Vysoké učení technické v Brně Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií

Transkript

1 Vysoké učení technické v Brně Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií Kolejní 2906/ Brno

2 ELEKTROTECHNIKA 1 (BEL1) Blok 6 Magnetické obvody doc. Ing. Jiří Sedláček, CSc. doc. Ing. Miloslav Steinbauer, Ph.D. UTEE FEKT VUT

3 Obsah Elektromagnetické jevy Maxwellovy rovnice Ampérův zákon celkového proudu Magnetické pole v látkách (diamagnetika, paramagnetika, eromagnetika) Výpočty magnetických obvodů Základní veličiny a vztahy Formální analogie magnetických a elektrických obvodů Metody analýzy magnetických obvodů Přítažná síla elektromagnetu Magnetické obvody s permanentními magnety Transormátory Princip a konstrukce Ztráty v transormátoru 3

4 Aplikace elektromagnetických jevů 4

5 Elektromagnetické jevy 1. Maxwellova rovnice: pohyb elektrického náboje > elektrický proud > magnetické pole 2. Maxwellova rovnice: změna magnetického pole > indukce > elektrické pole VYUŽITÍ: elektrické stroje (generátory, motory, transormátory) elektrické přístroje (jističe, stykače,...), elektromechanické měřicí přístroje elektroakustické měniče (reproduktory, sluchátka, mikroony) čidla, snímače (senzory, záznamové a čtecí hlavy,...) paměťová média (disky, pásky, ) 5

6 Aplikace magnetických obvodů Elektromagnetické zaostřování optiky CD/DVD mechaniky 6

7 Aplikace magnetických obvodů 7

8 Aplikace magnetických obvodů - HDD Pevný disk HDD záznamová vrstva motor hlavy vystavovací mechanismus 8

9 Magnetické pole Zdrojem magnetického pole je elektrický proud (např. v cívce) nebo zmagnetovaná látka (permanentní magnet) Magnetické pole je charakterizováno vektory H a B Magnetické pole zobrazujeme pomocí indukčních čar Indukční čáry jsou uzavřené křivky mag. pole je nezřídlové B= µ H H proudovodič permanentní magnet 9

10 Intenzita a indukce magnetického pole Tok vektoru B uzavřenou plochou je nulový div B = 0 B S J B S J Siločáry mag. pole nemají zřídla jsou spojité S Vlivem vnějšího pole s intenzitou H dochází k magnetizaci magnetického materiálu, vyjádřené vektorem magnetizace M. Výsledné pole je součtem magnetizace a vnějšího pole. Vektor H (vnější pole) Vektor M (mag. orientace látky) Vektor B (součet) B= µ H ( ) 7 ( ) B= µ H+ M = µµ H 0 0 r µ 0 = 4π 10 H/m µ - permeabilita 10

11 Maxwellovy rovnice (dierenciální i integrální tvar) 1. M.r. zobecněný Ampèrův zákon celkového proudu rot H D = J+ t H d = I + dψ dt D J + t H Pohybující se náboj (elektrický proud) je zdrojem magnetického pole H Elektromagnety, motory, hlavy záznamových zařízení (zápis), antény (vysílání), M.r. Faradayův indukční zákon B t B rot E = t E d = d dt E Časová změna magnetického pole indukuje elektrické pole E Cívky a transormátory, generátory, hlavy záznamových zařízení (čtení), antény (příjem),... 11

12 Použití Ampèrova zákona celkového proudu I uzavřená křivka l r = 2πr PRAVIDLO VÝVRTKY Orientace siločar magnetického pole vyvolaného elektrickým proudem H H d = I H = H = I I 2πr 12

13 Magnetický indukční tok, indukčnost Magnetický indukční tok Indukčnost cívky B = d S (Wb) S L = I (H) Pro cívku s N závity platí vztah: L Ψ = = I N I Pokud je B konstantní po celé ploše S a je na ni kolmá, pak: = B S indukční tok (Wb) Ψ spřažený indukční tok (Wb) N počet závitů cívky (-) L indukčnost (H) 13

14 Magnetické pole v látkách Atomy mají vlastní magnetický moment, daný vektorovým součtem orbitálních a spinových magnetických momentů µ jádra a elektronů. Vložením látky do vnějšího magnetického pole dochází k interakci magnetizaci látky. Orbitální model atomu orbitální dráha jádro µ µ l µ n S elektron Působením vnějšího pole s intenzitou H 0 vzniká magnetizace M (χ m je magnetická susceptibilita) M = χ m H 0 Výsledné pole je vektorovým součtem vnějšího pole H a pole zmagnetované látky M ( ) ( ) ( 1 ) B= µ H + M = µ H + χ H = µ + χ H m 0 0 m 0 µ r 14

15 Magnetické vlastnosti látek Podle velikosti susceptibility χ m jsou látky diamagnetické χ m <0 (voda, dusík, měď) paramagnetické χ m >0 (kyslík, hliník) přitom abs. velikost χ m je velmi malá (10-8 až 10-3 ) a proto tyto látky magnetické pole příliš neovlivňují Pro dia- a paramagnetika platí: µ r 1 V některých krystalických látkách dochází ke vzniku magnetických domén, které se snadno orientují ve směru vnějšího pole eromagnetismus eromagnetika mají velmi vysokou relativní permeabilitu z čistých látek: železo, kobalt, nikl, (gadolinium) jev zaniká při ohřevu látky nad Curieovu teplotu ϑ C (Fe 768 C, Ni 358 C, Co 1115 C, Gd 20 C) používají se i eromagnetické slitiny (dokonce i z látek, které samy jsou nemagnetické) podobné jevy: - erimagnetismus (u keramických magnetických látek eritů) - antieromagnetismus (např. u chrómu) ( 1 ) B= µ + χ H 0 m 0 µ r 15

16 Feromagnetika Působením vnějšího mag. pole H vzniká silná magnetizace M eromagnetika Dalším zvyšováním vnějšího pole rychle dochází ke stavu nasycení Permeabilita není konstantní nelineární BH charakteristika B B ( ) B = µ H + M = 0 0 = µµ H 0 r 0 = µ H v 0 0 μ r 0 H 0 nasycený stav Fe vzduch Permeabilita = podíl B/H H µ = Rovnoběžky (směrnice je µ 0 ) (H ) µ statická permeabilita µ = B H 0 µ d H dynamická permeabilita µ = d db dh 16

17 Feromagnetika Hodnota indukce B závisí nejen na vnějším poli H, ale i na předchozím stavu Při střídavém přemagnetování tak dostáváme hysterezní smyčku Průsečíky s osami H a B jsou: remanentní indukce koercitivní intenzita Princip odmagnetování zmenšujícím se proměnným polem 17

18 Materiály magneticky tvrdé a měkké Pro změnu uspořádání magnetických domén je třeba dodat energii Při působení střídavého pole na eromagnetika dochází ke ztrátám projevujícím se oteplením, jsou úměrné ploše BH křivky W H = HdB materiály mag. tvrdé (velké W H - široká BH křivka) se nesnadno přemagnetují používají se pro permanentní magnety materiály mag. měkké (malé W H - úzká BH charakteristika) mají malé hysterezní ztráty a proto se používají pro magnetické obvody se střídavým napájením (transormátory, elektrické točivé stroje na střídavý proud) 18

19 Základní veličiny a vztahy magnetického pole Intenzita magnetického pole H (A/m) - zdrojem pole je proud Magnetická indukce B (T) - ovlivnění pole prostředím B= µ H Permeabilita (vlastnost prostředí) µ = µµ µ = ( ) 7 0 r, 0 4π 10 H/m Magnetické napětí U m (A) U m = H d Magnetický indukční tok (Wb) = d S B S Indukčnost cívky L (H) (N počet závitů) L Ψ = = I N I 19

20 Příklad magnetického obvodu - relé magnetické pole vzniká v cívce protékané proudem magnetický tok se vede jádrem (pólovými nástavci) magnetické pole se tak koncentruje ve vhodně tvarovaném pracovním prostoru (vzduchová mezera) magnetický obvod nemusí mít vzduchovou mezeru, například u transomátoru 20

21 Příklad magnetického obvodu systém měřidla magnetické pole je buzeno permanentím magnetem magnetický tok se vede pólovými nástavci do pracovního prostoru v pracovním prostoru se pohybuje otočná cívka spojená s ručičkou na cívku působí dvě síly - Lorentzova síla (vodič v mag. poli) a mechanická síla pružin výchylka měřidla je přímo úměrná velikosti proudu 21

22 Magnetický obvod ormální analogie Elektrický obvod Magnetický obvod elektrický proud I (A) magnetický indukční tok (Wb) elektrické napětí U (V) magnetické napětí U m (A) elektrický odpor R (Ω) magnetický odpor R m (1/H) Elektrický obvod I R 1 = γ S Magnetický obvod R m 1 = µ S U z R U I N U mn R m U m Umn = N I U = I R U m = R m 22

23 I N Magnetický obvod analogie s elektrickým obvodem: základní zákony Větvený obvod S v U 1 2 U mn mn = N I U m R m R mv 1 2 U mv Umn = Um + Umv 1+ 2 = 0 Hopkinsonův zákon: U m = = 0 R U m = 0 m 2. Kirchoův zákon: 1. Kirchoův zákon: Ampérův zákon: U m = Hd= H U m U mn U m 23

24 Magnetický obvod Při výpočtech uvažujeme následující zjednodušení: Vektor B je všude kolmý k příčnému řezu S magnetického obvodu a je homogenní, potom lze psát = B S Zanedbáme rozptylové toky r Eektivní průřez vzduchové mezery je větší než průřez eromagnetické části obvodu, což však při výpočtu zanedbáme. Neuvažujeme hysterezi Uvažujeme jedinou dráhu střední siločáru magnetický tok I S v > S N rozptylový magnetický tok r 24

25 Řešení magnetických obvodů Feromagnetické materiály Nelineární obvody metody řešení nelineárních obvodů Analýza U zadaného obvodu hledáme velikosti: magnetických toků magnetických napětí U m v jednotlivých částech (větvích), z toho pak určujeme: magnetickou indukci B indukčnost cívky L přitažlivou sílu elektromagnetu F Syntéza Navrhujeme magnetický obvod tak, abychom zabezpečili požadovanou: magnetickou indukci B v mezeře přítažnou sílu elektromagnetu F indukčnost cívky L 25

26 Magnetický obvod výpočty z odporů Magnetické napětí zdroje Umn = N I je rovno součtu magnetických napětí v obvodu, většinou složeného z eromagnetika a vzduchové mezery U = U + U mn m mv Magnetické napětí určíme z Hopkinsonova zákona pomocí toku a mag. odporu R m U = R m m U = R mv v mv U m R m = µµ S 0 r R mv v = µ S 0 v U mn R m R mv U mv = BS v = BS v v U nerozvětvených obvodů je tok v celém obvodu stejný, = v = = BS = BS v v 26

27 Magnetický obvod výpočty z intenzit Magnetické napětí zdroje U Umn = N I je rovno součtu magnetických napětí v obvodu, většinou složeného z eromagnetika a vzduchové mezery U = U + U mn m mv Magnetické napětí určíme z intenzity pole pomocí Ampérova zákona U = H m = H mv v v U mn U m R m R mv U mv kde l je střední délka siločáry ( B ) H z grau U nerozvětvených obvodů je tok v celém obvodu stejný, takže H v = B µ v 0 = BS = BS v v 27

28 Magnetické obvody postup řešení Z Ampérova zákona: I N v H d = U m Integrační dráha je totožná se střední siločárou U mn U m R m S R mv R U mv m = U Z Hopkinsonova zákona: NI = U = U + U mn m mv µµ S m µµ 0 r 0 r B Bv = H = U = H = µ U m = R m U R mv mv v v v 0 = R = v = B S mv v v µ 0Sv mv 1. alternativa 2. alternativa = B S 28

29 Magnetický obvod výpočty Vztah mezi B a H je u magnetik nelineární, takže je třeba určit pracovní bod magnetika z grau. ( ) B = H Příklad: ocelolitina pro vytvoření indukce B = 1 T je potřebná intenzita H = 370 A/m 29

30 Jednoduchý magnetický obvod Příklad 1 Cívka, která je navinuta na toroidním jádře s ocelolitiny má N=200 závitů a protéká jí proud I = 1 A. Určete magnetický tok jádrem a indukčnost L cívky. Střední průměr jádra D s = 120 mm, průřez S = 4 cm 2. Cívka je zdrojem magnetického napětí: Z magnetizační křivky materiálu určíme pro H = 530 A/m hodnotu indukce: B = 1,12 T Magnetický tok obvodem je: U mn = NI = B [T] 1,3 1,1 0,9 0,7 0,5 0,3 0,1 200 A které se rozloží podél siločáry v magnetickém obvodu. Délka siločáry: Protože je průřez obvodu konstantní po celé délce siločáry, je intenzita: U 200 mn H = = = 0,377 = B = = 530 A/m 4 6 S 1, Wb Indukčnost této cívky je: 6 N L = = = 89,6 mh I 1 dynamový plech I ocelolitina N litina H [A/m] S D s = πd = 0,377 m d transormátorový plech (4%Si) 30

31 Analýza magnetického obvodu s mezerou Příklad 2 Na jádře z traoplechu je navinuta cívka se 450 závity. Určete budicí proud I potřebný k dosažení magnetické indukce ve vzduchové mezeře B V = 0,8 T a indukčnost cívky pro tento proud. Rozptylové toky zanedbejte. I t t s t/2 h v N a Rozměry jádra v (mm): a = 300, b = 200, t = 20, h = 30, l v = 1, N = 450 záv. 2π r = 2( a 2t) v + 2( b 2t) = 2 a+ b 4t + πt ( ) v U m b ( ) = 2 0,3 + 0, 2 4 0,02 + 0,02π 0,001 = = 0,902 m U mn R m R mv U mv S = t h= mm 31

32 dokončení Příklad 2 U mn 1,3 1,1 0,9 B [T] 0,7 U m =194 A R m R mv dynamový plech ocelolitina U mv =637 A transormátorový plech (4%Si) Potřebný magnetický tok obvodem je = B = = 6 6 V S 0, Wb Tok je konstantní, S také, proto Z BH charakteristiky jádra zjistíme H : H ( B = 0,8 T) = 215 A/m H v určíme: H B 0,8 = = = A/m V V 7 µ 0 4π 10 Magnetické napětí (2. K.z.) NI = U = U + U = H + H mn m mv v v U mn = 215 0, , 001 = 193, , 6 = 830,5 A B= B = B v 0,5 0,3 0,1 litina H [A/m] U mn 830,5 I = = = 1,846 A N 450 Ψ N L = = = I I 1, =117 mh 32

33 Analýza magnetického obvodu s mezerou Příklad 3 Odvoďte výraz pro výpočet indukce B v ve vzduchové mezeře toroidu. Rozptylové toky zanedbejte. Tok obvodem je konstantní = B S I N v Plocha S je konstantní po délce siločáry, proto i B je konstantní. B= B = B = µµ H = µ H v 0 r 0 v Magnetické napětí zdroje je podle II. K.z.: U m S U = NI = U + U = H + H mn m mv v v B B B = + = + µµ µ µ µ v v 0 r 0 0 r U mn R m R mv U mv z toho: B = µ 0 NI + µ r v Poznámka: při dostatečné vzduchové mezeře se obvod linearizuje: µ << r v B = µ 0 NI v 33

34 Indukčnost cívky s jádrem Deinice: Indukčnost cívky L = I (H) Pro cívku s N závity platí vztah: Konstanta indukčnosti A L (v nh/z 2 ) L Ψ = = I Materiál druh eritu N I N NBS Nµ HS L = = = I I I H = NI Intenzita H je z A.z.: 2 2 Nµ NIS N µ S N L= = = = AN L I R indukční tok (Wb) Ψ spřažený indukční tok (Wb) N počet závitů cívky (-) L indukčnost (H) H intenzita mag. pole (A/m) R m magnetický odpor (1/H) m R m = µs 2 34

35 Analýza magnetického obvodu Příklad 1 Cívka se 100 závity je navinuta na toroidu z elektrotechnické oceli E11. Střední průměr toroidu je 80 mm, jeho průřez je 12 mm 2. Určete indukčnost této cívky pro proudy I = 1 A a I = 2 A. Veličina vztah I = 1 A I = 2 A Magnetické napětí zdroje Intenzita mag. pole 100 A 200 A 398 A/m 796 A/m Indukce B H z grau 1,2 T 1,38 T Mag. indukční tok Umn = U NI mn H = ( ) =BS 14,4 uwb 16,6 uwb N Indukčnost L = 1,44 mh 0,828 mh I I N D s S = m = πd = 0, 2513 m U mn R m s 6 2 Indukčnost L je unkcí proudu L s jádrem je nelineární prvek! 35

36 Analýza magnetického obvodu Příklad 1 Cívka se 100 závity je navinuta na toroidu z elektrotechnické oceli E11. Střední průměr toroidu je 80 mm, jeho průřez je 12 mm 2. Určete indukčnost této cívky pro proudy I = 1 A a I = 2 A. B(T) Veličina 1,5 vztah I = 1 A I = 2 A 1,4 Magnetické 1,3 napětí 1,2 zdroje 1,1 Intenzita 1 mag. pole 0,9 0,8 U mn = U NI mn H = ( ) 100 A 200 A 398 A/m 796 A/m Indukce 0,7 B H z grau 1,2 T 1,38 T 0,6 0,5 Mag. indukční 14,4 uwb 16,6 uwb tok 0,4 =BS 0,3 0,2 N Indukčnost L = 1,44 mh 0,828 mh 0,1 I 0 1,38 T 1,2 T Ocel E H (A/m) Indukčnost L je unkcí proudu L s jádrem je nelineární prvek! I N D s S = m = πd = 0, 2513 m U mn R m s

37 Analýza nelineárního magnetického obvodu různými metodami Na jádře z oceli E11 je navinuta cívka se 450 závity. Cívkou se 450 závity protéká proud 2 A. Určete indukci v mezeře, magnetický tok a magnetická napětí v mezeře a v jádře. Rozptylové toky zanedbejte. Rozměry jádra v (mm): a = 300, b = 200, t = 20, h = 30, l v = 1 I t N t s t/2 Příklad 2 h v a U mn Ekvivalentní obvod: U m R m R mv Umn = NI = = 900 A S = t h= mm 2π r = ( a t) v ( b t) U mv = 2( a+ b 4t) + πt ( ) = 2 0,3 + 0, 2 4 0,02 + 0,02π 0,001 = 0,902 m v b 37

38 Analýza nelineárního magnetického obvodu - linearizace Příklad 2 B(T) 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 R R H (A/m) 0,902 = = = 3,58 10 H m 3 6 µ S 4, = = = 13,26 10 H 3 v mv 7 6 µ 0Sv 4π U Ocel E mn 6 = = = Wb 5 5 Rmv + Rm 13, ,58 10 Odhadneme pracovní oblast a linearizujeme: B 1 µ = = H 240 Um = Rm = 192 A Umv = Rmv = 708 A B 3 4, 2 10 H/m = = S Chyba je způsobena přímkovou náhradou BH charakteristiky hrubý odhad. U mn U m R m R mv U mv U mn U m 0,89 T R m R mv Pracovní bod leží v odhadnuté pracovní oblasti. 38 U mv

39 Analýza nelineárního magnetického obvodu - /U m charakteristika Příklad 2 H (A/m) B (T) 0 0,15 0,53 0,9 1,1 1,2 1,265 1,32 1,35 1,38 1,4 1,42 ( ) Um = H = H 0,902 A = = U m (A) 0 45,1 90,2 180,4 270,6 360, ,2 631,4 721,6 811,8 902 (µwb) ( ) 6 BS B Wb /U m = charakteristika nelineárního odporu konkrétního eromagnetického obvodu. B (T) 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 B/H charakteristika H (A/m) (µwb) /U m charakteristika U m R m U m (A) 39

40 Analýza nelineárního magnetického obvodu - postupné zjednodušování Příklad 2 (µwb) U mn U m R m R mv U mv Součet U m (A) U mn R m + R mv R m + R mv Vyneseme charakteristiku odporu R mv : R 3 v U mn mv = = = 13,26 10 H = = = µ 0Sv 4π Rmv 13,26 10 Z grau zjistíme pro U mn tok : Chyba je způsobena graickou konstrukcí a odečítáním hodnot z grau hrubý odhad Wb U m 180 A Wb B = = = 0,9 T 6 S U mv 720 A 40

41 Analýza nelineárního magnetického obvodu metoda zatěžovací přímky Příklad 2 U mn U mv R mv U m (µwb) R m Théveninův zdroj s napětím naprázdno U mn =900 A a tokem nakrátko U 900 = = = mn k 5 Rmv 13,26 10 Chyba je opět způsobena nepřesností graické metody Wb Vyneseme zatěžovací přímku lineárního magnetického zdroje Průsečík určí pracovní bod U m, : U = 180 A m U = U U = = 720 A mv mn m U m (A) B = = = 0,9 T S

42 Analýza nelineárního magnetického obvodu numerická metoda Předpokládáme konstantní tok z = v = a při stejném průřezu S z =S v je B v = B = B ( ) U = U + U = H + H B H mn mv m v v v = B µ 0 B µ 0 ( ) + H B U = v mn 0 U mn U mv R mv Příklad 2 R m U m ( ) H = B - nelineární unkce. Interpolujeme např. polynomem 3. stupně: Vandermontova matice: ,15 0,15 0,15 a ,53 0,53 0,53 a = ,9 0,9 0,9 a ,1 1,1 1,1 a3 300 H (A/m) B (T) 0,15 0,53 0,9 1,1 2 3 ( ) = H B a ab ab ab = a + a 0,15 + a 0,15 + a 0, = a + a 0,53+ a 0,53 + a 0, = a + a 0,9 + a 0,9 + a 0, = a + a1,1+ a 1,1 + a 1,

43 Analýza nelineárního magnetického obvodu numerická metoda Příklad ,15 0,15 0,15 a ,53 0,53 0,53 a = ,9 0,9 0,9 a ,1 1,1 1,1 a3 300 Hledaný interpolační polynom: Dosazením do obvodové rovnice: v B+ H ( B) Umn = 0 µ 0 a0 28,54 a řešením 1 164,6 = a 2 177,8 a3 229,6 2 3 ( ) = + + H B 28,54 164, 6B 177,8B 229, 6B B+ 7 ( 28, , 6B 177,8B + 229, 6B ) 0, = 4π = 207,1B 160, 4B + 944,3B 874, 26 = 0 Nelineární homogenní obvodová rovnice, kterou je třeba vyřešit: ( ) 3 2 B = 207,1B 160, 4B + 944,3B 874, 26 = 0 43

44 Analýza nelineárního magnetického obvodu numerická metoda Příklad 2 B = 207,1B 160, 4B + 944,3B 874, 26 = 0 Řešíme např. Newtonovou metodou ( ) 3 2 B = B + ε + ε ( k 1) ( k) ( k) ( ( ) ) ( k ) B( k ) B B B B = = B B k 207,1 160, ,3 874, 26 k k k ( ) ( ) ( ) ( ) 2 621,3 320,8 944,3 ( k) ( k) k B (k) ε B = 0,9029 T (k) U mn U mv R mv R m U m 0 1-0, , , , , , = B S = = Magnetická napětí: U 6 6 0, ,7 10 Wb 3 B 0, = H = = = 718,5 A v v mv v v 7 µ 0 4π 10 U = U U = ,5 = 181,5 A m mn mv Chyba je způsobena především použitou aproximací BH charakteristiky. 44

45 Přítažná síla elektromagnetu Feromagnetické jádro I Energie magnetického pole (v Joulech) je 1 1 B W = B H V = B V 2 2 µ l F Pohyblivá kotva V S = S 0 0 Energie magnetického pole v objemu V ve vzduchu Energetický rozdíl odpovídá vykonané práci A: Energie magnetického pole v objemu V ve eromagnetiku W 0 = B V µ 2 1 BV 1 W0 W = W = A= 1 = 2 µ 0 µ r BV 1 BS A = = A= F F = 2 µ 2 µ F = W = B µ µ 0 r Síla působící na kotvu: 1 2 V 2 BS µ 0 45

46 Závislost síly elektromagnetu na velikosti mezery l F δ/2 L N = = R + R m 2 2 mv S N δ + µµ S µ S 0 r 0 Síla působící na kotvu: F = dw dδ m W m ( δ ) N I µµ 0 rsn I = LI = = 2 2 δ + 2 µδ r µµ S µ S 0 r 0 ( + ) F d µµ SN I µµ SN I = dδ = 2 µδ 2 µδ r 0 r 2 r r ( + ) ( + ) 46

47 Závislost síly elektromagnetu na velikosti mezery Příklad 3 l Síla, kterou je kotva přitahována závisí na vzduchové mezeře δ (pro zjednodušení uvažujeme konstantní I a konstantní µ r ) Příklad S S = mm = 800 mm N = 200 I = 2A µ = 2000 r F 2 δ/2 F (N) F µµ SN I r 2 r ( + µ δ ) δ (mm) = 2 47

48 Výpočet síly elektromagnetu Příklad 4 I N F D s S Prstencové jádro cívky z elektrotechnické oceli E11 je složeno ze dvou částí. Jak velkou silou F jsou drženy obě části pohromadě, je-li průřez prstence S = 4 cm 2, střední průměr D s =0,177 m a protéká-li cívkou s N =210 závity proud I = 0,8 A? Řešení : U = NI = H H = H mn z grau pro s odečteme 0 B H = 302 A/m = 1,1 T NI = πd = π 0,177 = 0,565 m 210 0,8 = = 302 A/m 0, BS 1, F = 2 = 2 = 385 N 7 2µ 24π 10 B(T) 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 Ocel E H (A/m) 48

49 Obvody s permanentním magnetem magnetické pole je buzeno permanentním magnetem není potřeba přivádět elektrický proud zdrojem pole ovšem zůstává pohybující se náboj (pohyb elektronů a protonů v atomech) POUŽITÍ upevňovací systémy magnetické separátory NMR magnetická ložiska V magnetických obvodech: reproduktorů a sluchátek měřicí přístrojů stejnosměrných, synchronních a krokových motorků dynam elektronek (magnetron) 49

50 Příklady aplikace magnetických obvodů s PM DC motorky pro různé aplikace Reproduktory Upínací břemenový magnet: - rozměry 30x19x20 cm - hmotnost 80 kg - zvedaná hmotnost až 2400 kg - magnetický obvod se zapíná pákou 50

51 Příklady aplikace magnetických obvodů s PM Nukleární magnetická rezonance (NMR) - héliový supravodivý PM, B = 21,2 T Magnetron generátor mikrovln 2,5 GHz, 1 kw (mikrovlnné trouby) 51

52 Materiály, výroba: Permanentní magnety slitiny kovů (slévání, lisování) eritové materiály (erity) (oxidy kovů Fe, Mn, Zn, - lisování, spékání keramiky) Hotový výrobek magnet - se musí zmagnetovat na konci výrobního procesu během výroby (při slévání nebo mokrém lisování) PM využívají demagnetizační části BH charakteristiky PM ze slitiny kovů PM eritový 52

53 Pracovní bod PM Pracovní bod permanentního magnetu (B p, H p ) leží na demagnetizační části hysterezní smyčky. Pro obvody s PM se optimalizuje vzhledem k minimální spotřebě minimálnímu objemu V magnetického materiálu. B (T) Magnetický výkon P m je v analogii k elektrickému P = U I P = U = H BS = BHV m m p p p p p p p Je zřejmé, že pro zvolený P m bude nejmenší objem V p pro maximální BH BH max B p opt. B p H (A/m) 0 H p H p opt. Geometricky jde o nalezení největší plochy BH max (tzv. energetický součin) a tím se určí optimální pracovní bod permanentního magnetu. 53

54 Materiály pro PM Materiál B r (T) H c (ka/m) BH max (kj/m 3 ) Poznámka kobaltová ocel 0, slitina 1) slitina AlNiCo 1, slitina 2) slitina Nipermag 0, slitina 2) izotropní erity 0, keramika 3) anizotropní erity 0, keramika 4) SmCo 5 0, slitina 5) Sm 2 Co 17 1, slitina 6) NdFeB 1, slitina 7) Anizotropní erit Poznámky: 1) klasický materiál první třetiny 20. století 2) materiál používaný během 2. svět. války 3), 4) klasické erity 5), 6), 7) moderní materiály z kovů vzácných zemin 5), 6) samarium + kobalt 7) neodym + železo + bór 54

55 Obvod s permanentním magnetem U m U m = R m R m U mv PM U mn R mv R m 1 = µ S Permanentní magnet jako zdroj U mn : S p U = H =BS p p mn p p l p PM B p a H p spolu souvisí jde o nelineární zdroj! p ( ) B = H p 55

56 Obvod s permanentním magnetem Úbytky magnetického napětí na pólových nástavcích lze často zanedbat, R m = 0 PM U mn R mv U mv Zadány jsou: - rozměry mezery - S v, l v - požadovaná hodnota B v - pracovní bod PM (B p, H p ) Máme určit: - rozměry PM - S p, l p U mn U = mv 0 H H = p p v v H 0 B = Bp Sp = Bv Sv v v v v v v p = = p Hp µ 0Hp Bp S = BS 56

57 Obvod s permanentním magnetem Příklad 5 Mezi pólovými nástavci je vzduchová mezera délky l v a s plochou S v. Zdrojem pole je eritový permanentní magnet výšky l p a plochy S p. Určete magnetickou indukci ve vzduchové mezeře při teplotě 20 C. Magnetizační křivka použitého anizotropního eritu viz gra, magnetický odpor pólových nástavců a rozptylové toky zanedbejte. 2 2 S = 3 cm, = 0,5 cm, S = 8 cm, = 3 cm v v p p p S p PM S v v Anizotropní erit = = B S = B S p v p p v v v mn p p mv v µ 0 B Bp S p 240 mt H p 8 Bv = p 85 ka/m = Bp -6 Sv 3 Hp Bp = 2, B µ 0H p p U = H = U = Bv = B S µ H µ S B = = B = H = 2, H p p 0 p p 0 p v -6 v p p p Sv v vsp v U mn B v 8 = Bp = 0,64 T 3 R mv U mv 57

58 Obvod s permanentním magnetem Příklad 6 Máme v mezeře 2 2 cm o délce 2,5 mm vytvořit pole s B = 0,4 T. Jaké jsou potřebné rozměry PM (S p, l p ) z eritu? Vliv eromagnetika a rozptylové toky zanedbáme. PM Odhad optimálního pracovního bodu z B r a H c : Anizotropní erit B r U mv B p U m R mv H C H p S p BS B 4 v v = = = p 0, , 205 7,8 cm 2 3 B 0, 4 2,5 10 = = = 7,6 mm v v p 7 µ 0H p 4π 10 58

59 Transormátor I 1 I 2 U 1 U 2 I 1 I 2 U 1 U 2 Transormátor je netočivý elektrický stroj sestávající ze dvou (nebo i více) vinutí magneticky vázaných (tj. sdílejících magnetický tok) Vazba toku je zprostředkována magneticky vodivým jádrem Energie se mezi vinutími přenáší ormou elektromagnetického pole Transormátory slouží nejčastěji ke změně úrovně U a I (transormaci) a také ke galvanickému oddělení obvodů Pracují na indukčním principu, proto transormují jen časově proměnné veličiny 59

60 Konstrukce běžného transormátoru Magnetický obvod (jádro z magneticky měkkého materiálu) Vinutí (primární, sekundární) 60

61 Další konstrukce transormátorů Toroidní transormátor - nejlepší vlastnosti - složitá výroba Transormátor s jádry C 61

62 Princip transormátoru R m ( ) ( ) U = Ni t mn1 1 1 U = Ni t mn2 2 2 U mn1 U mn2 Stav naprázdno (I 2 =0) ( ) = ( ω ) u t U t 1 1m sin Primárem teče tzv. magnetovací proud i 1M : 1 1 U1m cos( ωt) i1m ( t) = u1 ( t) dt = L 1 L1 ω U1m cos( ωt) Ψ ( t) = N1 ( t) = Li 1 1M ( t) = ω Indukované napětí na sekundárním vinutí: d ( t) N N u ( ) t = N2 = U1m sin ωt = u1 t dt N N ( ) ( ) 1 1 Stav při zatížení (I 2 >0) N u t u t 2 ( ) = ( ) 2 1 N1 ( ) U U R Ni t mn1 mn2 = m = 1 1M =konst. ( ) ( ) = ( ) Ni t Ni t Ni t M Pro malý R m je i magnetovací proud i 1M zanedbatelný: N i t i t 2 ( ) = ( ) 1 2 N1 62

63 Výpočet transormátoru Při harmonickém napájení jsou i magnetická indukce a tok harmonickou unkcí času: ( ) sin m ( ) ( ) ( ) ( ) B t B t t = B t S = B sin t S m Na vinutí (kterémkoliv) se indukuje napětí: d ( t) u( t) = N = N B ω S cos( ωt) dt m U m Transormátorová rovnice Z této rovnice lze pro transormátor spočítat potřebný počet závitů vinutí: N = U 4, 44 B S m ( záv./v) Platí jen pro harmonické průběhy! Eektivní hodnota indukovaného napětí je: U NB 2πS m m U = = = N Bm S kv 2 N U B m S ( ) 4, 44 V počet závitů eektivní hodnota napětí maximální mag. indukce kmitočet průřez jádra (mag. obvodu) 63

64 Výkonové ztráty v transormátoru Magnetovací proud je ázově posunut o π/2 oproti napětí a nekoná práci. Ztráty v transormátoru vznikají jako: v ztráty ve vinutí (nejčastěji měděném) P v Pv = RI v = I γ vsv ztráty v jádře ztráty přemagnetováním (hysterezní) P h ztráty vířivými proudy P 2 2 ( W) Rostou s I 2, lze zmenšit zvýšením S ( ) Ph = WhV = V H d B W W 3 h Hd B(J/m ) = S I U I d = = S dt = = db dt U S db R R dt Rostou s, klesají s plochou hyst. s. P 1 2πB S = RI = 2 m R M Rostou s 2, klesají s R Ztráty vířivými proudy lze zmenšit: skládáním jádra z M izolovaných plechů zvětšením R materiálu (ocel + 4 % Si, erity, prášková jádra) 2 ( W) 64

65 Autotransormátor a regulační transormátor Autotransormátor nemá vinutí galvanicky oddělena, ale zapojena sériově. Konstrukce vychází menší oproti transormátoru stejného výkonu U 1 Autotransormátor I 1 I 2 Regulační transormátor je proveden nejčastěji jako autotransomátor s jezdcem, kterým se mění výstupní napětí I 1 U 2 U 1 I 2 Regulační autotransormátor U 2 65

66 Konec Kolejní 2906/ Brno Tel.: Fax: