Když vyjde desetinné číslo, není to reálný výsledek, nemůžu říct šéfovi, vyrábět 700,988 židlí.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Když vyjde desetinné číslo, není to reálný výsledek, nemůžu říct šéfovi, vyrábět 700,988 židlí."

Transkript

1 Úvod do operačního výzkumu Operační výzkum = Výzkum operací. OV je výzkum systémů samostatných disciplín. Vojenské, strategické a taktické opce. Po skončení války přesun do ekonomie, řešení stavebních a výrobních opcí. Díky počítačům se neřešitelné úlohy staly řešitelnými. Operační výzkum-souhrn disciplín, zabývajících se řešením různých tříd rozhodovacích problémů. Model = z hlediska OV je zjednodušený obraz nějakého reálného systému zjednodušení reality (realitou myslíme např. podnik). Není dobré udělat přesný, příliš složitý model pak nelze použít žádné řešení. Příliš jednoduchý model nelze použít na realitu. Při tvorbě modelu dbáme na: řešitelnost a způsob Optimalizace = pomocí modelu hledáme optimální řešení, strategii např. optimální výrobní program. Optimální řešení = nejlepší řešení. V množině řešení najít to nejlepší řešení, množina je daná omezením tím, co nás v řešení omezuje. Fáze řešení rozhodovacího problému: EM si my musíme vymyslet sami EM 3 výrobky X1 = počet vyrobených židlí X2= počet vyrobených křesel X3= počet vyrobených stolů Řešení: X1 = 700 X2= 500 X3= 200 Když vyjde desetinné číslo, není to reálný výsledek, nemůžu říct šéfovi, vyrábět 700,988 židlí. 1

2 V podmínkách je nutné definovat zaokrouhlování na celá čísla. OPVP přednášky, cvičení - Fábry zjištění závislosti věku a výšky, nutnost vstupů dat Teorie Grafů Euler pan Město, řeka, vedlo tam 7 mostů Úloha zněla z libovolného místa projít po každém městě jen jednou a zase se vrátit zpět do výchozího místa. Připomíná to domeček jedním tahem. Uzly Hrany Uzel stupně č. 3 vychází z něj 3 hrany Teorie uzlů a hran z každého uzlu vychází určitý počet hran. Aby šlo nakreslit jedním tahem, musí být jen dva uzly lichého stupně a ostatní sudého, pokud jsou právě dva uzly lichého stupně a ostatní sudého, lze obrazec kreslit jedním tahem. Pokud jsou dva uzly lichého stupně a ostatní sudého, lze obrazec kreslit jedním tahem, musí se začít v uzlu lichého stupně a v tom druhém uzlu lichého stupně skončíme. Říká se tomu Eulerův tah. Eulerův cyklus (kružnice) všechny uzly mají sudý počet hran. Vždy lze nakreslit jedním tahem. Počet hran se rovná počtu čar, které z uzlu vychází. Úloha čínského listonoše 2

3 Lineární programování = základ OV OPVP přednášky, cvičení - Fábry Př. 1 - Pekárna Pekárna vyrábí housky a chleba. Suroviny mouka, vejce, sůl, kmín. Soli a kmínu je dostatek. Vajec jen 3000 ks na den, mouky 1500 kg/den. Na výrobu 10ti housek je třeba 1kg mouky a 4 vejce. Na chleba je třeba 2 kg mouky a 3 vajíčka. Zisk z 1 housky je Kč 1,10 a z chleba je 10 Kč. Navrhněte výrobu tak, aby Z z prodaného pečiva byl maximální. Vše co vyrobíme i prodáme. (toto je EM) EM - vždy hledáme: 1) Cíl analýzy maximalizace celkového denního zisku 2) Procesy 2 procesy a) Výroba housek b) Výroba chleba 3) Činitele mouka, vajíčka MM (vychází z EM): Když něco maximalizuji tzn. hledáme extrém (max., min.) fce. 1) Účelová (cílová) fce = lineární, musíme specifikovat, zda hledáme minimum nebo maximum tzn. a) maximalizační b)minimalizační 2) Proměnná : x 1, X 2 3) Omezení (omezující podmínky) : a) Lineární rce = b) Lineární nerovnice:, Krok č. 1: Začínáme vždy proměnnými: x 1 počet vyrobených housek v desítkách ks/den X 2 počet vyrobených chlebů za den Pozn. X 1 = počet vyrobených housek v 10 ks za den (zisk je 11 Kč) X 2 = počet vyrobených chlebů za den (zisk je 10 Kč) Krok č. 2 účelová fce: Definice fce má vyjadřovat celkový zisk. Z= 11 X X 2 max. Krok č. 3: Omezení: 1 X X kg/ den mouka 4 X 1 + 3X ks/ den Vejce X 1, X 2 0 Pozn. Když to bude týden, tak budeme dělit 1500/7mi nebo 5ti. 3

4 Lineární programování definice ze skript OPVP přednášky, cvičení - Fábry Lineární programování disciplína operačního výzkumu, která se zabývá řešením rozhodovacích problémů. Musí se zde respektovat určité podmínky a najít řešení, při kterém je cíl splněn co nejlépe. Programování je synonymem pro plánování programů, lineární vyjadřuje, že všechny vazby v modelech jsou vazbami lineárními tzn. že matematické fce jsou fce lineární. V úlohách lineárního programování se vyskytují 2 základní modely: 1. Ekonomický model vyjádření rozhodovacího problému formou jeho slovního, případně číselného popisu. 2. Matematický model matematická formalizace ekonomického modelu rozhodovacího problému. Obsahuje n - počet strukturních proměnných v modelu, m - počet vlastních omezení, c j, j=1,2,..n cenové koeficienty, b i, i=1,2,..m hodnoty pravých stran, a ij, j=1,2,..n, i=1,2,..m tzv. strukturní koeficienty, podmínky Stupně řešení úloh lineárního programování: Základní řešení každé základní řešení ekvivalentní soustavy rovnic, které vyhovuje podmínkám nezápornosti; má maximálně tolik nenulových proměnných, kolik je lineárně nezávislých řádků této soustavy. Přípustné řešení řešení, které splňuje všechny omezující podmínky modelu, tj. soustavu vlastních omezení i podmínky nezápornosti Optimální řešení nejlepší ze všech přípustných řešení Fáze řešení rozhodovacího procesu 1) rozpoznání problému v rámci systému a jeho definice 2) formulace ekonomického modelu cíl analýzy (max. zisk), popis procesů (výroba), popis činitelů (spotřeba omezujících zdrojů), popis mezi procesy a činiteli a cílem analýzy 3) matematický model obsahuje stejné prvky jako ekonomický model 4) řešení matematického modelu 5) interpretace a verifikace výsledků 6) implementace 4

5 Lineární programování - pokračování Cílem je najít optimální výrobu z hlediska zisku. Chceme dosáhnout co největšího celkového zisku. Grafické řešení Př. č. 1 - Pekárna v lineárním programování 10 housek 1 chleba Zásoba Mouka Kg Vejce Ks Zisk MAX Matematický model: 1. Proměnné: x 1 počet housek vyrobených za jeden den (v desítkách) x 2 počet chlebů vyrobených za jeden den 2. Omezení: a. vlastní omezení modelu: x 1 + 2x (na spotřebu mouky) 4x 1 + 3x (na spotřebu vajec) b. podmínky nezápornosti: x 1, x Účelová funkce: 11x x 2 MAX Zápis modelu: x 1 počet housek vyrobených za jeden den (v desítkách) x 2 počet chlebů vyrobených za jeden den x 1 + 2x x 1 + 3x x 1, x 2 0 z = 11x x 2 MAX Řešení: x 1 = 300, x 2 = 600, z =

6 Pro zjištění správné poloroviny musíme zjistit jakýkoli bod mimo přímku a dosadit do rovnice, musí vyhovovat. Uvnitř trojúhelníku jsou takové hodnoty, které vyhovují první omezující podmínce kg mouky stačí na všechny body uvnitř poloroviny. Body v druhém trojúhelníku vyhovují druhé omezující podmínce. Hledáme body, které vyhovují oběma podmínkám průnik! polorovin je o co nás zajímá, nazýváme tuto množinu, množina přípustných řešení. Souřadnice bodů nám dávají přípustný výrobní program cílem je stále maximalizace zisku. Musíme dostat účelovou funkci obrazem účelové funkce je rovina procházející počátkem a odklánějící se nahoru od papíru, papír zvednutý nad tabuli!! Kolmý průmět roviny do papíru dostaneme přímku, všechny body na této přímce odpovídají hodnotě zisku. Zakreslením rovnice 11 x X 2 = jsme zjistili pořád stejnou hodnotu zisku rovna 110. Přímka procházející bodem 0 ukazuje zisk 0. Nemá cenu se zabývat body, kde není žádný zisk, chceme maximalizaci zisku. Budeme se pohybovat dál od osy x a y. Vynásobím si čísla stejnými násobky a dostanu se dál od os. Posouvám přímku do té doby ve stejném úhlu, dokud se nedotýká množiny přípustných řešení, tím maximalizuji zisk. Násobím, dokud se nedostanu nakonec množiny přípustných řešení. Cílem je zjištění kolik se bude vyrábět, nikdy ne z grafu pomocí pravítka!!, musíme dopočítat bod, který splňuje obě rovnice najednou soustava dvou rovnic a dvou neznámých. X1 + 2X2 = 1500 (vynásobím -4) 4X1 + 3X2 = X2 = 3000 X2 = 600 každý den se bude vyrábět 600 chlebů X1 = 300 musíme vynásobit 10 tzn. každý den se bude vyrábět 3000 housek Déle musíme spočítat zisk dosadíme hodnoty X1 a X2 do funkce: Zo = 11x x600 = 9300 Kč/ den Musíme zjistit, jestli nám nezbývá nějaká mouka nebo vejce dosazením do rovnic. V tomto případě spotřebujeme vše. DCV: Zakreslit účelovou fci: 6

7 7

8 Směšovací úloha Míchají se tam dohromady nějaké látka barvy, oleje, krmivo tak, abychom získali nějakou výslednou směs s požadovanými vlastnostmi. Cílem je získat tu směs s co nejnižšími náklady. minimalizujeme. Př.: Máme 4 krmivové směsi: krmiva K1 K2 K3 K4 bílkoviny JEDNOTKY/KG škrob CENA kg Cena = náklady máme získat směs, která bude obsahovat alespoň : 100 jednotek bílkovin, 300 jednotek škrobu a bude vážit alespoň 200 kg. Sestavte MM, pomocí jehož naplánujeme, kolik kterého krmiva máme nakoupit X1 = množství K1 v kilogramech ve výsledné směsi x2 = množství K2 v kilogramech ve výsledné směsi X3= množství K3 v kilogramech ve výsledné směsi X4 = množství K4 v kilogramech ve výsledné směsi Cílem je minimalizovat náklady. Účelová fxe bude tedy nějaká nákladová fce. Z = 20x1 + 80x2+ 60x x4 min Omezení: psát si je zprava 3x2 + x3 + 2x4 100 bílkoviny X1 + 2x2 + 3x3 300 škrob X1 + x2 + X3 + X4 200 škrob Když bychom přišli o 10% ztráty u vaření tak (by ten výsledek byl 220 ) z toho 10% tzn. 1,1 x 200 Podmínky celočíselnosti: tady bychom je nedávali X1,X2,X3,X4 0. Vektor = zápis řešení X 0 T = (X1, X2, X3, X4) X 0 T = (120, 0,60,20) kg směsi ve výsledné směsi, dohromady 200 kg. Dostaneme účelové řešení. Z 0 = 6600 Kč zaplatíme za 200 kg. 8

9 Možnosti zakončení výpočtu: OPVP přednášky, cvičení - Fábry a) b) 9

10 c) OPVP přednášky, cvičení - Fábry d) 10

11 Lineární programování Alternativní optimální řešení-způsob zakončení výpočtu, při kterém nemá úloha LP pouze jediné optimální řešení. Nepřípustné řešení-řešení,kt nevyhovuje alespoň jedné omezující podmínce úlohy. Omezující podmínky-soustava vlastních omezení, podmínky nezápornosti, případně další speciální podmínky definované v úloze LP. Optimální řešení úlohy LP-nejlepší ze všech přípustných řešení. Podmínky nezápornosti-omezení, která zabezpečují, že budou všechny proměnné modelu kladné, případně nulové. Pomocná účelová fce-minimalizační účel fce doplněná k modelu s cílem vyloučit z něj všechny pomocné proměnné a získat tak výchozí základní řešení úlohy LP. Pomocné proměnné-uměle doplněné proměnné k ekvivalentní soustavě rovnic s cílem získat kanonický tvar. Přídavné proměnné-proměnné, které vyjadřují rozdíl mezi kapacitou zdroje a jeho čerpáním(u omezení typu =< ), případně mezi úrovní plnění a minimálním požadavkem (u omezení typu >= ), které se doplňují k modelu pro převedení soustavy nerovnic na soustavu rovnic. Přípustné řešení úlohy LP-řešení,kt splňuje všechny omezující podmínky modelu, tj. soustavu vlastních omezení i podmínky nezápornosti. Rozšířená soustava rovnic-soustava vzniklá z ekvivalentní soustavy rovnic po doplnění pomocných proměnných. Stínové ceny-koef příslušející omezujícím podmínkám ve tvaru nerovnic vyjadřující změnu hodnoty účelové fce na jednotku pravé strany. Účelová (kriteriální) fce-vyjádření cíle optimalizace v matematické podobě. Vlastní omezení-.podmínka ve tvaru nerovnice či rovnice, vyjadřující například omezenou kapacitu zdrojů, technologické vztahy, požadavky odběratelů apod. Základní proměnné-proměnné, kterým v kanonickém tvaru soustavy lin rovnic odpovídá jednotkový vektor-jejich hodnoty jsou rovny hodnotám pravých stran. Základní řešení úlohy LP-každé základní řešení ekvivalentní soustavy rovnic, které vyhovuje podmínkám nezápornosti; má maximám ě tolik nenulových proměnných, kolik je lineárně nezávislých řádků této soustavy. Základní věta LP-má-li úloha LP optimální řešení,má také základní optimální řešení; podle této věty stačí hledat optimální řešení pouze mezi základními řešeními úlohy LP(kterých je konečný počet) Př. TENISOVÝCH RAKET 11

12 X2=480 12

13 13

14 PŘ. mikiny, trička OPVP přednášky, cvičení - Fábry 14

15 X2=400 15

16 Troška teorie z hodiny: Přípustné řešení LP je takové řešení, které vyhovuje všem omezujícím podmínkám úlohy, včetně podmínek nezápornosti. Množina přípustných řešení je množina všech takových řešení konvexní množina buněk jakékoli dva body množiny spojím, tak celá spojnice musí ležet. Hranice je tvořena lineárními množinami útvary. Konvexní POLYEDR (mnohoúhelník), útvar, kde jsou úhly mezi čarami: (krychle, kvádr, čtyřstěn, ) Kulečníková koule je konvexní množina bodů, obličej není. Spojené body musí tvořit rovinu!! V LP je množina přípustných řešení konvexní polyedr!! Pokud by to tak nebylo, základní věta LP by byla neplatná. Vyrovnání nerovnice na rovnici: X1 + 2X2 + X3 = 1500 K levé straně přičítám (je menší nebo rovno) 4X1 + 3X2 + X4 = 3000 Tato soustava je ekvivalentní soustavou rovnic k původní soustavě nerovnic. K nekonečnému počtu řešení existuje určitý počet základních řešení. Tato soustava má nekonečně mnoho řešení, konečný počet řešení je základním řešením. Máme základní proměnné těch je vždy tolik, kolik máme rovnic (2) a nezákladní proměnné jsou ty zbylé (tady také 2 to je náhoda). Základní proměnná může být i strukturní i přidaná, v základním řešení si základní proměnné dopočítáme a nezákladní proměnné jsou 0 volíme. řešení X1 X2 X3 X4 zisk X X Jelikož chceme maximalizovat zisk, vidíme které řešení je maximální! Můžeme očekávat 6 základních řešení, ale všech 6 nemusí existovat. Jsou to základní řešení ekvivalentní soustavy rovnic. Ale pouze některé z nich jsou přípustnými řešeními z hlediska úlohy LP, konkrétně 4 1,2,5,6 řešení 3,4 není přípustné z hlediska podmínek. 16

17 Základní věta LP pokud á úloha LP optimální řešení, pak má také optimální řešení základní. Při hledání optimálního řešení se stačí soustředit na základní řešení, kterých je omezený počet. Alespoň jedno ze základních řešení musí být optimální. 17

18 18

19 19

20 20

21 21

22 22

23 23

24 U portfolia můžeme definovat proměnné: a) velikost investované částky b) podíl - např. 1/6 c) počet nakoupených akcií/obligací Příklad SPORTKA Přesné zadání je k dispozici na webu. - K dispozici 4 mil. => z toho investovat část tak, aby výnos byl min. 300 tis.; do akcií bylo investováno min. ½ investované částky x Kč / ks výnos p.a. riziko akcie % 6 obligace % 3 - Cíl = účel = minimalizovat riziko - Znám cenu CP => mohu mít jejich počet za proměnnou => x 1 = počet akcií, x 2 = počet obligací Z = 6x 1 + 3x 2 (min) Omezující: x 1, x 2 0 x 1, x 2 є Z 500*x *x max. investovaná částka (500*x 1 )*0,1 + (700*x 2 )*0, *x 1 0,5 * (500*x *x 2 ) 250*x 1-350*x 2 0 min. výnos investovaná částka min. z 50% akcie Výpočet pomocí řešitele: akcie obligace množství riziko pravá strana cena za CP Výnos p.a podíl na i Výpočet: 250*x 1-350*x 2 0 => x 1 = 350/250 x 2 = 7/5 x 2 500*7/5 x *x 2 = *x *x 2 = x 2 = / 1400 x 2 = 2857 => x 1 = 2857*7/5 =

25 (500*7/5*x 2 )*0,1 + (700*x 2 )*0,12 = *x *x 2 = *x 2 = x 2 = 1948 => x 1 = 7/5*1948 = 2728 Z = 6x 1 + 3x 2 => 6* *2857 = Z = 6x 1 + 3x 2 => 6* *1948 = X 2 X 1 Průsečíky v grafu jsou 2, *4000, ale neodpovídá zadané podmínce - minimalizovat riziko. Řezné úlohy Příklad PLOT - K dispozici jsou latě 2m - Potřebujeme laťky 80cm -1200ks; 50cm -3100ks; 30cm -500ks Počet neznámých bude počet možností, jak dvoumetrové latě nařezat na 80, 50 a 30cm laťky Cíl = účel = minimální počet rozřezaných 2m latí i cm cm cm odpad Xi = # 2m latí rozřezaných podle i-tého schématu (i = 1, 2,, 9) x 1, x 2,, x 9 0 x 1, x 2, x 9 є Z 2x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1200 (80-ti cm latěk) 25

26 2x 2 + x 3 +4 x 5 +3 x 6 +2 x 7 + x 8 = 3100 (50-ti cm latěk) x 1 + 2x 3 +4 x 4 + x 6 + 3x 7 +5 x 8 +6 x 9 = 500 (30-ti cm latěk) účelová funkce: Z = x 1 + x x 9 min účelová f-ce pro zadání minimalizovat odpad: Z = 10x x x 9 min účelová f-ce pro zadání minimalizovat počet odřezků: Z = x 1 + x 2 + x 3 + x 6 + x 7 + x 9 min Dělící problém Příklad KRMÍTKA A BUDKY Výstava za 20 dní PC krmítka 260 PC budky 570 pracovní doba 8h/den Sklad: 500 prken 110cm; 150 prken 140cm, vruty 3000ks Spotřeba: Krmítko Budka prkno 30cm 1 2 prkno 25cm 1 4 vruty / ks 8 16 čas min Prkno: 110 cm 140 cm Krmítko Budka Schéma x cm cm odpad cm x 10 = # vyrobených krmítek x 11 = # vyrobených budek Účelová funkce = maximalizovat výnos z prodeje : Z = 260*x *x 11 max x 1 = # prken rozřezaných podle schématu číslo 1 x 9 = # prken rozřezaných podle schématu číslo 9 x 10 = # vyrobených krmítek x 11 = # vyrobených budek Omezující: x 1 - x 11 є Z Λ x 1 - x *x *x

27 0,5*x 10 + x x 1 + x 2 + x 3 + x x 5 + x 6 + x 7 + x 8 + x x 1 + 2x 2 + x 3 + 4x 5 + 3x 6 + 2x 7 + x 8 x x 11 3x 1 + 2x 2 + x 3 + 4x 5 + 3x 6 + 2x 7 + x 8 - x 10-2x x 2 + 3x 3 + 4x 4 + 2x 6 + 3x 7 + 4x 8 + 5x 9 x x 11 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 + 2x 6 + 3x 7 + 4x 8 + 5x 9 - x 10-4x 11 0 Řešení Excel: x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 množství výnos pravá strana vruty hodiny 0, cm p m p cm díly cm díly Řešení lindo viz. DÚ příloha. Dopravní problém Příklad BRAMBŮRKY Firma chce otevřít 3 nové provozovny Benešov, Jihlava, Tábor Firma má 2 sklady Humpolec, Pelhřimov Cena za dopravu je uvedena za 1t přepravovaných brambor. Benešov Humpolec Tábor Jihlava Pelhřimov 27

28 výrobna Benešov Jihlava Tábor Týdenní kapacita Sklad skladu v t Humpolec Pelhřimov Týdenní požadavek výrobny v t 140 Otázka je: Odkud kam kolik bude třeba odvézt X ij = objem přepravy (t brambor) mezi i-tým dodavatelem a j-tým odběratelem Z = 330x x x x x x 23 Omezující: (co nesmím překročit kapacity, co musím dodržet požadavky výroben) x 11 + x 12 + x x 21 + x 22 + x x 11 + x 21 = 45 x 12 + x 22 = 60 x 13 + x 23 = 35 (kapacita Humpolec) (kapacita Pelhřimov) (požadavek Benešov) (požadavek Jihlava) (požadavek Tábor) Podmínky: xij 0; i = 1, 2; j = 1, 2, 3 B J T Fiktivní odběratel H P Z = ,- Řešit lze v Excelu. Jedná se o nevyrovnaný dopravní problém = součty kapacit a součty požadavků se liší tuto nerovnováhu lze vyrovnat pomocí fiktivních činitelů (fiktivní odběratel ve skutečnosti nikdo zásobu neodebere, ale vyrovnají se tím součty). 28

29 Kontejnerový dopravní problém Cena přepravy je dána za pronájem vagonu (kontejner), nevztahuje se na jednotku přepravovaného materiálu (cena za 1 kontejner je stejná bez ohledu na míru jeho naplnění tedy zda je plný či prázdný). výrobna Benešov Jihlava Tábor Týdenní kapacita Sklad skladu v t Humpolec Pelhřimov Týdenní požadavek výrobny v t 140 Cena je za 1 vagon odkud kam ; kapacita jednoho kontejneru je 18t x ij = objem přepravy v t mezi i-tým dodavatelem a j-tým odběratelem y ij = počet kontejnerů použitých na přepravu objemu t brambor mezi i-tým dodavatelem a j- tým odběratelem Z = 4200y y y y y y 23 min Omezující: (co nesmím překročit kapacity, co musím dodržet požadavky výroben) x 11 + x 12 + x x 21 + x 22 + x x 11 + x 21 = 45 x 12 + x 22 = 60 x 13 + x 23 = 35 Jak definovat vagóny..??? (kapacita Humpolec) (kapacita Pelhřimov) (požadavek Benešov) (požadavek Jihlava) (požadavek Tábor) x ij 18y ij když y ij = 0 = pak nejede vagon, nevezu do daného místa žádné zboží Podmínky: x ij 0; i = 1, 2; j = 1, 2, 3 y ij 0; i = 1, 2; j = 1, 2, 3; y ij є Z Řešení je v knížce (2.6, str. 46-8), opět možno řešit v Excelu. Přiřazovací problém - přiřazuji vždy 2 skupiny prvků, v obou skupinách je stejný počet prvků a každý smí být přiřazen jen jednomu z druhé skupiny (jako párování v tanečních) - cílem je seskupit prvky z obou skupin tak, aby v páru byl vždy 1 a 1 z každé skupiny prvků - podmínkou je maximalizace celkové spokojenosti DÚ jak zajistit maximální spokojenost na tanečním parketu??? o Index spokojenosti max (spokojenost = ten, kdo chce s někým tančit, s ním také bude v páru) o Body 1 za lingo, 2 za realizaci pro 5 párů 29

30 Příklad BAGRY OPVP přednášky, cvičení - Fábry Firma má 4 garáže, v každé po jednom bagru a 4 staveniště, kde musí pracovat vždy 1 bagr; bagry by měly najet co nejméně km. Michle Prosek Radlice Trója G G G G Nevím, co s tím => vyberu diagonálu => 39km M P R T G1 5 G2 17 G3 5 G Hledám minimum takže najdu nejnižší hodnotu (zabarvím hodnoty, které již nepřipadají do úvahy růžová, pak zelená, pak žlutá a pak zbude poslední volné pole :od součet 32km M P R T G1 5 G2 10 G3 5 G4 12 Otázka je, zda je toto optimum..??? Tento postup nemusí vždy vést k OPTIMÁLNÍMU řešení proč..?? Tak mrk na tuhle tabulku (stačí tam dopsat nulu): M P R T G1 5 G2 10 G3 5 G4 120 Tomuto postupu se říká HEURETICKÝ ALGORITMUS (heuristika). Je založen na rozumné úvaze, úloha se stává řešitelnou v relativně krátkém čase, ale nezaručuje vždy optimální řešení. Heuristických řešení je více, poskytují relativně spolehlivé výsledky, často blízké optimu. Co je v uvedeném příkladě proměnná..? To, co chci zjistit!!! Počet proměnných..?? 16 (4x4) x ij = 1 nebo 0; 1 když i-tý bagr pojede na j-té staveniště; 0 nic nejede nikam (x ij je bivalentní binární nebo také nula-jedničková proměnná to je už slang) i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2, 3, 4 právě 4 proměnné = 1, ostatní = 0 Z chci najet co nejméně Km Z = 5x x x 44 min Omezující: Na každé místo patří právě jeden bagr, každý bagr je přiřazen právě jednomu staveništi 30

31 x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = 1 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = 1 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 = 1 x 41 + x 42 + x 43 + x 44 = 1 x 11 + x 21 + x 31 + x 41 = 1 x 12 + x 22 + x 32 + x 42 = 1 x 13 + x 23 + x 33 + x 43 = 1 x 14 + x 24 + x 34 + x 44 = 1 každý bagr jede právě na 1 staveniště na každé staveniště pojede právě 1 bagr OPVP přednášky, cvičení - Fábry V Excelu lze zadat podmínku binárnosti tam, kde se zadává podmínka celočíselnosti. Teorie grafů Pro začátek zapomeneme na to, že tohle (to nahoře) je graf!!! 6 Protože tohle je graf: Skládá se ze dvou množin prvků: = uzly = hrany Hrana je - orientovaná (jako jednosměrka) - neorientovaná (obousměrná) Na 51 a 52 straně je příklad s mosty (najít cestu tak, abych po každém mostě šla jen jednou lze to znázornit i pomocí grafu ;o) Neorientovaný graf takový, který má všechny hrany neorientované Orientovaný graf takový, který má všechny hrany orientované (dohoda je, že mixlý graf nebereme) Cesta mezi dvojicí uzlů i a j je taková posloupnost na sebe vzájemně navazujících hran, která začíná v uzlu i a končí v uzlu j Orientovaná cesta má smysl jen v orientovaném grafu; je taková cesta, která respektuje orientaci všech hran (v obrázku výše by to byla cesta 1-6) 31

32 Neorientovaná cesta má smysl jen v orientovaném grafu; je taková cesta, která nemusí respektovat orientaci hran (v obrázku výše by to byla cesta 6-1) Cyklus = uzavřená cesta je taková cesta, která začíná a končí ve stejném uzlu (je to cesta přes různé uzly, přičemž bych neměla žádným uzlem projít 2x) Souvislý graf mezi každou dvojicí uzlů existuje alespoň jedna cesta (v orientovaném grafu alespoň jedna neorientovaná cesta); na obrázku níže je jeden nesouvislý graf Úplný graf mezi každou dvojicí uzlů existuje hrana Strom graf, který nemá cyklus je acyklický musí být souvislý měl by být neorientovaný uzlů je vždy o 1 víc než hran (když jednu hranu umažu, stane se z grafu nesouvislý graf, když naopak jednu přidám, vznikne cyklus a tím pádem už to není strom). Ke každé hraně mohu přidat číslo mohu ji ohodnotit (obvykle tím zaznamenávám vzdálenost mezi jednotlivými uzly) takový graf se nazývá hranově ohodnocený Uzlově ohodnocený graf ohodnotím jednotlivé uzly (to nebudeme moc používat) Síť síťový graf je graf souvislý, orientovaný, hranově nebo uzlově ohodnocený a má 1 vstup a 1 výstup - vstup uzel, ze kterého hrany jen vystupují - Výstup uzel, do kterého hrany pouze vstupují Úkol Taneční Navrhněte způsob, jak zajistit maximální celkovou spokojenost všech tanečních párů v tanečním sále. (1 bod). Uvedený způsob demonstrujte na příkladu s 5 dívkami a 5 chlapci v tanečním kurzu. Úlohu vyřešte v MS Excel (2 body). 32

33 Tzn. teď x11 + X12+X13.. NEDOPOČÍTÁVALI JSME TO!!! 33

34 34

35 35

36 36

37 Doučko: 37

38 38

39 Úkoly Kostra, Cesta a Tok U následujícího grafu najděte: OPVP přednášky, cvičení - Fábry 1. Jeho minimální kostru (2 body). 2. Nejkratší cesty z uzlu č. 1 do všech ostatních uzlů (2 body). 3. Hodnotu maximálního toku z uzlu č. 1 do uzlu č. 7 (2 body). 39

Obecná úloha lineárního programování. Úloha LP a konvexní množiny Grafická metoda. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Obecná úloha lineárního programování. Úloha LP a konvexní množiny Grafická metoda. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno Přednáška č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Optimalizace portfolia Investor se s pomocí makléře rozhoduje mezi následujícími investicemi: akcie A, akcie B, státní pokladniční poukázky, dluhopis A, dluhopis

Více

Matematické modelování 4EK201

Matematické modelování 4EK201 Matematické modelování 4EK0 Ukázkový test Maimum 00 bodů. Pokud má úloha lineárního programování více optimálních řešení, pak (a) jich může být nekonečně mnoho, (b) jich musí být nekonečně mnoho.. Doplňte

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Příklady modelů lineárního programování

Příklady modelů lineárního programování Příklady modelů lineárního programování Příklad 1 Optimalizace výroby konzerv. Podnik vyrábí nějaký výrobek, který prodává v 1 kg a 2 kg konzervách, přičemž se řídí podle následujících velmi zjednodušených

Více

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat

Více

Lineární programování

Lineární programování 24.9.205 Lineární programování Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 203/204 Obsah Úloha lineárního programování. Formulace úlohy lineárního programování. Typické úlohy lineárního programování.

Více

Ekonomická formulace. Matematický model

Ekonomická formulace. Matematický model Ekonomická formulace Firma balící bonboniéry má k dispozici 60 čokoládových, 60 oříškových a 85 karamelových bonbónů. Může vyrábět dva druhy bonboniér. Do první bonboniéry se dávají dva čokoládové, šest

Více

Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel. Výpočet budeme demonstrovat

Více

Optimalizace. Obsah přednášky. DÚ LP - Okružní problém. Lineární optimalizace. DÚ LP - Okružní problém. DÚ LP - Okružní problém

Optimalizace. Obsah přednášky. DÚ LP - Okružní problém. Lineární optimalizace. DÚ LP - Okružní problém. DÚ LP - Okružní problém Obsah přednášky Mgr. Květuše Sýkorová Optimalizace Lineární programování Distribuční úlohy Okružní problém KI Př UJEP Ústí nad Labem Nederivační metody Metody 1D optimalizace Derivační metody Optimalizace

Více

Lineární programování

Lineární programování Lineární programování Úlohy LP patří mezi takové úlohy matematického programování, ve kterých jsou jak kriteriální funkce, tak i všechny rovnice a nerovnice podmínek výhradně tvořeny lineárními výrazy.

Více

Parametrické programování

Parametrické programování Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou

Více

Matematický model. omezující podmínky. Tab. 2.1 Prvky ekonomického a matematického modelu

Matematický model. omezující podmínky. Tab. 2.1 Prvky ekonomického a matematického modelu 16 Čeho chceme dosáhnout? Co můžeme ovlivnit? Jaké jsou překážky? Ekonomický model cíl analýzy procesy činitelé Matematický model účelová funkce proměnné omezující podmínky Příklady maximalizace zisku

Více

Konvexní množiny Formulace úloh lineárního programování. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Konvexní množiny Formulace úloh lineárního programování. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno Přednáška č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Euklidovský prostor E n Pod pojmem n-rozměrný euklidovský prostor budeme rozumnět prostor, jehož prvky jsou uspořádané n-tice reálných čísel X = (x 1, x 2,...,

Více

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. @021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské

Více

15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace

15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace @173 15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace Jak jsme se dozvěděli v 3. lekci tohoto kurzu, je obrazem rovnice ax + by + c = 0, a,b,c R (a; b) (0; 0) přímka a obrazem nerovnic ax + by + c 0, a,b,c

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

7. přednáška Systémová analýza a modelování. Přiřazovací problém

7. přednáška Systémová analýza a modelování. Přiřazovací problém Přiřazovací problém Přiřazovací problémy jsou podtřídou logistických úloh, kde lze obecně říci, že m dodavatelů zásobuje m spotřebitelů. Dalším specifikem je, že kapacity dodavatelů (ai) i požadavky spotřebitelů

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Operační výzkum. Přiřazovací problém.

Operační výzkum. Přiřazovací problém. Operační výzkum Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ..7/2.2./28.326

Více

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory]

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] Část I Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] V matematice grafem obvykle rozumíme grafické znázornění funkční závislosti. Pro tento předmět je však podstatnější pohled jiný. V teorii grafů rozumíme

Více

1.1 Typy úloh LP. Klíčová slova: úlohy LP, formulace modelu. 1. Formulace ekonomického modelu.

1.1 Typy úloh LP. Klíčová slova: úlohy LP, formulace modelu. 1. Formulace ekonomického modelu. Klíčová slova: úlohy LP, formulace modelu. 1 Úlohy Lineárního programování Lineární programování je jednou z částí operačního výzkumu a zpravidla se používá pro řešení optimalizačních úloh ekonomických

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

Systémové modelování. Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování

Systémové modelování. Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování Modelování Modelování je způsob zkoumání reality, při němž složitost, chování a další vlastnosti jednoho celku vyjadřujeme složitostí, chováním a

Více

Funkce. Úkol: Uveďte příklady závislosti dvou veličin.

Funkce. Úkol: Uveďte příklady závislosti dvou veličin. Funkce Pojem funkce Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce vyjadřuje závislost

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Přiřazovací problém. Přednáška č. 7

Přiřazovací problém. Přednáška č. 7 Přiřazovací problém Přednáška č. 7 Přiřazovací problém je jednou podtřídou logistických úloh. Typickým problémem může být nejkratší převoz materiálu od dodavatelů ke spotřebitelům. spotřebitelé a i dodavatelé

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE. Optimalizace trasy při revizích elektrospotřebičů

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE. Optimalizace trasy při revizích elektrospotřebičů VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Hlavní specializace: Ekonometrie a operační výzkum Název diplomové práce Optimalizace trasy při revizích elektrospotřebičů Diplomant: Vedoucí

Více

EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY

EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY UNIVERZITA OBRANY KATEDRA EKONOMETRIE UČEBNÍ TEXT PRO DISTANČNÍ STUDIUM EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY RNDr. Michal ŠMEREK doc. RNDr. Jiří MOUČKA, Ph.D. B r n o 2 0 0 8 Anotace: Skriptum Ekonomicko-matematické

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru

Více

3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel

3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel 3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel Rovnováha mechanické soustavy Uvažujme dvě různé nehmotné lineární pružiny P 1 a P 2 připevněné na pevné horizontální tyči splývající s osou x podle obrázku: (0,0)

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován:

Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován: 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou :. ) Určete, pro která R není daný výraz definován: 3) Určete obor hodnot funkce Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) f : y 4 3. 4 8 5 1 4) Vyšetřete vzájemnou

Více

Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby

Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby Matematika - 1. ročník Používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků obor přirozených čísel : počítání do dvaceti - číslice

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby

Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby Matematika - 1. ročník Používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků Rozezná, pojmenuje, vymodeluje a popíše základní rovinné

Více

MATEMATIKA ZÁKLADNÍ ÚROVEŇ

MATEMATIKA ZÁKLADNÍ ÚROVEŇ NOVÁ MTURITNÍ ZKOUŠK Ilustrační test 2008 Základní úroveň obtížnosti MVCZMZ08DT MTEMTIK ZÁKLDNÍ ÚROVEŇ DIDKTICKÝ TEST Testový sešit obsahuje 8 úloh. Na řešení úloh máte 90 minut. Úlohy řešte v testovém

Více

Optimalizace obecný úvod. [proč optimalizovat?] Formalizace problému. [existují podobné problémy?]

Optimalizace obecný úvod. [proč optimalizovat?] Formalizace problému. [existují podobné problémy?] Optimalizace obecný úvod 1 Optimalizace obecný úvod Motivace optimalizačních úloh [proč optimalizovat?] Formalizace problému [jak obecně popsat optimalizační úlohu?] Klasifikace optimalizačních problémů

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

I. kolo kategorie Z7

I. kolo kategorie Z7 60. ročník Matematické olympiády I. kolo kategorie Z7 Z7 I 1 Součin číslic libovolného vícemístného čísla je vždy menší než toto číslo. Pokud počítáme součin číslic daného vícemístného čísla, potom součin

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Postup při řešení matematicko-fyzikálně-technické úlohy

Postup při řešení matematicko-fyzikálně-technické úlohy Postup při řešení matematicko-fyzikálně-technické úlohy Michal Kolesa Žádná část této publikace NESMÍ být jakkoliv reprodukována BEZ SOUHLASU autora! Poslední úpravy: 3.7.2010 Úvod Matematicko-fyzikálně-technické

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Geometrické vyhledávání

Geometrické vyhledávání mnohoúhelníky a jejich vlastnosti lokalizace bodu vůči konvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či vnější lokalizace bodu vůči nekonvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či

Více

2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE UČEBNÍ OSNOVY

2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE UČEBNÍ OSNOVY 2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE UČEBNÍ OSNOVY 2. 2 Cvičení z matematiky Časová dotace 7. ročník 1 hodina 8. ročník 1 hodina 9. ročník 1 hodina Charakteristika: Předmět cvičení z matematiky doplňuje vzdělávací

Více

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Modul Řešitel (v anglické verzi Solver) je určen pro řešení lineárních i nelineárních úloh matematického programování. Pro ilustraci

Více

Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup) Průřezová témata, projekty

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

2. LMP SP 3. LMP SP + 2. LMP NSP. operace. Závislosti, vztahy a práce s daty. Závislosti, vztahy a práce s daty. v prostoru

2. LMP SP 3. LMP SP + 2. LMP NSP. operace. Závislosti, vztahy a práce s daty. Závislosti, vztahy a práce s daty. v prostoru ŠVP LMP Charakteristika vyučovacího předmětu Matematika Obsahové, časové a organizační vymezení vyučovacího předmětu Matematika Vzdělávací obsah předmětu Matematika je utvořen vzdělávacím obsahem vzdělávacího

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti ILUSTRAČNÍ DIDAKTICKÝ TEST MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 8 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky:

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují.

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. .. Funkce, definiční obor funkce Předpoklady: 03 Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. Uděláme si na tabuli jenom krátký seznam: S = a, y = x, s = vt, výška lidí v

Více

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy.

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy. Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Vyučovací předmět / ročník: Matematika / 4. Učivo

Vyučovací předmět / ročník: Matematika / 4. Učivo Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Výstupy žáka Vyučovací předmět / ročník: Matematika / 4. ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE Zpracoval: Mgr. Dana Štěpánová orientuje se v posloupnosti přirozených čísel

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

vzdělávací oblast vyučovací předmět ročník zodpovídá MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA 4. BÁRTOVÁ, VOJTÍŠKOVÁ

vzdělávací oblast vyučovací předmět ročník zodpovídá MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA 4. BÁRTOVÁ, VOJTÍŠKOVÁ Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Učivo obsah Mezipředmětové vztahy Metody + formy práce, projekty, pomůcky a učební materiály ad. Poznámky 4. ročník OPAKOVÁNÍ UČIVA 3. ROČNÍKU Rozvíjí dovednosti s danými

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

4 Rovnice a nerovnice

4 Rovnice a nerovnice 36 Rovnice a nerovnice 4 Rovnice a nerovnice 4.1 Lineární rovnice a jejich soustavy Požadované dovednosti řešit lineární rovnice o jedné neznámé vyjádřit neznámou ze vzorce užít lineární rovnice při řešení

Více

Přijímací zkouška - matematika

Přijímací zkouška - matematika Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY. A. Charakteristika vyučovacího předmětu.

Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY. A. Charakteristika vyučovacího předmětu. Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY A. Charakteristika vyučovacího předmětu. a) Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu Základem vzdělávacího obsahu předmětu Cvičení z matematiky je vzdělávací

Více

Stromy, haldy, prioritní fronty

Stromy, haldy, prioritní fronty Stromy, haldy, prioritní fronty prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačů FEL České vysoké učení technické DSA, ZS 2008/9, Přednáška 6 http://service.felk.cvut.cz/courses/x36dsa/ prof. Pavel Tvrdík

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační výzkum Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Matematika (MAT) Náplň: Rovnice a nerovnice, kruhy a válce, úměrnost, geometrické konstrukce, výrazy 2 Třída: Tercie Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno Přednáška č. 11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Jedná se o speciální případ dopravních úloh, řeší např. problematiku optimálního přiřazení strojů na pracoviště. Příklad Podnik má k dispozici 3 jeřáby,

Více

skladbu obou směsí ( v tunách komponenty na 1 tunu směsi):

skladbu obou směsí ( v tunách komponenty na 1 tunu směsi): Klíčová slova: simplexová metoda 1 Simplexová metoda Postup výpočtu: 1. Nalezení výchozího řešení. 2. Test optima: pokud je řešení optimální výpočet končí, jinak krok 3. 3. Iterační krok, poté opět test

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Katedra matematiky OPERAČNÍ VÝZKUM Mgr. Andrea Kubišová

Katedra matematiky OPERAČNÍ VÝZKUM Mgr. Andrea Kubišová VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA Katedra matematiky OPERAČNÍ VÝZKUM Mgr Andrea Kubišová 214 ÚVOD Tato skripta jsou základním studijním materiálem pro volitelný předmět Operační výzkum určený převážně

Více

2 Spojité modely rozhodování

2 Spojité modely rozhodování 2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly.

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly. Kapitola Reprezentace grafu V kapitole?? jsme se dozvěděli, co to jsou grafy a k čemu jsou dobré. rzo budeme chtít napsat nějaký program, který s grafy pracuje. le jak si takový graf uložit do počítače?

Více

Operační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Operační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační výzkum Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

MATEMATIKA MAIZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám

MATEMATIKA MAIZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST MAIZD14C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby

Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby Matematika - 1. ročník Používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků obor přirozených čísel: počítání do dvaceti - číslice

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

1. Úloha o optimálnom výrobnom pláne (optimálne využitie výrobných faktorov)

1. Úloha o optimálnom výrobnom pláne (optimálne využitie výrobných faktorov) 2. cvičenie formulácia a výsledky - LINGO 1. Úloha o optimálnom výrobnom pláne (optimálne využitie výrobných faktorov) a) maximalizácia zisku NECELOČÍSELNE!zadani ucelove fce; [UCELOVA_FCE] max = 120*x1+50*x2+150*x3+100*x4;!zadani

Více

Vzdělávací obor matematika

Vzdělávací obor matematika "Cesta k osobnosti" 6.ročník Hlavní okruhy Očekávané výstupy dle RVP ZV Metody práce (praktická cvičení) obor navázání na již zvládnuté ročník 1. ČÍSLO A Žák používá početní operace v oboru de- Dělitelnost

Více