FUZZY ÍZENÍ A REGULACE

Transkript

1 TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Hálkova 6, Liberec 1, CZ Fakulta mechatroniky a mezioborových inženýrských studií Teorie automatického ízení II. FUZZY ÍZENÍ A REGULACE Studijní materiály Doc. Ing. Osvald Modrlák, CSc. Srpen 2004 Katedra ídicí techniky Doc. Ing. Osvald Modrlák CSc. 0

2 Obsah Úvod Fuzzy množiny a lingvistické promnné Operace s fuzzy množinami Inferenní pravidla Implikace jednorozmrné závislosti Implikace dvourozmrné závislosti s jedním pravidlem Implikace dvourozmrné závislosti se dvma pravidly Larsenova implikace Poet pravidel Defuzzyfikace Mean of maximum - metoda nejvýznamnjšího maxima Metody tžišt Fuzzy regulátory Jednoduchý fuzzy regulátor typu PID Tvorba báze pravidel Seízení jednoduchého fuzzy regulátoru typu PID Fuzzy logic toolbox Implementace fuzzy logiky a ízení v SIMULINKU Návrh struktury a vlastností fuzzy regulátoru FIS Editor Membership Function Editor (MF editor) Rule Editor (Editor pravidel EP) Rule Viewer, Surface Viewer FIS matice Literatura Tento studijní materiál nabízí zájemcm základní informace o fuzzy regulaci, která je souástí vdní disciplíny oznaované jako Soft Computing, jehož základy položil americký vdec ruského pvodu L. A. Zadeh. Doc. Ing. Osvald Modrlák CSc. 1

3 ÚVOD V posledních letech se v praxi mžeme setkat v ízení a regulaci s pístupy a principy, které jsou založeny na pomrn nové vdní disciplín, která je oznaována zkratkou SC-Soft Computing. Tato disciplína se zabývá symbiózou rzných výpoetních postup, jejichž spoleným jmenovatelem je odklon od klasického modelování založeného na booleovské logice, analytických modelech, ostré klasifikaci a deterministickém prohledávání. V názvu uvedené slovo "soft", vyjadující lexikáln "mkkost, mírnost", tady znamená "mkké" požadavky na pesnost popisovaných jev. Mezi hlavní zástupce SC zahrnujeme fuzzy logiku (FL), neuronové sít (NS) a genetické algoritmy (GA). Fuzzy logika spoívá v rozšíení logických operátor na fuzzy množiny. Teorie fuzzy množin spoívá v zavedení tzv. stupn píslušnosti prvku k množin, který mže nabývat hodnot z intervalu <0,1> na rozdíl od klasické teorie množin, kdy každý prvek do množiny bu patí nebo nepatí. FL nám poskytuje jazyk s vlastní syntaxí a sématikou, který nám umožuje bezprostední použití kvalitativn formulovaných zkušeností a znalostí o ešeném problému. Neuronové sít jsou výpoetní struktury, které mají schopnost uení. Genetické algoritmy provádjí náhodné prohledávání prostoru za pomoci imitace živé pírody. V tomto postupu probíhá modelová evoluce od vzniku jedinc pes jejich selekci a kížení až po jejich nahrazení dokonalejšími jedinci. Protože cílem kurzu je pouze seznámit studenty s principy fuzzy ízení a regulace, soustedíme výklad pouze na základní charakteristiky fuzzy pístup. Omezíme se pouze na 1) Fuzzy množiny a lingvistické promnné 2) Operace s fuzzy množinami 3) Vyhodnocování rozhodovacích pravidel - inferenní pravidla 4) Piazení k výstupní fuzzy množin vhodnou ostrou hodnotu akní veliiny - defuzzyfikace 5) Strukturu fuzzy regulace 1. FUZZY MNOŽINY A LINGVISTICKÉ PROMNNÉ V klasické teorii množin je možno množinu popsat nkolika zpsoby: a) výtem prvk množiny M = {x 1, x 2, x 3, x 4 } b) pravidlem, kterému musí prvky vyhovovat m M (x) c) charakteristickou funkcí m M (x), pro kterou platí 1 m M (x) = 1, jestliže x M = 0, nepatí Obr.1 Záporná teplota teplota ºC Píklad charakteristické funkce množiny Záporná teplota je na obr.1. Prvek x v klasické teorii množin do množiny bud patí, nebo nepatí, protože jeho charakteristická funkce nabývá hodnot 1 nebo 0. Hovoíme pak o ostrých množinách - ostrém rozlišení pi rozhodování o píslušnosti. Pokud charakteristická funkce charakterizuje stupe, s jakým prvek do množiny patí, pak tyto množiny oznaujeme jako množiny neostré - fuzzy množiny. V klasické teorii množin jsou definovány operace sjednocení, prnik a komplement. Doc. Ing. Osvald Modrlák CSc. 2

4 Chceme-li ale využít empirických zkušeností obsluh, personálu a expert, neobejdeme se bez zavedení a používání lingvistických promnných. Lingvistická promnná je taková promnná, jejíž hodnoty jsou výrazy njakého jazyka. Hodnotu lingvistické promnné mžeme interpretovat jako fuzzy-neostré množiny. Množina lingvistických hodnot se oznauje jako množina term. Termy jsou definovány na univerzu, které chápeme jako univerzální množinu. Nap. pi regulaci teploty lázn mžeme teplotu lázn chápat jako lingvistickou promnnou s názvem "teplota lázn". Jakou bude mít lingvistická promnná hodnotu? V technické praxi se v naší zemi mí teplota ve stupních Celsia. Míme-li nap. teplotu lázn, pak údaj o teplot je ve stupních. Kvantitativní vyjádení teploty lázn v hovorovém jazyce však nemusí býti vyjádeno jen stupni, ale bžn jsou užívány pro oznaení teploty výrazy jako: láze je LEDOVÁ, STUDENÁ, VLAŽNÁ, TEPLÁ atd. Jako hodnotu lingvistické promnné "teplota lázn" pak mžeme oznait prvek z množiny teplot { ledová(l), studená(s), vlažná(v), teplá(t), horká(h) }. Takto zavedená jazyková kvantifikace teplot (nap. studená) pedstavuje term, který oznauje neostrou množinu, pro kterou je možno definovat charakteristickou funkci m S (x). Charakteristická funkce m S (x) u neostrých fuzzy-množin se nazývá funkcí píslušnosti m S (x). Charakterizuje stupe, s jakým daný prvek patí do píslušné množiny, a to od hodnoty 0, kdy prvek do množiny urit nepatí, až do hodnoty 1, kdy prvek do množiny zcela urit patí. Jako píklad funkcí píslušnosti uvádíme neostré množiny studená a vlažná a jejich funkce píslušnosti m S (x) a m V (x) na obr.2. Každý z term studená a vlažná je definován funkcí píslušnosti na uritém intervalu teplot (univerza) ve stupních Celsia. 1 L-funkce Vlažná m V (x) Studená m S (x) -funkce teplota ºC Obr.2 Funkce píslušnosti m S (x) a m V (x) Funkci píslušnosti neostré množiny osvtlíme na následujícím píkladu, viz obr.2. - namíme-li teplotu x = 20 C, pak m S (x) = 0 a jist tato namená teplota nepatí do termu - lingvistické hodnoty studená. - namíme-li teplotu x = 0 C, pak m S (x) = 0,5 což indikuje, že tato namená teplota patí do termu - lingvistické hodnoty studená stupnm píslušnosti 0,5. - namíme-li teplotu x = -10 C, pak m S (x) = 1 a je zejmé, že tato namená teplota patí do termu - lingvistické hodnoty studená stupnm píslušnosti 1. - namíme-li teplotu x = -20 C, pak m S (x) = 1 a i tato namená teplota patí do termu - lingvistické hodnoty studená se stupnm píslušnosti 1. Doc. Ing. Osvald Modrlák CSc. 3

5 - namíme-li teplotu x = +15 C, pak je m S (x) = 0,25 a tato namená teplota patí do termu - lingvistické hodnoty studená se stupnm píslušnosti 0,25. Ale pozor, funkce píslušnosti m V (x) = 1 z ehož plyne, že tato namená teplota patí také do množiny-termu vlažná se stupnm píslušnosti 1. Proces piazování mených hodnot vstupních veliin do fuzzy množin pomocí funkcí píslušností se oznauje jako fuzzyfikace. Pro regulaní úlohy se používají standardní funkce píslušnosti: -funkce (funkce trojúhelníková), L-funkce (viz obr.2), -funkce (funkce lichobžníková) viz -funkce, S-funkce a Z-funkce. My se omezíme na funkce složené z lineárních úsek. Také pro oznaování hodnot lingvistické promnné se používá standardní oznaení. Typické oznaení term - fuzzy hodnot a jejich zkratek, vetn anglického oznaení, je v tab.1 Význam Ozn. es. Ozn. Ang. Hodnota velká záporná ZV NL Hodnota stední záporná ZS NM Hodnota malá záporná ZM NS Hodnota záporná blízká nule ZN NZ Hodnota nulová NU Z Hodnota kladná blízká nule KN PZ Hodnota malá kladná KM PS Hodnota stední kladná KS PM Hodnota velká kladná KV PL Tab.1. Píklad dalších lingvistických promnných Lingvistická promnná-oznaení lingvistické hodnoty - termy 1. Vzdálenost nulová, blízká, stední, veliká, obrovská 2. Úhel záporný, nulový, kladný 3. Tepelný výkon ZV, ZS, NU, KS, KV 4. Teplota ZV, ZS, ZM, NU, KM, KS, KV 5. Regulaní odchylka ZV, ZS, ZM, ZN, NU, KN, KM, KS, KV 6. Otevení ventilu NU, KN, KM, KS, KV 7. Pírstek regulaní odchylky záporný (Z), kladný (K) Pro lingvistické promnné Úhel, Otevení ventilu, Regulaní odchylka a Pírstek regulaní odchylky jsou na obr.3a,b,c,d zobrazeny funkce píslušnosti pro jejich lingvistické hodnoty - termy. m KN () m KS () a) Úhel b) Otevení ventilu m nulový () m NU () m KM () m KV () m kladný () 1 1 m záporný () 0 0 Doc. Ing. Osvald Modrlák CSc. 4

6 -0,5-0,25 0 0,25 [rad] 0,5 0% 25% 50% 75% [%] 100% c) Regulaní odchylka m ZS (x) 1 m ZM (x) m ZN (x) m NU (x) m KN (x) m KM (x) m KS (x) m KV (x) 0 m ZV (x) -funkce -40C -20C 0C 20C x[ 0 C] 40C 1 d) Pírstek regulaní odchylky m Z (T) m K (T) T[ºC] 60 Obr.3 Funkce píslušnosti pro vybrané lingvistické promnné a jejich hodnoty - termy. 2. OPERACE S FUZZY MNOŽINAMI Fuzzy množiny mžeme pokládat za zobecnní klasických ostrých množin. Ostrá množina mže být pokládána za zvláštní pípad fuzzy množiny, jejíž funkce píslušnosti nabývá jen hodnot 0 a 1. Operátory fuzzy logiky Fuzzy logika spoívá pouze v rozšíení funkce logických operátor (AND, OR, NOT) z dvouhodnotové logiky pro vícehodnotovou (fuzzy) logiku. Pro naší potebu uvedeme pouze základní ti. Fuzzy komplement, doplnk množiny A, C = NOT A m C (x) = 1 - m A (x) Fuzzy prnik množin (logický souin) C = A AND B m C = m AB (x) = min{ m A (x), m B (x) } Fuzzy sjednocení množin (logický souet) C = A OR B Doc. Ing. Osvald Modrlák CSc. 5

7 Tyto operace jsou znázornny na obr.4. m A (x) 1 1 m C = m AB (x) = max{ m A (x), m B (x)} m A (x) x x 1 m B (x) 1 m B (x) x x 1 1 m C (x) = max{ m A (x), m B (x)} logický souet x x 1 1 m C (x) = min{ m A (x), m B (x)} logický souin 1 1 x x m C (x)=1 - m A (x) x komplement (doplnk) Obr.4 Operace s fuzzy množinami OR, AND a komplement 3. INFERENNÍ PRAVIDLA x Obecn je logické ízení založeno na vyhodnocování rozhodovacích pravidel ve form JESTLIŽE PAK. Pro fuzzy ízení a regulaci je podmínka vyjádena formou implikace dvou fuzzy výrok vtšinou jako v anglické verzi pak JESTLIŽE <fuzzy výrok> PAK <fuzzy výrok>, IF <fuzzy výrok> THEN <fuzzy výrok>. Tato podmínka je oznaována jako produkní pravidlo, jestliže-pak. První fuzzy v roková množina, kterou je asto složený výrok, se nazývá ancedent, kde jednotlivé ásti výroku jsou vázány logickými spojkami. Druhý fuzzy výrok je konsekvent. Doc. Ing. Osvald Modrlák CSc. 6

8 3.1 IMPLIKACE JEDNOROZMRNÉ ZÁVISLOSTI Diskutujme následující píklad. Uvažujme jednoduchý fuzzy výrok IF <E. kladná> THEN <U. kladná>. V rozhodovacím pravidle je v ancedentu lingvistická promnná E (regulaní odchylka), jejíž hodnota je "kladná" a má funkci píslušnosti m kladné (E). Konsekvent obsahuje lingvistickou promnnou U (akní veliinu) s hodnotou "kladná", jejíž funkce píslušnosti je m kladné (U), viz obr.5. m kladné (E) IF <E.kladná> m kladné (U) THEN <U.kladná>. *m kladné (U ) 0 4 e Obr.5 Implikace jednorozmrné závislosti Zmíme-li ostrou hodnotu regulaní odchylky e 0, pak mžeme v obr.5 pomocí funkce píslušnosti m kladné (E) odeíst stupe píslušnosti, s jakým zmená hodnota písluší k množin hodnot E.kladná. Naším úkolem však je nalézt pro zmenou ostrou hodnotu odpovídající fuzzy množinu konsekventu. Nejastjší postup jak urit tuto množinu vychází z logického pedpokladu, že dsledek - konsekvent mže mít maximáln stupe píslušnosti jako má podmínka - ancedent. Stupe píslušnosti zmené ostré hodnoty e 0 uruje tedy hladinu, která nám oízne výstupní fuzzy množinu U konsekventu. Funkce píslušnosti konsekventu pak je *m kladné (U) (obrys tlust). Tato implikace se oznauje jako Mamdamiho implikace. 3.2 IMPLIKACE DVOUROZMRNÉ ZÁVISLOSTI S JEDNÍM PRAVIDLEM Zobecnní tohoto principu na dvourozmrný pípad JESTLIŽE (X je kladné stední) AND (Y kladné stední) PAK (U je záporné stední), vyjaduje Mamdaniho a Larsenova implikace (bude vysvtlena pozdji). Mamdaniho implikace definuje funkci píslušnosti konsekventu jako m IM (x1,x2) = min{ m A (x1), m B (x2) } Minimalizací se vyjaduje skutenost, že dsledek (konsekvent) mže mít maximáln stupe píslušnosti, jako má podmínka (ancedent). Mžeme též hovoit o optimistickém závru. Nalezení výstupních množin pro dvourozmrnou závislost a jedno rozhodovací pravidlo vychází z pravidla, že pokud se pravidla pekrývají, pak každé pravidlo v ancedentu vygeneruje svou individuální výstupní fuzzy množinu, které se také pekrývají a vybíráme podle Mamdaniho minimum Doc. Ing. Osvald Modrlák CSc. 7

9 (vazbou v ásti IF - ancedentu je operátor AND). Ukažme interpretaci tohoto pravidla na následujícím píkladu: JESTLIŽE (x je kladné malé) AND (y kladné stední) PAK (u je záporné stední), v anglické verzi IF <x.ps> AND <y.pm> THEN <u.nm> Nalezení výstupní množiny pro jedno pravidlo a dvourozmrnou závislost je na obr.6. Použitím Mamdaniho implikace obdržíme funkci píslušnosti konsekventu jako minimum z ancedentu a projekce Mamdaniho relace do osy m. Což znamená oíznutí funkce píslušnosti konsekventu na hladin, která odpovídá minimu ze stup píslušnosti pro ob vstupní ostré hodnoty x 0 a y 0. = m KM (x) m KS (y) = min { m KM (x), m KS (y) } Pro funkci píslušnosti konsekventu obdržíme *m ZS (u) = m ZS (u) = min {, m ZS (u) } m KM (x) m KS (y) m ZS (u) x x 0 y0 MIN y Obr.6. Nalezení výstupní množiny pro jedno pravidlo a dvourozmrnou závislost u Je-li tato vazba OR, pak vybíráme MAXIMUM z odpovídajících funkcí píslušnosti, viz. obr.7. Oíznutí funkce píslušnosti konsekventu na hladin, která odpovídá maximu z obou funkcí píslušnosti vstupních hodnot. IF <x.km> OR <x.ks> THEN <u.zs> m KM (x) m SM (y) m ZS (u) MAX x0 x y0 Obr.7. Nalezení výstupní množiny pro jedno pravidlo a dvourozmrnou závislost s operátorem OR 3.3 IMPLIKACE DVOUROZMRNÉ ZÁVISLOSTI SE DVMA PRAVIDLY Nalezení výstupní množiny pro dv pravidla a dvourozmrnou závislost a Mamdaniho implikaci je zobrazeno na obr.8 IF <x.km> AND <y.km> THEN <u.km> ELSE IF <x.ks> AND <y.km> THEN <u.ks> y u Doc. Ing. Osvald Modrlák CSc. 8

10 Pro dv rozhodovací pravidla jsou popsaným postupem ureny funkce píslušnosti dvou výstupních lingvistických promnných - term, pro které platí 1 = m KM (x) m KM (y) = min { m KM (x), m KM (y) } 2 = m KS (x) m KM (y) = min { m KS (x), m KM (y) } Pro konsekventy obou implikací dostaneme *m KM (u) = 1 m KM (u) = min { 1, m KM (u) } *m KS (u) = 2 m KS (u) = min { 2, m KS (u) } m KM (x) m KM (y) m KM (u) *m KM (u) 1 MIN X0 Y0 m KS (x) m KM (y) m KS (u) *m KS (u) 2 MIN x y u Obr.8 Nalezení výstupní množiny pro dv pravidla a dvourozmrnou závislost *m CEL (u) Konsekventy obou implikací *m KS (u) a *m KM (u) u urují jejich dílí podíly na velikosti akní veliiny. Intuitivn se nabízí možnost interpretovat úinek obou dílích výstupních term jako jejich logický souet. Pak pro výstupní fuzzy množinu obou úink dostaneme *m CEL (u) = max { min { 1, m KM (u)}, min { 2, m KS (u) }}. Toto pravidlo je možno rozšíit na libovolný poet rozhodovacích pravidel. 3.4 LARSENOVA IMPLIKACE Použijeme-li Larsenovy implikace, pak výstupní množina pro dv rozhodovací pravidla nebude oíznuta hladinou 1, 2, ale vynásobená tmito hladinami jak je vidt na obr.9. Doc. Ing. Osvald Modrlák CSc. 9

11 m KM (x) m KM (y) m KM (u) 1 MIN *m KM (u) X01 Y02 m KS (x) m KM (y) m ZS (u) *m ZS (u) u 2 MIN x Obr.9 Inference s použitím Larsenovy implikace y u *m CEL (u) 3.5 POET PRAVIDEL u Pro dvourozmrnou funkní závislost lingvistických promnných X, Y inferenní pravidla tvo- í dvojice, které patí do množiny A B, která je dána kartézským souinem P ( x, y) / x A, y B Poet pravidel pro dv fuzzy veliiny (dvourozmrná závislost: regulaní odchylka e a zmna reg. odchylky e) vysvtlíme následovn. Regulaní odchylka e má 5 lingvistických hodnot-term (ZV, ZS, NU, KS,KV). Zmna reg. odchylky e má 3 lingvistické hodnoty-termy (Z, NU, K). Protože "Regulaní odchylka" je fuzzyfikována pti termy a "Zmna reg. odchylky e" má ti termy, je celkový poet pravidel P 5 x 3 = 15, viz obr.10. Pro poet pravidel platí P = n x m, kde m a n je poet term fuzzy množin. Zmna akní veliiny u má 5 lingvistických hodnot-term (ZV, ZS, NU, KS, KV) e e ZV ZS NU KS KV Z NU K ZV ZV ZS NU KS ZV ZS NU KS KV ZS NU KS KV KV Obr.10 Báze pravidel Doc. Ing. Osvald Modrlák CSc. 10

12 Z praktického pohledu využití fuzzy aproximací a jejich vlastností pro ízení a regulaci je teba provést následující kroky: 1. Zmit vstupní veliiny. 2. Zobrazit zmené veliiny ve vhodném mítku na aplikovaná univerza. 3. Pevést vstupní ostrá data na fuzzy data. 4. Nalézt výstupní fuzzy množinu. 5. Piadit-nalézt k výstupní množin vhodnou ostrou hodnotu akní veliiny. Krok 1 je problémem mení a nebudeme ho podrobnji diskutovat. Krok 2 je problémem normalizace a spoívá v transformaci namených hodnot do normovaného intervalu. Krok 3 je nazýván fuzzyfikací a spoívá v tom, že každé oste namené hodnot se piadí stupe píslušnosti do jedné nebo více fuzzy množin. Krok 4 je podrobn rozebrán v této kapitole. Krok 5 se nazývá defuzzyfikací a jeho podstatou je piadit výstupní fuzzy množin odpovídající ostrou výstupní hodnotu. Metody používané v ízení a regulaci jsou uvedeny v následujícím odstavci. 4. DEFUZZYFIKACE Výsledkem innosti bloku rozhodovacích pravidel je soubor funkcí píslušnosti pro jednotlivé termy výstupních lingvistických promnných. Funkce píslušnosti výstupní množiny je dána sjednocením oíznutých (Mamdaniho implikace) nebo zmenšených funkcí píslušnosti (Larsenova implikace), viz. obr. 8,9. Pro praktické provedení akních zásah je teba piadit výstupním lingvistickým promnným ostrou hodnotu akní veliiny v pípustném rozsahu. Tento proces aproximace neostrých term ostrou hodnotou akní veliiny se nazývá defuzzyfikace. Existuje celá ada metod defuzzyfikace, které vycházejí z empirického ovení až po heuristické pístupy. LoM a) b) MoM RoM u vys (Left of Maximum) u vys (Mean of Maximum) Obr.11. Funkce píslušnosti pro jednotlivé termy výstupních lingvistických promnných. Pi volb metody defuzzyfikace mžeme zvolit bu metody, které hodnotu akní veliiny urí výpotem jako nejlepší kompromis (metody tžišt) nebo metody hledající pijatelné ešení (metody nejvýznamnjšího maxima). Pijatelné ešení: 4.1 MEAN OF MAXIMUM - METODA NEJVÝZNAMNJŠÍHO MAXIMA U metod tohoto typu hledáme tzv. pijatelné ešení, které vyhovuje podmínkám v rozhodovacích pravidlech. Ze všech term vybereme term s nejvtší hodnotou funkce píslušnosti a nalezneme maximální hodnotu funkce píslušnosti, která pak svým umístním v závislosti na zvolené metod urí ostrou hodnotu výstupní veliiny. Mezi tyto metody patí: - Left of Maximum (LoM) výsledkem je nejvíce vlevo položená hodnota z Doc. Ing. Osvald Modrlák CSc. 11

13 nejvtší hodnoty funkce píslušnosti - Mean of Maximum (MoM) výsledkem je ve stedu položená hodnota nejvtší hodnoty funkce píslušnosti - Right of Maximum (RoM) výsledkem je nejvíce vpravo položená hodnota z nejvtší hodnoty funkce píslušnosti Na obr.11a je píklad urení akní veliiny u vys metodou Left of Maximum a na obr.11b metodou Mean of Maximum. Protože se hledá jen maximum, vyznaují se tyto metody vysokou výpoetní rychlostí. Jejich nevýhodou je, že akní veliina se mže mnit nespojit. 4.2 METODY TŽIŠT Metody tžišt z prbh výstupních term urí ostrou výstupní promnnou jako jejich tžišt. Existují dva základní pístupy a) Center of Maximum (tžišt singlton) - funkní závislosti jednotlivých term nahradíme jejich typickými hodnotami a hledáme jejich tžišt b) Centre of Gravity (tžišt plochy) - hledáme tžišt plochy funkce píslušnosti výstupní veliiny. Center of Maximum Nejdíve vysvtlíme pojem "typické hodnoty". Funkci píslušnosti mžeme aproximovat Diracovým impulsem s vahou, kterou oznaujeme jako "typickou hodnotu". Poloha Diracova impulsu pro funkce píslušnosti typu Lambda funkce je ve vrcholu trojúhelníka, pro PI funkci uprosted úseku. V nkterých pípadech je možno umístit Diracv impuls do tžišt plochy pod funkcí píslušnosti. Vlastní váha - typická hodnota mže býti dána koeficientem oíznutí (násobení) nebo. Metoda "Center of Maximum" nahrazuje funkní závislost každého výstupního termu jeho typickou hodnotou a ostrou výstupní veliinu u výs urí jako jejich tžišt viz. obr = 0,4 3 = 0,3 2 = 0,6 u 1 u 2 u 3 u výs % Obr.12 Výpoet akní veliiny metodou Center of Maximum u výs r k 1 r k 1 k u u výs je výsledná hodnota výstupní veliiny k je hodnota píslušnosti k-tého termu u k je souadnice výstupní veliiny k-tého termu. Center of Gravity k k Doc. Ing. Osvald Modrlák CSc. 12

14 Výslednou hodnotu akní veliiny uríme jako souadnici tžišt plochy vzniklé sjednocením dílích ploch, které jsou ureny ohraniením funkcí výstupních term s nenulovými hodnotami funkce píslušnosti, viz obr.13. *m(u) u Obr.13. Center of Gravity u výs Výstupní hodnota akní veliiny se urí ze vztahu m( u) udu u výs m( u) du kde *m(u) prbh funkce píslušnosti výsledné plochy. Pro defuzzyfikaci je možno použít ješt celou adu metod, kterými se již nebudeme podrobnji zabývat. Je zejmé, že každá metoda poskytuje trochu odlišné defuzzyfikované výstupy a proto jejich použití se volí podle druhu aplikace. 5. FUZZY REGULÁTORY Charakteristickým znakem fuzzy ízení je možnost bezprostedního použití empirických znalostí lovka - operátora o ízeném procesu, které oznaujeme jako bázi znalostí. Bázi znalostí tvoí a) informace o stacionární stavech, intervalech, ve kterých se pohybují hodnoty vstupních a výstupních veliin, jejich mezní hodnoty, atd. Rozšííme-li tato data o funkce píslušnosti všech vstupních a výstupních fuzzy množin (jak bude vysvtleno pozdji), pak všechny tyto informace o procesu se v bázi znalostí oznaují jako báze dat. b) kvantitativn formulované zkušenosti vetn slovn definované strategie ízení, pomocí kterých je možno realizovat ízení, to jest generovat akní veliinu. Takto zkušeností získané strategie ízení oznaujeme jako bázi pravidel. Doc. Ing. Osvald Modrlák CSc. 13

15 Struktura fuzzy regulátoru je na obr.14 a jeho ústední len tvoí ti základní bloky: fuzzyfikace F, inference I a blok defuzzyfikace D. V bloku fuzzyfikace se pevádí d u Dynamický y _ w systém + Denormalizace Defuzzyfikace Inference (rozhodovací pravidla) Fuzzyfikace e Normalizace D I F Obr.14 Struktura fuzzy regulátoru Báze pravidel Báze dat ostrá data, která jsou namena nebo zadána, na fuzzy data. Bloku fuzzyfikace mže pedcházet blok normalizace, kde se fyzikální hodnoty namených i zadaných hodnot pevedou na normalizovanou množinu - univerzum. V bloku inference, který tvoí ústední ást regulátoru, se realizuje inferenní mechanismus z rozhodovacích pravidel, pomocí kterého získáváme ze vstupních fuzzy množin výstupní množiny. Blok defuzzyfikace umožuje piadit výstupní fuzzy množin uritou ostrou výstupní veliinu. Za blokem defuzzyfikace mže následovat blok denormalizace, kde se provede denormalizace výstupní veliiny - pepoet na fyzikální výstupní veliiny. 5.1 JEDNODUCHÝ FUZZY REGULÁTOR TYPU PID Výstup íslicového PI regulátoru v pírstkovém tvaru, který zajišuje nulovou regulaní odchylku, je u k) u( k 1) u( k); u( k) q e( k) qe( k 1). ( 0 1 tvaru Výstup íslicového PD regulátoru, který ovšem nezajišuje nulovou regulaní odchylku, je ve u( k) K e( k) K e( k). p D Hovoíme-li o jednoduchém fuzzy regulátoru a chceme-li ho porovnávat s PI regulátorem nebo s PD regulátorem, pak vstupem tchto regulátor je e(k) a e(k). Výstup je pak nelineární funkcí, která závisí na fuzzyfikaci, inferenci a defuzzyfikaci. Takže pro fuzzy regulátor typu PI bude platit u( k) FPI( e( k), e ( k)); u( k) u( k 1) u ( k). Doc. Ing. Osvald Modrlák CSc. 14

16 Fuzzy regulátor typu PD dostáváme jako nelineární funkci ve tvaru u( k) FPD( e( k), e( k)). Struktura fuzzy regulátoru typu PI a PD je na obr.15a, b. e(k) a) z -1 + e(k) e(k) F I D u(k) u(k) z -1 z -1 + F I D u(k) b) e(k) Obr.15. Struktura jednoduchých fuzzy regulátor typu PI a PD Jednoduchý fuzzy regulátor s vlastnostmi PI-PD regulátoru vytvoíme nejjednodušším zpsobem tak, že tyto dva regulátory paraleln propojíme viz [2,3]. 5.2 TVORBA BÁZE PRAVIDEL Bázi pravidel je možno vytvoit bu a) na základ empirických znalostí obsluhy nebo b) na základ obecn platných metapravidel. Praxe ukázala, že pro jednoduchý fuzzy regulátor typu PI, PD je možno odvodit bázi pravidel pomocí tí základních metapravidel, která uvedeme: MP1: Jestliže regulaní odchylka e(k) a její zmna e(k) je nulová nebo blízká nule, pak by ml být pírstek akní veliiny u(k) akní zásah nulový nebo blízký nule. MP2: Jestliže regulaní odchylka e(k) klesá k nule nebo se blíží nule s dostaující rychlostí, pak je vhodné také nemnit akní veliinu. MP3: Jestliže se regulaní odchylka e(k) nekoriguje sama, potom je teba akní veliinu zmnit a akní zásah u(k) bude nenulový. Jeho velikost a znaménko závisí na znaménku a velikosti regulaní odchylky e(k) a její zmny e(k). Podle tchto metapravidel byla pro jednoduchý fuzzy regulátor typu PI (odstrauje trvalou regulaní odchylku), lingvistické promnné a jejich hodnoty / termy sestavena báze pravidel, která je uvedena v tab..2. Doc. Ing. Osvald Modrlák CSc. 15

17 e e Z N K Regulaní odchylka e { Z, N, K} Z Z Z N Zmna regulaní odchylky e { Z, N, K} N Z N K Akní zásah u { Z, N, K} K N K K 1. Tab.2 V bázi pravidel je možno rozlišit pt skupin pravidel. Skupina Tato skupina pravidel se použije tehdy, jestliže regulaní odchylka e(k) a její zmna e(k) je nulová nebo blízká nule. Znamená to, že regulovaná soustava je v ustáleném stavu nebo v jeho blízkosti. Akní veliina se nemá mnit, ili zmna akní veliiny je nulová nebo blízká nule. 2. Skupina Pro aplikaci pravidel této skupiny platí, že regulaní odchylka e(k) je záporná (velká nebo stední) a její zmna e(k) je kladná nebo blízká nule. Dsledkem toho je, že regulaní odchylka e(k) se zmenšuje nebo se nemní. Akní zásah má zrychlit nebo zpomalit pibližování k ustálené hodnot. 3. Skupina Pro tuto skupinu platí, že regulaní odchylka e(k) je kladná (blízká nule, stední, veliká). Zmna e(k) je kladná velká nebo stední, což znamená, že regulovaná veliina se bude vzdalovat od žádané hodnoty - ustáleného stavu. 4. Kladnou zmnou akní veliiny u(k) je teba zajistit pibližování k ustálenému stavu. Skupina Pro aplikaci pravidel této skupiny je charakteristické, že regulaní odchylka e(k) je kladná (velká nebo stední) a její zmna e(k) je záporná nebo nulová. To znamená, že regulaní odchylka e(k) se zmenšuje nebo se nemní. (Porovnej se skupinou 2) Akní zásah má zrychlit nebo zpomalit pibližování k ustálené hodnot. 5. Skupina Pro tuto skupinu platí, že regulaní odchylka e(k) je záporná (blízká nule, stední, veliká). Zmna e(k) je záporná velká nebo stední. To znamená, že regulovaná veliina se bude vzdalovat od žádané hodnoty - ustáleného stavu. (Porovnej se skupinou 3) Zápornou zmnou akní veliiny u(k) je teba zajistit pibližování k ustálenému stavu. Grafické zobrazení výstupní veliiny y (kt), žádané hodnoty w, regulaní odchylky e (kt), zmny regulaní odchylky e(kt) a zmny akní veliiny u(kt) pro pedpokládané varianty regulované veliiny v krocích k, k 1 je na obr Doc. Ing. Osvald Modrlák CSc. 16

18 w y y (kt) w y y(kt) w y (kt) u( kt) u( kt) u( kt) t kt 0 ( k 1)T kt e( kt) e( kt) w y a) y (kt) 5 e( kt) 0 ( k 1)T kt t kt e( kt) b) 2 y y(kt) w w 0 ( k 1)T y y (kt) e( kt) t kt kt e( kt) c) 2 u( kt) u( kt) u( kt) e( kt) e( kt) e( kt) e( kt) e( kt) 0 ( k 1)T kt t kt 0 ( k 1)T kt t kt 0 ( k 1)T kt t kt e( kt) d ) 5 e ) 1 f ) 3 y y y u ( kt) u( kt) u( kt) w w w y(kt) y (kt) e( kt) e( kt) e ( kt) e( kt) e( kt) 0 ( k 1)T t kt ( k 1)T kt t ( k 1)T kt t kt e ( kt) g) 4 i ) 4 j) 3 Obr Grafické zobrazení regulaní odchylky e (kt) a zmny regulaní odchylky e(kt) a zmny akní veliiny u(kt) pro konstrukci báze pravidel v Tab..2 Doc. Ing. Osvald Modrlák CSc. 17

19 Velká vtšina jednoduchých fuzzy regulátor má bázi pravidel založenou na použití uvedených pravidel. Báze pravidel lze snadno modifikovat pro jiný poet term regulaní odchylky a její zmny, viz. píklad Tab.3. NB NB NB NB NM NS Z NB NB NB NM NS Z PS NB NB NM NS Z PS PM NB NM NS Z PS PM PB NM NS Z PS PM PB PB NS Z PS PM PB PB PB Z PS PM PB PB PB PB Tab.3 Regulaní odchylka e { NB, NM, NS, Z, PS, PM, PB } Zmna regulaní odchylky e { NB, NM, NS, Z, PS, PM, PB } Akní zásah u { NB, NM, NS, Z, PS, PM, PB } Prbh regulaního pochodu ovlivuje krom báze pravidel také zvolené tvary funkcí píslušností a zvolená metoda defuzzyfikace. V pípad, že prbhy regulaních pochod nevyhovují zcela našim požadavkm, je teba hledat nová rozhodovací pravidla, použít jiných metod defuzzifikace a upravit vhodn funkce píslušnosti. 5.3 SEÍZENÍ JEDNODUCHÉHO FUZZY REGULÁTORU TYPU PID Odezvy regulaních obvod s fuzzy regulátorem závisí na bázi rozhodovacích pravidel a na bázi dat. Souástí projektu fuzzy regulátoru je získání i vytvoení báze rozhodovacích pravidel, zadání funkcí píslušnosti pro jednotlivé vstupní a výstupní promnné, vetn volby metod fuzzyfikace a defuzzifikace. Vlastní implementace tchto bázických znalostí pro daný ídící systém nebo produkt se realizuje softwarov. V pedmtech "Teorie ízení" využíváme softwarové podpory MATLABu, speciáln pak "Fuzzy toolboxu", viz kap.6. Je zejmé, že na dynamiku regulaních pochod má vliv celá ada parametr, jejichž úinky na dynamiku soustavy lze jen tžko odhadnout. Z tchto dvod je nastavení všech hledaných parametr pokládáno jako velmi obtížné. Omezíme se proto na nastavování fuzzy regulátoru pomocí mítek univerza, v anglické literatue se hovoí o "Tuning via scaling universes". Princip metody je velmi jednoduchý a spoívá ve vážení - násobení konstantou vstupní i výstupní promnné fuzzy regulátoru, viz obr. 16. Pomocí vah Obr.16. Struktura fuzzy regulátor s vahami pro seízení regulátoru. na vstupu K e a K de mníme vlastn mítka univerza na vstupu a pomocí zesílení K u mníme mítka na výstupu - akní veliiny. Pokud nedosáhneme požadovaných prbh regulaních pochod, je nutno použít jiných postup, což pesahuje rámec našeho pedmtu. Doc. Ing. Osvald Modrlák CSc. 18

20 6. FUZZY LOGIC TOOLBOX Návrh fuzzy regulátoru v MATLABu se provádí pomocí programu Fuzzy Logic Toolbox. Simulaní výpoty vetn reálných mení se provádí v SIMULINKU. 6.1 IMPLEMENTACE FUZZY LOGIKY A ÍZENÍ V SIMULINKU Pro regulaci v reálném ase, mení a simulace se používá SIMULINK, který pi aktivaci Fuzzy Logic Toolboxu obsahuje v menu Fuzzy Logic Toolboxu fuzzy regulátory: a) Fuzzy logic controller viz obr.17 b) Fuzzy logic controller with Ruleviewer Fuzzy regulátor se v SIMULINKu propojuje bžným zpsobem, viz obr.18. Základní strukturu fuzzy regulátoru, kterou tvoí bloky fuzzyfikace, defuzzyfikace a inference, zastupuje v SIMULINKu blok "Fuzzy logic controller". Struktura uzaveného regulaního obvodu se spojitou soustavou 2. ádu a s fuzzy regulátorem s diskretizovanými vstupy je na obr.18. Regulaní obvod zajišuje zmny žádané hodnoty a pro srovnání je možno regulovanou soustavu nezávisle budit skokovými zmnami. Obr.17 Ve zptné vazb je možno mnit zesílení na vstupu do fuzzy regulátoru pomocí zesílení K e a K de a dále ješt na výstupu z fuzzy regulátoru. Tato zesílení slouží k ladní - seizování fuzzy Obr.18 Základní struktura zptnovazebního obvodu s fuzzy regulátorem regulátoru. Podle požadavk na prbh regulaní odchylky je možno do obvodu zapojit integrátor (sumátor) nebo zmnit i upravit strukturu len zapojených do zptné vazby. Pi klasické implementaci regulátoru typu PID se nejdíve volí jeho struktura (P, PI, PD, PID) a pak se provádí seízení jeho parametr. Regulátor typu PID pouze vyhodnocuje a zpracovává informace o regulaní odchylce e(t). Výsledkem tohoto procesu je výstupní veliina z regulátoru u(t). Fuzzy regulátor využívá další možné informace o procesu (báze pravidel a dat) vetn informací a zkušeností obsluhy. Obsahem návrhu fuzzy regulátoru je pak získání tchto informací a jejich využití v rámci návrhu fuzzy regulátoru. Doc. Ing. Osvald Modrlák CSc. 19

21 6.2 NÁVRH STRUKTURY A VLASTNOSTÍ FUZZY REGULÁTORU Vlastní návrháskou práci fuzzy regulátoru (FR) je pak možno provádt pomocí interaktivního grafického prostedí Graphical User Interface (GUI) nebo pomocí píkazové ádky Command Line (CL). Projektování vyžaduje definovat vstupní a výstupní promnné, jejich rozsahy, funkce píslušnosti a jejich parametry, zadávání inferenních a rozhodovacích pravidel, nastavení metod fuzzyfikace a defuzzyfikace. Pro tyto požadavky mžeme vyjádit strukturu FR blokov dle obr.19. Tuto strukturu, jako metodickou projektovou pomcku, v souladu s Fuzzy Logic Toolboxem budeme znait jako Fuzzy Inference System FIS - Inferenní systém fuzzy. Uživatelské grafické prostedí GUI obsahuje nástroje pro vytvoení, editaci a zobrazování fuzzy inferenního systému (FIS). Fuzzy inferenní systém (FIS) zahrnuje všechny procesy spojené s volbou vstup regulátoru vetn jejich parametrizace až po urení výstup z regulátoru s použitím fuzzy logiky - obr.19. Obr.19 Fuzzy Inference System FIS - Inferenní systém fuzzy FIS tvoí 3 editory: FIS Editor (editor inferenního systému fuzzy regulátoru), viz obr.20, Membership Function Editor (editor funkcí píslušnosti), viz obr.21 a Rule Editor (editor pravidel EP ), viz obr.23 a dv zobrazování - Rule a Surface Viewer (Grafické zobrazování procesu inference, viz obr.24 a plochy ohraniující prostor generovaných akních zásah, viz obr.25). FIS Editor se pi vytváení nového fuzzy inferenního systému aktivizuje píkazem Fuzzy Aktivace již existujícího fuzzy inferenního systému se aktivizuje píkazem fuzzy jméno.fis Tímto píkazem se vyvolá již existující fuzzy inferenní systém definovaným jménem souboru FIS Editor Hlavní menu viz obr.20 obsahuje roletová menu File, Edit, View, která umožují ukládání a volání soubor a editaci fuzzy systému pomocí nástoj GUI. V nabídce Edit je možno pidáním nebo ubráním urit poet vstup a výstup. V grafickém okn jsou v principu zobrazovány temi ikonami - bloky: vstupní promnné (rychlost, zrychlení), typ Doc. Ing. Osvald Modrlák CSc. 20

22 Obr.20 FIS Editor inference FIS (motorek1), výstupní promnné (I-motoru). Jsou-li spojovací linky mezi bloky vyznaeny árkovanou arou, pak nejsou jednotlivé bloky parametrizovány nebo parametrizace není správn ukonena a tento blok není možné zapojit a spustit. Dvojím kliknutím na vybranou vstupní promnnou reprezentovanou obrázkem je možno pejít do Membership Function Editor (editoru funkcí píslušnosti). Dvojím kliknutím na typ inference reprezentovanou obrázkem je možno pejít do Rule Editoru (editoru rozhodovacích pravidel). Dvojím kliknutím na vybranou výstupní promnnou reprezentovanou obrázkem je možno pejít do Membership Function Editor (editoru funkcí píslušnosti EF). V levé ásti okna je možno zadávat píslušné parametry metodám AND, OR a Implikaci a parametry agreganí a defuzzyfikaní metod. V pravé ásti je možno editovat jména vstupních a výstupních promnných. Zobrazeny jsou též rozsahy promnných a typ. Píklad 1: Nastavte parametry FIS : 2 vstupní promnné e(t), de(t), výstupní promnná u(t), FIS uložit pod jménem FC_PR1 Postup: 1) kliknutím rozbalíme Edit a klikneme na Add input - vytvoí se dva bloky vstup 2) klikneme na ikonku-blok input1 a v bílém poli u hesla Name pepíšeme input1 na e(t). Return 3) klikneme na ikonku-blok input2 a v bílém poli u hesla Name pepíšeme input2 na de(t). Return Doc. Ing. Osvald Modrlák CSc. 21

23 4) klikneme na ikonku-blok output1 a v bílém poli u hesla Name pepíšeme output1 na u(t). Return 5) Z menu File vybereme Save to disk as FC_PR1 6) Zadáme jméno souboru PI_1 a klikneme na OK Membership Function Editor (MF editor) Spustí se bu ve FIS editoru dvojím kliknutím na ikonu výstupu nebo vstupu nebo pes roletové okno Membership Function Editor. Obr.21 Membership Function Editor Vybereme-li na obr.21 vstupní veliinu (e(t), de(t)) kliknutím na její ikonu v levém rohu, vybraná ikona po obvodu zervená a v grafickém okn "Memership function plots" se zobrazí všechny její funkce píslušnosti s nastavenými parametry a se jmény jejich promnných - term. V okn "Current Variable" je uvedeno jméno, typ, rozsah a rozsah displeje oznaených hesly: Name, Typ, Range, Display Range. V tomto okn mžeme zadávat potebné rozsahy. Je vhodné nejdíve u zvolené promnné nastavit její rozsahy. Pak kliknutím v rolovacím manu Edit na píkaz Add FMs se zobrazí okno "Add membership functions" dle obr.22. V rolovacím menu hesla MF type se volí typ funkce píslušnosti vstupní nebo výstupní promnné (lingvistické) z množiny (trimf, trapmf, gbellmf, gausmf, gaus2mf, pimf, dsigmf, psigmf - "trimf" je trojúhelníková funkce píslušnosti). Doc. Ing. Osvald Modrlák CSc. 22

24 Obr.22 Okno" Add membership functions" V rolovacím menu hesla Number of MFs se volí poet term - hodnot (lingvistické) vstupní nebo výstupní promnné. Klikneme-li na jednu z funkcí píslušnosti, zmní tato barvu na ervenou a je možno ji zmnit vetn jména, tvaru a íselných parametr. Tyto zmny provedeme v dílím okn "Current Membership Function". Jméno, typ a parametry vybrané funkce píslušnosti jsou zobrazeny v polích hesly: Name, Typ, Params, na kterých je také možno pepsáním jména a novým nastavením typu a parametr funkce píslušnosti provést požadované zmny Rule Editor (Editor pravidel EP) Spustí se ve FIS editoru pes roletové okno View-Edit Rules. Obsahuje editaní a zobrazovací pole, viz obr.23. V tomto poli je možno pravidla pímo editovat run nebo použít tlaítek Delete rule : maže pravidlo Add rule : pidává pravidlo Change rule : mní pravidlo Vlastní pravidlo je možno sestavit pomocí roletových menu vstupních a výstupních lingvistických promnných (e(t), de(t) a u(t)), vetn zadávání vah. Rule Editor nabízí roletová menu pro vstupní i výstupní promnné, kde každou položku tvoí jméno lingvistické promnné - termu. Termy lze spojovat operátory and nebo or. Jednotlivé termy mohou vystupovat v rozhodovacích pravidlech i v negaci, což provedeme kliknutím na píslušný operátor not. Doc. Ing. Osvald Modrlák CSc. 23

25 Obr.23. Rules Editor Rule Viewer, Surface Viewer Rule Viewer (grafické zobrazování procesu inference), viz obr.24 se aktivizuje pomocí roletových menu View výbrem Rule Viewer. Obsahuje jak všechna pravidla, tak i tvary funkcí píslušnosti vstup a výstup a jejich inference. Surface Viewer (grafické zobrazování procesu inference), obr.25, se aktivizuje pomocí roletových menu View výbrem Surface Viewer. Zobrazuje prostor hodnot výstupní veliiny v závislosti na vstupních promnných. Pro fuzzy regulaci je uvažována zpravidla regulaní odchylka a její derivace. Poznámka: Kontrolou formální správnosti nastavení FIS systému pomocí FIS Editoru je, že po skonení práce jsou vstupní bloky, blok inferencí a výstupní bloky propojeny tunými ( neperušovanými) arami. V dílím informaním okn "Systém" jsou uvedeny základní informace: jméno, poet vstup a výstup, poet pravidel. Doc. Ing. Osvald Modrlák CSc. 24

26 Obr.24 Rule Viewer Obr.25 Surface Viewer Doc. Ing. Osvald Modrlák CSc. 25

27 6.3 FIS MATICE Aby bylo možno spustit simulaci v SIMULINKu, je teba Fuzzy Inference System uložit pod jeho jménem do pracovního prostedí MATLABu (workspace). Protože v MAT- LABu je základem maticový popis i zpsob ukládání informací, jsou informace uložené v Fuzzy Inference System FIS uloženy jako matice. Tato matice je oznaována jako FIS Matrix (FIS Matice). Uložení do pracovního prostedí se provede na hlavní lišt v rolovacím menu File píkazem Save to workspace. Dvojím kliknutím na ikonu fuzzy regulátoru v SIMULINKu se zobrazí okno "Block Parameters: Fuzzy Logic Controller" a je možno zadat aktuální jméno FIS - Matice, viz obr.26. Znamená to tedy, že pro každou volbu báze dat a rozhodovacích pravidel se vytvoí odpovídající FIS Matice. SIMULINK umož- uje vybranému fuzzy regulátoru ve schématu piadit zvolenou FIS matici, ímž jsou vlastnosti regulátoru definovány. V daném programovém schématu lze pak již pouze mnit váhy na vstupu a výstupu. Obr.26 Okno "Block Parameters: Fuzzy Logic Controller" Závrem této kapitoly je teba zdraznit, že pedložený návod k používání FUZZY LOGIC TOOLBOXu se omezuje na vysvtlení základních krok v grafickém prostedí GUI. Nezabývá se vbec návrhem fuzzy regulátoru pomocí píkazové ádky Command Line a vyžaduje proto pro hlubší pochopení další studium [4,5,6]. Závr Pedložený studijní materiál má umožnit nejen získat základní informace o fuzzy pístupech a fuzzy regulaci, ale pedevším má pipravit studenty pro aplikaci Fuzzy Toolboxu a tím pro získání praktických zkušeností pi aplikaci tchto metod v laboratoích katedry. LITERATURA [1] Passino K.M., Yurkovich S.: Fuzzy control. Addison Wesley Longman, Inc., Menlo Park, California, 1998, ISBN X [2] Vysoký, P.: Fuzzy ízení. Skripta, VUT Praha, [3] Pivoka, P.: Analysis and Design of Fuzzy Controller. In: Fuzzy Control. Theory and Praxis, Physica-Verlag, 2000, ISBN [4] Gulley, N., Jang,J.S.: Fuzzy Logic Toolbox. For Use with MATLAB.The Math Works, Inc.1995 [5] The Student Edition of MATLAB.Version 4, User s Guide.The Math Works, Inc. 1995, Prentice Hall, Englewood Cliffs. ISBN [6] SIMULINK Dynamic System Simulation for MATLAB.Using Simulink, Version 2 The Math Works, Inc.1997 Doc. Ing. Osvald Modrlák CSc. 26