Téma 10 Úvod do rovinné napjatosti

Transkript

1 Pružnost a plasticita,.ročník bakalářského studia Téma 0 Úvod do rovinné napjatosti Složk napětí v šikmém řezu při rovinné napjatosti Hlavní napětí a největší smkové napětí Trajektorie hlavního napětí Kritéria pevnosti a plasticit u rovinné napjatosti Katedra stavební mechanik Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

2 Napětí, masivní konstrukce, těleso Masivní betonová konstrukce Hoover Dam, Nevada Kombinace klenbové a tížné přehrad z r.935, výška,3 m, délka oblouku 379, m, šířka hráze nahoře 3,7 m a 0, m dole, 3,5 mil. m 3 betonu Vztah mezi vnitřními silami a napětími v průřezu / 78

3 Napětí, tenzor napětí, těleso Elementární kvádr Stav napjatosti tělesa: tenzor, definovaný v pravoúhlé soustavě Tenzor napětí tělesa: [ ] = z z z z z z z M z z z z Vztah mezi vnitřními silami a napětími v průřezu 3 / 78

4 Věta o vzájemnosti smkových napětí dz d S d = lim Δ A 0 M z r ΔT r ΔA = 0 : dq dq =.da =.d dq (str. 7 učebnice) z.d. dz =. d.dz.d.d.dz.d =. d = 0 z = z z obdobně = z = z Tenzor napětí tělesa: Vektor napětí: Pouze 6 složek napětí [ ] = sm. { } = { } T z z z z z z Vztah mezi vnitřními silami a napětími v průřezu 4 / 78

5 Napětí, obecná prutová konstrukce Prostorový rám (prut) Kursaal Convention Centre and Auditorium, San Sebastian, Španělsko Vztah mezi vnitřními silami a napětími v průřezu 5 / 78

6 Napětí, tenzor napětí Průřez prutu z + Stav napjatosti obecně zatíženého prutu: 3 neznámé složk napětí Tenzor napětí: [ ] = sm z Např.: = lim d A 0 dn da z + dv da d N =. da dv z +z dn Vztah mezi vnitřními silami a napětími v průřezu 6 / 78

7 Napětí, nosná stěna Stěna svislý plošný nosný prvek Vztah mezi vnitřními silami a napětími v průřezu 7 / 78

8 Napětí, tenzor napětí, nosná stěna Elementární kvádr Stav napjatosti nosné stěn: 3 neznámé složk napětí Tenzor napětí: [ ] = sm z M Vztah mezi vnitřními silami a napětími v průřezu 8 / 78

9 Stav napjatosti v šikmém řezu Složk napětí v šikmém řezu Ploch stěn elementárního kvádru α t tečna α α α n α normála α d A = ds. dz ds α dz da.cosα da.sin α Podmínk rovnováh na kvádru: R = 0 R = 0 Pokud jsou znám = Složk napětí v šikmém řezu při rovinné napjatosti R = 0 = 0 n nebo R t 9 / 78

10 α Stav napjatosti v šikmém řezu Složk napětí v šikmém řezu převedené na síl t tečna. cosα. da α.da α n α normála α.da Ploch stěn elementárního kvádru α d A = ds. dz ds. cosα. da R n = 0 α. sinα. da da.cosα dz da.sin α. sinα. da..cosα.sinα.da =.sin α. da α α.da.cosα.da.cosα.sinα.da.sinα.cosα.da.sinα.sinα.da.cosα = 0. da.cosα. da.cosα.sinα. da.sinα.sin α. da = 0 Složk napětí v šikmém řezu při rovinné napjatosti 0 / 78

11 α Stav napjatosti v šikmém řezu Složk napětí v šikmém řezu převedené na síl t. cosα. da tečna. cosα. da α α. sinα. da.da α n α α.da. sinα. da normála da.cosα Ploch stěn elementárního kvádru α d A = ds. dz ds da.sin α α.da +.cosα.da.sinα R = 0.sinα.dA.cosα.cosα.dA.cosα +.sinα.da.sinα = 0 t α. da +.cosα.da.sinα.sinα.da.cosα.cos α.da = 0. cos α. da dz Složk napětí v šikmém řezu při rovinné napjatosti / 78

12 Složk napětí v šikmém řezu při rovinné napjatosti R = 0. da.cosα.da.cosα.sinα.da.sinα.sin α.da = 0 n α α =.cos α +.sin α.sin α + R = 0. da +.cosα.da.sinα.sinα.da.cosα.cos α.da = 0 t α α = cosα.sinα +.sinα.cosα.cos α. + Např.: o α = 0 o α = 90 α = α = ( ).sin α.cos α α =. + α = Maimální hodnota normálového napětí: o α =? = ma =? α α = Složk napětí v šikmém řezu při rovinné napjatosti o α = 0 α α + t α o α = 90 α / 78

13 Stav napjatosti v šikmém řezu =00MPa = 0MPa = 80MPa α o o = ,00 50,00 Sigma(alfa) Tau(alfa) 00,00 50,00 0,00-50,00-00,00-50, Složk napětí v šikmém řezu při rovinné napjatosti 3 / 78

14 Hlavní napětí Mění-li se α, nabývá α i α při určitém úhlu α etrémní hodnotu. α =.cos α +.sin α.sin α + d α = 0 dα..cosα. ( sinα ) +..sinα.cosα +..cos α = 0. sin α +..cos α = ( ) 0 sin α = cos α Velikost hlavních napětí tan α =. ( ) α + Hlavní rovin α = α = α ± ( ).( ). ( ) ( α, ) 0 = α = + ± 4 α =,,. α d = 0 dα o ( α ± 45 ) = ± ( ) ma.min,...arctan o 90 Etrémní smková napětí jsou v rovinách odkloněných o 45 o od hlavních rovin Hlavní napětí a největší smkové napětí 4 / 78

15 Velikost hlavního napětí =00MPa = 0MPa = 80MPa α = 3,7 o = 49,44MPa 00,00 50,00 Sigma(alfa) Tau(alfa) 00,00 50,00 0,00-50,00-00,00-50, Hlavní napětí a největší smkové napětí 5 / 78

16 Velikost hlavního napětí =00MPa = 0MPa = 80MPa α = 58,8 o = 9,44MPa 00,00 50,00 Sigma(alfa) Tau(alfa) 00,00 50,00 0,00-50,00-00,00-50, Hlavní napětí a největší smkové napětí 6 / 78

17 Velikost smkového napětí ma =00MPa = 0MPa = 80MPa α = α o 45 = 3,8 o ma = 89,44MPa 00,00 50,00 Sigma(alfa) Tau(alfa) 00,00 50,00 0,00-50,00-00,00-50, Hlavní napětí a největší smkové napětí 7 / 78

18 Směr hlavních napětí α Trhlina v objektu vlivem překročení tahové únosnosti zdiva Hlavní napětí a největší smkové napětí 8 / 78

19 Ukázk porušení konstrukcí pozemních staveb Hlavní napětí a největší smkové napětí 9 / 78

20 Ukázk porušení konstrukcí pozemních staveb Hlavní napětí a největší smkové napětí 0 / 78

21 Ukázk porušení konstrukcí pozemních staveb Hlavní napětí a největší smkové napětí / 78

22 Ukázk porušení konstrukcí pozemních staveb Hlavní napětí a největší smkové napětí / 78

23 Ukázk porušení konstrukcí pozemních staveb Hlavní napětí a největší smkové napětí 3 / 78

24 Hlavní napětí grafické řešení Grafické řešení pomocí Mohrov kružnice napětí Postup. Nanést do grafu známé složk napětí = ± = AX, BY X Christian Otto Mohr (835-98) 0 B A Y = 0A = 0 B Hlavní napětí a největší smkové napětí 4 / 78

25 Hlavní napětí grafické řešení. XY XY Sestrojit kružnici s průměrem a středem v průsečíku s osou X 0 B S A Y Hlavní napětí a největší smkové napětí 5 / 78

26 Hlavní napětí grafické řešení Výsledná hlavní napětí X ma 0 B S A Y min Hlavní napětí a největší smkové napětí 6 / 78

27 Hlavní napětí grafické řešení Výsledné směr hlavních napětí X α. α 0 B S A Y α α α Hlavní napětí a největší smkové napětí 7 / 78

28 Hlavní napětí grafické řešení Zdůvodnění: X ma 0 B S A Y min ( 0A + 0B) = ( + ) 0 S =.. SA = BS =.( ) SX = SY = r = Hlavní napětí a největší smkové napětí ( SA) + ( AX ) =.( ) + 0 = 0S + r = 0S + SX 0 = 0S r = 0S SX 8 / 78

29 Hlavní napětí grafické řešení Zdůvodnění: X α. α 0 B S A Y α SA = BS =. ( ) tan α = AX SA = ( ). Hlavní napětí a největší smkové napětí 9 / 78

30 Vbrané případ rovinné napjatosti. Přímková (osová) napjatost 0 = = 0 = Napjatost v šikmém řezu α =.cos α +.sin α.sin α + α =.cos α ( ).sin α.cos α α =. + α =.sin α =.sinα. cosα Výsledná hlavní napětí α + ( α ) =.( + ) ±. ( ) 4, =,. = = 0 o ( α ± 45 ) = ± ( ) ma.min,. ma.min ± = Hlavní napětí a největší smkové napětí 30 / 78

31 Vbrané případ rovinné napjatosti. Přímková (osová) napjatost 0 = = 0 = = = 0 min,ma ± = ma 0 B Y S A X Hlavní napětí a největší smkové napětí 3 / 78

32 Vbrané případ rovinné napjatosti. Prostý (čistý) smk = 0 Napjatost v šikmém řezu 0 = = α =.cos α +.sin α.sin α + ( ).sin α.cos α α =. + Výsledná hlavní napětí α =.sin α α =.cos α α + ( α ) =.( + ) ±. ( ) 4, =,. α =..arctan o ( α ± 45 ) = ± ( ) ma.min,. α = α ± o 90 = ± ma.min α, = ± 45 = 0. α = = ± o o 90 = Hlavní napětí a největší smkové napětí 3 / 78

33 Vbrané případ rovinné napjatosti. Prostý (čistý) smk = 0 0 ; = 0 = = = (nastává rovněž kdž ), = ± X min,ma = ± ma 0 S A B min Y Hlavní napětí a největší smkové napětí 33 / 78

34 Vbrané případ rovinné napjatosti 3. Všesměrný (izotropický) tah nebo tlak = = 0 = = 0 Napjatost v šikmém řezu α =.cos α +.sin α.sin α + ( ).sin α.cos α α =. + Výsledná hlavní napětí ( cos α + sin α ) α =. = α =. α ( ).sin = 0 α + ( α ) =.( + ) ±. ( ) 4, =,. o ( α ± 45 ) = ± ( ) ma.min,. ma.min = 0 = = Hlavní napětí a největší smkové napětí 34 / 78

35 Vbrané případ rovinné napjatosti 3. Všesměrný (izotropický) tah nebo tlak normálové napětí je ve všech směrech shodné a smková napětí nevznikají = = 0 = = 0 bod = = min, ma = 0 0 A X = = = = Hlavní napětí a největší smkové napětí 35 / 78

36 Trajektorie hlavních napětí, tah Trajektorie jsou křivk, které v každém bodu sledují směr hlavních napětí. Tažený prut V místech, kde nedochází ke koncentraci napětí, jsou trajektorie hlavních napětí rovnoběžné s osou prutu a kolmé k ose prutu. Trajektorie hlavního napětí 36 / 78

37 Výpočet etrémních normálových napětí za ohbu Téma č.6 M, c =. I M c, c =. I M = W c, c M = W, c z,c,c c c W, c = I c W, c = I c Neutrálná osa v těžišti průřezu Průřezové modul ke krajním vláknům [m 3 ] = 0 Výpočet průřezových modulů u jednoduchých průřezů W = I d d I π. d = 3 π. d = b h I =. b. h 3 3 I z =. b. h W I h = =. b. h 6 I Wz = =. b. h b 6 Trajektorie hlavního napětí 37 / 78

38 38 / 78 Smkové napětí obdélníkového průřezu z b h Průřez ma o Průběh z z ( ) z h b z h z h b S = + = + = + z h z z h.. 3. b h I = ( ) b b z = ( ) = = = h z b h V b b h z h b V z z z z h z = h z = = 0 z A V b h V z z ma = = = 0 z Trajektorie hlavního napětí Téma č.7

39 Smkové napětí v profilu I Téma č.7 Průřez t w b f t f Det. Průběh z o Det. h w h z,ma z Průběh Trajektorie hlavního napětí o t f Předpoklad řešení: smková napětí jsou konstantní v řezu kolmo k dílčí stěně (viz Det) jsou rovnoběžná s obrsem průřezu 39 / 78

40 Téma č.6 a 7 Smkové a normálové napětí obdélníkového průřezu Průřez Průběh z Průběh ma h ma o b z ma V = 3 4. =.. b. h h M I z =. z Trajektorie hlavního napětí 40 / 78

41 Hlavní napětí obdélníkového průřezu V řezu A-A: A Průřez Průběh Průběh A ma z Smková a normálová napětí vztažená k a Hlavní napětí Etrémní smková napětí etr etr Trajektorie hlavního napětí 4 / 78

42 Hlavní napětí obdélníkového průřezu V řezu B-B: Průřez Průběh Průběh B B z Smková a normálová napětí vztažená k a Hlavní napětí Etrémní smková napětí etr etr Trajektorie hlavního napětí 4 / 78

43 Hlavní napětí obdélníkového průřezu V řezu C-C: Průřez Průběh Průběh z C C ma Smková a normálová napětí vztažená k a Hlavní napětí Etrémní smková napětí etr Trajektorie hlavního napětí etr 43 / 78

44 Hlavní napětí obdélníkového průřezu V řezu D-D: Průřez Průběh Průběh z Smková a normálová napětí vztažená k a D D Hlavní napětí Etrémní smková napětí etr etr Trajektorie hlavního napětí 44 / 78

45 Hlavní napětí obdélníkového průřezu V řezu E-E: Průřez Průběh Průběh z E Smková a normálová napětí vztažená k a E Hlavní napětí ma Etrémní smková napětí etr etr Trajektorie hlavního napětí 45 / 78

46 Trajektorie hlavních napětí, ohýbaný prvek A-A B-B C-C D-D E-E Trajektorie hlavního napětí 46 / 78

47 Trajektorie hlavních napětí, ohýbaný prvek Poznámk: Příčná napětí kolmá k ose nosníku většinou nehrají roli. Smková napětí jsou na okrajích nulová. Hlavní napětí jsou s okraji rovnoběžná a kolmá. Na neutrálné ose je čistý smk. Plná čára tahové trajektorie, Čárkovaná čára tlakové trajektorie. Trajektorie hlavního napětí 47 / 78

48 Trajektorie hlavních napětí, nosná stěna Tvar a zatížení konstrukce Výpočet programem ANSYS provedl: Doc. Ing. Jiří Brožovský, Ph.D. Trajektorie hlavního napětí 48 / 78

49 Trajektorie hlavních napětí, nosná stěna Přetvoření konstrukce Trajektorie hlavního napětí 49 / 78

50 Trajektorie hlavních napětí, nosná stěna Normálové napětí Trajektorie hlavního napětí 50 / 78

51 Trajektorie hlavních napětí, nosná stěna Normálové napětí v rovině smetrie Trajektorie hlavního napětí 5 / 78

52 Normálové napětí za ohbu, nosné stěn Téma č.6 = M.z I (tlak) Průběh hlavního napětí 9,9 [kn/m ] -,458 -,979 -,575 -,863 -,086,9644 h 6,00 5,00 4,00 3,00,00,00 0,00 [m] Vztah neplatí u stěn, kde l < 3h. Blíže předmět Pružnost a plasticita II. a R az z l (tah) b R bz Výpočet normálového napětí 5 / 78

53 Trajektorie hlavních napětí, nosná stěna Normálové napětí Trajektorie hlavního napětí 53 / 78

54 Trajektorie hlavních napětí, nosná stěna Smkové napětí Trajektorie hlavního napětí 54 / 78

55 Trajektorie hlavních napětí, nosná stěna Smkové napětí v rovině smetrie Trajektorie hlavního napětí 55 / 78

56 Trajektorie hlavních napětí, nosná stěna Směr a velikosti hlavních napětí Trajektorie hlavního napětí 56 / 78

57 Trajektorie hlavních napětí, nosná stěna s otvorem Tvar a zatížení konstrukce Výpočet programem ANSYS provedl: Doc. Ing. Jiří Brožovský, Ph.D. Trajektorie hlavního napětí 57 / 78

58 Trajektorie hlavních napětí, nosná stěna s otvorem Přetvoření konstrukce Trajektorie hlavního napětí 58 / 78

59 Trajektorie hlavních napětí, nosná stěna s otvorem Normálové napětí Trajektorie hlavního napětí 59 / 78

60 Trajektorie hlavních napětí, nosná stěna s otvorem Normálové napětí Trajektorie hlavního napětí 60 / 78

61 Trajektorie hlavních napětí, nosná stěna s otvorem Smkové napětí Trajektorie hlavního napětí 6 / 78

62 Trajektorie hlavních napětí, nosná stěna s otvorem Směr a velikosti hlavních napětí Trajektorie hlavního napětí 6 / 78

63 Trajektorie hlavních napětí, kroucení V rovině tečné k válci vzniká čistý smk. Ve směru otočeném o 45 o vznikají hlavní napětí tah a tlak. Plná čára tahové trajektorie, Čárkovaná čára tlakové trajektorie. Trajektorie hlavního napětí 63 / 78

64 Misesova podmínka plasticit Pro materiál se stejnou pevností v tahu a tlaku F. + f = 0 F F = 0 < 0 Zplastizování f Čistý tah: f Čistý smk: f 3 Kritéria pevnosti a plasticit u rovinné napjatosti 64 / 78

65 Trescova podmínka plasticit Také nazývaná Podmínka maimálních smkových napětí Pro materiál se stejnou pevností v tahu a tlaku Bezpečnější (konzervativnější) návrh než Misesovo kritérium F ( ) f 0 = pro. < 0 Čistý tah: Čistý smk: ( f, f ) 0 F = ma pro f. > Kritéria pevnosti a plasticit u rovinné napjatosti f 0 65 / 78

66 Mohrova teorie porušení při víceosé napjatosti Kritéria pevnosti pro materiál s různou pevností v tahu a tlaku, např. beton f, f c t Nebere ohled na Čistý smk Rovnice mezní obálk: 3 ( f ) t = k. k konstanta určená zkouškami Kritéria pevnosti a plasticit u rovinné napjatosti 66 / 78

67 Pevnost betonu při rovinné napjatosti Kritéria pevnosti a plasticit u rovinné napjatosti 67 / 78

68 Pevnost betonu při rovinné napjatosti Aproimace mezní pevnosti betonu při rovinné napjatosti > Kritéria pevnosti a plasticit u rovinné napjatosti 68 / 78

69 Pevnost zemin, Coulombova podmínka c +. tanϕ c... normálové napětí (tlak +)... koheze (soudržnost) ϕ... úhel vnitřního tření Kritéria pevnosti a plasticit u rovinné napjatosti 69 / 78

70 Ztráta pevnosti a porušení Může nastat rovněž: Křehký lom U kovů při nízkých teplotách a koncentraci napětí Únava materiálu Cklická únava proměnné napětí v cklech Rozkmit: Δ = ma min Součinitel nesmetričnosti cklu: r = min ma Kritéria pevnosti a plasticit u rovinné napjatosti 70 / 78

71 Posudek pásnice ocelového mostu na únavu Posudek pásnice silničního ocelobetonového mostu na únavu. Pohled na posuzovaný silniční most Foto: Ing. Jaroslav Odrobiňák, Ph.D. Příčný řez mostem Kritéria pevnosti a plasticit u rovinné napjatosti 7 / 78

72 Detail posuzované pásnice ocelového mostu Řešený detail Foto: Ing. Jaroslav Odrobiňák, Ph.D. Kritéria pevnosti a plasticit u rovinné napjatosti 7 / 78

73 Detail posuzované pásnice ocelového mostu Foto: Ing. Jaroslav Odrobiňák, Ph.D. Kritéria pevnosti a plasticit u rovinné napjatosti 73 / 78

74 Lokalit koncentrace nebezpečí únavového poškození Podle poloh iniciační trhlin je možné sledovat šíření trhlin z okraje nebo z povrchu. Oslabení stejné pásnice roste u trhlin šířící se z okraje přibližně čtřikrát rchleji než šíření pásnice z povrchu. Kritéria pevnosti a plasticit u rovinné napjatosti 74 / 78

75 Náhodné jev U, D a F V souvislosti s šířením únavové trhlin lze definovat náhodné jev, které nastávají v čase t životnosti konstrukce: U (t) trhlina není v čase t zjištěna ( undetected ) velikost únavové trhlin a (t) nedosáhla měřitelnou (detectable) velikost, takže platí: a < a () t d kde a d je minimální měřitelná (detectable) velikost trhlin D (t) F (t) zjištění (detection) trhlin v čase t velikost únavové trhlin a (t) nedosáhla přípustnou velikost, takže platí: a a < d a () t ac zjištění poruch v čase t velikost únavové trhlin a (t) dosáhla přípustnou velikost a ac, takže platí: a a () t ac Kritéria pevnosti a plasticit u rovinné napjatosti 75 / 78

76 ,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 Pravděpodobnost výsktu náhodných jevů Pravděpodobnost jevů U, D a F v závislosti na letech provozu mostu 0,3 0, 0, Pravděpodobnost vzniku jevu a>acr (jev F) Pravděpodobnost vzniku jevu a>ad a a<acr (jev D) Pravděpodobnost vzniku jevu a<ad (jev U) 0, Pravděpodobnostní výpočet metodou PDPV 76 / 78

77 Stanovení první prohlídk mostu P f Závislost pravděpodobnosti poruch P f na letech provozu mostu Rok,0E ,0E-0,0E-04 Doba první prohlídk mostu,0e-07,0e-0,0e-3 Mezní úroveň spolehlivosti (P d =, ),0E-6,0E-9 P ( F() ) P G fail ( Z ) ( S ) ( ) < = P R( a ) t = 0 < ac,0e- Pravděpodobnostní výpočet metodou PDPV 77 / 78

78 Okruh problémů k ústní části zkoušk. Napětí v šikmém řezu při rovinné napjatosti. Výpočet hlavních napětí při rovinné napjatosti, jejich směr 3. Grafické řešení hlavních napětí pomocí Mohrových kružnic napětí 4. Vbrané případ rovinné napjatosti - osová napjatost, čistý smk, všesměrný tah nebo tlak 5. Trajektorie hlavních napětí 6. Kritéria pevnosti a plasticit u rovinné napjatosti u oceli 7. Kritéria pevnosti a plasticit u rovinné napjatosti materiálů s různou pevností v tahu a v tlaku 8. Porušení křehkým lomem, únava materiálu Podklad ke zkoušce 78 / 78