Chování balónu při výstupu do stratosféry

Transkript

1 Chování balónu při výstupu do stratosféry Definuji si několik základních hodnot a proměnných. pomocná proměnná pro indexování polí: ORIGIN := 1, tíhové zrychlení: g := 9.81, atmosférický tlak na hladině moře: p 0 := hustota vzduchu na hladině moře: ρ 0 := Atmosférický tlak a hustota Podle skript Václav Borž: Aerodynamika nízkých rychlostí (ČVUT Praha, 1990) je možné tlak a hustotu aproximovat s chybou maximálně 2,5% pomocí vztahu. Teplota atmosféry - x 7070 px ():= p 0 e, - x 7070 ρ() x := ρ 0 e. Nejlepší bude požít přímo teploty, které změřila sonda czanso a nějak šikovně je aproximovat. Nejprve proto načtu teplotu a výšku a rychlost z datového souboru t data := x data := v data := czanso-telemetry-upraveno.txt czanso-telemetry-upraveno.txt czanso-telemetry-upraveno.txt start := x data1 = nadmořská výška starovního místa Spočítám si počet vzroků... N := rows t data =, zavedeme proměnnou i, která bude probíhat celým rozsahem vzroků i := 1.. N a podíváme se na graf teploty

2 2 2.8 Výška (m) Apoximace teploty jednoduchým vztahem Teplota (st. Celsia) Rozdělím si průběh na dvě části... odhadnu výšku, ve které se čára lomí. x a := 13000, V každé části udělám zvlášť lineální interpolaci. Musím ale nejprve zjistit, jakým indexům v seznamu dat tyto hodnoty odpovídají... index( X) := "Funkce vraci index s nejblizsi hodnotou x" for j Œ 1.. N - 1 return j if x dataj X Ÿ x dataj > X Zvolené výšce x a = odpovídá index index a := index x a =. Rozdělím si data do dvou částí a v kažé z nich provedu lineární aproximaci. Submatice:

3 3 Submatice: ta := submatrix( t data, 1, index a, 1, 1 ), xa := submatrix( x data, 1, index a, 1, 1 ), tb := submatrix t data, index a + 1, N, 1, 1, xb := submatrix x data, index a + 1, N, 1, 1. Lineární aproximace: Qa := line( xa, ta) = , Qb := line( xb, tb) = Najdu bod, v němž se obě přímky protínají... x q := Qa + Qa x = Qb + Qb x solve Æ x a konečně zavedu aproximaci teploty v Kelvinech a nakreslím graf. Tx ():= w Qa + Qa x if x x q w Qb + Qb x if x > x q return w 2.8 Výška (m) Teplota (st. Celsia) a aproximace

4 4 Vizkozita a její aproximace Pro výpočet odporové síly musíme mít k dispozici viskozitu. Ve skriptech Václav Borž: Aerodynamika nízkých rychlostí (ČVUT Praha, 1990) je tabulka hodnot kinematické vizkozity až do výše metrů. Tuto tabulku si přepíšu - viz napravo. Dodefinuji si ještě tabulku výšek, odpovídajících těmto hodnotám q := , h := ( q - 1)1000. q Dále si definuji funkci, jíž budu vizkotu aproximovat f kinvis ( Xk, ) k k e k 3 := + X + k X 2 + k X 3, zavedu a vynuluji koeficinety a budu aproximovat j kinvis := 1.. 5, k kinvisjkinvis := 0 K kinvis := genfit hkinvis,, k kinvis, f kinvis = Nakonec zavedu funkci pro kinematickou a dynamickou viskozitu ν() x := f kinvis xk, kinvis, kinvis := η() x := νx ()ρx.

5 Kin. vizkozita Aproximace Dyn. viskozita * 50 Výška (m) Kin. viskozita a její aproximace, 50*dyn. viskozita Rychlost stoupání Skutečný průběh rychlosti v závisloti na výšce získáme numerickou derivací hodnot výšky. Protože měření výšky pomocí GPS je nepřesné, vyhladím průběh průměrováním přes 25 vzorků. Vyhladím průběh rychlosti průměrováním přes PRUM := 25, vzorků. Polovička je δ prum := floor PRUM 2 = 12 j := δ prum N - δ prum vyska prumj - δprum := x dataj rychlost prumj - δprum 1 := PRUM j + δ prum  s = j -δ prum v datas

6 6 2.8 Změřená rychlost Vyhlazená rychlost Balón Rozměry Balón je naplněný héliem. Budu ho považovat za ideální plyn a budu předpokládat, že tlak a teplota hélia jsou shodné s tlakem a teplotou okolního vzduchu. To není sice pravda, ale je to lepší než nic. Drobné vylepšení bude spočívat v tom, že budu předpokládat konstantní malý rozdíl tlaků vně a uvnitř balónu. Tento konstantní rozdíl tlaků si nastavím na hodnotu Δp konst := 90. Pa. Hustota hélia za normálního tlaku p0 = a teploty T( 0) = je ρ 0He := kg/m 3. Ve výšce x platí pro hustotu hélia coby ideálního plynu vztah ( p ( x ) + Δp )

7 7 T0 p( x) + Δp konst ρ He () x := ρ 0He p0 Tx () Balón je napuštěn určitým množstvím plynu, má nějakou vlastní hmotnost a k té se ještě přidá hmotnost zátěže. Z toho rezultuje výsledná síla, táhnoucí sondu vzhůru. Podle u Ing. Richtera byla hmotnost kompletní záteže m sonda := kg, balón samotný vážil m balon := kg. Výchozí hodnota tahové síly byla napouštěním balónu stanovena na hodnotu F v.start := N. To odpovídá obemu hélia g F v.start + m sonda + m balon V start := g ρ( start) - ρ He ( start ) = m 3, o hnotnosti - g ρ He ( start) 3 6Vstart m He := V start ρ He ( start) = kg a průměru balónu D start := = m. π Celková hmotnost, kterou nese vztlak nahoru je tedy m := m sonda + m balon + m He = kg. Ve výšce x je tedy tlak vzduchu p(x) a tlak hélia p(x)+δp konst, teplota vzduchu i hélia je T(x). Můžeme tedy snadno určit objem hélia. pstart + Δp konst Vx ():= V start Tstart Tx () px () + Δp konst a průměr balónu 3 6Vx ) Dx ():=. π( Výrobce uvádí, že balon exploduje, když dosáhne průměru D MAX := 8.63 m. Tohoto prumeru dosahne nas teoreticky balon ve vysce H MAX.teor := for X Œ Q X if DX D MAX Ÿ DX ( + 1) D MAX Q H MAX.teor = m.

8 8 MAX.teor Podívejme se, jak se bude průměr balónu měnit s výškou Výška (m) Průměr (m) a D_MAX Červená křivka na grafu nahoře by měla končit právě na pruseciku čárkovanych čar. Platí Dx datan - D MAX = m, ideálně by to měla být nula, ve skutečnosti je relativní chyba průměru při explozi Dx datan - D MAX 100 = % Dx datan Chyba vysky pri explozi je H MAX.teor - x datan = 1 a to je v procentech H MAX.teor - x datan 100 = % x datan

9 9 Vztlaková síla Celková vztlaková síla je určena tíhou vytlačeného vzduchu: F v ( x) := ρ( x)vx g, podíváme se, jak se s výškou mění: Výška (m) Celková vztlaková síla (N) a tíha celého zařízení

10 10 Odporová síla Balón se pohybuje vzhrůru rychlostí zhruba 6 metrů za sekundu (viz níže). Tomu odpovídá Reynoldoso číslo na začátku respektive na konci stoupání. 6Dstart Re 6D x start := = resp datan Re ν( start) konec := νx datan = Jedná se o pomalý pohyb. Použijeme-li Stokesův vztah D F o := 6 π η v, 2 dostaneme rychlost: v Stokes ( x) := F v ( x) -mg 3π ηx () Dx Podívejme se, jak by to vyšlo pro Newtonův zákon odporu, kde odporová síla je úměrná druhé mocnině rychlosti a koeficient odporu C má pro kouli hodnotu Newtonův vztah má tvar C := 0.44 (viz níže) F := C 1 2 S ρ v2. Z rovnosti sil dostáváme pro rychlost vztah v Newton () x := F v () x -mg 1 2 Cρx π Dx ()2 4

11 Změřená rychlost Rychlost podle Newtona Vyhlazená rychlost Rychlost podle Stokese Rychlost (m/s) - teoretická, skutečná, vyhlazená

12 12 Podle platí Stokesův vztah jen pro velmi malá Re (zhruba menší než 2)... Viz obrázek. Pro Re mezi 2 a 500 (což je náš případ) platí vztah C=18.5 / Re 0.6. Zkusme proto nový výpočet, podle výše uvedených vztahů... Zkusím obecně vyjádřit vztah pro rychlost v závislosti na ostatních parametrech Platí současně tyto vztahy, které je třeba jeden do druhého dosadit a vyjádřit rychlost v: 18.5 vd v 2 C :=, Re :=, F := CS ρ, S := 3 ν 2 5 Re π D 2 4 Když vyjádřím rychlost (viz extra soubor se symbolickým odvozením), dostanu vztah

13 13 v := F v -gm D ρ ν 5 tedy F v () x gm 7 - v prechod () x := Dx () ρx () νx () 5

14 Změřená Vyhlazená Přechodová podle Newtona Podle Stokese Rychlost (m/s) - teoretická, skutečná, vyhlazená

15 Přechod / skutečná Stokes / skutečná Newton / skutečná Pi* Přechod / skutečná Poměr teoretické a vyhlazené skutečné rychlosti Je zajímavé, že i když je rychlost podle přechodového zákona hodně daleko od skutečné rychlosti, je poměr rychlostí v celém rozsahu téměř konstantní, narozdíl od Stokese a Newtona. To by snad mohlo svědčit pro nějakou systematickou chybu v podobě špatně zadané konstanty, nebo tak něčeho... Jak by to vypadalo, kdybych tuto rychlost vynásobil π?

16 16 Změřená Vyhlazená Přechodová * Pi Rychlost (m/s) - teoretická, skutečná, vyhlazená

17 17 Zkusíme zintegrovat poměr teoretické a skutečné rychlosti. když bude výsledek okolo nuly, bude to globálně celkem OK... N-PRUM I prechod := Â i = 1 N-PRUM I Stokes := Â i = 1 N-PRUM I Newton := Â i = 1 v prechod vyska prumi - 1 rychlost prumi v Stokes vyska prumi - 1 rychlost prumi N-PRUM I Pi.prechod := Â i = 1 v Newton vyska prumi - 1 rychlost prumi = = π v prechod vyska prumi - 1 rychlost prumi = = 7.7