Funkcionální řady. January 13, 2016

Transkript

1 Funkcionální řady January 13, 216

2 f 1 + f 2 + f f n +... = f n posloupnost částečných součtů funkcionální řada konverguje na množine M konverguje posloupnost jeho částečných součtů na množine M Obor konvergence = obor konvergence jeho částečných součtů

3 Mocninné řady

4 Důležitým případem funkční řady je mocninná řada (také označovaná jako potenční), která má tvar (se středem v ) a + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x a n x n +... = a n x n Mocninná řada bývá také zapisována jako (se středem v x ) a +a 1 (x x )+a 2 (x x ) 2 +a 3 (x x ) a n (x x ) n +... = = a n (x x ) n

5 Příklad geom. řada, q = x : x n = 1 + x + x 2 + x x n +... ak x ( 1, 1) řada konverguje a 1 + x + x 2 + x x n +... = 1 1 x.

6 Příklad ( 1) n.x 2n = 1 x 2 + x 4 x ( 1) n.x 2n +... geom. řada, q = x 2 : ak x ( 1, 1) řada konverguje a 1 x 2 + x 4 x ( 1) n.x 2n +... = x 2.

7 Příklad Limit. podíl. krit.: x n+1 lim n = lim x n n! = 1 + x 1! + x2 2! + x3 xn ! n! +... (n+1)! x n n! n Řada je konvergentní pro x R. x 1 = x lim n + 1 n n + 1 = < 1

8 Příklad n n (x 3) n = (x 3) + 4(x 3) n n (x 3) n +... n=1 Odmocn. krit.: { x 3, 2 2 x 3 2, x 3 3,..., n n n x 3 n,... posloup. není shora ohraničená, proto řada je divergentní pro x R {3}.

9 Definice ( Poloměr konvergence) Mezi důležité vlastnosti mocninné řady patří, že pokud mocninná řada se středem v konverguje v bodě x, pak konverguje absolutně pro všechna x ( x, x ). Největší vzdálenost x, od počátku, pro kterou mocninná řada ještě konverguje, označujeme jako poloměr konvergence R, přičemž platí R. K určení poloměru konvergence se používají kritéria konvergence řad. Konvergenci v bodech x = ±R je třeba vyšetřit samostatně. Pokud je R >, pak je součet s(x), mocninné řady funkcí spojitou na intervalu ( R, R). Každá mocninná řada konverguje ve svém středu.

10 Věta (Výpočet poloměru konvergence) Poloměr konvergence mocninné řady R = 1 lim sup n a n, a n (x x ) n je roven přičemž se klade R =, když limes superior je +, a R = +, když limes superior je.

11 Příklad (limsup) {a n } = {2, 3, 3 2 2, 4 3 2, 5 2 3, n 1 2 n, 2n 3 n,...} {a 2n 1 } = {2, 2 2,... 2n 1 2 n,...} 2 {a 2n } = { 3, 4 3 2, ,...} 3 2 < 3 lim sup an = 3.

12 Příklad (limsup) Určete poloměr konvergence pro řadu: Zřejmě Proto a 2(x 1) + 3(x 1) n (x 1) 2n n (x 1) 2n +... { } n a n = {2, 3, 3 2 2, 4 3 2,... 2n 1 2 n, 2n 3 n,...}. 1 Řada konverguje pro x lim sup n a n = 3. R = 1 3 = 3 3 ( 1 3 3, ).

13 Věta ( Vlastnosti řad) Pokud pro libovolné x ( R, R) konverguje řada s(x) = a n x n, pak konverguje také řada φ(x) = d(a nx n ) dx dané x ( R, R) a platí φ(x) = ds(x) dx. Říkáme, že mocninnou řadu lze derivovat člen po členu. Na libovolném intervalu a, b, který leží uvnitř ( R, R), lze mocninou řadu integrovat člen po členu, tzn. platí b a s(x)dx = b a b a dx + a b a 1 xdx + a pro b a 2 x 2 dx +... = a n x n dx a

14 Příklad n.x n 1 = 1 + 2x + 3x n.x n = n=1 [ ] [ ] = x n 1 1 = = pro x ( 1, 1). 1 x (1 x) 2 n=1

15 Příklad n 2.x n = x + 4x 2 + 9x n 2.x n +... = n=1 ( ) = x (nx n ) = x nx n n=1 n=1 ( ) nx n = x nx n 1 1 = x pro x ( 1, 1) (1 x) 2 n=1 n=1 [ ] n 2.x n x = x (1 x) n=1 2 = x + x2 (1 x) 3.

16 Příklad ( 1) n x2n+1 2n + 1 = x x3 3 + x5 5 x7 7 = x x 1dx x x 2 dx + x x 4 dx x x = ( 1) n.x 2n dx = ( 1)n x2n+1 2n = x x 6 dx = arctg x pro x ( 1, 1) x 2 dx = ( 1) n.x 2n dx =

17 Příklad-mocninné řady Řešte rovnici: 1 + ( ) x ( ) x ( ) x 2n + + = x 3 2 Řešení. Aby mala úloha riešenie, musí mocninný rad (ľavá strana rovnice) ( x 2. konvergovať. Všimnite si, že sa jedná o geom. rad s kvocientom q = 3) Aby bol konvergentný, musí q ( 1, 1), teda x ( 3, 3). Pozor, musí platiť x, mrknite na pravú stranu rovnice a hneď je jasný dôvod. Potom 1 + ( ) x ( ) x ( ) x 2n + + = ( x 3 ) 2, teda rovnicu prepíšeme Potom ( 1 ) x 2 = x x 2 + 9x 18 =. Táto kvadratická rovnica má dve riešenia x 1 = 6 ( 3, 3) a x 2 = 3 ( 3, 3), teda 2 vyhovuje iba x 2.

18 Příklad-mocninné řady 1 9 Pomocou mocninných radov vypočítajte 9+x 2 dx s presnosťou na 4 desatinné miesta. 9 9 Řešení. Integrant upravíme: 9+x 2 = = 1. Poučení z 9(1+ x2 9 ) 1+( 3 x )2 predchádzajúceho príkladu už vidíme, ( že sa jedná o súčet geometrického radu s prvým x 2. členom 1 a kvocientom q = 3) Teda integrant vieme zapísať ako mocninný rad, navyše už ľahko odhadneme, že ak sa má jednať o konvergentný rad, tak x ( 3, 3), potom ho môžeme člen po člene integrovať (horná aj dolná hranica integrálu patria do oboru konvergencie tohto geom. radu). Preto x 2 dx = 1 1 ( ) x ( ) x ( 1) n. 3 ( ) x 2n + + dx = 3 [ ] 1 x x x x x 2n+1 ( 1)n. (2n + 1).3 2n + = ( 1)n. (2n + 1).3 2n + = Máme alternujúci rad a teda odhad súčtu je pomerne jednoduchá záležitosť (mrknite záver súboru prednaska7.pdf). Jednotlivé členy tohto radu tvoria nerastúcu

19 Příklad-mocninné řady, pokr. postupnosť, lim n an =, preto platí, že s sn < a n+1, teda ak nájdeme taký člen alternujúceho radu, ktorý je v absolútnej hodnote menší ako chyba, ktorej sa máme dopustiť, tak nám stačí sčítať len členy, ktoré sú pred ním. Naša chyba má byť menšia 1 ako 1, teda stačí nájsť také n N, aby 1 (2n+1)3 2n < 1 1, resp. (2n + 1)3 2n > 1. Ak n = 3, tak (2n + 1)3 2n = < 1, ale pre n = 4 je (2n + 1)3 2n = > 1. Preto stačí sčítať len a ten už vynecháme a samozrejme aj všetky ďalšie). Teda by bol práve x 2 dx = (ďalší člen

20 Taylorova řada

21 Za určitých předpokladů o funkci f (x) v okolí bodu a lze tuto funkci vyjádřit (rozvinout) jako mocninnou řadu. Toto vyjádření funkce prostřednictvím Taylorovy řady se označuje jako Taylorův rozvoj. Pro přibližné vyjádření hodnot funkce není nutné vyjadřovat všechny členy Taylorovy řady, ale můžeme zanedbat členy s vyššími derivacemi. Získáme tím tzv. Taylorův polynom. Taylorův polynom tedy aproximuje hodnoty funkce, která má v daném bodě derivaci, pomocí polynomu, jehož koeficienty závisí na derivacích funkce v tomto bodě. Řada je pojmenována po anglickém matematikovi Brooku Taylorovi, který ji publikoval v roce Avšak metoda aproximace funkce mocninnou řadou byla objevena již v roce 1671 Jamesem Gregorym.

22 V případě existence všech derivací funkce f v bodě a lze Taylorovu řadu zapsat jako f (x) = f (a)+ f (a) 1! (x a)+ f (a) 2! = k= (x a) 2 + f (3) (a) (x a) = 3! f (k) (a) (x a) k k!

23 Má-li funkce f v bodě a derivace až do řádu n, pak Taylorův polynom řádu n funkce f v bodě a je polynom: T n = f (a)+ f (a) 1! (x a)+ f (a) 2! = n k= (x a) f (n) (a) (x a) n = n! f (k) (a) (x a) k, k! kde nultou derivací je myšlena samotná funkce. Taylorův polynom je tedy speciálním případem Taylorovy řady, který získáme tehdy, jsou-li od určitého n všechny vyšší derivace nulové.

24 Rozvoj funkce f (x), která má v okolí bodu a derivace do (n + 1) ního řádu je obsahem Taylorovy věty, která říká, že takovéto funkce lze v okolí bodu a vyjádřit jako f (x) = f (a) + f (a) 1! (x a) f (n) (a) (x a) n + R n+1 (x), n! kde zbytek R n+1 lze vyjádřit některým z následujících tvarů L n (f, a, x) = f (n+1) (a + Θ(x a)) (x a) n+1 (n + 1)! pro < Θ < 1 (tzv. Lagrangeův tvar zbytku) C n (f, a, x) = (x a)n+1 (1 Θ) n f (n+1) (a + Θ(x a)) n! pro < Θ < 1 (tzv. Cauchyův tvar zbytku)

25 Taylorova řada funkce f (x) konverguje v bodě x k funkční hodnotě f (x) právě když lim R n(x) =. n Pro a = přechází Taylorova řada v řadu Maclaurinovu, tedy f (x) = f () + n=1 f (n) () x n n!

26 Příklad (Příklady Taylorova rozvoje) e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + = x n n! pro x (, ) sin x = x x3 3! + x5 5! x7 7! +... = pro x (, ) cos x = 1 x2 2! + x4 4! x6 6! +... = pro x (, ) ( 1) n x 2n+1 (2n + 1)! x 2n ( 1) n (2n)!

27 Příklad (Příklady Taylorova rozvoje) (1 + x) r = 1 + ( ) r x + 1 ( ) r x ( ) r x = 3 pro r R, x (, ) ( ) r x n n ln(1 + x) = x x2 2 + x3 3 x4 4 + x = pro x ( 1, 1 n=1 ( 1) n+1 x n n a x = 1 + x ln a 1! + x2 ln 2 a 2! + x3 ln 3 a 3! (x ln a) n +... = n! pro a >, x (, )

28 Příklad (Příklady Taylorova rozvoje) ln 1 + x [ ] 1 x = 2 x + x3 3 + x5 5 + x x ( 1, 1) = 2 x 2n+1 2n + 1 tg x = x x x x pro x ( π 2, π 2 ) cotg x = 1 x 1 3 x 1 45 x x5... pro x (, π)

29 Příklad (Příklady Taylorova rozvoje) arcsin x = x + 1 x x x pro x ( 1, 1) arccos x = π 2 x 1 x x x pro x ( 1, 1) 7 arctg x = x x3 3 + x5 5 x = pro x ( 1, 1) ( 1) n x 2n+1 2n + 1

30 Příklad (Příklad) Je daná funkce f (x) = e x, pro jej derivace platí f (n) (x) = e x. Potom T n (f, a, x) = n i= e a i! (x a)i = e a +e a (x a)+ ea 2! (x a) L n (f,, x) = L 7 (f,, 1) = 18 8! eθ = eθ 8! xn+1 (n + 1)! eθ x, < Θ < 1 < 3 8! =

31 Příklad (Příklad) Je daná funkce f (x) = e x, aproximujte ji na intervalu 1, 1 s chybou menší 1 1. x 1, 1, < Θ < 1, e x 1 T n (f,, x) < 1 e x x n+1 T n (f,, x) = L n (f,, x) = eθ x (n + 1)! x n+1 eθ x x (n + 1)! = n+1 e Θ x (n + 1)! < 1 1

32 Příklad (Příklad, pokr.) x n+1 e Θ x (n + 1)! < 3 x n+1 (n + 1)! < (n + 1)! < < (n + 1)! 8! = 432, 9! = n = 8.

33 Příklad (Příklad) Určete přibližně 1 e x2 dx, s chybou menší jako e x2 dx = Obor konvergence je R 1 ( 1 ( ( x 2 ) n ) dx = n! 1 ( ( x 2 ) n ) dx n! ( x ( 1) n 2n ) n! ) dx =

34 Příklad (Příklad, pokr.) 1 = ( 1)n x 2n ( 1) dx n [ ] x 2n+1 1 = = n! n! 2n + 1 ( 1) n (2n + 1)n! = ! ! 1 7.3! + = = < 1 3

35 Příklad (Příklad, pokr.) 1 e x2 dx = R = R.