ČVUT UPM 6/2013. Eliška Bartůňková

Transkript

1 ČUT UPM 6/2013 Eliška Bartůňková

2 Úvod 1. Motivace PMPD 1.1 Jednoosá napjatost Obsah 1.2 Zobecnění jednoosé napjatosti pro ohýbaný prut 2. Důkaz základní věty mezní analýzy pro diskrétní modely 3. Formulace zobecnění principu PMPD pro víceosou napjatost 4. Důkaz základní věty mezní analýzy pro spojité modely 2

3 Úvod Princip maxima plastické disipace (PMPD) Teoretický základ mezní plastické analýzy yšetřování mezního plastického stavu Dosažení max. úrovně zatížení Únosnost konstrukce je zcela vyčerpána Pro ideláně pružnoplastický materiál 3

4 1.1 Jednoosá napjatost & PMPD Ideálně pružnoplastický model Jednoosé napětí (σ) působí na objem d deformace dε ykonaná práce (σdε) na jednotku objemu dε e - elastický přírůstek deformace ( potenciální energie pružné deformace) dε p - plastický přírůstek deformace (disipace vykonané práce v plastických přetvárných procesech; pot.en. pružné def. je konstantní) Plastické namáhání: ε = ε e + ε p ; σ = Eε e = E(ε ε p ) 4

5 1.1 Jednoosá napjatost & PMPD Plastická disipace D (disipační výkon, hustota plastické disipace) na jednotku objemu ýkon = práce / čas D εp = σdε p dt = σεp = σ 0 εp σ = σ 0 εp > 0 ; σ = σ 0 εp < 0 PMPD: max σ ε σ εp = σεp = σ 0 εp = D εp ε =< σ 0, σ 0 > plasticky přípustná oblast (σ εp) = fiktivní výkon na jednotku objemu, který by napětí σ vykonalo na rychlosti plastické disipace εp (σεp)=skutečné napětí σ maximalizuje plastickou disipaci 5

6 1.1 Jednoosá napjatost & PMPD Plastická disipace D int pro prut namáhaný osovou silou N D int = Dd = D = σεpal = σaεpl = N L p D int = N L p L p - rychlost (časová derivace) plastického protažení L p Součet příspěvků prutů n D int = i=1 N i L p,i = i=1 N 0,i L p,i N 0,i - mezní plastická síla N i - skutečná osová síla n 6

7 1.2 Ohýbaný prut & PMPD Plastická disipace D int pro prut namáhaný momentem M Součet příspěvků kritických průřezů (příp. plast. klouby) n n D int = i=1 M i θ i = i=1 M 0,i θ i M 0,i - mezní plastický moment M i - skutečný plastický moment 7

8 1.2 Ohýbaný prut & PMPD Odvození D int pro prut namáhaný momentem M Plastický kloub je uvažovaný pouze v 1 průřezu Celková plastická deformace je nahrazena rotací θ ideálního kloubu Plastická deformace v lib. bodě průřezu: e p z = θz Plastická def. v z integrovaná po délce plastického koubu Energie disipovaná plastickým kloubem: D int = Dd = σεpd = σ(z)e p(z)da A = D int = A σ z θ zda = D int = θ σ z z da A = Mθ 8

9 2. Základní věta mezní analýzy Úvod pro diskrétní modely Předepsané zatížení ~ referenční zatížení (vektor) f ektor vnějších sil f = μf μ součinitel zatížení, hledá se jeho mezní hodnota μ 0 tak, aby bylo dosažené mezního plastického stavu (plastic. kolaps) Mezní plastický stav Stav statické rovnováhy, staticky i kinematicky přípustný 1. Staticky přípustný stav μ s - staticky přípustný součinitel zatížení (odpovídá staticky přípustnému stavu kce) nitř. (pl. přípustné) síly s s v rovnováze s vnějšími silami μ s f B T s s = μ s f ; B T - statická matice Stav splňuje podm. plastické přípustnosti 9

10 2. Základní věta mezní analýzy Úvod pro diskrétní modely Mezní plastický stav Staticky i kinematicky přípustný 2. Kinematicky přípustný stav μ k - kinematicky přípustný součinitel zatížení (odpovídá kinematicky přípustnému procesu) znik mechanismu kolapsu Plastické přetváření ve zplastizovaných prutech μ k f T u k = D(e pk) e pk - rychlost platic. protažení u k - rychlost styčníkových posunů μ k f T u k - výkon vnějších sil na rychlosti styčníkových posunů 10

11 2. Základní věta mezní analýzy Úvod pro diskrétní modely Mezní plastický stav Staticky i kinematicky přípustný 2. Kinematicky přípustný stav e pk = Bu k e pk - rychlost plastic. protažení u k - rychlost styčníkových posunů, voleny tak aby f T u k > 0 11

12 2. Základní věta mezní analýzy pro diskrétní modely Základní věta mezní analýzy μ s μ k μ s μ 0 μ k ; μ 0 - součinitel bezpečnosti 1. ěta o dolním odhadu: μ s μ 0 2. ěta o horním odhadu: μ 0 μ k Důkaz základní věty mezní analýzy s T s e pk D(e pk) s s - vnitřní (pl. přípustné) síly e pk - rychlost plastic. Protažení s s T e pk = s s T Bu k = (B T s s ) T u k = μ s f T u k D e pk = μ k f T u k μ s μ k 12

13 3. PMPD pro víceosou napjatost PMPD (maticový zápis) D ε p = max σ ε σ T ε p = σ T ε p σ skutečné napětí (sloupcová matice) ε p - skutečná rychlost plastické deformace (sloupcová matice) σ - plasticky přípustný stav napětí Platný pokud je splněna podmínka normality a konvexity 13

14 3. PMPD pro víceosou napjatost ýznam PMPD D ε p = max σ ε σ T ε p = σ T ε p Promítnutí všech plasticky přípustných stavů napětí (dle funkce plasticity) na rovnoběžku s ε p prochájící počátkem interval jehož krajní + bod je průmětem skutečného napětí σ σ má max. průmět do směru ε p σ T ε p= σ ε p cosα ; skalární součin 14

15 3. PMPD pro víceosou napjatost PMPD & normalita Odchylka ε p od normality: σ T ε p > σ T ε p narušení podmínky PMPD Směr přírůstku plastic. def. je kolmý k ploše plasticity f x, y, z = 0 ýpočet jako gradient funkce f v daném bodě plochy plasticity ε p = λ f, f, f, σ x σ y σ z f τ xy, f τ xz, f τ yz ; λ 0 f(σ) ε p = λ sdružený zákon plastického přetváření σ Singularita v bodě plochy plasticity 15

16 4. Základní věta mezní analýzy pro spojité modely Základní věta mezní analýzy μ s μ k μ s μ 0 μ k 1. Staticky přípustný stav f σ ij s 0 ve (podm. plastic. přípustnosti) s σ ij x j = μ s b i ve (podm. rovnováhy) σ ij s n j = μ s ti na S t (statická podm.) σ s ε ; ε = {σ f(σ(x)) 0 x } 16

17 4. Základní věta mezní analýzy pro spojité modely Základní věta mezní analýzy μ s μ k μ s μ 0 μ k 2. Kinematicky přípustný stav εij k = 1 2 u i k k + u j x j x i ve (vztah def. přemístění) u i k = 0 na S u (kinematická podmínka) b i u i k d + tiu i k ds > 0 S t na S t (podm. pro + vnější en.) μ k = D(ε ij k )d b i u i k d+ S t iu i k ds 17 t

18 4. Základní věta mezní analýzy pro spojité modely Základní věta mezní analýzy μ s μ k μ s μ 0 μ k Důkaz základní věty mezní analýzy PMPD: D int = D(ε p)d = σ: ε pd = max σ ε σ : ε pd σ s : ε kd D(ε k)d Clapeyronův teorém: σ s : ε kd = μ s bu kd + t u kds S t μ s D ε k d bu k d+ S t u k ds t = μ k 18

19 Děkuji ám za pozornost. 19