Riemannův určitý integrál

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Riemannův určitý integrál"

Transkript

1 Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami o rovnicích, (viz obrázek): S Rozdělme interval na stejných dílků. Položme a Funkce b Z obrázku je zřejmé, že pro všechna platí nerovnost kde je součet obsahů menších obdélníků (které jsou schovány v šedé ploše), součet obsahů větších obdélníků (které naopak šedou plochu pokrývají), viz obrázek: S Platí x 0 =a x 1 x 2 x 3... x n =b Nyní se zajímáme o to, zda posloupnosti a konvergují, a pokud ano, zda konvergují ke stejnému číslu. Pokud je tato podmínka splněna, znamená to podle věty o limitě sevřené posloupnosti, že z nerovností plyne rovnost čísla společné hodnotě těchto dvou limit. Vypočítáme nejprve Z této nulovosti vyplývá, že existují li limity posloupností a, jsou si rovny. Stačí tedy vypočítat pouze jednu z nich. Máme Obě limity jsou rovny číslu, čemuž je roven i obsah. To, že primitivní funkce k je rovna a rozdíl, není náhoda. 2. Rozdělení intervalu Definice (Rozdělení intervalu). Rozdělením intervalu nazveme každou konečnou množinu takovou, že.

2 Definice (Norma rozdělení). Nechť, kde, je rozdělení intervalu. Číslo nazýváme normou rozdělení, značíme. 3. Definice integrálu Definice (Riemannův určitý integrál). Nechť. Řekneme, že číslo je Riemannovým určitým integrálem funkce od do (značíme ) právě tehdy, když pro všechna existuje tak, že pro všechna rozdělení intervalu, kde, splňující a pro každou množinu čísel, kde pro všechna je, platí nerovnost (Výrazu říkáme integrální součet.) Pokud je uvedená podmínka splněna, říkáme též, že je na intervalu (riemannovsky) integrovatelná (nebo též, že Riemannův integrál existuje). Poznámka (Jednoznačnost integrálu). Existuje li číslo podle předchozí definice, je dáno jednoznačně. To opravňuje použité značení. (Důkaz je jednoduchý, podobný jako u pojmu limita posloupnosti či funkce.) 4. Základní lemma integrálního počtu Lemma (Základní lemma integrálního počtu). Nechť. Funkce je na riemannovsky integrovatelná právě tehdy, když pro každou posloupnost rozdělení intervalu takovou, že, a pro libovolnou volbu čísel tak, že pro, kde pro všechna, existuje vlastní limita Navíc, je li podmínka výše splněna, limita je nezávisle na volbě posloupnosti a bodů rovna číslu. Důkaz. : Nechť je integrovatelná na, tj. existuje jednoznačně určené tak, že pro všechna existuje tak, že pro všechna rozdělení intervalu, kde, splňující a pro každou množinu čísel, kde pro všechna je, platí nerovnost Zvolme libovolnou posloupnost tak, že a libovolnou volbu čísel. Podmínka říká, že Chceme ukázat, že existuje. Ukažme, že tato limita existuje a je rovna, tj. ukažme, že Zvolme libovolné. K němu najděme z podmínky. Z podmínky najděme k tomuto číslo. Toto číslo již splňuje podmínku, čímž je implikace dokázána. : Předpokládejme, že limity existují a jsou konečné. Ukažme nejprve, že jsou všechny stejné, tj. nezávisí na volbě posloupnosti a čísel. Zvolme libovolné dvě posloupnosti a a volby,. Sporem: předpokládejme, že by limity integrálních součtů příslušných k posloupnostem a (a přísl. volbám ) byly různé. Sestrojme posloupnost, limita integrálních součtů příslušných k této posloupnosti musí podle předpokladu konvergovat, což je spor, neboť obsahuje dvě podposloupnosti s různými limitami. Označme jejich společnou hodnotu limit. Nyní dokážeme, že je integrovatelná na a hodnota. Předpokládejme, že to není pravda. Pak platí

3 Dosaďme za postupně čísla pro a nalezněme z této podmínky příslušné. Pak posloupnost splňuje podmínku a tedy limita integrálních součtů příslusných k posloupnosti konverguje k, což je spor s. 5. Bolzanova Cauchyova podmínka pro existenci Riemannova integrálu Věta (Bolzanova Cauchyova podmínka pro Riemannův integrál). Nechť Pak je na integrovatelná právě tehdy, když pro každé existuje tak, že pro každá dvě rozdělení, tak, že,, a pro libovolnou volbu příslušných bodů,, kde,,, pro všechna, platí Důkaz. : předpokládáme, že je na integrovatelná, tj. pro všechna existuje tak, že pro všechna rozdělení intervalu, kde, splňující a pro každou množinu čísel, kde pro všechna je, platí nerovnost Chceme ukázat, že platí podmínka. Zvolme libovolné. Klaďme a najděme příslušné z podmínky. Položme. Pak skutečně pro každá dvě rozdělení, taková, že,, a pro libovolnou volbu příslušných bodů,, platí podle trojúhelníkové nerovnosti : Předpokládejme naopak, že platí podmínka. Použijeme základní lemma integrálního počtu: ukážeme, že pro každou posloupnost rozdělení intervalu takovou, že a pro libovolnou volbu čísel takovou, že pro, kde pro všechna, existuje vlastní limita kde K tomu stačí ukázat dle Bolzanovy Cauchyovy podmínky, že je cauchyovská, tj. že Zvolme. K němu najděme z předpokladu. Podmínka říká, že Najděme k z příslušné. Pak z dostaneme, že pro libovolné je, tedy je cauchyovská posloupnost. 6. Omezenost riemannovsky integrovatelné funkce Lemma (Omezenost riemannovsky integrovatelné funkce). Buď integrovatelná na. Pak je na omezená. Důkaz. Z integrovatelnosti plyne existence jednoznačně určeného takového, že pro všechna existuje tak, že pro všechna rozdělení intervalu, kde, splňující a pro každou množinu čísel, kde pro všechna je, platí nerovnost Důkaz provedeme sporem. Předpokládejme, že není na omezená. Zvolme v podmínce. Najděme k němu příslušné. Zvolme libovolné rozdělení takové, aby. Pro něj pak bude platit

4 Z neomezenosti plyne, že musí být neomezená alespoň na jednom z intervalů,. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že není omezená na. Z pak pomocí trojúhelníkové nerovnosti dostaneme nejprve a rozepíšeme li sumu lze odhadnout první sčítanec takto: odkud plyne Nyní stačí volit vhodně tak, aby tato nerovnost nebyla splněna (což je díky neomezenosti možné) spor. 7. Integrovatelnost 7.1. Integrovatelnost spojité funkce Věta (O integrovatelnosti spojité funkce). Buď spojitá na. Pak je na integrovatelná. Důkaz. Využijeme Cantorovy věty, která říká, že je na spojitá stejnoměrně, tedy Ukážeme, že pro platí Bolzanova Cauchyova podmínka pro existenci integrálu, tzn. pro každé existuje tak, že pro každá dvě rozdělení, tak, že,, a pro libovolnou volbu příslušných bodů,, kde,,, pro všechna, platí Zvolme tedy libovolně a hledejme k němu příslušné. Pro libovolné, utvořme jejich sjednocení, které bude obsahovat dělicí body z obou rozdělení. Je jistě i. Nechť, kde. Volme body, kde libovolně. Nejprve učiníme pomocí trojúhelníkové nerovnosti následující odhad: Odhadněme nejprve první absolutní hodnotu ze součtu, tj. výraz V každém intervalu, atd. leží vždy obecně několik dělicích bodů. Předpokládejme, že například první interval obsahuje body pro nějaké. Pak a=x 0 =z 0 z 1 z 2 z 3 x 1 =z k... b takže lze psát Podobný odhad lze učinit se všemi intervaly,,... a celý proces i s druhou absolutní hodnotou v. Položíme li nyní v

5 a, lze dále odhadnout odkud plyne pro celý výraz odhad Pro druhou absolutní hodnotu v dostaneme stejným způsobem také odhad, což dohromady dá požadovanou nerovnost Integrovatelnost monotónní funkce Věta (O integrovatelnosti monotónní funkce). Buď monotónní na. Pak je na integrovatelná. Důkaz. Důkaz je podobný jako u tvrzení o spojité funkci. 8. Vlastnosti Riemannova určitého integrálu Definice (Definice Riemannova integrálu s opačně uspořádanými mezemi). 1. Buď integrovatelná na. Pak klademe. 2. Buď definovaná v bodě. Pak klademe Linearita Věta (Linearita Riemannova určitého integrálu). Nechť, jsou integrovatelné na,. Pak je integrovatelná na a platí Důkaz. Použijeme základní lemma integrálního počtu. Zvolme libovolnou posloupnost rozdělení intervalu takovou, že ; označíme jako obvykle, kde (dělicí body jsou voleny libovolně, platí ). Pak platí přičemž limity vpravo existují, jsou konečné a jsou rovny resp. (opět dle zákl. lemmatu integrálního počtu). Proto integrál existuje a platí pro něj vzorec Aditivita v mezích Lemma (Integrabilita na podintervalu). Nechť je integrovatelná na, nechť. Pak je integrovatelná na. Důkaz. Použijeme Bolzanovu Cauchyovu podmínku pro existenci Riemannova integrálu. Chceme ukázat, že pro každé existuje tak, že pro každá dvě rozdělení, intervalu taková, že,, a pro libovolnou volbu příslušných bodů,, kde,,, pro všechna, platí Zvolme libovolná dvě rozdělení, intervalu. Tato rozdělení jdou vždy doplnit stejnými dělicími body z doplňku tak, aby vznikla rozdělení a intervalu, která budou obsahovat body,, budou splývat na a přitom a. σ 1 a c σ 2 d b Provedeme li shodně i volbu bodů resp. na doplňku, rozdíl integrálních součtů zůstane stejný při přechodu od a k,, neboť části sum odpovídajících doplňku se odečtou:

6 Podmínka pak plyne z BCP použité na interval. Lemma (Integrabilita na sjednocení dvou sousedních intervalů). Nechť je integrabilní na a. Pak je integrabilní na. Důkaz. K důkazu využijeme základní lemma integrálního počtu. Zvolme libovolnou posloupnost intervalu, kde, takovou, že. Body volme libovolně. Definujme rozdělení intervalu a rozdělení intervalu takto: Volme body příslušné k tak, aby splývaly s body na kromě posledního (který leží v intervalu s hraničním bodem ), ten volme libovolně. Podobně volme body příslušné k tak, aby splývaly s body na kromě prvního bodu. Označme Téměř všechny sčítance v se navzájem odečtou, až na tři: ze sum zůstanou ty členy, které odpovídají částečným intervalům obsahujícím bod, tj. Protože je omezená na a, existuje tak, že pro všechna. Z vyjádření plyne odhad a tedy Spolu s dostaneme, že Pravá strana je přitom podle zákl. lemmatu integrálního počtu rovna Limita integrálních součtů tedy existuje a je konečná a rovna, odkud podle základního lemmatu integrálního počtu Věta (Aditivita Riemannova určitého integrálu v mezích). Buď,. Nechť platí alespoň jedna z následujících podmínek: Pak platí je integrovatelná na a, je integrovatelná na. Důkaz. Pokud platí první podmínka, vše plyne z lemmatu výše. Pokud platí druhá podmínka, je podle lemmatu o integrabilitě na podintervalu integrabilní i na a. Vzorec dokážeme pomocí základního lemmatu integrálního počtu. Zvolme posloupnost rozdělení takovou, že a, kde. Definujme rozdělení intervalů a vztahy

7 Nechť,. Body příslušné k volme libovolně. Pak platí odkud limitním přechodem plyne. Věta (Zobecnění aditivity určitého integrálu). Buďte, nechť v následující rovnosti existují alespoň dva integrály. Pak existuje i ten třetí a platí Důkaz. Je li mezemi Nerovnosti, plyne tvrzení z předchozí věty. Další případy jsou snadným důsledkem definice určitého integrálu s opačně uspořádanými Věta (Nerovnosti mezi integrály). Nechť jsou integrovatelné na a. Pak platí Důkaz. Použijeme základní lemma integrálního počtu. Zvolme libovolnou posloupnost rozdělení intervalu takovou, že ; označíme jako obvykle, kde (dělicí body jsou voleny libovolně, platí ). Pak platí pro všechna a odkud takže i odkud konečně limitním přechodem dostaneme Trojúhelníková nerovnost Věta (Trojúhelníková nerovnost pro Riemannův určitý integrál). Nechť je integrovatelná v. Pak je integrovatelná v a platí Důkaz. Nejprve ukážeme, že je integrovatelná na. K důkazu použijeme Bolzanovu Cauchyovu podmínku. Zvolme. Hledejme tak, aby pro každá dvě rozdělení, tak, že,, a pro libovolnou volbu příslušných bodů,, kde,,, pro všechna, platilo Z BCP použité na funkci je zřejmé, že existuje takové, že pro každé rozdělení a libovolné volby a, kde, a, je Zvolme, libovolně tak, že a. Postupujeme podobně jako v důkazu věty o integrabilitě spojité funkce: nechť je sjednocení těchto dvou rozdělení. Potom

8 kde a volíme z tak, aby a Stejný postup provedeme i pro další sčítance. Nakonec tak celkem dostaneme Vztah ( ) dokážeme snadno ze zřejmých nerovností s použitím věty o nerovnostech Výjimky Věta (Integrovatelnost funkce rovnající se integrovatelné funkci až na konečný počet výjimek). Buď integrovatelná v. Nechť platí v celém intervalu až na konečný počet výjimek. Pak je integrovatelná a Důkaz. Označme. Pak je nenulová pouze v konečně mnoha bodech intervalu. Označme. Zvolme libovolně. Pak pro každé rozdělení, kde, intervalu, pro které, a pro libovolně zvolená, kde, platí proto přímo podle definice určitého integrálu je integrovatelná na a je. Tedy je na integrovatelný i součet a platí Integrál jako funkce meze Věta (O spojitosti a diferencovatelnosti určitého integrálu jako funkce meze). Nechť je integrovatelná na,. Pak funkce je spojitá na. Navíc, je li bod bodem spojitosti, je v tomto bodě diferencovatelná a ; analogické tvrzení platí pro body zprava a zleva. Důkaz. je definovaná na celém, jak plyne z tvrzení o integrabilitě na podintervalu. Zvolme bod libovolně. Ukážeme, že je spojitá v bodě, tj. že Z integrovatelnosti funkce vyplývá, že je na omezená, tj. existuje tak, že pro všechna je. Zvolme libovolně. Pak s využitím trojúhelníkové nerovnosti lze tedy volit. Buď nyní, nechť je v bodě spojitá, tj. Chceme ukázat, že, což je podle definice derivace ekvivalentní s podmínkou Zvolme libovolně, volme dále libovolně a. Pak pro, je

9 Věta (O existenci primitivní funkce). Buď spojitá na. Pak k ní na existuje primitivní funkce. Důkaz. Zvolme libovolně, položme pro. Pak podle předchozí věty je diferencovatelná na a platí pro všechna. je tedy hledanou primitivní funkcí k. 9. Výpočet Riemannova integrálu Věta (Newtonova formule). Nechť je integrovatelná na, spojitá na, nechť platí pro všechna až na konečný počet výjimek. Pak platí Důkaz. Nechť nejprve vztah platí všude na bez výjimek. Nechť je libovolná posloupnost rozdělení intervalu taková, že. Nechť, kde,,, je kde čísla jsme obdrželi z Lagrangeovy věty o přírůstku funkce. Limitním přechodem v poslední nerovnosti dostaneme tvrzení věty: Nechť nyní vztah platí pro každé až na výjimky, kde. Označme,, pak podle předchozího odstavce je š Sečtením těchto nerovností dostaneme podle věty o aditivitě integrálu v mezích tvrzení věty: Poznámka. Rozdíl v tvrzení předchozí věty často značíme symbolem. Věta (Per partes pro určitý integrál). Nechť existují integrály a. Pak platí: Důkaz. Z existence integrálů plyne diferencovatelnost funkcí a tedy i spojitost na ; z diferencovatelnosti plyne možnost použít větu o derivaci součinu, tj. pro všechna. Odtud a z existence integrálů a plyne i existence integrálu a jeho hodnota Protože je primitivní k na a spojitá na, lze použít Newtonův vzorec a vypočítat což spolu s předchozím vztahem dává tvrzení věty. Věta (Substituce v určitém integrálu). Nechť je spojitá na, nechť existuje integrál. Pak existuje a je mu roven. Důkaz. Předpokládejme, že. Z existence integrálu plyne spojitost a diferencovatelnost na, takže je uzavřený interval,

10 označme ho. Ze spojitosti na plyne existence integrálu. Označme (a uvažujme ). Pak je spojitá na a vztah platí na. je proto spojitá na a vztah platí pro (díky (jednostranné) diferencovatelnosti v krajních bodech vztah funguje i uvnitř intervalu v bodech, kde by případně nabývala hodnot ). Dvakrát použitým Newtonovovým vzorcem dostaneme rovnosti 10. Věty o střední hodnotě Věta (První věta o střední hodnotě). Nechť jsou integrovatelné v a je v nezáporná. Pak existuje tak, že platí Důkaz. Z integrovatelnosti a na plyne, že také součin je integrovatelný v. To lze ukázat pomocí BCP podobně jako v tvrzení o trojúhelníkové nerovnosti pro integrály. Pro všechna je kde je vhodná konstanta splňující a pro všechna (její existence plyne z omezenosti integrovatelných funkcí ). Vlastní tvrzení věty dokážeme takto: zřejmou nerovnost platnou pro všechna vynásobíme (nezáporné číslo, nerovnosti se nezmění) a zintegrujeme od do. Tak dostaneme Je li, pak z uvedené nerovnosti plyne a lze volit libovolně. Je li, pak nerovnost vydělíme: Položíme li nyní rovno zlomku uprostřed, tvrzení je dokázáno. Příklad. Pomocí první věty o střední hodnotě odhadněme Riemannův integrál. Řešení. Označme,. Je Proto podle první věty o střední hodnotě je kde. Výsledek lze také zapsat v symetrickém tvaru Věta (Druhá věta o střední hodnotě). Nechť je integrovatelná na, monotónní na. Pak existuje tak, že Důkaz. Integrovatelnost plyne z její monotonie, integrovatelnost součinu viz důkaz první věty o střední hodnotě. Pokud je konstantní, lze volit libovolně a věta plyne z aditivity určitého integrálu v mezích. Předpokládejme proto, že není konstantní. Předpokládejme dále například, že je na klesající (pro rostoucí funkci by se postupovalo obdobně). Protože z tvrzení platného pro dvojici funkcí plyne platnost tvrzení pro dvojici, kde je libovolná konstanta, můžeme navíc předpokládat, že a (to lze vždy zajistit přičtením vhodné konstanty k funkci ). Máme tedy ukázat, že existuje takové, že

11 Protože funkce je spojitá na, nabývá na něm všech hodnot mezi a. Stačí tedy ukázat, že Zvolme libovolné rozdělení intervalu. Nechť, kde. Vynásobíme zřejmou nerovnost nezáporným číslem : Sečteme li tyto nerovnosti pro, dostaneme kde jsme označili Přitom jde upravit na tvar Studujme, jak se poslední výraz liší od hodnoty. Protože je integrovatelná, je na omezená, tedy existuje tak, že pro všechna. Je Uvažujme nyní posloupnost rozdělení intervalu, kde. Z předchozí nerovnosti plyne, že Limitním přechodem v nerovnosti získáme požadovanou nerovnost ( ). Příklad (Integrál ). Buď. Odhadněme pomocí druhé věty o střední hodnotě integrál. Řešení. Označme,. Předefinujme v bodě tak, že. Pak z druhé věty o střední hodnotě existuje tak, že takže Získali jsme tedy odhad, který vůbec nezávisí na horní mezi integrálu. Pro srovnání, z první věty o střední hodnotě bychom získali horší odhad

12 který pro roste nade všechny meze.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

1 Posloupnosti a řady.

1 Posloupnosti a řady. 1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

α β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace

α β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace Monotónní a Lineární Funkce 1. Relace předcházení a to Uvažujme dva vektory hodnot proměnných α = α,, 1 αn ( ) a β = ( β β ) 1,, n x,, 1 xn. Říkáme, že vekto r hodnot α předchází vektor hodnot β (značíme

Více

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010 Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183 Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými

Více

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Lineární algebra : Báze a dimenze

Lineární algebra : Báze a dimenze Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

17. Posloupnosti a řady funkcí

17. Posloupnosti a řady funkcí 17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

Přednáška 6, 7. listopadu 2014

Přednáška 6, 7. listopadu 2014 Přednáška 6, 7. listopadu 204 Část 3: nekonečné řady Základní definice. Nekonečná řada, krátce řada, je posloupnost reálných čísel (a n ) R uvedená v zápisu a n = a + a 2 + a 3 +..., spolu s metodou přiřazující

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

Reálné posloupnosti 1. Reálné posloupnosti

Reálné posloupnosti 1. Reálné posloupnosti Reálné posloupnosti Reálné posloupnosti Intervaly otevřený interval (a, b) = {x R, a < x < b}; polouzavřený interval (a, b = {x R, a < x b}; uzavřený interval a, b = {x R, a x b}; otevřený neomezený interval

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016

Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Zimní semestr akademického roku 015/016 5. ledna 016 Obsah Cvičení Předmluva iii

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

Význam a výpočet derivace funkce a její užití

Význam a výpočet derivace funkce a její užití OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

7 Ortogonální a ortonormální vektory

7 Ortogonální a ortonormální vektory 7 Ortogonální a ortonormální vektory Ze vztahu (5) pro výpočet odchylky dvou vektorů vyplývá, že nenulové vektory u, v jsou na sebe kolmé právě tehdy, když u v =0. Tato skutečnost nám poslouží k zavedení

Více

4 Numerické derivování a integrace

4 Numerické derivování a integrace Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 7, strany 85-94. Jedná se o úlohu výpočtu (první či druhé) derivace či o výpočet určitého integrálu jinými metodami,

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 12. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 216/21 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 1 / 15 Integrování jako inverzní operace příklady inverzních

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

7. Integrál přes n-rozměrný interval

7. Integrál přes n-rozměrný interval 7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme

Více

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

5. Limita a spojitost

5. Limita a spojitost 5. Limita a spojitost 5. Limita posloupnosti 5. Limita a spojitost Verze 16. prosince 2016 Diferenciální počet a integrální počet tvoří klasický základ Matematické analýzy. Diferenciální počet zkoumá lokální

Více

Úlohy nejmenších čtverců

Úlohy nejmenších čtverců Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.

Více

Posloupnosti a jejich limity

Posloupnosti a jejich limity KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny

Více

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2 Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel

Více

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Aplikovaná matematika I, NMAF071

Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační

Více

Množinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ

Množinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ Abecedou se rozumí libovolná konečná množina Σ. Prvky abecedy nazýváme znaky (symboly) Slovo (řetězec) v nad abecedou Σ je libovolná konečná posloupnost znaků této abecedy. Prázdné posloupnosti znaků odpovídá

Více

Úvod základy teorie zobrazení

Úvod základy teorie zobrazení Úvod základy teorie zobrazení V přednášce se budeme zabývat diferenciálním a integrálním počtem funkcí více proměnných. Přednáška navazuje na přednášku atematická analýza 1 z prvního semestru. Proto se

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

61. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Hradec Králové, března 2012

61. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Hradec Králové, března 2012 61. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie Hradec Králové, 5. 8. března 01 MO 1. Najděte všechna celá čísla n, pro něž je n 4 3n + 9 prvočíslo. (leš Kobza) Řešení. Zadaný výraz lze jednoduchou

Více

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A 63 ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie 1 Dokažte, že pro každé celé číslo n 3 je n-místné číslo s dekadickým zápisem druhou mocninou některého celého čísla 1 1 8

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE,

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, LIMITA FUNKCE, DERIVACE FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století

Více

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015 Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ 56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem

Více

Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital

Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital V této části budou uvedena některá použití derivací. a derivace a derivace -zbytek L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT Tvrzení je uvedeno pro jednostrannou limitu zprava. Samozřejmě obdobné tvrzení platí

Více

MATEMATIKA A Metodický list č. 1

MATEMATIKA A Metodický list č. 1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny

Více

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry. Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 8. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 14 Derivace funkce U lineárních funkcí ve tvaru

Více

4. Diferenciál a Taylorova věta

4. Diferenciál a Taylorova věta 4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce

Více

Masarykova univerzita. Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n.

Masarykova univerzita. Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n. Masarykova univerzita Ondřej Došlý Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n. První vydání Brno 2004 Došlý Ondřej Název knihy c prof. RNDr. Ondřej Došlý, DrSc., 2005 Největší životní umění je neoptimalizovat

Více

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné 2 Reálné funkce jedné reálné proměnné S funkcemi se setkáváme na každém kroku, ve všech přírodních vědách, ale i v každodenním životě. Každá situace, kd jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určen

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad 1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

Těleso racionálních funkcí

Těleso racionálních funkcí Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

Kapitola 1. Funkční posloupnosti a řady

Kapitola 1. Funkční posloupnosti a řady 1 2 Kapitola 1 Funkční posloupnosti a řady Definice 1.1(funkční posloupnost) Funkční posloupnost( = posloupnost funkcí) je zobrazení, které každému přirozenému číslu n N přiřazuje právějednufunkci f n

Více

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří

Více

Cyklické kódy. Definujeme-li na F [x] n sčítání a násobení jako. a + b = π n (a + b) a b = π n (a b)

Cyklické kódy. Definujeme-li na F [x] n sčítání a násobení jako. a + b = π n (a + b) a b = π n (a b) C Ať C je [n, k] q kód takový, že pro každé u 1,..., u n ) C je také u 2,..., u n, u 1 ) C. Jinými slovy, kódová slova jsou uzavřena na cyklické posuny. Je přirozené takový kód nazvat cyklický. Strukturu

Více