Literatura: Kapitoly 3, 4 a 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
|
|
- Zuzana Vítková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Předmět: MA4 Dnešní látka: Nehomogenní okrajové podmínky. Pokračování OÚ pro PDR (jen pro fajnšmekry). Jednoznačnost zobecněného řešení. Metoda sítí v 1D. Přibližné řešení okrajových úloh. Aproximace vlastních čísel. Literatura: Kapitoly 3, 4 a 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
2 Obecná Dirichletova okrajová podmínka (2D, 3D) Klasické řešení úlohy: najít u C 2 (Ω) C(Ω), aby u = f v Ω R 2, u = g na Γ. Slabé řešení úlohy: Vezměme takovou funkci w W2 1 (Ω), aby splňovala w = g na Γ, pak hledáme u W2 1 (Ω), pro niž Ω u w W 2 1 (Ω), u v dx = fv dx Ω v W 1 2 (Ω). Lze řešit např. užitím u = w + u 0, kde u 0 W 2 1(Ω): u 0 v dx = fv dx w v dx v W 2 1 (Ω). Ω Ω Ω
3 Příklad v 1D: Okrajová úloha u + e x u = cos x, u(0) = 1, u(3) = 5. Zvolíme například w(x) = 1 2x, tj. u = u 0 + w, navíc dokonce u = u 0. Pak OÚ pro neznámou funkci u 0: u 0 + ex (u 0 + w) = cos x, u 0 (0) = 0, u 0 (3) = 0. Slabá formulace: Najít u 0 W 2 1([0, 3]), aby v W 2 1 ([0, 3]) 3 0 ( u 0 (x)v (x) + e x u 0 (x)v(x) ) 3 dx = (cos x e x (1 2x))v(x) dx. Řešení původní úlohy je u = u x W2 1 ([0, 3]). 0
4 Inspirace i pro 1D OÚ s jinými OP: ( (2 + x 3 )u ) + u = cosπx, u(0) = 7, u (1) = 4. Zvolme w(x) = 7 + 4x, tj. u = u 0 + w a platí (2). Pak z ( (2 + x 3 )u 0 ( (2 + x 3 )(u 0 + w) ) + u0 + w = cosπx, ) ( (2 + x 3 )w ) + u0 + w = cosπx, ( (2 + x 3 )u 0) 12x 2 + u x = cosπx, odvodíme OÚ pro neznámou funkci u 0 : ( (2 + x 3 )u 0) + u0 = cos πx + 12x 2 4x 7, (1) u 0 (0) = 0, u 0 (1) = 0. (2) Příslušný operátor je sym. a poz. def., OÚ (1)-(2) řešíme standardně. Řešení původní úlohy je u = u x.
5 Jiné okrajové podmínky ve 2D OÚ (pro fajnšpekry) Neumannova okrajová podmínka u ν = h na Γ. Slabou formulaci úlohy u = f v Ω, u ν = h na Γ lze odvodit postupem naznačeným v minulé přednášce (Jiná cesta k zobecněnému řešení) a uplatněním Greenovy věty (viz též oddíl Newtonova okrajová podmínka na další stránce). Dospějeme k úloze: Najít funkci u H A = W2 1 (Ω) takovou, aby platilo ( u v + u ) v dx = fv dx + hv ds v H A. Ω x 1 x 1 x 2 x 2 Ω Γ Pro existenci řešení je nutná doplňující podmínka Ω f dx + Γ h ds = 0.
6 Newtonova (Robinova) okrajová podmínka u ν + αu = q na Γ. Slabou formulaci úlohy u = f v Ω, u ν + αu = q na Γ lze odvodit postupem naznačeným v minulé přednášce (Jiná cesta k zobecněnému řešení) a uplatněním Greenovy věty. Vynásobme tedy obě strany rovnice u = f testovací funkcí v a integrujme přes oblast Ω. Levou stranu, tj. Ω uv dx upravíme pomocí Greenovy věty:
7 ( 2 u uv dx = Ω Ω x1 2 v + 2 u x2 2 ( u = vν 1 + u ) vν 2 Γ x 1 x 2 ( ) u = ν v ds + Γ = Γ ) v dx ( u v ds + + u ) v dx Ω x 1 x 1 x 2 x 2 u v dx Ω (q αu) v ds + u v dx (viz okraj. podm.). Ω Člen Γ qv ds převedeme na druhou stranu rovnice, tj. k Ω fv dx. Slabá formulace: Najít funkci u W2 1 (Ω) takovou, aby platilo u v dx + αuv ds = fv dx + qv ds v W2 1 (Ω). Ω Γ Pokud α > c > 0, je příslušný operátor pozitivně definitní. Ω Γ
8 Ω u v dx + αuv ds = fv dx + qv ds Γ Ω Γ v W 1 2 (Ω). Tato okrajová úloha modeluje například ustálené vedení tepla v homogenním a izotropním materiálu s jednotkovou tepelnou vodivostí a s koeficientem α přestupu tepla do vnějšího prostředí, u je teplota v tělese Ω.
9 Kdy existuje slabé řešení? Operátor A příslušný této úloze je symetrický a pozitivně definitní. (u, v) A = u v dx + αuv ds Ω Symetrie zřejmá. Pozitivní definitnost (s využitím Friedrichsovy nerovnosti), dokonce vzhledem k normě W 1 2 (Ω) : (u, u) A min( 1 2, α) ( Ω u u dx + c min(1/2, α) u 2 L 2 (Ω) ĉ u 2 W 1 2 (Ω), Ω Γ Γ ) u 2 ds + 1 u u dx 2 Ω u u dx kde c je konstanta z Friedr. nerovnosti (viz minulou přednášku) a ĉ = min(c/2, cα, 1/2) > 0 je konstanta.
10 Proč se používá slabá formulace? Obecnější úlohy než při minimalizaci funkcionálu energie (pro symetrické pozitivně definitní operátory jsou však možné obě cesty a vedou k témuž řešení). Existence řešení za dosti obecných podmínek (Laxovo-Milgramovo lemma). Jednoznačnost řešení. "Poměrně průhledné" odvození z klasické formulace. Velmi vhodná pro teoretickou analýzu (odhady chyby, rychlost konvergence). Teoretický základ metody konečných prvků.
11 Jednoznačnost slabého (zobecněného) řešení Necht operátor A je pozitivně definitní na prostoru V. Mějme dvě řešení u 1, u 2 V, tj. (u 1, v) A = (f, v) v V, (u 2, v) A = (f, v) v V. Po odečtení (u 1 u 2, v) A = 0 v V. Vezměme v = u 1 u 2 (jest v V ), pak 0 = (u 1 u 2, u 1 u 2 ) A c u 1 u 2 2 A = u 1 = u 2.
12 Ukázka složitější úlohy se smíšenými okrajovými podmínkami 2 ( ) u a ij + bu = f v Ω R 2, x i x j i,j=1 u = g na Γ 1, 2 i,j=1 a ij u x j ν i = h na Γ 2, 2 i,j=1 a ij u x j ν i + αu = q na Γ 3, kde Γ = Γ 1 Γ 2 Γ 3 a meas 1 Γ i > 0, i = 1, 2, 3, dále a ij > 0, b 0. Slabá formulace: Najdi funkci u W 1 2 (Ω): u w V, kde w W2 1 (Ω), w = g na Γ 1 ; 2 u v a ij dx + buv dx + αuv ds x j x i Ω Γ 3 = fu dx + hv ds + qv ds v V, Ω Γ 2 Γ 3 Ω i,j=1 kde V = { v W 1 2 (Ω) : v Γ 1 = 0 }. Jest W 1 2 (Ω) V W 1 2 (Ω).
13 Metoda sítí pro přibližné řešení 1D OÚ a(x)y (x)+b(x)y (x) q(x)y(x) = f(x), x [a, b], a OP (3) Předpoklady: a, b, q, f C([a, b]), y C 4 ([a, b]) (kvůli odhadům chyby), a(x) a 0 > 0, q(x) 0 x [a, b]. Poznámka: Rovnice (3) je (až na znaménko) obecnější verzí rovnice (p(x)y (x)) + q(x)y(x) = f(x), p(x) p 0 > 0, q(x) 0. Myšlenka: Ekvidistantně rozdělit interval [a, b], a = x 0 < x 1 < < x N = b, x i = a + ih, h = (b a)/n. Požadovat splnění rovnice (1) jen v bodech x i (neužívá se tedy variační formulace!), a to jen přibližně. Místo y (x i ), y (x i ) použít přibližnou derivaci vyjádřenou diferenčním podílem. Sestavit lineární algebraické rovnice pro neznámé Y i, které aproximují y i y(x i ). Vyřešit výslednou soustavu lineárních algeb. rovnic.
14 Taylorův polynom f pol. 1 pol. 2 pol. 3 pol. 4 pol. 5 Rozvoj funkce f v okolí bodu a: f(x) n (x a) k f (k) (a) k! k=0
15 Aproximace derivací pomocí Taylorova rozvoje y i+1 = y i + hy (x i ) + h2 2! y (x i ) + h3 3! y (x i ) + h4 4! y(4) (x i + θ + i h), y i 1 = y i hy (x i ) + h2 2! y (x i ) h3 3! y (x i ) + h4 4! y(4) (x i θ i h), kde θ + i (0, 1), θ i (0, 1). (4)-(5) y (x i ) = y i+1 y i 1 + R 1, kde R 1 c 1 h 2. 2h (4)+(5) y (x i ) = y i+1 2y i + y i 1 h 2 + R 2, kde R 2 c 2 h 2. Konstanty c 1, c 2 nezávisejí na h a i. (4) (5)
16 Máme tedy y (x i ) = y i+1 y i 1 2h + O(h 2 ), y (x i ) = y i+1 2y i + y i 1 h 2 + O(h 2 ). Dosadíme do a(x)y (x) + b(x)y (x) q(x)y(x) = f(x) v x = x i ; zavedeme a i = a(x i ), b i = b(x i ), atd. Dostaneme rovnost a i y i+1 2y i + y i 1 h 2 + b i y i+1 y i 1 2h Upravíme (stále jde o přesnou rovnost) y i 1 a i hb i /2 h 2 q i y i = f i + O(h 2 ). + y i 2a i + h 2 q i h 2 y i+1 a i + hb i /2 h 2 = f i + O(h 2 ).
17 Nyní zanedbáme člen O(h 2 ) a dostaneme sít ovou rovnici pro přibližné uzlové hodnoty Y i 1, Y i, Y i+1 : Y i 1 a i hb i /2 h 2 + Y i 2a i + h 2 q i h 2 Y i+1 a i + hb i /2 h 2 = f i. Rovnici sestavíme v každém vnitřním uzlu x i (a, b). Chyba diskretizace (rozdíl mezi f i a levou stranou, v níž místo Y i 1, Y i, Y i+1 užijeme hodnoty y i 1, y i, y i+1 ) je řádu O(h 2 ). Jsou-li OP dirichletovské, pak hodnoty Y 0 a Y N známe a dostáváme N 1 rovnic pro neznámé Y 1,...,Y N 1. Jsou-li v OP derivace, můžeme je aproximovat diferenčními podíly (Y 1 Y 0 )/h a (Y N Y N 1 )/h, dopustíme se však chyby diskretizace řádu O(h), tedy větší.
18 Chyba metody η h = y h Y h, kde y h = (y 1,..., y N ) T a Y h = (Y 1,..., Y N ) T. Vektor Y h získáme vyřešením soustavy A h Y h = F h, kde F h = (f 1,...,f N ) T. Za předpokladu hladkosti koeficientů rovnice platí: matice A h má "dobré" vlastnosti, existuje právě jedno řešení Y h ; dirichletovské OP, pak η h max C 0 h 2 h (0, h 0 ]; OP s derivací aproximované s chybou O(h), pak η h max C 1 h h (0, h 0 ]; OP s derivací aproximované s chybou O(h 2 ) (tj. přesněji; předpis zde neuveden), pak η h max C 1 h 2 h (0, h 0 ]. Poznámky: Chyba diskretizace OP je velmi významná. Snížení hladkosti řešení a koeficientů vede ke zhoršení odhadů rychlosti konvergence.
19 Příklad: Řešme y (1 + sin 2 x)y = 4, y(0) = 0 = y(π) přibližně metodou sítí s h = π/3. Uzly sítě: x 0 = 0, x 1 = π/3, x 2 = 2π/3, x 3 = π. q 1 = 1 + sin 2 x 1 = 1 + sin 2 (π/3) = 1 + ( 3/2) 2 = 1 + 3/4, q 2 = 1 + sin 2 x 2 = 1 + sin 2 (2π/3) = 1 + ( 3/2) 2 = 1 + 3/4, f 1 = 4, f 2 = 4. Diferenční rovnice Y 0 2Y 1 + Y 2 π 2 9 Y 1 2Y 2 + Y 3 π 2 9 ( )Y 1 = 4, (6) ( )Y 2 = 4. (7) Protože z okrajových podmínek plyne Y 0 = 0 = Y 3, jsou (6)-(7) dvě rovnice pro dvě neznámé, tj. Y 1 a Y 2.
20 Po odečtení 3(Y 2 Y 1 ) 7 4 (Y 2 Y 1 ) = 0, π 2 9 ( 27 π tedy Y 1 = Y 2. Po dosazení do (6)-(7) ) (Y 2 Y 1 ) = 0, Y 1 = 1, 50 a Y 2 = 1, 50.
21 Přesné řešení červeně, přibližné modře, 4 uzly.
22 Přesné řešení červeně, přibližné modře, 5 uzlů.
23 Přesné řešení červeně, přibližné modře, 10 uzlů.
24 Přesné řešení červeně, přibližné modře, 20 uzlů.
25 Přednosti metody sítí: dosti obecná rovnice; jednoduchost; soustava s řídkou maticí. Zápory metody sítí: silné předpoklady na hladkost; při oslabení předpokladů na hladkost lze očekávat pomalou konvergenci; problémy s okrajovými podmínkami (2D úlohy).
26 Problém vlastních čísel a metoda sítí Víme, že vlastní čísla okrajové úlohy u + λu = 0, (8) u(0) = 0, u(π) = 0, (9) jsou λ = 1, 4, 9, 16, 25,... Zkusme je spočítat přibližně. Uzly sítě: x 0 = 0, x 1 = π/3, x 2 = 2π/3, x 3 = π, krok dělení h = π/3. Označme U 1, U 2 hodnoty sít ového řešení v bodech x 1, x 2 a µ aproximaci vlastního čísla λ. Z (8) dostáváme diferenční rovnice kde U 0 = 0, U 3 = 0, viz (9). U 0 2U 1 + U 2 h 2 + µu 1 = 0, U 1 2U 2 + U 3 h 2 + µu 2 = 0,
27 Po dosazení U 0 = 0 a U 3 = 0 soustavu upravíme 2U 1 + U 2 h 2 + µu 1 = 0, U 1 2U 2 h 2 + µu 2 = 0, ( 2h ) 2 + µ U h 2 U 2 = 0, 1 h 2 U 1 + ( 2h ) 2 + µ U 2 = 0. ( Soustava má nenulové řešení, pokud 2 ) 2 h 2 + µ 1 h 4 = 0. Tedy µ 2 h 2 = 1 h 2, tj. µ 1 = 1 h 2 0, 9119 a µ 2 = 3 2, h2
28 Jiný přístup k soustavě: Soustavu můžeme upravit i takto 2U 1 + U 2 h 2 + µu 1 = 0, U 1 2U 2 h 2 + µu 2 = 0, 2 h 2 U 1 1 h 2 U 2 = µu 1, 1 h 2 U h 2 U 2 = µu 2 ; dostáváme (a pak řešíme) standardní ( ) problém vlastních čísel 2 1 AU = µu s maticí A = 1. h 2 1 2
29 Jemnější dělení: např. h = π/5, vektor hodnot ve vnitřních uzlech sítě U = (U 1,...,U 4 ) T. Pak AU = µu, kde A = h Vlastní čísla (a vlastní vektory) třídiagonální matice. Čím jemnější dělení, tím lepší aproximace (malých) vlastních čísel.
30 n = 2 n = 3 n = 5 n = 10 n = 20 n = 50 n = Poradove cislo vlastniho cisla Parametr n udává počet vnitřních uzlů sítě. Je zobrazeno několik malých vlastních čísel odpovídající matice typu n n. S rostoucím n pozorujeme konvergenci k přesným vlastním číslům 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49.
31 Problém vlastních čísel a metoda sítí. Obecnější případ. Najděme přibližně první dvě vlastní čísla OÚ u + λp(x)u = 0, u(a) = 0, u(b) = 0, kde p je funkce kladná na intervalu [a, b]. Uzly sítě: x 0 = a, x 1 = (b a)/3, x 2 = 2(b a)/3, x 3 = b, krok dělení h = (b a)/3. Zaved me p i = p(x i ), i = 1, 2. Označme U 1, U 2 hodnoty sít ového řešení v bodech x 1, x 2 a µ aproximaci vl. č. λ. Diferenční rovnice 2U 1 + U 2 h 2 + µp 1 U 1 = 0, U 1 2U 2 h 2 + µp 2 U 2 = 0.
32 upravme ( ) 2 h 2 + µp 1 U h 2 U 2 = 0, ( ) 1 2 h 2 U 1 + h 2 + µp 2 U 2 = 0. Dvě hodnoty µ tedy najdeme jako řešení kvadratické rovnice ( )( ) 2 2 h 2 + µp 1 h 2 + µp 2 1 h 4 = 0. (Hodnoty p1, p2 a h jsou známé!)
33 Výchozí rovnice 2U 1 + U 2 h 2 + µp 1 U 1 = 0, U 1 2U 2 h 2 + µp 2 U 2 = 0 můžeme upravit i do této podoby 1 1 p 1 h 2(2U 1 U 2 ) = µu 1, 1 1 p 2 h 2( U 1 + 2U 2 ) = µu 2, v níž již vidíme ( maticový ) problém vlastních čísel, tj. AU = µu, 1 ( ) kde A = 1 p h p 2
34 Jemnější dělení; maticový zápis. Stejnoměrné dělení s krokem h, body x i, v nich známé hodnoty p i a neznámé hodnoty U i, i = 1,..., n. Pak AU = µu, kde U = (U 1,..., U n ) T, A = h 2 D a p p D = p n
Literatura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Metoda sítí v 1D. Myšlenka náhrada derivací diferenčními podíly Přibližné řešení okrajových úloh Aproximace vlastních čísel Literatura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys:
VíceCo jsme udělali: Au = f, u D(A)
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
VíceDnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
Více(Poznámka: V MA 43 je věta formulována trochu odlišně.)
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy: zúplnění prostoru funkcí přibližné řešení minim. úlohy metoda konečných prvků jiný pohled na zobecněné řešení stejný způsob numerické aproximace
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
VíceHomogenní (nulové) okrajové podmínky Nehomogenní (nenulové) okrajové podmínky
Předmět: MA4 Dnešní látka Variační formulace okrajových úloh. Přibližné řešení minimalizační úlohy Ritzova metoda. Homogenní (nulové) okrajové podmínky Nehomogenní (nenulové) okrajové podmínky Literatura:
VíceLiteratura: Text o lineární algebře na webových stránkách přednášejícího (pro opakování). Kapitoly 4 a 5 ze skript Ondřej Zindulka: Matematika 3,
Předmět: MA4 Dnešní látka Motivační úloha: ztráta stability nosníku Obyčejné diferenciální rovnice s okrajovými podmínkami a jejich řešitelnost Vlastní čísla a vlastní funkce Obecnější pohled na řešitelnost
VíceLiteratura: O. Zindulka: Matematika 3 (kapitola 4, kapitola 5)
Předmět: MA03 Opakování: formulace okrajové úlohy (OÚ), skalární součin funkcí, ortogonalita funkcí Nová látka: vlastní čísla a vlastní funkce OÚ ortogonalita vlastních funkcí řešitelnost OÚ Literatura:
VíceHomogenní (nulové) okrajové podmínky Nehomogenní (nenulové) okrajové podmínky
Předmět: MA4 Dnešní látka Diferenciální operátory Variační formulace okrajových úloh. Přibližné řešení minimalizační úlohy Ritzova metoda. Homogenní (nulové) okrajové podmínky Nehomogenní (nenulové) okrajové
VíceLiteratura: Kapitola 5 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA Dnešní látka: Metoda sítí pro D úlohy. Poissonova rovnice. Vlnová rovnice. Rovnice vedení tepla. Literatura: Kapitola 5 ze skript Karel Rektorys: Matematika 3, ČVUT, Praha,. Text přednášky
Více8. Okrajový problém pro LODR2
8. Okrajový problém pro LODR2 A. Základní poznatky o soustavách ODR1 V kapitole 6 jsme zavedli pojem lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, která je pro n = 2 tvaru A 2 (x)y + A 1 (x)y + A 0 (x)y
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
Víceem do konce semestru. Obsah Vetknutý nosník, str. 8 Problém č.8: Průhyb nosníku - Ritzova metoda
Zápočtové problémy Na následujících stránkách naleznete druhou sérii zápočtových problémů věnovanou nosníkům. Ti, co ještě nemají žádný problém přidělený, si mohou vybrat libovolný z nich. Řešení můžete
Vícekteré charakterizují danou fyzikální situaci. souvislostí). Může být formulován jako soustava rovnic a nerovnic.
1. Přednáška Obsah: Úvod do tvorby matematických modelů jako okrajové úlohy pro diferenciální rovnici. Příklad 1D vedení tepla a lineární pružnost. Diferenciální, variační, energetická formulace úloh.
VíceObsah Obyčejné diferenciální rovnice
Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................
VíceFakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
VíceDiferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
VíceKapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
VíceZákladní spádové metody
Základní spádové metody Petr Tichý 23. října 2013 1 Metody typu line search Problém Idea metod min f(x), f : x R Rn R. n Dána počáteční aproximace x 0. Iterační proces (krok k): (a) zvol směr d k, (b)
VíceVzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová
1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,
VíceNumerická matematika 1
Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceMATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze
Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceBudeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu a, b : 2 ) y i p i+ 1
ODR - okrajová úloha Teorie (velmi stručný výběr z přednášek) Okrajová úloha 2. řádu Budeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
VíceStabilizace Galerkin Least Squares pro
Fakulta strojní ČVUT Ústav technické matematiky Stabilizace Galerkin Least Squares pro MKP na řešení proudění o vyšších Reynoldsových číslech Ing. Jakub Šístek Doc. RNDr. Pavel Burda, CSc. RNDr. Jaroslav
VíceNumerická matematika. Zkouška: 4 příklady, důraz na dif. rovnice.
Numerická matematika Úvodní informace Viz http://mat.fs.cvut.cz Rozsah: 2+2, Z, Zk, seminář 0+2 Z, Obsah: numerické metody pro lineární algebru, obyčejné a parciální diferenciální rovnice, Zápočet: požadavky,
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
VíceProgram SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
Více4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
Vícepouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
Vícez = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
VícePARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Základní pojmy Řešení rovnice je hledání neznámé, která po dosazení do této rovnice vytvoří rovnost. V případě ODR byla neznámou funkce jedné proměnné obvykle ji označujeme
Více1 Diference a diferenční rovnice
1 Diference a diferenční rovnice Nechť je dána ekvidistantní síť uzlů x 0, x 1,..., x n tj. h R, h > 0 takové, že x i = x 0 + ih, i = 0, 1,..., n. Číslo h se nazývá krok. Někdy můžeme uvažovat i nekonečnou
Více11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah
11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci
VíceDiferenciální rovnice 3
Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
VícePříklady pro cvičení 22. dubna 2015
Úvod Předběžná verze (015) 1 1 Normy vektorů a matic, vlastnosti matic Příklad 1.1 Pro dané vektory x = ( 1; ; 1) T, y = (; 3; 1) T určete x =? x =? x 1 =? y =? y =? y 1 =? Příklad 1. Je dán vektor x =
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
VíceÚvod do parciálních diferenciálních rovnic. 2 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce
Příklady na cvičení k přednášce NMMA334 Úvod do parciálních diferenciálních rovnic 1 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce dvou proměnných 1. Určete typ parciální diferenciální rovnice u xx
VíceTento dokument obsahuje zadání pro semestrální programy z PAA. Vypracování. vypracovanou úlohu podle níže uvedených zadání. To mimo jiné znamená, že
Kapitola Zadání Tento dokument obsahuje zadání pro semestrální programy z PAA. Vypracování alespoň jedné úlohy je nutnou podmínkou pro úspěšné složení zkoušky resp. získaní (klasifikovaného) zápočtu (viz.
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
Vícey = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1
ODR - řešené příkla 20 5 ANALYTICKÉ A NUMERICKÉ METODY ŘEŠENÍ ODR A. Analtické meto řešení Vzorové příkla: 5.. Příklad. Řešte diferenciální rovnici = 2. Řešení: Přepišme danou rovnici na tvar = (2 ), což
VíceLineární algebra : Změna báze
Lineární algebra : Změna báze (13. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 8. dubna 2014, 10:47 1 2 13.1 Matice přechodu Definice 1. Nechť X = (x 1,..., x n ) a Y = (y 1,...,
VíceDrsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb
Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 23. 10. 2006 Obsah
VíceNumerické řešení nelineárních rovnic
Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
VíceAplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
VíceNumerická matematika. Úvodní informace. Viz Kontakt: Petr Sváček, KN:D 201
Numerická matematika Úvodní informace Viz http://mat.fs.cvut.cz Kontakt: Petr Sváček, KN:D 201 Soustavy rovnic, souvislost s praxí Těleso nahradíme diskrétními body, hledáme neznámé fyzikální veličiny
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost
Více21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic
21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic Aplikovaná matematika IV, NMAF074 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2014/15 21.1 Základní termíny Definice Vektor tvaru α = (α 1,...,α m ), kde α j N {0}, j
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vlastní čísla a vektory Google Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
VíceKatedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus
Zkoušková písemná práce č 1 z předmětu 1RMF čtvrtek 16 ledna 214, 9: 11: ➊ 11 bodů) Ve třídě zobecněných funkcí vypočítejte itu x ) n n2 sin 2 P 1 n x) ➋ 6 bodů) Aplikací Laplaceovy transformace vypočtěte
VíceŘešení nelineárních rovnic
Řešení nelineárních rovnic Metody sečen (sekantová a regula falsi) Máme dva body x 1 a x mezi nimiž se nachází kořen Nový bod x 3 volíme v průsečíku spojnice bodů x 1, f x 1 a x, f x (sečny) s osou x ERRBISPAS
Více12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy
12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 121 Úvod - opakování Opakování z 1 ročníku (z kapitoly 5) Definice 121 Rovnice se separovanými proměnnými je rovnice tvaru Návod k řešení: Pokud g(c)
VíceNumerické řešení diferenciálních rovnic
Numerické řešení diferenciálních rovnic Omezení: obyčejné (nikoli parciální) diferenciální rovnice, Cauchyho počáteční úloha, pouze jedna diferenciální rovnice 1. řádu 1/1 Numerické řešení diferenciálních
Vícestránkách přednášejícího.
Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce
VíceLINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VíceNelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků
Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků Petr Kabele petr.kabele@fsv.cvut.cz people.fsv.cvut.cz/~pkabele Petr Kabele, 2007-2014 Obsah Variační principy
Více5. cvičení z Matematiky 2
5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceIntegrace. Numerické metody 7. května FJFI ČVUT v Praze
Integrace Numerické metody 7. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod 1D Kvadraturní vzorce Gaussovy kvadratury Více dimenzí Programy 1 Úvod Úvod - Úloha Máme funkci f( x) a snažíme se najít určitý integrál
VíceKapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14
Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou
Vícediferenciální rovnice verze 1.1
Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování
Více9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty
Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Nyní přejdeme k řešení úplné lineární rovnice druhého řádu. I v tomto případě si nejprve ujasníme, v jakém tvaru můžeme očekávat řešení, poté se zaměříme
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
VíceTransformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
VíceMatematické modelování elmg. polí 1. kap.: Elektrostatika
Matematické modelování elmg. polí 1. kap.: Elektrostatika Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/ Text byl
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření
Více7. Soustavy ODR1 Studijní text. 7. Soustavy ODR1. A. Základní poznatky o soustavách ODR1
7 Soustavy ODR1 A Základní poznatky o soustavách ODR1 V inženýrské praxi se se soustavami diferenciálních rovnic setkáváme především v úlohách souvisejících s mechanikou Příkladem může být úloha popsat
VíceNumerické řešení modelu proudění v porézní hornině s puklinou
Numerické řešení modelu proudění v porézní hornině s puklinou Martin Hanek Úvod Vedoucí práce prof. RNDr. Pavel Burda, CSc. Zajímá nás jednofázová tekutina v puklině porézní horniny. Studie je provedena
VíceObyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých
Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.
Více1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu
[M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:
VíceJiří Cajthaml. ČVUT v Praze, katedra geomatiky. zimní semestr 2014/2015
Kartografie 1 - přednáška 2 Jiří Cajthaml ČVUT v Praze, katedra geomatiky zimní semestr 2014/2015 Kartografické zobrazení kartografické zobrazení vzájemné přiřazení polohy bodů na dvou různých referenčních
VíceRovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w
Rovinná úloha v MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u,
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
VíceKapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu Základní pojmy Definice: Rovnice tvaru = f(t, x, y) = g(t, x, y), t I nazýváme soustavou dvou diferenciálních rovnic 1. řádu. Řešením soustavy rozumíme
Více4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu
4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po
Více2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.
Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R
Více11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16
11. Skalární součin a ortogonalita 11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16 11. Skalární součin a ortogonalita p. 2/16 Skalární součin a ortogonalita 1. Definice skalárního součinu 2. Norma vektoru 3.
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceČebyševovy aproximace
Čebyševovy aproximace Čebyševova aproximace je tzv hledání nejlepší stejnoměrné aproximace funkce v daném intervalu Hledáme funkci h x, která v intervalu a,b minimalizuje maximální absolutní hodnotu rozdílu
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.
Více9.5. Soustavy diferenciálních rovnic
Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li
VíceAplikovaná matematika I
Metoda nejmenších čtverců Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno c Dana Říhová (Mendelu Brno) Metoda nejmenších čtverců 1 / 8 Obsah 1 Formulace problému 2 Princip metody nejmenších čtverců 3
VíceINŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2
INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2 Robert Mařík 5. října 2009 c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 LDR druhého řádu 4 2 Homogenní LDR, lineární nezávislost a wronskián 9 3 Homogenní LDR s konstantními
VíceEXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R
VícePrincip řešení soustavy rovnic
Princip řešení soustavy rovnic Tomáš Kroupa 20. května 2014 Tento studijní materiál je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Obsah Formulace úlohy Metody řešení
Více