KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura"

Transkript

1 Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/ KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 1

2 Cílem tohoto semináře je efektivní uvedení do matematického uvažování, zejména matematického dokazování. Studenti matematiky zpravidla bývají seznamováni s důkazy za pochodu. Je jim přednášena ta která matematická teorie včetně důkazů a očekává se, že student časem vnikne do matematického uvažování, a sám se naučí důkazy číst 1, modifikovat i tvořit. Jiného názoru byli pánové Rowan Garnier a John Taylor, kteří napsali skvělou knihu 100% Mathematical Proof ([3]), jejíž hlavní cíl je seznámení čtenáře s hlavními principy axiomatické metody, která je matematice vlastní, a zejména představení struktury důkazů, jejich typů a tvorby. Kniha je psána velmi přístupným způsobem a pomalu a systematicky uvádí čtenáře do této problematiky. Je ji schopen číst každý maturant. Možná vhodnější knihou je How to prove it : a structured approach od D. Vellemana [7], kde je důraz kladen na naučení studentů tvořit vlastní důkazy. Jsou tam ukázány různé tipy a strategie při dokazování konkrétních i typových tvrzení. Obě tyto knihy naleznete v univerzitní knihovně. Zmiňme ještě do češtiny přeloženou knihu Matematické důkazy od německého autora R. Thieleho ([4]), kde je spíš vědecko-populárním způsobem čtenář seznámen se základními principy matematiky. Může se zde dovědět spoustu zajímavostí, které se na matematické přednášce nedozví, ale které by vědět mohl/měl. Pozornosti by vám nemělo uniknout ani skriptum Úvod do matematiky od M. Závodného [8]. Lze jen konstatovat, že česky psané literatury věnované principům matematického dokazování příliš mnoho není. Zato v angličtině je jich celá řada (stačí napsat v nějakém internetovém vyhledávači klíčová slova proof, mathematical proof, mathematical thinking, mathematical proving, apod.). Hlavním nástrojem používaným při usuzování je matematická logika. Pro naše potřeby bude stačit přečíst část první kapitoly elektronického skripta [1] nebo třeba úvod a první paragrafy první kapitoly knihy [5]. Studentům, které logika zaujala, je možno doporučit třeba poslední kapitolu skripta [2], stejně jako knihy [5] a [6] (vše je v češtině). Veškerá zde zmíněná literatura je dostupná v univerzitní nebo vědecké knihovně. Axiomatická metoda základní pojmy Ve zkratce zmiňme princip axiomatické metody, na které je založena každá moderní matematická teorie. Základem každé matematické teorie je tzv. axiomatický systém. Axiomatický systém je souhrn základních pojmů (tzv. primitiv) a axiomů. Základní pojem neboli primitivum je objekt axiomatického systému, popř. vlastnost objektu, vztah mezi objekty nebo operace nad nimi, který stojí na začátku teorie a je ponechán bez vysvětlení. Axiom je tvrzení o základních pojmech (popř. o pojmech odvozených viz dále), které opět stojí na počátku teorie a jsou považována za pravdivá. Dříve se axiomy chápaly jako něco natolik zřejmého, že to nebylo potřeba dokazovat. Dnes jsou chápány jako předpoklady příslušné teorie. 1 Čtením důkazu se rozumí jeho pochopení. 2

3 Matematická teorie kromě axiomatického systému obsahuje definované/odvozené pojmy a věty. Definovaný/odvozený pojem je pojem odvozený ze základních pojmů, nebo pojmů již dříve definovaných. Pojem je uveden v život v tzv. definici. Věta je pravdivé tvrzení o základních nebo definovaných pojmech, jejíž pravdivost logicky plyne z axiomů či jiných vět. Demonstraci pravdivosti se říká důkaz. Tvrzení o kterém nevíme, zda je v dané teorii pravdivé, říkáme hypotéza. Tento popis je velmi stručný. V následujících seminářích všechny pojmy postupně zpřesníme. Základním prostředkem vyjadřování a dokazování bude výrokový a zejména predikátový počet. Formální způsob vyjadřování byl zvolen proto, abychom se nemuseli zabývat různými logickými paradoxy. Z didaktických důvodů se prvních pár přednášek budeme bavit (jednodušším) výrokovým počtem, zpřesníme pojmy jako tvrzení, logicky plyne nebo důkaz atp. Výrokový počet základní pojmy Následuje suchý popis potřebných pojmů. Pro potřeby tohoto semináře je pár věcí zamlčeno a zjednodušeno. Pro korektnější výklad je vřele doporučena první kapitola skript [1]. Výrok Výrok budeme chápat jako tvrzení/větu, o které má smysl uvažovat, zda je pravdivé či nepravdivé. Přitom výrok není pravdivý ani nepravdivý současně. Pravdivostní hodnota výroku Každému výroku lze přiřadit tzv. pravdivostní hodnotu. A to bud pravda zkráceně 1 pokud je výrok pravdivý, nebo nepravda zkráceně 0 pokud je výrok nepravdivý. Logické spojky Ve výrokové logice nás budou zajímat logické spojky a jejich použití při vytváření nových výroků. Budou nás zajímat pouze ty nejznámější spojky a to unární spojka negace a binární spojky konjunkce, disjunkce, implikace a ekvivalence. Negace Jde o tzv. unární spojku, protože nepracuje s více výroky ale pouze s jedním. Negace se značí symbolem a používá se následovně. Je-li A výrok, pak jeho negace se značí A a čte neplatí A. Např. negaci výroku prší můžeme číst jako neplatí, že prší nebo neprší. Pravdivostní hodnoty negace: Je-li výrok A pravdivý, pak A je nepravdivý. 3

4 Je-li výrok A nepravdivý, pak A je pravdivý. Přehledně tato fakta můžeme zobrazit v tzv. pravdivostní tabulce: Konjunkce A A Konjunkce je tzv. binární spojka, protože spojuje dva výroky. Konjunkce se značí symbolem a používá se následovně. Jsou-li A, B výroky, pak jejich konjunkce se značí A B a čte platí A a (současně) platí B. Např. konjunkci výroků měl jsem na oběd knedlík a měl jsem na oběd zelí můžeme číst jako měl jsem na oběd knedlík a zelí. Pravdivostní hodnoty konjunkce: Výrok A B je pravdivý pouze v případě, že jsou pravdivé oba dva výroky A a B. Pravdivostní tabulka: Disjunkce A B A B Disjunkce se značí symbolem a používá se následovně. Jsou-li A, B výroky, pak jejich disjunkce se značí A B a čte platí A nebo platí B. Např. disjunkci výroků měl jsem na oběd knedlík a měl jsem na oběd zelí můžeme číst jako měl jsem na oběd knedlík nebo zelí. Pravdivostní hodnoty disjunkce: Výrok A B je nepravdivý pouze v případě, že jsou nepravdivé oba dva výroky A a B. Pravdivostní tabulka: A B A B U této spojky je nutné zdůraznit, že se nepoužívá ve smyslu vylučovacím, jak tomu většinou bývá při používání v běžné řeči. Např. je-li výrok měl jsem na oběd knedlík nebo zelí, znamená to, že jsem mohl mít oboje běžně bychom tento výrok pochopili tak, že jsem na oběd neměl tyto dvě jídla současně. Implikace Implikace se značí symbolem a používá se následovně. Jsou-li A, B výroky, pak jejich implikace se značí A B a čte platí-li A, pak platí i B nebo jestliže A, pak B. Dokonce se někdy říká platí B, jestliže platí A. Např. implikaci výroků měl 4

5 jsem na oběd knedlík a měl jsem na oběd zelí můžeme číst jako jestliže jsem měl na oběd knedlík, pak jsem měl (na oběd) i zelí. Pravdivostní hodnoty implikace: Výrok A B je nepravdivý pouze v případě, že A je pravdivý a B je nepravdivý. Tuto definici si lze pamatovat pomocí hesla pravda nemůže implikovat nepravdu, ale nepravda může implikovat cokoliv. Pravdivostní tabulka: A B A B Narozdíl od předchozích spojek je implikace pro začátečníka poměrně obtížnou spojkou. Je potřeba si uvědomit, že pravdivost výroku A B nic neříká o pravdivosti výroků A a B ale pouze o vztahu jejich pravdivostních hodnot. Zejména nic neříká o platnosti výroku A! V implikaci A B se výroku A říká předpoklad (premisa) a výroku B závěr. Dále, platí-li implikace A B, pak se říká, že výrok A je postačující podmínkou výroku B a také, že výrok B je nutnou podmínkou výroku A. Ekvivalence Ekvivalence se značí symbolem a používá se následovně. Jsou-li A, B výroky, pak jejich ekvivalence se značí A B a čte platí A právě tehdy, když platí B. Např. ekvivalenci výroků měl jsem na oběd knedlík a měl jsem na oběd zelí můžeme číst jako Měl na oběd knedlík právě tehdy, když jsem měl zelí. Pravdivostní hodnoty ekvivalence: Výrok A B je pravdivý pouze v případě, že A a B mají stejnou pravdivostní hodnotu. Pravdivostní tabulka: A B A B Stejně jako u implikace, pravdivost výroku A B nic neříká o pravdivosti výroků A a B ale pouze o vztahu jejich pravdivostních hodnot. Zajímavé je, že u ekvivalence nemá tolik lidí problém s pochopením, jako u implikace. Jednoduchý versus složený výrok Výroky typu měl jsem na oběd knedlík budeme chápat jako jednoduché výroky. Výroky poskládané z takových jednoduchých výroků pomocí logických spojek budeme nazývat složenými, např. výrok měl jsem na oběd knedlík a zelí lze chápat jako složený výrok vytvořený pomocí kojunkce z jednoduchých výroků měl jsem na oběd knedlík a měl jsem na oběd zelí. 5

6 Výroková forma Ve výrokové logice nás nebude zajímat smysl ani pravdivost jednoduchých výroků, ale jen tvar (forma) složených výroků. Například z hlediska výrokové logiky pro nás následující výroky mají stejný tvar: Jestliže jsem měl na oběd knedlíky a zelí, pak 2+2 = 4 a Jestliže včera svítilo slunce a pršelo, pak je sníh červený. Evidentně jde o úplně různé výroky mluvící o různých věcech, které mohou mít různou pravdivostní hodnotu. Něco mají ovšem společné a to tvar (formu). Oba se dají zapsat ve tvaru (A B) C, kde v prvním případě jsme označili písmenem A výrok měl jsem na oběd knedlíky, písmenem B výrok měl jsem na oběd zelí, písmenem C výrok = 4, a v druhém případě jsme označili písmenem A výrok včera svítilo slunce, písmenem B výrok včera svítilo slunce a pršelo, písmenem C výrok sníh je červený. Říkáme pak, že ty dva uvedené výroky jsou instancemi výrokové formy (a b) c, kde písmenům a, b, c se říká výrokové proměnné. Dostáváme se tak k pojmu formalizující pojem výrok ve výrokovém počtu. Výroková forma bude řetězec symbolů poskládaných z tzv. symbolů výrokové logiky, což jsou výrokové symboly, např. a, b, p, q,..., symboly výrokových spojek, a to,,,,, pomocné symboly, což jsou kulaté závorky (, ), popř. pro zvýšení přehlednosti lze použít i hranaté. Výroková forma neboli formule výrokového počtu nebo jen formule je bud výrokový symbol (tzv. výroková proměnná), nebo jsou-li α, β výrokové formy, pak jsou výrokovými formami i výrazy α, (α β), (α β), (α β), (α β), přitom vnější závorky formule lze vynechat. Například řetězec symbolů (a b) c je výrokovou formou. A to z toho důvodu, že 1. a, b jsou výrokové symboly, tedy i výrokové formy, 2. pak (a b) je také výrokové forma, 3. c je výrokový symbol, tedy i výroková forma, 4. pak ((a b) c) je výroková forma 5. a odebráním vnějších závorek dostáváme, že i (a b) c je výroková forma. 6

7 Nutno podotknout, že symboly výrokové logiky jsou opravdu jen symboly. Nejde tedy o logické spojky ale o jejich označení. Podrobnosti viz [1]. Popsali jsme tedy, jak vypadá výroková forma tj. popsali jsme její syntaxi. Nyní se podíváme na sémantiku 2 výrokových forem. K tomu je potřeba pojem pravdivostní ohodnocení. Tím budeme intuitivně rozumět přiřazení pravdivostních hodnot 1 a 0 k výrokovým proměnným. Detaily opět najdete v [1]. Při daném pravdivostním ohodnocení lze spočítat pravdivostní hodnotu dané formule a to podle již definovaných pravdivostních tabulek. Tzn. pro výrokové formule a, b definujeme a a a b a b a b a b a b Mějme například formuli (a b) c o třech výrokových proměnných. Jedním z pravdivostních ohodnocení je např., že symbolu a přiřadíme 1, symbolu b přiřadíme 0 a symbolu c přiřadíme 1. Pak podle výše uvedené tabulky má formule (a b) ohodnocení 0 a podle stejné tabulky má formule (a b) c ohodnocení 1. To lze přehledně zapsat do tabulky: a b c a b (a b) c Do formule lze za výrokové proměnné dosazovat jiné formule. Dostáváme tak další formuli. Značení: Výroky budeme značit velkými písmeny (tj. A, B, C,...), výrokové proměnné malými písmeny (a, b,..., p, q,...) a výrokové formy malými písmeny řecké abecedy (α, β,..., ϕ, η,...). Pokud by nám došly symboly, budeme používat dolní indexy (např. A 1, A 2,...). Pravidlo nahrazení Mějme formuli α s výrokovými proměnnými a 1,..., a n a formule β 1,..., β n. Pak nahrazením všech výskytů proměnných a 1,..., a n ve formuli α postupně formulemi β 1,..., β n vznikne opět formule. Instance výrokové formy Dosadíme li do výrokové formy za výrokové proměnné konkrétní výroky, vzniklému (složenému) výroku říkáme instance výrokové formy. Pravdivostní tabulka výrokové formy Tato tabulka podobně jako pravdivostní tabulky logických spojek dává pravdivostní hodnoty jakékoliv formule při všech možných pravdivostních ohodnoceních. Např. pravdivostní tabulka formule (a b) c vypadá takto 2 Zhruba řečeno, syntaxe je o zápisu a sémantika je o významu/smyslu. 7

8 a b c a b (a b) c V posledním sloupci jsou přehledně shrnuty pravdivostní hodnoty formulí při odpovídajícím pravdivostním ohodnocení výrokových proměnných (ve stejném řádku). Ostatní sloupce napravo od rozdělovací čáry jsou pouze pomocné. Tautologie Tautologie je výroková forma, která je pravdivá při každém pravdivostním ohodnocení. Prakticky to lze ověřit snadno. Stačí sestavit pravdivostní tabulku této formule. Formule je pak tautologií právě tehdy, když ve sloupci této formule jsou samé jedničky. Tautologiím se také říká logické zákony. Budou pro nás základním nástrojem při dokazování. Zde je seznam některých důležitých tautologií. 1. (p q) (q p) 2. (p q) (q p) 3. (p (q r)) ((p q) r) 4. (p (q r)) ((p q) r) 5. (p (q r)) ((p q) (p r)) 6. (p (q r)) ((p q) (p r)) 7. (p q) ( p q) 8. (p q) ( p q) 9. p p 10. (p q) ( p q) 11. (p q) ( q p) 12. (p (p q)) q 13. ( q (p q)) p 14. (p q) ((p q) (q p)) Ověření, že jde skutečně o tautologie, je dobrým cvičením na práci s pravdivostními tabulkami formulí. 8

9 Kontradikce Naopak kontradikce je výroková forma, která je nepravdivá při každém pravdivostním ohodnocení. Zřejmě platí, že negace tautologie je kontradikce a naopak. Ještě je nutno dodat, že vznikne-li formule z jiné nahrazením všech výskytů jejích proměnných formulemi, je tautologií (resp. kontradikcí), jestliže původní formule byla tautologií (resp. kontradikcí). Splnitelná formule Splnitelná formule je taková, která je pravdivá při alespoň jednom pravdivostním ohodnocení. Platí, že formule je splnitelná právě tehdy, když není kontradikce. Cvičení Následující cvičení jsou povětšinou převzaty (popř. přeloženy) z doporučené literatury, kde je jich možno najít více. Úloha 1.1 Vypočtěte, kolik existuje unárních a kolik binárních spojek. Úloha 1.2 Necht A, B jsou výroky. Odpovězte na následující otázky (při řešení je možno s výhodou použít pravdivostní tabulky příslušných spojek): 1. Známe-li pravdivostní hodnotu výroku A, co lze říct o pravdivostní hodnotě výroku A? 2. Je-li výrok A B pravdivý a B nepravdivý, co lze říct o pravdivosti výroku A? 3. Je-li výrok A B pravdivý a B pravdivý, lze něco říct o pravdivosti výroku A? 4. Je-li výrok A B nepravdivý a B pravdivý, co lze říct o pravdivosti výroku A? 5. Je-li výrok A B nepravdivý a B nepravdivý, lze něco říct o pravdivosti výroku A? 6. Je-li výrok A B pravdivý a A pravdivý, co lze říct o pravdivosti výroku B? 7. Je-li výrok A B nepravdivý a B nepravdivý, co lze říct o pravdivosti výroku A? Odpovědi na otázky je potřeba zažít (ale ne nabiflovat!), abyste je mohli kdykoliv v budoucnu bez přemýšlení použít. (Toto cvičení slouží k osvojení sémantiky základních spojek, zejména implikace.) Úloha 1.3 Uvažujme následující výroky: C: Budu mít více času. K: Naučím se hrát na klavír. P : Zdvojnásobím si plat. 9

10 Zapište pomocí symbolů C, K, P a logických spojek následující výroky: 1. Jestliže budu mít víc času, zdvojnásobím si plat, ale nebudu se učit hrát na klavír. 2. Jestliže budu mít víc času, pak se budu učit hrát na klavír, a když budu mít více času, pak si zdvojnásobím plat. 3. Jestliže se budu učit hrát na klavír, pak nebudu mít více času a ani si nezdvojnásobím plat. 4. Jestliže si zdvojnásobím plat a naučím se hrát na klavír, nebudu mít více času. 5. Jestliže budu mít více času, naučím se hrát na klavír, a jestli se naučím hrát na klavír, zdvojnásobím si plat. (Toto cvičení slouží k tomu, aby student byl schopen okamžitě překládat z běžné řeči do formálního jazyka výrokové logiky.) Úloha 1.4 Uvažujme následující výroky: S: Slunce svítí. V : Vítr fouká. D: Prší. T : Teplota roste. Proved te: 1. Napište česky následující složené výroky: (a) V ( S D), (b) (V D) S, (c) (V D) T, (d) (S V ) (D T ). 2. Za předpokladu, že výroky S, V, D, T jsou všechny pravdivé, zjistěte, která následující složené výroky jsou pravdivé a které ne: (a) (S V ) ( D T ), (b) (S D) (T V ), (c) ((D T ) (V S)). (Část 1. tohoto cvičení slouží k tomu, aby student byl schopen okamžitě překládat z formálního jazyka výrokové logiky do běžné řeči.) Úloha 1.5 Pomocí pravdivostní tabulky ověřte, že formule v části Tautologie jsou opravdu všechny tautologiemi. (Toto cvičení je zaměřeno k procvičení určování pravdivostních hodnot logických spojek a také k zapamatování důležitých tautologií, které budou hrát v dalším významnou roli.) 10

11 Reference [1] Bělohlávek, R., Vychodil, V., Diskrétní matematika pro informatiky I., UP Olomouc, [dostupné online: ] [2] Bělohlávek, R., Vychodil, V., Diskrétní matematika pro informatiky II., UP Olomouc, [dostupné online: ] [3] Garnier, R., Taylor, J., 100% Mathematical Proof, John Wiley & Sons, Chichester, [4] Thiele, R., Matematické důkazy, SNTL, Praha, [5] Sochor, A., Klasická matematická logika, Karolinum, Praha, [6] Švejdar, V., Logika: neúplnost, složitost a nutnost, Academia, Praha, [dostupné také online: svejdar/book/logikasve2002.pdf ] [7] Velleman, D.J., How to prove it : a structured approach, Cambridge University Press, New York, [8] Závodný, M., Úvod do matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci, Olomouc,

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá.

Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá. Výroková logika I Výroková logika se zabývá výroky. (Kdo by to byl řekl. :-)) Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá. U výroku

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává. 1 Základní pojmy matematické logiky Výrokový počet... syntaktické hledisko Predikátový počet... sémantické hledisko 1.1 VÝROKOVÝ POČET výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

Více

Výroková logika dokazatelnost

Výroková logika dokazatelnost Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových

Více

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy Formální systémy (výrokové) logiky postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy cíl: získat formální teorii jako souhrn dokazatelných

Více

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška Disjunktivní a konjunktivní normáln lní tvar formule 2.přednáška Disjunktivní normáln lní forma Definice Řekneme, že formule ( A ) je v disjunktivním normálním tvaru (formě), zkráceně v DNF, jestliže je

Více

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz)

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Logický důsledek Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Úvod P 1 Logický důsledek je hlavním předmětem zájmu logiky. Je to relace mezi premisami a závěry logicky platných úsudků: v logicky platném úsudku závěr

Více

4.9.70. Logika a studijní předpoklady

4.9.70. Logika a studijní předpoklady 4.9.70. Logika a studijní předpoklady Seminář je jednoletý, je určen pro studenty posledního ročníku čtyřletého studia, osmiletého studia a sportovní přípravy. Cílem přípravy je orientace ve formální logice,

Více

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD.

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Tematické okruhy: 1. Stručné dějiny logiky a její postavění ve vědě 2. Analýza složených výroků pomocí pravdivostní tabulky 3. Subjekt-predikátová

Více

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé?

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Jiří Močkoř University of Ostrava Department of Mathematics Institute for Research and Applications of Fuzzy Modeling 30. dubna 22,

Více

Lehký úvod do výrokové logiky (nejen pro ty, kteří se připravují na TSP MU) část první

Lehký úvod do výrokové logiky (nejen pro ty, kteří se připravují na TSP MU) část první Lehký úvod do výrokové logiky (nejen pro ty, kteří se připravují na TSP MU) část první PRACOVNÍ VERZE TEXTU, KTERÁ BUDE DÁLE UPRAVOVÁNA TEXT SLOUŽÍ PRO POTŘEBY ÚČASTNÍKŮ EMAILOVÉHO SEMINÁŘE RESENI-TSP.CZ

Více

Analytické myšlení TSP MU výroková logika II.

Analytické myšlení TSP MU výroková logika II. Analytické myšlení TSP MU výroková logika II. Lehký úvod do výrokové logiky pro všechny, kdo se hlásí na Masarykovu univerzitu Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro

Více

Seminář IVT. MS Excel, opakování funkcí

Seminář IVT. MS Excel, opakování funkcí Seminář IVT MS Excel, opakování funkcí Výuka Opakování z minulé hodiny. Založeno na výsledcích Vašich domácích úkolů, podrobné zopakování věcí, ve kterých děláte nejčastěji chyby. Nejčastější jsou následující

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

1.4.2 Složené výroky konjunkce a disjunkce

1.4.2 Složené výroky konjunkce a disjunkce 1.4.2 Složené výroky konjunkce a disjunkce Předpoklady: 1401 Složené výroky = souvětí, výroky složené z více jednoduchých výroků Výrok: Číslo 5 je sudé a je prvočíslo. Sestavený ze dvou výroků: 1. výrok:

Více

1.4.3 Složené výroky konjunkce a disjunkce

1.4.3 Složené výroky konjunkce a disjunkce 1.4.3 Složené výroky konjunkce a disjunkce Předpoklady: 010402 Složené výroky = souvětí, výroky složené z více jednoduchých výroků. Výrok: Číslo 5 je sudé a je prvočíslo. Sestavený ze dvou výroků: 1. výrok:

Více

UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. 2009 Tomáš Michek

UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. 2009 Tomáš Michek UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE 2009 Tomáš Michek Univerzita Pardubice Fakulta elektrotechniky a informatiky Program pro výuku a testování základů výrokové a

Více

Výroková logika (5) 1. Základní pojmy Ke každé větě dopište do závorky, zda věta je pravda, či nepravda.

Výroková logika (5) 1. Základní pojmy Ke každé větě dopište do závorky, zda věta je pravda, či nepravda. m_1_vyrok_priklady 6.5.011 1/9 m_1_vyrok_priklady 6.5.011 /9 Výroková logika (5) 1. Základní pojmy Ke každé větě dopište do závorky, zda věta je pravda, či nepravda. A: Číslo 6 je dělitelné 5-ti. (nepravda)

Více

Negace výroku. Příklad 1. Rozhodněte, zda jsou věty výroky, u výroků určete pravdivostní hodnotu:

Negace výroku. Příklad 1. Rozhodněte, zda jsou věty výroky, u výroků určete pravdivostní hodnotu: Základní pojmy výrokové logiky Výrok je každé sdělení, o němž má smysl říci, zda je pravdivé nebo nepravdivé. Přitom může nastat pouze jedna možnost. Výroky označujeme obvykle velkými písmeny A, B, C Pravdivému

Více

Řešení: Ano. Řešení: Ne.

Řešení: Ano. Řešení: Ne. 1 ÚLOHY Z PREDIKÁTOVÉ LOGIKY Instance, varianty. UF.1.1. Substituovatelnost. 1. Buď ϕ formule ( z)(x=z)&y < x a dále x, y, z různé proměnné, F unární funkční symbol, c konstantní symbol. Uveďte, zda je

Více

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu.

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu. 6 Kapitola 2 Příklady z predikátové logiky 2.1 Formule predikátové logiky 2.1.1 Příklad. Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Úvod do logiky (VL): 13. Axiomatické systémy VL a pojem důkazu

Úvod do logiky (VL): 13. Axiomatické systémy VL a pojem důkazu Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 13. Axiomatické systémy VL a pojem důkazu

Více

Primární a sekundární výskyt označující fráze. Martina Juříková Katedra filozofie, FF UP v Olomouci Bertrand Russell, 17. - 18. 5.

Primární a sekundární výskyt označující fráze. Martina Juříková Katedra filozofie, FF UP v Olomouci Bertrand Russell, 17. - 18. 5. Primární a sekundární výskyt označující fráze Martina Juříková Katedra filozofie, FF UP v Olomouci Bertrand Russell, 17. - 18. 5. 2012 Russellovo rozlišení jména a popisu Označující fráze Primární a sekundární

Více

Týden 11. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky.

Týden 11. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 11 Přednáška Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky. PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost Uvědomilijsmesi,ženapř.prozjištěnítoho,zdaBílýmánějakoustrategiivehřeŠACHY,

Více

NP-úplnost problému SAT

NP-úplnost problému SAT Problém SAT je definován následovně: SAT(splnitelnost booleovských formulí) Vstup: Booleovská formule ϕ. Otázka: Je ϕ splnitelná? Příklad: Formule ϕ 1 =x 1 ( x 2 x 3 )jesplnitelná: např.přiohodnocení ν,kde[x

Více

6. blok část B Vnořené dotazy

6. blok část B Vnořené dotazy 6. blok část B Vnořené dotazy Studijní cíl Tento blok je věnován práci s vnořenými dotazy. Popisuje rozdíl mezi korelovanými a nekorelovanými vnořenými dotazy a zobrazuje jejich použití. Doba nutná k nastudování

Více

7 Formátovaný výstup, třídy, objekty, pole, chyby v programech

7 Formátovaný výstup, třídy, objekty, pole, chyby v programech 7 Formátovaný výstup, třídy, objekty, pole, chyby v programech Studijní cíl Tento studijní blok má za cíl pokračovat v základních prvcích jazyka Java. Konkrétně bude věnována pozornost formátovanému výstupu,

Více

Rezoluce ve výrokové logice

Rezoluce ve výrokové logice Rezoluce ve výrokové logice Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Rezoluce ve VL 1/13 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. 2 X nesplnitelná iff X = ff. 3 Hledání kritických důsledků X syntakticky.

Více

================================================================================ =====

================================================================================ ===== Název: VY_32_INOVACE_PG4101 Základní struktura HTML stránky Datum vytvoření: 01 / 2012 Anotace: DUM seznamuje se základní strukturou a členěním HTML stránky, s jednotlivými složkami - HTML, CSS, externí

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Logika pro informatiky (a příbuzné obory)

Logika pro informatiky (a příbuzné obory) VŠB Technická univerzita Ostrava Logika pro informatiky (a příbuzné obory) učební text Doc. RNDr. Marie Duží, CSc. Ostrava 2012 Vydavatelství VŠB-TU Ostrava Vydání této publikace je spolufinancováno Evropským

Více

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Registrační číslo projektu Šablona Autor Název materiálu CZ.1.07/1.5.00/34.0951 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT Mgr. Jana

Více

TEORIE ZPRACOVÁNÍ DAT

TEORIE ZPRACOVÁNÍ DAT Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky TEORIE ZPRACOVÁNÍ DAT pro kombinované a distanční studium Jana Šarmanová Ostrava 2003 Jana Šarmanová, 2003 Fakulta

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

DSL manuál. Ing. Jan Hranáč. 27. října 2010. V této kapitole je stručný průvodce k tvorbě v systému DrdSim a (v

DSL manuál. Ing. Jan Hranáč. 27. října 2010. V této kapitole je stručný průvodce k tvorbě v systému DrdSim a (v DSL manuál Ing. Jan Hranáč 27. října 2010 V této kapitole je stručný průvodce k tvorbě v systému DrdSim a (v současné době krátký) seznam vestavěných funkcí systému. 1 Vytvoření nového dobrodružství Nejprve

Více

Deskripce a existence: uctívali Řekové olympské bohy?

Deskripce a existence: uctívali Řekové olympské bohy? Kapitola 4 Deskripce a existence: uctívali Řekové olympské bohy? Přestože jsme se v minulé kapitole zabývali subjekty a predikáty, existuje ještě jeden typ výrazů, který může vystupovat jako podmět oznamovací

Více

Numerace. Numerace je nauka, jejímž cílem je osvojení pojmu přirozené číslo.

Numerace. Numerace je nauka, jejímž cílem je osvojení pojmu přirozené číslo. Numerace Numerace je nauka, jejímž cílem je osvojení pojmu přirozené číslo. Numerace má tyto dílčí úkoly: 1) Naučit žáky číst číslice a správně vyslovovat názvy čísel. 2) Naučit žáky zapisovat čísla v

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12 Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální

Více

Kdy se narodil... Vypracovali: Mrkývka Vojtěch, Mrázek Ondřej, Novotná Marie. Předmět: PLIN08 Projekty II. Semestr: Jaro 2015

Kdy se narodil... Vypracovali: Mrkývka Vojtěch, Mrázek Ondřej, Novotná Marie. Předmět: PLIN08 Projekty II. Semestr: Jaro 2015 Kdy se narodil... Vypracovali: Mrkývka Vojtěch, Mrázek Ondřej, Novotná Marie Předmět: PLIN08 Projekty II Semestr: Jaro 2015 Vedoucí projektu: Mgr. Marek Grác, Ph.D. Úkolem tohoto projektu bylo vytvořit

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta

Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta Jan Štětina 1. prosince 2009 Cviˇcení 29.9.2009 Pojem: Sekvence je konečná posloupnost, značíme ji predikátem seq(x). lh(x) je délka sekvence

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Lineární kódy, část 2 Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG 22.12.2014: Lineární kódy, část 2 1/12 Dnešní přednáška 1 Analýza Hammingova (7, 4)-kódu.

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Matematická logika cvi ení 47

Matematická logika cvi ení 47 Matematická logika cvi ení 47 Libor B hounek www.cs.cas.cz/behounek/teaching/malog12 LS 2012/13, P F OU, 4.25. 3. 2013 Cvi ení 1. Posu te následující výroky z hlediska adekvátnosti dvojhodnotové sémantiky

Více

Seznam funkcí pro kurz EXCEL I. Jaroslav Nedoma

Seznam funkcí pro kurz EXCEL I. Jaroslav Nedoma Seznam funkcí pro kurz EXCEL I Jaroslav Nedoma 2010 Obsah ÚVOD... 3 SUMA... 4 PRŮMĚR... 6 MIN... 8 MAX... 10 POČET... 12 POČET2... 14 ZAOKROUHLIT... 16 COUNTIF... 18 SVYHLEDAT... 22 2 ÚVOD Autor zpracoval

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Matematika a její aplikace Matematika

Matematika a její aplikace Matematika Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Období ročník : Počet hodin : 165 Učební texty : Matematika a její aplikace Matematika 1. období 2. ročník Mgr. M. Novotný, F. Novák: Matýskova matematika 4.,5.,6.díl

Více

Základy fuzzy logiky 1

Základy fuzzy logiky 1 A Tutorial Základy fuzzy logiky 1 George J. Klir Petr Osička State University of New York (SUNY) Binghamton, New York 13902, USA gklir@binghamton.edu Palacky University, Olomouc, Czech Republic prepared

Více

Datové typy strana 29

Datové typy strana 29 Datové typy strana 29 3. Datové typy Jak již bylo uvedeno, Java je přísně typový jazyk, proto je vždy nutno uvést datový typ datového atributu, formálního parametru metody, návratové hodnoty metody nebo

Více

Citace v odborném textu. Jitka Kominácká

Citace v odborném textu. Jitka Kominácká Citace v odborném textu Jitka Kominácká Úvod Uvádí se pouze přímé citace Neuvádí se nepřímé citace (pravidla českého pravopisu, učebnice matematiky, slovník cizích slov, ) - nepřímé citace jsou ty, do

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

Metodický návod. pro tvůrce didaktických podpor k cizojazyčným odborným filmům

Metodický návod. pro tvůrce didaktických podpor k cizojazyčným odborným filmům Metodický návod pro tvůrce didaktických podpor k cizojazyčným odborným filmům Tento metodický návod je určen pro tvůrce didaktických podpor pro cizojazyčné odborné filmy (dále jen Tvůrce ). Didaktické

Více

ETIKA A FILOSOFIE Zkoumání zdroje a povahy mravního vědomí. METAETIKA etika o etice

ETIKA A FILOSOFIE Zkoumání zdroje a povahy mravního vědomí. METAETIKA etika o etice ETIKA A FILOSOFIE Zkoumání zdroje a povahy mravního vědomí METAETIKA etika o etice 1 Zdroje mravního vědění Hledáme, jakou povahu má naše mluvení a uvažování o etice. Co je etika ve své podstatě. Jaký

Více

Úvod do teorie dělitelnosti

Úvod do teorie dělitelnosti Úvod do teorie dělitelnosti V předchozích hodinách matematiky jste se seznámili s desítkovou soustavou. Umíte v ní zapisovat celá i desetinná čísla a provádět zpaměti i písemně základní aritmetické operace

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Několik rad pro psaní článku na Wikipedii

Několik rad pro psaní článku na Wikipedii Několik rad pro psaní článku na Wikipedii 1. Výstavba článku = jak napsat článek ve Wordu ještě předtím, než začnete přemýšlet o jeho nahrávání na Wikipedii. 2. Nahrávání na Wikipedii 3. Prameny informací

Více

Výbor textů k moderní logice

Výbor textů k moderní logice Mezi filosofií a matematikou 5 Logika 20. století: mezi filosofií a matematikou Výbor textů k moderní logice K vydání připravil a úvodními slovy opatřil Jaroslav Peregrin 2006 Mezi filosofií a matematikou

Více

Postův korespondenční problém. Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13

Postův korespondenční problém. Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13 Postův korespondenční problém Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13 Postův korespondenční problém Definice 10.1 Postův systém nad abecedou Σ je dán neprázdným seznamem S dvojic neprázdných řetězců nadσ, S = (α

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA ve studiu učitelství 1. stupně základní školy Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák Ostrava 2003 Obsah I. Úvod do teorie množin a matematické logiky

Více

Klauzulární logika. Znalostní báze. Šárka Vavrečková

Klauzulární logika. Znalostní báze. Šárka Vavrečková Klauzulární logika Znalostní báze Šárka Vavrečková Ústav informatiky, Filozoficko-přírodovědecká fakulta Slezské univerzity v Opavě sarka.vavreckova@fpf.slu.cz 26. listopadu 2007 (Znalostní báze) Klauzulární

Více

O ÚPRAVĚ RUKOPISŮ PÍSEMNÝCH PRACÍ A O CITACI DOKUMENTŮ UŽÍVANÝCH V PRACÍCH PODÁVANÝCH NA PRÁVNICKÉ FAKULTĚ MU

O ÚPRAVĚ RUKOPISŮ PÍSEMNÝCH PRACÍ A O CITACI DOKUMENTŮ UŽÍVANÝCH V PRACÍCH PODÁVANÝCH NA PRÁVNICKÉ FAKULTĚ MU Masarykova univerzita Právnická fakulta Směrnice děkana č. 1/2006 O ÚPRAVĚ RUKOPISŮ PÍSEMNÝCH PRACÍ A O CITACI DOKUMENTŮ UŽÍVANÝCH V PRACÍCH PODÁVANÝCH NA PRÁVNICKÉ FAKULTĚ MU vydaná na základě 28 odst.

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Informační

Více

Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura. Kurzy-Fido.cz. ...s námi TSP zvládnete!

Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura. Kurzy-Fido.cz. ...s námi TSP zvládnete! Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura Kurzy-Fido.cz...s námi TSP zvládnete! Řešení páté série (27.4.2009) 13. Hlavní myšlenka: efektivní porovnávání zlomků a desetinných čísel Postup: V

Více

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují.

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. .. Funkce, definiční obor funkce Předpoklady: 03 Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. Uděláme si na tabuli jenom krátký seznam: S = a, y = x, s = vt, výška lidí v

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT EU-OVK-VZ-III/2-ZÁ-208

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT EU-OVK-VZ-III/2-ZÁ-208 Číslo a název šablony Číslo didaktického materiálu Druh didaktického materiálu Autor Jazyk Téma sady didaktických materiálů Téma didaktického materiálu Vyučovací předmět Cílová skupina (ročník) Úroveň

Více

ROZHODOVACÍ PROCEDURY A VERIFIKACE PAVEL SURYNEK, KTIML HTTP://KTIML.MFF.CUNI.CZ/~SURYNEK/NAIL094

ROZHODOVACÍ PROCEDURY A VERIFIKACE PAVEL SURYNEK, KTIML HTTP://KTIML.MFF.CUNI.CZ/~SURYNEK/NAIL094 10 ROZHODOVACÍ PROCEDURY A VERIFIKACE PAVEL SURYNEK, KTIML HTTP://KTIML.MFF.CUNI.CZ/~SURYNEK/NAIL094 Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze 1 ROZHODOVÁNÍ TEORIÍ POMOCÍ SAT ŘEŠIČE (SMT)

Více

KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM

KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM CÍLE KAPITOLY Využívat pokročilé možnosti formátování, jako je podmíněné formátování, používat vlastní formát čísel a umět pracovat s listy. Používat

Více

Způsob zpracování a pokyny k obsahu a rozsahu maturitní práce

Způsob zpracování a pokyny k obsahu a rozsahu maturitní práce Způsob zpracování a pokyny k obsahu a rozsahu maturitní práce 1 Způsob zpracování práce Práce bude odevzdána ve stanoveném termínu, a to ve dvou formách: a) Dva výtisky ve svázané podobě dle uvážení studenta

Více

Rezoluce v predikátové logice

Rezoluce v predikátové logice Rezoluce v predikátové logice Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Rezoluce v PL 1/16 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. (M musí být množina sentencí, ϕ sentence.) 2 X nesplnitelná iff X =

Více

23. Splnitelnost a platnost výrokových formulí, dedukce ve výrokové logice

23. Splnitelnost a platnost výrokových formulí, dedukce ve výrokové logice Okruhy otázek k přijímacím zkouškám Studijní obor: Informační studia se zaměřením na knihovnictví A. TEORETICKÉ A METODOLOGICKÉ ZÁKLADY INFORMAČNÍ VĚDY 1. Citační etika, zásady citování a porušování citační

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

ROČNÍKOVÁ PRÁCE Z název předmětu. Název práce

ROČNÍKOVÁ PRÁCE Z název předmětu. Název práce 25 45 65 50 (VZOR ÚVODNÍCH STRÁNEK PRÁCE) Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická, Brno, Sokolská 1 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Z název předmětu Název práce 25 Studijní obor: Technické lyceum 78 42

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

ČÍSELNÉ SOUSTAVY. Číselnou soustavu, která pro reprezentaci čísel využívá pouze dvou číslic, nazýváme soustavou dvojkovou nebo binární.

ČÍSELNÉ SOUSTAVY. Číselnou soustavu, která pro reprezentaci čísel využívá pouze dvou číslic, nazýváme soustavou dvojkovou nebo binární. Číselné soustavy V běžném životě používáme soustavu desítkovou. Desítková se nazývá proto, že má deset číslic 0 až 9 a v jednom řádu tak dokáže rozlišit deset různých stavů. Mikrokontroléry (a obecně všechny

Více

Řešení úloh TSP MU prezentace k výkladům na prezenčních kurzech ZKRÁCENÁ UKÁZKA PRO WEB Analytické myšlení ročník 2011, var. 07

Řešení úloh TSP MU prezentace k výkladům na prezenčních kurzech ZKRÁCENÁ UKÁZKA PRO WEB Analytické myšlení ročník 2011, var. 07 Řešení úloh TSP MU prezentace k výkladům na prezenčních kurzech ZKRÁCENÁ UKÁZKA PRO WEB Analytické myšlení ročník 2011, var. 07 var. 07, úloha č. 51 Úloha č. 51 Víme, že polovina trasy z A do B měří na

Více

Týden 14. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost

Týden 14. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 14 Přednáška PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost Uvědomili jsme si nejprve, že např. pro zjištění toho, zda Bílý má nějakou strategii ve hře ŠACHY, která

Více

Moravské gymnázium Brno s.r.o.

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika Elementární teorie čísel Ročník 1. Datum tvorby

Více

Úvod do informačních technologií

Úvod do informačních technologií Úvod do informačních technologií přednášky Jan Outrata září prosinec 2009 (aktualizace září prosinec 2012) Jan Outrata (KI UP) Úvod do informačních technologií září prosinec 2012 1 / 58 Binární logika

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Rezoluce v predikátové logice

Rezoluce v predikátové logice Rezoluce v predikátové logice Jiří Velebil: X01DML 15. října 2010: Rezoluce v PL 1/16 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. (M musí být množina sentencí, ϕ sentence.) 2 X nesplnitelná

Více

Vědecký tutoriál, část I. A Tutorial. Vilém Vychodil (Univerzita Palackého v Olomouci)

Vědecký tutoriál, část I. A Tutorial. Vilém Vychodil (Univerzita Palackého v Olomouci) ..! POSSIBILISTIC Laboratoř pro analýzu INFORMATION: a modelování dat Vědecký tutoriál, část I A Tutorial Vilém Vychodil (Univerzita Palackého v Olomouci) George J. Klir State University of New York (SUNY)

Více

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly.

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly. Kapitola Reprezentace grafu V kapitole?? jsme se dozvěděli, co to jsou grafy a k čemu jsou dobré. rzo budeme chtít napsat nějaký program, který s grafy pracuje. le jak si takový graf uložit do počítače?

Více

Definiční obor funkce, obor hodnot funkce. Funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště. Digitální učební materiály, 2012-14

Definiční obor funkce, obor hodnot funkce. Funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště. Digitální učební materiály, 2012-14 Funkce Definiční obor funkce, obor hodnot funkce Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště Digitální učební materiály, 01-14 Obsah 1 Definiční obor funkce příklady na určení oboru hodnot funkce

Více

Kapitola 3: Relační model. Základní struktura. Relační schéma. Instance relace

Kapitola 3: Relační model. Základní struktura. Relační schéma. Instance relace - 3.1 - Struktura relačních databází Relační algebra n-ticový relační kalkul Doménový relační kalkul Rozšířené operace relační algebry Modifikace databáze Pohledy Kapitola 3: Relační model Základní struktura

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Vývojové diagramy 1/7

Vývojové diagramy 1/7 Vývojové diagramy 1/7 2 Vývojové diagramy Vývojový diagram je symbolický algoritmický jazyk, který se používá pro názorné zobrazení algoritmu zpracování informací a případnou stručnou publikaci programů.

Více

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika O FUNKCÍCH Obsah Nezbytně nutná kapitola, kterou musíte znát pro studium limit, derivací a integrálů. Základ, bez kterého se neobejdete. Nejprve se seznámíte se všemi typy funkcí, které budete potřebovat,

Více

český jazyk a literatura

český jazyk a literatura 1 český jazyk a literatura český jazyk a literatura Učivo Praktické čtení - pozorné, plynulé, přiměřeně rychlé, čtení hlasité i tiché, s porozuměním Zdokonalování techniky čtení Porozumění přiměřeným textům

Více

Problematika zaměstnanosti

Problematika zaměstnanosti Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Břeclav, sady 28. října 1 Problematika zaměstnanosti (seminární práce ze Základů společenských věd) Zpracovala: Alena Nováková Třída: 8.A Břeclav,

Více

RELAČNÍ DATABÁZE ACCESS

RELAČNÍ DATABÁZE ACCESS RELAČNÍ DATABÁZE ACCESS 1. Úvod... 2 2. Základní pojmy... 3 3. Vytvoření databáze... 5 4. Základní objekty databáze... 6 5. Návrhové zobrazení tabulky... 7 6. Vytváření tabulek... 7 6.1. Vytvoření tabulky

Více

Obsahy. Trojúhelník = + + 2

Obsahy. Trojúhelník = + + 2 Obsahy Obsah nám říká, jak velkou plochu daný útvar zaujímá. Třeba jak velký máme byt nebo pozemek kolik metrů čtverečných (m 2 ), hektarů (ha), centimetrů čtverečných (cm 2 ), Základní jednotkou obsahu

Více

Čtvrtek 3. listopadu. Makra v Excelu. Obecná definice makra: Spouštění makra: Druhy maker, způsoby tvorby a jejich ukládání

Čtvrtek 3. listopadu. Makra v Excelu. Obecná definice makra: Spouštění makra: Druhy maker, způsoby tvorby a jejich ukládání Čtvrtek 3. listopadu Makra v Excelu Obecná definice makra: Podle definice je makro strukturovanou definicí jedné nebo několika akcí, které chceme, aby MS Excel vykonal jako odezvu na nějakou námi definovanou

Více

Modely datové. Další úrovní je logická úroveň Databázové modely Relační, Síťový, Hierarchický. Na fyzické úrovni se jedná o množinu souborů.

Modely datové. Další úrovní je logická úroveň Databázové modely Relační, Síťový, Hierarchický. Na fyzické úrovni se jedná o množinu souborů. Modely datové Existují různé úrovně pohledu na data. Nejvyšší úroveň je úroveň, která zachycuje pouze vztahy a struktury dat samotných. Konceptuální model - E-R model. Další úrovní je logická úroveň Databázové

Více