KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura"

Transkript

1 Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/ KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 1

2 Cílem tohoto semináře je efektivní uvedení do matematického uvažování, zejména matematického dokazování. Studenti matematiky zpravidla bývají seznamováni s důkazy za pochodu. Je jim přednášena ta která matematická teorie včetně důkazů a očekává se, že student časem vnikne do matematického uvažování, a sám se naučí důkazy číst 1, modifikovat i tvořit. Jiného názoru byli pánové Rowan Garnier a John Taylor, kteří napsali skvělou knihu 100% Mathematical Proof ([3]), jejíž hlavní cíl je seznámení čtenáře s hlavními principy axiomatické metody, která je matematice vlastní, a zejména představení struktury důkazů, jejich typů a tvorby. Kniha je psána velmi přístupným způsobem a pomalu a systematicky uvádí čtenáře do této problematiky. Je ji schopen číst každý maturant. Možná vhodnější knihou je How to prove it : a structured approach od D. Vellemana [7], kde je důraz kladen na naučení studentů tvořit vlastní důkazy. Jsou tam ukázány různé tipy a strategie při dokazování konkrétních i typových tvrzení. Obě tyto knihy naleznete v univerzitní knihovně. Zmiňme ještě do češtiny přeloženou knihu Matematické důkazy od německého autora R. Thieleho ([4]), kde je spíš vědecko-populárním způsobem čtenář seznámen se základními principy matematiky. Může se zde dovědět spoustu zajímavostí, které se na matematické přednášce nedozví, ale které by vědět mohl/měl. Pozornosti by vám nemělo uniknout ani skriptum Úvod do matematiky od M. Závodného [8]. Lze jen konstatovat, že česky psané literatury věnované principům matematického dokazování příliš mnoho není. Zato v angličtině je jich celá řada (stačí napsat v nějakém internetovém vyhledávači klíčová slova proof, mathematical proof, mathematical thinking, mathematical proving, apod.). Hlavním nástrojem používaným při usuzování je matematická logika. Pro naše potřeby bude stačit přečíst část první kapitoly elektronického skripta [1] nebo třeba úvod a první paragrafy první kapitoly knihy [5]. Studentům, které logika zaujala, je možno doporučit třeba poslední kapitolu skripta [2], stejně jako knihy [5] a [6] (vše je v češtině). Veškerá zde zmíněná literatura je dostupná v univerzitní nebo vědecké knihovně. Axiomatická metoda základní pojmy Ve zkratce zmiňme princip axiomatické metody, na které je založena každá moderní matematická teorie. Základem každé matematické teorie je tzv. axiomatický systém. Axiomatický systém je souhrn základních pojmů (tzv. primitiv) a axiomů. Základní pojem neboli primitivum je objekt axiomatického systému, popř. vlastnost objektu, vztah mezi objekty nebo operace nad nimi, který stojí na začátku teorie a je ponechán bez vysvětlení. Axiom je tvrzení o základních pojmech (popř. o pojmech odvozených viz dále), které opět stojí na počátku teorie a jsou považována za pravdivá. Dříve se axiomy chápaly jako něco natolik zřejmého, že to nebylo potřeba dokazovat. Dnes jsou chápány jako předpoklady příslušné teorie. 1 Čtením důkazu se rozumí jeho pochopení. 2

3 Matematická teorie kromě axiomatického systému obsahuje definované/odvozené pojmy a věty. Definovaný/odvozený pojem je pojem odvozený ze základních pojmů, nebo pojmů již dříve definovaných. Pojem je uveden v život v tzv. definici. Věta je pravdivé tvrzení o základních nebo definovaných pojmech, jejíž pravdivost logicky plyne z axiomů či jiných vět. Demonstraci pravdivosti se říká důkaz. Tvrzení o kterém nevíme, zda je v dané teorii pravdivé, říkáme hypotéza. Tento popis je velmi stručný. V následujících seminářích všechny pojmy postupně zpřesníme. Základním prostředkem vyjadřování a dokazování bude výrokový a zejména predikátový počet. Formální způsob vyjadřování byl zvolen proto, abychom se nemuseli zabývat různými logickými paradoxy. Z didaktických důvodů se prvních pár přednášek budeme bavit (jednodušším) výrokovým počtem, zpřesníme pojmy jako tvrzení, logicky plyne nebo důkaz atp. Výrokový počet základní pojmy Následuje suchý popis potřebných pojmů. Pro potřeby tohoto semináře je pár věcí zamlčeno a zjednodušeno. Pro korektnější výklad je vřele doporučena první kapitola skript [1]. Výrok Výrok budeme chápat jako tvrzení/větu, o které má smysl uvažovat, zda je pravdivé či nepravdivé. Přitom výrok není pravdivý ani nepravdivý současně. Pravdivostní hodnota výroku Každému výroku lze přiřadit tzv. pravdivostní hodnotu. A to bud pravda zkráceně 1 pokud je výrok pravdivý, nebo nepravda zkráceně 0 pokud je výrok nepravdivý. Logické spojky Ve výrokové logice nás budou zajímat logické spojky a jejich použití při vytváření nových výroků. Budou nás zajímat pouze ty nejznámější spojky a to unární spojka negace a binární spojky konjunkce, disjunkce, implikace a ekvivalence. Negace Jde o tzv. unární spojku, protože nepracuje s více výroky ale pouze s jedním. Negace se značí symbolem a používá se následovně. Je-li A výrok, pak jeho negace se značí A a čte neplatí A. Např. negaci výroku prší můžeme číst jako neplatí, že prší nebo neprší. Pravdivostní hodnoty negace: Je-li výrok A pravdivý, pak A je nepravdivý. 3

4 Je-li výrok A nepravdivý, pak A je pravdivý. Přehledně tato fakta můžeme zobrazit v tzv. pravdivostní tabulce: Konjunkce A A Konjunkce je tzv. binární spojka, protože spojuje dva výroky. Konjunkce se značí symbolem a používá se následovně. Jsou-li A, B výroky, pak jejich konjunkce se značí A B a čte platí A a (současně) platí B. Např. konjunkci výroků měl jsem na oběd knedlík a měl jsem na oběd zelí můžeme číst jako měl jsem na oběd knedlík a zelí. Pravdivostní hodnoty konjunkce: Výrok A B je pravdivý pouze v případě, že jsou pravdivé oba dva výroky A a B. Pravdivostní tabulka: Disjunkce A B A B Disjunkce se značí symbolem a používá se následovně. Jsou-li A, B výroky, pak jejich disjunkce se značí A B a čte platí A nebo platí B. Např. disjunkci výroků měl jsem na oběd knedlík a měl jsem na oběd zelí můžeme číst jako měl jsem na oběd knedlík nebo zelí. Pravdivostní hodnoty disjunkce: Výrok A B je nepravdivý pouze v případě, že jsou nepravdivé oba dva výroky A a B. Pravdivostní tabulka: A B A B U této spojky je nutné zdůraznit, že se nepoužívá ve smyslu vylučovacím, jak tomu většinou bývá při používání v běžné řeči. Např. je-li výrok měl jsem na oběd knedlík nebo zelí, znamená to, že jsem mohl mít oboje běžně bychom tento výrok pochopili tak, že jsem na oběd neměl tyto dvě jídla současně. Implikace Implikace se značí symbolem a používá se následovně. Jsou-li A, B výroky, pak jejich implikace se značí A B a čte platí-li A, pak platí i B nebo jestliže A, pak B. Dokonce se někdy říká platí B, jestliže platí A. Např. implikaci výroků měl 4

5 jsem na oběd knedlík a měl jsem na oběd zelí můžeme číst jako jestliže jsem měl na oběd knedlík, pak jsem měl (na oběd) i zelí. Pravdivostní hodnoty implikace: Výrok A B je nepravdivý pouze v případě, že A je pravdivý a B je nepravdivý. Tuto definici si lze pamatovat pomocí hesla pravda nemůže implikovat nepravdu, ale nepravda může implikovat cokoliv. Pravdivostní tabulka: A B A B Narozdíl od předchozích spojek je implikace pro začátečníka poměrně obtížnou spojkou. Je potřeba si uvědomit, že pravdivost výroku A B nic neříká o pravdivosti výroků A a B ale pouze o vztahu jejich pravdivostních hodnot. Zejména nic neříká o platnosti výroku A! V implikaci A B se výroku A říká předpoklad (premisa) a výroku B závěr. Dále, platí-li implikace A B, pak se říká, že výrok A je postačující podmínkou výroku B a také, že výrok B je nutnou podmínkou výroku A. Ekvivalence Ekvivalence se značí symbolem a používá se následovně. Jsou-li A, B výroky, pak jejich ekvivalence se značí A B a čte platí A právě tehdy, když platí B. Např. ekvivalenci výroků měl jsem na oběd knedlík a měl jsem na oběd zelí můžeme číst jako Měl na oběd knedlík právě tehdy, když jsem měl zelí. Pravdivostní hodnoty ekvivalence: Výrok A B je pravdivý pouze v případě, že A a B mají stejnou pravdivostní hodnotu. Pravdivostní tabulka: A B A B Stejně jako u implikace, pravdivost výroku A B nic neříká o pravdivosti výroků A a B ale pouze o vztahu jejich pravdivostních hodnot. Zajímavé je, že u ekvivalence nemá tolik lidí problém s pochopením, jako u implikace. Jednoduchý versus složený výrok Výroky typu měl jsem na oběd knedlík budeme chápat jako jednoduché výroky. Výroky poskládané z takových jednoduchých výroků pomocí logických spojek budeme nazývat složenými, např. výrok měl jsem na oběd knedlík a zelí lze chápat jako složený výrok vytvořený pomocí kojunkce z jednoduchých výroků měl jsem na oběd knedlík a měl jsem na oběd zelí. 5

6 Výroková forma Ve výrokové logice nás nebude zajímat smysl ani pravdivost jednoduchých výroků, ale jen tvar (forma) složených výroků. Například z hlediska výrokové logiky pro nás následující výroky mají stejný tvar: Jestliže jsem měl na oběd knedlíky a zelí, pak 2+2 = 4 a Jestliže včera svítilo slunce a pršelo, pak je sníh červený. Evidentně jde o úplně různé výroky mluvící o různých věcech, které mohou mít různou pravdivostní hodnotu. Něco mají ovšem společné a to tvar (formu). Oba se dají zapsat ve tvaru (A B) C, kde v prvním případě jsme označili písmenem A výrok měl jsem na oběd knedlíky, písmenem B výrok měl jsem na oběd zelí, písmenem C výrok = 4, a v druhém případě jsme označili písmenem A výrok včera svítilo slunce, písmenem B výrok včera svítilo slunce a pršelo, písmenem C výrok sníh je červený. Říkáme pak, že ty dva uvedené výroky jsou instancemi výrokové formy (a b) c, kde písmenům a, b, c se říká výrokové proměnné. Dostáváme se tak k pojmu formalizující pojem výrok ve výrokovém počtu. Výroková forma bude řetězec symbolů poskládaných z tzv. symbolů výrokové logiky, což jsou výrokové symboly, např. a, b, p, q,..., symboly výrokových spojek, a to,,,,, pomocné symboly, což jsou kulaté závorky (, ), popř. pro zvýšení přehlednosti lze použít i hranaté. Výroková forma neboli formule výrokového počtu nebo jen formule je bud výrokový symbol (tzv. výroková proměnná), nebo jsou-li α, β výrokové formy, pak jsou výrokovými formami i výrazy α, (α β), (α β), (α β), (α β), přitom vnější závorky formule lze vynechat. Například řetězec symbolů (a b) c je výrokovou formou. A to z toho důvodu, že 1. a, b jsou výrokové symboly, tedy i výrokové formy, 2. pak (a b) je také výrokové forma, 3. c je výrokový symbol, tedy i výroková forma, 4. pak ((a b) c) je výroková forma 5. a odebráním vnějších závorek dostáváme, že i (a b) c je výroková forma. 6

7 Nutno podotknout, že symboly výrokové logiky jsou opravdu jen symboly. Nejde tedy o logické spojky ale o jejich označení. Podrobnosti viz [1]. Popsali jsme tedy, jak vypadá výroková forma tj. popsali jsme její syntaxi. Nyní se podíváme na sémantiku 2 výrokových forem. K tomu je potřeba pojem pravdivostní ohodnocení. Tím budeme intuitivně rozumět přiřazení pravdivostních hodnot 1 a 0 k výrokovým proměnným. Detaily opět najdete v [1]. Při daném pravdivostním ohodnocení lze spočítat pravdivostní hodnotu dané formule a to podle již definovaných pravdivostních tabulek. Tzn. pro výrokové formule a, b definujeme a a a b a b a b a b a b Mějme například formuli (a b) c o třech výrokových proměnných. Jedním z pravdivostních ohodnocení je např., že symbolu a přiřadíme 1, symbolu b přiřadíme 0 a symbolu c přiřadíme 1. Pak podle výše uvedené tabulky má formule (a b) ohodnocení 0 a podle stejné tabulky má formule (a b) c ohodnocení 1. To lze přehledně zapsat do tabulky: a b c a b (a b) c Do formule lze za výrokové proměnné dosazovat jiné formule. Dostáváme tak další formuli. Značení: Výroky budeme značit velkými písmeny (tj. A, B, C,...), výrokové proměnné malými písmeny (a, b,..., p, q,...) a výrokové formy malými písmeny řecké abecedy (α, β,..., ϕ, η,...). Pokud by nám došly symboly, budeme používat dolní indexy (např. A 1, A 2,...). Pravidlo nahrazení Mějme formuli α s výrokovými proměnnými a 1,..., a n a formule β 1,..., β n. Pak nahrazením všech výskytů proměnných a 1,..., a n ve formuli α postupně formulemi β 1,..., β n vznikne opět formule. Instance výrokové formy Dosadíme li do výrokové formy za výrokové proměnné konkrétní výroky, vzniklému (složenému) výroku říkáme instance výrokové formy. Pravdivostní tabulka výrokové formy Tato tabulka podobně jako pravdivostní tabulky logických spojek dává pravdivostní hodnoty jakékoliv formule při všech možných pravdivostních ohodnoceních. Např. pravdivostní tabulka formule (a b) c vypadá takto 2 Zhruba řečeno, syntaxe je o zápisu a sémantika je o významu/smyslu. 7

8 a b c a b (a b) c V posledním sloupci jsou přehledně shrnuty pravdivostní hodnoty formulí při odpovídajícím pravdivostním ohodnocení výrokových proměnných (ve stejném řádku). Ostatní sloupce napravo od rozdělovací čáry jsou pouze pomocné. Tautologie Tautologie je výroková forma, která je pravdivá při každém pravdivostním ohodnocení. Prakticky to lze ověřit snadno. Stačí sestavit pravdivostní tabulku této formule. Formule je pak tautologií právě tehdy, když ve sloupci této formule jsou samé jedničky. Tautologiím se také říká logické zákony. Budou pro nás základním nástrojem při dokazování. Zde je seznam některých důležitých tautologií. 1. (p q) (q p) 2. (p q) (q p) 3. (p (q r)) ((p q) r) 4. (p (q r)) ((p q) r) 5. (p (q r)) ((p q) (p r)) 6. (p (q r)) ((p q) (p r)) 7. (p q) ( p q) 8. (p q) ( p q) 9. p p 10. (p q) ( p q) 11. (p q) ( q p) 12. (p (p q)) q 13. ( q (p q)) p 14. (p q) ((p q) (q p)) Ověření, že jde skutečně o tautologie, je dobrým cvičením na práci s pravdivostními tabulkami formulí. 8

9 Kontradikce Naopak kontradikce je výroková forma, která je nepravdivá při každém pravdivostním ohodnocení. Zřejmě platí, že negace tautologie je kontradikce a naopak. Ještě je nutno dodat, že vznikne-li formule z jiné nahrazením všech výskytů jejích proměnných formulemi, je tautologií (resp. kontradikcí), jestliže původní formule byla tautologií (resp. kontradikcí). Splnitelná formule Splnitelná formule je taková, která je pravdivá při alespoň jednom pravdivostním ohodnocení. Platí, že formule je splnitelná právě tehdy, když není kontradikce. Cvičení Následující cvičení jsou povětšinou převzaty (popř. přeloženy) z doporučené literatury, kde je jich možno najít více. Úloha 1.1 Vypočtěte, kolik existuje unárních a kolik binárních spojek. Úloha 1.2 Necht A, B jsou výroky. Odpovězte na následující otázky (při řešení je možno s výhodou použít pravdivostní tabulky příslušných spojek): 1. Známe-li pravdivostní hodnotu výroku A, co lze říct o pravdivostní hodnotě výroku A? 2. Je-li výrok A B pravdivý a B nepravdivý, co lze říct o pravdivosti výroku A? 3. Je-li výrok A B pravdivý a B pravdivý, lze něco říct o pravdivosti výroku A? 4. Je-li výrok A B nepravdivý a B pravdivý, co lze říct o pravdivosti výroku A? 5. Je-li výrok A B nepravdivý a B nepravdivý, lze něco říct o pravdivosti výroku A? 6. Je-li výrok A B pravdivý a A pravdivý, co lze říct o pravdivosti výroku B? 7. Je-li výrok A B nepravdivý a B nepravdivý, co lze říct o pravdivosti výroku A? Odpovědi na otázky je potřeba zažít (ale ne nabiflovat!), abyste je mohli kdykoliv v budoucnu bez přemýšlení použít. (Toto cvičení slouží k osvojení sémantiky základních spojek, zejména implikace.) Úloha 1.3 Uvažujme následující výroky: C: Budu mít více času. K: Naučím se hrát na klavír. P : Zdvojnásobím si plat. 9

10 Zapište pomocí symbolů C, K, P a logických spojek následující výroky: 1. Jestliže budu mít víc času, zdvojnásobím si plat, ale nebudu se učit hrát na klavír. 2. Jestliže budu mít víc času, pak se budu učit hrát na klavír, a když budu mít více času, pak si zdvojnásobím plat. 3. Jestliže se budu učit hrát na klavír, pak nebudu mít více času a ani si nezdvojnásobím plat. 4. Jestliže si zdvojnásobím plat a naučím se hrát na klavír, nebudu mít více času. 5. Jestliže budu mít více času, naučím se hrát na klavír, a jestli se naučím hrát na klavír, zdvojnásobím si plat. (Toto cvičení slouží k tomu, aby student byl schopen okamžitě překládat z běžné řeči do formálního jazyka výrokové logiky.) Úloha 1.4 Uvažujme následující výroky: S: Slunce svítí. V : Vítr fouká. D: Prší. T : Teplota roste. Proved te: 1. Napište česky následující složené výroky: (a) V ( S D), (b) (V D) S, (c) (V D) T, (d) (S V ) (D T ). 2. Za předpokladu, že výroky S, V, D, T jsou všechny pravdivé, zjistěte, která následující složené výroky jsou pravdivé a které ne: (a) (S V ) ( D T ), (b) (S D) (T V ), (c) ((D T ) (V S)). (Část 1. tohoto cvičení slouží k tomu, aby student byl schopen okamžitě překládat z formálního jazyka výrokové logiky do běžné řeči.) Úloha 1.5 Pomocí pravdivostní tabulky ověřte, že formule v části Tautologie jsou opravdu všechny tautologiemi. (Toto cvičení je zaměřeno k procvičení určování pravdivostních hodnot logických spojek a také k zapamatování důležitých tautologií, které budou hrát v dalším významnou roli.) 10

11 Reference [1] Bělohlávek, R., Vychodil, V., Diskrétní matematika pro informatiky I., UP Olomouc, [dostupné online: ] [2] Bělohlávek, R., Vychodil, V., Diskrétní matematika pro informatiky II., UP Olomouc, [dostupné online: ] [3] Garnier, R., Taylor, J., 100% Mathematical Proof, John Wiley & Sons, Chichester, [4] Thiele, R., Matematické důkazy, SNTL, Praha, [5] Sochor, A., Klasická matematická logika, Karolinum, Praha, [6] Švejdar, V., Logika: neúplnost, složitost a nutnost, Academia, Praha, [dostupné také online: svejdar/book/logikasve2002.pdf ] [7] Velleman, D.J., How to prove it : a structured approach, Cambridge University Press, New York, [8] Závodný, M., Úvod do matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci, Olomouc,

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových

Více

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 2 Výroková logika pokračování Logické vyplývání

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá.

Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá. Výroková logika I Výroková logika se zabývá výroky. (Kdo by to byl řekl. :-)) Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá. U výroku

Více

Jak jsem potkal logiku. Převod formule do (úplného) disjunktivního tvaru. Jan Hora

Jak jsem potkal logiku. Převod formule do (úplného) disjunktivního tvaru. Jan Hora Česká zemědělská univerzita 17. října 2011 U makléře Já: Dobrý den, rád bych koupil nějaký světlý byt. Chtěl bych, aby měl dvě koupelny a aby byl v domě výtah. A neměl by být nijak extrémně drahý. Makléř:

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává. 1 Základní pojmy matematické logiky Výrokový počet... syntaktické hledisko Predikátový počet... sémantické hledisko 1.1 VÝROKOVÝ POČET výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

Více

Výroková logika dokazatelnost

Výroková logika dokazatelnost Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových

Více

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy Formální systémy (výrokové) logiky postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy cíl: získat formální teorii jako souhrn dokazatelných

Více

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška Disjunktivní a konjunktivní normáln lní tvar formule 2.přednáška Disjunktivní normáln lní forma Definice Řekneme, že formule ( A ) je v disjunktivním normálním tvaru (formě), zkráceně v DNF, jestliže je

Více

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD.

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Tematické okruhy: 1. Stručné dějiny logiky a její postavění ve vědě 2. Analýza složených výroků pomocí pravdivostní tabulky 3. Subjekt-predikátová

Více

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1 Negativní informace Petr Štěpánek S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze 2009 Logické programování 15 1 Negace jako neúspěch Motivace: Tvrzení p (atomická formule) neplatí, jestliže nelze odvodit

Více

Matematická logika. Miroslav Kolařík

Matematická logika. Miroslav Kolařík Matematická logika přednáška první Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika

Více

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz)

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Logický důsledek Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Úvod P 1 Logický důsledek je hlavním předmětem zájmu logiky. Je to relace mezi premisami a závěry logicky platných úsudků: v logicky platném úsudku závěr

Více

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY . MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY Průvodce studiem V následující kapitole si připomeneme některé význačné poznatky z matematické logiky a teorie množin, tvořící základ množinově logického aparátu. S celou

Více

Základy informatiky. Výroková logika

Základy informatiky. Výroková logika Základy informatiky Výroková logika Zpracoval: Upravila: Ing. Pavel Děrgel Daniela Sztrucová Obsah přednášky Výroková logika Výroky Pravdivostní ohodnocení Logické spojky Výrokově logická analýza Aristotelés

Více

Predikátová logika. prvního řádu

Predikátová logika. prvního řádu Predikátová logika prvního řádu 2 Predikát Predikát je n-ární relace - vyjadřuje vlastnosti objektů a vztahy mezi objekty - z jednoduchého výroku vznikne vypuštěním alespoň jednoho jména objektu (individua)

Více

Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha

Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Technické podrobnosti Důkaz: Konečná posloupnost výrokůkorektně utvořených formulí nějakého logického kalkulu), z nichž každý jelogickým) axiomem, postulátemteorie),

Více

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD.

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Tematické okruhy: 1. Stručné dějiny logiky a její postavění ve vědě 2. Analýza složených výroků pomocí pravdivostní tabulky 3. Subjekt-predikátová

Více

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Úvod do matematiky Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Matematika a matematické chápání jako takové je založeno na logické výstavbě. Základními stavebními prvky jsou definice, věty a důkazy. Definice zavádějí

Více

4.9.70. Logika a studijní předpoklady

4.9.70. Logika a studijní předpoklady 4.9.70. Logika a studijní předpoklady Seminář je jednoletý, je určen pro studenty posledního ročníku čtyřletého studia, osmiletého studia a sportovní přípravy. Cílem přípravy je orientace ve formální logice,

Více

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé?

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Jiří Močkoř University of Ostrava Department of Mathematics Institute for Research and Applications of Fuzzy Modeling 30. dubna 22,

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY I

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY I KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY I RADIM BĚLOHLÁVEK, VILÉM VYCHODIL VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM

Více

Logika I. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Logika I. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12 Logika I. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální

Více

Úvod do logiky (VL): 8. Negace výroků

Úvod do logiky (VL): 8. Negace výroků Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 8. Negace výroků doc. PhDr. Jiří Raclavský,

Více

Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz

Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Jednoduché úsudky, kde VL nestačí Všechny opice mají rády banány Judy je opice Judy má ráda banány Z hlediska VL

Více

Která tvrzení jsou pravdivá nezávisle na tom, který den v týdnu byla vyslovena? Tvrzení trosečníka Dana.

Která tvrzení jsou pravdivá nezávisle na tom, který den v týdnu byla vyslovena? Tvrzení trosečníka Dana. Trosečníci Adam, Barry, Code a Dan zapoměli po čase kalendář. Začali se dohadovat, který den v týdnu vlastně je. Každý z nich řekl svůj názor: A: Dnes je úterý nebo zítra je neděle B: Dnes není úterý nebo

Více

Analytické myšlení TSP MU výroková logika II.

Analytické myšlení TSP MU výroková logika II. Analytické myšlení TSP MU výroková logika II. Lehký úvod do výrokové logiky pro všechny, kdo se hlásí na Masarykovu univerzitu Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro

Více

MATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ

MATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ MATEMATICKÁ metodický list č. 1 Řešení úloh Cílem tohoto tematického celku je vysvětlení vybraných pojmů z oblasti řešení úloh. Tématický celek je rozdělen do těchto dílčích témat: 1. Řešení úloh ve stavovém

Více

Lehký úvod do výrokové logiky (nejen pro ty, kteří se připravují na TSP MU) část první

Lehký úvod do výrokové logiky (nejen pro ty, kteří se připravují na TSP MU) část první Lehký úvod do výrokové logiky (nejen pro ty, kteří se připravují na TSP MU) část první PRACOVNÍ VERZE TEXTU, KTERÁ BUDE DÁLE UPRAVOVÁNA TEXT SLOUŽÍ PRO POTŘEBY ÚČASTNÍKŮ EMAILOVÉHO SEMINÁŘE RESENI-TSP.CZ

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Rezoluce ve výrokové logice

Rezoluce ve výrokové logice Rezoluce ve výrokové logice Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Rezoluce ve VL 1/13 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. 2 X nesplnitelná iff X = ff. 3 Hledání kritických důsledků X syntakticky.

Více

Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. Matematika. Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám

Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. Matematika. Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Matematika Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám Doc. PaedDr. Dalibor Martišek, Ph.D. RNDr. Milana Faltusová 5 Autoři: Lektorovala: Doc.

Více

Klasická predikátová logika

Klasická predikátová logika Klasická predikátová logika Matematická logika, LS 2012/13, závěrečná přednáška Libor Běhounek www.cs.cas.cz/behounek/teaching/malog12 PřF OU, 6. 5. 2013 Symboly klasické predikátové logiky Poznámky Motivace

Více

Že tuto definici znáte, ale stále přesně nevíte, jak funkci chápat? Ukážeme si konkrétní příklad. 1 2 3 4 5 Definiční obor (množina A)

Že tuto definici znáte, ale stále přesně nevíte, jak funkci chápat? Ukážeme si konkrétní příklad. 1 2 3 4 5 Definiční obor (množina A) Funkce úvod Co je funkce Funkce je předpis, který číslu z množiny A přiřazuje právě jedno číslo z množiny B. Množina A je definiční obor funkce a množina B je obor hodnot funkce. Že tuto definici znáte,

Více

Jak je důležité být fuzzy

Jak je důležité být fuzzy 100 vědců do SŠ 1. intenzivní škola Olomouc, 21. 22. 6. 2012 Jak je důležité být fuzzy Libor Běhounek Ústav informatiky AV ČR 1. Úvod Klasická logika Logika se zabývá pravdivostí výroků a jejím přenášením

Více

4. blok část A Logické operátory

4. blok část A Logické operátory 4. blok část A Logické operátory Studijní cíl Tento blok je věnován představení logických operátorů AND, OR, NOT v jazyce SQL a práce s nimi. Doba nutná k nastudování 1-2 hodiny Průvodce studiem Při studiu

Více

09. seminář logika (úvod, výroková).notebook. November 30, 2011. Logika

09. seminář logika (úvod, výroková).notebook. November 30, 2011. Logika Logika 1 Logika Slovo logika se v češtině běžně používá ve smyslu myšlenková cesta, která vedla k daným závěrům. Logika je formální věda, zkoumající právě onen způsob vyvozování závěrů. Za zakladatele

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Pravda jako funkce - ano, nebo ne?

Pravda jako funkce - ano, nebo ne? Pravda jako funkce - ano, nebo ne? Nehledě na to, jestli jsou pravidla pro logickou platnost zabudována v našem myšlení, nebo nikoliv, máme velmi silné intuice o platnosti a neplatnosti nejrůznějších úsudků.

Více

1.4.2 Složené výroky konjunkce a disjunkce

1.4.2 Složené výroky konjunkce a disjunkce 1.4.2 Složené výroky konjunkce a disjunkce Předpoklady: 1401 Složené výroky = souvětí, výroky složené z více jednoduchých výroků Výrok: Číslo 5 je sudé a je prvočíslo. Sestavený ze dvou výroků: 1. výrok:

Více

1 Predikátová logika. 1.1 Syntax. jaký mohou mít formule význam (sémantiku). 1. Logických symbolů: 2. Speciálních (mimologických) symbolů:

1 Predikátová logika. 1.1 Syntax. jaký mohou mít formule význam (sémantiku). 1. Logických symbolů: 2. Speciálních (mimologických) symbolů: 1 Predikátová logika 1.1 Syntax Podobně jako ve výrokové logice začneme nejprve se syntaxí predikátové logiky, která nám říká, co jsou správně utvořené formule predikátové logiky. V další části tohoto

Více

TEORIE ZPRACOVÁNÍ DAT

TEORIE ZPRACOVÁNÍ DAT Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky TEORIE ZPRACOVÁNÍ DAT pro kombinované a distanční studium Jana Šarmanová Ostrava 2003 Jana Šarmanová, 2003 Fakulta

Více

UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. 2009 Tomáš Michek

UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. 2009 Tomáš Michek UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE 2009 Tomáš Michek Univerzita Pardubice Fakulta elektrotechniky a informatiky Program pro výuku a testování základů výrokové a

Více

6. blok část B Vnořené dotazy

6. blok část B Vnořené dotazy 6. blok část B Vnořené dotazy Studijní cíl Tento blok je věnován práci s vnořenými dotazy. Popisuje rozdíl mezi korelovanými a nekorelovanými vnořenými dotazy a zobrazuje jejich použití. Doba nutná k nastudování

Více

1.4.3 Složené výroky konjunkce a disjunkce

1.4.3 Složené výroky konjunkce a disjunkce 1.4.3 Složené výroky konjunkce a disjunkce Předpoklady: 010402 Složené výroky = souvětí, výroky složené z více jednoduchých výroků. Výrok: Číslo 5 je sudé a je prvočíslo. Sestavený ze dvou výroků: 1. výrok:

Více

Seminář IVT. MS Excel, opakování funkcí

Seminář IVT. MS Excel, opakování funkcí Seminář IVT MS Excel, opakování funkcí Výuka Opakování z minulé hodiny. Založeno na výsledcích Vašich domácích úkolů, podrobné zopakování věcí, ve kterých děláte nejčastěji chyby. Nejčastější jsou následující

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA I

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA I Fakulta pedagogická, Technická univerzita v Liberci DISKRÉTNÍ MATEMATIKA I Doc. RNDr. Miroslav Koucký, CSc. Prof. RNDr. Bohdan Zelinka, DrSc. Liberec, 4 Obsah Kap. Základní poznatky o množinách 7. Pojem

Více

Negace výroku. Příklad 1. Rozhodněte, zda jsou věty výroky, u výroků určete pravdivostní hodnotu:

Negace výroku. Příklad 1. Rozhodněte, zda jsou věty výroky, u výroků určete pravdivostní hodnotu: Základní pojmy výrokové logiky Výrok je každé sdělení, o němž má smysl říci, zda je pravdivé nebo nepravdivé. Přitom může nastat pouze jedna možnost. Výroky označujeme obvykle velkými písmeny A, B, C Pravdivému

Více

Složené výroky Jsou tvořeny dvěma nebo více výroky jednoduššími. V : Číslo 8 je liché. V : 0,1 N. V : Paříž je hl. město Španělska.

Složené výroky Jsou tvořeny dvěma nebo více výroky jednoduššími. V : Číslo 8 je liché. V : 0,1 N. V : Paříž je hl. město Španělska. Výrok a jeho negace Výrokem se rozumí sdělení u něhož má smysl otázka zda je či není pravdivé. Budeme určovat tzv. pravdivostní hodnotu výroku (PH). Příklady výroků: V : Úhlopříčky čtverce jsou na sebe

Více

I. Úvodní pojmy. Obsah

I. Úvodní pojmy. Obsah I. Úvodní pojmy Obsah 1 Matematická logika 2 1.1 Výrok,logickéoperátory,výrokovéformuleaformy... 2 1.2 Logickávýstavbamatematiky... 3 1.2.1 Základnímetodydůkazůmatematickýchvět..... 3 1.2.2 Negacevýroků.....

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Primární a sekundární výskyt označující fráze. Martina Juříková Katedra filozofie, FF UP v Olomouci Bertrand Russell, 17. - 18. 5.

Primární a sekundární výskyt označující fráze. Martina Juříková Katedra filozofie, FF UP v Olomouci Bertrand Russell, 17. - 18. 5. Primární a sekundární výskyt označující fráze Martina Juříková Katedra filozofie, FF UP v Olomouci Bertrand Russell, 17. - 18. 5. 2012 Russellovo rozlišení jména a popisu Označující fráze Primární a sekundární

Více

NP-úplnost problému SAT

NP-úplnost problému SAT Problém SAT je definován následovně: SAT(splnitelnost booleovských formulí) Vstup: Booleovská formule ϕ. Otázka: Je ϕ splnitelná? Příklad: Formule ϕ 1 =x 1 ( x 2 x 3 )jesplnitelná: např.přiohodnocení ν,kde[x

Více

Řešení: Ano. Řešení: Ne.

Řešení: Ano. Řešení: Ne. 1 ÚLOHY Z PREDIKÁTOVÉ LOGIKY Instance, varianty. UF.1.1. Substituovatelnost. 1. Buď ϕ formule ( z)(x=z)&y < x a dále x, y, z různé proměnné, F unární funkční symbol, c konstantní symbol. Uveďte, zda je

Více

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Registrační číslo projektu Šablona Autor Název materiálu CZ.1.07/1.5.00/34.0951 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT Mgr. Jana

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

Výroková logika (5) 1. Základní pojmy Ke každé větě dopište do závorky, zda věta je pravda, či nepravda.

Výroková logika (5) 1. Základní pojmy Ke každé větě dopište do závorky, zda věta je pravda, či nepravda. m_1_vyrok_priklady 6.5.011 1/9 m_1_vyrok_priklady 6.5.011 /9 Výroková logika (5) 1. Základní pojmy Ke každé větě dopište do závorky, zda věta je pravda, či nepravda. A: Číslo 6 je dělitelné 5-ti. (nepravda)

Více

================================================================================ =====

================================================================================ ===== Název: VY_32_INOVACE_PG4101 Základní struktura HTML stránky Datum vytvoření: 01 / 2012 Anotace: DUM seznamuje se základní strukturou a členěním HTML stránky, s jednotlivými složkami - HTML, CSS, externí

Více

Týden 11. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky.

Týden 11. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 11 Přednáška Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky. PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost Uvědomilijsmesi,ženapř.prozjištěnítoho,zdaBílýmánějakoustrategiivehřeŠACHY,

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

Databázové systémy. * relační kalkuly. Tomáš Skopal. - relační model

Databázové systémy. * relační kalkuly. Tomáš Skopal. - relační model Databázové systémy Tomáš Skopal - relační model * relační kalkuly Osnova přednášky relační kalkuly doménový n-ticový Relační kalkuly využití aparátu predikátové logiky 1. řádu pro dotazování rozšíření

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Základy algoritmizace a programování

Základy algoritmizace a programování Základy algoritmizace a programování Přednáška 1 Olga Majlingová Katedra matematiky, ČVUT v Praze 21. září 2009 Obsah Úvodní informace 1 Úvodní informace 2 3 4 Organizace předmětu Přednášky 1. 5. Základní

Více

AD4M33AU Automatické uvažování

AD4M33AU Automatické uvažování AD4M33AU Automatické uvažování Úvod, historie Petr Pudlák Organizační informace Tyto slidy jsou pomocný studijní materiál. Na přednášce budou uváděny další informace a příklady, které ve slidech nejsou.

Více

Metodický návod. pro tvůrce didaktických podpor k cizojazyčným odborným filmům

Metodický návod. pro tvůrce didaktických podpor k cizojazyčným odborným filmům Metodický návod pro tvůrce didaktických podpor k cizojazyčným odborným filmům Tento metodický návod je určen pro tvůrce didaktických podpor pro cizojazyčné odborné filmy (dále jen Tvůrce ). Didaktické

Více

12. Booleova algebra, logická funkce určitá a neurčitá, realizace logických funkcí, binární kódy pro algebraické operace.

12. Booleova algebra, logická funkce určitá a neurčitá, realizace logických funkcí, binární kódy pro algebraické operace. 12. Booleova algebra, logická funkce určitá a neurčitá, realizace logických funkcí, binární kódy pro algebraické operace. Logická proměnná - proměnná nesoucí logickou hodnotu Logická funkce - funkce přiřazující

Více

VY_42_Inovace_12_MA_2.01_ Výroky. Prezentace určena pro první ročník maturitních oborů, ve které je vysvětlení učiva výroky.

VY_42_Inovace_12_MA_2.01_ Výroky. Prezentace určena pro první ročník maturitních oborů, ve které je vysvětlení učiva výroky. Číslo projektu Číslo materiálu CZ.1.07/1.5.00/34.0394 VY_42_Inovace_12_MA_2.01_ Výroky Název školy Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Hustopeče, Masarykovo nám. 1 Autor Tematický celek Mgr.

Více

7 Formátovaný výstup, třídy, objekty, pole, chyby v programech

7 Formátovaný výstup, třídy, objekty, pole, chyby v programech 7 Formátovaný výstup, třídy, objekty, pole, chyby v programech Studijní cíl Tento studijní blok má za cíl pokračovat v základních prvcích jazyka Java. Konkrétně bude věnována pozornost formátovanému výstupu,

Více

9. Soustavy rovnic DEFINICE SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC O DVOU NEZNÁMÝCH. Soustava lineárních rovnic o dvou neznámých je:

9. Soustavy rovnic DEFINICE SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC O DVOU NEZNÁMÝCH. Soustava lineárních rovnic o dvou neznámých je: 9. Soustavy rovnic Správný nadpis této kapitoly by měl znít soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých, z důvodu přehlednosti jsem jej zkrátil. Hned v úvodu čtenáře potěším teorie bude tentokrát krátká.

Více

Algoritmizace a programování

Algoritmizace a programování Algoritmizace a programování Výrazy Operátory Výrazy Verze pro akademický rok 2012/2013 1 Operace, operátory Unární jeden operand, operátor se zapisuje ve většině případů před operand, v některých případech

Více

Matematická logika. 1

Matematická logika. 1 Matematická logika. 1 Obsah 1. Úvod... 2 2. Výroková logika... 8 2.1. Sémantický výklad výrokové logiky.... 8 Převod z přirozeného jazyka do symbolického jazyka výrokové logiky:... 10 Výrokově logická

Více

Logika pro informatiky (a příbuzné obory)

Logika pro informatiky (a příbuzné obory) VŠB Technická univerzita Ostrava Logika pro informatiky (a příbuzné obory) učební text Doc. RNDr. Marie Duží, CSc. Ostrava 2012 Vydavatelství VŠB-TU Ostrava Vydání této publikace je spolufinancováno Evropským

Více

Základní grafové algoritmy

Základní grafové algoritmy i Základní grafové algoritmy Jakub Černý KAM, MFF UK 24. listopadu 2010 Verze 0.95 Homepage http://kam.mff.cuni.cz/ ~ kuba/ka Kontakt: kuba@kam.mff.cuni.cz ii Obsah Úvod v iii iv OBSAH Úvod Text je psán

Více

DSL manuál. Ing. Jan Hranáč. 27. října 2010. V této kapitole je stručný průvodce k tvorbě v systému DrdSim a (v

DSL manuál. Ing. Jan Hranáč. 27. října 2010. V této kapitole je stručný průvodce k tvorbě v systému DrdSim a (v DSL manuál Ing. Jan Hranáč 27. října 2010 V této kapitole je stručný průvodce k tvorbě v systému DrdSim a (v současné době krátký) seznam vestavěných funkcí systému. 1 Vytvoření nového dobrodružství Nejprve

Více

Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika

Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika Povinné předměty: Matematika I aritmetika (KMD/MATE1) 2 Matematika 3 aritmetika s didaktikou (KMD/MATE3) 3 Matematika 5 geometrie (KMD/MATE5)

Více

Parametrické programování

Parametrické programování Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou

Více

Kvantifikované výroky a jejich negace

Kvantifikované výroky a jejich negace Kvantifikované výroky a jejich negace Gymnázium a Střední odborná škola, Rokycany, Mládežníků 1115 Číslo projektu: Číslo šablony: Název materiálu: Ročník: Identifikace materiálu: CZ.1.07/1.5.00/34.0410

Více

Algoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem.

Algoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem. Algoritmus Algoritmus je schematický postup pro řešení určitého druhu problémů, který je prováděn pomocí konečného množství přesně definovaných kroků. nebo Algoritmus lze definovat jako jednoznačně určenou

Více

Úvod do logiky (VL): 13. Axiomatické systémy VL a pojem důkazu

Úvod do logiky (VL): 13. Axiomatické systémy VL a pojem důkazu Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 13. Axiomatické systémy VL a pojem důkazu

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Matematická logika cvi ení 47

Matematická logika cvi ení 47 Matematická logika cvi ení 47 Libor B hounek www.cs.cas.cz/behounek/teaching/malog12 LS 2012/13, P F OU, 4.25. 3. 2013 Cvi ení 1. Posu te následující výroky z hlediska adekvátnosti dvojhodnotové sémantiky

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

Deskripce a existence: uctívali Řekové olympské bohy?

Deskripce a existence: uctívali Řekové olympské bohy? Kapitola 4 Deskripce a existence: uctívali Řekové olympské bohy? Přestože jsme se v minulé kapitole zabývali subjekty a predikáty, existuje ještě jeden typ výrazů, který může vystupovat jako podmět oznamovací

Více

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují.

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. .. Funkce, definiční obor funkce Předpoklady: 03 Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. Uděláme si na tabuli jenom krátký seznam: S = a, y = x, s = vt, výška lidí v

Více

Logické programování

Logické programování 30. října 2012 Osnova Principy logického programování 1 Principy logického programování 2 3 1 Principy logického programování 2 3 Paradigmata programování Strukturované programování Procedurální programování

Více

Automatizace dedukce ve znalostních systémech

Automatizace dedukce ve znalostních systémech Automatizace dedukce ve znalostních systémech texty pro distanční studium RNDr. PaedDr. Hashim Habiballa, Ph.D. Ostravská univerzita v Ostravě, Přírodovědecká fakulta Katedra informatiky a počítačů OBSAH

Více

Diskrétní matematika DISKRÉTNÍ MATEMATIKA. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

Diskrétní matematika DISKRÉTNÍ MATEMATIKA. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz :: DISKRÉTNÍ MATEMATIKA pro obor aplikovaná informatika 1. diskrétní 1. ohleduplný, taktní 2. zachovávající tajemství 3. nespojitý, přetržitý Akademický slovník cizích slov (1998): 2. Literatura Berka, M.,

Více

Vysoká škola ekonomická v Praze

Vysoká škola ekonomická v Praze Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta informatiky a statistiky Katedra informačního a znalostního inženýrství Student Vedoucí bakalářské práce : Marek Nekvasil : RNDr. Jiřina Vejnarová, CSc. TÉMA BAKALÁŘSKÉ

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak 1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen

Více

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 18 Predikátová logika Motivace Výroková

Více

Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta

Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta Jan Štětina 1. prosince 2009 Cviˇcení 29.9.2009 Pojem: Sekvence je konečná posloupnost, značíme ji predikátem seq(x). lh(x) je délka sekvence

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Lineární kódy, část 2 Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG 22.12.2014: Lineární kódy, část 2 1/12 Dnešní přednáška 1 Analýza Hammingova (7, 4)-kódu.

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

1. Základy logiky a teorie množin

1. Základy logiky a teorie množin . Základy logiky a teorie množin Studijní text. Základy logiky a teorie množin A. Logika Matematická logika vznikla v 9. století. Jejím zakladatelem byl anglický matematik G. Boole (85 864). Boole prosadil

Více