Když vyjde desetinné číslo, není to reálný výsledek, nemůžu říct šéfovi, vyrábět 700,988 židlí.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Když vyjde desetinné číslo, není to reálný výsledek, nemůžu říct šéfovi, vyrábět 700,988 židlí."

Transkript

1 Úvod do operačního výzkumu Operační výzkum = Výzkum operací. OV je výzkum systémů samostatných disciplín. Vojenské, strategické a taktické opce. Po skončení války přesun do ekonomie, řešení stavebních a výrobních opcí. Díky počítačům se neřešitelné úlohy staly řešitelnými. Operační výzkum-souhrn disciplín, zabývajících se řešením různých tříd rozhodovacích problémů. Model = z hlediska OV je zjednodušený obraz nějakého reálného systému zjednodušení reality (realitou myslíme např. podnik). Není dobré udělat přesný, příliš složitý model pak nelze použít žádné řešení. Příliš jednoduchý model nelze použít na realitu. Při tvorbě modelu dbáme na: řešitelnost a způsob Optimalizace = pomocí modelu hledáme optimální řešení, strategii např. optimální výrobní program. Optimální řešení = nejlepší řešení. V množině řešení najít to nejlepší řešení, množina je daná omezením tím, co nás v řešení omezuje. Fáze řešení rozhodovacího problému: EM si my musíme vymyslet sami EM 3 výrobky X1 = počet vyrobených židlí X2= počet vyrobených křesel X3= počet vyrobených stolů Řešení: X1 = 700 X2= 500 X3= 200 Když vyjde desetinné číslo, není to reálný výsledek, nemůžu říct šéfovi, vyrábět 700,988 židlí. 1

2 V podmínkách je nutné definovat zaokrouhlování na celá čísla. OPVP přednášky, cvičení - Fábry zjištění závislosti věku a výšky, nutnost vstupů dat Teorie Grafů Euler pan Město, řeka, vedlo tam 7 mostů Úloha zněla z libovolného místa projít po každém městě jen jednou a zase se vrátit zpět do výchozího místa. Připomíná to domeček jedním tahem. Uzly Hrany Uzel stupně č. 3 vychází z něj 3 hrany Teorie uzlů a hran z každého uzlu vychází určitý počet hran. Aby šlo nakreslit jedním tahem, musí být jen dva uzly lichého stupně a ostatní sudého, pokud jsou právě dva uzly lichého stupně a ostatní sudého, lze obrazec kreslit jedním tahem. Pokud jsou dva uzly lichého stupně a ostatní sudého, lze obrazec kreslit jedním tahem, musí se začít v uzlu lichého stupně a v tom druhém uzlu lichého stupně skončíme. Říká se tomu Eulerův tah. Eulerův cyklus (kružnice) všechny uzly mají sudý počet hran. Vždy lze nakreslit jedním tahem. Počet hran se rovná počtu čar, které z uzlu vychází. Úloha čínského listonoše 2

3 Lineární programování = základ OV OPVP přednášky, cvičení - Fábry Př. 1 - Pekárna Pekárna vyrábí housky a chleba. Suroviny mouka, vejce, sůl, kmín. Soli a kmínu je dostatek. Vajec jen 3000 ks na den, mouky 1500 kg/den. Na výrobu 10ti housek je třeba 1kg mouky a 4 vejce. Na chleba je třeba 2 kg mouky a 3 vajíčka. Zisk z 1 housky je Kč 1,10 a z chleba je 10 Kč. Navrhněte výrobu tak, aby Z z prodaného pečiva byl maximální. Vše co vyrobíme i prodáme. (toto je EM) EM - vždy hledáme: 1) Cíl analýzy maximalizace celkového denního zisku 2) Procesy 2 procesy a) Výroba housek b) Výroba chleba 3) Činitele mouka, vajíčka MM (vychází z EM): Když něco maximalizuji tzn. hledáme extrém (max., min.) fce. 1) Účelová (cílová) fce = lineární, musíme specifikovat, zda hledáme minimum nebo maximum tzn. a) maximalizační b)minimalizační 2) Proměnná : x 1, X 2 3) Omezení (omezující podmínky) : a) Lineární rce = b) Lineární nerovnice:, Krok č. 1: Začínáme vždy proměnnými: x 1 počet vyrobených housek v desítkách ks/den X 2 počet vyrobených chlebů za den Pozn. X 1 = počet vyrobených housek v 10 ks za den (zisk je 11 Kč) X 2 = počet vyrobených chlebů za den (zisk je 10 Kč) Krok č. 2 účelová fce: Definice fce má vyjadřovat celkový zisk. Z= 11 X X 2 max. Krok č. 3: Omezení: 1 X X kg/ den mouka 4 X 1 + 3X ks/ den Vejce X 1, X 2 0 Pozn. Když to bude týden, tak budeme dělit 1500/7mi nebo 5ti. 3

4 Lineární programování definice ze skript OPVP přednášky, cvičení - Fábry Lineární programování disciplína operačního výzkumu, která se zabývá řešením rozhodovacích problémů. Musí se zde respektovat určité podmínky a najít řešení, při kterém je cíl splněn co nejlépe. Programování je synonymem pro plánování programů, lineární vyjadřuje, že všechny vazby v modelech jsou vazbami lineárními tzn. že matematické fce jsou fce lineární. V úlohách lineárního programování se vyskytují 2 základní modely: 1. Ekonomický model vyjádření rozhodovacího problému formou jeho slovního, případně číselného popisu. 2. Matematický model matematická formalizace ekonomického modelu rozhodovacího problému. Obsahuje n - počet strukturních proměnných v modelu, m - počet vlastních omezení, c j, j=1,2,..n cenové koeficienty, b i, i=1,2,..m hodnoty pravých stran, a ij, j=1,2,..n, i=1,2,..m tzv. strukturní koeficienty, podmínky Stupně řešení úloh lineárního programování: Základní řešení každé základní řešení ekvivalentní soustavy rovnic, které vyhovuje podmínkám nezápornosti; má maximálně tolik nenulových proměnných, kolik je lineárně nezávislých řádků této soustavy. Přípustné řešení řešení, které splňuje všechny omezující podmínky modelu, tj. soustavu vlastních omezení i podmínky nezápornosti Optimální řešení nejlepší ze všech přípustných řešení Fáze řešení rozhodovacího procesu 1) rozpoznání problému v rámci systému a jeho definice 2) formulace ekonomického modelu cíl analýzy (max. zisk), popis procesů (výroba), popis činitelů (spotřeba omezujících zdrojů), popis mezi procesy a činiteli a cílem analýzy 3) matematický model obsahuje stejné prvky jako ekonomický model 4) řešení matematického modelu 5) interpretace a verifikace výsledků 6) implementace 4

5 Lineární programování - pokračování Cílem je najít optimální výrobu z hlediska zisku. Chceme dosáhnout co největšího celkového zisku. Grafické řešení Př. č. 1 - Pekárna v lineárním programování 10 housek 1 chleba Zásoba Mouka Kg Vejce Ks Zisk MAX Matematický model: 1. Proměnné: x 1 počet housek vyrobených za jeden den (v desítkách) x 2 počet chlebů vyrobených za jeden den 2. Omezení: a. vlastní omezení modelu: x 1 + 2x (na spotřebu mouky) 4x 1 + 3x (na spotřebu vajec) b. podmínky nezápornosti: x 1, x Účelová funkce: 11x x 2 MAX Zápis modelu: x 1 počet housek vyrobených za jeden den (v desítkách) x 2 počet chlebů vyrobených za jeden den x 1 + 2x x 1 + 3x x 1, x 2 0 z = 11x x 2 MAX Řešení: x 1 = 300, x 2 = 600, z =

6 Pro zjištění správné poloroviny musíme zjistit jakýkoli bod mimo přímku a dosadit do rovnice, musí vyhovovat. Uvnitř trojúhelníku jsou takové hodnoty, které vyhovují první omezující podmínce kg mouky stačí na všechny body uvnitř poloroviny. Body v druhém trojúhelníku vyhovují druhé omezující podmínce. Hledáme body, které vyhovují oběma podmínkám průnik! polorovin je o co nás zajímá, nazýváme tuto množinu, množina přípustných řešení. Souřadnice bodů nám dávají přípustný výrobní program cílem je stále maximalizace zisku. Musíme dostat účelovou funkci obrazem účelové funkce je rovina procházející počátkem a odklánějící se nahoru od papíru, papír zvednutý nad tabuli!! Kolmý průmět roviny do papíru dostaneme přímku, všechny body na této přímce odpovídají hodnotě zisku. Zakreslením rovnice 11 x X 2 = jsme zjistili pořád stejnou hodnotu zisku rovna 110. Přímka procházející bodem 0 ukazuje zisk 0. Nemá cenu se zabývat body, kde není žádný zisk, chceme maximalizaci zisku. Budeme se pohybovat dál od osy x a y. Vynásobím si čísla stejnými násobky a dostanu se dál od os. Posouvám přímku do té doby ve stejném úhlu, dokud se nedotýká množiny přípustných řešení, tím maximalizuji zisk. Násobím, dokud se nedostanu nakonec množiny přípustných řešení. Cílem je zjištění kolik se bude vyrábět, nikdy ne z grafu pomocí pravítka!!, musíme dopočítat bod, který splňuje obě rovnice najednou soustava dvou rovnic a dvou neznámých. X1 + 2X2 = 1500 (vynásobím -4) 4X1 + 3X2 = X2 = 3000 X2 = 600 každý den se bude vyrábět 600 chlebů X1 = 300 musíme vynásobit 10 tzn. každý den se bude vyrábět 3000 housek Déle musíme spočítat zisk dosadíme hodnoty X1 a X2 do funkce: Zo = 11x x600 = 9300 Kč/ den Musíme zjistit, jestli nám nezbývá nějaká mouka nebo vejce dosazením do rovnic. V tomto případě spotřebujeme vše. DCV: Zakreslit účelovou fci: 6

7 7

8 Směšovací úloha Míchají se tam dohromady nějaké látka barvy, oleje, krmivo tak, abychom získali nějakou výslednou směs s požadovanými vlastnostmi. Cílem je získat tu směs s co nejnižšími náklady. minimalizujeme. Př.: Máme 4 krmivové směsi: krmiva K1 K2 K3 K4 bílkoviny JEDNOTKY/KG škrob CENA kg Cena = náklady máme získat směs, která bude obsahovat alespoň : 100 jednotek bílkovin, 300 jednotek škrobu a bude vážit alespoň 200 kg. Sestavte MM, pomocí jehož naplánujeme, kolik kterého krmiva máme nakoupit X1 = množství K1 v kilogramech ve výsledné směsi x2 = množství K2 v kilogramech ve výsledné směsi X3= množství K3 v kilogramech ve výsledné směsi X4 = množství K4 v kilogramech ve výsledné směsi Cílem je minimalizovat náklady. Účelová fxe bude tedy nějaká nákladová fce. Z = 20x1 + 80x2+ 60x x4 min Omezení: psát si je zprava 3x2 + x3 + 2x4 100 bílkoviny X1 + 2x2 + 3x3 300 škrob X1 + x2 + X3 + X4 200 škrob Když bychom přišli o 10% ztráty u vaření tak (by ten výsledek byl 220 ) z toho 10% tzn. 1,1 x 200 Podmínky celočíselnosti: tady bychom je nedávali X1,X2,X3,X4 0. Vektor = zápis řešení X 0 T = (X1, X2, X3, X4) X 0 T = (120, 0,60,20) kg směsi ve výsledné směsi, dohromady 200 kg. Dostaneme účelové řešení. Z 0 = 6600 Kč zaplatíme za 200 kg. 8

9 Možnosti zakončení výpočtu: OPVP přednášky, cvičení - Fábry a) b) 9

10 c) OPVP přednášky, cvičení - Fábry d) 10

11 Lineární programování Alternativní optimální řešení-způsob zakončení výpočtu, při kterém nemá úloha LP pouze jediné optimální řešení. Nepřípustné řešení-řešení,kt nevyhovuje alespoň jedné omezující podmínce úlohy. Omezující podmínky-soustava vlastních omezení, podmínky nezápornosti, případně další speciální podmínky definované v úloze LP. Optimální řešení úlohy LP-nejlepší ze všech přípustných řešení. Podmínky nezápornosti-omezení, která zabezpečují, že budou všechny proměnné modelu kladné, případně nulové. Pomocná účelová fce-minimalizační účel fce doplněná k modelu s cílem vyloučit z něj všechny pomocné proměnné a získat tak výchozí základní řešení úlohy LP. Pomocné proměnné-uměle doplněné proměnné k ekvivalentní soustavě rovnic s cílem získat kanonický tvar. Přídavné proměnné-proměnné, které vyjadřují rozdíl mezi kapacitou zdroje a jeho čerpáním(u omezení typu =< ), případně mezi úrovní plnění a minimálním požadavkem (u omezení typu >= ), které se doplňují k modelu pro převedení soustavy nerovnic na soustavu rovnic. Přípustné řešení úlohy LP-řešení,kt splňuje všechny omezující podmínky modelu, tj. soustavu vlastních omezení i podmínky nezápornosti. Rozšířená soustava rovnic-soustava vzniklá z ekvivalentní soustavy rovnic po doplnění pomocných proměnných. Stínové ceny-koef příslušející omezujícím podmínkám ve tvaru nerovnic vyjadřující změnu hodnoty účelové fce na jednotku pravé strany. Účelová (kriteriální) fce-vyjádření cíle optimalizace v matematické podobě. Vlastní omezení-.podmínka ve tvaru nerovnice či rovnice, vyjadřující například omezenou kapacitu zdrojů, technologické vztahy, požadavky odběratelů apod. Základní proměnné-proměnné, kterým v kanonickém tvaru soustavy lin rovnic odpovídá jednotkový vektor-jejich hodnoty jsou rovny hodnotám pravých stran. Základní řešení úlohy LP-každé základní řešení ekvivalentní soustavy rovnic, které vyhovuje podmínkám nezápornosti; má maximám ě tolik nenulových proměnných, kolik je lineárně nezávislých řádků této soustavy. Základní věta LP-má-li úloha LP optimální řešení,má také základní optimální řešení; podle této věty stačí hledat optimální řešení pouze mezi základními řešeními úlohy LP(kterých je konečný počet) Př. TENISOVÝCH RAKET 11

12 X2=480 12

13 13

14 PŘ. mikiny, trička OPVP přednášky, cvičení - Fábry 14

15 X2=400 15

16 Troška teorie z hodiny: Přípustné řešení LP je takové řešení, které vyhovuje všem omezujícím podmínkám úlohy, včetně podmínek nezápornosti. Množina přípustných řešení je množina všech takových řešení konvexní množina buněk jakékoli dva body množiny spojím, tak celá spojnice musí ležet. Hranice je tvořena lineárními množinami útvary. Konvexní POLYEDR (mnohoúhelník), útvar, kde jsou úhly mezi čarami: (krychle, kvádr, čtyřstěn, ) Kulečníková koule je konvexní množina bodů, obličej není. Spojené body musí tvořit rovinu!! V LP je množina přípustných řešení konvexní polyedr!! Pokud by to tak nebylo, základní věta LP by byla neplatná. Vyrovnání nerovnice na rovnici: X1 + 2X2 + X3 = 1500 K levé straně přičítám (je menší nebo rovno) 4X1 + 3X2 + X4 = 3000 Tato soustava je ekvivalentní soustavou rovnic k původní soustavě nerovnic. K nekonečnému počtu řešení existuje určitý počet základních řešení. Tato soustava má nekonečně mnoho řešení, konečný počet řešení je základním řešením. Máme základní proměnné těch je vždy tolik, kolik máme rovnic (2) a nezákladní proměnné jsou ty zbylé (tady také 2 to je náhoda). Základní proměnná může být i strukturní i přidaná, v základním řešení si základní proměnné dopočítáme a nezákladní proměnné jsou 0 volíme. řešení X1 X2 X3 X4 zisk X X Jelikož chceme maximalizovat zisk, vidíme které řešení je maximální! Můžeme očekávat 6 základních řešení, ale všech 6 nemusí existovat. Jsou to základní řešení ekvivalentní soustavy rovnic. Ale pouze některé z nich jsou přípustnými řešeními z hlediska úlohy LP, konkrétně 4 1,2,5,6 řešení 3,4 není přípustné z hlediska podmínek. 16

17 Základní věta LP pokud á úloha LP optimální řešení, pak má také optimální řešení základní. Při hledání optimálního řešení se stačí soustředit na základní řešení, kterých je omezený počet. Alespoň jedno ze základních řešení musí být optimální. 17

18 18

19 19

20 20

21 21

22 22

23 23

24 U portfolia můžeme definovat proměnné: a) velikost investované částky b) podíl - např. 1/6 c) počet nakoupených akcií/obligací Příklad SPORTKA Přesné zadání je k dispozici na webu. - K dispozici 4 mil. => z toho investovat část tak, aby výnos byl min. 300 tis.; do akcií bylo investováno min. ½ investované částky x Kč / ks výnos p.a. riziko akcie % 6 obligace % 3 - Cíl = účel = minimalizovat riziko - Znám cenu CP => mohu mít jejich počet za proměnnou => x 1 = počet akcií, x 2 = počet obligací Z = 6x 1 + 3x 2 (min) Omezující: x 1, x 2 0 x 1, x 2 є Z 500*x *x max. investovaná částka (500*x 1 )*0,1 + (700*x 2 )*0, *x 1 0,5 * (500*x *x 2 ) 250*x 1-350*x 2 0 min. výnos investovaná částka min. z 50% akcie Výpočet pomocí řešitele: akcie obligace množství riziko pravá strana cena za CP Výnos p.a podíl na i Výpočet: 250*x 1-350*x 2 0 => x 1 = 350/250 x 2 = 7/5 x 2 500*7/5 x *x 2 = *x *x 2 = x 2 = / 1400 x 2 = 2857 => x 1 = 2857*7/5 =

25 (500*7/5*x 2 )*0,1 + (700*x 2 )*0,12 = *x *x 2 = *x 2 = x 2 = 1948 => x 1 = 7/5*1948 = 2728 Z = 6x 1 + 3x 2 => 6* *2857 = Z = 6x 1 + 3x 2 => 6* *1948 = X 2 X 1 Průsečíky v grafu jsou 2, *4000, ale neodpovídá zadané podmínce - minimalizovat riziko. Řezné úlohy Příklad PLOT - K dispozici jsou latě 2m - Potřebujeme laťky 80cm -1200ks; 50cm -3100ks; 30cm -500ks Počet neznámých bude počet možností, jak dvoumetrové latě nařezat na 80, 50 a 30cm laťky Cíl = účel = minimální počet rozřezaných 2m latí i cm cm cm odpad Xi = # 2m latí rozřezaných podle i-tého schématu (i = 1, 2,, 9) x 1, x 2,, x 9 0 x 1, x 2, x 9 є Z 2x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1200 (80-ti cm latěk) 25

26 2x 2 + x 3 +4 x 5 +3 x 6 +2 x 7 + x 8 = 3100 (50-ti cm latěk) x 1 + 2x 3 +4 x 4 + x 6 + 3x 7 +5 x 8 +6 x 9 = 500 (30-ti cm latěk) účelová funkce: Z = x 1 + x x 9 min účelová f-ce pro zadání minimalizovat odpad: Z = 10x x x 9 min účelová f-ce pro zadání minimalizovat počet odřezků: Z = x 1 + x 2 + x 3 + x 6 + x 7 + x 9 min Dělící problém Příklad KRMÍTKA A BUDKY Výstava za 20 dní PC krmítka 260 PC budky 570 pracovní doba 8h/den Sklad: 500 prken 110cm; 150 prken 140cm, vruty 3000ks Spotřeba: Krmítko Budka prkno 30cm 1 2 prkno 25cm 1 4 vruty / ks 8 16 čas min Prkno: 110 cm 140 cm Krmítko Budka Schéma x cm cm odpad cm x 10 = # vyrobených krmítek x 11 = # vyrobených budek Účelová funkce = maximalizovat výnos z prodeje : Z = 260*x *x 11 max x 1 = # prken rozřezaných podle schématu číslo 1 x 9 = # prken rozřezaných podle schématu číslo 9 x 10 = # vyrobených krmítek x 11 = # vyrobených budek Omezující: x 1 - x 11 є Z Λ x 1 - x *x *x

27 0,5*x 10 + x x 1 + x 2 + x 3 + x x 5 + x 6 + x 7 + x 8 + x x 1 + 2x 2 + x 3 + 4x 5 + 3x 6 + 2x 7 + x 8 x x 11 3x 1 + 2x 2 + x 3 + 4x 5 + 3x 6 + 2x 7 + x 8 - x 10-2x x 2 + 3x 3 + 4x 4 + 2x 6 + 3x 7 + 4x 8 + 5x 9 x x 11 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 + 2x 6 + 3x 7 + 4x 8 + 5x 9 - x 10-4x 11 0 Řešení Excel: x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 množství výnos pravá strana vruty hodiny 0, cm p m p cm díly cm díly Řešení lindo viz. DÚ příloha. Dopravní problém Příklad BRAMBŮRKY Firma chce otevřít 3 nové provozovny Benešov, Jihlava, Tábor Firma má 2 sklady Humpolec, Pelhřimov Cena za dopravu je uvedena za 1t přepravovaných brambor. Benešov Humpolec Tábor Jihlava Pelhřimov 27

28 výrobna Benešov Jihlava Tábor Týdenní kapacita Sklad skladu v t Humpolec Pelhřimov Týdenní požadavek výrobny v t 140 Otázka je: Odkud kam kolik bude třeba odvézt X ij = objem přepravy (t brambor) mezi i-tým dodavatelem a j-tým odběratelem Z = 330x x x x x x 23 Omezující: (co nesmím překročit kapacity, co musím dodržet požadavky výroben) x 11 + x 12 + x x 21 + x 22 + x x 11 + x 21 = 45 x 12 + x 22 = 60 x 13 + x 23 = 35 (kapacita Humpolec) (kapacita Pelhřimov) (požadavek Benešov) (požadavek Jihlava) (požadavek Tábor) Podmínky: xij 0; i = 1, 2; j = 1, 2, 3 B J T Fiktivní odběratel H P Z = ,- Řešit lze v Excelu. Jedná se o nevyrovnaný dopravní problém = součty kapacit a součty požadavků se liší tuto nerovnováhu lze vyrovnat pomocí fiktivních činitelů (fiktivní odběratel ve skutečnosti nikdo zásobu neodebere, ale vyrovnají se tím součty). 28

29 Kontejnerový dopravní problém Cena přepravy je dána za pronájem vagonu (kontejner), nevztahuje se na jednotku přepravovaného materiálu (cena za 1 kontejner je stejná bez ohledu na míru jeho naplnění tedy zda je plný či prázdný). výrobna Benešov Jihlava Tábor Týdenní kapacita Sklad skladu v t Humpolec Pelhřimov Týdenní požadavek výrobny v t 140 Cena je za 1 vagon odkud kam ; kapacita jednoho kontejneru je 18t x ij = objem přepravy v t mezi i-tým dodavatelem a j-tým odběratelem y ij = počet kontejnerů použitých na přepravu objemu t brambor mezi i-tým dodavatelem a j- tým odběratelem Z = 4200y y y y y y 23 min Omezující: (co nesmím překročit kapacity, co musím dodržet požadavky výroben) x 11 + x 12 + x x 21 + x 22 + x x 11 + x 21 = 45 x 12 + x 22 = 60 x 13 + x 23 = 35 Jak definovat vagóny..??? (kapacita Humpolec) (kapacita Pelhřimov) (požadavek Benešov) (požadavek Jihlava) (požadavek Tábor) x ij 18y ij když y ij = 0 = pak nejede vagon, nevezu do daného místa žádné zboží Podmínky: x ij 0; i = 1, 2; j = 1, 2, 3 y ij 0; i = 1, 2; j = 1, 2, 3; y ij є Z Řešení je v knížce (2.6, str. 46-8), opět možno řešit v Excelu. Přiřazovací problém - přiřazuji vždy 2 skupiny prvků, v obou skupinách je stejný počet prvků a každý smí být přiřazen jen jednomu z druhé skupiny (jako párování v tanečních) - cílem je seskupit prvky z obou skupin tak, aby v páru byl vždy 1 a 1 z každé skupiny prvků - podmínkou je maximalizace celkové spokojenosti DÚ jak zajistit maximální spokojenost na tanečním parketu??? o Index spokojenosti max (spokojenost = ten, kdo chce s někým tančit, s ním také bude v páru) o Body 1 za lingo, 2 za realizaci pro 5 párů 29

30 Příklad BAGRY OPVP přednášky, cvičení - Fábry Firma má 4 garáže, v každé po jednom bagru a 4 staveniště, kde musí pracovat vždy 1 bagr; bagry by měly najet co nejméně km. Michle Prosek Radlice Trója G G G G Nevím, co s tím => vyberu diagonálu => 39km M P R T G1 5 G2 17 G3 5 G Hledám minimum takže najdu nejnižší hodnotu (zabarvím hodnoty, které již nepřipadají do úvahy růžová, pak zelená, pak žlutá a pak zbude poslední volné pole :od součet 32km M P R T G1 5 G2 10 G3 5 G4 12 Otázka je, zda je toto optimum..??? Tento postup nemusí vždy vést k OPTIMÁLNÍMU řešení proč..?? Tak mrk na tuhle tabulku (stačí tam dopsat nulu): M P R T G1 5 G2 10 G3 5 G4 120 Tomuto postupu se říká HEURETICKÝ ALGORITMUS (heuristika). Je založen na rozumné úvaze, úloha se stává řešitelnou v relativně krátkém čase, ale nezaručuje vždy optimální řešení. Heuristických řešení je více, poskytují relativně spolehlivé výsledky, často blízké optimu. Co je v uvedeném příkladě proměnná..? To, co chci zjistit!!! Počet proměnných..?? 16 (4x4) x ij = 1 nebo 0; 1 když i-tý bagr pojede na j-té staveniště; 0 nic nejede nikam (x ij je bivalentní binární nebo také nula-jedničková proměnná to je už slang) i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2, 3, 4 právě 4 proměnné = 1, ostatní = 0 Z chci najet co nejméně Km Z = 5x x x 44 min Omezující: Na každé místo patří právě jeden bagr, každý bagr je přiřazen právě jednomu staveništi 30

31 x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = 1 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = 1 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 = 1 x 41 + x 42 + x 43 + x 44 = 1 x 11 + x 21 + x 31 + x 41 = 1 x 12 + x 22 + x 32 + x 42 = 1 x 13 + x 23 + x 33 + x 43 = 1 x 14 + x 24 + x 34 + x 44 = 1 každý bagr jede právě na 1 staveniště na každé staveniště pojede právě 1 bagr OPVP přednášky, cvičení - Fábry V Excelu lze zadat podmínku binárnosti tam, kde se zadává podmínka celočíselnosti. Teorie grafů Pro začátek zapomeneme na to, že tohle (to nahoře) je graf!!! 6 Protože tohle je graf: Skládá se ze dvou množin prvků: = uzly = hrany Hrana je - orientovaná (jako jednosměrka) - neorientovaná (obousměrná) Na 51 a 52 straně je příklad s mosty (najít cestu tak, abych po každém mostě šla jen jednou lze to znázornit i pomocí grafu ;o) Neorientovaný graf takový, který má všechny hrany neorientované Orientovaný graf takový, který má všechny hrany orientované (dohoda je, že mixlý graf nebereme) Cesta mezi dvojicí uzlů i a j je taková posloupnost na sebe vzájemně navazujících hran, která začíná v uzlu i a končí v uzlu j Orientovaná cesta má smysl jen v orientovaném grafu; je taková cesta, která respektuje orientaci všech hran (v obrázku výše by to byla cesta 1-6) 31

32 Neorientovaná cesta má smysl jen v orientovaném grafu; je taková cesta, která nemusí respektovat orientaci hran (v obrázku výše by to byla cesta 6-1) Cyklus = uzavřená cesta je taková cesta, která začíná a končí ve stejném uzlu (je to cesta přes různé uzly, přičemž bych neměla žádným uzlem projít 2x) Souvislý graf mezi každou dvojicí uzlů existuje alespoň jedna cesta (v orientovaném grafu alespoň jedna neorientovaná cesta); na obrázku níže je jeden nesouvislý graf Úplný graf mezi každou dvojicí uzlů existuje hrana Strom graf, který nemá cyklus je acyklický musí být souvislý měl by být neorientovaný uzlů je vždy o 1 víc než hran (když jednu hranu umažu, stane se z grafu nesouvislý graf, když naopak jednu přidám, vznikne cyklus a tím pádem už to není strom). Ke každé hraně mohu přidat číslo mohu ji ohodnotit (obvykle tím zaznamenávám vzdálenost mezi jednotlivými uzly) takový graf se nazývá hranově ohodnocený Uzlově ohodnocený graf ohodnotím jednotlivé uzly (to nebudeme moc používat) Síť síťový graf je graf souvislý, orientovaný, hranově nebo uzlově ohodnocený a má 1 vstup a 1 výstup - vstup uzel, ze kterého hrany jen vystupují - Výstup uzel, do kterého hrany pouze vstupují Úkol Taneční Navrhněte způsob, jak zajistit maximální celkovou spokojenost všech tanečních párů v tanečním sále. (1 bod). Uvedený způsob demonstrujte na příkladu s 5 dívkami a 5 chlapci v tanečním kurzu. Úlohu vyřešte v MS Excel (2 body). 32

33 Tzn. teď x11 + X12+X13.. NEDOPOČÍTÁVALI JSME TO!!! 33

34 34

35 35

36 36

37 Doučko: 37

38 38

39 Úkoly Kostra, Cesta a Tok U následujícího grafu najděte: OPVP přednášky, cvičení - Fábry 1. Jeho minimální kostru (2 body). 2. Nejkratší cesty z uzlu č. 1 do všech ostatních uzlů (2 body). 3. Hodnotu maximálního toku z uzlu č. 1 do uzlu č. 7 (2 body). 39

Lineární programování

Lineární programování 24.9.205 Lineární programování Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 203/204 Obsah Úloha lineárního programování. Formulace úlohy lineárního programování. Typické úlohy lineárního programování.

Více

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat

Více

15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace

15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace @173 15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace Jak jsme se dozvěděli v 3. lekci tohoto kurzu, je obrazem rovnice ax + by + c = 0, a,b,c R (a; b) (0; 0) přímka a obrazem nerovnic ax + by + c 0, a,b,c

Více

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory]

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] Část I Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] V matematice grafem obvykle rozumíme grafické znázornění funkční závislosti. Pro tento předmět je však podstatnější pohled jiný. V teorii grafů rozumíme

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel Ročník: I. - vytváří si názoru představu o čísle 5, 10, 20 - naučí se vidět počty prvků do 5 bez počítání po jedné - rozpozná a čte čísla 0 5 - pozná a čte čísla 0 10 - určí a čte čísla 0 20 Číselná řada

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Modul Řešitel (v anglické verzi Solver) je určen pro řešení lineárních i nelineárních úloh matematického programování. Pro ilustraci

Více

Postup při řešení matematicko-fyzikálně-technické úlohy

Postup při řešení matematicko-fyzikálně-technické úlohy Postup při řešení matematicko-fyzikálně-technické úlohy Michal Kolesa Žádná část této publikace NESMÍ být jakkoliv reprodukována BEZ SOUHLASU autora! Poslední úpravy: 3.7.2010 Úvod Matematicko-fyzikálně-technické

Více

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Spočítá prvky daného konkrétního souboru do 6., Zvládne zápis číselné řady 0 6 Užívá a zapisuje vztah rovnosti a nerovnosti Numerace v oboru 0 6 Manipulace s předměty, třídění předmětů do skupin. Počítání

Více

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy.

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy. Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více

7 Kardinální informace o kritériích (část 1)

7 Kardinální informace o kritériích (část 1) 7 Kardinální informace o kritériích (část 1) Předpokládejme stejná značení jako v předchozích cvičeních. Kardinální informací o kritériích se rozumí ohodnocení jejich důležitosti k pomocí váhového vektoru

Více

Optimalizace obecný úvod. [proč optimalizovat?] Formalizace problému. [existují podobné problémy?]

Optimalizace obecný úvod. [proč optimalizovat?] Formalizace problému. [existují podobné problémy?] Optimalizace obecný úvod 1 Optimalizace obecný úvod Motivace optimalizačních úloh [proč optimalizovat?] Formalizace problému [jak obecně popsat optimalizační úlohu?] Klasifikace optimalizačních problémů

Více

I. kolo kategorie Z7

I. kolo kategorie Z7 60. ročník Matematické olympiády I. kolo kategorie Z7 Z7 I 1 Součin číslic libovolného vícemístného čísla je vždy menší než toto číslo. Pokud počítáme součin číslic daného vícemístného čísla, potom součin

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Matematika a její aplikace - 1. ročník

Matematika a její aplikace - 1. ročník Matematika a její aplikace - 1. ročník počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla do 20 užívá a zapisuje vztah rovnosti a nerovnosti

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

(A) o 4,25 km (B) o 42,5 dm (C) o 42,5 m (D) o 425 m

(A) o 4,25 km (B) o 42,5 dm (C) o 42,5 m (D) o 425 m . Když od neznámého čísla odečtete 54, výsledek vydělíte 3 a následně přičtete 6, získáte číslo 9. Jaká je hodnota tohoto neznámého čísla? (A) 0 (B) 03 (C) 93 (D) 89 2. Na úsečce SV, jejíž délka je 3 cm,

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro

Více

Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník

Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Období ročník : Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník Počet hodin : 165 Učební texty : H. Staudková : Matematika č. 7 (Alter) R. Blažková : Matematika

Více

Nástroje pro analýzu dat

Nástroje pro analýzu dat 7 Nástroje pro analýzu dat V té to ka pi to le: Ověřování vstupních dat Hledání řešení Řešitel Scénáře Citlivostní analýza Rychlá analýza Kapitola 7 Nástroje pro analýzu dat Součástí Excelu jsou nástroje

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVDC0T03 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Matematika - 4. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 4. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 4. ročník Čas.plán Téma Učivo Ročníkové výstupy žák podle svých schopností: Poznámka Září Opakování učiva 3. ročníku Počítaní do 20 Sčítání a odčítání do 20 Násobení a dělení číslem 2 Počítání

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Teorie grafů. zadání úloh. letní semestr 2008/2009. Poslední aktualizace: 19. května 2009. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Teorie grafů. zadání úloh. letní semestr 2008/2009. Poslední aktualizace: 19. května 2009. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Teorie grafů zadání úloh letní semestr 2008/2009 Poslední aktualizace: 19. května 2009 Obsah Úloha číslo 1 5 Úloha číslo 2 6 Úloha číslo 3 7 Úloha číslo 4 8 Úloha číslo 5 9 Úloha číslo 6 10 Úloha číslo

Více

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují.

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. .. Funkce, definiční obor funkce Předpoklady: 03 Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. Uděláme si na tabuli jenom krátký seznam: S = a, y = x, s = vt, výška lidí v

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

Vzdělávací předmět: Seminář z matematiky. Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu 5.10.

Vzdělávací předmět: Seminář z matematiky. Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu 5.10. 5.10. Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Vzdělávací předmět: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Seminář z matematiky Charakteristika vyučovacího předmětu Vyučovací předmět Seminář z

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 6. ročník Zpracovala: Mgr. Michaela Krůtová Číslo a početní operace zaokrouhluje, provádí odhady s danou přesností, účelně využívá kalkulátor porovnává

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel

3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel 3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel Rovnováha mechanické soustavy Uvažujme dvě různé nehmotné lineární pružiny P 1 a P 2 připevněné na pevné horizontální tyči splývající s osou x podle obrázku: (0,0)

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVD11C0T04 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno Přednáška č. 11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Jedná se o speciální případ dopravních úloh, řeší např. problematiku optimálního přiřazení strojů na pracoviště. Příklad Podnik má k dispozici 3 jeřáby,

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Matematika a její aplikace Matematika

Matematika a její aplikace Matematika Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Období ročník : Počet hodin : 165 Učební texty : Matematika a její aplikace Matematika 1. období 2. ročník Mgr. M. Novotný, F. Novák: Matýskova matematika 4.,5.,6.díl

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

MATEMATIKA. MATEMATIKA průřez.téma + MP vazby. vzdělávací oblast: vzdělávací obor: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE

MATEMATIKA. MATEMATIKA průřez.téma + MP vazby. vzdělávací oblast: vzdělávací obor: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE A JEJÍ APLIKACE ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE + MP vazby 1. Obor přirozených čísel - používá čísla v oboru 0-20 k modelování reálných situací.- práce s manipulativy - počítá předměty v oboru 0-20, vytváří soubory

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika, II. stupeň

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika, II. stupeň Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika, II. stupeň 1/Charakteristika vyučovacího předmětu a) obsahové vymezení Předmět je rozdělen na základě OVO v RVP ZV na čtyři

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 3. ročník Zpracovala: Mgr. Jiřina Hrdinová Číslo a početní operace čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla do 1000, užívá a zapisuje vztah rovnosti a

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

Délka (dny) 150 - - 2 terénní úpravy (prvotní) 15-20 - příprava staveniště (výstavba přístřešku pro materiál)

Délka (dny) 150 - - 2 terénní úpravy (prvotní) 15-20 - příprava staveniště (výstavba přístřešku pro materiál) Skupinová práce. Zadání skupinové práce Síťová analýza metoda CPM Dáno: Výstavba skladu zásob obilí představuje následující činnosti: Tabulka Název činnosti Délka (dny) Optimální projekt. Optimální dělníků

Více

9 Prostorová grafika a modelování těles

9 Prostorová grafika a modelování těles 9 Prostorová grafika a modelování těles Studijní cíl Tento blok je věnován základům 3D grafiky. Jedná se především o vysvětlení principů vytváření modelů 3D objektů, jejich reprezentace v paměti počítače.

Více

Učební osnovy pracovní

Učební osnovy pracovní ZV Základní vzdělávání 5 týdně, povinný ČaPO: Přirozená čísla do a přes 1 000 000 Žák: ČaPO: počítá do 1 000 000 - počítá po statisících, desetitisících, tisících ČaPO: čte a zobrazí číslo na číselné ose

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

1. Opakování učiva 6. ročníku

1. Opakování učiva 6. ročníku . Opakování učiva 6. ročníku.. Čísla, zlomek ) Z číslic, 6 a sestavte všechna trojciferná čísla tak, aby v každém z nich byly všechny tři číslice různé. ) Z číslic, 0, 3, sestavte všechna čtyřciferná čísla

Více

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách.

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách. MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vzdělání v matematice je zaměřeno na: užití matematiky v reálných situacích osvojení pojmů, matematických postupů rozvoj abstraktního myšlení

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

Numerické řešení variačních úloh v Excelu

Numerické řešení variačních úloh v Excelu Numerické řešení variačních úloh v Excelu Miroslav Hanzelka, Lenka Stará, Dominik Tělupil Gymnázium Česká Lípa, Gymnázium Jírovcova 8, Gymnázium Brno MirdaHanzelka@seznam.cz, lenka.stara1@seznam.cz, dtelupil@gmail.com

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

Obsah. Vybraná témata z Excelu pro techniky 13. Obsah. Úvod 11 Komu je kniha určena 11 Uspořádání knihy 11. Typografická konvence použitá v knize 12

Obsah. Vybraná témata z Excelu pro techniky 13. Obsah. Úvod 11 Komu je kniha určena 11 Uspořádání knihy 11. Typografická konvence použitá v knize 12 Obsah Úvod 11 Komu je kniha určena 11 Uspořádání knihy 11 Typografická konvence použitá v knize 12 1 Vybraná témata z Excelu pro techniky 13 Vzorce a funkce pro techniky 14 Vytvoření jednoduchého vzorce

Více

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák:

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák: Matematika prima Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) využívá při paměťovém počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení provádí písemné početní operace v oboru přirozených zaokrouhluje,

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

5.2.1. Matematika pro 2. stupeň

5.2.1. Matematika pro 2. stupeň 5.2.1. Matematika pro 2. stupeň Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň Obsahové, časové a organizační vymezení Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět v 6., 8. a 9. ročníku 4 hodiny

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

Problém obchodního cestujícího(tsp) Vstup: Množina n měst a vzdálenosti mezi nimi. Výstup: Nejkratší okružní cesta procházející všemi městy.

Problém obchodního cestujícího(tsp) Vstup: Množina n měst a vzdálenosti mezi nimi. Výstup: Nejkratší okružní cesta procházející všemi městy. Problém obchodního cestujícího(tsp) Vstup: Množina n měst a vzdálenosti mezi nimi. Výstup: Nejkratší okružní cesta procházející všemi městy. Poznámka:Slovem okružní myslíme,žecestakončívestejném městě,

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Žák cvičí prostorovou představivost Žák využívá při paměťovém i písemném počítání komutativnost i asociativní sčítání a násobení Žák provádí písemné početní operace v oboru Opakování učiva 3. ročníku Písemné

Více

MATEMATIKA A 3 Metodický list č. 1

MATEMATIKA A 3 Metodický list č. 1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Úvod do problematiky diskrétní matematiky Cíl: Cílem tohoto tématického celku je vymezení oblasti diskrétní matematiky a příprava na další výklad kurzu. Jedná

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

Matematika a její aplikace Matematika

Matematika a její aplikace Matematika Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Období ročník : Počet hodin : 165 Matematika a její aplikace Matematika 2. období 5. ročník Učební texty : J. Justová: Alter-Matematika, Matematika 5.r.I.díl, 5.r.

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly.

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly. Kapitola Reprezentace grafu V kapitole?? jsme se dozvěděli, co to jsou grafy a k čemu jsou dobré. rzo budeme chtít napsat nějaký program, který s grafy pracuje. le jak si takový graf uložit do počítače?

Více

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

7. Slovní úlohy na lineární rovnice

7. Slovní úlohy na lineární rovnice @070 7. Slovní úlohy na lineární rovnice Slovní úlohy jsou často postrachem studentů. Jenţe Všechno to, co se učí mimo slovní úlohy, jsou postupy, jak se dopracovat k řešení nějaké sestavené (ne)rovnice.

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více