SK skmo.sk. 68. ročník Matematickej olympiády 2018/2019 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9. 1 x + 1 y = 1 4.

Transkript

1 SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 68. očník Matematickej olympiády 2018/2019 Riešenia úloh domáceho kola kategóie Z9 1. Nájdite všetky kladné celé čísla x a y, pe ktoé platí 1 x + 1 y = 1 4. Nápad. Môžu byť obe neznáme súčasne väčšie ako nap. 14? (Alžbeta Bohiniková) Riešenie. Pe ovnaké neznáme je iešením zejme x = y = 8. Rôzne neznáme nemôžu byť obe súčasne menšie, esp. väčšie ako 8 (potom by totiž ľavá stana ovnice bola väčšia, esp. menšia ako 1 4 ). Jedna neznáma teda musí byť menšia ako 8 a duhá väčšia ako 8. Vzhľadom na symetickosť ovnice stačí ďalej uvažovať pípad, keď x < y. Za tohto pedpokladu je x < 8 a y > 8, takže x môže nadobúdať iba hodnoty od 1 do 7. Ak z ovnice vyjadíme y všeobecne pomocou x, dostaneme y = 4x x 4. (1) Z toho je zejmé, že y je kladné páve vtedy, keď x > 4. Teda x môže nadobúdať iba hodnoty od 5 do 7. Pe tieto ti možnosti stačí peveiť, či y vychádza celé: pe x = 5 vychádza y = 20, pe x = 6 vychádza y = 12, pe x = 7 vychádza y = Celkom tak vidíme, že všetky dvojice (x, y), ktoé sú iešením úlohy, sú (5, 20), (6, 12), (8, 8), (12, 6) a (20, 5). Iné iešenie. Ak z ovnice vyjadíme y všeobecne pomocou x, dostaneme (1). Tento výaz môžeme ďalej upaviť na celú časť plus zvyšok : y = 4x x 4 = 4(x 4) + 16 x 4 = x 4. (2) Z toho je zejmé, že y je kladné celé číslo páve vtedy, keď x 4 je kladným celým deliteľom čísla 16, a tých je páve päť: pe x 4 = 1 vychádza x = 5 a y = 20, pe x 4 = 2 vychádza x = 6 a y = 12, pe x 4 = 4 vychádza x = 8 a y = 8, pe x 4 = 8 vychádza x = 12 a y = 6, pe x 4 = 16 vychádza x = 20 a y = 5. Tento výpis zahŕňa všetky iešenia úlohy. Poznámka. Pi úpave zadanej ovnice na tva (1) možno naaziť na ekvivalentnú ovnicu xy 4x 4y = 0. (3) 1

2 Ľavá stana súhlasí s tomi sčítancami v oznásobení výazu (x 4)(y 4), chýba iba 16. Pičítaním 16 k obom stanám ovnice (3) dostávame (x 4)(y 4) = 16. Všetky iešenia tak možno nájsť pomocou všetkých možných ozkladov čísla 16 na súčin dvoch kladných celých čísel. Tieto nápady sú len bezzlomkovou intepetáciou úpavy (2) a následného postupu. 2. V ovnostannom tojuholníku ABC je K stedom stany AB, bod L leží v tetine stany BC bližšie bodu C a bod M leží v tetine stany AC bližšie bodu A. Učte, akú časť obsahu tojuholníka ABC zabeá tojuholník KLM. (Lucie Růžičková) Nápad. Zadané body vymedzujú ďalšie tojuholníky. Zamyslite sa nad obsahmi niektoých z nich. Riešenie. Obsah tojuholníka KLM vyjadíme ako ozdiel obsahu tojuholníka ABC a obsahov tojuholníkov AKM, KBL a MLC. C L M A K B Pome vzdialeností bodov M a C od bodu A je ovnaký ako pome vzdialeností týchto bodov od piamky AB. Výška tojuholníka AKM idúca vcholom M je teda tetinová vzhľadom k výške tojuholníka ABC idúcej vcholom C. Súčasne stana AK pvého tojuholníka potiľahlá vcholu M je polovičná vzhľadom k stane AB duhého tojuholníka potiľahlej vcholu C. Tojuholník AKM peto zabeá = 1 6 obsahu tojuholníka ABC. Podobne, výška tojuholníka KBL idúca vcholom L je dvojtetinová vzhľadom k výške tojuholníka ABC idúcej vcholom C a píslušná stana KB pvého tojuholníka je polovičná vzhľadom k stane AB duhého tojuholníka. Tojuholník KBL peto zabeá = 1 3 obsahu tojuholníka ABC. Do tetice, výška tojuholníka CM L idúca vcholom L je tetinová vzhľadom k výške tojuholníka ABC idúcej vcholom B a píslušná stana CM pvého tojuholníka je dvojtetinová vzhľadom k stane AC duhého tojuholníka. Tojuholník KBL peto zabeá = 2 9 obsahu tojuholníka ABC. Dohomady, tojuholník KLM zabeá obsahu tojuholníka ABC =

3 Poznámka. Všimnite si, že uvedené iešenie je platné pe všeobecný tojuholník ABC. S pedpokladom ovnostannosti sú stany a výšky jednotlivých tojuholníkov naznačené v nasledujúcom obázku (a označuje stanu a v výšku tojuholníka ABC). C v/3 L M v/3 2v/3 A a/2 K a/2 B S týmto označením je S ABC = 1 2 av a S KLM = 5 36 av, teda S KLM = 5 18 S ABC. 3. V našom meste sú ti kiná, ktoým sa hovoí podľa svetových stán. O ich otváacích hodinách je známe, že: každý deň je otvoené aspoň jedno kino, ak je otvoené južné kino, tak nie je otvoené sevené kino, nikdy nie je otvoené súčasne sevené a východné kino, ak je otvoené východné kino, tak je otvoené aj južné alebo sevené kino. Vydali sme sa do južného kina a zistili sme, že je zatvoené. Ktoé zo zvyšných kín je učite otvoené? (Monika Dillingeová) Nápad. Uvažujte všetky možnosti otvoenosti, esp. zatvoenosti kín bez obmedzujúcich podmienok. Riešenie. Zaujímame sa o situáciu, keď je južné kino zatvoené. Bez ďalších infomácií o otváacích hodinách by mohli nastať nasledujúce štyi pípady, ktoé postupne poovnáme s podmienkami zo zadania: a) Ak by sevené aj východné kino bolo otvoené, tak by sme boli v ozpoe s teťou podmienkou. Táto situácia nenastane. b) Ak by sevené kino bolo otvoené a východné zatvoené, tak nie sme v ozpoe so žiadnou z podmienok. Táto situácia je možná. c) Ak by sevené kino bolo zatvoené a východné otvoené, tak by sme boli v ozpoe so štvtou podmienkou. Táto situácia nenastane. d) Ak by sevené aj východné kino bolo zatvoené, tak by sme boli v ozpoe s pvou podmienkou. Táto situácia nenastane. Jediná situácia vyhovujúca všetkým podmienkam zo zadania je b): keď je južné kino zatvoené, tak je sevené kino učite otvoené. Iný nápad. Aké možnosti vyhovujú tetej podmienke? Iné iešenie. Vzhľadom na tetiu podmienku môžeme štvtú podmienku nahadiť nasledujúcou: 3

4 4. ak je otvoené východné kino, tak je otvoené aj južné kino. Podľa tetej podmienky môžeme ozlíšiť ti pípady: a) Sevené kino je otvoené a východné zatvoené. Potom podľa duhej podmienky je južné kino zatvoené. b) Sevené kino je zatvoené a východné otvoené. Potom podľa štvtej podmienky (esp. jej páve uvedenej náhady) je južné kino otvoené. c) Sevené aj východné kino je zatvoené. Potom podľa pvej podmienky je južné kino otvoené. V žiadnom z týchto pípadov nie sme v ozpoe s podmienkami, ktoé sme pi vyvodzovaní nepoužili. Všetky možné situácie otvoenosti (1), esp. zatvoenosti (0) kín uvádzame kvôli pehľadnosti v tabuľke: S V J Ak je južné kino zatvoené, tak je sevené kino učite otvoené (a východné učite zatvoené). Poznámka. Diskusia v iešení úlohy môže byť vedená ôznymi spôsobmi. Pe tieto účely znázoníme možnosti, ktoé pipúšťajú podmienky zo zadania samostatne pázdne políčka môžu obsahovať ako 1, tak 0: Pvá podmienka pipúšťa možnosti: S 1 V 1 J 1 Duhá podmienka pipúšťa možnosti: S 0 V J 1 0 Tetia podmienka pipúšťa možnosti: S V J 4

5 Štvtá podmienka pipúšťa možnosti: S 1 1 V J 1 1 Výbe možností, ktoé vyhovujú všetkým štyom podmienkam súčasne (teda pienik týchto štyoch tabuliek), vedie k tabuľke na konci pedchádzajúceho iešenia. 4. Hotelie chcel vybaviť jedáleň novými stoličkami. V katalógu si vybal typ stoličky. Až pi zadávaní objednávky sa od výobcu dozvedel, že v ámci zľavovej akcie ponúkajú každú štvtú stoličku za polovičnú cenu a že teda opoti plánu môže ušetiť za sedem a pol stoličky. Hotelie si spočítal, že za pôvodne plánovanú čiastku môže zaobstaať o deväť stoličiek viac, ako zamýšľal. Koľko stoličiek chcel hotelie pôvodne kúpiť? (Libo Šimůnek) Nápad. Najskô iešte úlohu bez infomácie, že za pôvodne plánovanú sumu možno pokyť o deväť stoličiek viac. Riešenie. V akcii bola každá štvtá stolička za polovičnú cenu. Ak mohol takto hotelie ušetiť za 7,5 stoličky, objednával 15 štvoíc stoličiek a nanajvýš ti ďalšie stoličky, t. j. objednával najmenej 60 a nanajvýš 63 stoličiek. Opoti pôvodnému plánu si v akcii mohol dopiať o 9 stoličiek viac, t. j. najmenej 69 a nanajvýš 72 stoličiek. V pvom pípade je 69 = , teda úspoa by pedstavovala len = 8,5 stoličiek, čo nezodpovedá pedpokladu. Rovnaký záve platí aj pe ďalšie dve možnosti 70 = a 71 = Jedine pe 72 = 18 4 zodpovedá úspoa páve 9 stoličkám. Zo štyoch zvažovaných možností je iba posledná iešením úlohy. Hotelie chcel pôvodne kúpiť 63 stoličiek. Iné iešenie. Rovnako ako v pedchádzajúcom iešení učíme, že úspoa za 7,5 stoličky zodpovedá objednávke najmenej 60 a nanajvýš 63 stoličiek (7,5 = a 15 4 = 60). Podobne učíme, že úspoa za 9 stoličiek zodpovedá objednávke najmenej 72 a nanajvýš 75 stoličiek (9 = a 18 4 = 72). Tento počet má byť záoveň o 9 väčší ako počet stoličiek v pedchádzajúcej objednávke, teda úspoa za 9 stoličiek má zodpovedať objednávke najmenej 69 a nanajvýš 72 stoličiek. Tieto dve podmienky sú splnené iba v jedinom pípade, ktoý zodpovedá počtu 72 v duhej, esp. 63 v pvej objednávke. Hotelie chcel pôvodne kúpiť 63 stoličiek. 5. Adam a Eva vytváali dekoácie z navzájom zhodných bielych kuhov. Adam použil štyi kuhy, ktoé položil tak, že sa každý dotýkal dvoch iných kuhov. Medzi ne potom vložil iný kuh, ktoý sa dotýkal všetkých štyoch bielych kuhov, a ten vyfabil čevenou. Eva použila ti kuhy, ktoé položila tak, že sa dotýkali navzájom. Medzi ne potom vložila iný kuh, ktoý sa dotýkal všetkých toch bielych kuhov, a ten vyfabila zelenou. Eva si všimla, že jej zelený kuh a Adamov čevený kuh sú ôzne veľké, a začali spolu zisťovať, ako sa líšia. Vyjadite polomey čeveného a zeleného kuhu všeobecne pomocou polomeu bielych kuhov. (Maie Kejčová) 5

6 Nápad. V akom vzťahu sú stedy dvoch dotýkajúcich sa kužníc a píslušný dotykový bod? Riešenie. V nasledujúcom budeme opakovane používať poznatok, že spoločný bod dvoch dotýkajúcich sa kužníc leží na spojnici ich stedov. Polome bielych kuhov budeme označovať. Stedy Adamových bielych kuhov tvoia vcholy štvoca a sted čeveného kuhu leží v stede tohto štvoca, teda v piesečníku jeho uhlopiečok. Pieme čeveného kuhu je ovný ozdielu uhlopiečky uvedeného štvoca a dvoch polomeov. Pomocný štvoec má stanu 2, jeho uhlopiečka má podľa Pytagoovej vety veľkosť = 2 2. Polome čeveného kuhu je teda ovný 1 2 (2 2 2) = ( 2 1). Stedy Eviných bielych kuhov tvoia vcholy ovnostanného tojuholníka a sted zeleného kuhu leží v stede tohto tojuholníka, teda v piesečníku jeho výšok, esp. ťažníc. Polome zeleného kuhu je ovný ozdielu vzdialenosti stedu, t. j. ťažiska uvedeného tojuholníka, od jeho vcholu a polomeu. 6

7 Pomocný ovnostanný tojuholník má stanu 2 a každá výška ho delí na pavouhlé tojuholníky s peponou 2 a odvesnou. Duhá odvesna, teda táto výška, má podľa Pytagoovej vety veľkosť 42 2 = 3. Vzdialenosť ťažiska ovnostanného tojuholníka od vcholu je ovná dvom tetinám dĺžky ťažnice, t. j. páve vyjadenej výšky. Polome zeleného kuhu je teda ovný = Piodzené číslo N nazveme bombastické, ak neobsahuje vo svojom zápise žiadnu nulu a ak žiadne menšie piodzené číslo nemá ovnaký súčin cifie ako číslo N. Kaol sa najskô zaujímal o bombastické pvočísla a tvdil, že ich nie je veľa. Vypíšte všetky dvojcifené bombastické pvočísla. Potom Kaol zvolil jedno bombastické číslo a pezadil nám, že obsahuje cifu 3 a že iba jedna z jeho ďalších cifie je pána. O ktoú pánu cifu sa mohlo jednať? (Michal Rolínek) Všetky dvojcifené pvočísla sú vypísané v pvom iadku nasledujúcej tabuľky. V duhom iadku sú uvedené cifené súčiny jednotlivých čísel. V teťom iadku sú najmenšie piodzené čísla so zodpovedajúcimi cifenými súčinmi (tieto čísla možno učiť poovnaním ozkladov so všetkými deliteľmi menšími ako 10). Dvojcifených bombastických pvočísel je sedem a v tabuľke sú vyznačené tučne V pedchádzajúcom výpise si môžeme všimnúť niekoľko vecí súvisiacich s duhou časťou úlohy. Číslo 23 nie je bombastické, petože 6 je menšie číslo s ovnakým cifeným súčinom. Všeobecnejšie, žiadne číslo obsahujúce cify 2 a 3 nemôže byť bombastické, lebo vynechaním týchto dvoch cifie a doplnením 6 na ľubovoľné miesto dostaneme menšie číslo s ovnakým cifeným súčinom (nap. pe 2737 je jedno z takých čísel 677). Podobne, číslo 34 nie je bombastické, petože 26 je menšie číslo s ovnakým cifeným súčinom. Teda ani žiadne číslo obsahujúce cify 3 a 4 nemôže byť bombastické (pozi nap. čísla 384 a 286). Do tetice, číslo 36 nie je bombastické, petože 29 je menšie 7

8 číslo s ovnakým cifeným súčinom. Teda ani žiadne číslo obsahujúce cify 3 a 6 nemôže byť bombastické (pozi nap. čísla 2346 a 2294). Zato vidíme, že číslo 38 bombastické je. Jediná pána cifa, ktoá môže byť s 3 v Kaolovom bombastickom čísle je teda 8. Poznámka. V tabuľke v pvej časti úlohy nebolo nutné uvažovať čísla obsahujúce cifu 1 ani čísla, ktoé majú na mieste desiatok väčšiu cifu ako na mieste jednotiek také čísla nikdy nie sú bombastické. S týmto postehom stačilo testovať iba osem z uvedených čísel. Slovenská komisia MO, KMANM FMFI UK, Mlynská dolina, Batislava Autoi: Recenzenti: Redakčná úpava: Svetlana Bednářová, Alžbeta Bohiniková, L. Dedková, Monika Dillingeová, L. Hozová, Veonika Hucíková, Kataína Jasenčáková, M. Kejčová, M. Mach, Eika Novotná, K. Pazouek, M. Petová, E. Semeádová, Mioslava Fakas Smitková, L. Šimůnek, M. Volfová, V. Žádník Alžbeta Bohiniková, Svetlana Bednářová, Monika Dillingeová, Veonika Hucíková, Kataína Jasenčáková, Mioslava Fakas Smitková, Eika Novotná, Pete Novotný Pete Novotný Vydal: IUVENTA Slovenský inštitút mládeže, Batislava 2018