Aproximace binomického rozdělení normálním

Transkript

1 Aproximace binomického rozdělení normálním

2 Aproximace binomického rozdělení normálním Příklad Sybilla a Kassandra tvrdí, že mají telepatické schopnosti, a chtějí to dokázat následujícím pokusem: V jedné místnosti Sybille ukážou kartu jedné z pěti barev a ve druhé místnosti Kassandra řekne, jakou barvu Sybilla právě viděla. Takto postupně Sybille ukážou 100 karet. Jestliže Kassandra ve skutečnosti barvy hádá jen náhodně, jaká je pravděpodobnost, že barvu správně určí alespoň v 25 případech? Výpočet je velmi pracný.

3 Aproximace binomického rozdělení normálním Graf pravděpodobnostní funkce 0.12 Binomicke rozdeleni n = 100, p =

4 Aproximace binomického rozdělení normálním Moivre-Laplaceova věta Jestliže X je náhodná veličina s binomickým rozdělením, X Bi(n, p), n je velké a p není příliš bĺızké nule ani jedničce, pak X lze aproximovat normálním rozdělením se stejnou střední hodnotou a rozptylem, jako mělo původní binomické rozdělení: X Bi(n, p) přibližně X No(µ, σ 2 ), kde µ = n p, σ 2 = n p (1 p), P(a < X < b) =. ( a µ P σ < U < b µ ) = σ ( b µ Φ σ ) Φ ( a µ σ ).

5 Aproximace binomického rozdělení normálním Kdy lze aproximaci použít empirická podmínka Aproximace je dobrá, je-li n p > 5 a současně n (1 p) > 5. Jiná podmínka: n p (1 p) > 9

6 Aproximace binomického rozdělení normálním Případ, kdy n je malé Geometrický význam P(1 X 2) Obyčejná aproximace Lepší aproximace

7 Aproximace binomického rozdělení normálním Aproximace s korekcí Lepší výsledky dává aproximace s korekcí: Jestliže a, b jsou celá čísla a X Bi(n, p), pak P(a X b) =. P(a 0,5 < X < b + 0,5) = ( ) ( ) b + 0,5 µ a 0,5 µ Φ Φ. σ σ

8 Aproximace binomického rozdělení normálním Příklad (pokračování) Vypočtěte pravděpodobnost z předchozího příkladu pomocí aproximace normálním rozdělením a) obyčejně, bez korekce, b) s korekcí.

9 Testování hypotéz

10 Testování hypotéz Příklad Hladina jisté látky v krvi trénovaných lidí má normální rozdělení se střední hodnotou µ = 20, σ 2 = 9. Víme, že doping zvyšuje hladinu této látky. Určitému sportovci bylo naměřeno 25 jednotek. Je tato hodnota významně vyšší, než by se u obyčejného sportovce čekalo? Nebo je tento výsledek ještě v normě?

11 Testování hypotéz Řešení Co to znamená významně vyšší? Stanovíme hladinu významnosti testu, např. α = 0,05. Pro začátek předpokládáme, že platí tzv. nulová hypotéza, v našem případě, že sportovec nedopoval. Alternativní hypotéza je, že sportovec dopoval. Najdeme tzv. kritickou hodnotu T k hranici pro hladinu oné látky, která bude překročena jen v α 100 % = 5 % případů: P(X > T k ) = α Vyšlo T k = 24,95. Je naměřená hodnota vyšší než kritická? Ano, 25 > 24,95 výsledek není v normě, sportovec dopoval, nulovou hypotézu zamítáme.

12 Testování hypotéz Obecný postup při testování hypotéz Vyslovíme nulovou hypotézu H 0 a alternativní hypotézu H 1. Zvoĺıme testové kritérium. Předpokládáme, že platí H 0. Za tohoto předpokladu známe rozdělení testového kritéria. Najdeme kritický obor pro testové kritérium - množinu (interval), do kterého padne jen s pravděpodobností α. Leží hodnota testového kritéria v kritickém oboru? Pokud ano, nulovou hypotézu H 0 zamítáme. Hypotéza H 1 byla testem prokázána. Pokud ne, nulovou hypotézu H 0 nezamítáme. Hypotéza H 1 nebyla prokázána.

13 Testování hypotéz Možné výsledky testování Skutečnost Rozhodnutí H 0 platí H 0 neplatí H 0 nezamítáme správně chyba 2. druhu H 0 zamítáme chyba 1. druhu správně Pravděpodobnost chyby 1. druhu je α. Pravděpodobnost chyby 2. druhu značíme β. Čím větší je α, tím je β menší a naopak. Síla testu Síla testu je pravděpodobnost, že správně zamítneme H 0, když ve skutečnosti platí H 1. Síla testu = 1 β.

14 Testování hypotéz Příklad Stanovte sílu testu z předchozího příkladu, víme-li, že hladina zkoumané látky v krvi dopujících sportovců má normální rozdělení s µ = 24, σ 2 = 4.

15 Testování hypotéz Jednostranné a oboustranné testy Nulová hypotéza bývá zpravidla typu určitý parametr = určitá hodnota. Je-li např. H 0 : µ = µ 0, alternativní hypotéza H 1 pak může být několika různých typů: H 1 : µ µ 0 oboustranný test, kritický obor je tvaru (, T k1 ) (T k2, ) H 1 : µ > µ 0 jednostranný (a to pravostranný) test, kritický obor je tvaru (T k, ) H 1 : µ < µ 0 jednostranný (a to levostranný) test, kritický obor je tvaru (, T k )

16 Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu

17 Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Náhodný výběr Náhodný výběr rozsahu n je vektor (X 1, X 2,..., X n ), kde X 1, X 2,..., X n jsou navzájem nezávislé náhodné veličiny, které mají všechny stejné rozdělení pravděpodobnosti. Výběrový průměr Výběrový průměr z náhodného výběru (X 1, X 2,..., X n ) je X = 1 n n i=1 X i Výběrový průměr X je náhodná veličina.

18 Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Rozdělení pravděpodobnosti výběrového průměru z No(µ, σ 2 ) Jestliže náhodný výběr pochází z normálního rozdělení se střední hodnotou µ a rozptylem σ 2, pak výběrový průměr X má také normální rozdělení, X No(µ X, σ 2 X ), kde µ X = µ, σ 2 X = σ2 n.

19 Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Příklad Výška náhodně vybraného studenta má normální rozdělení s µ = 180 cm a σ 2 = 36 (cm) 2. Jestliže náhodně vybereme 10 studentů, jaká je pravděpodobnost, že jejich průměrná výška bude menší než 177 cm?

20 Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Příklad (Test hypotézy o střední hodnotě průměru) Plnicí linka plní plechovky pivem. Ze zkušenosti je známo, že množství piva v plechovce má normální rozdělení se směrodatnou odchylkou σ = 0,005 l. Bylo náhodně vybráno 25 plechovek, průměrné množství piva v nich bylo 0,498 l. Na hladině významnosti α = 0,05 testujte hypotézu H 0 : µ = 0,5 proti alternativní hypotéze H 1 : µ 0,5 (oboustranný test).