Literatura: Kapitoly 3, 4 a 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Literatura: Kapitoly 3, 4 a 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího."

Transkript

1 Předmět: MA4 Dnešní látka: Nehomogenní okrajové podmínky. Pokračování OÚ pro PDR (jen pro fajnšmekry). Jednoznačnost zobecněného řešení. Metoda sítí v 1D. Přibližné řešení okrajových úloh. Aproximace vlastních čísel. Literatura: Kapitoly 3, 4 a 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

2 Obecná Dirichletova okrajová podmínka (2D, 3D) Klasické řešení úlohy: najít u C 2 (Ω) C(Ω), aby u = f v Ω R 2, u = g na Γ. Slabé řešení úlohy: Vezměme takovou funkci w W2 1 (Ω), aby splňovala w = g na Γ, pak hledáme u W2 1 (Ω), pro niž Ω u w W 2 1 (Ω), u v dx = fv dx Ω v W 1 2 (Ω). Lze řešit např. užitím u = w + u 0, kde u 0 W 2 1(Ω): u 0 v dx = fv dx w v dx v W 2 1 (Ω). Ω Ω Ω

3 Příklad v 1D: Okrajová úloha u + e x u = cos x, u(0) = 1, u(3) = 5. Zvolíme například w(x) = 1 2x, tj. u = u 0 + w, navíc dokonce u = u 0. Pak OÚ pro neznámou funkci u 0: u 0 + ex (u 0 + w) = cos x, u 0 (0) = 0, u 0 (3) = 0. Slabá formulace: Najít u 0 W 2 1([0, 3]), aby v W 2 1 ([0, 3]) 3 0 ( u 0 (x)v (x) + e x u 0 (x)v(x) ) 3 dx = (cos x e x (1 2x))v(x) dx. Řešení původní úlohy je u = u x W2 1 ([0, 3]). 0

4 Inspirace i pro 1D OÚ s jinými OP: ( (2 + x 3 )u ) + u = cosπx, u(0) = 7, u (1) = 4. Zvolme w(x) = 7 + 4x, tj. u = u 0 + w a platí (2). Pak z ( (2 + x 3 )u 0 ( (2 + x 3 )(u 0 + w) ) + u0 + w = cosπx, ) ( (2 + x 3 )w ) + u0 + w = cosπx, ( (2 + x 3 )u 0) 12x 2 + u x = cosπx, odvodíme OÚ pro neznámou funkci u 0 : ( (2 + x 3 )u 0) + u0 = cos πx + 12x 2 4x 7, (1) u 0 (0) = 0, u 0 (1) = 0. (2) Příslušný operátor je sym. a poz. def., OÚ (1)-(2) řešíme standardně. Řešení původní úlohy je u = u x.

5 Jiné okrajové podmínky ve 2D OÚ (pro fajnšpekry) Neumannova okrajová podmínka u ν = h na Γ. Slabou formulaci úlohy u = f v Ω, u ν = h na Γ lze odvodit postupem naznačeným v minulé přednášce (Jiná cesta k zobecněnému řešení) a uplatněním Greenovy věty (viz též oddíl Newtonova okrajová podmínka na další stránce). Dospějeme k úloze: Najít funkci u H A = W2 1 (Ω) takovou, aby platilo ( u v + u ) v dx = fv dx + hv ds v H A. Ω x 1 x 1 x 2 x 2 Ω Γ Pro existenci řešení je nutná doplňující podmínka Ω f dx + Γ h ds = 0.

6 Newtonova (Robinova) okrajová podmínka u ν + αu = q na Γ. Slabou formulaci úlohy u = f v Ω, u ν + αu = q na Γ lze odvodit postupem naznačeným v minulé přednášce (Jiná cesta k zobecněnému řešení) a uplatněním Greenovy věty. Vynásobme tedy obě strany rovnice u = f testovací funkcí v a integrujme přes oblast Ω. Levou stranu, tj. Ω uv dx upravíme pomocí Greenovy věty:

7 ( 2 u uv dx = Ω Ω x1 2 v + 2 u x2 2 ( u = vν 1 + u ) vν 2 Γ x 1 x 2 ( ) u = ν v ds + Γ = Γ ) v dx ( u v ds + + u ) v dx Ω x 1 x 1 x 2 x 2 u v dx Ω (q αu) v ds + u v dx (viz okraj. podm.). Ω Člen Γ qv ds převedeme na druhou stranu rovnice, tj. k Ω fv dx. Slabá formulace: Najít funkci u W2 1 (Ω) takovou, aby platilo u v dx + αuv ds = fv dx + qv ds v W2 1 (Ω). Ω Γ Pokud α > c > 0, je příslušný operátor pozitivně definitní. Ω Γ

8 Ω u v dx + αuv ds = fv dx + qv ds Γ Ω Γ v W 1 2 (Ω). Tato okrajová úloha modeluje například ustálené vedení tepla v homogenním a izotropním materiálu s jednotkovou tepelnou vodivostí a s koeficientem α přestupu tepla do vnějšího prostředí, u je teplota v tělese Ω.

9 Kdy existuje slabé řešení? Operátor A příslušný této úloze je symetrický a pozitivně definitní. (u, v) A = u v dx + αuv ds Ω Symetrie zřejmá. Pozitivní definitnost (s využitím Friedrichsovy nerovnosti), dokonce vzhledem k normě W 1 2 (Ω) : (u, u) A min( 1 2, α) ( Ω u u dx + c min(1/2, α) u 2 L 2 (Ω) ĉ u 2 W 1 2 (Ω), Ω Γ Γ ) u 2 ds + 1 u u dx 2 Ω u u dx kde c je konstanta z Friedr. nerovnosti (viz minulou přednášku) a ĉ = min(c/2, cα, 1/2) > 0 je konstanta.

10 Proč se používá slabá formulace? Obecnější úlohy než při minimalizaci funkcionálu energie (pro symetrické pozitivně definitní operátory jsou však možné obě cesty a vedou k témuž řešení). Existence řešení za dosti obecných podmínek (Laxovo-Milgramovo lemma). Jednoznačnost řešení. "Poměrně průhledné" odvození z klasické formulace. Velmi vhodná pro teoretickou analýzu (odhady chyby, rychlost konvergence). Teoretický základ metody konečných prvků.

11 Jednoznačnost slabého (zobecněného) řešení Necht operátor A je pozitivně definitní na prostoru V. Mějme dvě řešení u 1, u 2 V, tj. (u 1, v) A = (f, v) v V, (u 2, v) A = (f, v) v V. Po odečtení (u 1 u 2, v) A = 0 v V. Vezměme v = u 1 u 2 (jest v V ), pak 0 = (u 1 u 2, u 1 u 2 ) A c u 1 u 2 2 A = u 1 = u 2.

12 Ukázka složitější úlohy se smíšenými okrajovými podmínkami 2 ( ) u a ij + bu = f v Ω R 2, x i x j i,j=1 u = g na Γ 1, 2 i,j=1 a ij u x j ν i = h na Γ 2, 2 i,j=1 a ij u x j ν i + αu = q na Γ 3, kde Γ = Γ 1 Γ 2 Γ 3 a meas 1 Γ i > 0, i = 1, 2, 3, dále a ij > 0, b 0. Slabá formulace: Najdi funkci u W 1 2 (Ω): u w V, kde w W2 1 (Ω), w = g na Γ 1 ; 2 u v a ij dx + buv dx + αuv ds x j x i Ω Γ 3 = fu dx + hv ds + qv ds v V, Ω Γ 2 Γ 3 Ω i,j=1 kde V = { v W 1 2 (Ω) : v Γ 1 = 0 }. Jest W 1 2 (Ω) V W 1 2 (Ω).

13 Metoda sítí pro přibližné řešení 1D OÚ a(x)y (x)+b(x)y (x) q(x)y(x) = f(x), x [a, b], a OP (3) Předpoklady: a, b, q, f C([a, b]), y C 4 ([a, b]) (kvůli odhadům chyby), a(x) a 0 > 0, q(x) 0 x [a, b]. Poznámka: Rovnice (3) je (až na znaménko) obecnější verzí rovnice (p(x)y (x)) + q(x)y(x) = f(x), p(x) p 0 > 0, q(x) 0. Myšlenka: Ekvidistantně rozdělit interval [a, b], a = x 0 < x 1 < < x N = b, x i = a + ih, h = (b a)/n. Požadovat splnění rovnice (1) jen v bodech x i (neužívá se tedy variační formulace!), a to jen přibližně. Místo y (x i ), y (x i ) použít přibližnou derivaci vyjádřenou diferenčním podílem. Sestavit lineární algebraické rovnice pro neznámé Y i, které aproximují y i y(x i ). Vyřešit výslednou soustavu lineárních algeb. rovnic.

14 Taylorův polynom f pol. 1 pol. 2 pol. 3 pol. 4 pol. 5 Rozvoj funkce f v okolí bodu a: f(x) n (x a) k f (k) (a) k! k=0

15 Aproximace derivací pomocí Taylorova rozvoje y i+1 = y i + hy (x i ) + h2 2! y (x i ) + h3 3! y (x i ) + h4 4! y(4) (x i + θ + i h), y i 1 = y i hy (x i ) + h2 2! y (x i ) h3 3! y (x i ) + h4 4! y(4) (x i θ i h), kde θ + i (0, 1), θ i (0, 1). (4)-(5) y (x i ) = y i+1 y i 1 + R 1, kde R 1 c 1 h 2. 2h (4)+(5) y (x i ) = y i+1 2y i + y i 1 h 2 + R 2, kde R 2 c 2 h 2. Konstanty c 1, c 2 nezávisejí na h a i. (4) (5)

16 Máme tedy y (x i ) = y i+1 y i 1 2h + O(h 2 ), y (x i ) = y i+1 2y i + y i 1 h 2 + O(h 2 ). Dosadíme do a(x)y (x) + b(x)y (x) q(x)y(x) = f(x) v x = x i ; zavedeme a i = a(x i ), b i = b(x i ), atd. Dostaneme rovnost a i y i+1 2y i + y i 1 h 2 + b i y i+1 y i 1 2h Upravíme (stále jde o přesnou rovnost) y i 1 a i hb i /2 h 2 q i y i = f i + O(h 2 ). + y i 2a i + h 2 q i h 2 y i+1 a i + hb i /2 h 2 = f i + O(h 2 ).

17 Nyní zanedbáme člen O(h 2 ) a dostaneme sít ovou rovnici pro přibližné uzlové hodnoty Y i 1, Y i, Y i+1 : Y i 1 a i hb i /2 h 2 + Y i 2a i + h 2 q i h 2 Y i+1 a i + hb i /2 h 2 = f i. Rovnici sestavíme v každém vnitřním uzlu x i (a, b). Chyba diskretizace (rozdíl mezi f i a levou stranou, v níž místo Y i 1, Y i, Y i+1 užijeme hodnoty y i 1, y i, y i+1 ) je řádu O(h 2 ). Jsou-li OP dirichletovské, pak hodnoty Y 0 a Y N známe a dostáváme N 1 rovnic pro neznámé Y 1,...,Y N 1. Jsou-li v OP derivace, můžeme je aproximovat diferenčními podíly (Y 1 Y 0 )/h a (Y N Y N 1 )/h, dopustíme se však chyby diskretizace řádu O(h), tedy větší.

18 Chyba metody η h = y h Y h, kde y h = (y 1,..., y N ) T a Y h = (Y 1,..., Y N ) T. Vektor Y h získáme vyřešením soustavy A h Y h = F h, kde F h = (f 1,...,f N ) T. Za předpokladu hladkosti koeficientů rovnice platí: matice A h má "dobré" vlastnosti, existuje právě jedno řešení Y h ; dirichletovské OP, pak η h max C 0 h 2 h (0, h 0 ]; OP s derivací aproximované s chybou O(h), pak η h max C 1 h h (0, h 0 ]; OP s derivací aproximované s chybou O(h 2 ) (tj. přesněji; předpis zde neuveden), pak η h max C 1 h 2 h (0, h 0 ]. Poznámky: Chyba diskretizace OP je velmi významná. Snížení hladkosti řešení a koeficientů vede ke zhoršení odhadů rychlosti konvergence.

19 Příklad: Řešme y (1 + sin 2 x)y = 4, y(0) = 0 = y(π) přibližně metodou sítí s h = π/3. Uzly sítě: x 0 = 0, x 1 = π/3, x 2 = 2π/3, x 3 = π. q 1 = 1 + sin 2 x 1 = 1 + sin 2 (π/3) = 1 + ( 3/2) 2 = 1 + 3/4, q 2 = 1 + sin 2 x 2 = 1 + sin 2 (2π/3) = 1 + ( 3/2) 2 = 1 + 3/4, f 1 = 4, f 2 = 4. Diferenční rovnice Y 0 2Y 1 + Y 2 π 2 9 Y 1 2Y 2 + Y 3 π 2 9 ( )Y 1 = 4, (6) ( )Y 2 = 4. (7) Protože z okrajových podmínek plyne Y 0 = 0 = Y 3, jsou (6)-(7) dvě rovnice pro dvě neznámé, tj. Y 1 a Y 2.

20 Po odečtení 3(Y 2 Y 1 ) 7 4 (Y 2 Y 1 ) = 0, π 2 9 ( 27 π tedy Y 1 = Y 2. Po dosazení do (6)-(7) ) (Y 2 Y 1 ) = 0, Y 1 = 1, 50 a Y 2 = 1, 50.

21 Přesné řešení červeně, přibližné modře, 4 uzly.

22 Přesné řešení červeně, přibližné modře, 5 uzlů.

23 Přesné řešení červeně, přibližné modře, 10 uzlů.

24 Přesné řešení červeně, přibližné modře, 20 uzlů.

25 Přednosti metody sítí: dosti obecná rovnice; jednoduchost; soustava s řídkou maticí. Zápory metody sítí: silné předpoklady na hladkost; při oslabení předpokladů na hladkost lze očekávat pomalou konvergenci; problémy s okrajovými podmínkami (2D úlohy).

26 Problém vlastních čísel a metoda sítí Víme, že vlastní čísla okrajové úlohy u + λu = 0, (8) u(0) = 0, u(π) = 0, (9) jsou λ = 1, 4, 9, 16, 25,... Zkusme je spočítat přibližně. Uzly sítě: x 0 = 0, x 1 = π/3, x 2 = 2π/3, x 3 = π, krok dělení h = π/3. Označme U 1, U 2 hodnoty sít ového řešení v bodech x 1, x 2 a µ aproximaci vlastního čísla λ. Z (8) dostáváme diferenční rovnice kde U 0 = 0, U 3 = 0, viz (9). U 0 2U 1 + U 2 h 2 + µu 1 = 0, U 1 2U 2 + U 3 h 2 + µu 2 = 0,

27 Po dosazení U 0 = 0 a U 3 = 0 soustavu upravíme 2U 1 + U 2 h 2 + µu 1 = 0, U 1 2U 2 h 2 + µu 2 = 0, ( 2h ) 2 + µ U h 2 U 2 = 0, 1 h 2 U 1 + ( 2h ) 2 + µ U 2 = 0. ( Soustava má nenulové řešení, pokud 2 ) 2 h 2 + µ 1 h 4 = 0. Tedy µ 2 h 2 = 1 h 2, tj. µ 1 = 1 h 2 0, 9119 a µ 2 = 3 2, h2

28 Jiný přístup k soustavě: Soustavu můžeme upravit i takto 2U 1 + U 2 h 2 + µu 1 = 0, U 1 2U 2 h 2 + µu 2 = 0, 2 h 2 U 1 1 h 2 U 2 = µu 1, 1 h 2 U h 2 U 2 = µu 2 ; dostáváme (a pak řešíme) standardní ( ) problém vlastních čísel 2 1 AU = µu s maticí A = 1. h 2 1 2

29 Jemnější dělení: např. h = π/5, vektor hodnot ve vnitřních uzlech sítě U = (U 1,...,U 4 ) T. Pak AU = µu, kde A = h Vlastní čísla (a vlastní vektory) třídiagonální matice. Čím jemnější dělení, tím lepší aproximace (malých) vlastních čísel.

30 n = 2 n = 3 n = 5 n = 10 n = 20 n = 50 n = Poradove cislo vlastniho cisla Parametr n udává počet vnitřních uzlů sítě. Je zobrazeno několik malých vlastních čísel odpovídající matice typu n n. S rostoucím n pozorujeme konvergenci k přesným vlastním číslům 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49.

31 Problém vlastních čísel a metoda sítí. Obecnější případ. Najděme přibližně první dvě vlastní čísla OÚ u + λp(x)u = 0, u(a) = 0, u(b) = 0, kde p je funkce kladná na intervalu [a, b]. Uzly sítě: x 0 = a, x 1 = (b a)/3, x 2 = 2(b a)/3, x 3 = b, krok dělení h = (b a)/3. Zaved me p i = p(x i ), i = 1, 2. Označme U 1, U 2 hodnoty sít ového řešení v bodech x 1, x 2 a µ aproximaci vl. č. λ. Diferenční rovnice 2U 1 + U 2 h 2 + µp 1 U 1 = 0, U 1 2U 2 h 2 + µp 2 U 2 = 0.

32 upravme ( ) 2 h 2 + µp 1 U h 2 U 2 = 0, ( ) 1 2 h 2 U 1 + h 2 + µp 2 U 2 = 0. Dvě hodnoty µ tedy najdeme jako řešení kvadratické rovnice ( )( ) 2 2 h 2 + µp 1 h 2 + µp 2 1 h 4 = 0. (Hodnoty p1, p2 a h jsou známé!)

33 Výchozí rovnice 2U 1 + U 2 h 2 + µp 1 U 1 = 0, U 1 2U 2 h 2 + µp 2 U 2 = 0 můžeme upravit i do této podoby 1 1 p 1 h 2(2U 1 U 2 ) = µu 1, 1 1 p 2 h 2( U 1 + 2U 2 ) = µu 2, v níž již vidíme ( maticový ) problém vlastních čísel, tj. AU = µu, 1 ( ) kde A = 1 p h p 2

34 Jemnější dělení; maticový zápis. Stejnoměrné dělení s krokem h, body x i, v nich známé hodnoty p i a neznámé hodnoty U i, i = 1,..., n. Pak AU = µu, kde U = (U 1,..., U n ) T, A = h 2 D a p p D = p n

Literatura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Literatura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího. Předmět: MA4 Dnešní látka: Metoda sítí v 1D. Myšlenka náhrada derivací diferenčními podíly Přibližné řešení okrajových úloh Aproximace vlastních čísel Literatura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys:

Více

Co jsme udělali: Au = f, u D(A)

Co jsme udělali: Au = f, u D(A) Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení

Více

Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího. Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení

Více

(Poznámka: V MA 43 je věta formulována trochu odlišně.)

(Poznámka: V MA 43 je věta formulována trochu odlišně.) Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy: zúplnění prostoru funkcí přibližné řešení minim. úlohy metoda konečných prvků jiný pohled na zobecněné řešení stejný způsob numerické aproximace

Více

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,

Více

Homogenní (nulové) okrajové podmínky Nehomogenní (nenulové) okrajové podmínky

Homogenní (nulové) okrajové podmínky Nehomogenní (nenulové) okrajové podmínky Předmět: MA4 Dnešní látka Variační formulace okrajových úloh. Přibližné řešení minimalizační úlohy Ritzova metoda. Homogenní (nulové) okrajové podmínky Nehomogenní (nenulové) okrajové podmínky Literatura:

Více

Literatura: Text o lineární algebře na webových stránkách přednášejícího (pro opakování). Kapitoly 4 a 5 ze skript Ondřej Zindulka: Matematika 3,

Literatura: Text o lineární algebře na webových stránkách přednášejícího (pro opakování). Kapitoly 4 a 5 ze skript Ondřej Zindulka: Matematika 3, Předmět: MA4 Dnešní látka Motivační úloha: ztráta stability nosníku Obyčejné diferenciální rovnice s okrajovými podmínkami a jejich řešitelnost Vlastní čísla a vlastní funkce Obecnější pohled na řešitelnost

Více

Literatura: O. Zindulka: Matematika 3 (kapitola 4, kapitola 5)

Literatura: O. Zindulka: Matematika 3 (kapitola 4, kapitola 5) Předmět: MA03 Opakování: formulace okrajové úlohy (OÚ), skalární součin funkcí, ortogonalita funkcí Nová látka: vlastní čísla a vlastní funkce OÚ ortogonalita vlastních funkcí řešitelnost OÚ Literatura:

Více

Homogenní (nulové) okrajové podmínky Nehomogenní (nenulové) okrajové podmínky

Homogenní (nulové) okrajové podmínky Nehomogenní (nenulové) okrajové podmínky Předmět: MA4 Dnešní látka Diferenciální operátory Variační formulace okrajových úloh. Přibližné řešení minimalizační úlohy Ritzova metoda. Homogenní (nulové) okrajové podmínky Nehomogenní (nenulové) okrajové

Více

Literatura: Kapitola 5 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Literatura: Kapitola 5 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího. Předmět: MA Dnešní látka: Metoda sítí pro D úlohy. Poissonova rovnice. Vlnová rovnice. Rovnice vedení tepla. Literatura: Kapitola 5 ze skript Karel Rektorys: Matematika 3, ČVUT, Praha,. Text přednášky

Více

8. Okrajový problém pro LODR2

8. Okrajový problém pro LODR2 8. Okrajový problém pro LODR2 A. Základní poznatky o soustavách ODR1 V kapitole 6 jsme zavedli pojem lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, která je pro n = 2 tvaru A 2 (x)y + A 1 (x)y + A 0 (x)y

Více

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,

Více

em do konce semestru. Obsah Vetknutý nosník, str. 8 Problém č.8: Průhyb nosníku - Ritzova metoda

em do konce semestru. Obsah Vetknutý nosník, str. 8 Problém č.8: Průhyb nosníku - Ritzova metoda Zápočtové problémy Na následujících stránkách naleznete druhou sérii zápočtových problémů věnovanou nosníkům. Ti, co ještě nemají žádný problém přidělený, si mohou vybrat libovolný z nich. Řešení můžete

Více

které charakterizují danou fyzikální situaci. souvislostí). Může být formulován jako soustava rovnic a nerovnic.

které charakterizují danou fyzikální situaci. souvislostí). Může být formulován jako soustava rovnic a nerovnic. 1. Přednáška Obsah: Úvod do tvorby matematických modelů jako okrajové úlohy pro diferenciální rovnici. Příklad 1D vedení tepla a lineární pružnost. Diferenciální, variační, energetická formulace úloh.

Více

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................

Více

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y

Více

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí

Více

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +

Více

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť

Více

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice 9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

Základní spádové metody

Základní spádové metody Základní spádové metody Petr Tichý 23. října 2013 1 Metody typu line search Problém Idea metod min f(x), f : x R Rn R. n Dána počáteční aproximace x 0. Iterační proces (krok k): (a) zvol směr d k, (b)

Více

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová 1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,

Více

Numerická matematika 1

Numerická matematika 1 Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

Budeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu a, b : 2 ) y i p i+ 1

Budeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu a, b : 2 ) y i p i+ 1 ODR - okrajová úloha Teorie (velmi stručný výběr z přednášek) Okrajová úloha 2. řádu Budeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

Stabilizace Galerkin Least Squares pro

Stabilizace Galerkin Least Squares pro Fakulta strojní ČVUT Ústav technické matematiky Stabilizace Galerkin Least Squares pro MKP na řešení proudění o vyšších Reynoldsových číslech Ing. Jakub Šístek Doc. RNDr. Pavel Burda, CSc. RNDr. Jaroslav

Více

Numerická matematika. Zkouška: 4 příklady, důraz na dif. rovnice.

Numerická matematika. Zkouška: 4 příklady, důraz na dif. rovnice. Numerická matematika Úvodní informace Viz http://mat.fs.cvut.cz Rozsah: 2+2, Z, Zk, seminář 0+2 Z, Obsah: numerické metody pro lineární algebru, obyčejné a parciální diferenciální rovnice, Zápočet: požadavky,

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

Program SMP pro kombinované studium

Program SMP pro kombinované studium Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6) 1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Základní pojmy Řešení rovnice je hledání neznámé, která po dosazení do této rovnice vytvoří rovnost. V případě ODR byla neznámou funkce jedné proměnné obvykle ji označujeme

Více

1 Diference a diferenční rovnice

1 Diference a diferenční rovnice 1 Diference a diferenční rovnice Nechť je dána ekvidistantní síť uzlů x 0, x 1,..., x n tj. h R, h > 0 takové, že x i = x 0 + ih, i = 0, 1,..., n. Číslo h se nazývá krok. Někdy můžeme uvažovat i nekonečnou

Více

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah 11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci

Více

Diferenciální rovnice 3

Diferenciální rovnice 3 Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty

Více

1 Polynomiální interpolace

1 Polynomiální interpolace Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,

Více

Interpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,

Více

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,

Více

Příklady pro cvičení 22. dubna 2015

Příklady pro cvičení 22. dubna 2015 Úvod Předběžná verze (015) 1 1 Normy vektorů a matic, vlastnosti matic Příklad 1.1 Pro dané vektory x = ( 1; ; 1) T, y = (; 3; 1) T určete x =? x =? x 1 =? y =? y =? y 1 =? Příklad 1. Je dán vektor x =

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. 2 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce

Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. 2 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce Příklady na cvičení k přednášce NMMA334 Úvod do parciálních diferenciálních rovnic 1 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce dvou proměnných 1. Určete typ parciální diferenciální rovnice u xx

Více

Tento dokument obsahuje zadání pro semestrální programy z PAA. Vypracování. vypracovanou úlohu podle níže uvedených zadání. To mimo jiné znamená, že

Tento dokument obsahuje zadání pro semestrální programy z PAA. Vypracování. vypracovanou úlohu podle níže uvedených zadání. To mimo jiné znamená, že Kapitola Zadání Tento dokument obsahuje zadání pro semestrální programy z PAA. Vypracování alespoň jedné úlohy je nutnou podmínkou pro úspěšné složení zkoušky resp. získaní (klasifikovaného) zápočtu (viz.

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a

Více

y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1

y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1 ODR - řešené příkla 20 5 ANALYTICKÉ A NUMERICKÉ METODY ŘEŠENÍ ODR A. Analtické meto řešení Vzorové příkla: 5.. Příklad. Řešte diferenciální rovnici = 2. Řešení: Přepišme danou rovnici na tvar = (2 ), což

Více

Lineární algebra : Změna báze

Lineární algebra : Změna báze Lineární algebra : Změna báze (13. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 8. dubna 2014, 10:47 1 2 13.1 Matice přechodu Definice 1. Nechť X = (x 1,..., x n ) a Y = (y 1,...,

Více

Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb

Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 23. 10. 2006 Obsah

Více

Numerické řešení nelineárních rovnic

Numerické řešení nelineárních rovnic Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html

Více

Aplikovaná numerická matematika - ANM

Aplikovaná numerická matematika - ANM Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových

Více

Numerická matematika. Úvodní informace. Viz Kontakt: Petr Sváček, KN:D 201

Numerická matematika. Úvodní informace. Viz  Kontakt: Petr Sváček, KN:D 201 Numerická matematika Úvodní informace Viz http://mat.fs.cvut.cz Kontakt: Petr Sváček, KN:D 201 Soustavy rovnic, souvislost s praxí Těleso nahradíme diskrétními body, hledáme neznámé fyzikální veličiny

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost

Více

21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic

21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic 21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic Aplikovaná matematika IV, NMAF074 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2014/15 21.1 Základní termíny Definice Vektor tvaru α = (α 1,...,α m ), kde α j N {0}, j

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Vlastní čísla a vektory Google Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus Zkoušková písemná práce č 1 z předmětu 1RMF čtvrtek 16 ledna 214, 9: 11: ➊ 11 bodů) Ve třídě zobecněných funkcí vypočítejte itu x ) n n2 sin 2 P 1 n x) ➋ 6 bodů) Aplikací Laplaceovy transformace vypočtěte

Více

Řešení nelineárních rovnic

Řešení nelineárních rovnic Řešení nelineárních rovnic Metody sečen (sekantová a regula falsi) Máme dva body x 1 a x mezi nimiž se nachází kořen Nový bod x 3 volíme v průsečíku spojnice bodů x 1, f x 1 a x, f x (sečny) s osou x ERRBISPAS

Více

12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy

12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 121 Úvod - opakování Opakování z 1 ročníku (z kapitoly 5) Definice 121 Rovnice se separovanými proměnnými je rovnice tvaru Návod k řešení: Pokud g(c)

Více

Numerické řešení diferenciálních rovnic

Numerické řešení diferenciálních rovnic Numerické řešení diferenciálních rovnic Omezení: obyčejné (nikoli parciální) diferenciální rovnice, Cauchyho počáteční úloha, pouze jedna diferenciální rovnice 1. řádu 1/1 Numerické řešení diferenciálních

Více

stránkách přednášejícího.

stránkách přednášejícího. Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků

Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků Petr Kabele petr.kabele@fsv.cvut.cz people.fsv.cvut.cz/~pkabele Petr Kabele, 2007-2014 Obsah Variační principy

Více

5. cvičení z Matematiky 2

5. cvičení z Matematiky 2 5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Integrace. Numerické metody 7. května FJFI ČVUT v Praze

Integrace. Numerické metody 7. května FJFI ČVUT v Praze Integrace Numerické metody 7. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod 1D Kvadraturní vzorce Gaussovy kvadratury Více dimenzí Programy 1 Úvod Úvod - Úloha Máme funkci f( x) a snažíme se najít určitý integrál

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty

9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Nyní přejdeme k řešení úplné lineární rovnice druhého řádu. I v tomto případě si nejprve ujasníme, v jakém tvaru můžeme očekávat řešení, poté se zaměříme

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:

Více

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ. Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních

Více

Matematické modelování elmg. polí 1. kap.: Elektrostatika

Matematické modelování elmg. polí 1. kap.: Elektrostatika Matematické modelování elmg. polí 1. kap.: Elektrostatika Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/ Text byl

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření

Více

7. Soustavy ODR1 Studijní text. 7. Soustavy ODR1. A. Základní poznatky o soustavách ODR1

7. Soustavy ODR1 Studijní text. 7. Soustavy ODR1. A. Základní poznatky o soustavách ODR1 7 Soustavy ODR1 A Základní poznatky o soustavách ODR1 V inženýrské praxi se se soustavami diferenciálních rovnic setkáváme především v úlohách souvisejících s mechanikou Příkladem může být úloha popsat

Více

Numerické řešení modelu proudění v porézní hornině s puklinou

Numerické řešení modelu proudění v porézní hornině s puklinou Numerické řešení modelu proudění v porézní hornině s puklinou Martin Hanek Úvod Vedoucí práce prof. RNDr. Pavel Burda, CSc. Zajímá nás jednofázová tekutina v puklině porézní horniny. Studie je provedena

Více

Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých

Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.

Více

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu [M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:

Více

Jiří Cajthaml. ČVUT v Praze, katedra geomatiky. zimní semestr 2014/2015

Jiří Cajthaml. ČVUT v Praze, katedra geomatiky. zimní semestr 2014/2015 Kartografie 1 - přednáška 2 Jiří Cajthaml ČVUT v Praze, katedra geomatiky zimní semestr 2014/2015 Kartografické zobrazení kartografické zobrazení vzájemné přiřazení polohy bodů na dvou různých referenčních

Více

Rovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w

Rovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w Rovinná úloha v MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u,

Více

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x). Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých

Více

Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu

Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu Základní pojmy Definice: Rovnice tvaru = f(t, x, y) = g(t, x, y), t I nazýváme soustavou dvou diferenciálních rovnic 1. řádu. Řešením soustavy rozumíme

Více

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu 4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po

Více

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi. Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R

Více

11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16

11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16 11. Skalární součin a ortogonalita 11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16 11. Skalární součin a ortogonalita p. 2/16 Skalární součin a ortogonalita 1. Definice skalárního součinu 2. Norma vektoru 3.

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Čebyševovy aproximace

Čebyševovy aproximace Čebyševovy aproximace Čebyševova aproximace je tzv hledání nejlepší stejnoměrné aproximace funkce v daném intervalu Hledáme funkci h x, která v intervalu a,b minimalizuje maximální absolutní hodnotu rozdílu

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li

Více

Aplikovaná matematika I

Aplikovaná matematika I Metoda nejmenších čtverců Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno c Dana Říhová (Mendelu Brno) Metoda nejmenších čtverců 1 / 8 Obsah 1 Formulace problému 2 Princip metody nejmenších čtverců 3

Více

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2 INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2 Robert Mařík 5. října 2009 c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 LDR druhého řádu 4 2 Homogenní LDR, lineární nezávislost a wronskián 9 3 Homogenní LDR s konstantními

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

Princip řešení soustavy rovnic

Princip řešení soustavy rovnic Princip řešení soustavy rovnic Tomáš Kroupa 20. května 2014 Tento studijní materiál je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Obsah Formulace úlohy Metody řešení

Více