Když vyjde desetinné číslo, není to reálný výsledek, nemůžu říct šéfovi, vyrábět 700,988 židlí.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Když vyjde desetinné číslo, není to reálný výsledek, nemůžu říct šéfovi, vyrábět 700,988 židlí."

Transkript

1 Úvod do operačního výzkumu Operační výzkum = Výzkum operací. OV je výzkum systémů samostatných disciplín. Vojenské, strategické a taktické opce. Po skončení války přesun do ekonomie, řešení stavebních a výrobních opcí. Díky počítačům se neřešitelné úlohy staly řešitelnými. Operační výzkum-souhrn disciplín, zabývajících se řešením různých tříd rozhodovacích problémů. Model = z hlediska OV je zjednodušený obraz nějakého reálného systému zjednodušení reality (realitou myslíme např. podnik). Není dobré udělat přesný, příliš složitý model pak nelze použít žádné řešení. Příliš jednoduchý model nelze použít na realitu. Při tvorbě modelu dbáme na: řešitelnost a způsob Optimalizace = pomocí modelu hledáme optimální řešení, strategii např. optimální výrobní program. Optimální řešení = nejlepší řešení. V množině řešení najít to nejlepší řešení, množina je daná omezením tím, co nás v řešení omezuje. Fáze řešení rozhodovacího problému: EM si my musíme vymyslet sami EM 3 výrobky X1 = počet vyrobených židlí X2= počet vyrobených křesel X3= počet vyrobených stolů Řešení: X1 = 700 X2= 500 X3= 200 Když vyjde desetinné číslo, není to reálný výsledek, nemůžu říct šéfovi, vyrábět 700,988 židlí. 1

2 V podmínkách je nutné definovat zaokrouhlování na celá čísla. OPVP přednášky, cvičení - Fábry zjištění závislosti věku a výšky, nutnost vstupů dat Teorie Grafů Euler pan Město, řeka, vedlo tam 7 mostů Úloha zněla z libovolného místa projít po každém městě jen jednou a zase se vrátit zpět do výchozího místa. Připomíná to domeček jedním tahem. Uzly Hrany Uzel stupně č. 3 vychází z něj 3 hrany Teorie uzlů a hran z každého uzlu vychází určitý počet hran. Aby šlo nakreslit jedním tahem, musí být jen dva uzly lichého stupně a ostatní sudého, pokud jsou právě dva uzly lichého stupně a ostatní sudého, lze obrazec kreslit jedním tahem. Pokud jsou dva uzly lichého stupně a ostatní sudého, lze obrazec kreslit jedním tahem, musí se začít v uzlu lichého stupně a v tom druhém uzlu lichého stupně skončíme. Říká se tomu Eulerův tah. Eulerův cyklus (kružnice) všechny uzly mají sudý počet hran. Vždy lze nakreslit jedním tahem. Počet hran se rovná počtu čar, které z uzlu vychází. Úloha čínského listonoše 2

3 Lineární programování = základ OV OPVP přednášky, cvičení - Fábry Př. 1 - Pekárna Pekárna vyrábí housky a chleba. Suroviny mouka, vejce, sůl, kmín. Soli a kmínu je dostatek. Vajec jen 3000 ks na den, mouky 1500 kg/den. Na výrobu 10ti housek je třeba 1kg mouky a 4 vejce. Na chleba je třeba 2 kg mouky a 3 vajíčka. Zisk z 1 housky je Kč 1,10 a z chleba je 10 Kč. Navrhněte výrobu tak, aby Z z prodaného pečiva byl maximální. Vše co vyrobíme i prodáme. (toto je EM) EM - vždy hledáme: 1) Cíl analýzy maximalizace celkového denního zisku 2) Procesy 2 procesy a) Výroba housek b) Výroba chleba 3) Činitele mouka, vajíčka MM (vychází z EM): Když něco maximalizuji tzn. hledáme extrém (max., min.) fce. 1) Účelová (cílová) fce = lineární, musíme specifikovat, zda hledáme minimum nebo maximum tzn. a) maximalizační b)minimalizační 2) Proměnná : x 1, X 2 3) Omezení (omezující podmínky) : a) Lineární rce = b) Lineární nerovnice:, Krok č. 1: Začínáme vždy proměnnými: x 1 počet vyrobených housek v desítkách ks/den X 2 počet vyrobených chlebů za den Pozn. X 1 = počet vyrobených housek v 10 ks za den (zisk je 11 Kč) X 2 = počet vyrobených chlebů za den (zisk je 10 Kč) Krok č. 2 účelová fce: Definice fce má vyjadřovat celkový zisk. Z= 11 X X 2 max. Krok č. 3: Omezení: 1 X X kg/ den mouka 4 X 1 + 3X ks/ den Vejce X 1, X 2 0 Pozn. Když to bude týden, tak budeme dělit 1500/7mi nebo 5ti. 3

4 Lineární programování definice ze skript OPVP přednášky, cvičení - Fábry Lineární programování disciplína operačního výzkumu, která se zabývá řešením rozhodovacích problémů. Musí se zde respektovat určité podmínky a najít řešení, při kterém je cíl splněn co nejlépe. Programování je synonymem pro plánování programů, lineární vyjadřuje, že všechny vazby v modelech jsou vazbami lineárními tzn. že matematické fce jsou fce lineární. V úlohách lineárního programování se vyskytují 2 základní modely: 1. Ekonomický model vyjádření rozhodovacího problému formou jeho slovního, případně číselného popisu. 2. Matematický model matematická formalizace ekonomického modelu rozhodovacího problému. Obsahuje n - počet strukturních proměnných v modelu, m - počet vlastních omezení, c j, j=1,2,..n cenové koeficienty, b i, i=1,2,..m hodnoty pravých stran, a ij, j=1,2,..n, i=1,2,..m tzv. strukturní koeficienty, podmínky Stupně řešení úloh lineárního programování: Základní řešení každé základní řešení ekvivalentní soustavy rovnic, které vyhovuje podmínkám nezápornosti; má maximálně tolik nenulových proměnných, kolik je lineárně nezávislých řádků této soustavy. Přípustné řešení řešení, které splňuje všechny omezující podmínky modelu, tj. soustavu vlastních omezení i podmínky nezápornosti Optimální řešení nejlepší ze všech přípustných řešení Fáze řešení rozhodovacího procesu 1) rozpoznání problému v rámci systému a jeho definice 2) formulace ekonomického modelu cíl analýzy (max. zisk), popis procesů (výroba), popis činitelů (spotřeba omezujících zdrojů), popis mezi procesy a činiteli a cílem analýzy 3) matematický model obsahuje stejné prvky jako ekonomický model 4) řešení matematického modelu 5) interpretace a verifikace výsledků 6) implementace 4

5 Lineární programování - pokračování Cílem je najít optimální výrobu z hlediska zisku. Chceme dosáhnout co největšího celkového zisku. Grafické řešení Př. č. 1 - Pekárna v lineárním programování 10 housek 1 chleba Zásoba Mouka Kg Vejce Ks Zisk MAX Matematický model: 1. Proměnné: x 1 počet housek vyrobených za jeden den (v desítkách) x 2 počet chlebů vyrobených za jeden den 2. Omezení: a. vlastní omezení modelu: x 1 + 2x (na spotřebu mouky) 4x 1 + 3x (na spotřebu vajec) b. podmínky nezápornosti: x 1, x Účelová funkce: 11x x 2 MAX Zápis modelu: x 1 počet housek vyrobených za jeden den (v desítkách) x 2 počet chlebů vyrobených za jeden den x 1 + 2x x 1 + 3x x 1, x 2 0 z = 11x x 2 MAX Řešení: x 1 = 300, x 2 = 600, z =

6 Pro zjištění správné poloroviny musíme zjistit jakýkoli bod mimo přímku a dosadit do rovnice, musí vyhovovat. Uvnitř trojúhelníku jsou takové hodnoty, které vyhovují první omezující podmínce kg mouky stačí na všechny body uvnitř poloroviny. Body v druhém trojúhelníku vyhovují druhé omezující podmínce. Hledáme body, které vyhovují oběma podmínkám průnik! polorovin je o co nás zajímá, nazýváme tuto množinu, množina přípustných řešení. Souřadnice bodů nám dávají přípustný výrobní program cílem je stále maximalizace zisku. Musíme dostat účelovou funkci obrazem účelové funkce je rovina procházející počátkem a odklánějící se nahoru od papíru, papír zvednutý nad tabuli!! Kolmý průmět roviny do papíru dostaneme přímku, všechny body na této přímce odpovídají hodnotě zisku. Zakreslením rovnice 11 x X 2 = jsme zjistili pořád stejnou hodnotu zisku rovna 110. Přímka procházející bodem 0 ukazuje zisk 0. Nemá cenu se zabývat body, kde není žádný zisk, chceme maximalizaci zisku. Budeme se pohybovat dál od osy x a y. Vynásobím si čísla stejnými násobky a dostanu se dál od os. Posouvám přímku do té doby ve stejném úhlu, dokud se nedotýká množiny přípustných řešení, tím maximalizuji zisk. Násobím, dokud se nedostanu nakonec množiny přípustných řešení. Cílem je zjištění kolik se bude vyrábět, nikdy ne z grafu pomocí pravítka!!, musíme dopočítat bod, který splňuje obě rovnice najednou soustava dvou rovnic a dvou neznámých. X1 + 2X2 = 1500 (vynásobím -4) 4X1 + 3X2 = X2 = 3000 X2 = 600 každý den se bude vyrábět 600 chlebů X1 = 300 musíme vynásobit 10 tzn. každý den se bude vyrábět 3000 housek Déle musíme spočítat zisk dosadíme hodnoty X1 a X2 do funkce: Zo = 11x x600 = 9300 Kč/ den Musíme zjistit, jestli nám nezbývá nějaká mouka nebo vejce dosazením do rovnic. V tomto případě spotřebujeme vše. DCV: Zakreslit účelovou fci: 6

7 7

8 Směšovací úloha Míchají se tam dohromady nějaké látka barvy, oleje, krmivo tak, abychom získali nějakou výslednou směs s požadovanými vlastnostmi. Cílem je získat tu směs s co nejnižšími náklady. minimalizujeme. Př.: Máme 4 krmivové směsi: krmiva K1 K2 K3 K4 bílkoviny JEDNOTKY/KG škrob CENA kg Cena = náklady máme získat směs, která bude obsahovat alespoň : 100 jednotek bílkovin, 300 jednotek škrobu a bude vážit alespoň 200 kg. Sestavte MM, pomocí jehož naplánujeme, kolik kterého krmiva máme nakoupit X1 = množství K1 v kilogramech ve výsledné směsi x2 = množství K2 v kilogramech ve výsledné směsi X3= množství K3 v kilogramech ve výsledné směsi X4 = množství K4 v kilogramech ve výsledné směsi Cílem je minimalizovat náklady. Účelová fxe bude tedy nějaká nákladová fce. Z = 20x1 + 80x2+ 60x x4 min Omezení: psát si je zprava 3x2 + x3 + 2x4 100 bílkoviny X1 + 2x2 + 3x3 300 škrob X1 + x2 + X3 + X4 200 škrob Když bychom přišli o 10% ztráty u vaření tak (by ten výsledek byl 220 ) z toho 10% tzn. 1,1 x 200 Podmínky celočíselnosti: tady bychom je nedávali X1,X2,X3,X4 0. Vektor = zápis řešení X 0 T = (X1, X2, X3, X4) X 0 T = (120, 0,60,20) kg směsi ve výsledné směsi, dohromady 200 kg. Dostaneme účelové řešení. Z 0 = 6600 Kč zaplatíme za 200 kg. 8

9 Možnosti zakončení výpočtu: OPVP přednášky, cvičení - Fábry a) b) 9

10 c) OPVP přednášky, cvičení - Fábry d) 10

11 Lineární programování Alternativní optimální řešení-způsob zakončení výpočtu, při kterém nemá úloha LP pouze jediné optimální řešení. Nepřípustné řešení-řešení,kt nevyhovuje alespoň jedné omezující podmínce úlohy. Omezující podmínky-soustava vlastních omezení, podmínky nezápornosti, případně další speciální podmínky definované v úloze LP. Optimální řešení úlohy LP-nejlepší ze všech přípustných řešení. Podmínky nezápornosti-omezení, která zabezpečují, že budou všechny proměnné modelu kladné, případně nulové. Pomocná účelová fce-minimalizační účel fce doplněná k modelu s cílem vyloučit z něj všechny pomocné proměnné a získat tak výchozí základní řešení úlohy LP. Pomocné proměnné-uměle doplněné proměnné k ekvivalentní soustavě rovnic s cílem získat kanonický tvar. Přídavné proměnné-proměnné, které vyjadřují rozdíl mezi kapacitou zdroje a jeho čerpáním(u omezení typu =< ), případně mezi úrovní plnění a minimálním požadavkem (u omezení typu >= ), které se doplňují k modelu pro převedení soustavy nerovnic na soustavu rovnic. Přípustné řešení úlohy LP-řešení,kt splňuje všechny omezující podmínky modelu, tj. soustavu vlastních omezení i podmínky nezápornosti. Rozšířená soustava rovnic-soustava vzniklá z ekvivalentní soustavy rovnic po doplnění pomocných proměnných. Stínové ceny-koef příslušející omezujícím podmínkám ve tvaru nerovnic vyjadřující změnu hodnoty účelové fce na jednotku pravé strany. Účelová (kriteriální) fce-vyjádření cíle optimalizace v matematické podobě. Vlastní omezení-.podmínka ve tvaru nerovnice či rovnice, vyjadřující například omezenou kapacitu zdrojů, technologické vztahy, požadavky odběratelů apod. Základní proměnné-proměnné, kterým v kanonickém tvaru soustavy lin rovnic odpovídá jednotkový vektor-jejich hodnoty jsou rovny hodnotám pravých stran. Základní řešení úlohy LP-každé základní řešení ekvivalentní soustavy rovnic, které vyhovuje podmínkám nezápornosti; má maximám ě tolik nenulových proměnných, kolik je lineárně nezávislých řádků této soustavy. Základní věta LP-má-li úloha LP optimální řešení,má také základní optimální řešení; podle této věty stačí hledat optimální řešení pouze mezi základními řešeními úlohy LP(kterých je konečný počet) Př. TENISOVÝCH RAKET 11

12 X2=480 12

13 13

14 PŘ. mikiny, trička OPVP přednášky, cvičení - Fábry 14

15 X2=400 15

16 Troška teorie z hodiny: Přípustné řešení LP je takové řešení, které vyhovuje všem omezujícím podmínkám úlohy, včetně podmínek nezápornosti. Množina přípustných řešení je množina všech takových řešení konvexní množina buněk jakékoli dva body množiny spojím, tak celá spojnice musí ležet. Hranice je tvořena lineárními množinami útvary. Konvexní POLYEDR (mnohoúhelník), útvar, kde jsou úhly mezi čarami: (krychle, kvádr, čtyřstěn, ) Kulečníková koule je konvexní množina bodů, obličej není. Spojené body musí tvořit rovinu!! V LP je množina přípustných řešení konvexní polyedr!! Pokud by to tak nebylo, základní věta LP by byla neplatná. Vyrovnání nerovnice na rovnici: X1 + 2X2 + X3 = 1500 K levé straně přičítám (je menší nebo rovno) 4X1 + 3X2 + X4 = 3000 Tato soustava je ekvivalentní soustavou rovnic k původní soustavě nerovnic. K nekonečnému počtu řešení existuje určitý počet základních řešení. Tato soustava má nekonečně mnoho řešení, konečný počet řešení je základním řešením. Máme základní proměnné těch je vždy tolik, kolik máme rovnic (2) a nezákladní proměnné jsou ty zbylé (tady také 2 to je náhoda). Základní proměnná může být i strukturní i přidaná, v základním řešení si základní proměnné dopočítáme a nezákladní proměnné jsou 0 volíme. řešení X1 X2 X3 X4 zisk X X Jelikož chceme maximalizovat zisk, vidíme které řešení je maximální! Můžeme očekávat 6 základních řešení, ale všech 6 nemusí existovat. Jsou to základní řešení ekvivalentní soustavy rovnic. Ale pouze některé z nich jsou přípustnými řešeními z hlediska úlohy LP, konkrétně 4 1,2,5,6 řešení 3,4 není přípustné z hlediska podmínek. 16

17 Základní věta LP pokud á úloha LP optimální řešení, pak má také optimální řešení základní. Při hledání optimálního řešení se stačí soustředit na základní řešení, kterých je omezený počet. Alespoň jedno ze základních řešení musí být optimální. 17

18 18

19 19

20 20

21 21

22 22

23 23

24 U portfolia můžeme definovat proměnné: a) velikost investované částky b) podíl - např. 1/6 c) počet nakoupených akcií/obligací Příklad SPORTKA Přesné zadání je k dispozici na webu. - K dispozici 4 mil. => z toho investovat část tak, aby výnos byl min. 300 tis.; do akcií bylo investováno min. ½ investované částky x Kč / ks výnos p.a. riziko akcie % 6 obligace % 3 - Cíl = účel = minimalizovat riziko - Znám cenu CP => mohu mít jejich počet za proměnnou => x 1 = počet akcií, x 2 = počet obligací Z = 6x 1 + 3x 2 (min) Omezující: x 1, x 2 0 x 1, x 2 є Z 500*x *x max. investovaná částka (500*x 1 )*0,1 + (700*x 2 )*0, *x 1 0,5 * (500*x *x 2 ) 250*x 1-350*x 2 0 min. výnos investovaná částka min. z 50% akcie Výpočet pomocí řešitele: akcie obligace množství riziko pravá strana cena za CP Výnos p.a podíl na i Výpočet: 250*x 1-350*x 2 0 => x 1 = 350/250 x 2 = 7/5 x 2 500*7/5 x *x 2 = *x *x 2 = x 2 = / 1400 x 2 = 2857 => x 1 = 2857*7/5 =

25 (500*7/5*x 2 )*0,1 + (700*x 2 )*0,12 = *x *x 2 = *x 2 = x 2 = 1948 => x 1 = 7/5*1948 = 2728 Z = 6x 1 + 3x 2 => 6* *2857 = Z = 6x 1 + 3x 2 => 6* *1948 = X 2 X 1 Průsečíky v grafu jsou 2, *4000, ale neodpovídá zadané podmínce - minimalizovat riziko. Řezné úlohy Příklad PLOT - K dispozici jsou latě 2m - Potřebujeme laťky 80cm -1200ks; 50cm -3100ks; 30cm -500ks Počet neznámých bude počet možností, jak dvoumetrové latě nařezat na 80, 50 a 30cm laťky Cíl = účel = minimální počet rozřezaných 2m latí i cm cm cm odpad Xi = # 2m latí rozřezaných podle i-tého schématu (i = 1, 2,, 9) x 1, x 2,, x 9 0 x 1, x 2, x 9 є Z 2x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1200 (80-ti cm latěk) 25

26 2x 2 + x 3 +4 x 5 +3 x 6 +2 x 7 + x 8 = 3100 (50-ti cm latěk) x 1 + 2x 3 +4 x 4 + x 6 + 3x 7 +5 x 8 +6 x 9 = 500 (30-ti cm latěk) účelová funkce: Z = x 1 + x x 9 min účelová f-ce pro zadání minimalizovat odpad: Z = 10x x x 9 min účelová f-ce pro zadání minimalizovat počet odřezků: Z = x 1 + x 2 + x 3 + x 6 + x 7 + x 9 min Dělící problém Příklad KRMÍTKA A BUDKY Výstava za 20 dní PC krmítka 260 PC budky 570 pracovní doba 8h/den Sklad: 500 prken 110cm; 150 prken 140cm, vruty 3000ks Spotřeba: Krmítko Budka prkno 30cm 1 2 prkno 25cm 1 4 vruty / ks 8 16 čas min Prkno: 110 cm 140 cm Krmítko Budka Schéma x cm cm odpad cm x 10 = # vyrobených krmítek x 11 = # vyrobených budek Účelová funkce = maximalizovat výnos z prodeje : Z = 260*x *x 11 max x 1 = # prken rozřezaných podle schématu číslo 1 x 9 = # prken rozřezaných podle schématu číslo 9 x 10 = # vyrobených krmítek x 11 = # vyrobených budek Omezující: x 1 - x 11 є Z Λ x 1 - x *x *x

27 0,5*x 10 + x x 1 + x 2 + x 3 + x x 5 + x 6 + x 7 + x 8 + x x 1 + 2x 2 + x 3 + 4x 5 + 3x 6 + 2x 7 + x 8 x x 11 3x 1 + 2x 2 + x 3 + 4x 5 + 3x 6 + 2x 7 + x 8 - x 10-2x x 2 + 3x 3 + 4x 4 + 2x 6 + 3x 7 + 4x 8 + 5x 9 x x 11 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 + 2x 6 + 3x 7 + 4x 8 + 5x 9 - x 10-4x 11 0 Řešení Excel: x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 množství výnos pravá strana vruty hodiny 0, cm p m p cm díly cm díly Řešení lindo viz. DÚ příloha. Dopravní problém Příklad BRAMBŮRKY Firma chce otevřít 3 nové provozovny Benešov, Jihlava, Tábor Firma má 2 sklady Humpolec, Pelhřimov Cena za dopravu je uvedena za 1t přepravovaných brambor. Benešov Humpolec Tábor Jihlava Pelhřimov 27

28 výrobna Benešov Jihlava Tábor Týdenní kapacita Sklad skladu v t Humpolec Pelhřimov Týdenní požadavek výrobny v t 140 Otázka je: Odkud kam kolik bude třeba odvézt X ij = objem přepravy (t brambor) mezi i-tým dodavatelem a j-tým odběratelem Z = 330x x x x x x 23 Omezující: (co nesmím překročit kapacity, co musím dodržet požadavky výroben) x 11 + x 12 + x x 21 + x 22 + x x 11 + x 21 = 45 x 12 + x 22 = 60 x 13 + x 23 = 35 (kapacita Humpolec) (kapacita Pelhřimov) (požadavek Benešov) (požadavek Jihlava) (požadavek Tábor) Podmínky: xij 0; i = 1, 2; j = 1, 2, 3 B J T Fiktivní odběratel H P Z = ,- Řešit lze v Excelu. Jedná se o nevyrovnaný dopravní problém = součty kapacit a součty požadavků se liší tuto nerovnováhu lze vyrovnat pomocí fiktivních činitelů (fiktivní odběratel ve skutečnosti nikdo zásobu neodebere, ale vyrovnají se tím součty). 28

29 Kontejnerový dopravní problém Cena přepravy je dána za pronájem vagonu (kontejner), nevztahuje se na jednotku přepravovaného materiálu (cena za 1 kontejner je stejná bez ohledu na míru jeho naplnění tedy zda je plný či prázdný). výrobna Benešov Jihlava Tábor Týdenní kapacita Sklad skladu v t Humpolec Pelhřimov Týdenní požadavek výrobny v t 140 Cena je za 1 vagon odkud kam ; kapacita jednoho kontejneru je 18t x ij = objem přepravy v t mezi i-tým dodavatelem a j-tým odběratelem y ij = počet kontejnerů použitých na přepravu objemu t brambor mezi i-tým dodavatelem a j- tým odběratelem Z = 4200y y y y y y 23 min Omezující: (co nesmím překročit kapacity, co musím dodržet požadavky výroben) x 11 + x 12 + x x 21 + x 22 + x x 11 + x 21 = 45 x 12 + x 22 = 60 x 13 + x 23 = 35 Jak definovat vagóny..??? (kapacita Humpolec) (kapacita Pelhřimov) (požadavek Benešov) (požadavek Jihlava) (požadavek Tábor) x ij 18y ij když y ij = 0 = pak nejede vagon, nevezu do daného místa žádné zboží Podmínky: x ij 0; i = 1, 2; j = 1, 2, 3 y ij 0; i = 1, 2; j = 1, 2, 3; y ij є Z Řešení je v knížce (2.6, str. 46-8), opět možno řešit v Excelu. Přiřazovací problém - přiřazuji vždy 2 skupiny prvků, v obou skupinách je stejný počet prvků a každý smí být přiřazen jen jednomu z druhé skupiny (jako párování v tanečních) - cílem je seskupit prvky z obou skupin tak, aby v páru byl vždy 1 a 1 z každé skupiny prvků - podmínkou je maximalizace celkové spokojenosti DÚ jak zajistit maximální spokojenost na tanečním parketu??? o Index spokojenosti max (spokojenost = ten, kdo chce s někým tančit, s ním také bude v páru) o Body 1 za lingo, 2 za realizaci pro 5 párů 29

30 Příklad BAGRY OPVP přednášky, cvičení - Fábry Firma má 4 garáže, v každé po jednom bagru a 4 staveniště, kde musí pracovat vždy 1 bagr; bagry by měly najet co nejméně km. Michle Prosek Radlice Trója G G G G Nevím, co s tím => vyberu diagonálu => 39km M P R T G1 5 G2 17 G3 5 G Hledám minimum takže najdu nejnižší hodnotu (zabarvím hodnoty, které již nepřipadají do úvahy růžová, pak zelená, pak žlutá a pak zbude poslední volné pole :od součet 32km M P R T G1 5 G2 10 G3 5 G4 12 Otázka je, zda je toto optimum..??? Tento postup nemusí vždy vést k OPTIMÁLNÍMU řešení proč..?? Tak mrk na tuhle tabulku (stačí tam dopsat nulu): M P R T G1 5 G2 10 G3 5 G4 120 Tomuto postupu se říká HEURETICKÝ ALGORITMUS (heuristika). Je založen na rozumné úvaze, úloha se stává řešitelnou v relativně krátkém čase, ale nezaručuje vždy optimální řešení. Heuristických řešení je více, poskytují relativně spolehlivé výsledky, často blízké optimu. Co je v uvedeném příkladě proměnná..? To, co chci zjistit!!! Počet proměnných..?? 16 (4x4) x ij = 1 nebo 0; 1 když i-tý bagr pojede na j-té staveniště; 0 nic nejede nikam (x ij je bivalentní binární nebo také nula-jedničková proměnná to je už slang) i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2, 3, 4 právě 4 proměnné = 1, ostatní = 0 Z chci najet co nejméně Km Z = 5x x x 44 min Omezující: Na každé místo patří právě jeden bagr, každý bagr je přiřazen právě jednomu staveništi 30

31 x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = 1 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = 1 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 = 1 x 41 + x 42 + x 43 + x 44 = 1 x 11 + x 21 + x 31 + x 41 = 1 x 12 + x 22 + x 32 + x 42 = 1 x 13 + x 23 + x 33 + x 43 = 1 x 14 + x 24 + x 34 + x 44 = 1 každý bagr jede právě na 1 staveniště na každé staveniště pojede právě 1 bagr OPVP přednášky, cvičení - Fábry V Excelu lze zadat podmínku binárnosti tam, kde se zadává podmínka celočíselnosti. Teorie grafů Pro začátek zapomeneme na to, že tohle (to nahoře) je graf!!! 6 Protože tohle je graf: Skládá se ze dvou množin prvků: = uzly = hrany Hrana je - orientovaná (jako jednosměrka) - neorientovaná (obousměrná) Na 51 a 52 straně je příklad s mosty (najít cestu tak, abych po každém mostě šla jen jednou lze to znázornit i pomocí grafu ;o) Neorientovaný graf takový, který má všechny hrany neorientované Orientovaný graf takový, který má všechny hrany orientované (dohoda je, že mixlý graf nebereme) Cesta mezi dvojicí uzlů i a j je taková posloupnost na sebe vzájemně navazujících hran, která začíná v uzlu i a končí v uzlu j Orientovaná cesta má smysl jen v orientovaném grafu; je taková cesta, která respektuje orientaci všech hran (v obrázku výše by to byla cesta 1-6) 31

32 Neorientovaná cesta má smysl jen v orientovaném grafu; je taková cesta, která nemusí respektovat orientaci hran (v obrázku výše by to byla cesta 6-1) Cyklus = uzavřená cesta je taková cesta, která začíná a končí ve stejném uzlu (je to cesta přes různé uzly, přičemž bych neměla žádným uzlem projít 2x) Souvislý graf mezi každou dvojicí uzlů existuje alespoň jedna cesta (v orientovaném grafu alespoň jedna neorientovaná cesta); na obrázku níže je jeden nesouvislý graf Úplný graf mezi každou dvojicí uzlů existuje hrana Strom graf, který nemá cyklus je acyklický musí být souvislý měl by být neorientovaný uzlů je vždy o 1 víc než hran (když jednu hranu umažu, stane se z grafu nesouvislý graf, když naopak jednu přidám, vznikne cyklus a tím pádem už to není strom). Ke každé hraně mohu přidat číslo mohu ji ohodnotit (obvykle tím zaznamenávám vzdálenost mezi jednotlivými uzly) takový graf se nazývá hranově ohodnocený Uzlově ohodnocený graf ohodnotím jednotlivé uzly (to nebudeme moc používat) Síť síťový graf je graf souvislý, orientovaný, hranově nebo uzlově ohodnocený a má 1 vstup a 1 výstup - vstup uzel, ze kterého hrany jen vystupují - Výstup uzel, do kterého hrany pouze vstupují Úkol Taneční Navrhněte způsob, jak zajistit maximální celkovou spokojenost všech tanečních párů v tanečním sále. (1 bod). Uvedený způsob demonstrujte na příkladu s 5 dívkami a 5 chlapci v tanečním kurzu. Úlohu vyřešte v MS Excel (2 body). 32

33 Tzn. teď x11 + X12+X13.. NEDOPOČÍTÁVALI JSME TO!!! 33

34 34

35 35

36 36

37 Doučko: 37

38 38

39 Úkoly Kostra, Cesta a Tok U následujícího grafu najděte: OPVP přednášky, cvičení - Fábry 1. Jeho minimální kostru (2 body). 2. Nejkratší cesty z uzlu č. 1 do všech ostatních uzlů (2 body). 3. Hodnotu maximálního toku z uzlu č. 1 do uzlu č. 7 (2 body). 39

Obecná úloha lineárního programování. Úloha LP a konvexní množiny Grafická metoda. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Obecná úloha lineárního programování. Úloha LP a konvexní množiny Grafická metoda. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno Přednáška č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Optimalizace portfolia Investor se s pomocí makléře rozhoduje mezi následujícími investicemi: akcie A, akcie B, státní pokladniční poukázky, dluhopis A, dluhopis

Více

Matematické modelování 4EK201

Matematické modelování 4EK201 Matematické modelování 4EK0 Ukázkový test Maimum 00 bodů. Pokud má úloha lineárního programování více optimálních řešení, pak (a) jich může být nekonečně mnoho, (b) jich musí být nekonečně mnoho.. Doplňte

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Ekonomická formulace. Matematický model

Ekonomická formulace. Matematický model Ekonomická formulace Firma balící bonboniéry má k dispozici 60 čokoládových, 60 oříškových a 85 karamelových bonbónů. Může vyrábět dva druhy bonboniér. Do první bonboniéry se dávají dva čokoládové, šest

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Příklady modelů lineárního programování

Příklady modelů lineárního programování Příklady modelů lineárního programování Příklad 1 Optimalizace výroby konzerv. Podnik vyrábí nějaký výrobek, který prodává v 1 kg a 2 kg konzervách, přičemž se řídí podle následujících velmi zjednodušených

Více

Lineární programování

Lineární programování 24.9.205 Lineární programování Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 203/204 Obsah Úloha lineárního programování. Formulace úlohy lineárního programování. Typické úlohy lineárního programování.

Více

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat

Více

Optimalizace. Obsah přednášky. DÚ LP - Okružní problém. Lineární optimalizace. DÚ LP - Okružní problém. DÚ LP - Okružní problém

Optimalizace. Obsah přednášky. DÚ LP - Okružní problém. Lineární optimalizace. DÚ LP - Okružní problém. DÚ LP - Okružní problém Obsah přednášky Mgr. Květuše Sýkorová Optimalizace Lineární programování Distribuční úlohy Okružní problém KI Př UJEP Ústí nad Labem Nederivační metody Metody 1D optimalizace Derivační metody Optimalizace

Více

Matematický model. omezující podmínky. Tab. 2.1 Prvky ekonomického a matematického modelu

Matematický model. omezující podmínky. Tab. 2.1 Prvky ekonomického a matematického modelu 16 Čeho chceme dosáhnout? Co můžeme ovlivnit? Jaké jsou překážky? Ekonomický model cíl analýzy procesy činitelé Matematický model účelová funkce proměnné omezující podmínky Příklady maximalizace zisku

Více

Konvexní množiny Formulace úloh lineárního programování. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Konvexní množiny Formulace úloh lineárního programování. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno Přednáška č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Euklidovský prostor E n Pod pojmem n-rozměrný euklidovský prostor budeme rozumnět prostor, jehož prvky jsou uspořádané n-tice reálných čísel X = (x 1, x 2,...,

Více

Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel. Výpočet budeme demonstrovat

Více

Lineární programování

Lineární programování Lineární programování Úlohy LP patří mezi takové úlohy matematického programování, ve kterých jsou jak kriteriální funkce, tak i všechny rovnice a nerovnice podmínek výhradně tvořeny lineárními výrazy.

Více

Metody síťové analýzy

Metody síťové analýzy Metody síťové analýzy Řeší problematiku složitých systémů, zejména pak vazby mezi jejich jednotlivými prvky. Vychází z teorie grafů. Základní metody síťové analýzy: CPM (Critical Path Method) deterministický

Více

Parametrické programování

Parametrické programování Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou

Více

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. @021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

7. přednáška Systémová analýza a modelování. Přiřazovací problém

7. přednáška Systémová analýza a modelování. Přiřazovací problém Přiřazovací problém Přiřazovací problémy jsou podtřídou logistických úloh, kde lze obecně říci, že m dodavatelů zásobuje m spotřebitelů. Dalším specifikem je, že kapacity dodavatelů (ai) i požadavky spotřebitelů

Více

Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13.

Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13. Grafy doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 13. března 2017 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Grafy 104 / 309 Osnova přednášky Grafy

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Operační výzkum. Přiřazovací problém.

Operační výzkum. Přiřazovací problém. Operační výzkum Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ..7/2.2./28.326

Více

7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n.

7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n. 7 Konvexní množiny Motivace. Lineární programování (LP) řeší problém nalezení minima (resp. maxima) lineárního funkcionálu na jisté konvexní množině. Z bohaté škály úloh z této oblasti jmenujme alespoň

Více

15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace

15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace @173 15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace Jak jsme se dozvěděli v 3. lekci tohoto kurzu, je obrazem rovnice ax + by + c = 0, a,b,c R (a; b) (0; 0) přímka a obrazem nerovnic ax + by + c 0, a,b,c

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory]

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] Část I Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] V matematice grafem obvykle rozumíme grafické znázornění funkční závislosti. Pro tento předmět je však podstatnější pohled jiný. V teorii grafů rozumíme

Více

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém 1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...

Více

Systémové modelování. Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování

Systémové modelování. Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování Modelování Modelování je způsob zkoumání reality, při němž složitost, chování a další vlastnosti jednoho celku vyjadřujeme složitostí, chováním a

Více

Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem

Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem 1.1 Úvod Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem Naprogramoval jsem v Matlabu funkci, která dokáže určit nejkratší cestu v orientovaném grafu mezi libovolnými dvěma vrcholy. Nastudoval

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

CVIČNÝ TEST 48. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 48. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 48 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán konvexní čtyřúhelník, jehož vnitřní

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

Přiřazovací problém. Přednáška č. 7

Přiřazovací problém. Přednáška č. 7 Přiřazovací problém Přednáška č. 7 Přiřazovací problém je jednou podtřídou logistických úloh. Typickým problémem může být nejkratší převoz materiálu od dodavatelů ke spotřebitelům. spotřebitelé a i dodavatelé

Více

4EK314 Diskrétní modely Příklady

4EK314 Diskrétní modely Příklady 4EK314 Diskrétní modely Příklady Jan Fábry Fakulta informatiky a statistiky Katedra ekonometrie fabry@vse.cz http://nb.vse.cz/~fabry Únor 2016, Praha Jan Fábry Diskrétní modely - příklady 1 / 28 Cvičení

Více

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326

Více

1.1 Typy úloh LP. Klíčová slova: úlohy LP, formulace modelu. 1. Formulace ekonomického modelu.

1.1 Typy úloh LP. Klíčová slova: úlohy LP, formulace modelu. 1. Formulace ekonomického modelu. Klíčová slova: úlohy LP, formulace modelu. 1 Úlohy Lineárního programování Lineární programování je jednou z částí operačního výzkumu a zpravidla se používá pro řešení optimalizačních úloh ekonomických

Více

13. Lineární programování

13. Lineární programování Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI

Více

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE. Optimalizace trasy při revizích elektrospotřebičů

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE. Optimalizace trasy při revizích elektrospotřebičů VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Hlavní specializace: Ekonometrie a operační výzkum Název diplomové práce Optimalizace trasy při revizích elektrospotřebičů Diplomant: Vedoucí

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

7.5.3 Hledání kružnic II

7.5.3 Hledání kružnic II 753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje

Více

CVIČNÝ TEST 22. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 22. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 22 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Kontroloři Státní zemědělské a potravinářské inspekce

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

CVIČNÝ TEST 51. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 51. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 51 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V obchodě s kouzelnickými potřebami v Kocourkově

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY

EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY UNIVERZITA OBRANY KATEDRA EKONOMETRIE UČEBNÍ TEXT PRO DISTANČNÍ STUDIUM EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY RNDr. Michal ŠMEREK doc. RNDr. Jiří MOUČKA, Ph.D. B r n o 2 0 0 8 Anotace: Skriptum Ekonomicko-matematické

Více

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u. Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

Základy informatiky. Teorie grafů. Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová

Základy informatiky. Teorie grafů. Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová Základy informatiky Teorie grafů Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová Obsah přednášky Barvení mapy Teorie grafů Definice Uzly a hrany Typy grafů Cesty, cykly, souvislost grafů Barvení mapy

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic Lineární funkce, rovnice a nerovnice Soustavy lineárních rovnic motivace Využívají se napřklad při analytickém vyšetřování vzájemné polohy dvou přímek v rovině a prostoru. Při řešení některých slovních

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)

Více

CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 2 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Od součtu libovolného čísla x a čísla 256 odečtěte číslo x zmenšené o 256.

Více

5 Orientované grafy, Toky v sítích

5 Orientované grafy, Toky v sítích Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5 Orientované grafy, Toky v sítích Nyní se budeme zabývat typem sít ových úloh, ve kterých není podstatná délka hran a spojení, nýbž jejich propustnost

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Pokročilé matematické modely a metody

Pokročilé matematické modely a metody Pokročilé matematické modely a metody Jan Fábry ŠKODA AUTO Vysoká škola Katedra logistiky, kvality a automobilové techniky fabry@savs.cz http://nb.vse.cz/~fabry Leden 2017, Mladá Boleslav Jan Fábry Pokročilé

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

9. Soustava lineárních rovnic

9. Soustava lineárních rovnic @097 9. Soustava lineárních rovnic Definice: Nechť x, y, z, t,... jsou reálné proměnné, a, b, c, d,... jsou reálné konstanty. Kombinace proměnných a konstant tvaru ax+b=0, ax+by+c=0, ax+by+cz+d=0, ax+by+cz+dt+e=0,

Více

Těleso racionálních funkcí

Těleso racionálních funkcí Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso

Více

Hlavolamy a teorie grafů

Hlavolamy a teorie grafů Hlavolamy a teorie grafů Petr Kovář 1 petr.kovar@vsb.cz 1 Vysolá škola báňská Technická univerzita Ostrava, Škola matematického modelování, 2009 Přehled přednášky Úloha hanojských věží Část 1. Co není

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

Funkce pro učební obory

Funkce pro učební obory Variace 1 Funkce pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Cvičení z Lineární algebry 1

Cvičení z Lineární algebry 1 Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice

Více

6 Simplexová metoda: Principy

6 Simplexová metoda: Principy 6 Simplexová metoda: Principy V této přednášce si osvětlíme základy tzv. simplexové metody pro řešení úloh lineární optimalizace. Tyto základy zahrnují přípravu kanonického tvaru úlohy, definici a vysvětlení

Více

3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel

3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel 3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel Rovnováha mechanické soustavy Uvažujme dvě různé nehmotné lineární pružiny P 1 a P 2 připevněné na pevné horizontální tyči splývající s osou x podle obrázku: (0,0)

Více

Optimalizace obecný úvod. [proč optimalizovat?] Formalizace problému. [existují podobné problémy?]

Optimalizace obecný úvod. [proč optimalizovat?] Formalizace problému. [existují podobné problémy?] Optimalizace obecný úvod 1 Optimalizace obecný úvod Motivace optimalizačních úloh [proč optimalizovat?] Formalizace problému [jak obecně popsat optimalizační úlohu?] Klasifikace optimalizačních problémů

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

HEURISTICKÉ ALGORITMY PRO ŘEŠENÍ ÚLOH OBCHODNÍHO CESTUJÍCÍHO

HEURISTICKÉ ALGORITMY PRO ŘEŠENÍ ÚLOH OBCHODNÍHO CESTUJÍCÍHO HEURISTICKÉ ALGORITMY PRO ŘEŠENÍ ÚLOH OBCHODNÍHO CESTUJÍCÍHO Heuristické algoritmy jsou speciálními algoritmy, které byly vyvinuty pro obtížné úlohy, jejichž řešení je obtížné získat v rozumném čase. Mezi

Více

Geometrické vyhledávání

Geometrické vyhledávání mnohoúhelníky a jejich vlastnosti lokalizace bodu vůči konvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či vnější lokalizace bodu vůči nekonvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či

Více

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017 Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka

Více

Postup při řešení matematicko-fyzikálně-technické úlohy

Postup při řešení matematicko-fyzikálně-technické úlohy Postup při řešení matematicko-fyzikálně-technické úlohy Michal Kolesa Žádná část této publikace NESMÍ být jakkoliv reprodukována BEZ SOUHLASU autora! Poslední úpravy: 3.7.2010 Úvod Matematicko-fyzikálně-technické

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby

Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby Matematika - 1. ročník Používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků Rozezná, pojmenuje, vymodeluje a popíše základní rovinné

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

I. kolo kategorie Z7

I. kolo kategorie Z7 60. ročník Matematické olympiády I. kolo kategorie Z7 Z7 I 1 Součin číslic libovolného vícemístného čísla je vždy menší než toto číslo. Pokud počítáme součin číslic daného vícemístného čísla, potom součin

Více

Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován:

Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován: 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou :. ) Určete, pro která R není daný výraz definován: 3) Určete obor hodnot funkce Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) f : y 4 3. 4 8 5 1 4) Vyšetřete vzájemnou

Více