Řešení soustav diferenčních rovnic pro

Transkript

1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Jana Kučerová Řešení soustav diferenčních rovnic pro sčítání a booleovské operace Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: Doc. RNDr. Jiří Tůma, DrSc. Studijní program: Matematika Studijní obor: Matematické metody informační bezpečnosti 2008

2 Na tomto místě bych ráda poděkovala vedoucímu mojí diplomové práce panu Doc. RNDr. Jiřímu Tůmovi, DrSc. za jeho cenné rady a připomínky a obětavou pomoc při psaní této práce. Prohlašuji, že jsem svou diplomovou práci napsala samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce a jejím zveřejňováním. V Praze dne Jana Kučerová 2

3 Obsah 1 Úvod 5 2 Grupové páry Podgrupy a rozkladové třídy Přirozený systém reprezentantů Izomorfismus grupových párů Soustavy diferenčních rovnic Řešení modulo D Indukční krok Algoritmus Abelovské grupové páry Vyjádření operace + pomocí operace Řešení soustav diferenčních rovnic v hustém abelovském grupovém páru Algoritmus Literatura 57 3

4 Název práce: Řešení soustav diferenčních rovnic pro sčítání a booleovské operace Autor: Jana Kučerová Katedra (ústav): Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: Doc. RNDr. Jiří Tůma,DrSc. vedoucího: tuma@karlin.mff.cuni.cz Abstrakt: Předložená práce se věnuje řešení soustav diferenčních rovnic typu (x α) + (y β) = (x + y) γ, kde neznámé x, y i parametry α, β, γ jsou prvky stejné množiny X a +, jsou grupové operace na množině X. V kapitole 2 zavedeme pojem grupový pár, popíšeme některé vlastnosti a vzájemné vztahy různých grupových párů. Kapitola 3 se zabývá řešením soustav diferenčních rovnic, kterým je věnována práce [1]. V kapitole 4 zadefinujeme grupový pár se speciální vzájemnou polohou příslušných grup, zavedeme pojem přechodová funkce, která popisuje vzájemný vztah operací + a, a poté se zaměříme na řešení soustav diferenčních rovnic v tomto grupovém páru. Klíčová slova: diferenční rovnice, grupový pár, přechodová funkce Title: Solving systems of differential equations for addition and Boolean operations Author: Jana Kučerová Department: Department of Algebra Supervisor: Doc. RNDr. Jiří Tůma,DrSc. Supervisor s address: tuma@karlin.mff.cuni.cz Abstract: The main topic of the present work is solving systems of differential equations of the type (x α) + (y β) = (x + y) γ, where both unknowns x, y and parameters α, β, γ are members of a set X, and + and are group operations on the set X. In chapter 2, we establish the term group pair, describe some properties and relationships between different group pairs. In chapter 3, we deal with solving systems of differential equations of addition, which is discussed in paper [1]. In chapter 4, we define a group pair, the groups of which are of special alignment, introduce the term transition function which describes alignment of the operations + and, and then focus on solving systems of differential equations in such group pair. Keywords: differential equation, group pair, transition function 4

5 Kapitola 1 Úvod Paul a Preneel studovali řešení soustav rovnic typu (x α) + (y β) = (x + y) γ, kde parametry α, β, γ i neznámé x, y jsou prvky množiny 2 n a kde + je operace sčítání modulo 2 n a je operace xor. Nalezli algoritmus, který v případě řešitelnosti této soustavy najde jedno její řešení s polynomiální časovou složitostí. Cílem této práce je zobecnit výsledky publikované v článku Paula a Preneela na obecnější grupy. Ukazuje se, že i u obecnějších abelovských grup se speciální vzájemnou polohou je použitelný mírně upravený algoritmus Paula a Preneela. V této práci nejprve zadefinujeme pojem grupový pár a některé speciální typy grupových párů. Dále popíšeme různé vlastnosti grupových párů a některé vzájemné vztahy mezi grupovými páry. Poté se zaměříme na řešení soustav diferenčních rovnic v tzv. standardním abelovském grupovém páru, kterým se ve své práci zabývali Paul a Preneel. V poslední kapitole zobecníme algoritmus uvedený v článku [1] na algoritmus řešící soustavy diferenčních rovnic v tzv. hustých abelovských grupových párech. Tento zobecněný algoritmus však není obecně polynomiální. Proto na závěr zformulujeme podmínky na některé vlastnosti grupového páru, při jejichž splnění už zobecněný algoritmus bude polynomiální. 5

6 Kapitola 2 Grupové páry Označení 2.1. Pro n N označme 2 n = {(a n 1,..., a 0 ) a j {0, 1}, j = 0,..., n 1}. Na množině 2 n budeme uvažovat dvě grupy C n 2 = (2 n, ), kde značí operaci bitový xor, C 2 n = (2 n, +), kde + značí operaci sčítání modulo 2 n. Definice 2.2. Dvojici grup (G, H) na stejné množině X nazýváme grupovým párem na množině X. Jsou-li grupy G a H abelovské, nazýváme pár (G, H) abelovským grupovým párem. Binární grupový pár je dvojice grup (G, H) na množině X mohutnosti 2 n taková, že G je izomorfní s C n 2 a H je izomorfní s C 2 n. Dvojici grup (C n 2, C 2 n) nazýváme standardním grupovým párem na množině 2 n. 2.1 Podgrupy a rozkladové třídy Poznámka 2.3. Grupa C 2 n je cyklická. Jedním z jejích možných generátorů je prvek (0,..., 0, 1). Jejími podgrupami jsou právě všechny grupy D 2 i = {(a n 1,..., a 0 )} 2 n takové, že a j = 0 pro j = 0,..., i 1, kde i = 0,..., n. Zřejmě {0} = D 2 n D 2 n 1... D 2 1 D 2 0 = 2 n. 6

7 Pro všechna i = 0,..., n jsou podgrupy D 2 i grupy C 2 n kanonicky 1 izomorfní s grupami C 2 n i. Všimněme si také, že každá podgrupa D 2 i grupy C 2 n je uzavřená rovněž na operaci, proto podmnožina D 2 i s operací je také podgrupou C2 n. Tvrzení 2.4. Dva prvky x = (x n 1,..., x 0 ), y = (y n 1,..., y 0 ) 2 n jsou ekvivalentní modulo D 2 i v grupě C 2 n, právě když jsou ekvivalentní modulo D 2 i v grupě C n 2. Jinými slovy, x y D 2 i, právě když x y D 2 i. Důkaz. Nejprve ukážeme platnost následující ekvivalence x y D 2 i (x k = y k pro k = 0,..., i 1). (2.1) Je-li x y D 2 i, pak x y = ((x y) n 1,..., (x y) i, 0,..., 0). Protože (x y) + y = x, je x k = y k pro k = 0,..., i 1. Je-li naopak x k = y k pro k = 0,..., i 1, je x y = ((x y) n 1,..., (x y) i, 0,..., 0) D 2 i. Nyní dokážeme tvrzení. Jsou-li prvky x, y 2 n ekvivalentní modulo D 2 i v C 2 n, znamená to, že x y D 2 i. Tedy x k = y k pro k = 0,..., i 1, a tedy x y D 2 i. Předpokládejme naopak, že x a y jsou ekvivalentní modulo D 2 i v C n 2, neboli že se shodují jejich hodnoty na indexech 0,..., i 1. Pak ale podle (2.1) je x y D 2 i. Tvrzení 2.4 má řadu důsledků: Každá rozkladová třída C 2 n/d 2 i je rozkladovou třídou C2 n /D 2 i a naopak. Jejich faktorové grupy jsou na stejné množině rozkladových tříd. Proto můžeme mluvit o rovnosti rozkladových tříd i faktorových grup. V následujících kapitolách budeme hovořit o řešení modulo podgrupa. Nyní tento termín objasníme. Mějme algebru A = (X, +, ) a kongruenci π algebry A. Bud te t(x 1,..., x k, α 1,..., α l ) a u(y 1,..., y p, β 1,..., β q ) termy v algebře A s proměnnými x 1,..., x k, y 1,..., y p a konstantami α 1,..., α l, β 1,..., β q. Symbolem [α] π označujeme rozkladovou třídu A/π, jejímž prvkem je prvek α X. Termy t(x 1,..., x k, [α 1 ] π,..., [α l ] π ) a u(y 1,..., y p, [β 1 ] π,..., [β q ] π ) jsou termy v A/π. Řekneme, že prvky a 1,..., a k, b 1,..., b p jsou řešením rovnice t(x 1,..., x k, α 1,..., α l ) = u(y 1,..., y p, β 1,..., β q ) (mod π), právě když t([a 1 ] π,..., [a k ] π, [α 1 ] π,..., [α l ] π ) = u([b 1 ] π,..., [b p ] π, [β 1 ] π,..., [β q ] π ) v A/π. Rozklad na podgrupy je kongruence. Proto, budeme-li mluvit o řešení modulo podgrupa, budeme tím myslet řešení modulo příslušná kongruence. 1 Kanonickým izomorfismem zde myslíme bijekci g : D 2 i C 2 n i, která prvku x = (x n 1,..., x i, 0..., 0) D 2 i přiřadí prvek (x n 1,..., x i ) C 2 n i 7

8 2.2 Přirozený systém reprezentantů Někdy je výhodnější pracovat místo rozkladových tříd se systémy jejich reprezentantů. Z tvrzení 2.4 plyne, že systémy reprezentantů rozkladových tříd C 2 n/d 2 i se shodují se systémy reprezentantů rozkladových tříd C n 2 /D 2 i. Budeme pracovat s konkrétním systémem reprezentatů, který nazveme přirozeným. Přirozeným reprezentantem prvku x = (x n 1,..., x 0 ) 2 n v rozkladové třídě C 2 n/d 2 i, kde i = 1,..., n, je prvek r i (x) = (0,..., 0, x i 1,..., x 0 ) 2 n. Protože každá rozkladová třída C 2 n/d 2 i je také rozkladovou třídou C2 n /D 2 i, hovoříme o společném systému přirozených reprezentantů rozkladových tříd standardního grupového páru (C2 n, C 2 n). Tento systém reprezentantů značíme R(C 2 n/d 2 i). Pro každé i = 1,..., n lze každý prvek x 2 n jednoznačně zapsat jako x = r i (x) + s i (x), kde r i (x) R(C 2 n/d 2 i) a s i (x) D 2 i. Řekneme, že dva prvky x, y 2 n jsou si rovny modulo podgrupa D 2 i, právě když leží ve stejné rozkladové třídě C 2 n/d 2 i, tedy právě když se rovnají jejich přirozené reprezentanty r i (x) = r i (y). 2.3 Izomorfismus grupových párů Definice 2.5. Říkáme, že grupový pár (G 1, H 1 ) na konečné množině X 1 je izomorfní s grupovým párem (G 2, H 2 ) na množině X 2, pokud existuje bijekce h : X 1 X 2 taková, že h je izomorfismus G 1 G 2 a zároveň izomorfismus H 1 H 2. Poznámka 2.6. Každou grupu G izomorfní s C n 2 lze považovat za aditivní grupu aritmetického vektorového prostoru dimenze n nad dvouprvkovým tělesem {0, 1} s (jediným možným způsobem definovanou) operací násobení prvky z tělesa: 0x = (0,..., 0) 2 n, 1x = x pro každé x G. Kdykoliv budeme mluvit o bázi G, budeme tím myslet bázi příslušného vektorového prostoru. 8

9 Věta 2.7. Binární grupový pár (G, H) na množině X mohutnosti 2 n je izomorfní se standardním grupovým párem (C n 2, C 2 n) na 2 n, právě když každá podgrupa grupy H je uzavřená také na operaci grupy G. Důkaz. Operaci grupy G označíme a operaci grupy H označíme +. Předpokládejme, že každá podgrupa grupy H je uzavřená na operaci. Zvolme libovolný izomorfismus h : H C 2 n. Chceme ukázat, že h je také izomorfismem grup G a C n 2. K tomu stačí ukázat, že existuje báze grupy G, která se pomocí h zobrazí na bázi grupy C n 2. V grupě H zavedeme následující označení: Uvažme bázi t x = x } + {{ + x }, x H, t N. t krát e 0 = (0, 0,..., 0, 0, 1), e 1 = (0, 0,..., 0, 1, 0), e 2 = (0, 0,..., 1, 0, 0),. e n 1 = (1, 0,..., 0, 0, 0) grupy C2 n. V grupě H existuje prvek x 0 takový, že h : x 0 e 0. Protože h je izomorfizmus, je také h : 2 x 0 e 1, 4 x 0 e 2,. 2 n 1 x 0 e n 1. Ukážeme, že množina x 0, 2 x 0,..., 2 n 1 x 0 je báze grupy G. Protože tato množina má n prvků, stačí ukázat její lineární nezávislost, tedy že pro každé k = 0,..., n 2 platí, že prvek 2 k x 0 neleží v lineárním obalu prvků 2 k+1 x 0,..., 2 n 1 x 0. To je ekvivalentní tomu, že prvek 2 k x 0 neleží v podgrupě grupy G generované prvky 2 k+1 x 0,..., 2 n 1 x 0. Pro k = n 1 tvrzení platí, nebot obrazem prvku 2 n 1 x 0 při izomorfismu h je nenulový prvek e n 1, a tedy prvek 2 n 1 x 0 je rovněž nenulový. Necht tedy 0 k < n 1. Protože h je izomorfismus a prvek h(2 k x 0 ) = e k / D 2 k+1 neleží v podgrupě grupy C 2 n generované prvky e k+1,..., e n 1 D 2 k+1, tak také prvek 2 k x 0 neleží v podgrupě K grupy H generované prvky 2 k+1 x 0,..., 2 n 1 x 0. Protože K je podgrupa grupy H, je vzhledem k předpokladu věty uzavřená na operaci, čili podgrupa grupy G generovaná prvky 2 k+1 x 0,..., 2 n 1 x 0 je částí K, a tedy neobsahuje prvek 2 k x 0. Opačná implikace plyne z konce poznámky

10 Poznámka 2.8. V předchozím důkazu bylo třeba ukázat, že pokud je každá podgrupa grupy H uzavřená i na operaci grupy G, pak existuje izomorfismus h : G C n 2, který je také izomorfismem H C 2 n. Ukázali jsme však silnější tvrzení, totiž že takovýmto izomorfismem je libovolný izomorfismus h : H C 2 n. 10

11 Kapitola 3 Soustavy diferenčních rovnic Necht (C n 2, C 2 n) je standardní grupový pár. Naším cílem je řešit soustavu rovnic (x α[k]) + (y β[k]) = (x + y) γ[k], (3.1) s neznámými x, y 2 n a parametry α[k], β[k], γ[k] 2 n, k = 1,..., m. K tomu stačí umět najít všechna řešení rovnice typu (x α) + (y β) = (x + y) γ. (3.2) Množinu řešení soustavy (3.1) pak získáme jako průnik množin řešení jednotlivých rovnic soustavy. Rovnici (3.2) budeme řešit tak, že indukcí podle i najdeme všechna řešení této rovnice modulo D 2 i pro i = 1,..., n. Tak nakonec dostaneme všechna řešení modulo D 2 n, tedy řešení původní rovnice (3.2). 3.1 Řešení modulo D 2 1 Tvrzení 3.1. Nutnou a postačující podmínkou pro řešitelnost rovnice (3.2) modulo D 2 1 je α 0 β 0 γ 0 = 0. Řešením modulo D 21 je pak libovolná dvojice x, y 2 n. Důkaz. Hledáme-li řešení (x α) + (y β) = (x + y) γ (mod D 2 1), (3.3) hledáme taková x, y 2 n, pro která se shodují přirozené reprezentanty r 1 ((x α) + (y β)) a r 1 ((x + y) γ). Všimněme si, že pro libovolná u, v 2 n je u + v = u v (mod D 2 1). (3.4) 11

12 Z toho plyne, že r 1 ((x α) + (y β)) = (0,..., 0, x 0 α 0 y 0 β 0 ) a r 1 ((x + y) γ) = (0,..., 0, x 0 y 0 γ 0 ). Rovnice (3.3) je tedy řešitelná, právě když což je ekvivalentní x 0 α 0 y 0 β 0 = x 0 y 0 γ 0, α 0 β 0 = γ 0. Tato rovnost nezávisí na x, y, proto je v případě její platnosti řešením rovnice (3.3) libovolná dvojice x, y 2 n. 3.2 Indukční krok Než ukážeme obecný indukční krok, tedy jak lze ze znalosti řešení rovnice (3.2) modulo D 2 i získat její řešení modulo D 2 i+1, uvedeme, jak lze nalézt řešení modulo D 2 2 za předpokladu, že rovnice (3.2) je řešitelná modulo D 2 1. Později uvidíme, že tento krok je speciální případ obecného indukčního kroku. V dalším textu budeme symbolem u i značit prvek u i = (u i n 1,..., u i i, 0,..., 0) D 2 i. Pro každou dvojici prvků a, b 2 n platí pro součet jejich přirozených reprezentantů rovnost r i (a) + r i (b) = r i (r i (a) + r i (b)) + s i (r i (a) + r i (b)). Je r i (r i (a) + r i (b)) = r i (a + b), nebot prvek a leží ve stejné rozkladové třídě C 2 n/d 2 i jako jeho reprezentant r i (a) a prvek b leží ve stejné rozkladové třídě C 2 n/d 2 i jako jeho reprezentant r i (b), a proto jsou reprezentanty rozkladových tříd C 2 n/d 2 i, ve kterých leží součty a + b a r i (a) + r i (b), stejné. Protože každá rozkladová třída C 2 n/d 2 i je také rozkladovou třídou C2 n /D 2 i, je také r i (r i (a) r i (b)) = r i (a b). Prvek s i (r i (a)+r i (b)) D 2 i nazýváme přenosem z i-té souřadnice při modulárním sčítání. Lemma 3.2. Pro každou dvojici a, b 2 n a každé i = 0,..., n 1 platí r i+1 (a + b) = (0,..., 0, a i b i e i i, a i 1 b i 1 e i 1 i 1,..., a 1 b 1 e 1 1, a 0 b 0 ), kde e k = (e k n 1,..., e k k, 0,..., 0) D 2 k, k = 1,..., i, je přenos1 při (modulárním) sčítání z (k 1)-ní pozice. 1 V případě standardního grupového páru může být nenulový přenos pouze z i-té na (i + 1)-ní pozici. Tedy hodnoty e k l pro l k jsou nulové. V následující kapitole ukážeme, že toto obecně neplatí. 12

13 Důkaz. Lemma dokážeme indukcí podle i. Z rovnosti (3.4) plyne, že r 1 (a + b) = (0,..., 0, a 0 b 0 ). Pro i = 0 tedy tvrzení platí. Všimněme si, že pro každé i = 1,..., n 1 a každou dvojici a, b 2 n je r i (a) + r i (b) = r i (a + b) + e i, e i D 2 i, což pro i = 1 znamená (0,..., 0, a 0 ) + (0,..., 0, b 0 ) = (0,..., 0, a 0 b 0 ) + (e 1 n 1,..., e 1 1, 0). Proto r 2 (a) + r 2 (b) = (0,..., 0, a 1, a 0 ) + (0,..., 0, b 1, b 0 ) = = (0,..., 0, a 1, 0) + (0,..., 0, b 1, 0) + + (0,..., 0, a 0 b 0 ) + (e 1 n 1,..., e 1 1, 0) = = (0,..., 0, a 1 b 1 e 1 1, 0) + (0,..., 0, a 0 b 0 ) + + (e 2 n 1,..., e 2 2, 0, 0) = = (0,..., 0, a 1 b 1 e 1 1, a 0 b 0 ) + (e 2 n 1,..., e 2 2, 0, 0), z čehož plyne r 2 (a + b) = (0,..., 0, a 1 b 1 e 1 1, a 0 b 0 ). Předpokládejme, že r i (a+b) = (0,..., 0, a i 1 b i 1 e i 1 i 1,..., a 0 b 0 ) a ukažme, že r i+1 (a+b) = (0,..., 0, a i b i e i i, a i 1 b i 1 e i 1 i 1,..., a 0 b 0 ), kde i = 2,..., n 1. Je r i+1 (a) + r i+1 (b) = = (0,..., 0, a i, a i 1,..., a 0 ) + (0,..., 0, b i, b i 1,..., b 0 ) = = (0,..., 0, a i, 0,..., 0) + (0,..., 0, b i, 0,..., 0) + + (0,..., 0, a i 1 b i 1 e i 1 i 1,..., a 0 b 0 ) + + (e i n 1,..., e i i, 0,..., 0) = (0,..., 0, a i b i e i i, 0,..., 0) + + (0,..., 0, a i 1 b i 1 e i 1 i 1,..., a 0 b 0 ) + + (e i+1 n 1,..., e i+1 i+1, 0,..., 0) = = (0,..., 0, a i b i e i i, a i 1 b i 1 e i 1 i 1,..., a 0 b 0 ) + + (e i+1 n 1,..., e i+1, 0,..., 0). i+1 A protože je r i+1 (a) + r i+1 (b) = r i+1 (a + b) + e i+1, platí r i+1 (a + b) = (0,..., 0, a i b i e i i, a i 1 b i 1 e i 1 i 1,..., a 0 b 0 ). Tvrzení 3.3. Je-li rovnice (3.2) řešitelná modulo D 2 1, pak je řešitelná modulo D 2 2, právě když α 1, β 1, γ 1, α 0, β 0 splňují jednu z podmínek uvedených v tabulce 3.1. Je-li splněná některá z těchto podmínek, pak jsou řešením takové dvojice x, y 2 n, jejichž hodnoty x 0, y 0 jsou v tabulce 3.1 na stejných řádcích jako hodnoty α 1 β 1 γ 1, α 0, β 0 2. V případě, že 2 Význam sloupce d 1 1 v tabulce 3.1 ozřejmíme později. 13

14 α 1 β 1 γ 1, α 0, β 0 nabývají hodnot, které nejsou uvedeny v tabulce 3.1, nemá rovnice (3.2) řešení modulo D 2 2, a tedy nemá řešení. Tabulka 3.1: Hodnoty x 0, y 0 vyhovující rovnici (3.5) při znalosti α 0, β 0, α 1, β 1, γ 1 ; hodnoty d 1 1 jsou pouze pomocné a jsou jednoznačně určitelné z hodnot x 0, y 0 α 1 β 1 γ 1 α 0 β 0 x 0 y 0 d Důkaz. Předpokládejme, že rovnice (3.3) je řešitelná a hledejme x, y 2 n taková, že platí (x α) + (y β) = (x + y) γ (mod D 2 2). (3.5) Podle lemmatu 3.2 je přirozený reprezentant r 2 ((x α) + (y β)) výrazu (x α) + (y β) roven (0,..., 0, x 1 α 1 y 1 β 1 c 1 1, x 0 α 0 y 0 β 0 ), kde r 1 (x α) + r 1 (y β) = r 1 ((x α) + (y β)) + c 1. Podobně spočítáme r 2 ((x + y) γ) = (0,..., 0, x 1 y 1 γ 1 d 1 1, x 0 y 0 γ 0 ), kde r 1 (x) + r 1 (y) = r 1 (x + y) + d 1, a tedy (r 1 (x) + r 1 (y)) r 1 (γ) = (r 1 (x + y) + d 1 ) r 1 (γ) = r 1 (x + y) r 1 (γ) + d 1 = r 1 ((x + y) γ) + d 1, nebot d 1 D

15 Existuje-li řešení rovnice (3.3), pak řešením rovnice (3.5) jsou právě všechny dvojice x, y 2 n takové, že x 1 α 1 y 1 β 1 c 1 1 = x 1 y 1 γ 1 d 1 1, neboli Snadno ověříme, že c 1 1 d 1 1 = α 1 β 1 γ 1. (3.6) c 1 1 = 0 (α 0 = x 0 β 0 = y 0 ), c 1 1 = 1 (α 0 x 0 β 0 y 0 ), d 1 1 = 0 (x 0 = 0 y 0 = 0), d 1 1 = 1 (x 0 = 1 y 0 = 1). Řešme nyní rovnici (3.6). Mohou nastat dva případy: 1. Je-li α 1 β 1 γ 1 = 0, pak c 1 1 d 1 1 = 0. Zde opět rozlišíme dva případy: (a) c 1 1 = 0 d 1 1 = 0 Díky pozorování za rovnicí (3.6) vidíme, že rovnici (3.5) v takovém případě vyhovují hodnoty x 0, y 0, α 0, β 0 uvedené v tabulce 3.2. (b) c 1 1 = 1 d 1 1 = 1 Hodnoty x 0, y 0, α 0, β 0 vyhovující rovnici (3.5) v tomto případě jsou uvedeny v tabulce Je-li α 1 β 1 γ 1 = 1, neboli c 1 1 d 1 1 = 1, pak bud (a) c 1 1 = 0 d 1 1 = 1 nebo (b) c 1 1 = 1 d 1 1 = 0. Hodnoty x 0, y 0, α 0, β 0 vyhovující rovnici (3.5) v případech 2a, resp. 2b, jsou uvedeny v tabulkách 3.5, resp Tabulka 3.1 je shrnutím tabulek 3.2, 3.3, 3.4 a

16 Tabulka 3.2: Hodnoty x 0, y 0, α 0, β 0 vyhovující rovnici (3.5) v případě, že c 1 1 = 0 d1 1 = 0 x0 y0 α0 β Tabulka 3.3: Hodnoty x 0, y 0, α 0, β 0 vyhovující rovnici (3.5) v případě, že c 1 1 = 1 d1 1 = 1 x0 y0 α0 β Tabulka 3.4: Hodnoty x 0, y 0, α 0, β 0 vyhovující rovnici (3.5) v případě, že c 1 1 = 0 d1 1 = 1 x0 y0 α0 β Tabulka 3.5: Hodnoty x 0, y 0, α 0, β 0 vyhovující rovnici (3.5) v případě, že c 1 1 = 1 d1 1 = 0 x0 y0 α0 β

17 Nyní ukážeme obecný indukční krok. Předpokládejme, že známe množinu řešení rovnice (3.2) modulo D 2 i, kde i = 2,..., n 1. Potřebujeme zjistit, která z těchto řešení vyhovují také rovnici (x α) + (y β) = (x + y) γ (mod D 2 i+1). (3.7) Budeme postupovat podobně jako při hledání řešení modulo D 2 2 za předpokladu řešitelnosti modulo D 2 1, avšak s tím rozdílem, že c i, d i, kde i = 2,..., n 1, nezávisí pouze na α i 1, β i 1, x i 1, y i 1, jako to bylo u i = 1, ale také na c i 1, d i 1. Tvrzení 3.4. Je-li rovnice (3.2) řešitelná modulo D 2 i, kde i = 1,..., n 1, pak je řešitelná modulo D 2 i+1, právě když α i, β i, γ i, α i 1, β i 1, γ i 1, splňují jednu z podmínek uvedených v tabulce 3.6. Pokud je některá z těchto podmínek splněná, pak jsou řešením takové dvojice x, y 2 n, pro které jsou hodnoty d i 1 i 1, x i 1, y i 1 v tabulce 3.6 na řádcích s hodnotami α i β i γ i, α i 1, β i 1, γ i 1. V případě, že α i β i γ i, α i 1, β i 1, γ i 1 nabývají hodnot, které nejsou uvedeny v tabulce 3.6, nemá rovnice (3.2) řešení modulo D 2 i+1, a tedy nemá řešení. Tabulka 3.6: Hodnoty d i 1 i 1, x i 1, y i 1 vyhovující rovnici (3.7) při znalosti α i 1, β i 1, γ i 1, α i, β i, γ i ; hodnoty d i i jsou pouze pomocné a jsou jednoznačně určitelné z hodnot d i 1 i 1, x i 1, y i 1 α i β i γ i α i 1 β i 1 γ i 1 d i 1 i 1 x i 1 y i 1 d i i Pokračování na následující straně 17

18 Tabulka 3.6 pokračování α i β i γ i α i 1 β i 1 γ i 1 d i 1 i 1 x i 1 y i 1 d i i Pokračování na následující straně 18

19 Tabulka 3.6 pokračování α i β i γ i α i 1 β i 1 γ i 1 d i 1 i 1 x i 1 y i 1 d i i Důkaz. Předpokládejme, že rovnice (3.2) je řešitelná modulo D 2 i. Z lemmatu 3.2 plyne, že reprezentanty r i+1 ((x α) + (y β)), r i+1 ((x + y) γ) jsou tvaru: r i+1 ((x α) + (y β)) = (0,..., 0, x i α i y i β i c i i,..., (3.8) x 1 α 1 y 1 β 1 c 1 1, x 0 α 0 y 0 β 0 ), r i+1 ((x + y) γ) = (0,..., 0, x i y i γ i d i i,..., x 1 y 1 γ 1 d 1 1, x 0 y 0 γ 0 ). (3.9) Dvojice x, y 2 n je řešením rovnice (3.7), právě když se shodují reprezenanty (3.8), (3.9) příslušné této dvojici, což je právě tehdy, když je splněna rovnost x i α i y i β i c i i = x i y i γ i d i i, 19

20 čili Platí c i i d i i = α i β i γ i. c i 1 c i i = 0 (x i 1 α i 1 = 0 y i 1 β i 1 = 0 i 1 = 0) (x i 1 α i 1 = 0 y i 1 β i 1 = 0 c i 1 i 1 = 1) (x i 1 α i 1 = 0 y i 1 β i 1 = 1 c i 1 i 1 = 0) (x i 1 α i 1 = 1 y i 1 β i 1 = 0 c i 1 i 1 = 0), c i i = 1 (x i 1 α i 1 = 0 y i 1 β i 1 = 1 c i 1 i 1 = 1) (x i 1 α i 1 = 1 y i 1 β i 1 = 0 c i 1 i 1 = 1) (x i 1 α i 1 = 1 y i 1 β i 1 = 1 c i 1 i 1 = 0) (x i 1 α i 1 = 1 y i 1 β i 1 = 1 c i 1 i 1 = 1), d i i = 0 (x i 1 = 0 y i 1 = 0 d i 1 i 1 = 0) (x i 1 = 0 y i 1 = 0 d i 1 i 1 = 1) (x i 1 = 0 y i 1 = 1 d i 1 i 1 = 0) (x i 1 = 1 y i 1 = 0 d i 1 i 1 = 0), d i i = 1 (x i 1 = 0 y i 1 = 1 d i 1 i 1 = 1) (x i 1 = 1 y i 1 = 0 d i 1 i 1 = 1) (x i 1 = 1 y i 1 = 1 d i 1 i 1 = 0) (x i 1 = 1 y i 1 = 1 d i 1 i 1 neco = 1). Z těchto údajů 3 získáme tabulku 3.6. Srovnáme-li tabulky 3.1 a 3.6, vidíme, že hledání řešení rovnice (3.2) modulo D 2 2 za předpokladu její řešitelnosti modulo D 2 1 je speciální případ obecného indukčního kroku. Pokud bychom z tabulky 3.6 vybrali právě ty řádky, na kterých je α i 1 β i 1 γ i 1 = 0 a d i 1 i 1 = 0 a položili i = 1, získali bychom tabulku 3.1. Vynecháme-li z tabulky 3.6 sloupce α i β i γ i a d i i, dosadíme-li i = n a řádky vzniklé tabulky vhodně přeuspořádáme, zjistíme, že (v případě, že rovnice (3.2) je řešitelná) dvojice x n 1, y n 1 může nabývat libovolných hodnot bez ohledu na hodnoty α n 1, β n 1, γ n 1, d n 1 n 1. Z tabulky 3.6 je zřejmé, že pro pevně daná α i, β i, γ i, α i 1, β i 1, γ i 1 3 Chceme, aby tabulka 3.6 ukazovala závislost x i 1, y i 1, d i 1 i 1 na α i 1, β i 1, γ i 1, α i, β i, γ i. K tomu využijeme rovnosti c i i di i = α i β i γ i. Také víme, že c i 1 i 1 di 1 = α i 1 β i 1 γ i 1, a ze znalosti α i 1, β i 1 spočteme γ i 1. 20

21 platí pro velikosti množin řešení následující rovnost #{α i β i γ i, α i 1, β i 1, γ i 1, d i 1 i 1, x i 1, y i 1, d i i d i 1 i 1 = 0; x i 1, y i 1, d i i {0, 1}} = (3.10) = #{α i β i γ i, α i 1, β i 1, γ i 1, d i 1 i 1, x i 1, y i 1, d i i d i 1 i 1 = 1; x i 1, y i 1, d i i {0, 1}} pro každé i = 1,..., n 1. Tuto velikost nazveme pro účely následujícího odstavce počtem řešení dané rovnice na i-tém bitu. Protože hodnota d i i nezávisí na α j, β j, γ j, j = 0,..., n 1, ale pouze na x i 1, y i 1, d i 1 i 1, platí rovnost pro velikost množin trojic (d i 1 i 1 = 0, x i 1, y i 1 ) a (d i 1 i 1 = 1, x i 1, y i 1 ), které vyhovují soustavě (3.1) modulo D 2 i. Počet dvojic (x i 1, y i 1 ), které vyhovují soustavě (3.1) modulo D 2 i, tedy nezávisí na hodnotě d i 1 i 1, ale pouze na hodnotách α i, β i, γ i, α i 1, β i 1, γ i 1, proto je počet řešení soustavy (3.1) roven součinu počtů řešení na jednotlivých bitech. 3.3 Algoritmus Nyní popíšeme algoritmus na hledání všech řešení soustavy (3.1). Algoritmus 3.5. neco Vstup: Keoficienty α i [k], β i [k], γ i [k], i = 0,..., n 1, k = 1,..., m. Výstup: Množina všech dvojic x = (x n 1,..., x 0 ), y = (y n 1,..., y 0 ), které jsou řešením soustavy (3.1) s koeficienty ze vstupu. Postup: 1. Pro k = 1,..., m : 2. Ověř, jestli α 0 [k] β 0 [k] γ 0 [k] = Pokud tato rovnost neplatí, pak soustava (3.1) nemá řešení. Konec. 4. Pro k = 1,..., m : 5. Polož d 0 0[k] = Pro i = 2,..., n : 7. Pro k = 1,..., m : 21

22 8. V tabulce 3.6 najdi množinu všech řešení k-té rovnice soustavy (3.1) modulo D 2 i, tj. množinu čtveřic (d i 1 i 1, x i 1, y i 1, d i i) 4, které vyhovují dané rovnici modulo D 2 i. 9. Pokud takové řešení neexistuje, pak soustava (3.1) nemá řešení. Konec. 10. Urči průnik množin řešení jednotlivých rovnic modulo D 2 i. 11. Zkombinuj výsledky 5, x n 1, y n 1 libovolné. Věta 3.6. Nalezení jednoho řešení soustavy (3.1) pomocí algoritmu 3.5 má časovou složitost polynomiální vzhledem k mn, kde m je počet rovnic soustavy (3.1). Nemá-li soustava (3.1) řešení, pak tuto skutečnost zjistíme také v čase O(mn). Důkaz. Rozeberme časovou složitost jednotlivých kroků algoritmu. Kroky 2. a 3. mají konstantní časovou složitost, takže kroky mají složitost O(m). Kroky mají také časovou složitost O(m). Krok 8. má konstantní časovou složitost, nebot hledání řešení v tabulce 3.6 má složitost logaritmickou vzhledem k počtu řádků tabulky, který je konstantní. Krok 9. má také konstantní složitost. Průnik m množin, z nichž každá má velikost maximálně l, lze nalézt v O(ml 2 ). V našem případě je l = 4. Složitost kroku 10. je tedy opět v O(m). Kroky mají tedy složitost O(mn). Pokud ukončíme krok 11. po nalezení prvního řešení, získáme tak jedno řešení soustavy (3.1) v čase O(n). Celková časová složitost takto upraveného algoritmu je tedy v O(mn). Nemá-li soustava (3.1) řešení, zjistíme to v průběhu kroků algoritmu 3.5, tedy v čase O(mn). Poznámka 3.7. Počet všech řešení soustavy (3.1) může být exponenciální vzhledem k n (je v O(4 n )). Proto nalezení všech řešení soustavy (3.1) obecně není polynomiální vzhledem k mn. 4 Hodnota d i i není součástí řešení. Je to pomocná hodnota, kterou využijeme v kroku Principem prohledávání do hloubky, a to tak, aby hodnota d i 1 i 1 získaná při hledání řešení soustavy modulo D 2 i byla shodná s hodnotou d i 1 i 1, která je součástí řešení modulo D 2 i+1. 22

23 Tabulka 3.6 (bez sloupce d i i) odpovídá tabulce 1 z článku [1]. Tabulka 3.6 je však jednorozměrná, zatímco tabulka 1 z článku je dvourozměrná. Hodnoty α i, β i, γ i, x i, y i, c i z tabulky z článku odpovídají pořadě hodnotám α i 1, β i 1, α i 1 β i 1 γ i 1, x i 1, y i 1, d i 1 i 1 z tabulky 3.6. Hodnoty γ i+1 uvedené uvnitř tabulky 1 z článku odpovídají hodnotám α i β i γ i v tabulce

24 Kapitola 4 Abelovské grupové páry V této kapitole budeme zkoumat, za jakých podmínek je soustava (3.1) řešitelná v abelovském grupovém páru (G, H) (viz definici 2.2) na množině X mohutnosti 2 n. V předchozí kapitole, která se týkala článku [1], jsme používali indexaci podgrup a souřadnic, která korespondovala s indexací použitou v tomto článku. V této kapitole budeme používat obrácenou indexaci, jak uvidíme v následujícícm odstavci. Na množině X budeme uvažovat algebru (X, 0, +, ). Grupy G, H definujeme následovně: G = (X, 0, ) a H = (X, 0, +). V celé kapitole budeme předpokládat, že ι X = π 0 π 1 π n = X X je posloupnost kongruencí algebry (X, 0, +, ). Pro i = 0,..., n označme symbolem X i třídu kongruence π i, která obsahuje prvek 0. Grupy G a H mají společný neutrální prvek 0, proto (X i, 0, ) je podgrupa G a (X i, 0, +) je podgrupa H a π i je rozklad G/X i a H/X i pro každé i = 0,..., n. Odtud plyne, že {0} = X 0 X 1 X n = X. Z Lagrangeovy věty a ze skutečností, že mohutnost množiny X je 2 n a inkluze mezi X i 1 a X i jsou ostré pro všechna i = 1,..., n, plyne, že X i 1 má index 2 v X i pro i = 1,..., n. Definice 4.1. Abelovský grupový pár (G = (X, 0, ), H = (X, 0, +)) na množině X mohutnosti 2 n takový, že existuje maximální řetízek kongruencí ι X = π 0 π 1 π n = X X algebry (X, 0, +, ), nazýváme hustým abelovským grupovým párem na množině X. Pro každé i = 1,..., n zvolme e i X i \ X i 1. Takové prvky existují, protože X i 1 má index 2 v X i pro i = 1,..., n. Pro každé i = 1,..., n 1 platí, že prvek e i+1 neleží v podalgebře X i algebry X, která obsahuje prvky e 1,..., e i. Tuto posloupnost nazveme bází grupového páru (G, H) a označíme E X = (e 1, e 2,..., e n ). 24

25 Lemma 4.2. Každý prvek x X lze jednoznačně zapsat jako x = n j=1 x je j = n j=1 y je j, kde x j, y j {0, 1} pro j = 1,..., n. Důkaz. Lemma dokážeme pouze pro operaci +. Pro operaci by byl důkaz obdobný. Nejprve dokážeme existenci vyjádření x = n j=1 x je j, x j {0, 1}, j = 1,..., n. Indukcí podle i ukážeme, že každé x X i lze zapsat jako x = i j=1 x je j, kde x j {0, 1}, j = 1,..., i. Necht i = 1. Množina X 1 obsahuje pouze dva prvky 0 = 0 e 1 a e 1 = 1 e 1. Necht tedy i = 1,..., n 1. Předpokládejme, že každé x X i lze zapsat jako x = i j=1 x je j, kde x j {0, 1}, j = 1,..., i. Necht x X i+1. Pak bud x X i nebo x X i+1 \ X i. V prvním případě je x = x = x + 0 e i+1 pro nějaké x X i. Ve druhém případě x = x + 1 e i+1. Je tedy x = i+1 j=1 x je j, x j {0, 1}, j = 1,..., i + 1, pro každé x X i+1. Zbývá dokázat jednoznačnost vyjádření x = n j=1 x je j. Necht jsou n j=1 x je j a n j=1 x je j dvě různá vyjádření prvku x X. Označme k = max{j; x j x j}. Je 0 = n j=1 x je j n j=1 x je j = k j=1 x j e j, kde x j { 1, 0, 1}, j = 1,..., k. Je tedy 0 = k j=1 x j e j X k \ X k 1, což je spor se skutečností, že 0 X 0 X k 1. Poznámka 4.3. Kdykoliv budeme v dalším textu hovořit o vyjádření prvku x X pomocí operace + nebo o jeho vyjádření pomocí operace, budeme tím myslet jeho vyjádření z lemmatu 4.2, tedy x = n j=1 x je j, kde x j {0, 1} pro j = 1,..., n, nebo x = n j=1 y je j, kde y j {0, 1} pro j = 1,..., n. Definice 4.4. Necht x X má následující vyjádření pomocí operací + a : x = n j=1 x je j = n j=1 y je j. Uspořádanou n-tici (x 1, x 2,..., x n ) nazýváme souřadnice prvku x vzhledem k bázi E X příslušné operaci +, uspořádanou n-tici (y 1, y 2,..., y n ) nazýváme souřadnice prvku x vzhledem k bázi E X příslušné operaci. Nyní definujeme pojem důležitý pro hledání řešení soustav diferenčních rovnic v hustém abelovském grupovém páru (G, H). Definice 4.5. Váha w je funkce w : X {0,..., n}, která každému prvku x X přiřadí následující hodnotu: w(x) = nejmenší j takové, že x X j. Hodnotu w(x) nazýváme váhou prvku x. Předchozí definice je korektní, protože každý prvek x X je prvkem X n = X a pro podgrupy platí X 0 X 1 X n. 25

26 Lemma 4.6. Pro každý prvek e i E X platí w(e i +e i ) < i a w(e i e i ) < i. Důkaz. Toto lemma opět stačí dokázat pro jednu z operací, nebot pro druhou operaci by byl důkaz obdobný. Dokážeme je pro operaci +. Z volby prvků báze E X plyne, že w(e i + e i ) i. Předpokládejme, že w(e i + e i ) = i, neboli e i + e i X i \ X i 1. Prvek e i +e i pak můžeme vyjádřit jako e i +e i = e i +h i 1, kde h i 1 X i 1. Proto e i = h i 1, a tedy e i X i 1, což je spor s volbou prvků báze E X. Důsledek 4.7. Pro každé dva prvky x, y X platí (i) w(x) = w(y) (w(x + y) < w(x) w(x y) < w(x)), (ii) w(x) > w(y) (w(x + y) = w(x) w(x y) = w(x)). Tedy x, y X : w(x + y) max{w(x), w(y)}, w(x y) max{w(x), w(y)}. Důkaz. Podobně jako předchozí lemma dokážeme toto tvrzení pouze pro operaci +. Bud te (x 1,..., x n ) a (y 1,..., y n ) souřadnice prvků x a y vzhledem k bázi E X příslušné operaci +. (i) Označme i = w(x) = w(y). Je x, y X i \ X i 1, tedy x = e i + h x, h x X i 1, y = e i + h y, h y X i 1. Proto x+y = (e i +e i )+h x +h y, kde (e i +e i ) X i 1 podle lemmatu 4.6. Tedy x + y X i 1, a proto w(x + y) < i. (ii) Označme opět i = w(x) a j = w(y). Je x X i \X i 1 a y X j \X j 1. Protože i > j, je X j X i 1. Tedy y X i 1. A protože x = e i + h x, kde h x X i 1, dostáváme x + y = e i + h x + y, kde (h x + y) X i 1, tedy x + y X i \ X i 1. Z důsledku 4.7 snadno plyne, že pro každé x X platí w( x) = w( x) = w(x). (4.1) Podobně jako v 2. kapitole zavedeme pro každé i = 0,..., n 1 přirozený systém reprezentantů rozkladových tříd X/X i příslušný operaci, který značíme R (X/X i ). 26

27 Přirozeným reprezentantem prvku x = n j=1 x je j X příslušným operaci v rozkladové třídě X/X i je prvek r i+1 (x) = n j=i+1 x j e j X \ X i. (4.2) Nejprve je třeba ukázat, že jde opravdu o systém reprezentantů X/X i. Množina R (X/X i ) má 2 n i prvků, proto stačí ukázat, že dva různé prvky této množiny leží v různých třídách X/X i. Předpokládejme, že dva různé reprezentanty r i+1 (x) = n j=i+1 x je j, r i+1 (y) = n j=i+1 y je j leží ve stejné rozkladové třídě X/X i. Prvky r i+1 (x) a r i+1 (y) jsou tedy kongruentní modulo X i, a tedy jejich rozdíl leží v X i, 0 r i+1 (x) r i+1 (y) X i. Označme z = r i+1 (x) r i+1 (y) = i j=1 z je j. Je r i+1 (x) = z r i+1 (y) = n j=1 t je j, kde t j = z j pro j = 1,..., i a t j = y j pro j = i + 1,..., n. Prvek n j=1 t je j ale není prvkem X \ X i, což je spor s vyjádřením (4.2). Pro každé i = 0,..., n 1 lze každý prvek x X jednoznačně zapsat jako součet x = r i+1 (x) s i+1 (x), kde r i+1 (x) R (X/X i ), s i+1 (x) X i. Dále pro každé i, j = 0,..., n 1, i > j zavedeme přirozený systém reprezentantů rozkladových tříd X i /X j následovně: R (X i /X j ) := R (X/X j ) X i. Řekneme, že dva prvky x, y X jsou si rovny modulo podalgebra X i = (X i, 0, +, ), právě když leží ve stejné rozkladové třídě X podle X i. Podobně jako v případě standardního grupového páru (viz str. 12) platí pro i = 1,..., n a pro libovolné dva prvky a, b X následující rovnost r i (a) r i (b) = r i (a b) s i (r i (a) r i (b)), (4.3) kde s i (r i (a) r i (b)) X i 1. Prvek s i (r i (a) r i (b)) nazveme přenosem z i-té souřadnice při operaci. Dále zavedeme pro každé i = 0,..., n 1 přirozený systém reprezentantů rozkladových tříd X/X i příslušný operaci +, který značíme R + (X/X i ). 27

28 Přirozeným reprezentantem prvku x = n j=1 y je j X příslušným operaci + v rozkladové třídě X/X i je prvek r + i+1 (x) = n j=i+1 y j e j X \ X i. (4.4) Přirozený systém reprezentantů R + (X/X i ) má obdobné vlastnosti jako přirozený systém reprezentantů R (X/X i ). Pro každé i = 0,..., n 1 lze každý prvek x X jednoznačně zapsat jako součet x = r + i+1 (x) + s+ i+1 (x), kde r + i+1 (x) R+ (X/X i ), s + i+1 (x) X i. Pro operaci + platí také následující obdoda rovnosti (4.3): r + i (a) + r+ i (b) = r+ i (a + b) + s+ i (r+ i (a) + r+ i (b)), (4.5) kde s + i (r+ i (a)+r+ i (b)) X i 1. Prvek s + i (r+ i (a)+r+ i (b)) nazveme přenosem z i-té souřadnice při operaci +. Protože pro každé i {1,..., n} množina R (X i /X i 1 ) obsahuje pouze dva prvky 0 a e i, platí následující lemma. Lemma 4.8. Necht i {1,..., n}. Pro každé dva prvky u, v R (X i / X i 1 ) platí r i (u + v) = r i (u v), neboli u + v = u v (mod X i 1). 4.1 Vyjádření operace + pomocí operace K hledání řešení soustav diferenčních rovnic v hustém abelovském grupovém páru ((X, 0, +), (X, 0, )) je třeba umět vyjádřit jednu operaci pomocí druhé. Operace + a jsou z tohoto hlediska rovnocenné. Protože však v případě standardního grupového páru převádíme operaci + na operaci, použijeme tento přístup i v případě obecnějšího hustého abelovského grupového páru. Vyjádření operace + pomocí operace na množinách X i, i = 1,..., n, získáme indukcí podle i. Pro i = 1, 2 je situace jednoduchá. Podmnožina X 1 množiny X obsahuje pouze dva prvky: 0 a e 1. Je w(e 1 + e 1 ) = w(e 1 e 1 ) = 0, a tedy e 1 + e 1 = e 1 e 1 = 0. Množina X 2 je čtyřprvková, X 2 = {0, e 1, e 2, e 1 + e 2 } = {0, e 1, e 2, e 1 e 2 }. Podle lemmatu 4.2 o jednoznačnosti vyjádření je e 1 + e 2 = e 1 e 2. Pro úplný popis operací + a v množině X 2 zbývá ukázat, jak mohou vypadat prvky e 2 + e 2 a e 2 e 2. Vzhledem k tomu, že je (podle lemmatu 4.6) w(e 2 +e 2 ) < 2 a w(e 2 e 2 ) < 2, musí být e 2 +e 2, e 2 e 2 X 1, a tedy 28

29 bud e 2 +e 2 = 0 nebo e 2 +e 2 = e 1, podobně e 2 e 2 = 0 nebo e 2 e 2 = e 1. Ve všech případech v X 2 tedy umíme vyjádřit operaci + pomocí operace. Indukční krok je následující: Předpokládejme, že pro všechny dvojice x, y X i známe vyjádření x + y = i j=1 z je j = i j=1 z je j. V následujícím lemmatu ukážeme, že stačí umět vyjádřit pomocí operace součet e i+1 +x X i+1 pro všechna x X i a dále součet e i+1 +e i+1 X i, a odtud pak odvodíme vyjádření pomocí operace pro součet x + y libovolné dvojice prvků x, y X i+1. Lemma 4.9. Necht je známé vyjádření prvků x +y, x +e i+1 a e i+1 +e i+1 pomocí operace pro každé x, y X i. Potom umíme vyjádřit pomocí operace i součet x + y pro libovolnou dvojici x, y X i+1. Důkaz. Je x = x + x i+1 e i+1, y = y + y i+1 e i+1, kde x, y X i. Součet x + y určíme následovně: x + y = (x + x i+1 e i+1 ) + (y + y i+1 e i+1 ) = = x + y + (x i+1 e i+1 + y i+1 e i+1 ), kde x +y X i, tedy tento součet umíme vyjádřit pomocí operace. Pro x i+1 e i+1 + y i+1 e i+1 mohou nastat dva případy: Pokud je x i+1 = y i+1, pak x i+1 e i+1 +y i+1 e i+1 X i, tedy součet x+y je prvkem X i, a proto jej umíme vyjádřit pomocí operace. Je-li x i+1 y i+1, pak x i+1 e i+1 + y i+1 e i+1 = e i+1, tedy prvek x + y je součtem prvku množiny X i a prvku e i+1, který podle předpokladu umíme také vyjádřit pomocí operace. Zbývá určit vyjádření součtu x + e i+1, x X i. Ukážeme, že stačí znát vyjádření tohoto součtu pouze pro některé prvky x X i, z nichž již odvodíme toto vyjádření pro zbylé prvky množiny X i, a tedy i vyjádření součtu x + y libovolných dvou prvků x, y X i. K tomuto účelu zavedeme pojem přechodová funkce. Definice Necht i {0,..., n 1}. Přechodovou funkcí od množiny X i k množině X i+1 nazveme funkci pro kterou platí pro každé x X i. f i : X i X i, x + e i+1 = f i (x) e i+1 Tvrzení Pro každé i = 0,..., n 1 je funkce f i permutace na množině X i, a tedy bijekce. 29

30 Důkaz. Zřejmě stačí ukázat, že jde o prostou funkci. Zvolme libovolné i {0,..., n 1}. Necht f i (x) = f i (y) pro x, y X i. Pak x + e i+1 = f i (x) e i+1, y + e i+1 = f i (x) e i+1. Odtud plyne, že x + e i+1 = y + e i+1, a tedy x = y. Ukážeme, že ne každá bijekce X i X i je přechodovou funkcí a poté najdeme minimální množinu m(x i ) prvků množiny X i, která jednoznačně určuje přechodovou funkci f i v tom smyslu, že známe-li vyjádření hodnot f i (y) pomocí operace pro všechna y m(x i ), pak známe vyjádření hodnot f i (x) pomocí operace pro všechna x X i. Předně si uvědomme, že pro každé x X a každé i = 0,..., n platí důležitá rovnost x + X i = x X i, (4.6) která plyne z toho, že X i je třída kongruence π i. Přímým důsledkem rovnosti (4.6) je rovnost x + e 1 = x e 1, (4.7) která platí pro všechna x X. Je totiž x + {0, e 1 } = x + X 1 = x X 1 = x {0, e 1 }, a tedy {x, x + e 1 } = {x, x e 1 }. Z lemmatu 4.2 o jednoznačnosti vyjádření pak plyne rovnost (4.7). Rovnost (4.7) platí pro všechna x X, a tedy speciálně pro prvky e i, i = 2,..., n. Proto platí f i (e 1 ) = e 1, i = 2,..., n. (4.8) Z rovnosti (4.7) plyne také další důležitá rovnost: f i (e 1 x) = e 1 f i (x), x X, i = 2,..., n. (4.9) (4.7) Je totiž f i (e 1 x) e i+1 = (e 1 x) + e i+1 = (e 1 + x) + e i+1 = e 1 + (x + e i+1 ) (4.7) = e 1 (x + e i+1 ) = e 1 f i (x) e i+1. Z definice přechodové funkce a z rovnosti (4.6) plyne, že pro každé j = 0,..., i platí následující rovnost neboli X j + e i+1 = X j e i+1, (4.10) f i (X j ) = X j. (4.11) Přechodové funkce mají několik důležitých vlastností, které dokážeme v následujícím lemmatu. 30

31 Lemma Pro každé i = 0,..., n 1 platí Pro každé i, j = 0,..., n 1, j < i platí f i (0) = 0. (4.12) x πj y f i (x) πj f i (y), x, y X i. (4.13) Důkaz. Pro každé i = 0,..., n 1 platí 0 + e i+1 = e i+1 = 0 e i+1, a tedy f i (0) = 0. Necht i {1,..., n 1} a 0 j < i. Bud te dále x, y X i takové, že x πj y. Pak e i+1 f i (x) = e i+1 + x πj e i+1 + y = e i+1 f i (y), nebot π i je kongruence algebry (X, 0,, +). Odtud plyne, že e i+1 f i (x) πj e i+1 f i (y), a tedy f i (x) πj f i (y). Opačnou implikaci dokážeme podobně. Necht pro i {1,..., n 1}, 0 j < i a x, y X i je f i (x) πj f i (y). Potom a tedy x πj y. e i+1 + x = e i+1 f i (x) πj e i+1 f i (y) = e i+1 + y, Lemma Pro každé j = 1,..., i platí f i (X j 1 e j ) = X j 1 e j. Důkaz. K důkazu tohoto lemmatu použijeme předchozí lemma Mějme prvek x X j 1 e j. Pak x πj 1 e j, což je podle podmínky (4.13) ekvivalentní f i (x) πj 1 f i (e j ). Dokážeme-li, že f i (e j ) πj 1 e j, pak bude f i (x) πj 1 e j, a tedy f i (x) X j 1 e j. Pro prvek e j platí e j πj 0, a proto f i (e j ) πj f i (0) = 0. Je tedy f i (e j ) X j. Podle rovnosti (4.11) je f i (X j 1 ) = X j 1. A protože f i je prostá funkce, musí být f i (e j ) / X j 1, a proto f i (e j ) πj 1 e j. Je tedy f i (x) X j 1 e j, a proto f i (X j 1 e j ) X j 1 e j. Protože však funkce f i je prostá, platí dokazovaná rovnost. Lemma Pro každé j = 1,..., i je bud f i (X j 1 e j+1 ) = X j 1 e j+1, f i (X j 1 e j e j+1 ) = X j 1 e j e j+1 nebo f i (X j 1 e j+1 ) = X j 1 e j e j+1, f i (X j 1 e j e j+1 ) = X j 1 e j+1. 31

32 Důkaz. Zvolme libovolný prvek x X j 1 e j+1. Podobně jako v důkazu předchozího lemmatu 4.13 bychom ukázali, že f i (x) X j+1 a f i (x) / X j. Je tedy f i (x) X j+1 \ X j. Podobně lze ukázat, že pro libovolné x X j 1 e j e j+1 je f i (x ) X j+1 \ X j. Množina X j+1 je disjunktním sjednocením čtyř tříd kongruence π j 1,. X j+1 = X j 1 (X j 1 e j ). (X j 1 e j+1 ). (X j 1 e j e j+1 ), kde. X j = X j 1 (X j 1 e j ). Proto je X j+1 \ X j = (X j 1 e j+1 ). (X j 1 e j e j+1 ). (4.14) Protože x X j 1 e j+1, platí pro libovolný prvek y X j 1 e j+1 ekvivalence x πj 1 y. Podle lemmatu 4.12 je tedy f(x) πj 1 f(y). Předpokládejme, že f i (x) X j 1 e j+1. Pak f i (y) πj 1 f i (x) πj 1 e j+1, a tedy f i (y) X j 1 e j+1. Z prostoty přechodové funkce f i potom plyne, že f i (X j 1 e j+1 ) = X j 1 e j+1 a podle rovnosti (4.14) je tedy také f i (X j 1 e j e j+1 ) = X j 1 e j e j+1. Podobně lze ukázat druhou možnost. Ukážeme, že obdoba lemmatu 4.14 platí pro všechny množiny, které nejsou tvaru X j, j = 0,..., n. Lemma Necht i, j {1,..., n 1}, j < i, a necht je f i (X j i k=j+1 x k e k ) = X j i k=j+1 x ke k, kde x k, x k {0, 1}, k = j + 1,..., i, a l, l {j + 1,..., i} : x l = x l = 1. Pak bud f i (X j 1 i k=j+1 x ke k ) = X j 1 i k=j+1 x k e k, f i (X j 1 e j i k=j+1 x ke k ) = X j 1 e j i nebo f i (X j 1 i k=j+1 x ke k ) = X j 1 e j i f i (X j 1 e j i k=j+1 x ke k ) = X j 1 i k=j+1 x k e k, k=j+1 x k e k, k=j+1 x k e k. Důkaz. Tento důkaz bude podobný předchozímu důkazu. Pro množinu X j i k=j+1 x ke k platí X j i k=j+1 x k e k = (X j 1 i k=j+1 x k e k ). (X j 1 e j 32 i k=j+1 x k e k ). (4.15)

33 Zvolme libovolný prvek x X j 1 i k=j+1 x ke k. Pro libovolný prvek y X j 1 i k=j+1 x ke k platí x πj 1 y, a tedy podle lemmatu 4.12 je f(x) πj 1 f(y). Předpokládejme, že f i (x) X j 1 i k=j+1 x ke k. Pak f i (y) πj 1 f i (x) i πj 1 k=j+1 x ke k, a tedy f i (y) X j 1 i k=j+1 x ke k. Opět z prostoty přechodové funkce f i potom plyne, že f i (X j 1 i k=j+1 x ke k ) = X j 1 i k=j+1 x k e k. A podle rovnosti (4.15) je tedy f i (X j 1 e j i k=j+1 x ke k ) = X j 1 e j i k=j+1 x k e k, kde jsme opět využili fakt, že f i je prostá funkce. Druhou možnost lze dokázat obdobně. K ilustraci chování funkce f i slouží obrázek 4.2. Nyní již můžeme určit minimální množinu m(x i ) množiny X i. Obraz množiny X 1 je určen jednoznačně. V každé další rozkladové třídě podle X 1 je třeba zvolit obraz jednoho z jejích prvků, obraz druhého prvku pak bude určen jednoznačně. Minimální množina m(x i ) má tedy 2 i 1 1 prvků. Množinu m(x i ) lze zkonstruovat například takto: Definujme m i (X j ) minimální množinu množiny X j, na které je třeba znát hodnoty f i (x ), x m i (X j ), abychom znali hodnotu f i (x) pro všechna x X j. Jistě je m i (X 2 ) = {e 2 } a dále pro j = 3,..., i m i (X j ) = m i (X j 1 ) ( ({0} m i (X j 1 )) e j ). Pak m(x i ) = m i (X i ) je minimální množina X i. Je tedy m i (X 3 ) = {e 2, e 3, e 2 e 3 }, m i (X 4 ) = {e 2, e 3, e 2 e 3, e 4, e 2 e 4, e 3 e 4, e 2 e 3 e 4 } atd. Tedy m i (X j ) je množina všech nenulových pozitivních lieárních kombinací prvků {e 2,..., e j } v (X j, 0, ), neboli m i (X j ) = { j k=2 x ke k ; x k {0, 1} pro k = 2,..., j} \ {0}. Právě popsaný způsob konstrukce minimální množiny je jedním z několika možných. Ve zbytku této kapitoly budeme pod pojmem minimální množina množiny X i rozumět množinu m(x i ) = { j k=2 x ke k ; x k {0, 1}, k = 2,..., j} \ {0}. Z minimální množiny m(x i ) můžeme zkonstruovat přechodovou funkci f i následujícím algoritmem 4.16, jehož správnost plyne z lemmat 4.12 a 4.13 a rovnosti (4.9). Algoritmus neco Vstup: Minimální množina m(x i ) množiny X i. Výstup: Hodnoty přechodové funkce f i na všech prvcích množiny X i. Postup: 1. Pro j = 1,..., i : 33

34 2. Polož Z = m(x j ) \ m(x j 1 ). 3. Dokud Z : 4. Zvol x Z. 5. Zvol f i (x) tak, aby f i (x) πj 1 e j, f i (x) π1 f i (y), y m(x j ) \ m(x j 1 ) \ Z, x πk y f i (x) πk f i (y), k = 0,... i 1, y m(x j ) \ m(x j 1 ) \ Z. 6. Polož f i (e 1 x) = f i (x) e Polož Z = Z \ {x}. Každá přechodová funkce f i od X i k X i+1 spolu s vyjádřením prvků e i+1 + e i+1 a e i+1 e i+1 pomocí operace určuje jeden typ přechodu od X i k X i+1. V následující podkapitole popíšeme, jak lze v závislosti na typu přechodu od X i k X i+1 zkonstruovat tabulku pro rozšíření řešení soustavy diferenčních rovnic modulo X i+1 na její řešení modulo X i. Známe-li soubor přechodových funkcí f i a prvky e i + e i, e i e i, i = 2,..., n 1, dokážeme převést souřadnice libovolného prvku x X vzhledem k bázi E X příslušné operaci na souřadnice tohoto prvku vzhledem k bázi E X příslušné operaci + (viz definici 4.4), a to následujícím algoritmem: Algoritmus neco Vstup: Vyjádření prvku x X pomocí operace. Výstup: Vyjádření prvku x pomocí operace +. Postup: 1. Pro i = 1,..., n: 2. Polož x i = Polož z = x. 4. Dokud w(z) > 0: 5. Polož x w(z) = Polož z = z e w(z). 34

35 7. Vrat x = n i=1 x ie i. Známe-li přechodovou funkci f i a prvky e i + e i, e i e i pro i {2,..., n 1}, dokážeme v polynomiálním čase najít prvek e i. Proto má algoritmus 4.17 polynomiální časovou složitost. Tvrzení Necht (X, 0, ) je abelovská grupa na množině X mohutnosti 2 n a π i, i = 0,..., n jsou takové kongruence grupy (X, 0, ), že ι X = π 0 π 1 π n = X X. Pro každé i = 0,..., n označme symbolem X i třídu kongruence π i, která obsahuje prvek 0 a pro každé j = 1,..., n zvolme prvek e j X j \ X j 1. Necht dále f i : X i X i, i = 0,..., n 1, je soubor funkcí, pro které platí f i (0) = 0 i = 0,..., n 1, x πj y f i (x) πj f i (y) x, y X i ; i, j = 0,..., n 1, j < i. Předpokládejme dále, že g(i) je prvek X i 1 pro každé i = 1,..., n. Potom existuje právě jeden hustý abelovský grupový pár (X, 0, ), (X, 0, +) takový, že f i 1 jsou přechodové funkce tohoto grupového páru a e i + e i = g(i) pro každé i = 1,..., n. Důkaz. Operaci + definujeme na každé množině X i, i = 1,..., n, indukcí podle i. Pro i = 1 je X i = {0, e 1 }. A protože e 1 + e 1 = g(1) X 0, je e 1 + e 1 = 0, a tedy také e 1 = e 1. Tím máme definovanou abelovskou grupu (X 1, 0, +). Předpokládejme, že máme definovanou abelovskou grupu (X i, 0, +). Chceme ji rozšířit na abelovskou grupu (X i+1, 0, +). Zvolme tedy x, y X i+1. Součet x + y definujeme následovně: Je-li x, y X i, máme součet x + y definovaný podle indukčního předpokladu. Je-li x X i a y X i+1 \ X i, je y = y e i+1, kde y X i. V tomto případě definujeme y + x = x + y = f i (x + f 1 i (y )) e i+1. A nakonec, jsou-li x, y X i+1 \X i, je x = x e i+1 a y = y e i+1 pro nějaká x, y X i. Pak definujeme x+y = f 1 i (x )+f 1 i (y )+g(i+1). Všechny sčítance na pravé straně předchozí rovnosti leží v X i, kde je operace + již definovaná, proto je tato definice korektní. Navíc X i je komutativní grupa, takže x + y = y + x. 35

36 Máme tedy na X i+1 komutativní binární operaci s neutralním prvkem 0. K dokončení důkazu, že (X i+1, 0, +) je abelovská grupa, zbývá dokázat, že operace + je asociativní v množině X i+1 a že ke každému prvku x X i+1 existuje inverzní prvek x X i+1 vzhledem k operaci +. Dokažme tedy asociativitu operace + v množině X i+1, tedy, že pro libovolná x, y, z X i+1 platí (x + y) + z = x + (y + z). (4.16) Díky komutativitě operace + na množině X i+1 stačí dokázat rovnost (4.16) rozborem následujících čtyř případů: Je-li x, y, z X i, pak rovnost (4.16) platí podle indukčního předpokladu. Je-li x, y X i a z X i+1 \X i, pak z = z e i+1 pro nějaké z X i. Z definice operace + na množině X i+1 a její asociativity na množině X i plyne (x + y) + z = (x + y) + (z e i+1 ) = nebot x, y, f 1 i (z ) X i. ( = f i (x + y) + f 1 i (z ) ) e i+1 = ( = f i x + (y + f 1 i (z )) ) e i+1 = = x + (y + f 1 i (z ) + e i+1 ) = x + (y + z), Pro x X i a y, z X i+1 \ X i je y = y e i+1, z = z e i+1, kde y, z X i. Opět podle definice operace + platí (x + y) + z = (f i (x + f 1 i (y )) e i+1 ) + (z e i+1 ) = ( = f 1 i fi (x + f 1 i (y )) ) + f 1 i (z ) + g(i + 1) = = x + f 1 i (y ) + f 1 i (z ) + g(i + 1) = = x + (f 1 i (y ) + f 1 i (z ) + g(i + 1)) = x + (y + z), kde jsme využili komutativitu operace + v X i+1 a její asociativitu v X i a skutečnost, že x, f 1 i (y ), f 1 i (z ), g(i + 1) X i. Konečně, jsou-li x, y, z X i+1 \ X i, pak opět z definice operace + na množině X i+1, její asociativity na množině X i a komutativity na množině X i+1 plyne (x + y) + z = (f 1 i (x ) + f 1 ( = f i (f 1 i (x ) + f 1 = f i ( f 1 i = f i ( f 1 i i (y ) + g(i + 1)) + z = i (y ) + g(i + 1)) + f 1 i (z ) ) e i+1 = (x ) + (f 1 i (y + f 1 i (z ) + g(i + 1)) ) e i+1 = (x ) + (y + z) ) e i+1 = x + (y + z), 36

37 nebot f 1 i (x ), f 1 i (y ), f 1 i (z ), g(i + 1) X i. Nyní dokážeme, že pro každý prvek x X i+1 existuje v množině X i+1 prvek k němu inverzní vzhledem k operaci +. Je-li x X i, pak k němu existuje inverzní prvek vzhledem k operaci + v X i X i+1 podle indukčního předpokladu. Je-li x X i+1 \ X i, pak je x = x e i+1 pro nějaké x X i. K prvku x je inverzní prvek z = z e i+1, kde z = f i ( f 1 i (x ) g(i + 1)). Oba prvky v závorce jsou z X i, takže známe prvky k nim opačné. Přímým výpočtem ověříme, že x + z = 0. Je totiž x + z = (x e i+1 ) + (z e i+1 ) = = (x e i+1 ) + ( f i ( f 1 i (x ) g(i + 1) ) e i+1 ) = = f 1 i (x ) + (f 1 i (x ) g(i + 1)) + g(i + 1) = 0. Tím je definována grupa (X i+1, 0, +), a tedy ukončen indukční krok v její definici. Zbývá tedy dokázat, že π i, i = 0,..., n, jsou společné kongruence grupového páru (X, 0, ), (X, 0, +). To uděláme opět indukcí podle i. A to tak, že dokážeme, že pro každé i = 1,..., n platí, že pro každé 0 j i je π j (X i X i ) společná kongruence grupového páru (X, 0, ), (X, 0, +). Necht i = 1. Potřebujeme dokázat, že pro každou dvojici (x, y) X 1 X 1 platí (x, y) π 1 x y X 1 a (x, y) π 0 x y X 0. To je však snadné, nebot x i y jsou prvky X 1, a tedy jejich součet je také prvkem X 1. Je-li (x, y) π 0, znamená to, že x y X 0. Pak nutně x = y = 0 nebo x = y = e 1. Pro oba případy je x y = 0 X 0. Předpokládejme, že pro i {1,..., n 1} platí, že pro každé 0 j i je π j (X i X i ) společná kongruence grupového páru (X, 0, ), (X, 0, +). Dokažme, že také pro i + 1 platí, že pro každé 0 j i + 1 je π j (X i+1 X i+1 ) společná kongruence grupového páru (X, 0, ), (X, 0, +). Pro j = i + 1 je třeba dokázat, že pro každé (x, y) X i+1 X i+1 platí (x, y) π i+1 x y X i+1. Protože však x, y X i+1, je také x y X i+1. Je-li j i a x, y X i+1, (x, y) π j, pak je třeba dokázat, že x y X j. Z předpokladu (x, y) π j plyne, že x y X j X i. To znamená, 37

38 že bud x, y X i, a pak x y X j podle indukčního předpokladu, nebo x = x e i+1 a y = y e i+1, kde x, y X i. Z předpokladu x y X j plyne, že x y X j, a tedy (x, y ) π j podle indukčního předpokladu a (f 1 i (x ), f 1 i (y )) π j podle druhého předpokladu o funkci f j, a tedy také f 1 i (x ) f 1 i (y ) X j. Ukážeme-li, že x y = f 1 i (x ) f 1 i (y ), bude x y X j, a tedy budeme mít dokázáno, že π j je společná kongruence grupového páru (X i+1, 0, ), (X i+1, 0, +). Podle definice sčítání a opačného prvku v X i+1 je x y = (x e i+1 ) (y e i+1 ) = ( = (x e i+1 ) + f i f 1 i (y ) g(i + 1) ) e i+1 = ( = f 1 i (x ) + f 1 i fi ( f 1 i (y ) g(i + 1)) ) + g(i + 1) = = f 1 i (x ) f 1 i (y ). Dokázali jsme tedy, že (X, 0, ), (X, 0, +) je hustý abelovský grupový pár. Z definice sčítání prvků x X i a y X i+1 \X i a prvního předpokladu o funkci f i plyne, že x + e i+1 = x + (0 e i+1 ) = f i (x + f 1 i (0)) e i+1 = = f i (x + 0) e i+1 = f i (x) e i+1. Odtud plyne, že f i, i = 0,..., n 1 jsou přechodové funkce hustého abelovského grupového páru (X, 0, ), (X, 0, +). Jednoznačnost tohoto grupového páru plyne z jeho konstrukce. 38

39 Obrázek 4.1: Rozkladové třídy X 4 podle X 1, X 2 a X 3 39

40 Obrázek 4.2: Přechodová funkce. Plné šipky znázorňují jednoznačnost zobrazení funkcí f i, přerušované šipky znázorňují alternativní možnosti zobrazení 40