zvětšit negativní fázi = zpoždění) Někdy vyjadřujeme přímo v dopravním zpoždění θ = PM ω = π 18 PM ω ( ) max rad c deg Michael Šebek ARI c

6 Shrnutí GM je ochrana proti neurčitosti v zesílení: typicky GM > 2 (6dB) PM je ochrana proti neurčitosti dopravního zpoždění: typicky PM >3 1 1 GM 1 GM ω c ω 18 GM [ db] ω 18 PM PM ω c ω 18 ω c Michael Šebek ARI

7 Obrácený případ 1 GM Kromě uvedených případů to může být i opačně (nestabilní OL, stabilní CL): PM L( jω) Pokud graf protne reálnou osu nalevo od -1, definujeme podobně dolní GM pak GM říká, kolikrát můžeme zesílení beztrestně zmenšit podobně, protne-li graf jednot. kružnici v horní polorovině, odměříme PM nahoru Pak PM říká, o kolik můžeme fázi beztrestně zvětšit L( jω) 1 GM PM Michael Šebek ARI

8 GM obecný případ Pokud graf protne zápornou reálnou osu vícekrát na jedné straně uvažujeme to protnutí nejbližší bodu -1 Pokud ji protne na obou stranách, definujeme GM intervalem K Definice Pro CL stabilní Ls zůstane CL stabilní pro všechna L s = ale bude nestabilní pro Ls () = kminl () s a Ls () = k L() s Přitom min () = L() s () kl () s k < k < k min max max k 1 1 k max (, K ) Michael Šebek ARI min max

9 PM obecný případ pokud graf protne jednotkovou kružnici vícekrát na jedné straně uvažujeme to protnutí nejbližší bodu -1 Pokud ji protne na obou stranách definujeme PM intervalem φ Definice Pro CL stabilní při Ls () = L () s zůstane CL stabilní pro všechna ale bude nestabilní pro a Přitom jφ Ls () = e L() s φ < φ < φ min max Ls = e L s jφmin () () jφmax () () Ls = e L s π φ φ min π (, φ ) max Michael Šebek ARI min max

10 Co je špatného na klasických pojmech? Nedostatky klasických pojmů: GM má smysl, když je změna (neurčitost) jen v zesílení PM má smysl, když je změna (neurčitost) jen ve fázi Ale co když je neurčitost v zesílení i fázi současně? Realističtější případ změny (neurčitosti) : v zesílení i fázi současně Ls () = kl () se jφ k [ k, k ], φ [ φ, φ ] min max min max přestože GM i PM jsou O.K., současná změna fáze i zesílení může být problém! je proto lepší použít vzdálenost grafu od kritického bodu tedy moderní přístup s tzv. normou H Michael Šebek ARI

11 Frekvenční odezva uzavřené smyčky Vztah mezi OL a CL frekvenční charakteristikou CL přenos je Ls () T() s = 1 + Ls () přibližně platí T() s 1 pro Ls () velké Ls () pro Ls () malé T() s Ls () protože je typicky Ls () je také typicky T() s velké pro malé frekvence malé pro velké frekvence 1 pro malé frekvence Ls () pro velké frekvence ω << ω c ω >> ω c ω << ω c ω >> ω c ω c Podobně 1 Ss () = 1 + Ls () 1 Michael Šebek ARI

12 Pásmo kolem přechodové frekvence v pásmu kolem ω c je Ls () 1 a T() s může být různé velikost T() s souvisí s PM PM=9 L( jωc) = 9, L( jωc) = j T ( jω ) c = < M, p db < PM=45 L( jω M, p db > c) = 135, L( jωc) = 2 j 2 T( jωc ) 1.36 > 1 Pro 2. řád bez nul se dá odvodit PM M p p = arctan n 2ζ 2ζ ζ , ω = ω ζ ζ 1 = 2 2ζ 1 ζ M p pro ζ > špička není Pozor, neplést s překmitem! návrháři raději užívají PM, protože neurčitost způsobená nelinearitami a zpožděními spíše ovlivňuje fázi Michael Šebek ARI

13 přirozenou frekvenční specifikací je šířka pásma = maximální frekvence, při které výstup rozumně sleduje sinusový vstup řízené systémy bývají dolní propusti: výstup dobře sleduje vstup pro malé ω ( T 1), ale ne pro velké ( T <<1) v klasickém řízení je šířka pásma dána frekvencí, na které má výstup poloviční energii než vstup Z toho y Šířka pásma a přechodová frekvence =.5u 2 2 Y( jω) = ½ U( jω) =.77 U( jω) Y( jω) = U( jω) 3dB šířka pásma rozhoduje o rychlosti odezvy Větší šířka rychlejší náběh, ale větší citlivost na šum a variaci parametrů. Menší šířka pásma pomalejší odezvu, ale obvykle robustnější systém 1 abs M( ω) = T( jω) ω BW db M bandwidth P, ω ω P ω c db P ω c crossover ω 2 db 3 2 Michael Šebek ARI

14 pro 2. řád můžeme odvodit (z M ( ω ) = 1 2) BW n ( ) ω = ω ς + ς ς + Někdy velmi přibližně bereme ωbw ωn (Pozor CL!) ale přesně to platí jen pro ζ = Platí také ωc ωbw 2ωc Předchozího vzorce můžeme spojit se známými T p = ζ = ω T n s T BW = ζω r π 1 ζ n 1.8 ω n 2 ln(%os 1) 2 2 π + ln (%OS 1) 4 ωbw = ( ς ) + ς ς + ς T S Vzorečky ( ) 1 2ς 2 + 4ς 4 4ς >> zeta=:.1:1/sqrt(2); >> faktorbw=sqrt((1-2*zeta.^2)+... sqrt(4*zeta.^4-4*zeta.^2+2)); >> plot(zeta,faktorbw) π ωbw = ( ς ) + ς ς ζ T p ω = ς + ς ς + BW T r ( ) ζ Michael Šebek ARI