Logika I. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
|
|
- Romana Burešová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Logika I. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální fond. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 1 / 36
2 Logika I. Význam, historie, jazyk, formule Formule výrokové logiky. Pravdivostní tabulky. Tautologie, kontradikce, splnitelnost. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 2 / 36
3 Literatura Švejdar, V., Logika - neúplnost, složitost a nutnost, Academia, Praha, Sochor, A., Logika pro všechny ochotné myslet, Karolinum, Praha, Demlová, M., Mathematical Logic, ČVUT, Praha: Kernberg Publishing, 2008 Mendelson, E. Introduction to Mathematical Logic, Chapman and Hall, Copi, I.M. Symbolic Logic, The Macmilian Company, London, Smullyan, R., Jak se jmenuje tahle knížka?, Navěky nerozhodnuto, Satan, Cantor a nekonečno,... RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 3 / 36
4 Význam logiky 1 Správné logické úsudky v přirozeném jazyce. 2 Zkoumání logických zákonů 3 Zkoumání logických systémů. NDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 4 / 36
5 Jestliže jsem nemocný, mám horečku. Mám horečku. Jsem tedy nemocný. Ne. Všichni studenti jsou inteligentní. Někteří inteligentní lidé jsou podivíni. Plyne z toho, že někteří studenti jsou podivíni? Ne. Jediná kniha, kterou jsem kdy četl, je Pán prstenů. Co je opakem tohoto tvrzení neboli co platí, jestliže lžu? Nečetl jsem žádnou knihu, nebo jsem četl jinou knihu, nebo jsem četl ještě další knihu. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 5 / 36
6 1 Antické Řecko ( stol. př. Kr.) 2 Středověk ( století) 3 Moderní logika ( století) Tam také v Egyptě byla poprvé objevena dialektika. Parmenidés se vyhýbal městům a lidem, strávil dlouhou dobu na skále aby promyslel dialektiku. (Hugo ze St.Victor, 12. stol.) Dialektika (dialegesthai = diskutovat) RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 6 / 36
7 Parmenidés a Zenón Parmenidés - není mnohost, je jen jedno Zenón - paradoxy Je-li jsoucen mnoho, je nutno, aby jich bylo tolik, kolik jich jest, ani více, ani méně. A je-li jich tolik, kolik jich jest, byla by počtem omezena. Je-li jsoucen mnoho, jsou počtem neomezena, neboť vždy jsou mezi jsoucny jiná a mezi těmi zas jiná, a tak jsou počtem neomezena. Je-li nemožno, aby byla mnohost, a je-li nutno, aby bylo buď jedno, nebo mnohost, a nemůže-li býti mnohost, zbývá, že je jedno. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 7 / 36
8 Aristotelés Základní zákony logiky zákon vyloučení sporu zákon vyloučeného třetího zákon identity NDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 8 / 36
9 Aristotelské typy soudů S je P. Všechna/některá S jsou/nejsou P. Kladné Záporné A E Obecné Všechna s jsou p. Žádná s nejsou p. Všechny kočky jsou šelmy. Žádné kočky nejsou šelmy. I O Částečné Některá s jsou p. Některá s nejsou p. Některé kočky jsou šelmy. Některé kočky nejsou šelmy. Kontradikce: A a O, E a I. Subsumpce: z A plyne I, z E plyne O. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 9 / 36
10 Sylogistika Ze dvou soudů (předpokladů) odvodíme třetí soud (závěr). Kdy je platný? Každá kočka je šelma. Každá šelma je zvíře. Tudíž každá kočka je zvíře. BARBARA. Žádný člověk není zvíře. Některé zvíře je šelma. Tudíž některá šelma není člověk. FRESISON. Tudíž některý člověk není šelma. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 10 / 36
11 Megarská škola Eubulides, Diodoros z Kronu, Filo z Megary (4. stol. B.C.) Člověk o sobě říká, že lže. Mluví pravdu nebo lže? Člověk, který má hlavu porostlou vlasy, není holohlavý. Vytrhneme-li mu jeden vlas, nestane se holohlavým. Avšak pokračujeme-li v tomto procesu, holohlavým se časem stane. Co jsi neztratil, to máš. Ale neztratil jsi rohy. Tedy je máš. Tento člověk je švec. Tento člověk je dobrý. Tudíž tento člověk je dobrý švec. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 11 / 36
12 Stoicko-megarská škola Zenón z Kitia, Chrysippos ( stol. B.C.) 1 Jestliže prvé, pak druhé, avšak prvé, tudíž druhé. 2 Jestliže prvé, pak druhé, avšak ne druhé, tudíž ne prvé. 3 Ne zároveň prvé a druhé, avšak prvé, tudíž ne druhé. 4 Buď jen prvé, nebo jen druhé, ale prvé, tudíž ne druhé. 5 Buď jen prvé, nebo jen druhé, ale ne druhé, tudíž prvé. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 12 / 36
13 G.W.Leibniz ( ) Mathesis universalis. Universální jazyk - characteristica universalis Platná odvozovací pravidla - calculus ratiocinator Ariadnina niť: Calculemus! NDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 13 / 36
14 B. Bolzano ( ) A 1 : Existuje alespoň jedna pravdivá věta. A n+1 : Věta A n je pravdivá. Existuje nekonečně pravdivých vět. Vědosloví. O logice. NDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 14 / 36
15 G. Frege ( ) Formalizace jazyka: spojky, kvantifikátory, proměnné, relace Axiomatický systém: 6 axiomů + 1 odvozovací pravidlo Důkaz: posloupnost formuĺı. Logicismus. Begrifftschrift, Die Grundlagen der Arithmetik. NDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 15 / 36
16 D. Hilbert ( ) Hilbertův program Formalizace matematických i jiných discipĺın. Převedení do axiomatického tvaru. Důkaz bezespornosti formálního systému. NDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 16 / 36
17 Kurt Gődel ( ) Věty o neúplnosti. V každé teorii T, která obsahuje aritmetiku, existuje nedokazatelné tvrzení. Nelze dokázat bezespornost teorie obsahující aritmetiku. NDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 17 / 36
18 Neklasické logiky Intuicionistická logika: nepřijímá princip vyloučeného třetího. Konstruktivistická matematika. (J.Brouwer) Modální logika: přidává predikát je možné, je nutné. Je možné, že P = Není nutné, že ne-p. Je nutné, že P = Není možné, že ne-p (Aristotelés, W.Ockham, J.D. Scottus, Saul Kripke) Fuzzy-logika: pravdivostní hodnota výroku leží mezi 0 a 1. (L.Zadeh, J.Lukasiewicz, K.Gödel, P.Hájek, Pavelka) RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 18 / 36
19 Výroková logika Definice Prvotní výrok je jednoduchá oznamovací věta, u které má smysl se ptát, zda je či není pravdivá. Prvotní výroky označujeme velkými tiskacími písmeny A, B,...A 1, A 2,..., kterým říkáme prvotní formule. A: Je rok B: = 5. C: Studuji FIT. P: Prší. A 1 : Bitva u Hastingsu byla v roce A 2 : Bitva na Bílé hoře byla v roce Množina prvotních výroků: { Je rok 2011., = 5.,... } Množina prvotních formuĺı: {A, B, C, P, A 1, A 2 } RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 19 / 36
20 Pravdivostní hodnota Definice Pravdivostní ohodnocení množiny prvotních výroků je funkce v z množiny prvotních formuĺı do množiny {0, 1}. Výroku A přiřadí pravdivostní hodnotu 1, jestliže je pravdivý, v(a) = 1. Výroku A přiřadí pravdivostní hodnotu 0, jestliže je nepravdivý, v(a) = 0. A: Je rok v(a) = 1. B: = 5. v(b) = 0. C: Studuji FIT. v(c) = 1. P: Prší. v(p) = 0 (?) K: Půjdu do kina. (?) A 1 : Bitva u Hastingsu byla v roce v(a 1 ) = 1. A 2 : Bitva u Bílé hory byla v roce v(a 2 ) = 0. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 20 / 36
21 1. Negace A: Není pravda, že A. A je nepravdivé. A: Je rok v(a) = 1 A: Není pravda, že je rok Není rok v( A) = 0 B: = 5. v(b) = 0 B: v( B) = 1 A A RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 21 / 36
22 2. Konjunkce A B: A a B. A C: Je rok 2011 a studuji FIT. v(a C) = 1 A 1 A 2 : Bitva u Hastingsu byla v roce 1066 a bitva na Bílé hoře v roce v(a 1 A 2 ) = 0 A B A B RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 22 / 36
23 3. Disjunkce A B: A nebo B. A C: Je rok 2011 nebo studuji FIT. v(a C) = 1 A 1 A 2 : Bitva u Hastingsu byla v roce 1066 nebo bitva na Bílé hoře v roce v(a 1 A 2 ) = 1 A B A B RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 23 / 36
24 4. Implikace A B: Z A plyne B. Jestliže A, pak B. A implikuje B. P: Prší. K: Jdu do kina. P K: Jestliže prší, pak jdu do kina. Prší a jdu do kina. v(p K) = 1 Neprší a jdu do kina. v(p K) = 1 Prší a nejdu do kina. v(p K) = 0 Neprší a nejdu do kina. v(p K) = 1 A B A B RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 24 / 36
25 5. Ekvivalence A B: A právě tehdy, když B. A tehdy a jen tehdy, když B. A je ekvivalentní s B. P K: Jdu do kina právě tehdy, když prší. Jdu do kina vždy, když prší. Jdu do kina a prší. v(p K) = 1 Jdu do kina a neprší. v(p K) = 0 Nejdu do kina a prší. v(p K) = 0 Nejdu do kina a neprší. v(p K) = 1 A B A B RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 25 / 36
26 Formule výrokové logiky Definice Jazyk výrokové logiky obsahuje: množina prvotních formuĺı A, B, C,..., logické spojky,,,,, závorky (, ). Definice Výroková formule: I. Prvotní formule je výroková formule. II. Jsou-li A, B výrokové formule, pak jsou i A, (A B), (A B), (A B), (A B) výrokové formule. III. Každá výroková formule vznikne konečným užitím pravidel I. a II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 26 / 36
27 Pravdivostní hodnota Definice Je-li dáno pravdivostní ohodnocení prvotních formuĺı, pak pravdivostní hodnotu výrokové formule určíme dle následující tabulky: A B A A B A B A B A B RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 27 / 36
28 Pravdivostní tabulky pro dvě prvotní formule A (B A) A B A B A (A (B A)) A (B A) A B RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 28 / 36
29 Pravdivostní tabulky pro tři prvotní formule A ( B C) A ( B C) RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 29 / 36
30 Pravdivostní tabulky pro n prvotních formuĺı 1 prvotní formule - 2 řádky tabulky 2 prvotní formule - 4 řádky tabulky 3 prvotní formule - 8 řádek tabulky n prvotních formuĺı - 2 n možných ohodnocení - 2 n řádků tabulky RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 30 / 36
31 Ostrov poctivců a padouchů Poctivci mluví vždy pravdu, padouši vždy lžou. 1 Zde máme dva obyvatele ostrova A,B. A prohlásí: Pokud je B poctivec, pak já jsem padouch. - A (B A). 2 Tentokrát A řekne: Buď já jsem padouch nebo je B poctivec. - A ( A B). 3 Potkal jsem dva, kteří odpočívali pod stromem. Zeptal jsem se: Je mezi vámi poctivec? Odpověděl, a já znal správnou odpověď na svou otázku. Kdo byl ten, kterého jsem se zeptal? A co ten druhý? 4 Jste v jeskyni na ostrově poctivců a padouchů. Z této jeskyně vedou dva východy. Jeden východ vede na svobodu, druhý na smrt. Před každým z nich stojí domorodý strážce. Můžete mu položit pouze jednu otázku, abyste se dozvěděl/a, jak se zachránit. Jakou? RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 31 / 36
Cvičení z logiky I. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Cvičení z logiky I. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský
VíceLogika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
VíceCvičení z logiky II.
Cvičení z logiky II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 https://edux.fit.cvut.cz/courses/bi-mlo/lectures/
VíceLogika III. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika III. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
VíceKterá tvrzení jsou pravdivá nezávisle na tom, který den v týdnu byla vyslovena? Tvrzení trosečníka Dana.
Trosečníci Adam, Barry, Code a Dan zapoměli po čase kalendář. Začali se dohadovat, který den v týdnu vlastně je. Každý z nich řekl svůj názor: A: Dnes je úterý nebo zítra je neděle B: Dnes není úterý nebo
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška první Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
VíceUNIVERZITA KARLOVA V PRAZE. Pedagogická fakulta. Katedra matematiky a didaktiky matematiky. Metody řešení slovních úloh pomocí logiky
UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE Pedagogická fakulta Katedra matematiky a didaktiky matematiky Metody řešení slovních úloh pomocí logiky Autor: Helena Bartlová Vedoucí práce: Prof. RNDr. Jarmila Novotná, CSc.
VíceLogika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
VíceJak je důležité být fuzzy
100 vědců do SŠ 1. intenzivní škola Olomouc, 21. 22. 6. 2012 Jak je důležité být fuzzy Libor Běhounek Ústav informatiky AV ČR 1. Úvod Klasická logika Logika se zabývá pravdivostí výroků a jejím přenášením
VíceZáklady informatiky. Výroková logika
Základy informatiky Výroková logika Zpracoval: Upravila: Ing. Pavel Děrgel Daniela Sztrucová Obsah přednášky Výroková logika Výroky Pravdivostní ohodnocení Logické spojky Výrokově logická analýza Aristotelés
VíceSystém přirozené dedukce výrokové logiky
Systém přirozené dedukce výrokové logiky Korektnost, úplnost a bezespornost Šárka Vavrečková Ústav informatiky, FPF SU Opava Poslední aktualizace: 6. října 2008 Věta o korektnosti Věta (O korektnosti Systému
VíceVýroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Výroková logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to formalismus a co je jeho cílem? Formulujte Russelův paradox
VíceZáklady logiky a teorie množin
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin (I/2007) 1 1 Struktura přednášky Matematická logika 2 Výroková logika Základy logiky a teorie množin Petr Pajas pajas@matfyz.cz Predikátová logika 1. řádu
VíceImplikace letitá, ale stále atraktivní dáma
Implikace letitá, ale stále atraktivní dáma Jan Kábrt Proč se zajímat o logiku a v ní právě o implikaci? Mimo jiné pro souvislost s takovými oblastmi lidského myšlení, jako jsou matematika, ostatní přírodní
VíceMatematika pro informatiky KMA/MATA
Matematika pro informatiky KMA/MATA Informace k předmětu Mgr. Přemysl Rosa rosapr00@pf.jcu.cz, J349 Konzultační hodiny v ZS: úterý 10-11, čtvrtek 15-16 nebo individuálně po předchozí domluvě aktivní účast
VíceDISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY I
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY I RADIM BĚLOHLÁVEK, VILÉM VYCHODIL VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM
VíceJazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
VíceFormální systém výrokové logiky
Formální systém výrokové logiky 1.Jazyk výrokové logiky Nechť P = {p,q,r, } je neprázdná množina symbolů, které nazýváme prvotní formule. Symboly jazyka L P výrokové logiky jsou : a) prvky množiny P, b)
VíceRejstřík. anotace 167 krok 167 nepřímý 169 podmiňovaný 181 rezolucí 210 rozborem případů 170 sporem 170 z hypotéz 167 z předpokladů 167 Duns Scotus 79
Rejstřík Rejstřík A antecedent 27 Aristotelés 13 axiom 163 nezávislá množina 164 axiomatické systémy 163 axiom distributivity 222 axiomová schémata 164 B Beth 197 bezesporný 171 Bolzano 14 booleovské funktory
VíceLOGIKA VÝROKOVÁ LOGIKA
LOGIKA Popisuje pravidla odvozování jedněch tvrzení z druhých. Je to myšlenková cesta ke správným závěrům. Vznikla jako součást filosofie. Zakladatelem byl Aristoteles. VÝROKOVÁ LOGIKA Obsahuje syntaktická,
VíceMatematická logika. Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou. Petr Cintula. Ústav informatiky Akademie věd České republiky
Matematická logika Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou Petr Cintula Ústav informatiky Akademie věd České republiky www.cs.cas.cz/cintula/mal Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická
VíceSložené výroky Jsou tvořeny dvěma nebo více výroky jednoduššími. V : Číslo 8 je liché. V : 0,1 N. V : Paříž je hl. město Španělska.
Výrok a jeho negace Výrokem se rozumí sdělení u něhož má smysl otázka zda je či není pravdivé. Budeme určovat tzv. pravdivostní hodnotu výroku (PH). Příklady výroků: V : Úhlopříčky čtverce jsou na sebe
VíceÚvod do logiky. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 23
Úvod do logiky (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/28.0216 2013 1 / 23 Co je logika? Čeho se týkají logické zákony? Tři možnosti: (1) světa (2) myšlení (3) jazyka (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/28.0216
VíceMatematická logika. Rostislav Horčík. horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Sémantická věta o dedukci Věta Pro
VíceKaždé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α
1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny
VíceLogika. 6. Axiomatický systém výrokové logiky
Logika 6. Axiomatický systém výrokové logiky RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216,
VíceKlasická predikátová logika
Klasická predikátová logika Matematická logika, LS 2012/13, závěrečná přednáška Libor Běhounek www.cs.cas.cz/behounek/teaching/malog12 PřF OU, 6. 5. 2013 Symboly klasické predikátové logiky Poznámky Motivace
Více09. seminář logika (úvod, výroková).notebook. November 30, 2011. Logika
Logika 1 Logika Slovo logika se v češtině běžně používá ve smyslu myšlenková cesta, která vedla k daným závěrům. Logika je formální věda, zkoumající právě onen způsob vyvozování závěrů. Za zakladatele
VíceGödelovy věty o neúplnosti
Gödelovy věty o neúplnosti Miloš Jakubíček PB016 Úvod do umělé inteligence Fakulta informatiky, Masarykova univerzita 23. listopadu 2007 1 Gödel & historie Kurt Gödel Historický kontext 2 Jazyk a metajazyk
VíceLogika. 2. Výroková logika. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.
Logika 2. Výroková logika RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216, Logika:
VíceKMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura
Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 2 Výroková logika pokračování Logické vyplývání
Více1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7
1 Výroková logika 1 Výroková logika 1 2 Predikátová logika 3 3 Důkazy matematických vět 4 4 Doporučená literatura 7 Definice 1.1 Výrokem rozumíme každé sdělení, o kterém má smysl uvažovat, zda je, či není
VíceMNOŽINY. x A. Jeho varianty paradox mostu se šibenicí, paradox holiče.
MNOŽINY Naivní definice (pojetí): Množina [set] je přesně definovaný soubor prvků, které mají nějakou vlastnost. O čemkoliv je třeba umět jednoznačně rozhodnout, zda do dané množiny patří či nikoliv. Vztah
Více1. Predikátová logika jako prostedek reprezentace znalostí
1. Predikátová logika jako prostedek reprezentace znalostí 1.1 Historie výrokové logiky Problém explicitních znalostí a údaj, kterých je obrovské množství, vedl ke vzniku výrokové logiky. lovk si obecn
VíceVysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. Matematika. Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám
Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Matematika Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám Doc. PaedDr. Dalibor Martišek, Ph.D. RNDr. Milana Faltusová 5 Autoři: Lektorovala: Doc.
VíceBooleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony.
Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz
VíceKlasická výroková logika - tabulková metoda
1 Klasická výroková logika - tabulková metoda Na úrovni výrokové logiky budeme interpretací rozumět každé přiřazení pravdivostních hodnot výrokovým parametrům. (V případě přiřazení pravdivostních hodnot
VíceMatematická indukce, sumy a produkty, matematická logika
Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika 8.9. -.0.009 Matematická indukce Jde o následující vlastnost přirozených čísel: Předpokládejme:. Nějaké tvrzení platí pro.. Platí-li tvrzení pro
VíceVečerní kurzy matematiky Letní studentská konference Tudy Cesta Nevede
Večerní kurzy matematiky Letní studentská konference Tudy Cesta Nevede 1 Výroková logika výroky:a,b pravdivost výroku: 0 nepravda, 1 pravda logické spojky: A negace A A B konjunkce A B disjunkce A B implikace
VíceÚvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce
Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 Úvod do teoretické informatiky (logika) Naivní teorie množin Co je to množina? Množina je soubor prvků
Více1. Základy logiky a teorie množin
. Základy logiky a teorie množin Studijní text. Základy logiky a teorie množin A. Logika Matematická logika vznikla v 9. století. Jejím zakladatelem byl anglický matematik G. Boole (85 864). Boole prosadil
Vícepřednáška 2 Marie Duží
Logika v praxi přednáška 2 Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 1 Výroková logika Analyzuje způsoby skládání jednoduchých výroků do výroků složených pomocí logických spojek. Co je to výrok? Výrok je tvrzení,
Víceteorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce
Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
VíceMatematická logika. 1
Matematická logika. 1 Obsah 1. Úvod... 2 2. Výroková logika... 8 2.1. Sémantický výklad výrokové logiky.... 8 Převod z přirozeného jazyka do symbolického jazyka výrokové logiky:... 10 Výrokově logická
VíceJak jsem potkal logiku. Převod formule do (úplného) disjunktivního tvaru. Jan Hora
Česká zemědělská univerzita 17. října 2011 U makléře Já: Dobrý den, rád bych koupil nějaký světlý byt. Chtěl bych, aby měl dvě koupelny a aby byl v domě výtah. A neměl by být nijak extrémně drahý. Makléř:
VíceSpojování výroků (podmínek) logickými spojkami
Spojování výroků (podmínek) logickými spojkami Spojování výroků logickými spojkami a) Konjunkce - spojení A B; Pravdivostní tabulka konjunkce A B A B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 AND; A a současně B Konjunkce
VíceLOGIKA A TEORIE MNOŽIN
Poznámka: Tento text vzniká jako materiál k přednášce Logika a teorie množin na MFFUKvPraze.Jelikožjdeotextvefázivzniku,obsahujejistěřadunedostatků, které budou průběžně odstraňovány, stejně jako se text
VíceStefan Ratschan. Fakulta informačních technologíı. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Logika pro každodenní přežití Stefan Ratschan Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
VícePravda jako funkce - ano, nebo ne?
Pravda jako funkce - ano, nebo ne? Nehledě na to, jestli jsou pravidla pro logickou platnost zabudována v našem myšlení, nebo nikoliv, máme velmi silné intuice o platnosti a neplatnosti nejrůznějších úsudků.
VíceMatematická logika. Rostislav Horčík. horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 18 Predikátová logika Motivace Výroková
VíceVY_42_Inovace_12_MA_2.01_ Výroky. Prezentace určena pro první ročník maturitních oborů, ve které je vysvětlení učiva výroky.
Číslo projektu Číslo materiálu CZ.1.07/1.5.00/34.0394 VY_42_Inovace_12_MA_2.01_ Výroky Název školy Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Hustopeče, Masarykovo nám. 1 Autor Tematický celek Mgr.
VíceKMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura
Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 1 Cílem tohoto semináře je efektivní uvedení
Vícevýrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.
1 Základní pojmy matematické logiky Výrokový počet... syntaktické hledisko Predikátový počet... sémantické hledisko 1.1 VÝROKOVÝ POČET výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.
VíceVýroková logika. Sémantika výrokové logiky
Výroková logika Výroková logika se zabývá vztahy mezi dále neanalyzovanými elementárními výroky. Nezabývá se smyslem těchto elementárních výroků, zkoumá pouze vztahy mezi nimi. Elementární výrok je takový
VíceNormální formy. (provizorní text)
Normální formy (provizorní text) Výrokový počet Definice. Jazyk výrokového počtu obsahuje výrokové proměnné p, q, r, s,..., spojky,,,.. a závorky (,). Výrokové proměnné jsou formule. Jestliže a jsou formule,
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška první Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Co a k čemu je logika? 2 Výroky a logické spojky
VíceMatematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů
Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Motto: Matematika je tvořena z 50 procent formulemi, z 50 procent důkazy a z 50 procent představivostí.
Více1. Dvě mince dávají dohromady 3 koruny, i když jedna z nich není koruna. Co je to za mince?
1. Dvě mince dávají dohromady 3 koruny, i když jedna z nich není koruna. Co je to za mince? 2. V pokoji je tma a v zásuvce prádelníku je čtyřiadvacet červených a čtyřiadvacet modrých ponožek. Kolik nejméně
VícePřevyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha
Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Technické podrobnosti Důkaz: Konečná posloupnost výrokůkorektně utvořených formulí nějakého logického kalkulu), z nichž každý jelogickým) axiomem, postulátemteorie),
VíceKaretní hra bridž jako úloha modální výrokové logiky
bakalářská práce Karetní hra bridž jako úloha modální výrokové logiky Rudolf J. Szadkowski Červen 2013 Prof. RNDr. Olga Štěpánková, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická, Katedra
VíceCvičení ke kursu Klasická logika II
Cvičení ke kursu Klasická logika II (12. května 2017) 1. Nechť P a Q jsou unární a R binární predikát. Dokažte, že následující formule jsou logicky platné, ale obrátíme-li (vnější) implikaci, ve všech
VíceVýroková a predikátová logika - I
Výroková a predikátová logika - I Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2019/2020 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - I ZS 2019/2020 1 / 19 K čemu je logika? Pro matematiky: matematika o matematice.
Víceλογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč )
MATA P1: Výroky, množiny a operace s nimi Matematická logika (z řeckého slova λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč ) Výrok primitivní pojem matematické logiky. Tvrzení, pro které má smysl otázka o jeho
Víceprof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010
Základní pojmy prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy
VíceZáklady matematické logiky
OBSAH 1 Základy matematické logiky Obsah 1 Úvod 2 1.1 Předmět matematiky.......................... 2 1.2 Nástin historie.............................. 2 1.3 Axiomatická výstavba matematických teorií.............
Více2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC
22 SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC V této kapitole se dozvíte: jak je definováno sčítání matic a jaké má základní vlastnosti jak je definováno násobení matic číslem a jaké má základní vlastnosti zda a proč se
VíceÚvod do logiky a logického programování.
Úvod do logiky a logického programování Luboš Popelínský popel@fi.muni.cz www.fi.muni.cz/~popel Přehled učiva Opakování základů výrokové a predikátové logiky Normální formy ve výrokové a predikátové logice
VíceÚvod do logiky (VL): 2. Uvedení do výrokové logiky
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 2. Uvedení do výrokové logiky doc. PhDr. Jiří
VíceÚvod do logiky (VL): 8. Negace výroků
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 8. Negace výroků doc. PhDr. Jiří Raclavský,
VíceCvičení 4. negace konjunkce disjunkce implikace ekvivalence. a) Najděte UDNF, UKNF a stanovte log. důsledky. 1) [p (p q)] [( p q) (q p)]
Cvičení 4 negace konjunkce disjunkce implikace ekvivalence a) Najděte UDNF, UKNF a stanovte log. důsledky 1) [p (p q)] [( p q) (q p)] p q p q p q q p p A B C D E UEK UED A B C D E F 0 0 1 1 0 0 0 1 p q
VíceLogika 5. Základní zadání k sérii otázek: V uvedených tezích doplňte z nabízených adekvátní pojem, termín, slovo. Otázka číslo: 1. Logika je věda o...
Logika 5 Základní zadání k sérii otázek: V uvedených tezích doplňte z nabízených adekvátní pojem, termín, slovo. Otázka číslo: 1 Logika je věda o.... slovech správném myšlení myšlení Otázka číslo: 2 Základy
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
VíceEkvivalence. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 5
doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 5 Evropský sociální fond.
Více1. Základy logiky a teorie množin
1. Základy logiky a teorie množin A. Logika Matematická logika vznikla v 19. století. Jejím zakladatelem byl anglický matematik G. Boole (1815 1864). Boole prosadil algebraické pojetí logiky a zavedl logické
VíceVÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu
VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632
VíceNegace bázového atomu Negace atomu s existenčním termem Negace klauzule Negace množiny klauzulí Predikát rovnosti. Klauzulární logika
Vlastnosti klauzulí, negace Šárka Vavrečková Ústav informatiky, Filozoficko-přírodovědecká fakulta Slezské univerzity v Opavě sarka.vavreckova@fpf.slu.cz 27. října 2008 Věta o transferu bázového atomu
VíceVÝROKOVÁ LOGIKA. Výrok srozumitelná oznamovací věta (výraz, sdělení), která může být buď jen pravdivá nebo jen nepravdivá..
VÝROKOVÁ LOGIKA Teorie: Logika je vědní obor zabývající se studiem různých forem vyjadřování a pravidel správného posuzování. (Matematická logika je součástí tohoto vědního oboru a ve velké míře užívá
VíceÚvod do výrokové a predikátové logiky
Úvod do výrokové a predikátové logiky Eva Ondráčková Na této přednášce se seznámíte se základy výrokové a predikátové logiky. Zjistíte, že podstatou logiky není vyplňování pravdivostních tabulek ani negování
VíceM - Výroková logika VARIACE
M - Výroková logika Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a další šíření povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2013/2014 1 / 20 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
VíceEvropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti MI-SOC: 11 METODY VERIFIKACE SYSTÉMŮ NA ČIPU Hana Kubátov vá doc. Ing. Hana Kubátová, CSc. Katedra číslicového návrhu Fakulta 1 informačních
Více1. Matematická logika
MATEMATICKÝ JAZYK Jazyk slouží člověku k vyjádření soudů a myšlenek. Jeho psaná forma má tvar vět. Každá vědní disciplína si vytváří svůj specifický jazyk v úzké návaznosti na jazyk živý. I matematika
VíceVysoká škola ekonomická v Praze
Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta informatiky a statistiky Katedra informačního a znalostního inženýrství Student Vedoucí bakalářské práce : Marek Nekvasil : RNDr. Jiřina Vejnarová, CSc. TÉMA BAKALÁŘSKÉ
Vícepostaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy
Formální systémy (výrokové) logiky postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy cíl: získat formální teorii jako souhrn dokazatelných
VícePo prostudování této kapitoly byste měli porozumět základním definicím uvedených v této kapitole a měli je umět bezchybně interpretovat,
1 Matematická logika 1.1 Výroky, operace s výroky Po prostudování této kapitoly byste měli porozumět základním definicím uvedených v této kapitole a měli je umět bezchybně interpretovat, měli být schopni
VíceHistorie matematiky a informatiky Cvičení 2
Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic
VíceMatematické symboly a značky
Matematické symboly a značky Z Wikipedie, otevřené encyklopedie Matematický symbol je libovolný znak, používaný v. Může to být znaménko pro označení operace s množinami, jejich prvky, čísly či jinými objekty,
VíceZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE
ZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE Metodický list č. 1 Téma: Předmět logiky a metodologie, základy logiky a formalizace. Toto téma lze rozdělit do tří základních tématických oblastí: 1) Předmět logiky a metodologie
VíceMatematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:
Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní
VíceZákladní pojmy matematické logiky
KAPITOLA 1 Základní pojmy matematické logiky Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. 1. Výroková logika Co je
VíceTeoretická informatika Tomáš Foltýnek Úvod do předmětu Formalismus a jeho užití Teorie a axiomy
Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Úvod do předmětu Formalismus a jeho užití Teorie a axiomy 2 Cíle předmětu Poskytnout dostatečné teoretické zázemí Dát jiný pohled na informatiku Odlišit inženýra
VíceHistorie matematiky a informatiky Cvičení 1
Historie matematiky a informatiky Cvičení 1 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Kapitola z teorie čísel Co
Více1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY
. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY Průvodce studiem V následující kapitole si připomeneme některé význačné poznatky z matematické logiky a teorie množin, tvořící základ množinově logického aparátu. S celou
Vícevhodná pro strojové dokazování (Prolog) metoda založená na vyvracení: dokazuje se nesplnitelnost formulí
Rezoluce: další formální systém vhodná pro strojové dokazování (Prolog) metoda založená na vyvracení: dokazuje se nesplnitelnost formulí pracujeme s formulemi v nkf (též klauzulárním tvaru), ale používáme
VíceStručný úvod do problematiky Gödelových vět o neúplnosti
Stručný úvod do problematiky Gödelových vět o neúplnosti Úvod Miloš Jakubíček Následující text si klade za cíl zasvětit čtenáře do problematiky, jež je zpravidla zahrnována mezi nejtěžší oblasti disciplíny
VíceEdita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY
Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................
VíceVýroková logika - opakování
- opakování ormální zavedení Výroková formule: Máme neprázdnou nejvýše spočetnou množinu A výrokových proměnných. 1. Každá proměnná je výroková formule 2. Když α, β jsou formule, potom ( α), (α β), (α
VíceMATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ
MATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ Metodický list č. 1 Název tématického celku: Řešení úloh Cílem tohoto tematického celku je vysvětlení vybraných pojmů z oblasti řešení úloh. Tématický celek je rozdělen do
Více