Obecny u vod do fysika lnı ch meˇrˇenı

Transkript

1 Fysikální měření pro gymnasia I. část Obecný úvod do fysikálních měření Gymnasium F. X. Šaldy Honsoft Liberec 2008

2 c Jan Voženílek, 2008

3 ÚVOD Pozorování a experiment jsou důležitými fysikálními metodami tato slova slyšel čtenář, student gymnasia, hned při první hodině fysiky. V další hodině následoval výklad o fysikálních pojmech a fysikálních veličinách, o jejich číselných hodnotách a jednotkách. Čtenář už zná minimálně jednu soustavu jednotek a ví, které veličiny (a jednotky) jsou základní a které odvozené. Nyní má příležitost pozorovat a měřit. Tyto činnosti nejsou nijak nové. V Eposu o Gilgamešovi se píše: Plocha půdorysu byla 13 itů, stěny vysoké na deset garů. Dal jsem jí šest palub, šířku jsem rozdělil devětkrát. V peci jsem roztavil šest sarů smůly. Tři sta loktů bude délka mé lodi, padesát loktů šířka a třicet loktů výška. I biblický Noe stavěl svoji archu podle návodu předpokládajícího měření: Udělej si archu z goferového dřeva. V arše uděláš komůrky a vysmolíš ji uvnitř i zvenčí smolou. A uděláš ji takto: Délka archy bude tři sta loket, šířka padesát loket a výška třicet loket. Archa bude mít světlík; na loket odshora jej ukončíš a do boku archy vsadíš dveře. V jiné biblické knize, v První knize Královské, zase čteme detaily výroby jakéhosi moře, ozdobného prvku jeruzalémského chrámu: Odlil také moře o průměru deseti loket, okrouhlé, pět loket vysoké; dalo se obepnout měřicí šňůrou dlouhou třicet loket. S trochou pozornosti si všimneme, že v uvedeném textu zapsáno dnešním matematickým jazykem je d = 10 lk, O = 30 lk a protože O = πd, byla tehdejší známá hodnota π = 3. Uvědomil si to stavitel chrámu už tenkrát, kolem roku 950 př. n. l.? Nevíme. A uvědomil si to dnes čtenář, student gymnasia? V charakteristice fysiky ve Školním vzdělávacím programu Gymnasia F. X. Šaldy se píše: Hledání přírodních zákonitostí charakteristické pro fysiku je důsledkem přirozené touhy člověka po poznání, je důsledkem jeho touhy po řádu a nalezení smyslu. Fysika je jedním z nástrojů, který řád jsoucna umožňuje objevovat; přitom jej objevuje pouze na určité úrovni na úrovni hmotných objektů, ovšem v celém jejich obrovském rozsahu, od elementárních částic až po celý vesmír. Fysika učí žáka souběžně používat teoretické i empirické prostředky. Žák si osvojuje schopnost soustavného, záměrného pozorování, často s nastavením počátečních podmínek (schopnost experimentovat). Během studia se žák postupně učí abstrahovat a vytvářet jednoduché fysikální modely reality, k nimž nezřídka najde i vhodný matematický popis. Fysikální zkoumání (řízené učitelem) nutí žáky formulovat otázky a hledat na ně odpovědi. Povzbuzuje touhu po pravdivosti a vede k hledání pravdy o světě, v němž žijeme; žák je přitom stále veden k vědomí, že tímto fysikálním poznáním se pravda o světě a člověku nevyčerpává. K uskutečnění smělých cílů slouží i fysikální měření. Pro ně je připraven učební text Fysikální měření pro gymnasia, rozdělený z praktických důvodů do pěti (nestejně obsáhlých) sešitů. První část Obecný úvod do fysikálních měření se zabývá metodami měření fysikálních veličin a vyhodnocením jejich chyb. Jsou také připojeny návody pro zpracování naměřených dat a konstrukci grafů v tabulkovém procesoru počítače. Druhá část Mechanika, Molekulová fysika a termika a třetí část Mechanické kmitání a vlnění přinášejí konkrétní návody k laboratorním úlohám z těchto oborů fysiky. Čtvrtá část, Měření elektrických veličin, začíná informací o bezpečnosti práce s elektrickým proudem, o metodách měření elektrických veličin a o stanovení jejich chyb; následují návody k několika úlohám. Celek uzavírá pátý svazek Optika, Fysika mikrosvěta s několika dalšími návody. První díl tedy obsahuje souvislý výklad o zpracování výsledků měření; popisuje postupy, jež budou potřebné ve všech následujících fysikálních měřeních. Kapitoly tohoto prvního dílu na 3

4 sebe logicky navazují, ale nejsou stejně závažné. Je nezbytné ovládat učivo v kapitolách Metody měření fysikálních veličin a Chyby měření. Další část Chyby přímých měření je zamýšlena jako doplnění výkladu učitele výklad je veden zejména nad obr Student tak nemusí při výkladu nic psát, spíše má o vykládaném přemýšlet; pak si vše znovu pročte v učebním textu. Ke zpracování měření mu ovšem stačí algoritmus popsaný ve Shrnutí 1. Podobně je tomu v kapitole Chyby veličin určených výpočtem, kde jsou odvozena pravidla uvedená v nezbytném Shrnutí 2. Čtenář-minimalista tedy při zpracování fysikálních měření a tvorbě referátu vystačí s obsahem Shrnutí 1 a Shrnutí 2, s tab. 3 a kapitolou Stručná příručka fysikálního grafotvůrce; nebude však vědět, proč popsané činnosti dělá, a nedosáhne kompetencí stanovených školním vzdělávacím programem. Naopak čtenáři-maximalistovi (takový čtenář mj. dochází do fysikálního semináře a rád řeší úlohy fysikální olympiády) je určen text celý, včetně rozšiřujících kapitol (např. Nejistoty měření); tento čtenář také asi sáhne po další literatuře uvedené v závěru. Látka obsažená v tomto prvním svazku není triviální. I když je výklad doplněn množstvím obrázků s bublinami (a vzdáleně tak připomíná dosti svérázný komiks), bude jeho četba pro žáky prvního ročníku (tedy pro žáky ze základní školy zpravidla neuvyklé samostatnému studiu) asi obtížnější než prohlížení obrázkových časopisů pro dospívající mládež. Není však třeba zoufat: mnohé bude vysvětleno a předvedeno vyučujícím v prvních hodinách cvičení. Učební text se nezabývá pravidly pro tvorbu referátů (protokolů) o provedeném měření, ani zásadami pro organizaci cvičení. Taková pravidla stanovuje vyučující a oznamuje je v prvních hodinách. Autor tohoto učebního textu je uvádí na svém webu tam lze také najít další pomocné materiály, např. poučení o stylu odborných textů či základní pravidla typografická; součástí hodnocení referátu je totiž i hodnocení jeho jazykové správnosti a typografického provedení. Lze předpokládat, že se čtenář v dalších letech gymnasialních studií bude k tomuto prvnímu svazku vracet, protože na poznatky v něm obsažené se následující svazky publikace Fysikální měření pro gymnasia odvolávají. Mnoho činností prováděných při zpracování fysikálních měření se urychlí užitím tabulkového kalkulátoru počítače. Uvádíme několik návodů, jak tabulkový kalkulátor využít; soustředíme se jednak na (komerční) MS Excel, jednak na (pod LGPL licencí rozšiřovaný) OpenOffice.org Calc. Četné nápady, jak počítač využít, bude mít jistě sám student; smysluplně přitom využije znalostí a dovedností nabytých v hodinách informatiky. Text byl psán v podmínkách Gymnasia F. X. Šaldy, a to primárně pro studenty, jejichž vyučujícím je autor textu. Možná, že text (nebo jeho další části) využijí i studenti jiných vyučujících, případně studenti jiných středních škol. Případným pokročilým čtenářům (např. vyučujícím jiných škol) je určen Doslov v závěru tohoto sešitu. Text byl napsán v systému AMS-TEX. Obrázky a tabulky vytvořené v různých kancelářských balících jsou umístěny společně na dvou místech publikace; lze je tak užívat nezávisle na ostatním textu při výkladu učitele. Autor děkuje za cenné připomínky studentům, kteří po několik let používali různé pracovní verze textu, a milé kolegyni Mgr. Ivaně Buchalové, která přečetla všechny díly publikace zrakem nezatíženým předchozími verzemi. V Liberci 28. října

5 METODY MĚŘENÍ FYSIKÁLNÍCH VELIČIN V hodinách fysiky byla probrána teorie o fysikálních veličinách, jejich číselných hodnotách a jednotkách. V přírodovědných (resp. fysikálních) cvičeních budeme různé fysikální veličiny prakticky měřit; přitom budeme postupovat různými metodami. Definiční metoda je založena na měření veličin obsažených v definici měřené fysikální veličiny. Přímá měřicí metoda je metoda, při níž se hodnota měřené veličiny získává přímo, bez výpočtů obsahujících hodnoty jiných veličin. Nepřímá měřicí metoda je metoda, při níž se hodnota měřené veličiny určuje výpočtem ze změřených hodnot jiných veličin. Příklad. Hustota je definována vztahem ϱ = m/v. Určíme-li hustotu z tohoto vztahu měřením hmotnosti a objemu, postupujeme definiční metodou. Hustota se však také objevuje v Archimédově zákoně; pokud tohoto zákona vhodně použijeme k měření hustoty kapaliny na základě výpočtu, postupujeme nepřímo. Konečně, pokud hustotu změříme hustoměrem, užili jsme přímou měřicí metodu. 1 ) Absolutní a relativní metody. Při měření srovnávací (relativní) metodou porovnáváme měřenou veličinu se známou hodnotou veličiny téhož druhu. (Při vážení se závažím, při určování odporu s odporem rezistorů odporové dekády.) Naopak absolutní metody dávají výsledek přímo ve zvolených jednotkách. Substituční metoda spočívá v porovnání měřené veličiny s řadou veličin téhož druhu známé velikosti uspořádaných do sad. Nejdříve zjistíme výchylku měřicího přístroje způsobenou měřenou veličinou; poté ji nahradíme sadou veličin nastavenou tak, aby způsobila stejnou výchylku měřicího přístroje. Jde např. o měření odporu odporovou dekádou. CHYBY MĚŘENÍ Označme symbolem X skutečnou (přesnou) hodnotu fysikální veličiny. Tuto hodnotu neznáme; měřením se ji snažíme zjistit. Symbolem x označíme hodnotu naměřenou. Chybou měření δ potom rozumíme rozdíl δ := x X, (1.1) jak je patrné, chyba δ může být kladná i záporná (podle toho, zda-li je naměřená hodnota veličiny větší či menší než její hodnota skutečná). Při diskusi o přesnosti měření nezáleží jen na absolutní velikosti chyby měření, ale také na jejím poměru k hodnotě veličiny. Měříme-li jednak délku šroubu do traktoru, jednak vzdálenost Země Měsíc s touž absolutní chybou, nejsou měření stejně přesná. Je proto účelné, aby byla relativní chyba měření δ r definována jako poměr chyby měření ke změřené hodnotě veličiny: δ r := δ/x; (1.2) často se hodnota δ/x ještě vynásobí stem; relativní chyba měření δ r je pak uvedena v procentech. 1 ) Ve starší, užitečné literatuře, s níž se čtenář stále může setkat, byly uvedené názvy užity v jiném smyslu: Přímá metoda využívá k určení hodnoty veličiny definičního vztahu. Metoda nepřímá využívá jiného než definičního vztahu. Vedle pojmů přímá, resp. nepřímá metoda se používaly ještě pojmy přímé, resp. nepřímé měření. Přímé měření spočívá v tom, že hodnotu veličiny zjistíme přímo odečtením na stupnici měřidla; nepřímé měření spočívá na výpočtu veličiny z jiných veličin změřených měřidly. Jak je patrné, dřívější pojem nepřímé měření a dnešní pojem nepřímá metoda znamenají totéž. 5

6 V případě ideálního měření (s absolutní přesností) by platilo X = x a chyba δ by byla nulová. Každé reálné i sebepečlivěji provedené měření je však zatíženo chybami. Jsou způsobeny nepřesností a nedokonalostí měřicích přístrojů, omezenými schopnostmi lidských smyslů, jsou důsledkem vnějších podmínek a vlivů působících na měření. Podle původu a charakteru výskytu lze chyby rozdělit 2 ) např. takto: Hrubé chyby vznikají omylem experimentátora, jeho nepozorností či přehlédnutím. Vznikají např. záměnou číslic v zápisu, opomenutím některého (podstatného) kroku měření. Tyto chyby podstatně zkreslují výsledek měření. Jsou snadno rozpoznatelné ( jedna řádově odlišná hodnota v souboru jinak navzájem si blízkých hodnot ). Hodnoty získané měřením, při němž došlo k hrubé chybě, je třeba ze souboru naměřených hodnot vyloučit. Systematické (soustavné) chyby se při opakovaném měření (za stejných podmínek) projevují stále stejně. Patří mezi ně chyby metody vznikající nedokonalostí, neúplností či nevhodností použité metody měření (metoda např. vychází z teoretického předpokladu, který v praxi není beze zbytku splněn), dále chyby přístrojů (nepřesnost přístrojů způsobená např. nedokonalou stupnicí, změnou délky (rozměrů) měřidla způsobenou změnou teploty), a konečně také chyby osobní, tj. chyby pozorovatelovy, způsobené např. dobou nervové reakce při měření času stopkami. Systematické chyby lze eliminovat zavedením početních korekcí (počítá se pak i s dobou nervové reakce pozorovatele; při vážení se zohlední, že závaží a vážený předmět rozdílného objemu jsou na miskách nadlehčovány různě velkou vztlakovou silou vzduchu apod.). Náhodné (nahodilé) chyby jsou výsledkem vlivů nepravidelných dějů, jejichž účinky se náhodně skládají. Výsledky opakovaných měření (provedených stejnou matodou a stejným experimentátorem) se právě v důsledku náhodných chyb vždy poněkud liší. Spektrum příčin těchto chyb je velmi široké, jde o řadu nezávislých vlivů: náhlé změny tlaku, teploty, vlhkosti vzduchu v místě měření, nesprávné ustavení přístoje, změny teploty měřicího zařízení, změny fysikálních polí v místě měření (např. změny geomagnetického pole). Na důsledky náhodných chyb je třeba brát při měření zřetel; měření se několikrát opakuje a získané výsledky se analyzují metodami matematické statistiky; tak lze stanovit nejpravděpodobnější hodnotu měřené veličiny. V dalších kapitolách se jednotlivými typy chyb budeme zabývat podrobněji. Matematický exkurs : Pravděpodobnost V následujících úvahách budeme potřebovat pojem pravděpodobnost. Běžně se říká: to je pravděpodobné, to není moc pravděpodobné. Dejme tomuto pojmu matematický význam. Klasická definice pravděpodobnosti. V pokusu, jehož všechny možné výsledky jsou stejně pravděpodobné, je pravděpodobnost P (A) jevu A rovna P (A) = počet výsledků příznivých jevu A počet všech možných výsledků. (1.3) Příklad. Pravděpodobnost hození šestky regulérní kostkou je 1/6, sudého čísla 3/6 = 1/2, prvočísla 3/6 = 1/2. Klasická definice pravděpodobnosti je názorná, ale má nevýhodu: počet výsledků v klasické definici musí být konečný. To postačí pro potřeby hráčů v kostky, pro potřeby fysiky nikoliv, 2 ) V metrologické literatuře lze nalézt i jiné, mírně rozdílné klasifikace chyb měření, základní typy chyb jsou však stejné. 6

7 neboť měření fysikální veličiny může mít nekonečně mnoho různých výsledků. Proto byla zvolena geometrická definice pravděpodobnosti: V rovině je dána množina G a její podmnožina g. Vybíráme náhodně bod z množiny G a ptáme se, s jakou pravděpodobností patří do množiny g. Pravděpodobnost přitom definujeme takto: S(g), resp. S(G) je obsah množiny g, resp. G. P = S(g) S(G) ; (1.4) Příklad. Strefujeme-li se do ciferníku hodin (a zásah všech míst je přitom stejně pravděpodobný), pak pravděpodobnost, že se trefíme do první čtvrthodiny, je 1/4. Ani geometrická definice není pro vyšší matematiku dostačující, proto se pracuje s axiomatickou definicí. Pro potřeby tohoto textu však klasická a geometrická definice pravděpodobnosti postačují. Na závěr exkursu poznamenejme, že pravděpodobnost jevu jistého je 1, zatímco pravděpodobnost jevu nemožného je 0. Interval spolehlivosti (1. část výkladu) Ukázali jsme si, že nejde přesně stanovit hodnotu měřené veličiny, neboť se při měření dopouštíme chyby měření. Nejde-li stanovit přesnou hodnotu veličiny, můžeme alespoň stanovit interval, v němž skutečná hodnota měřené veličiny X nejspíše leží, a zjistit, s jakou pravděpodobností. Řekněme si nejprve, co je naším cílem. Představme si, že měříme délku kovové tyčky. Není možné změřit ji zcela přesně. Byli bychom však rádi, kdybychom mohli např. konstatovat, že s pravděpodobností 95 % je její délka větší než 101,5 mm a menší než 101,6 mm. Matematicky zapsáno: X (101,5 mm; 101,6 mm) s pravděpodobností 95 %. (1.5) Ve fysice se užívá jiný zápis, využívající středu daného intervalu: X = (101,55 ± 0,05) mm s pravděpodobností 95 %. (1.6) Uvedený interval se nazývá interval spolehlivosti. Pokud bychom (za stejného měření) chtěli délku tyčky popsat přesněji, museli bychom dolní a horní odhad posunout blíže k sobě a říci např. X (101,52 mm; 101,58 mm) s pravděpodobností 65 %, (1.7) nebo totéž, ale zapsáno způsobem obvyklým ve fysice toto: X = (101,55 ± 0,03)mm s pravděpodobností 65 %. (1.8) Pozor: Tím, že meze přiblížíme více k sobě, snižujeme pravděpodobnost, že skutečná hodnota měřené veličiny mezi těmito mezemi leží. Při měření uvažujeme opačně: Nejprve se rozhodneme (resp. vyučující či zadavatel úkolu stanoví), s jakou pravděpodobností má být měření provedeno, a podle toho určíme krajní meze 7

8 intervalu spolehlivosti. Čím větší má být pravděpodobnost, tím širší bude i interval. Úzkého intervalu spolehlivosti lze dosáhnout jen pro menší pravděpodobnost. Jak třeba dobře vyvážit oba požadavky: cílem je najít rozumný interval spolehlivosti s rozumnou pravděpodobností. Příklad. Kdyby někdo při zpracování svého měření zaručoval pravděpodobnost 99, %, ale přitom by výsledkem měření byl interval spolehlivosti l = (100 ± 95) m, (1.9) bylo by takové měření naprosto bezcenné. Označíme-li zvolenou pravděpodobnost P, potom pravděpodobnost nežádoucího opačného jevu α, kde α = 100 % P, (1.10) nazýváme riziko. Riziko vyjadřuje pravděpodobnost, že skutečná hodnota měřené veličiny X leží mimo stanovený interval spolehlivosti. Příklad. Stanovíme-li pro nějakou veličinu interval spolehlivosti s pravděpodobností 65 %, znamená to, že skutečná hodnota veličiny v tomto intervalu s pravděpodobností 65 % leží a s rizikem 35 % v něm neleží. Šíře intervalu spolehlivosti při zvolené/dané pravděpodobnosti závisí na náhodných i systematických chybách měření. Prostudujme tyto chyby měření. CHYBY PŘÍMÝCH MĚŘENÍ Náhodné chyby Ukažme si nejprve, jak se (statisticky) vypořádat s náhodnými chybami. Začněme příkladem. Příklad. Opakovaně byla měřena výška kovového válečku. Bylo provedeno 44 měření; dostali jsme tyto hodnoty: 3 ) 5,77 5,65 5,74 5,88 5,71 5,99 5,99 5,69 5,84 5,69 5,72 5,77 5,80 5,72 5,81 5,68 5,77 5,64 5,72 5,79 5,87 5,61 5,91 5,88 5,75 5,67 5,84 5,68 5,77 5,73 5,49 5,32 5,69 5,77 5,54 5,59 5,69 5,70 5,70 5,60 5,73 5,80 6,03 5,73 Mezi dvěma po sobě následujícími hodnotami není žádná pravidelnost či souvislost. Seřaďme nyní naměřené hodnoty podle velikosti viz tab. 1. Vidíme, že rozdíl mezi největší a nejmenší naměřenou hodnotou je 0,71 mm. Naměřené hodnoty rozdělíme do několika skupin, do několika stejně širokých intervalů. Zvolme šířku intervalu 0,3 mm. Interval od nejmenší do největší hodnoty tedy rozdělíme na dílčí intervaly o šíři 0,3 mm a spočítáme, kolik naměřených hodnot do kterého intervalu připadne. Výsledek úvahy je v tab. 1; v posledním sloupci je zaznamenána relativní četnost f i číslo, vyjadřující poměr počtu n i hodnot naměřených v i-tém intervalu a počtu n všech měření. Relativní četnost se vyjadřuje buďto zlomkem (resp. desetinným číslem), 3 ) Hodnoty jsou úmyslně převzaty z [Mád91], aby čtenář toužící po podrobnějším matematickém výkladu mohl paralelně sledovat matematicky náročnější text v citované publikaci. 8

9 nebo (po vynásobení 100) v procentech. Symbolicky zapsáno: Histogram f i = n i n. (1.11) Znázorněme výsledek úvahy ještě názorněji, graficky pomocí sloupcového diagramu. Sloupce (obdélníky) tvořící diagram mají šířku rovnou šířce dílčích intervalů; výška odpovídá četnosti naměřených hodnot v daném intervalu. Tento typ diagramu se nazývá histogram. Histogram odpovídající tab. 1 je v obr. 1. Nyní provedeme celou úvahu znovu, ale zvolíme intervaly užší, o šíři 0,2 mm. Zpracujeme podobnou tabulku tab. 2 a nakreslíme histogram (v obr. 2). Čtenář jistě tuší, jak bude vypadat situace, když základní šíři intervalu zvolíme 0,1 mm. Uvedeme již pouze příslušný histogram, viz obr. 3. Gaussova křivka Vyšší matematika však umožňuje jít ještě dále. Abychom se vyhnuli složitým matematickým výkladům, ukážeme si celou věc názorným příměrem: Předpokládejme (teoreticky), že jsme neprovedli pouze 44 měření, ale nekonečný počet měření. Naměřené hodnoty rozdělíme do nekonečně mnoha nekonečně úzkých intervalů. Jak se celá situace změní? Obdélníky nyní mají nulovou šíři, změnily se v úsečky. Horní koncové body úseček vytvářejí spojitou křivku. Tato křivka se nazývá Gaussova křivka (viz obr. 4). Připomeňme, že histogram vyjadřuje četnost hodnot naměřených v jednotlivých intervalech. Co vyjadřuje Gaussova křivka, k níž jsme od histogramu došli? Popisuje pravděpodobnost, s jakou jedna naměřená hodnota padne do předem zvoleného intervalu. V obr. 4 je uvedena Gaussova křivka pro jistou veličinu. Zajímá nás, s jakou pravděpodobností bude naměřená hodnota z vyznačeného intervalu a, b. Odpověď je jednoduchá : Pravděpodobnost se číselně rovná obsahu plochy pod danou křivkou v hledaném intervalu (tzn. obsahu plochy vyznačené v obrázku barevně). O křivce můžeme vyslovit další tvrzení: 1. Nejvyšší funkční hodnoty má funkce popisující křivku v okolí bodu X, od tohoto bodu směrem doprava i doleva funkční hodnoty klesají. Hodnoty blízké skutečné hodnotě měřené veličiny X tedy naměříme častěji než hodnoty, které jsou vzdálenější. Znamená to, že menší chyby jsou pravděpodobnější než chyby větší (obr. 5). 2. Křivka se blíží vodorovné ose, ale nikdy se jí nedotkne; nekončí vpravo ani vlevo. Hodnoty více vlevo (směrem k ) a více vpravo (směrem k + ) jsou velmi malé. Znamená to, že můžeme sice naměřit jakkoliv velkou chybu, ale extrémně velké chyby jsou velmi nepravděpodobné (také viz obr. 5). 3. Obsah útvaru 4 ) mezi celou Gaussovou křivkou a osou x je číselně roven 1. Znamená to, že pravděpodobnost, že při měření naměříme hodnotu s chybou větší než a menší než + je rovna 1, tedy 100 %, je to jistota (obr. 6). 4 ) Počítat obsah takovýchto útvarů pomocí integrálního počtu se budeme učit v matematickém semináři, popř. v posledním ročníku. Počítat obsah útvaru pod Gaussovou křivkou je ovšem netriviální vysokoškolská úloha; proto čtenáře ušetříme. 9

10 4. Křivka je symetrická kolem svislé osy procházející bodem X. Obsah útvaru pod křivkou napravo od osy souměrnosti je 0,5, nalevo od osy souměrnosti také 0,5. Znamená to, že kladné chyby jsou stejně pravděpodobné jako chyby záporné (obr. 6). 5. Ve střední části (kolem X) je křivka otevřená dolů (konkávní, má tvar písmene A), v okrajových částech je otevřená nahoru (konvexní, tvar částí písmene V). Bodům, v nichž se konvexní křivka mění v konkávní, říkáme inflexní body. Označme (podle obr. 7) vzdálenost inflexního bodu od bodu X (měřeno rovnoběžně s osou x) písmenem σ. V dalším výkladu toto označení využijeme. 6. Předpokládejme, že byla provedena tři různá měření fysikálních veličin a že jsme získali tři Gaussovy křivky v obr. 8. Můžeme říci, že měření byla různě přesná. Nejpřesnější bylo první měření, neboť pravděpodobnost malé chyby je zde největší, pravděpodobnosti chyb větších jsou menší než u dalších měření. Naopak nejméně přesné je měření třetí; zde je ze všech tří měření pravděpodobnost změření veličiny s nejmenší chybou nejmenší. Vidíme, že čím přesnější měření je, tím je příslušné σ menší. Číslo σ tak podstatným způsobem charakterizuje přesnost měření; nazývá se směrodatná odchylka jednoho měření. 5 ) 7. Obsah útvaru ohraničeného Gaussovou křivkou nad intervalem (X σ; X + σ) (viz opět obr. 7) je (číselně) přibližně 0,6827. Znamená to, že pravděpodobnost, že veličina X má při jednom měření chybu nejvýše σ, je 68,27 %. 8. Interval, nad nímž je křivka sestrojená (definiční obor zobrazení), není omezený. Znamená to, že při nekonečně mnoha měřeních mohou být sice některá měření s obrovskou chybou, ale jak je z obrázku patrné je to velmi nepravděpodobné. Dá se spočítat, že pravděpodobnost, že chyba měření je z intervalu ( 3σ; 3σ), je 99,7 %. Chyby větší než trojnásobek směrodatné odchylky se tedy prakticky nevyskytují (viz obr. 9). Směrodatná odchylka je tedy velmi důležitou veličinou umožňující zhodnotit přesnost fysikálního měření. Nyní se budeme zabývat tím, jak směrodatnou odchylku v konkrétním měření určit. Konečný počet měření Připomeňme, že všechny výše uvedené (matematické, teoretické) úvahy vycházely z předpokladu nekonečného počtu provedených měření. Tento předpoklad ovšem prakticky realizovat nelze. Provádíme vždy pouze konečný počet měření (1, 5, 10, 20, ); tato měření tak představují více či méně široký náhodný výběr z nekonečného množství měření. Nemůžeme tedy přesně stanovit skutečnou hodnotu měřené veličiny X ani její směrodatnou odchylku σ; oba tyto důležité údaje můžeme pouze odhadnout na základě omezeného, náhodného výběru. Ukazuje se, že nejlepším odhadem skutečné hodnoty měřené veličiny X je výběrový aritmetický průměr x naměřených hodnot. Jestliže počet naměřených hodnot označíme n, potom se aritmetický průměr vypočte dle vztahu x = x 1 + x 2 + x x n n = 1 n n x i. (1.12) i=1 Podobně jako jsme střední hodnotu naměřené veličiny odhadli aritmetickým průměrem změřených hodnot, odhadujeme směrodatnou odchylku výběrovou směrodatnou odchylkou, která 5 ) Ve starší literatuře se užívá název základní střední (kvadratická) chyba. 10

11 je dána vztahem s := n i=1 (x i x) 2. (1.13) n 1 Výraz x i x se často označuje i a nazývá se odchylka měření od průměru; při zpracování výsledků měření je užitečné pro každé měření vypočítat (a uvést v tabulce) hodnotu odchylky Směrodatná odchylka aritmetického průměru i = x i x. (1.14) Zopakujme si předchozí úvahu: Z nekonečně mnoha (teoreticky) možných měření jsme vybrali konečný počet n měření (např. 10), která jsme skutečně provedli. Z nich jsme potom spočítali průměr, kterým jsme odhadli skutečnou hodnotu měřené veličiny. Co kdybychom vše zopakovali ještě jednou? Potom bychom patrně naměřili jiných 10 hodnot, kterým by příslušel obecně jiný průměr. Každý takto stanovený průměr je tedy také náhodnou veličinou, závislou na oněch deseti změřených hodnotách. I tato náhodná veličina je charakterizována Gaussovou křivkou, která je však v porovnání s Gaussovou křivkou příslušející jednomu měření užší. Proč? Opakováním měření a užitím aritmetického průměru měření zpřesňujeme, více se blížíme skutečné hodnotě veličiny X. Tvar Gaussovy křivky příslušející aritmetickému průměru popisuje směrodatná odchylka aritmetického průměru σ; je dána vztahem: σ = σ n. (1.15) Z tohoto vztahu plyne, že směrodatná odchylka aritmetického průměru je nkrát menší než směrodatná odchylka jednoho měření. Směrodatnou odchylku aritmetického průměru můžeme z několika provedených měření pouze odhadnout. Odhad dává výběrová směrodatná odchylka aritmetického průměru s, kterou spočítáme podle vztahu s = s n = n který lze s využitím označení (1.14) napsat stručněji: s = s n = i=1 (x i x) 2, (1.16) n(n 1) n i=1 2 i n(n 1). (1.17) Poznámka. Výběrovou směrodatnou odchylku aritmetického průměru lze vedle již uvedeného (přesného) vztahu (1.17) počítat přibližně dle vzorce s = 5 n i=1 i 4 n(n 1). (1.18) vzorec je pro ruční počítání na kalkulačce bez statistických operací pohodlnější ; např. při deseti provedených měřeních je n n 1 = 3, s takovým číslem se dobře počítá, neboť vzorec dostane tvar s 10 = 10 i=1 i. (1.19) 24 Zrekapitulujme, co už umíme spočítat: aritmetický průměr, výběrovou směrodatnou odchylku aritmetického průměru a výběrovou směrodatnou odchylku jednoho měření. Jak tyto veličiny využijeme ke stanovení přesnosti měření? 11

12 Interval spolehlivosti (2. část výkladu) V první části výkladu jsme vysvětlili, že cílem každého měření je najít interval spolehlivosti pro měřenou veličinu. Interval spolehlivosti přitom určují čtyři parametry: (1) aritmetický průměr, (2) směrodatná odchylka aritmetického průměru, (3) počet měření, (4) zvolená pravděpodobnost. Hodnoty pravděpodobnosti se nevolí libovolně, ale zpravidla jedním z těchto způsobů: a) pravděpodobnost 50 % chyba měření se potom nazývá pravděpodobná chyba ϑ, b) pravděpodobnost 68,27 % chyba měření je potom rovna směrodatné odchylce, viz předchozí výklad, c) pravděpodobnost 95 % chyba měření se potom nazývá krajní chyba a značí se k. V gymnasiu budeme pracovat pouze s krajní chybou měření. Protože je to chyba určující interval spolehlivosti s pravděpodobností 95 %, tedy s pravděpodobností větší než je pravděpodobnost 68,27 %, která odpovídá směrodatné odchylce, je třeba ještě směrodatnou odchylku aritmetického průměru zmodifikovat pro pravděpodobnost 95 %. Krajní chybu dostaneme tak, že výběrovou směrodatnou odchylku aritmetického průměru vynásobíme Studentovým součinitelem t, tedy k = ts. (1.20) Hodnoty Studentova součinitele t pro pravděpodobnost 95 % (jinak řečeno: pro riziko 5 %) jsou 6 ) uvedeny v tab. 3. Jak vidíme, s rostoucím počtem měření součinitel t klesá, měření je přesnější, interval spolehlivosti užší. 7 ) Systematické chyby V začátku bylo uvedeno, že systematické chyby se při opakovaném měření (za stejných podmínek) projevují stále stejně. Každé měření je ovlivněno přesností použitého měřidla. Příklad. Změřili jsme výšku tělesa běžným papírovým, milimetrovým měřítkem. Měření bylo provedeno desetkrát, vždy se stejným výsledkem. Výpočet z předchozí kapitoly dá výsledky: s = 0, a tedy k = 0. To však neznamená, že by měření papírovým měřítkem bylo absolutně přesné; naopak poměrně velká chyba je dána již charakterem měřítka, (ne)přesností jeho výroby, použitým materiálem, dělením stupnice. Chyba měřidla m je často uvedena výrobcem v dokumentaci měřidla. Jde zpravidla o polovinu nejmenšího dílku stupnice měřidla, jak ukazuje následující přehled: milimetrové měřítko 0,5 mm posuvné měřítko 0,05 mm mikrometr 0,01 mm stopky 0,3 s teploměr 1/2 nejmenšího dílku 6 ) V některých laboratořích a v některé literatuře se krajní chybou rozumí chyba s pravděpodobností 99 %. Hodnoty Studentova součinitele jsou potom vyšší než je uvedeno v tab ) Jak vznikl zvláštní název Studentův součinitel? Autorem teorie o Studentově součiniteli je W. S. Gossett. Svoji teorii nesměl v době vzniku na příkaz zaměstnavatele publikovat, uveřejnil ji proto s fiktivním podpisem Student. I po objevení pravého autora však název zůstal... 12

13 V údaji uvedeném u stopek je započtena i doba nervové reakce experimentátora. Stanovení chyby vážení je uvedeno přímo v návodu k příslušné laboratorní úloze (ve 2. části učebního textu). Problematikou chyb měření elektrických veličin (napětí, proud) se zabývá až 4. část učebního textu věnovaná elektřině a magnetismu. Relativní chyba měřidla m r je definována zcela obvyklým způsobem: x je velikost naměřené hodnoty. 8 ) Zápis výsledku měření m r = m/x, resp. m r = m/x 100; (1.21) Popsali jsme, jak se vypořádat s náhodnými chybami a s chybami měřidla. V teorii náhodných chyb jsme došli ke krajní chybě k, u chyb měřidla k chybě m. Na výsledný interval spolehlivosti omezený výslednou krajní chybou 9 ) k mají vliv oba typy chyb; tyto chyby je třeba sečíst. Použije se k tomu vztah k = k 2 + m 2, (1.22) k jehož odvození by bylo třeba pokročilejších matematických znalostí (parciální derivace). k zaokrouhlíme na jednu platnou cifru. (Uvádět větší počet desetinných míst 10 ) nemá vzhledem k významu tohoto čísla smysl a pokládá se to za chybu!) Již dříve získaný aritmetický průměr zaokrouhlíme na takový řád, jaký má k po zaokrouhlení na jednu platnou cifru. Výsledek měření pak zapíšeme intervalem spolehlivosti s vyznačenou pravděpodobností: x = (x ± k ) s pravděpodobností 95 %. Pro objektivní posouzení přesnosti měření spočítáme ještě výslednou relativní krajní chybu: k r = k x. (1.23) Příklad. Častých chyb se laboranti dopouštějí tím, že výsledky měření nezaokrouhlí buď vůbec, nebo je zaokrouhlí špatně. Připomeňme ještě jednou: Aritmetický průměr zaokrouhlíme na takový řád, jaký má po zaokrouhlení na jednu platnou cifru k. Vypočteno: Zaokrouhleno: l = (9,456 ± 0,247) m l = (9,5 ± 0,2) m l = (9,446 ± 0,277) m l = (9,4 ± 0,3) m m = (13,35 ± 2,1) kg m = (13 ± 2) kg m = (13,3 ± 0,027) kg m = (13,30 ± 0,03) kg σ = ( ± ) Pa σ = ( ± ) P = (152 ± 13) W P = (150 ± 10) W 8 ) V některých případech se za x nedosazuje naměřená hodnota, ale maximální hodnota zvoleného rozsahu měřicího přístroje. Podrobněji ve 4. dílu této publikace. 9 ) Vzhledem k tomu, že v dalším výkladu se bude mluvit o relativní krajní chybě, nazývá se právě zmíněná veličina někdy názorněji absolutní krajní chyba. 10 ) V některých laboratořích je zvykem uvádět výsledek na 2 platné cifry; vzhledem k metodám měření popisovaným v tomto učebním textu takovou dohodu nezavádíme. 13

14 SHRNUTÍ 1 (1) Hodnoty x 1, x 2,..., x n získané nkrát opakovaným měřením zapíšeme do tabulky. (2) Vypočítáme aritmetický průměr x všech naměřených hodnot. (3) Vypočteme odchylky i naměřených hodnot x i od aritmetického průměru x podle vztahu i = x i x, zapíšeme je do tabulky. Do dalšího sloupce zapíšeme druhé mocniny odchylek, tzn. 2 i (4) Pro kontrolu sečteme hodnoty odchylek i. Součet musí být roven nule. (5) Vypočteme výběrovou směrodatnou odchylku aritmetického průměru s = s n = n i=1 2 i n(n 1). (6) V závislosti na počtu provedených měření n vyhledáme v tab. 3 příslušnou hodnotu t. (7) Vypočteme krajní chybu k dle vztahu k = ts. (8) Zjistíme chybu měřidla m. Celkovou krajní chybu k vypočteme ze vztahu k = k 2 + m 2 a zaokrouhlíme na jednu platnou cifru. (9) Aritmetický průměr zaokrouhlíme na takový řád, jaký má po zaokrouhlení na jednu platnou cifru k. Výsledek měření pak zapíšeme intervalem spolehlivosti s vyznačenou pravděpodobností: x = (x ± k ) s pravděpodobností 95 %. (10) Pro další výpočty si spočteme a poznamenáme výslednou relativní krajní chybu: k r = k x. Příklad. Všechny kroky popsané ve Shrnutí 1 ukážeme na příkladu, který je v tab. 4. Předpokládejme, že jsme desetkrát měřili délku; naměřené hodnoty jsou ve druhém sloupci, první sloupec obsahuje číslo měření. Ve třetím sloupci jsou odchylky naměřených hodnot od průměru, který je uveden pod naměřenými hodnotami. Čtvrtý sloupec obsahuje druhé mocniny odchylek. Pod tabulkou jsou pak vypočteny další veličiny; číslo v barevném poli odkazuje na stejně označený bod Shrnutí 1, kde je vysvětleno, jak se daná veličina spočítá. Na posledním řádku je uvedena výsledná, správně zaokrouhlená délka. Čtenáři lze doporučit, aby si popsaný postup nejprve provedl ručně, nanejvýš s použitím jednoduché kalkulačky, a ověřil si, zda dojde k uvedeným výsledným hodnotám. Podobné úlohy ostatně byly řešeny ve fysikálním cvičení. V další fázi lze uvažovat o automatizaci popsaných kroků. Jednou možností je využití statistického programu kalkulačky (statistický mód je obvykle označen SD) postup je např. v tabulkách [Mik03]. Další, vhodnější možností je užití tabulkového kalkulátoru v počítači. 14

15 Hodnota Interval Četnost Rel. četn. Hodnota Interval Četnost Rel. četn. n i f i [%] x i n i f i [%] 5,32 5,32 5,49 5,49 (5,3; 5,5 2 4,54 5,54 (5,3; 5,6 5 11,36 5,54 5,59 5,59 5,60 5,60 5,61 5,61 5,64 5,64 5,65 5,65 5,67 5,67 5,68 5,68 (5,5; 5, ,09 5,68 5,68 5,69 5,69 5,69 5,69 5,69 5,69 5,69 5,69 5,70 5,70 5,70 5,70 5,71 5,71 5,72 5,72 5,72 5,72 5,72 5,72 5,73 5,73 5,73 (5,6; 5, ,55 5,73 5,73 5,73 5,74 5,74 5,75 5,75 5,77 5,77 5,77 5,77 5,77 5,77 (5,7; 5, ,27 5,77 5,77 5,77 5,77 5,79 5,79 5,80 5,80 5,80 5,80 5,81 5,81 5,84 5,84 5,84 5,84 5,87 5,87 5,88 5,88 5,88 5,88 5,91 5,91 5,99 5,99 (5,9; 6,2 4 9,09 5,99 5,99 (5,9; 6,1 4 9,09 6,03 6,03 TAB. 1 TAB. 2 TAB. 3: Hodnoty Studentova součinitele pro P = 95 % n t 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26 2,23 n t 2,23 2,20 2,18 2,16 2,14 2,09 2,05 2,01 1,98

16 f i [%] pravděpodobnostní funkce 0,25 0,2 0,15 0,1 Pravděpodobnost, že naměříme hodnotu z intervalu <46; 48>, odpovídá obsahu této vyznačené plochy pod Gaussovou křivkou , (5,3; 5,6> (5,6; 5,9> (5,9; 6,2> naměřená veličina OBR. 1 OBR. 4 f i [%] 60 pravděpodobnostní funkce 0,25 0,2 0,15 skutečná hodnota měřené veličiny je 50 zde má pravděpodobnostní funkce vyšší hodnoty než více vpravo; naměřené hodnoty blízké skutečné hodnotě jsou tedy pravděpodobnější než hodnoty vzdálenější 50 0, (5,3; 5,5> (5,5; 5,7> (5,7; 5,9> (5,9; 6,1> 0,05 pravděpodobnost naměření těchto hodnot je již velmi malá naměřená veličina OBR. 2 OBR. 5 f i [%] (5,3; 5,4> (5,4; 5,5> (5,5; 5,6> (5,6; 5,7> (5,7; 5,8> (5,8; 5,9> (5,9; 6,0> (6,0; 6,1> (6,1; 6,2> pravděpodobnostní funkce 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Obsah této plochy je 0,5. Pravděpodobnost, že naměříme hodnotu menší, než je hodnota skutečná, je 50 %. Obsah této plochy je 0,5. Pravděpodobnost, že naměříme hodnotu větší, než je hodnota skutečná, je 50 %. Obsah celé plochy pod grafem je 1. Pravděpodobnost, že naměříme nějakou hodnotu větší než a menší než +, je 100 % naměřená veličina OBR. 3 OBR. 6

17 pravděpodobnostní funkce 0,25 0,2 0,15 0,1 osa souměrnosti křivky Obsah vyznačené plochy je 0,6827. Pravděpodobnost, že měřená veličina má chybu nejvýše σ, je 68,27 %. σ σ konkávní část křivky inflexní bod konvexní část křivky 0, X X X+ σ naměřená veličina OBR. 7 pravděpodobnostní funkce 0,45 0,4 0,35 0,3 Křivka popisující nejpřesnější měření (nejčastější jsou malé chyby; velké chyby jsou málo časté). 0,25 0,2 0,15 Křivka popisující nejméně přesné měření (i velké chyby tedy naměřené hodnoty dosti vzdálené od skutečné hodnoty) jsou poměrně četné. 0,1 0, naměřená veličina OBR. 8 pravděpodobnostní funkce 0,25 0,2 0,15 Obsah plochy mezi krajními svislými čárami je 0,997. Pravděpodobnost, že měřená veličina má chybu nejvýše 3σ, je tedy 99,7 %. 0,1 0,05 3σ 3σ Zbývají pouze tyto zanedbatelné kousky po obou stranách X 3σ X X+ 3σ naměřená veličina OBR. 9

18 i l / mm i / mm 2 i / mm 2 1 7,89-0,342 0, ,92-0,312 0, ,87-0,362 0, ,90-0,332 0, ,40 1,168 1, ,80 1,568 2, ,95-0,282 0, ,00-0,232 0, ,89-0,342 0, ,70-0,532 0, Součet 82,32 0 4,81176 l = 8,232 mm 5 s = 0,23122 mm 6 t = 2,26 7 k = 0, mm 8 m = 0,5 mm 9 k' = 0, mm TAB. 5 l = (8,2±0,7) mm TAB. 4 t [ C] R [Ω] 37,9 8,7 43,0 8,8 46,4 8,9 49,7 9,1 54,8 9,2 58,6 9,3 62,4 9,5 64,4 9,6 68,1 9,7 70,2 9,8 72,2 9,9 74,4 10,0 75,3 10,0 77,5 10,1 78,6 10,2 80,4 10,3 TAB. 8 TAB. 6

19 Postup v tabulkovém kalkulátoru V tabulkovém kalkulátoru můžeme vložením vzorců ruční postup značně urychlit; převést Shrnutí 1 do vzorců v tabulkovém kalkulátoru by měl zvládnout každý absolvent základního kursu informatiky. Pro kontrolu uvádíme jedno možné řešení v MS Excel (tab. 5), další možné řešení v OpenOffice.org Calc (tab. 6). V tabulkovém kalkulátoru lze ovšem postupovat rychleji. Není třeba počítat odchylky a jejich druhé mocniny, nýbrž lze přímo využít funkce tabulkového kalkulátoru. Např. řádek (5) postupu dostaneme (v české verzi MS Excel) přímo vzorcem =SMODCH.VÝBĚR(C5:C14)/ODMOCNINA(10) číslo 10 v tomto vzorci vyjadřuje počet měření. V OpenOffice.org Calc tomu odpovídá vzorec =STDEV(C5:C14)/SQRT(10) CHYBY VELIČIN URČENÝCH VÝPOČTEM (CHYBY NEPŘÍMÝCH MĚŘENÍ) Předpokládejme, že hledanou veličinu y neměříme přímo, ale vypočítáme ji pomocí příslušného vztahu z dříve známých veličin a, b, c... Předpokládejme dále, že známe jak závislost y na a, b, c... y = f(a, b, c,... ), (1.24) tak i výsledné krajní chyby změřených veličin k(a), k(b), k(c)... (Pro zjednodušení značíme výslednou krajní chybu v této kapitole pouze symbolem k, nikoliv k.) Cílem je stanovit krajní chybu veličiny y. Příklad. Měřili jsme rozměry kovového válečku. Z opakovaných měření jsme stanovili průměr ve tvaru d = (d ± k(d)) a výšku ve tvaru v = (v ± k(v)). Cílem je spočítat objem válce opět ve tvaru (V ± k(v )). Hodnotu V určíme ze známého vztahu V = πd 2 v/4. Jak ale stanovit krajní chybu objemu k(v )? Lineární zákon hromadění chyb (odvozený ve statistice) říká, že krajní chyba vypočítané veličiny je dána vztahem ( ) ( ) ( ) k(y) = f k(a) f a + k(b) f b + k(c) c +... ; (1.25) k(a), k(b) k(c) jsou krajní chyby změřených veličin, f a Zjednodušený výpočet apod. značí parciální derivace funkce f. Výpočet podle vzorce (1.25) by byl pro studenty gymnasia příliš obtížný, zpravidla dokonce nemožný. Ve středoškolské fysice se proto užívá zjednodušení vycházející z odhadu krajní chyby. K výpočtu budou vedle hodnot krajních chyb změřených veličin k(a), k(b) potřeba relativní krajní chyby těchto veličin; máme-li vypočteny krajní chyby k(a), k(b) veličin a, b, určíme příslušné relativní krajní chyby dle vztahů k r (a) = k(a) a, k r(b) = k(b) b. (1.26) 19

20 Krajní chyba součtu Krajní chyba součtu veličin a = (a ±k(a)) a b = (b ±k(b)) je nejvýše rovna součtu krajních chyb obou veličin, tj. k(a) + k(b). (Ve skutečnosti je zpravidla menší, protože není pravděpodobné, že se potkají dvě maximální chyby.) Můžeme stanovit ještě o něco hrubší, ale pro výpočty pohodlnější odhad: Protože krajní chyba součtu a + b je k(a) + k(b), je jeho relativní krajní chyba k r (a + b) = k(a) + k(b). (1.27) a + b Předpokládejme dále, že veličina a byla určena s menší relativní přesností, neboli má větší relativní krajní chybu, tedy k r (a) > k r (b). Přepíšeme-li obě relativní chyby podle definice (1.26), dostaneme nerovnost k(a) a > k(b) b, (1.28) po vynásobení všechny uvedené hodnoty jsou nezáporné, takže se znaménko nerovnosti nemění dostaneme bk(a) > ak(b). Přičteme-li k oběma stranám této nerovnosti výraz ak(a), dostaneme další nerovnost bk(a) + ak(a) > ak(b) + ak(a); pokračujeme vytýkáním a prohozením obou stran nerovnosti a(k(a) + k(b)) < k(a)(a + b). Nakonec vydělíme výrazem a(a + b), který je opět nezáporný, a dostaneme nerovnost k(a) + k(b) a + b < k(a) a, (1.29) tedy k r (a + b) < k r (a), (1.30) již lze vzhledem k předpokladu interpretovat takto: Relativní krajní chyba součtu a + b je nejvýše rovna relativní krajní chybě té z veličin a, b, která byla určena s menší přesností (neboli: má větší relativní krajní chybu). Krajní chyba rozdílu Relativní chyba rozdílu se určí analogicky jako relativní chyba součtu (viz Shrnutí 2). Krajní chyba součinu Znásobíme-li veličiny a = (a ± k(a)) a b = (b ± k(b)), dostaneme ab = ab ± ( k(a)b + k(b)a ) + k(a)k(b). (1.31) Poslední člen, k(a)k(b), je oproti ostatním členům zanedbatelně malý, proto lze psát jen ab = ab ± ( k(a)b + k(b)a ). (1.32) Součet v závorce je tedy (absolutní) krajní chybou součinu a, b; jeho relativní krajní chybu spočítáme (opět) podle definice: k r (ab) = k(a)b + k(b)a ab = k(a)b ab + k(b)a ab = k(a) a + k(b) b = k r (a) + k r (b). (1.33) 20