Robustní testy normality a jejich využití při ověřování slabé formy efektivnosti akciového trhu

Transkript

1 MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ Provozně ekonomická fakulta Ústav statistiky a operačního výzkumu Robustní testy normality a jejich využití při ověřování slabé formy efektivnosti akciového trhu Disertační práce Školitel: Prof. Ing. Bohumil Minařík, CSc. Řešitel: Ing. Luboš Střelec Brno

2

3 Prohlášení Prohlašuji, že jsem disertační práci na téma Robustní testy normality a jejich využití při ověřování slabé formy efektivnosti akciového trhu zpracoval samostatně a použil jen prameny uvedené v seznamu literatury. V Brně dne 7.8.

4 4

5 Poděkování Děkuji svému školiteli prof. Ing. Bohumilu Minaříkovi, CSc. za metodické vedení. Děkuji v neposlední řadě RNDr. Milanu Stehlíkovi, Ph.D. za čas a ochotu, které věnoval konzultacím zpracovávaného tématu. Z této spolupráce v rámci projektu programu AKTION Česká republika Rakousko vznikla třída RT testů využitá v práci. Děkuji rovněž všem kolegům a kolegyním na Ústavu statistiky a operačního výzkumu Mendelovy univerzity v Brně a také své rodině. Bez jejich podpory bych práci nedokončil.

6 6

7 Abstrakt 7 Abstrakt STŘELEC, L. Robustní testy normality a jejich využití při ověřování slabé formy efektivnosti akciového trhu. Disertační práce. Brno: PEF MENDELU v Brně,. 8 s. Předložená disertační práce se zabývá problematikou robustního testování normality a využitím robustních testů při ověřování hypotézy o slabé formě efektivnosti akciového trhu. V práci je diskutována problematika teorie efektivního trhu, problematika přístupů k ověřování slabé formy efektivnosti trhu a předpokladu normality rozdělení. Součástí práce je rovněž návrh nových robustních testovacích postupů při testování normality za účelem odstranění nevýhod klasického testování normality v oblasti financí vyznačující se výskytem odlehlých pozorování a dalšími odchylkami od normality. V práci jsou prezentovány výsledky simulační studie síly klasických a robustních testů normality proti široké škále alternativ rozdělení pravděpodobnosti alternativ symetrických těžkochvostých rozdělení, symetrických lehkochvostých rozdělení, asymetrických těžkochvostých rozdělení, asymetrických lehkochvostých rozdělení, vybraných směsí normálních rozdělení a v neposlední řadě vybraných modelů odlehlých pozorování. Na základě analýzy výsledků simulační studie síly sledovaných testů normality jsou následně vybrané testy normality využity při ověřování slabé formy efektivnosti akciových trhů České republiky, Maďarska, Rakouska, Německa, Slovenska, Spojených států amerických a Japonska během období let 9. Mimo vybraných klasických a robustních testů normality je využito rovněž Ljungova-Boxova portmanteau testu. V závěru jsou následně diskutovány výsledky práce a předpokládaný budoucí vývoj sledovaných trhů se zaměřením na efektivnost trhu. Klíčová slova Testy normality, robustní charakteristiky, Monte Carlo simulace, komparace síly testu, finanční časové řady, hypotéza efektivního trhu, akciový trh.

8 8

9 Abstract 9 Abstract STŘELEC, L. Robust tests of normality and their application in verifying the weak form of the efficient market hypothesis. Dissertation. Brno: FBE MENDELU in Brno,. 8 p. Submitted dissertation is focused on methods of robust normality testing and applications of robust tests in verifying hypothesis of the weak form of efficiency in stock markets. In the dissertation, theory of efficient markets and approaches to verifying the weak form of market efficiency and normality assumption are being discussed. Novel robust testing procedures of testing normality are proposed in this work to overcome shortcomings of classical normality tests in the field of financial data, which are typical with occurrence of remote data points and additional types of deviations from normality. Results of power simulation study of classical and robust tests of normality against several types of alternative distributions, i.e. symmetric heavy-tailed, symmetric light-tailed, asymmetric heavy-tailed, asymmetric light-tailed, selected mixtures of normal distributions and outlier models, are presented. Based on outcome of the power simulation study, selected normality tests were consequently used to verify the weak form of efficiency in stock markets in the Czech Republic, Hungary, Austria, Germany, Slovakia, United States and Japan during years 9. In addition to selected classical and robust normality tests, Ljung-Box portmanteau test was also used. In conclusion, there is a discussion and comparison of results carried out and future trends of these markets are outlined. Key words Tests of normality, robust measures, Monte Carlo simulation, comparing test power, financial time series, efficient market hypothesis, stock market.

10

11 Obsah Obsah Úvod...3 Cíl práce Základní pojmy Literární rešerše Teorie efektivního trhu Formy efektivnosti trhu Předpoklady efektivního chování trhu Testy ověřující slabou formu efektivnosti trhu Studie zabývající se ověřováním slabé formy efektivnosti trhu se zaměřením na středoevropské akciové trhy Ověřování normality Grafické postupy ověřování normality Formální testovací postupy Komparativní studie empirické síly vybraných testů normality Studie zaměřené na srovnání síly Shapirova-Wilkova testu s jinými testy Studie zaměřené na srovnání síly testů založených na empirické distribuční funkci s jinými testy Studie zaměřené na srovnání síly Jarqueova-Berova testu s jinými testy Studie zaměřené na srovnání síly robustních testů normality s klasickými testy normality Komparativní studie kritických hodnot vybraných testů normality Materiál a metody Materiál Použité metody Postup konstrukce robustních testů normality Metody komparace síly robustních testů normality s běžně využívanými testy normality Volba skupin alternativ rozdělení pravděpodobnosti Metody ověřování slabé formy hypotézy efektivního trhu Vlastní práce Formalizace testů normality třída RT testů normality Modifikace klasického Jarqueova-Berova testu normality třída RT JB testů Modifikace Urzúovy verze Jarqueova-Berova testu normality třída RT testů...78 JBU 6. Výsledky simulací ω a Σ k nových robustních testů normality...79

12 Obsah 6.. MJB testy normality RNT testy normality Rozdělení testových statistik sledovaných testů normality Simulace chyb prvního druhu sledovaných testů normality Analýza a komparace síly sledovaných testů normality Symetrická rozdělení s těžkými chvosty Symetrická rozdělení s krátkými a velmi krátkými chvosty Asymetrická rozdělení s těžkými chvosty Asymetrická rozdělení s lehkými chvosty Směsi normálních rozdělení Jednostranné location-outlier modely Symetrické location-outlier modely Scale-outlier modely Praktická ukázka výhod využití robustních testů normality Volba vhodných testů normality pro následné ověřování slabé formy efektivnosti sledovaných akciových trhů Testování slabé formy efektivnosti sledovaných akciových trhů Testování slabé formy efektivnosti sledovaných akciových trhů v dlouhém období Testování slabé formy efektivnosti sledovaných akciových trhů v krátkém období Diskuse Závěr...97 Literatura... Seznamy a přílohy...8 Seznam použitých zkratek...i Seznam tabulek...ii Seznam obrázků...v Přílohy ostatní tabulky...viii

13 Úvod 3 ÚVOD Současná doba je charakteristická zvýšeným zájmem o oblast financí, v rámci ní především o oblast cenných papírů a jejich cen (kurzů). Většina kvantitativních informací o finančním trhu jako celku, resp. o jeho dílčích trzích, je poskytována ve formě finančních časových řad. Ty v poslední době vzbuzují velký zájem. Analýza časových řad obecně, včetně předpovídání jejich budoucího chování, se stává jednou ze stěžejních oblastí statistiky a finanční časové řady nejsou výjimkou. Především trh cenných papírů je v poslední době charakteristický svým dynamickým vývojem, přičemž jeho specifické vlastnosti a zákonitosti nejsou dokonale probádány. Současná doba se navíc vyznačuje nárůstem informačních technologií, což se projevuje rovněž rozšiřováním okruhu zájemců o investice na těchto trzích i o laickou veřejnost, která způsobuje na finančních trzích určité jevy, které zůstávají dosud nevysvětleny či jejich interpretace je vyvrácena následným vývojem na finančních trzích. S rozšiřováním okruhu zájemců o investice roste i zájem o modelování časových řad finančních instrumentů, především kurzů cenných papírů. Ty však mají v porovnání s ostatními časovými řadami specifické vlastnosti, mezi které lze zařadit mimo jiné vysokou časovou frekvenci pozorování, problém s volbou časových bodů pozorování, proměnlivou volatilitu (podmíněnou heteroskedasticitu), nenormalitu rozdělení výnosů, autokorelační strukturu apod. Jedním z předpokladů využití sofistikovaných metod modelování časových řad a předpovídání jejich vývoje je normalita rozdělení cenových změn, tj. že cenové změny (výnosy) odvozené z pohybu cen finančních aktiv mají normální rozdělení s konstantní (obvykle nulovou) střední hodnotou µ a konstantním rozptylem σ. V praxi však často dochází k tomu, že rozdělení cenových změn je asymetrické se špičatostí větší než je špičatost normálního rozdělení. Mimo předpokladu normality je rovněž často požadováno, aby tyto cenové změny byly nekorelované stejně rozdělené náhodné veličiny s nulovou střední hodnotou a konstantním rozptylem (pak se jedná o proces bílého šumu) nebo nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny s nulovou střední hodnotou a konstantním rozptylem (pak se jedná o proces striktního bílého šumu). S těmito předpoklady se setkáváme i u modelování ekonomických a finančních časových řad, kdy jedním z požadavků vhodnosti modelu je, že rezidua, získaná na základě daného modelu, mají mít charakter bílého šumu, tj. náhodná složka má splňovat předpoklad konstantní střední hodnoty, konstantního rozptylu a párové nezávislosti. Jak již bylo uvedeno, předpoklad normality je v praxi velmi frekventovaný a netýká se pouze náhodné složky modelů časových řad, ale často se setkáváme rovněž s požadavkem normality rozdělení cen (kurzů) podkladových aktiv či normality rozdělení výnosů akciových kurzů, tak jako v případě teorie efektivního trhu. Při testování slabé formy efektivnosti akciového trhu lze mimo jiné využít distribučních testů ověřujících předpoklad, že rozdělení cenových změn (výnosů) akciových kurzů se shoduje s normálním rozdělením. Uvedené vychází

14 4 Úvod z předpokladu, že vývoj cen (kurzů) akciových titulů lze charakterizovat procesem náhodné procházky, což koresponduje s hypotézou efektivního trhu. Distribuční testy však doposud nezaznamenaly při testování slabé formy efektivnosti akciového trhu širší uplatnění, a to především z důvodu vyššího výskytu nízkých hodnot výnosů (vyšší špičatosti) a vyššího výskytu extrémních hodnot výnosů, které způsobují, že dané rozdělení je s výrazně tlustšími chvosty než rozdělení normální. Především přítomnost extrémních hodnot způsobuje, že běžně využívané testy normality hypotézu o normalitě rozdělení zamítají i v případech, kdy jinak lze rozdělení výnosů za normální považovat. Z tohoto pohledu se jako vhodné jeví využití robustních testů normality, které v současné době představují dynamicky se rozvíjející oblast zájmu a výzkumu. V rámci této práce se tak mimo jiné pokusíme poukázat na výhody robustních testů normality využívajících robustní charakteristiky úrovně, variability, šikmosti a špičatosti a jejich vhodnost při ověřování slabé formy efektivnosti akciového trhu a umožnit tak jejich širší využití v praktických analýzách. Pomineme-li seznam literatury a přílohovou část, pak je tato práce členěna do osmi základních kapitol. První kapitolou je úvod práce, v němž jsou uvedeny motivy řešení uvedené problematiky, a to se zaměřením především na oblast finančních časových řad a testování normality. Ve druhé kapitole jsou vymezeny hlavní a dílčí cíle práce včetně v práci ověřovaných hypotéz. Ve třetí kapitole jsou definovány základní pojmy využité v dalších částech práce. Obsah čtvrté kapitoly práce je zaměřen na problematiku teorie efektivního trhu a ověřování normality rozdělení. Jsou zde vymezeny formy efektivnosti trhu, předpoklady efektivního chování trhu a testy ověřující slabou formu efektivnosti, na kterou je primárně tato práce zaměřena. Rovněž jsou zde uvedeny výsledky studií, které se zabývají ověřováním slabé formy efektivnosti akciového trhu, dále pak je zde uveden přehled přístupů k ověřování normality rozdělení a také výsledky dosud publikovaných prací, které se zabývají empirickou silou a kritickými hodnotami vybraných testů normality. Pátá kapitola obsahuje specifikaci metodiky práce, postup konstrukce nových robustních testů normality, metod komparace jejich síly s běžně využívanými klasickými a robustními testy normality a s tím spojenou problematiku volby skupin alternativ pravděpodobnostního rozdělení. Součástí této části je rovněž specifikace metod ověřování slabé formy efektivnosti trhu a zdrojových dat určených pro vlastní aplikaci sledovaných testů normality za účelem ověření slabé formy efektivnosti trhu. Šestá kapitola obsahuje výsledky vlastní práce, přičemž je rozdělena do několika dílčích částí. První část se věnuje formalizaci vybraných testů normality třídě RT testů normality a v rámci ní modifikaci klasické a Urzúovy verze Jarqueova-Berova testu za účelem zvýšení jejich síly proti vybraným alternativám pravděpodobnostního rozdělení a současně zvýšení jejich robustnosti v případě výskytu malého počtu odlehlých hodnot, které se typicky vyskytují v rozdělení cenových změn finančních aktiv. Ve druhé části jsou uvedeny výsledky simulací

15 Úvod 5 hodnot důležitých pro konstrukci nových robustních testů normality využitých v práci. Třetí část je věnována pravděpodobnostnímu rozdělení testových statistik a kritickým hodnotám sledovaných testů normality, na což ve čtvrté části navazuje simulace chyb prvního druhu. V páté části jsou pak prezentovány a diskutovány výsledky komparační analýzy síly sledovaných testů normality proti široké škále alternativ pravděpodobnostního rozdělení zahrnující jak jednoduché symetrické alternativy s těžkými, lehkými a velmi krátkými chvosty a jednoduché asymetrické alternativy s těžkými a lehkými chvosty, tak i směsi dvou normálních rozdělení s různými parametry a vahami. V šesté části této kapitoly jsou na praktických příkladech demonstrovány výhody robustních testů normality, v sedmé jsou prezentovány výsledky shlukové analýzy za účelem volby vhodných testů pro následné testování slabé formy efektivnosti sledovaných akciových trhů. Výsledky a dílčí závěry ověřování slabé formy efektivnosti sledovaných trhů s využitím vybraných testů normality jsou uvedeny v poslední části šesté kapitoly. V rámci sedmé kapitoly jsou diskutovány dosažené výsledky a potenciální přínos práce a konečně osmá kapitola obsahuje nejdůležitější závěry a výstupy práce. V příloze jsou pak uvedeny rozsáhlé tabulky obsahující výsledky Monte Carlo simulací síly sledovaných testů normality a rovněž elementární charakteristiky logaritmických cenových změn sledovaných burzovních indexů.

16 6 Cíl práce CÍL PRÁCE Problematika ověřování hypotézy o slabé formě efektivnosti akciového trhu je spjata s volbou vhodných testů. Poměrně často využívané autokorelační testy či testy podílem rozptylů jsou citlivé na splnění předpokladu normality rozdělení náhodné veličiny cenových změn odvozených z cen akciových titulů či kurzů burzovních indexů. Distribuční testy ověřující slabou formu efektivnosti trhu jsou pak zaměřeny přímo na testování normality rozdělení těchto cenových změn (výnosů). V současné době existuje velké množství testů normality, přičemž nelze jednoznačně stanovit, ve kterých případech je vhodné využít konkrétní test. V případě analýzy cenových změn odvozených z cen finančních aktiv (např. akcií) lze obvykle identifikovat několik odlehlých hodnot, které způsobí, že většina testů předpoklad normality rozdělení zamítne, i když lze zjevně rozdělení cenových změn za normální považovat. Kromě odlehlých hodnot ovlivňují negativně výsledky testování normality i vyšší špičatost a asymetrie rozdělení, což je typické právě pro rozdělení cenových změn finančních aktiv. Dosud publikované studie zabývající se testy normality a komparací jejich síly proti vybraným alternativám obsahují výsledky provedených komparativních analýz pouze u vybraných testů normality. Nejčastěji srovnávanými testy normality jsou Jarqueův-Berův test, Shapirův-Wilkův test, Lillieforsův (Kolmogorovův-Smirnovův) test, D`Agostinův test, Pearsonův chí-kvadrát test, Andersonův-Darlingův test, Cramérův-von Misesův test, test výběrové šikmosti a test výběrové špičatosti. Nejčastěji se vyskytujícími alternativami pak je Studentovo t-rozdělení, Cauchyho rozdělení, logistické, exponenciální či rovnoměrné rozdělení. Souhrnná studie, která by srovnávala sílu většího počtu testů normality pro větší počet alternativ, však chybí. Proto si práce mimo jiné klade za cíl provést srovnávací studii testů normality, ve které budou zahrnuty vybrané známé testy normality (ve vlastní práci označené jako klasické testy) a nebudou opomenuty ani v práci zkonstruované nové robustní formy testů normality, které jsou vhodné právě pro testování normality při výskytu několika málo odlehlých hodnot, tak typických pro rozdělení cenových změn finančních instrumentů. Na základě uvedeného je možné specifikovat cíl práce. Cílem této práce je podrobná komparativní analýza síly dosud více či méně využívaných klasických a robustních testů normality, včetně v práci zkonstruovaných robustních testů normality využívajících robustní charakteristiky úrovně, variability, šikmosti a špičatosti, a následná aplikace vhodných testů normality za účelem ověření slabé formy efektivnosti sledovaných středoevropských a vybraných rozvinutých akciových trhů. Za účelem volby vhodných testů normality bude analyzována síla sledovaných testů vůči všem nejdůležitějším skupinám alternativ vyskytujících se v oblasti modelování ekonomických a finančních časových řad, tj. vůči skupinám alternativ zahrnující jak jednoduchá symetrická a asymetrická rozdělení s těžkými i lehkými chvosty, tak i směsi dvou normálních rozdělení s různými parametry a vahami zajišťující bimodalitu rozdělení či unimodální rozdělení s těžkými chvosty.

17 Cíl práce 7 Hlavní cíl je v práci naplňován pomocí soustavy dílčích cílů, kterými jsou: Systematizovat doposud publikované přístupy k ověřování slabé formy efektivnosti akciového trhu a uvést nejdůležitější výsledky a závěry studií využívajících těchto přístupů. Systematizovat doposud publikované přístupy k testování normality včetně doposud publikovaných studií srovnávajících vybrané testy normality a uvést jejich nejdůležitější výsledky, závěry a doporučení. Navrhnout nové formální testy normality využívající robustní charakteristiky úrovně, variability, šikmosti a špičatosti a uvést jejich základní vlastnosti. Formalizovat vybrané testy normality založené na kombinaci klasických a robustních charakteristik šikmosti a špičatosti a uvést jejich základní vlastnosti. V rámci zavedené obecné třídy testů normality pak modifikovat klasický Jarqueův-Berův test s využitím robustních charakteristik úrovně a variability za účelem zvýšení jeho síly především proti vybraným symetrickým alternativám rozdělení s krátkými a velmi krátkými chvosty a proti bimodálnímu rozdělení a současně zvýšení jeho robustnosti v případě výskytu malého počtu odlehlých pozorování. Na základě Monte Carlo simulací nalézt test(y) s relativně velkou silou proti širokému spektru alternativ rozdělení pravděpodobnosti a současně robustností proti výskytům odlehlých pozorování typických především pro rozdělení cenových změn odvozených z cen finančních instrumentů. Na základě získaných výsledků síly provést komparaci testů normality, vybrat vhodné reprezentanty testů a následně je využít pro ověření slabé formy efektivnosti akciového trhu a vyjádřit se k tomu, zdali lze sledované trhy považovat za slabě efektivní či nikoli. Na základě výše uvedených cílů jsou pak vyvozeny i hypotézy, které budou v práci ověřovány. Jsou jimi následující hypotézy: Robustní modifikace Jarqueova-Berova testu normality povede ke zvýšení jeho síly především proti alternativám symetrických rozdělení s krátkými a velmi krátkými chvosty a proti alternativě bimodálního rozdělení a současně rovněž ke zvýšení robustnosti testu při výskytu malého počtu odlehlých pozorování. Na sledovaných středoevropských a vybraných rozvinutých akciových trzích nebude vyvrácena slabá forma efektivnosti.

18 8 3 Základní pojmy 3 ZÁKLADNÍ POJMY V této části definujeme základní pojmy spojené se sledovanou problematikou. Na tomto místě nebudou prezentovány všechny definice pojmů, které se v dalším textu objeví, ale pouze ty základní. Další definice, především přímo spojené s problematikou teorie efektivních trhů a jednotlivých testů normality, budou prezentovány dle potřeby průběžně v dalších částech textu. Náhodná veličina Definice 3.: Nechť Ω je neprázdná množina a S je systém podmnožin množiny Ω takový, že: (i) Ω S (ii) když (iii) když A S, potom A c S A, A,... S, potom Ai S U i= Potom S nazýváme jevové pole (σ-algebra) nad množinou Ω. Dvojici ( Ω, S) nazýváme měřitelný prostor. Mějme měřitelný prostor ( Ω, S funkce X : Ω R taková, že pro každé R Diskrétní a spojitá náhodná veličina x : { Ω X ( ω) x} S ω :. ). Náhodná veličina je pak Definice 3.: Náhodná veličina X se nazývá diskrétní, jestliže nabývá konečně nebo spočetně mnoha hodnot x, x,... R s pravděpodobnostmi p, p,... p i = P X = x, i =,,..., přičemž p =. Funkce p i = P( X = x), i =,,... se nazývá ( ( ) ) pravděpodobnostní funkce. i i Definice 3.3: Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje taková nezáporná integrovatelná funkce f, že pro všechny x R platí x ({ Ω X ( ω) x} ) = f ( t) P ω : dt. Funkce f se nazývá hustota náhodné veličiny X. Pravděpodobnost Definice 3.4: Nechť Ω je neprázdná množina a S je systém podmnožin množiny Ω. Pod pravděpodobností pak budeme rozumět zobrazení P : S R s těmito vlastnostmi: (i) P ( Ω) = (ii) ( A) P pro každé A S P U i i= i= (iii) A = P( A ) i Trojici ( Ω, S, P) pak nazýváme pravděpodobnostní prostor.

19 3 Základní pojmy 9 Rozdělení pravděpodobnosti Definice 3.5: Rozdělením pravděpodobnosti náhodné veličiny nazýváme pravidlo, kterým každému jevu popisovanému touto veličinou přiřazujeme určitou pravděpodobnost. Distribuční funkce Definice 3.6: Nechť ( Ω, S, P) je pravděpodobnostní prostor. Distribuční funkcí náhodné proměnné X : Ω R nazýváme reálnou funkci F : R R definovanou F x = P ω Ω : X ω x, x. vztahem ( ) ({ ( ) }) R Náhodný proces Definice 3.7: Náhodným procesem nazýváme systém náhodných veličin definovaných na témže měřitelném prostoru (, S, t T. Náhodný výběr a jeho realizace X t Ω ) a značíme { } Definice 3.8: Náhodným výběrem z daného rozdělení pravděpodobnosti budeme označovat n-tici X,..., X n náhodných veličin, které jsou nezávislé a mají dané rozdělení. Každou n-tici x,..., xn hodnot náhodných veličin X,..., X n pak nazýváme realizací náhodného výběru. Poznámka: Nezávislé, stejně rozdělené náhodné veličiny budeme v textu označovat IID (independant and identifically distributed) veličiny. Výběrová statistika Definice 3.9: Výběrovou statistikou budeme nazývat funkci náhodného výběru T ( X,..., X n ). Pro libovolně, ale pevně vybrané ω Ω, označujeme T ( X ( ω),..., X n( ω) ). t = T x,..., daného statistického souboru budeme Hodnotu výběrové statistiky ( ) nazývat realizace výběrové statistiky. Hypotéza x n Definice 3.: Hypotézou rozumíme určité tvrzení o rozdělení pravděpodobnosti. Obvykle formulujeme dvě hypotézy, a to nulovou hypotézu (značíváme H ) a alternativní hypotézu (značíváme H ). Poznámka: Pro nulovou a alternativní hypotézu musí striktně platit, že neexistuje žádný zákon rozdělení, který vyhovuje oběma hypotézám současně. Poznámka: Při testování nulové hypotézy proti alternativní hypotéze zvolíme výběrovou statistiku (tzv. testové kritérium), obor hodnot testového kritéria rozdělíme na dvě disjunktní části a na základě pozorovaných nebo naměřených dat a vypočtené výběrové statistiky zamítáme nebo nezamítáme hypotézu H podle toho, do které části realizace testového kritéria padne.

20 3 Základní pojmy Kritická oblast testu Definice 3.: Kritickou oblastí testu na hladině významnosti α budeme značit W α a nazývat oblastí zamítnutí nulové hypotézy H. Chyba. a. druhu Definice 3.: Při testování H proti H se můžeme dopustit jedné ze dvou chyb: chyby. druhu či chyby. druhu. Chyba. druhu spočívá v tom, že H zamítáme, ačkoli ve skutečnosti platí. Chyba. druhu spočívá v tom, že H nezamítneme, ačkoli ve skutečnosti neplatí. Pravděpodobnost chyby. druhu budeme značit α a nazývat hladinou významnosti testu. Pravděpodobnost chyby. druhu budeme značit β. Síla testu Definice 3.3: Pojmem síla testu budeme označovat číslo pravděpodobnost, s jakou test vypoví, že hypotéza H neplatí. p-hodnota β, které vyjadřuje Definice 3.4: Pojmem p-hodnota budeme označovat nejmenší možnou hladinu významnosti α, při které hypotézu H zamítáme. p-hodnotou tak budeme označovat takovou nejmenší hladinu významnosti α, že ( x,..., x ) n Wα, kde W α je kritická oblast testu na hladině významnosti α. Poznámka: Jinak vyjádřené je p-hodnota testu u testů, kde má tato definice smysl, pravděpodobnost, s jakou testovací statistika nabývá hodnot horších neboli hodnot více svědčících proti testované hypotéze, než je pozorovaná hodnota této statistiky. Normalita rozdělení Definice 3.5: Obecným normálním rozdělením budeme nazývat rozdělení s parametry µ a > σ a hustotou ( x) ( x µ ) σ f = e pro x (, ). Má-li πσ náhodná veličina X normální rozdělení, pak píšeme X N( µ, σ ). Definice 3.6: Normovaným (standardizovaným) normálním rozdělením budeme nazývat normální rozdělení s parametry µ = a σ = a hustotou f ( x) = e π pro x (, ). Má-li náhodná veličina U normované normální rozdělení, pak píšeme U N(, ). Poznámka: Normální rozdělení pravděpodobnosti je jedno z nejdůležitějších rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny. Jeho význam mimo jiné spočívá v tom, že za určitých podmínek dobře aproximuje řadu jiných pravděpodobnostních rozdělení (spojitých i diskrétních) a že velmi často bývá rozdělením chyb a nepřesností. x

21 3 Základní pojmy Leptokurtické rozdělení Definice 3.7: Leptokurtickým rozdělením rozumíme takové rozdělení pravděpodobnosti vyznačující se špičatostí větší než je špičatost normálního rozdělení a rovněž tlustšími chvosty než odpovídá křivce hustoty pravděpodobnosti odpovídajícího normálního rozdělení se stejnou střední hodnotou a stejným rozptylem. Poznámka: Různé studie (např. Arlt, a 3 či Střelec, 6 a 7) poukazují na fakt, že empirická rozdělení výnosů finančních instrumentů jsou špičatější (rozdělení se vyznačují úzkým pásem, kdy část hodnot této náhodné veličiny leží s vysokou pravděpodobností blízko své střední hodnoty) a mají tlustší chvosty než za předpokladu normálního rozdělení (extrémně vysoké kladné či záporné výnosy se vyskytují častěji než za předpokladu normality). Právě taková rozdělení pravděpodobnosti se často v odborné literatuře souhrnně označují jako leptokurtická či těžkochvostá. Monte Carlo simulace Metodami Monte Carlo je pojmenovaná třída počítačových algoritmů, které využívají opakované náhodné generování čísel. Pojmem Monte Carlo simulace budeme označovat generování náhodného výběru z námi zvoleného rozdělení a sumarizaci výsledků. Časová řada Definice 3.8: Časovou řadou rozumíme realizaci náhodného procesu, přičemž indexní množina T Z má potom význam času. Poznámka: Předchozí definice vychází z teorie náhodných procesů. V ekonomické literatuře bývá přístup k pojmu časová řada méně striktní. Např. Hindls () definuje časovou řadu jako posloupnost věcně a prostorově srovnatelných pozorování (dat), která jsou jednoznačně uspořádána z hlediska času ve směru minulost přítomnost. Analýzou časových řad pak rozumí soubor metod, které slouží k popisu těchto řad a případně k předvídání jejich budoucího chování. Hančlová (3) rozumí pod pojmem časová řada posloupnost hodnot ukazatelů, měřených v určitých časových intervalech. Tyto intervaly jsou zpravidla rovnoměrné (ekvidistantní), a proto je možné je zapsat následujícím způsobem kde: y, y,..., y t neboli y t pro y...analyzovaný ukazatel, t...časová proměnná s celkovým počtem pozorování n. t =,,..., n, () Dle Petráškové (6) lze časovou řadu vymezit rovněž jako statistickou řadu, jejíž chování je zatíženo nejistotou a lze ji tedy chápat jako konkrétní realizaci náhodného procesu. Pak je možné pozorování v časové řadě značit jako hodnoty náhodné veličiny, a to písmeny z konce abecedy (nejčastěji X, Y, Z ) a indexovat

22 3 Základní pojmy malým písmenem t představující čas. Časovou řadu pak lze zapisovat ve tvaru X, X,..., X t nebo analogicky X t, kde t =,,..., T. Finanční časová řada Definice 3.9: Finanční časovou řadou budeme nazývat časovou řadu finančních charakteristik. Poznámka: Finanční trh, zastupující finanční systém, lze z hlediska délky splatnosti nástrojů, které se na něm obchodují, rozčlenit na peněžní trhy a kapitálové trhy, přičemž každý z těchto trhů lze zevrubně dělit na trh úvěrů a trh cenných papírů. Do oblasti finančních trhů lze zařadit rovněž trh drahých kovů a devizový trh. Jednotlivé finanční instrumenty, měny a drahé kovy jsou na těchto trzích jednoznačně charakterizovány jejich cenami. Ceny dluhopisů, akcií, měn a drahých kovů sledované v určitých časových frekvencích pak tvoří finanční časové řady. Dle Arlta (, 3) lze k tomuto primárnímu označení finančních časových řad přidat i řady odvozené, vycházející z cen nebo charakterizující ceny a jejich vývoj např. řady zachycující cenové změny odvozené z řad cen (kurzů) finančních aktiv. Arlt (, 3) tak vymezuje finanční časové řady jako časové řady finančních charakteristik na finančních trzích, přičemž těmito finančními charakteristikami jsou myšleny ceny finančních instrumentů. Cenové změny Nejdůležitější informací o finančním aktivu je jeho cena, která je zaznamenávána ve zvolených časových jednotkách a tvoří tak finanční časovou řadu. V odborné literatuře se cena finančního aktiva (ceny akcie, kurzu deviz apod.) nejčastěji vyjadřuje symbolem P. t Je to pro každé t náhodná veličina představující cenu příslušného finančního aktiva v čase t. Ve většině analýz časových řad se však nepracuje přímo s původní časovou řadou, tj. s časovou řadou ceny finančního aktiva, ale pracuje se s nějakou její transformací cenovou změnou (výnosem). Řada transformovaných náhodných veličin má obvykle lepší statistické vlastnosti (např. stacionarita). Nejčastěji využívané cenové změny jsou absolutní, relativní a logaritmická cenová změna. Definice 3.: Absolutní cenovou změnou či výnosem ( D t ) v čase t rozumíme absolutní změnu ceny z času t do času t, tj. t = Pt Pt D. () Definice 3.: Relativní cenovou změnou či relativním výnosem ( R t ) v čase t rozumíme relativní změnu ceny z času t do času t, tj. P P D t t t R t = =. (3) Pt Pt Poznámka: Relativní cenová změna je obvykle udávána v procentech a ekvivalentními názvy jsou i diskrétní míra zisku či jednoduše míra zisku. Relativní cenová změna je v praktických aplikacích preferovanější cenovou změnou než

23 3 Základní pojmy 3 absolutní cenová změna. Důvodem je zohlednění absolutní cenové úrovně. Relativní cenová změna umožňuje porovnávat i finanční aktiva vyjádřená např. v různých měnách a v různých cenových úrovních. Nevýhodou relativní cenové změny však je, že se jedná o náhodnou veličinu, která nabývá i záporných hodnot konkrétně nabývá hodnot z intervalu, ). Nastává tedy problém s aplikací některého ze známých pravděpodobnostních rozdělení. Jednou z možností je přechod od relativní cenové změny ke koeficientu růstu + R ). Pro tento případ lze uvažovat o logaritmicko-normálním rozdělení. ( t Definice 3.: Logaritmickou cenovou změnou či logaritmickým výnosem ( r t ) v čase t rozumíme přirozený logaritmus koeficientu růstu + R ) odpovídající diskrétní míře zisku R t, tj. ( t P t r ln( ) ln t = + Rt = = pt pt, kde pt = ln Pt (4) Pt Poznámka: Ekvivalentním názvem je pojem logaritmická míra zisku. Důvodem využívání logaritmických cenových změn v praktických aplikacích je především fakt, že logaritmus každé náhodné veličiny s logaritmicko-normálním rozdělení má rozdělení normální. Využití logaritmických cenových změn je velké, neboť jedním ze základních předpokladů, ze kterého se v teoretických a empirických pracích zabývajících se finančními časovými řadami často vychází, je, že logaritmy denních výnosů mají normální rozdělení. V praxi však relativní cenová změna a logaritmická cenová změna nabývají velmi podobných numerických hodnot, neboť pro hodnoty ( + Rt ) nepříliš vzdálené od jedné neboli pro hodnoty R t nepříliš vzdálené od nuly lze pomocí Taylorova rozvoje aproximovat jako Efektivní trh r = ln( + R ) R. (5) t Definice 3.3: Podle teorie efektivního trhu je efektivní trh takový, kde cena každého finančního nástroje v každém okamžiku plně odráží všechny dostupné informace. V takovém případě je nejlepší předpovědí budoucí ceny cena současná, a tudíž očekávaný výnos je nulový, tj. formálně zapsáno + Φt ) t t t E ( P t = P, t =,,..., n, resp. E Φ, (6) kde Φ t značí množinu informací dostupných v čase t. ( r t + t ) = Náhodná veličina je obvykle oznáčována velkými písmeny. V ekonomické literatuře však není náhodná veličina takto striktně označována a jelikož je předpokládána aplikace právě v ekonomické oblasti, bude v práci využíváno označení logaritmické cenové změny r a logaritmu ceny t p t v souladu s ekonomickou praxí, tj. budou označovány malými písmeny. 3 r t je možné rozvinout do Taylorovy řady r t = Rt + Rt + Rt

24 4 3 Základní pojmy Poznámka: Náhodné procesy, které splňují uvedenou podmínku (6) se pak souhrnně označují jako martingály, přičemž mezi speciální případy martingálu patří mimo jiné i model náhodné procházky. Martingál Definice 3.4: Martingál je diskrétní stochastický proces { P t }, pro který platí E = kde P t je cena aktiva v čase t pro ( Pt + Pt, Pt,..., P ) Pt, resp. E( P + Pt Pt, Pt,..., P ) = t =,,..., n. t, (7) Poznámka: Uvedený vztah udává, že nejlepším odhadem budoucí ceny na základě kompletně známé řady historických cen daného aktiva až do současnosti je současná cena, tj. že nejlepším odhadem zítřejší ceny je cena dnešní. Očekávaná změna ceny daného aktiva na základě historických cen daného aktiva je nulová, z čehož vyplývá, že růst ceny i pokles ceny jsou stejně pravděpodobné. Martingálový model vychází z teorie náhodných her a z definice spravedlivé hry, za kterou je považována taková hra, jejíž podmínky neumožňují ani jednomu z hráčů zvolit herní strategii, která by byla apriori pravděpodobnostně výhodnější než herní strategie, které mají k dispozici ostatní hráči. Důsledkem martingálové hypotézy je také nekorelovanost cenových změn ve všech nepřekrývajících se časových okamžicích, což vede k tomu, že všechny lineární metody technické analýzy pro predikci budoucích cen na základě cen historických selhávají. Martingál byl dlouho považován za nutnou podmínku efektivního kapitálového trhu a čím silněji bylo možné argumenty pro nezamítnutí martingálové hypotézy empiricky doložit, tím byl trh považován za efektivnější ve smyslu náhodných a nepředvídatelných změn cen aktiv. Později se však ukázalo, že martingál je pouze podmínkou postačující, nikoliv podmínkou nutnou pro předpoklad efektivnosti kapitálového trhu, protože i na standardních a efektivně fungujících kapitálových trzích se totiž lze setkat s nenulovou autokorelací současných a minulých cen či výnosů z nich odvozených, což vedlo k tomu, že vznikl nový model popisující efektivní fungování kapitálového trhu, a to model náhodné procházky. Model náhodné procházky Definice 3.5: Model náhodné procházky (Random Walk Process) je model, který lze vymezit následujícím vztahem P = µ + + ε, (8a) t P t kde P t je cena v čase t pro t =,,..., n, µ je očekávaná cenová změna (drift), P t je cena v čase t a ε t IID, tj. že ε t je nezávislá a stejně rozdělená náhodná veličina se střední hodnotou a rozptylem σ. t

25 3 Základní pojmy 5 Poznámka: V případě, že očekávaná cenová změna je nulová, pak lze model náhodné procházky s konstantou (8a) přepsat do tvaru modelu náhodné procházky bez konstanty ve tvaru P = + ε. (8b) t P t Má-li model náhodné procházky ve tvaru bez konstanty počátek v čase t =, potom lze model náhodné procházky pro P zapsat jako P t = P = t t t + j = ε j j= j= ε, (8c) tedy jako součet náhodné složky, která má charakter bílého šumu, tj. nekorelované stejně rozdělené náhodné veličiny s nulovou střední hodnotou a konstantním rozptylem. Z nezávislosti přírůstků { ε t } vyplývá, že náhodná procházka je stejně jako model martingálu spravedlivá hra, avšak v mnohem silnějším smyslu než martingál. Formulace hypotézy efektivního trhu ve formě náhodné procházky na místo martingálu však není ekvivalentní, ale je podstatně restriktivnější. Formulace hypotézy efektivního trhu ve formě martingálu totiž vylučuje pouze lineární závislost mezi výnosy, tj. že autokorelace výnosů je nulová, zatímco náhodná procházka tvrdí, že empirické distribuční funkce výnosů jsou nezávislé. Model náhodné procházky bez konstanty vychází z předpokladu, že první diference akciových kurzů v čase tenduje k normálnímu rozdělení. Problémem tohoto předpokladu však je, že toto rozdělení plně nereflektuje vlastnosti finančních časových řad, což je také dokumentováno v řadě významných prací zabývajících se teorií efektivních trhů, kde se častěji využívá logaritmických cen a model náhodné procházky bez konstanty (obdobně lze uvést i model náhodné procházky s konstantou) je uváděn v podobě vztahu p = + ε, (8d) t p t t kde p t ln p ln a ε IID pro t =,,..., n. = Pt, = t Pt t

26 6 4 Literární rešerše 4 LITERÁRNÍ REŠERŠE 4. Teorie efektivního trhu Teorie efektivního trhu se rozvinula v 6. letech na základě disertace Eugena Famy na University of Chicago. Podle jeho názoru jsou na efektivním trhu, který zahrnuje mnoho dobře informovaných a inteligentních investorů, akcie správně oceněny a odrážejí všechny dostupné informace. Fama (965) tedy předpokládal, že na efektivním trhu konkurence mezi racionálními investory vede k tomu, že aktuální cena individuální akcie reflektuje všechny důležité informace a současně je vždy dobrým odhadem její vnitřní hodnoty. Dále předpokládal, že změny ceny akcie v čase jsou navzájem nezávislé, tj. vykonávají náhodnou procházku a nelze tak využít historických cen k nalezení obchodní strategie zajišťující očekávaný nenulový abnormální výnos. V průběhu let bylo původní pojetí efektivního trhu několikrát modifikováno (blíže viz např. Fama, 97, 99, 998) a to především jako reakce na různé anomálie publikované v literatuře a chybějící předpoklady pro existenci efektivního trhu. Teorie efektivního trhu má v současné moderní finanční teorii velký význam. Je tomu tak proto, že tato teorie vysvětluje pohyby kurzů cenných papírů, potažmo burzovních indexů. V případě analýzy kurzů jednotlivých akcií lze vyslovit závěr o efektivnosti či neefektivnosti trhu jednotlivého cenného papíru, avšak nikoli celku. Proto je výhodnější analyzovat vývoj burzovního indexu jako indikátoru vývoje celého burzovního trhu. Pojem efektivní zde však dle Veselé (999) není míněn ve smyslu hospodárnost, ale je chápán poněkud odlišně, a to ve vztahu k reakci kurzu cenného papíru na novou, neočekávanou informaci. Termín efektivní se tak zde používá ve smyslu efektivního zpracování nových informací. Teorie efektivního trhu zkoumá, jak rychle je daný trh schopen absorbovat nové informace a reagovat na ně. Za efektivní je pak považován takový trh, který dokáže všechny kurzotvorné faktory či informace vstřebávat velmi rychle, což lze formálně vyjádřit tak, že trh je vzhledem k určité množině informací efektivní, jestliže při prozrazení těchto informací všem účastníkům trhu nedojde ke změně cen akcií, tj. E ( P t = P, (9) + Φt ) kde Φ t značí množinu informací dostupných v čase t pro t t =,,..., n. Z uvedeného vyplývá, že pokud je trh efektivní, potom od žádné analýzy akcií nelze očekávat, že jejím výsledkem bude překonání standardu (benchmark), tedy že na základě dostupných informací Φ t nelze sestavit systém, který by dlouhodobě dosahoval nadprůměrných výnosů.

27 4. Teorie efektivního trhu Formy efektivnosti trhu Podle konkrétního určení množiny informací Φ t se pak rozlišují klasické definice W efektivnosti trhu. První množinu informací ( Φ ) představují informace o minulých kurzech cenných papírů, potažmo o minulém vývoji celého burzovního trhu SS vyjádřeného burzovními indexy. Druhou množinu informací ( Φ ) představují S všechny veřejné informace a třetí skupina informací ( Φ ) je představována všemi dostupnými informacemi na trhu, tj. všemi veřejnými, ale i neveřejnými (inside) informacemi. V návaznosti na toto rozdělení informací lze rozlišit tři formy efektivnosti trhu slabá (weak) forma, středně silná (semi-strong) forma a silná (strong) forma efektivnosti trhu. Toto členění prvně navrhoval Roberts (967) a později jej převzal i Fama (97). Z uvedeného tedy vyplývá, že historické informace jsou podmnožinou veřejně dostupných historických a současných informací a ty jsou podmnožinou všech dostupných veřejných i neveřejných informací, tj. W SS S Φ Φ Φ () Má-li být trh efektivní alespoň ve své slabé formě, pak to znamená, že kurzy akcií či burzovních indexů představující jakési portfolio akcií musejí být nezávislé na svých předchozích hodnotách, tj. nesmí existovat žádný vztah mezi minulými a budoucími kurzy. Jinak řečeno to znamená, že aktuální kurzy zahrnují všechny informace obsažené v jejich historických časových řadách (historickém vývoji) a že akciové výnosy nelze popsat žádným matematickým či statistickým modelem, který by z historických cen akciových titulů dokázal predikovat budoucí vývoj. Takováto forma efektivnosti vede k tomu, že cenové změny (výnosy) splňují hypotézu náhodné procházky a budoucí kurzový pohyb tak nelze na základě historických údajů předpovídat, což mimo jiné znamená, že použití technické analýzy k predikci není v tomto případě nijak racionálně podloženo či zdůvodněno. Základní modely, z nichž následně vychází většina metod a nástrojů pro testování slabé formy efektivnosti, jsou založeny na různých variantách hypotézy náhodné procházky. Nejjednodušší verze hypotézy náhodné procházky vycházející z logaritmické transformace cen předpokládá nezávislé a stejně rozdělené přírůstky cen a je dána rovnicí p = µ + + ε (a) t p t kde pt = ln Pt, P t je cena v čase t, p = t ln Pt, µ je očekávaná cenová změna (drift) a ε t IID, tj. že ε t je nezávislá a stejně rozdělená náhodná veličina. V případě, že očekávaná cenová změna (drift) je nulová, pak je model náhodné procházky dán rovnicí p = + ε (b) t p t kde pt = ln Pt, P t je cena v čase t, p = t ln Pt, a ε t IID, tj. že ε t je nezávislá a stejně rozdělená náhodná veličina, přičemž pro případ normálního rozdělení se střední hodnotou a konstantním rozptylem σ pak hovoříme o tzv. Brownově pohybu, t t

28 8 4 Literární rešerše který dále implikuje, že souvislá řada tržních výnosů na kapitálovém trhu má IID normální rozdělení s nulovou střední hodnotou a rozptylem σ. 4.. Předpoklady efektivního chování trhu Základní podmínky nutné k tomu, aby se trh mohl chovat efektivně, lze dle Musílka () vymezit následovně: trhu: Na trhu participuje velké množství racionálních investorů vyhledávajících příležitost k dosažení zisku, kteří neustále akciové instrumenty analyzují a provádějí s nimi transakce. Předpokladem je, že ani jeden z nich není schopen sám ovlivnit cenu. Investoři mají k dispozici dostatek levných, aktuálních a pravdivých informací, přičemž každý účastník trhu získává nové informace zhruba ve stejnou dobu. Investoři reagují na nové informace rychle a přesně. Obchody na akciovém trhu jsou spojeny s nízkými transakčními náklady, přičemž neexistují žádná obchodní omezení. Veselá (999) pak uvádí další předpoklady pro efektivní chování kapitálového ziskový motiv investorů, kvalitní informační systémy, kvalitní infrastruktura (systém obchodování), rovné postavení účastníků trhu a konkurence na trhu, likvidita trhu, kvalitní legislativa. Při splnění uvedených předpokladů pro efektivní chování trhů lze definovat typické charakteristiky těchto trhů, kterými jsou velmi rychlá a přesná absorpce nových kurzotvorných informací, náhodné změny tržních cen, z čehož vyplývá neexistence racionálně podložených trendů ve vývoji cen (kurzů), selhávání obchodních a investičních strategií vycházejících z technické či fundamentální analýzy a nemožnost dlouhodobě a opakovaně dosahovat nadprůměrných výnosů při dané úrovni rizika, což znamená, že při srovnatelné úrovni rizika dosahují v dlouhém období investoři na efektivních trzích přibližně shodných výsledků Testy ověřující slabou formu efektivnosti trhu V následující části textu se zaměříme na popis a princip nejznámějších a v praxi nejpoužívanějších testů ověřující předpoklad slabé formy efektivnosti trhu, a to z toho důvodu, že vlastní práce je zaměřena především na méně likvidní trhy střední Evropy, které na základě výsledků dřívějších studií např. Filáček a kol., (998), Diviš a Teplý (5) atd. nevykazovaly ani znaky slabě efektivního trhu, a tudíž ověřování středně silné a silné formy efektivnosti by postrádalo smysl. Mimo to se

29 4. Teorie efektivního trhu 9 práce zaměřuje i na využití robustních testů normality, které lze využít primárně právě při ověřování slabé formy efektivnosti trhu. V současnosti lze najít velké množství testů, pomocí nichž se dají zkoumat základní charakteristiky chování efektivního trhu. V podstatě je lze dle Musílka () rozdělit na dvě části, a to na: analýzu nezávislosti kurzů cenných papírů, analýzu zkoumání úspěšnosti strategií založených na technických indikátorech. Analýza nezávislosti cenných papírů se snaží prokázat, že se výnosy v průběhu času pohybují náhodně. V souvislosti s touto metodou je zmiňován právě model náhodné procházky, který výstižně charakterizuje vlastnosti efektivních trhů a na kterém jsou založeny zejména autokorelační testy a testy zaměřené na analýzu předpokladu bílého šumu. Naopak analýza zkoumání úspěšnosti strategií se snaží vypozorovat, zda vybrané metody technické analýzy vedou k lepším výsledkům než strategie kup a drž, tj. snaží se ověřit či vyvrátit předpoklad, který tvrdí, že na efektivním trhu nelze dosáhnout lepších než průměrných výsledků. Těmto testům však z důvodu zaměření práce nebude věnována bližší pozornost. V další části textu tak stručně charakterizujeme nejznámější a v praxi nejpoužívanější testy ověřující předpoklad slabé formy efektivnosti trhu spadající do první skupiny, tj. testy, které jsou založeny na analýze nezávislosti cenných papírů. Do této skupiny lze zařadit především autokorelační testy, simulační testy, runs testy, distribuční testy či testy podílu rozptylů Autokorelační testy V praxi nejužívanější metodou ověřování hypotézy o slabé formě efektivnosti trhu jsou autokorelační testy. Zabývají se zkoumáním, zda lze kurzové změny nebo výnosy považovat za nekorelované. Testovanou (nulovou) hypotézou je existence slabé formy efektivnosti. Alternativní hypotézou je absence slabé formy efektivnosti. V případě, že výsledky testů vykazují lineární závislost aktuálních kurzů akcií či burzovních indexů a historických kurzů, pak je nutné nulovou hypotézu zamítnout a přijmout hypotézu alternativní, čímž je tedy prokázána neexistence slabé formy efektivnosti trhu (následně i středně silná a silná forma). Jednou z možností provádění autokorelační analýzy je grafické vyjádření, kdy se jedná o zanesení jednotlivých cenových změn (výnosů) akciového kurzu či kurzu burzovního indexu do grafu. Na vertikální ose jsou obvykle vynášeny cenové změny v období t a na horizontální osu jsou obvykle vynášeny cenové změny v čase odpovídající zkoumanému zpoždění ( t, t atd.). Další možností je výpočet autokorelačního koeficientu pro dané zpoždění a otestování jeho statistické významnosti. Mimo klasických autokorelačních koeficientů a zjištění jejich statistické významnosti lze k otestování nulové hypotézy

30 3 4 Literární rešerše využít i Ljungův-Boxův test autokorelace vyššího řádu (blíže viz Ljung-Box, 978), jehož testová statistika má tvar ρˆ Q = T ( T + ), () k K k k= T kde T je počet pozorování a ρˆ k je výběrový autokorelační koeficient řádu k. Tato testová statistika má pak asymptoticky chí-kvadrát rozdělení s K stupni volnosti. Mezi nevýhody autokorelačních testů lze zařadit především fakt, že nezohledňují prudší výkyvy ve změnách výnosů, které jsou přičítány psychologickým faktorům působících na daném trhu a zkreslení výsledků v případě přítomnosti extrémních hodnot Simulační testy Simulační testy jsou založeny na principu srovnávání souboru náhodně vygenerovaných (simulovaných) veličin se skutečným vývojem sledovaných akciových kurzů či burzovních indexů. Srovnáním vývoje skutečného a simulovaného souboru se pak můžeme vyjádřit k hypotéze o slabé formě efektivnosti. Pokud je u skutečného i simulovaného souboru podobný vývoj, pak lze skutečný vývoj akciového kurzu zaměnit za vývoj náhodně simulovaných hodnot, což posiluje pozici teorie náhodné procházky kurzů a tedy i slabé formy efektivnosti. Za hlavní nedostatek tohoto typu testu považuje Veselá (999) subjektivní hodnocení analytika, který se na základě vlastních zkušeností a subjektivního úsudku rozhoduje, jaký vývoj skutečného souboru lze ještě považovat za podobný vývoji simulovaného souboru a naopak. Rovněž je důležité, aby byla reálná data k dispozici za delší časové období. Tyto nevýhody vedou v praxi k tomu, že simulační testy nedosáhly nikdy širšího uplatnění Runs testy Runs testy lze považovat za testy, které se inspirují jak simulačními, tak autokorelačními testy. Spojují oba dva typy dohromady, čímž se snaží odstranit jejich nedostatky spočívající především v nebezpečí výskytu extrémních hodnot v řadě kurzů za určité období. Runs testy také operují se skutečným a simulovaným souborem a porovnávají jejich výsledky, jako je tomu u simulačních testů. Neporovnává se zde však vývoj skutečného a simulovaného souboru, avšak v rámci skutečného souboru se zjišťuje počet, tzv. průběhů (runs), kdy jeden průběh odpovídá té části souboru, kde je použito stejného znaku. Využívané znaky jsou plus (+), minus ( ) a nula (), přičemž tyto znaky přiřazujeme dle toho, zda následující změna kurzu je kladná, záporná či nulová. Srovnáním počtu průběhů (runs) skutečného a simulovaného souboru se pak lze vyjádřit k hypotéze o slabé formě efektivnosti. Aby byla potvrzena nezávislost cenových změn, musí být počty průběhů skutečného souboru přibližně stejné jako počty průběhů souboru simulovaného. V takovém případě lze uvažovat o slabě efektivním trhu. Naopak pokud se počty průběhů ve skutečném a simulovaném