Úvod do logiky: klasická výroková logika

Transkript

1 je zaměřen především na humanitní a společenskovědní publikum a další zájemce o logiku. Kromě důležitých poznatků o klasické výrokové logice jako takové je čtenář postupně seznamován jednak s metodami prošetřování sémantických vlastností formulí a metodami formálního dokazování, jednak s aplikacemi tohoto na oblast přirozeného jazyka. V knize Jiří Raclavský Kniha Úvod do logiky: klasická výroková logika je první částí vícedílného úvodu do logiky, jenž najde čtenář rovněž řadu praktických cvičení, v nichž se kromě formálních postupů naučí zejména pohotově budovat ekvivalenty či negace vět a ověřovat platnost úsudků. ÚVOD DO LOGIKY: klasická výroková logika Doc. PhDr. Jiří Raclavský, Ph.D. (nar v Brně) dlouhodobě působí na FF MU, kde na Katedře filozofie vyučuje především úvod do logiky, filosofickou logiku a témata, v nichž se logika uplatňuje. Publikoval knihy Jména a deskripce: logicko-sémantická zkoumání (2009, Nakladatelství Olomouc), Individua a jejich vlastnosti: studie z intenzionální metafyziky (2011, Nakladatelství Olomouc), Pojmy a vědecké teorie (2014, Masarykova univerzita; spoluautorem je Petr Kuchyňka). Úvod do logiky: klasická výroková logika Jiří Raclavský Masarykova univerzita Uvod do logiky_j.raclavsky_obalka_05.indd :10

2 Úvod do logiky: klasická výroková logika Jiří Raclavský Masarykova univerzita Brno 2015

3 Práce na publikaci a její tisk byly podpořeny v rámci projektu Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce propedeutik pro mezioborová studia, č. reg. CZ.1.07/2.2.00/ v rámci projektu Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost spolufinancovaného z Evropského sociálního fondu a státního rozpočtu České republiky. Všechna práva vyhrazena. Žádná část této elektronické knihy nesmí být reprodukována nebo šířena v papírové, elektronické či jiné podobě bez předchozího písemného souhlasu vykonavatele majetkových práv k dílu, kterého je možno kontaktovat na adrese Nakladatelství Masarykovy univerzity, Žerotínovo náměstí 9, Brno. Knihu recenzovali: PhDr. Petr Hromek PhDr. Michal Peliš, Ph.D Jiří Raclavský 2015 Masarykova univerzita ISBN (online : pdf) ISBN (vázaná vazba)

4 Předmluva Předmluva Tato kniha je částí vícedílného úvodu do logiky, jenž je zaměřen především na humanitní a společenskovědné publikum. Kniha však obsahuje materiál užitečný i pro jiné zájemce o logiku. Nedokončený rukopis knihy byl po mnoho let užíván na Katedře filozofie Filozofické fakulty Masarykovy univerzity, kde vyučuji dvousemestrální úvod do logiky. První verze rukopisu vznikla v roce 2000, zčásti jako on-line materiál. Protože jsem v době psaní rukopisu už logiku vyučoval, narazil jsem na potřebu dostatku cvičebních příkladů. Ty jsem v následujícím období vyvíjel a uspořádával do cvičebně vhodného pořadí. Kniha obsahuje přibližně osmdesát procent autorsky původních příkladů. V průběhu let se mj. ukázalo, že z rukopisu 2004 se daří dobře studovat i dálkovým studentům. V roce 2014 se mi podařilo se k rukopisu 2004 vrátit a to díky popudu dr. L. Dostálové a rovněž podpoře jí řízeného projektu Operačního programu vzdělání pro konkurenceschopnost (OPVK) s názvem Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (č. reg. CZ.1.07/2.2.00/ ), spolufinancovaného ESF a MŠMT ČR. Někdejší rukopis byl celý důkladně přehlédnut a rozšířen, tedy v pravém smyslu inovován. Závěrečné práce a tisk byly hrazeny právě z OPVK Logika. Upřímný dík patří všem, kdo se podíleli na konečné podobě knihy. Předně je třeba zmínit oba recenzenty, dr. P. Hromka a dr. M. Peliše. Jmenovat je třeba i nynější magistry T. Ondráčka, I. Pezlara, J. Růžičku, J. Štěpánka, Z. Trávníčka, a další, kteří se ujali kontroly příkladů i dalšího textu. Žádný ze jmenovaných pochopitelně nezodpovídá za jakékoli nedostatky, které zůstaly v knize. Když jsme u toho, je možné, že kniha obsahuje překlepy a další chyby, mnohdy z typografických důvodů; tyto chyby čtenář buď sám odhalí anebo může konzultovat jejich on-line seznam na autorově webové stránce. 3

5 Úvod do logiky: klasická výroková logika 4

6 Obsah Obsah Předmluva Uvedení do logiky Logika jako věda o vyplývání Stručné dějiny logiky Cvičení základní pojmy obecné logiky Uvedení do výrokové logiky Základní pojmy výrokové logiky Cvičení základní terminologie Pravdivostní funkce Nejznámější pravdivostní funkce Další zajímavé pravdivostní funkce Analýza výroků přirozeného jazyka prostředky VL Příklady analýza výroků přirozeného jazyka prostředky VL Příklady přenos pravdivosti Jazyk VL Syntax VL Některé další syntaktické pojmy VL Sémantika VL Některé další sémantické pojmy VL Cvičení terminologie VL Cvičení syntaktické/sémantické pojmy VL Řešení syntaktické/sémantické pojmy VL Cvičení zjištění pravdivostní hodnoty formule při určité valuaci Řešení zjištění pravdivostní hodnoty formule při určité valuaci Cvičení nalezení modelu formule Řešení nalezení modelu formule Cvičení splnitelnost množiny formulí Řešení splnitelnost množiny formulí Polská notace Cvičení přepisy z a do polské notace Řešení přepisy z a do polské notace Zjištění průběhu pravdivostních hodnot formule tabulkovou metodou Příklady zjištění průběhu pravdivostních hodnot formule Cvičení zjištění průběhu pravdivostních hodnot formule Řešení zjištění průběhu pravdivostních hodnot formule

7 Úvod do logiky: klasická výroková logika 4.3 Příklady ověřování, zda je daná formule tautologií tabulkovou metodou Cvičení ověřování, zda je daná formule tautologií tabulkovou metodou Řešení ověřování, zda je daná formule tautologií tabulkovou metodou Cvičení splnitelnost množiny formulí Řešení splnitelnost množiny formulí Odvození výrokových spojek z jiných výrokových spojek Příklady odvození výrokových spojek z jiných výrokových spojek Cvičení odvození výrokových spojek z jiných výrokových spojek Řešení odvození výrokových spojek z jiných výrokových spojek Vybrané tautologie Cvičení vybrané tautologie Ekvivalentní transformace Příklady ekvivalentní transformace formulí Cvičení transformace formulí Řešení transformace formulí Cvičení ekvivalence výroků Řešení ekvivalence výroků Cvičení ekvivalence výroků (výběr z možností) Řešení ekvivalence výroků (výběr z možností) Negace výroků Příklady negace výroků Cvičení negace výroků Řešení negace výroků Cvičení negace výroků (výběr z možností) Řešení negace výroků (výběr z možností) Úplná disjunktivní / konjunktivní normální forma a její minimalizace Úplná disjunktivní (konjunktivní) normální forma Příklady sestavení ÚDNF (ÚKNF) Minimalizace ÚDNF (ÚKNF) Příklady sestavení a minimalizace ÚDNF Cvičení sestavení a minimalizace ÚDNF Řešení sestavení a minimalizace ÚDNF Výrokově-logické vyplývání Cvičení výrokově-logické vyplývání

8 Obsah 11. Ověřování, zda je formule tautologií metodou protipříkladu Příklady ověřování, zda je formule tautologií metodou protipříkladu Cvičení ověřování, zda je formule tautologií metodou protipříkladu Řešení ověřování, zda je formule tautologií metodou protipříkladu Cvičení ověřování, zda je formule kontradikcí metodou protipříkladu Řešení ověřování, zda je formule kontradikcí metodou protipříkladu Ověřování platnosti úsudků metodou protipříkladu Příklady ověřování platnosti úsudků s jednou premisou sémantickou metodou Cvičení ověřování platnosti úsudků s jednou premisou metodou protipříkladu Řešení ověřování platnosti úsudků s jednou premisou metodou protipříkladu Cvičení ověřování platnosti úsudkových forem s jednou premisou metodou protipříkladu Řešení ověřování platnosti úsudkových forem s jednou premisou metodou protipříkladu Příklady ověřování platnosti úsudků metodou protipříkladu Cvičení ověřování platnosti úsudků metodou protipříkladu Řešení ověřování platnosti úsudků metodou protipříkladu Cvičení ověření platnosti z dvojice úsudků metodou protipříkladu Řešení ověření platnosti z dvojice úsudků metodou protipříkladu Cvičení ověřování platnosti úsudkových forem metodou protipříkladu Řešení ověřování platnosti úsudkových forem metodou protipříkladu Cvičení ověření platnosti z dvojic úsudkových forem metodou protipříkladu Řešení ověření platnosti z dvojice úsudkových forem metodou protipříkladu

9 Úvod do logiky: klasická výroková logika 13. Axiomatický systém VL a pojem důkazu Axiomatické systémy pro VL Důkazy Vlastnosti axiomatických systémů VL Cvičení axiomatické systémy, jejich vlastnosti, důkazy Důkazové systémy Hilbertovská dedukce Příklady důkazů v hilbertovském systému dedukce Přirozená dedukce Příklady důkazů v systému přirozené dedukce Gentzenovská dedukce Příklady důkazů v gentzenovském systému přirozené dedukce Metoda sémantických tabel Příklady důkazů metodou sémantických tabel Cvičení důkazy metodou sémantických tabel Rezoluční metoda Cvičení určení vyplývajícího výroku rezoluční metodou (výběr z možností) Řešení určení vyplývajícího výroku rezoluční metodou (výběr z možností) Neklasické výrokové logiky Literatura Česká a slovenská použitá nebo doporučená literatura Zahraniční použitá nebo doporučená literatura Rejstřík Rejstřík často užitých symbolů

10 1. Uvedení do logiky 1. Uvedení do logiky 1.1 Logika jako věda o vyplývání Logika jako vědní disciplína se nezabývá například logikou dějin, ženskou či mužskou logikou, atd. Nezabývá se myšlením či jeho zákonitostmi, tím se přece zabývá psychologie. Rovněž nebudeme přijímat definici logiky jako vědy o správném usuzování, byť logika jistý prvek normativity zahrnuje. Předběžně řečeno, logika se zabývá platnými jazykově vyjádřenými úsudky. Při tomto svém zkoumání však logika abstrahuje: odhlíží od toho, jak myslí nebo usuzuje ten nebo jiný člověk; odhlíží od toho, jak lze úsudky chápat z hlediska třeba lingvistiky apod. Naším vymezením logiky bude: Vymezení logiky Logika je věda o vyplývání. Namísto o vyplývání by v tomto vymezení mohlo být (je to ekvivalentní): o logickém důsledku, anebo také: o platných úsudcích. Vyplývání je určitý výlučný vztah mezi větami a množinami vět, jež jsou organizovány v podobě úsudků. Větám z těch množin se obvykle říká premisy (či předpoklady), a vyvozovaným větám závěr (či konkluze). V našem textu budeme premisy a závěr oddělovat čarou nebo při lineárním zápisu znakem ; v běžné mluvě se někdy setkáváme s oddělujícím obratem tudíž nebo tedy. Úsudek premisa P 1 premisa P 2 premisa P n závěr Z Než definujeme pojem vyplývání, zamysleme se nad úlohou úsudků obecněji. Budeme při tom naznačovat sounáležitost logiky s epistemologií. 9

11 Úvod do logiky: klasická výroková logika Úsudky používáme během poznávání k tomu, abychom z určitého pravdivého poznatku (je-li pravdivý) odvodili další pravdivý poznatek. Logické odvozování je tedy prostředkem přenosu pravdivosti: pokud jsou pravdivé věty P 1, P 2,..., P n, bude pravdivá i věta Z. Z jiného úhlu pohledu, platné odvození je tím, co odůvodňuje daný závěr: Z je odůvodněno (je logickým důsledkem) P 1, P 2,..., P n. V empirických vědách jako např. biologie či chemie odůvodňujeme poznatky zejména pomocí empirických experimentů; ale ve filosofii či matematice pravdivost nějaké věty nemůžeme takto jednoduše verifikovat, pravdivost těchto vět je tedy spíš hypotetická či možná, proto na logickém odvozování záleží pravdivost mnohem více. Uveďme si ilustrativní příklad. Uvažme tezi Bůh existuje (naším příkladem by mohla být třeba Fermatova věta, o příklad tu vážně nejde). Tuto tezi někteří pokládají za pravdivou, jiní za nepravdivou. Není ovšem znám žádný její přesvědčivý empirický důkaz. Filosofické důkazy boží existence proto mají být tím, co demonstruje pravdivost té teze. Vzorovým je tzv. ontologický důkaz: Bůh má všechny dokonalosti. Existence je dokonalost. Tudíž Bůh existuje. ( Bůh má existenci ). Logická forma tohoto úsudku se zdá bezchybná a vskutku o ní málokdo pochybuje. Přesto tento důkaz nemůže rozhodnout zcela vše: závěr je pravdivý, pokud jsou pravdivé premisy. Když tedy někdo zpochybňuje tento důkaz, záměrně zpochybňuje pravdivost premis, protože tím zpochybní i pravdivost závěru. Ani pravdivost premis, ani pravdivost závěru však logika bezprostředně garantovat nemůže garantuje jen vyplývání závěru z premis. Tento příklad nám měl ukázat motivaci pro následující dvě definice. Nejprve je tu definice platnosti úsudku: Platnost úsudku Úsudek U je platný právě tehdy, když jeho závěr Z vyplývá z jeho premis P 1, P 2,, P n. Tato definice závisí na pojmu vyplývání. Abychom vztah vyplývání odlišili od jiných vztahů mezi větami a množinami vět (například od vztahu nevyplývání), musíme jej nějak vymezit, tedy uvést jeho definici: Vyplývání Věta Z vyplývá z vět P 1, P 2,, P n právě tehdy, když platí, že za všech okolností, kdy jsou pravdivé věty P 1, P 2,, P n, je pravdivá rovněž věta Z. (Namísto Z a P 1, P 2,, P n by klidně mohlo být V a V 1, V 2,..., V n, apod.) 10

12 1. Uvedení do logiky Všimněme si, že v definici vyplývání se hovoří nikoli o aktuální pravdivosti, ale o podmíněné pravdivosti: pokud nějaké věty jsou pravdivé, tak je nějaká věta pravdivá. Zamysleme se nad ilustrativním příkladem: Jestliže prší, je mokro. Prší. Je mokro. (Namísto Prší by mohlo být úplnější V Brně prší, ale od toho odhlížejme.) Závěr tohoto platného úsudku vyplývá z premis bez ohledu na momentální pravdivost premis či závěru. Podobně jako platnost v matematice, ani logická platnost se nemůže měnit stavem počasí, zrovna tak jako se nemůže měnit vlivem momentálního smýšlení lidí. Dobře si tedy uvědomme, že úsudek může být platný (angl. valid ), a přesto pouze někdy může mít aktuálně pravdivý závěr. (Pochopitelně existují i neplatné úsudky, jež mají náhodou pravdivý závěr.) Platný úsudek s aktuálně pravdivým závěrem bývá v češtině někdy nazýván dokonalý (někdy v češtině: korektní) úsudek, angl. sound, což je tedy více než jen valid. Druhý důležitý prvek této definice je modalita za všech okolností. Namísto právě tohoto obratu by mohlo být vždy nebo nutně, avšak daná modalita by byla přítomna, i kdyby v definici chybělo její slovní vyjádření. To proto, že ve hře je podmíněnost pravdivosti a tu způsobuje vlastně stav světa; například stav světa takový, že prší, ovlivňuje pravdivost věty Prší. Nepanuje však obecná shoda o tom, co přesně tato modalita je, jak ji přesně vyložit. Výše uvedená definice tedy uvádí pojem vyplývání, který je jen intuitivní, netechnický. V zájmu přesnosti je ale žádoucí, aby v definici vyplývání byl tento ne zcela přesný pojem všech okolností nahrazen přesným, rigorózním pojmem. Jak uvidíme v této knize, výroková logika nahrazuje tento intuitivní pojem technickým pojmem valuace. Jiná logika, například predikátová logika, využívá určitý příbuzný, nicméně přece jen odlišný pojem. Z toho plyne, že striktně vzato neexistuje jedna jediná, daná logika, ale že tu jsou různé logické systémy či logiky, které aspirují na to být věcně správnou explikací pojmu vyplývání. Mnozí logikové v této souvislosti mluví o tom, že úkolem logiků je navrhovat dílčí logiky, resp. dílčí logické formální jazyky, v nichž je zachycena ta nebo jiná relace logického důsledku (vyplývání). Logika tedy kromě toho, že je nástrojem například filosofů, je zároveň něčím, co samo potřebuje filosofii logiky. Volba logiky (logického systému) souvisí s několika obecnými požadavky kladenými na jednotlivé logiky. Jsou to na jedné straně jednoduchost (nekomplexnost struktur), dále expresivnost (schopnost zachytit bohatství struk- 11

13 Úvod do logiky: klasická výroková logika tur zkoumané oblasti, jmenovitě jazyka) a adekvátnost (do níž expresivnost zčásti spadá). Klasická výroková logika je jednoduchým, nicméně málo expresivním a také nepříliš adekvátním logickým systémem. Vlastně dokáže studovat jen některé vztahy mezi některými větami a logický důsledek na těchto vztazích založený. Snaha zbavit klasickou výrokovou logiku těchto nedostatků vedla jednak k rozvoji neklasických výrokových logik, tedy logik implementujících jiné než klasické logické zákony, jednak k jejímu nahrazování sofistikovanějšími logickými systémy. Vraťme se k úsudkům. Úsudky jsou normálně formulovány v češtině nebo v jiných jazycích. My se však nebudeme věnovat určování platných nebo neplatných úsudků v takové podobě, v jaké jsou. Při studiu platnosti úsudků budeme v logice abstrahovat od toho, co se nám nejeví podstatné pro jejich platnost. Tímto zde nastupuje abstrakce a idealizace, jež jsou v moderní vědě typické. Umožní nám to lépe studovat pouze a právě to, co nás na problému zajímá. Studium logické formy úsudku, kdy věty jsou nahrazeny jejich logickými formami, nám navíc umožní naráz postihnout spousty konkrétních jazykových variant toho úsudku. Například výroková logika studuje logickou formu, jež vypadá následovně: p q p q Tuto logickou formu sdílí mnoho jazykově formulovaných úsudků, například ten výše formulovaný úsudek o pršení a mokru. Při ověřování platnosti jazykově formulovaného úsudku tedy jeho jednotlivé věty převádíme na logické formule, z nichž se skládá ona úsudková forma (ta je logickou formou nějakých úsudků). Tento proces se nazývá formalizace, někdy logická analýza. Je-li formalizace daného úsudku, tedy jeho úsudková forma, platná, pak za platný prohlásíme právě onen jazykový úsudek, jehož je ta úsudková forma formalizací. Různé logiky přitom nabízí různé odlišné formalizace, poněvadž některé logiky nedokáží rozpoznat některé jevy, jež se na vyplývání podílejí; je tu proto otázka rozumné volby mezi jednoduchostí aparátu a adekvátností výsledků. Ještě dodejme, že úsudky jako ten výše ukazovaný jsou platné svou logickou formou, tedy díky své struktuře, jež je organizována pomocí logického výraziva. Analogicky je tomu na úrovni izolovaných vět některé věty jsou platné kvůli své logické formě, a tedy bez ohledu na empirický stav světa. Pro příklad je takovou třeba věta Prší nebo neprší, kde logickým výrazivem je nebo a ne-. Od těchto vět odlišujme věty (a přeneseně i úsudky), jež jsou 12

14 1. Uvedení do logiky pravdivé analyticky, tedy kvůli jazykovému významu klíčových výrazů; například věta Starý mládenec je muž je pravdivá kvůli tomu, jaký význam má v češtině výraz starý mládenec a muž. Před chvílí jsme vlastně prodiskutovali důležitý rys moderní logiky, jímž je užití symbolické notace, formalismu. V logice vedl přechod na symbolickou notaci k podobnému zrychlení výzkumu jako v matematice. Symbolická notace umožňuje uzřít vlastnosti a vztahy mezi pojmy tak, jak to není při běžném, vlastně zdlouhavém a mnohdy nepřesném jazykovém vyjádření leckdy ani možné. Narazili jsme tu i na otázku normativity logiky. Logika nemá jen jakýsi deskriptivní charakter, nevyhnutně má i charakter preskriptivní: do jisté míry normuje, co vyplývá a co ne. Implementace logiky v moderních informatických prostředcích (od počítačů po internet) způsobila rozsáhlé ovlivnění i běžné populace; další druhy vlivu můžeme vidět třeba v některých filosofických diskursech. Normativita skrytá v logice také vede k tomu, proč je vůbec vyučována. Logické myšlení má v zásadě každý. Logika se však vyučuje jednak proto, abychom naši schopnost logického myšlení prohloubili abychom byli s to chápat logické vztahy i na úrovni, která by jinak byla pro nás nedosažitelná, jednak abychom své logické myšlení zpřesnili tedy upravili vzhledem k určitému normativnímu standardu. Tento velmi stručný úvod do logiky jako takové nyní ukončeme konstatováním, že logika je obor blízký matematice (matematikové ji leckdy považují za jednu z matematických disciplín), tradičně je pěstována na filosofii, ovšem mnoho výzkumu a užití je též v prostředí informatiky, někdy i teoretické lingvistiky a rovněž elektrotechniky. Soudobý status logiky lze nahlédnout i z následujícího telegrafického přehledu dějin logiky. 1.2 Stručné dějiny logiky Logika jako věda vznikla až v období vrcholu řecké filosofie, přičemž důvody vzniku lze hledat v reakci na sofistické teorie argumentace. Čtyřmi významnými údobími dějin logiky jsou logika v antice, logika ve vrcholné a pozdní scholastice, logika v novověku a logika v dnešní a nedávné době. Mimoevropské příspěvky k logice (Indie, Čína) zde nezmiňujeme. Aristotelés ze Stageiry ( př. n. l.) je zakladatelem logiky; logika je nástroj (řec. organon ); šest jeho spisů o logice (Kategorie, První analytiky, Druhé analytiky, Topiky, O vyjadřování, O sofistických důkazech) je vydáváno souborně jako Organon; Aristotelés zkoumal fragment nynější predikátové logiky, sylogistiku; kategorický sylogismus je úsudek jako např. Všechny velryby jsou savci. Všichni savci jsou obratlovci. Tudíž všechny velryby jsou obratlovci.. 13

15 Úvod do logiky: klasická výroková logika Stoikové, zejm. Diodóros Kronos (4. st. př. n. l.), Filón z Megary (3. st. př. n. l.), Chrýsippos ze Sol ( př. n. l.) pracovali na výrokové logice, zabývali se implikací aj.; v antice jsou dále studovány např. (logické) paradoxy (paradox lháře, paradox rohatého, atd.). Boëthius (cca ) zprostředkoval logické poznatky antiky do středověku. Ve střední a vrcholné scholastice je aristotelská logika plně etablována; kromě sylogistiky jsou studovány jazykové obtíže ovlivňující logické úsudky (nauka o supozicích) či paradoxy (sofismata); k nejznámějším logikům patřili filosofové Pierre Abélard ( ), Albert Magnus ( ), Jean Buridan (cca ), William Ockham ( ). Novověk se ohlašuje kritikou neplodnosti deduktivní aristotelské logiky (Francis Bacon, ), na což bylo v polovině 20. st. navázáno v rámci tzv. induktivní logiky. Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) je duchovním otcem moderní logiky; jeho známou ideou bylo, že např. filosofické spory by bylo možno řešit výpočtem ( Calculemus! ), což předpokládá, že by náš svět byl popsán symbolickým jazykem, lingua characteristica universalis (tato idea byla inspirována několik století starými úvahami Raimunda Lulla), který by byl využit ve formálním kalkulu, v němž by se počítalo, calculus rationator (jeho jednoduchou verzi skutečně navrhl); kromě těchto velmi vlivných idejí Leibniz například odlišoval neměnné pravdy analytické ( pravdy rozumu ) a kontingentní pravdy empirické ( pravdy faktů ). Port-royalská škola (zejm. Antoine Arnauld, ) sice rozvinula stávající logické poznatky (např. teorii o extenzi a intenzi pojmů), ale logice vtiskla psychologizující výklad jakožto vědy o myšlení; učebnice logiky pocházející z této názorové školy jsou děleny na teorii pojmu, soudu a úsudku a jako takové jsou psány ještě na začátku ve 20. století. Bernard Bolzano ( ) byl pražský (národností německý, občanstvím tedy rakouský) matematik (zvl. anticipátor teorie množin, kterou později rozpracoval a proslavil matematik Georg Cantor, ), filosof, logik, teolog a sociální reformátor. Ve spise Wissenschaftslehre (Vědosloví, 1837), jež je vlastně metodologií vědy, uvedl i svou logiku. V analýze některých pojmů, zejm. pojmu vyplývání, předběhl své vrstevníky o mnoho dekád. Bolzanovo dílo ve své době zcela zapadlo. Georg Wilhelm Friedrich Hegel ( ) vyvinul dialektickou logiku, což není logika, ale řekněme abstraktní metafyzika. Kodifikaci tradiční logiky, tedy zejména aristotelské logiky a logiky port- -royalské školy, nalezneme v po mnoho dekád přetiskované učebnici Johna Stuarta Milla ( ). Od poloviny 19. století se několik matematiků snaží o zásadní reformu stávající logiky, je navrhována symbolická notace, jsou zaváděny relace apod. 14

16 1. Uvedení do logiky K nejznámějším patří matematikové George Boole ( ), Augustus De Morgan ( ), William Stanley Jevons ( ), Charles Sanders Peirce ( ), Ernst Schröder ( ), ale i třeba John Venn ( ) nebo Charles Lutwidge Dodgson ( ; pod pseudonymem Lewis Carroll sepsal zejm. Alenku v říši divů a za zrcadlem; znám je též jako autor mnoha logických hádanek). Na rozvoj moderní logiky měl specifický vliv i třeba matematik Giuseppe Peano ( ). Samotná moderní logika má více zakladatelů. Gottlob Frege ( ), matematik a logik, který proslul i jako základní postava analytické filosofie, je nejvíce chápán jako hlavní zakladatel moderní logiky. Význam má jeho Begriffsschrift (Pojmové písmo, 1879), v němž zavedl a obhájil symbolickou notaci (byť konkrétně ta jeho se neujala), včetně například nyní klasických kvantifikátorů. Mnohonásobně zvětšil poznatky predikátové logiky, navrhl její axiomatizaci, apod. Byl obhájcem nepsychologického pojetí logiky, přispěl k teorii pojmu i definice, ve filosofii matematiky razil logicismus, podle kterého je matematika odvozena z logiky. Logik, matematik a analytický filosof, ale i politický aktivista Bertrand Russell ( ) brzy po seznámení s Fregeho spisy v nich objevil moderní logický paradox, Russellův paradox. Ve snaze jej řešit navrhl teorii typů, která byla později modifikována a zdomácněla v informatice. Připojil se k logicismu a spolu s matematikem a filosofem Alfredem North Whiteheadem ( ) sepsali monumentální spis Principia Mathematica (tři rozsáhlé díly, ), v němž podali základy matematiky vyvozené z logiky (mezi matematiky se nevžilo, dnes se však vyskytují snahy o neologicismus). Ve snaze odlišit tuto moderní logiku od staré tradiční logiky byly voleny i názvy formální logika, symbolická logika, logistika (právě tento termín dnes označuje nauku o skladnictví), v současnosti se často za tímtéž účelem někdy používá termín matematická logika. Moderní logika Fregeho, Russella a dalších (na popularizaci měl velkou zásluhu i Rudolf Carnap, ), rychle získává zájem i matematické komunity, která se snaží logiku rozvíjet jako svého druhu matematickou disciplínu. Následně se hovoří o rozštěpení vlastní, tzv. filosofické logiky (v současnosti se ale jedná především o určité neklasické logiky) a matematické logiky. Za části matematické logiky se dnes mají: teorie modelů, teorie důkazů, teorie množin, teorie rekurze (zvl. prvé dvě se zužitkovávají i v rámci současné filosofické logiky). V prvé polovině 20. století mezi nejvýznamnější matematické logiky patří Leopold Löwenheim ( ), Thoralf Skolem ( ), Emil Leon Post ( ), Haskell Brooks Curry ( ), Alonzo Church ( ), Stephen Cole Kleene ( ), Alan Turing ( ), a Kurt Gödel (k němu hned níže); jsou dosahovány první čistě (meta)logické poznatky mající dosah na většinu logik. 15

17 Úvod do logiky: klasická výroková logika Za nejvýznamnějšího logika 20. století je někdy považován Kurt Gödel ( ; narozen v Brně v německé-rakouské rodině, po určitou dobu měl československé občanství); dokázal překvapivé a významné výsledky, zejm. tzv. věty o neúplnosti, jež ovlivnily ideovou důvěru ve formalismus matematika Davida Hilberta ( ), který se snažil partie matematiky axiomatizovat a tedy problém pravdivosti přenášet na dokazatelnost. Již od počátku 20. století je v logice bohatý myšlenkový kvas, jsou navrhovány i alternativy klasické logiky. Například Jan Łukasiewicz ( ) navrhuje trojhodnotovou logiku (tím opouští v klasické logice zakotvený Princip dvouhodnotovosti), Clarence Irwing Lewis ( ) postupně dospívá k základům modální logiky, matematik Luitzen Egbertus Jan Brouwer ( ) a logik Arend Heyting ( ) zakládají intuicionismus ve filosofii matematiky a intuicionistickou logiku. Alfred Tarski ( ) je považován za jednoho z vlivných logiků 20. století; kromě základů teorie modelů je znám především pro definici sémantického pojmu pravdivosti a definicí pojmu vyplývání. Po II. světové válce výzkum v logice opanovalo studium a aplikace teorie modelů (zejm. Abraham Robinson, ), po určitou dobu i teorie algoritmů. Kromě klasických výsledků, z nichž některé velmi známé uvedl filosof a logik Willard Van Orman Quine ( ), přichází od 80. let na scénu neklasické logiky: modální logika (rozvíjená zejm. Saulem A. Kripkem, 1940 ), intuicionistická logika, ale i epistémická logika (Jaakko Hintikka, 1929 ), deontická logika (Georg Henrik von Wright, ), kromě různých vícehodnotových logik i nekonečněhodnotová fuzzy logika (matematik Lofti A. Zadeh, 1921, náš Petr Hájek, 1940 ), intenzionální logika (Richard Montague, , i náš Pavel Tichý, ), parakonzistentní logika (Graham Priest, 1948 ), ad. Viz též poslední kapitolu této knihy. 1. Cvičení základní pojmy obecné logiky 1) Jaké je vymezení logiky? 2) Co je platnost úsudku? Co je vyplývání? Definujte. 3) Vysvětlete rozdíly mezi logickou a úsudkovou formou. Uplatněte přitom termín formalizace. 4) Kdo je zakladatelem logiky? Kdo je zakladatelem moderní logiky? 16

18 1. Uvedení do logiky 5) Co je tradiční logika, moderní logika, formální logika, symbolická logika? Co je klasická a co neklasická logika? Jaký je rozdíl mezi filozofickou logikou a matematickou logikou? 6) Kdo byli a co všechno pro logiku udělali Aristoteles, Leibniz, Bernard Bolzano, Gottlob Frege, Bertrand Russell, Alfred Tarski či Kurt Gödel? 17

19 Úvod do logiky: klasická výroková logika 18

20 2. Uvedení do výrokové logiky 2. Uvedení do výrokové logiky 2.1 Základní pojmy výrokové logiky Výroková logika, dále obvykle jen VL, je často charakterizována jako logika zkoumající logické vztahy mezi výroky. Jako výrok je obecně chápána věta (vzácně: sémantický obsah věty), která je pravdivá, nebo nepravdivá. Jako výroky jsou tedy v logice uvažovány určité oznamovací věty přirozeného jazyka, totiž věty, u nichž má smysl se ptát, zda je uvažovaná věta pravdivá, či nepravdivá, tedy lze položit otázku Je pravda, že...?, kde... obsazuje daná věta. Takže výroky jsou věty, avšak ne všechny věty jsou výroky. Z daného vymezení je zřejmé, že například věty rozkazovací ( Dones to! ), přací ( Kéž by už byla noc! ) či tázací ( Kolik je hodin? ), ovšem i některé oznamovací věty ( Ahoj. ), nejsou v rámci klasické VL pojednávány, neboť nejsou chápány jako nositelé pravdivosti, či nepravdivosti. Namísto p, kde p je nějaký výrok, můžeme v důsledku toho, že je to výrok, říkat Je pravda, že p či Platí p, příp. Tvrdím p. (Analogicky v případě negovaného výroku: Není pravda, že p či Neplatí p, popř. Netvrdím p.) Výroky dělíme na jednoduché, jinak řečeno atomické, ev. elementární. Z jednoduchých výroků mohou být určitým způsobem tvořeny molekulární výroky, tedy výroky složené (gramaticky řečeno: souvětí). Jednoduché výroky budou reprezentovány výrokovými proměnnými (zvanými někdy výrokové symboly) jako například p. Prostředkem pro složení jednoduchých výroků do složeného výroku jsou výrokové spojky, například, jimž v přirozeném jazyce odpovídají (některé) gramatické spojky, například nebo. (Výrokové spojky se spolu např. se znaky sčítání či dělení řadí mezi operátory.) Výrokové spojky jsou chápány jako vyjádření pravdivostních (výrokových) funkcí. Takže jednoduché výroky jsou nositelé pravdivostních hodnot a pravdivostní funkce jsou vyjádřeny výrokovými spojkami. Tím, že klasická VL je dvouhodnotová, pracuje se dvěma pravdivostními hodnotami, jmenovitě pravda a nepravda, uplatňuje tedy klasický Princip dvouhodnotovosti (či Princip bivalence): Princip dvouhodnotovosti Každý výrok je pravdivý, nebo nepravdivý. 19

21 Úvod do logiky: klasická výroková logika Pravdivostní hodnota složených výroků je závislá na pravdivostních hodnotách jednotlivých výroků a výrokových spojkách jednoduché výroky spojujících. VL tedy uplatňuje Princip kompozicionality, jenž může být pro VL formulován takto: Princip kompozicionality Pravdivostní hodnota výroku je jednoznačně určena pravdivostními hodnotami jeho složek, tj. pravdivostními hodnotami dílčích výroků a sémantikou spojek, jež tyto dílčí výroky spojují. Jakožto nástroj logické analýzy přirozeného jazyka je VL nástrojem omezeným. Především se VL nijak nezajímá o strukturu jednoduchého výroku; ten je chápán pouze jako něco, co je pravdivé či nepravdivé. To vede k omezenosti aplikability VL, neboť není s to určit podíl částí atomického výroku na vyplývání. Dále: zkoumanými výroky jsou výlučně určité oznamovací věty. Další skupinu nevýhod tvoří určité odlišnosti pravdivostních funkcí od významů gramatických spojek. Závažným nedostatkem je to, že se VL nezabývá pečlivě sémantickým obsahem, významem výroků; sémantika VL je totiž extenzionalistická, za význam výroku má extenzi, jíž je pravdivostní hodnota, což znamená, že všechny výroky mající tutéž hodnotu mají týž význam, navzdory jejich intuitivně rozdílným smyslům. Ještě je třeba zmínit, že VL je v moderní civilizaci díky elektrotechnice všude kolem nás, neboť je implementována v logických obvodech, úžeji logických hradlech. Logické hradlo je konkrétní (elektronickou) realizací logické spojky jako např. disjunkce a propouští elektrický proud v souladu s funkční tabulkou disjunkce. Další aplikací VL, jež je součástí našeho běžného života, je vyhledávání např. přes vyhledávací políčko webového prohlížeče, kdy logické spojky jako třeba spojka disjunkce umožnují blíže specifikovat dotaz. 2.1 Cvičení základní terminologie Zopakujte si, co je: 1) výrok 2) atomický (elementární) výrok, molekulární (složený) výrok 20

22 2. Uvedení do výrokové logiky 3) výroková spojka 4) Princip dvojhodnotovosti 5) Princip kompozicionality 2.2 Pravdivostní funkce Než přejdeme k přehledům jednotlivých pravdivostních funkcí, připomeňme si pár základních faktů o extenzionálním, jmenovitě množinovém, chápání funkcí. (K tomuto našemu výkladu se čtenář může popřípadě vrátit později.) Každá funkce může být v principu zadána asociací prvků oboru argumentů té funkce, tedy domény, a prvků oboru funkčních hodnot, tedy kodomény. Příkladem funkce je třeba funkce, jejíž tabulkové vyjádření je (levý a pravý sloupec ukazují popořadě doménu a kodoménu): argumenty hodnoty 1 s 2 l 3 o 4 v 5 o atd. atd. (Mimochodem, náš příklad je ukázkou tzv. posloupnosti posloupnost je funkce z přirozených čísel do nějakých prvků.) Asociaci argumentů s hodnotami se říká funkční zobrazení, někdy prostě jen funkce. Funkce mohou být zadány buď soupisem všech uspořádaných dvojic argument, hodnota (jež jsou vyobrazovány třeba v tabulce) nebo funkčním předpisem, tedy způsobem výpočtu funkčních hodnot pro dané argumenty. Totální funkce zobrazují všechny argumenty na nějakou hodnotu, kdežto parciální funkce jsou pro některé argumenty svého oboru nedefinované; klasická logika s parciálními funkcemi nepracuje. Pravdivostní funkce (či výrokové funkce) jsou ty funkce, jejichž oborem argumentů i oborem hodnot jsou tzv. pravdivostní hodnoty. Pravdivostními hodnotami jsou Pravda a Nepravda (angl. True and False), stručněji P a N 21

23 Úvod do logiky: klasická výroková logika (angl. T a F), ač je zvykem používat pro ně numerická označení 1 a 0 (v tomto pořadí). Pravdivostní hodnoty reprezentují to, že daný výrok je pravdivý, resp. nepravdivý. Podle počtu členů v argumentu, jímž je obecně nějaká n-tice, rozlišujeme aritu (árnost, četnost) funkce: jsou tu například funkce unární (n=1), binární (n=2, tj. argumenty jsou nějaké dvojice X,Y ), ternární, atd. Aritu vyznačujeme číslicí v horním indexu, tedy např. f 2. Pravdivostní funkce jsou tedy funkcemi z n-árního kartézského součinu {1,0} n do množiny {1,0}. Protože počet uspořádaných n-tic pro dvouprvkovou množinu pravdivostních hodnot je 2 n, počet příslušných n-árních pravdivostních funkcí je 2 na 2 n. Přirozený jazyk svými vyjádřeními ovšem uchopuje jen malou část z tohoto množství. Nyní si uvedeme kompletní přehledy nulárních, unárních a binárních pravdivostních funkcí. V poznámkách pod příslušnými pravdivostními tabulkami uvádíme stručné poznámky k funkcím označeným též speciálním symbolem, k těm hlavním z nich se vrátíme v textu níže. Uvádíme rovněž alternativní symboly výrokových spojek, s nimiž je možné se v literatuře setkat. Odlišujme konjunktor, tedy symbol pro výrokovou spojku, od pravdivostní funkce konjunkce. (Symboly a & jsou symboly téže spojky zvané konjunkce.) Odlišujeme také konjunkci, tedy pravdivostní funkci, od věty tvaru konjunkce, ač ta bývá někdy označována přímo jako konjunkce. Analogicky pro ostatní symboly spojek a pravdivostní funkce. Členům konjunkce se říká konjunkty, členům disjunkce disjunkty. Nulární pravdivostní funkce f 0 1 f V logických textech příležitostně zmiňované nulární funkce jsou funkcemi jen pomyslně, v matematické abstrakci. Můžeme je vidět jako základní kameny nekonečné hierarchie funkcí vyšší arity. Funkce f 0 1 bývá někdy značena, f 0 2 zas a mluví se o nich někdy jako o logických konstantách. Unární pravdivostní funkce argument f 1 1 f 1 2 f f

24 2. Uvedení do výrokové logiky Funkce f 1 1 je unární verum (či true ). Funkce f 1 2, někdy nazývaná aserce, bývá značena též Id, načež je nazývána identita ( identická funkce ). Srov. definici identity v predikátové logice. Funkce f 1 3, značená pomocí (negátoru), se nazývá negace. Negace bývá alternativně často značena pomocí ~, či pomocí pruhu-čáry nad znakem (částí formule či celou formulí). Blíže k této unární pravdivostní funkci níže. Funkce f 1 4 je unární falsum (či false ). Binární pravdivostní funkce argument f 2 1 T f 2 2 f 2 3 f 2 4 f 2 5 f 2 6 f 2 7 f 2 8 f 2 9 f 2 10 f 2 11 f 2 12 f 2 13 f 2 14 f , , , , Binární pravdivostní funkce mají dvoučlenný argument. Kombinatoricky vzato existuje přesně 16 takových (totálních) pravdivostních funkcí. Ty známější bývají označovány symboly, které uvádíme jednak v tabulce, jednak níže. Funkce f 2 1 je binární verum, někdy též nazývaná tautologie (značena T i jako výše); srov. však níže definici tautologie. Funkce f 2 2, značená pomocí, případně pomocí v (z latinského vel ), se nazývá disjunkce. Disjunkce se chová jako přičtení (připočteme-li pomocí disjunkce k nějakému výroku pravdivý výrok, výsledek bude pravdivý), odtud název logický součet. Blíže k této pravdivostní funkci níže. Funkce f 2 3, značená někdy znakem, se nazývá obrácená implikace (event. konverzní implikace, zpětná implikace) a funguje obdobným způsobem jako implikace, ovšem s obráceným pořadím výrokových proměnných, tedy jako q p. Funkce f 2 5, značená pomocí, se nazývá implikace. Místo znaku se používá i, či. (Pozor: když někteří autoři používají zaráz a, či navíc dokonce, pouze jedna ze šipek označuje klasickou funkci implikace, nejpravděpodobněji je to.) Blíže k této pravdivostní funkci níže. Funkce f 2 7, značená pomocí, se nazývá ekvivalence (vzácněji rovnoznačnost). Místo se používá i, či. Blíže k této pravdivostní funkci níže. f 2 16 K 23

25 Úvod do logiky: klasická výroková logika Funkce f 2 8, značená pomocí, se nazývá konjunkce. Místo znaku se zejména v anglosaském prostředí používá &. V mnoha, zvláště v informatických textech se leckdy používá tečka (. či ), eventuálně malá tečka mající tvar čtverečku, což naznačuje, že konjunkce se jakožto booleovská operace chová jako násobení; odtud název logický součin (srov. že například platí, že (1.x)=x, kde 1 reprezentuje pravdivý výrok a x hodnotu nějakého výroku). Blíže k této pravdivostní funkci níže. Funkce f 2 9, značená ve starší literatuře zpravidla znakem /, avšak i, nověji, event. NAND z anglického not and, se nazývá Shefferova funkce. Blíže k této pravdivostní funkci níže. Funkce f 2 10, značená pomocí, či nebo, ba i, se nazývá vylučovací disjunkce (v latině vyjadřována pomocí aut..., aut... ), anebo nonekvivalence, kontravalence či alternace ; je značena též, v prostředí informatiky bývá značena XOR z anglického exclusive or. Blíže k této pravdivostní funkci níže. Funkce f 2 15, značená ve starší literatuře zpravidla znakem (ale i pomocí.. ), nověji, v informatice NOR z anglického not or, se nazývá Nicod-Peirceova funkce, někdy dokonce Schröderův operátor. Funkce f 2 16 se nazývá binární falsum, někdy též nazývaná kontradikce (značena K nebo jako výše); srov. však níže definici kontradikce. Zbývající binární funkce z této tabulky mají také jméno a označení symbolem, ale setkat se s nimi lze vzácně. Různí autoři používají různé sady symbolů. Zde jsou dvě nejčastěji používané pětice vzájemně si odpovídajících symbolů; prvou z nich budeme používat v této knize, s druhou se setkáme u mnoha anglicky píšících autorů: & v n-ární pravdivostní funkce Samozřejmě existují také pravdivostní funkce vyšší arity, jež jsou vždy početnější druhem trojmístných je 2 na 2 3, tj. 256, čtyřmístných je 2 na 2 4, tj , atd.). Těmito funkcemi se zde zabývat nebudeme už proto, že je lze definovat pomocí námi již uvedených funkcí nižší arity (srov. způsoby takového definování v kapitole o odvozování výrokových spojek). Pro ilustraci si zde uvedeme jen příležitostně zmiňovanou ternární pravdivostní funkci if-then-else ( jestliže..., tak..., jinak... ). Ta je definovatelná např. pomocí ((p q) ( p r)): 24

26 2. Uvedení do výrokové logiky p q r if p than q else r Nejznámější pravdivostní funkce Nyní si blíže všimneme nejvíce diskutovaných pravdivostních funkcí. K jejich definování využijeme mírně zjednodušené pravdivostní tabulky, v nichž funkční hodnotu píšeme zde pro názornost tučným řezem pod operátor, tj. symbol výrokové spojky, a členy argumentů pod výrokové proměnné. (Pravdivostní tabulky výrokových spojek objevilo na přelomu 19. a 20. století více autorů, zmiňováni bývají E. Schröder, Ch. S. Peirce, B. Russell, L. Wittgenstein, E. Post, přičemž dva naposledy zmiňovaní jsou považování za objevitele tabulkové metody zjišťování průběhu pravdivostních hodnot.) Negace (, ne ) p Pravdivostní funkce negace je v přirozených jazycích vyjadřována pomocí ne, jež slouží k negování (popírání) celého výroku. Často jde o předponu ne- spjatou už se slovesem, v jiných případech se jedná o obraty Není pravda, že..., či Neplatí, že..., kde tři tečky zastupují libovolný výrok. Jistou zvláštností češtiny je občasné vyjadřování negace gramatickým dvojím záporem, na což musíme být v analýzách opatrní. Všimněme si, že formálně funguje negace tak, že obrací pravdivostní hodnotu výroku, na nějž je aplikována. 25

27 Úvod do logiky: klasická výroková logika Příklady vět: Neprší, Není pravda, že Adam má auto, Neplatí, že spojením dvou kapek vznikají dvě kapky, apod. Konjunkce (, a ) p q Vzhledem k jejím vlastnostem lze pravdivostní funkci konjunkce vhodně využít k explikování významu gramatické spojky... a... mezi výroky, resp. jejích přímých stylistických ekvivalentů... a současně... či... a zároveň..., nebo... i...,... a také...,..., zatímco...,..., přitom...,..., přičemž...,..., kdežto.... Méně přímými stylistickými variantami pro vyjádření konjunktivního spojení jsou gramatické spojky..., ale...,..., avšak..., v některých případech i..., ovšem...,..., leč...,..., nicméně...,..., jenže...,... takový, že...,..., nýbrž... ), někdy je to jen čárka (...,... ). Příklady vět: Prší a je mlha, Pavel běží, zatímco Kvido stojí, Petr i Pavel mají auto, což je zkrácená podoba věty Petr má auto a Pavel má auto. Výrok složený pomocí konjunkce je pravdivý jen tehdy, když jsou oba dílčí výroky pravdivé. U souvětí spojených např. pomocí ale se nám však zdá, že věta uvozená spojkou ale nějak ruší či neguje informaci podanou hlavní větou, srov. např. Petr má auto, ale Pavel taky. Z hlediska pravdivosti celého souvětí je však tato skutečnost až doplňující, můžeme ji pominout, poněvadž pravdivostní podmínky daného souvětí jsou shodné s těmi, které má stylisticky ekvivalentní souvětí Petr má auto a Pavel má auto. Konjunkce má vlastnost zvanou komutativita, takže členy, na něž se aplikuje, lze libovolně prohodit. U většiny konjunktivně složených výroků opravdu nezáleží na pořadí členů, tedy dílčích výroků. Výjimkou jsou až výroky jako Adam se vyboural a opil se, kdy záměna dílčích výroků na Adam se opil a vyboural se vede ke změně podávané sémantické informace. Tento sémantický rozdíl náš model gramatické spojky a ignoruje, abstrahuje od něj, poněvadž se zaměřuje jen na pravdivost a její odvislost od pravdivosti složek. (Daný problém je řešen jednak v rámci pragmatiky, jednak v rámci neklasické logiky, např. v dynamické logice.) 26

28 2. Uvedení do výrokové logiky Disjunkce (, nebo ) p q Pravdivostní spojka disjunkce je v přirozených jazycích nejlépe zachycena pomocí výrazu... nebo..., případně... či.... Nutno ovšem podotknout, že mnohdy není jasné, zda je vyjadřována tato nevylučovací disjunkce, nebo vylučovací disjunkce. Výrok spojující dílčí výroky spojkou disjunkce je totiž pravdivý i tehdy, když jsou oba výroky pravdivé, nejen jeden z nich. Někdy se proto k... nebo... dodává dovětek anebo obojí, říkává se i buď platí p nebo q nebo obojí ; někdy se vylučovací disjunkce indikuje tím, že je užita čárka před nebo ). Proto se o disjunkci hovoří v případě jejího použití v prostředí přirozeného jazyka jako o nevylučovacím nebo. Příklady vět: Prší nebo je mlha, Auto má Petr nebo Pavel. Implikace (, jestliže, pak ) p q Implikaci v přirozených jazycích vyjadřujeme spojeními jako jestliže..., pak..., přičemž jestliže může být vyjádřeno pomocí přípony -li u slovesa. Dalšími příklady jsou když..., tak... nebo pokud..., tak.... Příklady vět: Pokud mám dobrou náladu, jdu na procházku, Je-li číslo dělitelné čtyřmi, pak je sudé. Tento druh implikace, který se v klasické logice používá, se z určitých historických důvodů nazývá materiální implikace, případně filónská implikace (podle Filóna z Megary, který ji jako první definoval takto). První člen implikace se nazývá antecedent, druhý konsekvent. Antecedentu se říká dostatečná podmínka a konsekventu nutná podmínka, čímž je reflektováno to, že souvětí tvaru implikace může být pravdivé, ačkoli není naplněna podmínka z antecedentu. 27

29 Úvod do logiky: klasická výroková logika Je třeba si dobře uvědomit a mít na paměti, že implikace je pravdivá, pokud je její konsekvent pravdivý; dále: implikace je pravdivá, pokud je její antecedent nepravdivý. Jak vidíme, pravdivostní funkce materiální implikace funguje tak, že složený výrok nabývá hodnoty pravda i tehdy, je-li první výrok nepravdivý a druhý pravdivý, srov. třetí řádek, tj. řádek, v němž je argumentu 0,1 přiřazena hodnota 1. Klasická logika totiž v případě implikace nebere zřetel na kauzální podmíněnost, ba ani jinou souvislost jevů, o nichž se v dílčích výrocích hovoří. Ač ve větě Jestliže prší, je mokro cítíme přímou závislost mokra na pršení, logika jakoby říká, že může být mokro, přestože neprší uvažme, že projel kropicí vůz. Klasická logika se vskutku nezabývá žádnou kauzální, resp. fyzikální souvislostí jevů a tak věta Je-li Praha větší než Brno, pak v Ostravě prší nabývá z logického hlediska stejného průběhu pravdivostních hodnot jako věta tvaru implikace, která nějakou souvislost vyjadřuje. Ještě jednou: reprezentovat materiální implikací každé implikativní jazykové spojení je chybou jako důležitý příklad uvažme dále třeba tzv. subjunktivní kondicionály Pokud hodíme papír do ohně, shoří, u nichž záhy přijdeme na rozpor mezi intuitivními pravdivostními podmínkami a definicí materiální implikace (problém subjunktivních kondicionálů je zkoumán v neklasické, resp. filosofické logice). Z pedagogických důvodů je možno chování implikace ve třetím řádku objasnit na příkladu slibu otce synovi Jestliže budeš mít na vysvědčení vyznamenání, dostaneš kolo. Pokud syn splní daný předpoklad a otec splní slib, tak implikace je splněna, tedy 1. V případě špatného vysvědčení a nesplnění slibu je implikace rovněž splněna, tedy 1. Implikace je ovšem nesplněna, 0, pokud syn dostane vysvědčení s vyznamenáním, ale otec nedodrží slib, nedá mu kolo. Implikace je nicméně splněna i tehdy, když syn nemá vysvědčení s vyznamenáním, avšak otec mu dá kolo a to například proto, že zachránil topící se spolužačku. Ekvivalence (, právě tehdy, když ) p q Fungování ekvivalence, stejně jako i její vyjádření pomocí obratů... právě tehdy, když... nebo... tehdy a jen tehdy... (či... je totéž jako..., even- 28

30 2. Uvedení do výrokové logiky tuálně i..., pokud..., anebo i..., neboli...,..., čili... ), je jistě známo. Věta tvaru ekvivalence je pravdivá tehdy, když jsou oba jednoduché výroky buď pravdivé, anebo nepravdivé. Někdy bývá ekvivalence nazývána obousměrná implikace, a to proto, že formule (p q) (q p) je ekvivalentní s formulí p q. (V anglicky psaných logických textech se vyjádření ekvivalence if and only if zkracuje na iff ; český ekvivalent není zaveden.) Příklady vět: Přirozené číslo je prvočíslem tehdy, když má právě dva dělitele, Duha vzniká právě tehdy, když za deště svítí slunce. Porovnání tabulek nejznámějších výrokových spojek negace ( ne ) konjunkce ( a ) disjunkce ( nebo ) implikace ( jestliže, pak ) ekvivalence ( právě tehdy, když ) p p q p q p q p q Pro zapamatování tabulek jednotlivých pravdivostních funkcí je důležité si uvědomit, v kterém řádku, tedy pro jaký argument, se daná funkce odlišuje ve výsledné hodnotě od hodnot v ostatních řádcích: konjunkce je pravdivá jen tehdy, když jsou oba dílčí výroky pravdivé; jinak je nepravdivá; disjunkce je nepravdivá jen tehdy, když jsou oba dílčí výroky nepravdivé; jinak je pravdivá; implikace je nepravdivá jen tehdy, když první výrok je pravdivý a druhý nepravdivý; jinak je pravdivá; ekvivalence je pravdivá jen tehdy, když jsou oba dílčí výroky buď pravdivé, anebo nepravdivé. Nádavkem přidejme alternativní tabulkové vyjádření čtyř nejznámějších pravdivostních funkcí, jež se stalo populární v nedávné době. (Pokud jsou v takovýchto tabulkách vypuštěny indikace p a q, hodnoty p jsou vypsány ve zcela levém sloupci, kdežto hodnoty q v horním řádku.) 29