TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ STATISTICKÁ HYPOTÉZA Statistické testy Testovací kritérium = B B > B < B B - B - B < 0 - B > 0 oboustranný test = B > B

Transkript

1 TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ Od statistického šetření neočekáváme pouze elementární informace o velikosti některých statistických ukazatelů. Používáme je i k ověřování našich očekávání o výsledcích nějakého procesu, k posuzování významnosti změn, které byly způsobeny například změnou technologie, změnou způsobu měření, opravou přístroje apod. Ač formulace úloh toho typu se liší od formulace úlohy o odhadech parametrů, jde zpravidla vždy o řešení inverzní úlohy o intervalovém odhadu. STATISTICKÁ HYPOTÉZA je tvrzení, které se týká neznámé vlastnosti rozdělení pravděpodobnosti náhodné proměnné (i vícerozměrné) nebo jejích parametrů. Hypotéza, jejíž platnost ověřujeme, se nazývá nulová hypotéza H 0. Proti nulové hypotéze stavíme alternativní hypotézu H 1. Ta může být buď oboustranná nebo jednostranná. Pak i testy jsou buď oboustranné nebo jednostranné. Hypotézy se mohu týkat pouze neznámých číselných parametrů rozložení náhodné veličiny, pak jde o testy parametrické. Ostatní typy jsou testy neparametrické. Statistické testy jsou postupy, jimiž prověřujeme platnost nulové hypotézy. Na základě nich pak hypotézu buď přijmeme nebo odmítneme. Testovací kritérium je náhodná veličina závislá na náhodném výběru (též nazývaná statistika) mající vztah k nulové hypotéze. Jednostranné a oboustranné testy se od sebe rozlišují z hlediska alternativní hypotézy, kterou stavíme proti prověřované nulové hypotéze a která může být dvojího druhu, jak plyne z tohoto příkladu: Nechť nulová hypotéza předpokládá, že A = B. V případě, že tuto hypotézu zamítneme, je buď A B, nebo A > B (resp. A < B). a) V prvém případě (A B) nebereme zřetel na znaménko rozdílu A - B, takže může být buďa - B < 0 nebo A - B > 0. V těchto případech používáme oboustranný test. b) V druhém případě, kdy proti hypotéze A = B klademe možnost A > B (resp. A < B), používáme jednostranných testů.

2 Pro kritické hodnoty testovacího kritéria a p, b p platí: P a X b p p p 1 Tyto hodnoty oddělují interval prakticky možných hodnot (interval spolehlivosti, konfidenční interval) <a p, b p > od kritických intervalů, v nichž se hodnoty veličiny X vyskytují s pravděpodobností p, které říkáme hladina významnosti. Nejčastěji volíme p = 0,01 nebo p = 0,05. Pro oboustranné odhady volíme: p P X ap P X bp, pro jednostranné buď P X a 0, P X b p nebo p p p p P X a p, P X b 0. Porovnání hodnoty testovacího kritéria s jeho kritickými hodnotami slouží k rozhodnutí o výsledku testu. Musíme si uvědomit, že nemůžeme mluvit o dokazování správnosti či nesprávnosti zvolené hypotézy - to není v možnostech statistické indukce. Závěr testu pouze rozhodne mezi dvěmi možnostmi: hypotézu přijímáme (zamítáme alternativní hypotézu), leží-li pozorovaná hodnota testovacího kritéria v intervalu prakticky možných hodnot. Znamená to, že rozdíl mezi pozorovanou a teoretickou hodnotou testovacího kritéria je vysvětlitelný na dané hladině významnosti p náhodností výběru. hypotézu zamítáme (přijímáme alternativní hypotézu), leží-li pozorovaná hodnota testovacího kritéria v kritickém oboru. Rozdíly považujeme za statisticky významné na zvolené hladině významnosti p, tzn., že se nedají vysvětlit pouze náhodností výběru. Příklady otázek, na které se dá odpovídat pomocí výsledků příslušných statistických testů: Má základní soubor (ZS) předpokládanou střední hodnotu? Mají dva soubory stejnou disperzi? Mají dva soubory stejnou střední hodnotu? Můžeme předpokládat, že dva výběry pocházejí z téhož ZS? Má ZS předpokládané rozdělení? atd.

3 DOPORUČENÝ POSTUP PŘI TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ Formulace výzkumné otázky ve formě nulové a alternativní statistické hypotézy Zvolení přijatelné úrovně chyby rozhodování (volba hladiny významnosti p) Volba testovacího kritéria Výpočet hodnoty testovacího kritéria Určení kritických hodnot testovacího kritéria Doporučení ( přijmutí (nezamítnutí) nebo zamítnutí nulové hypotézy H 0 ) Poznámka Hladina významnosti je pravděpodobnost, že se zamítne nulová hypotéza, ačkoliv ona platí. Pochopitelně se tato hodnota volí velmi malá, jak již bylo řečeno, nejčastěji 0,01 či 0,05 nebo 0,01. Poznámka Jestliže test neindikuje zamítnutí nulové hypotézy H 0, je nesprávné přijmout nulovou hypotézu jako definitivně pravdivou. Správně můžeme pouze prohlásit, že není dostatek dokladů pro zamítnutí nulové hypotézy (viz shrnutí níže). Poznámka Netvrďme, že data ukazují, že teorie platí/neplatí. Správnější je říct, že data podporují nebo nepodporují rozhodnutí o zamítnutí platnosti nulové hypotézy. TEST JAKO ROZHODOVÁNÍ Při testování hypotéz mohou nastat čtyři možnosti, které popisuje následující tabulka: Závěr testu Závěr soudu Obžalovaný je nevinen Obžalovaný je vinen Skutečnost Existují tedy dvě možnosti chyby: H 0 platí H 0 neplatí H 0 platí správný chyba I.druhu H 0 neplatí chyba II.druhu správný Skutečnost Obžalovaný je nevinen Obžalovaný je vinen správný chyba II. druhu chyba I. druhu správný chyba I. druhu - nulová hypotéza platí, ale zamítne se; chyba II. druhu - nulová hypotéza neplatí, ale přijme se.

4 Pravděpodobnost chyby I. druhu je podmíněná pravděpodobnost, že zamítneme nulovou hypotézu za předpokladu, že platí - označujeme p - viz výše. Pravděpodobnost chyby II. druhu je podmíněná pravděpodobnost, že nezamítneme nulovou hypotézu za předpokladu, že neplatí, označujeme p 0 : P(chyba I. druhu H 0 platí) = p P(chyba II. druhu H 1 neplatí) = p 0 Konvenční hodnoty pro p 0 jsou 0, nebo 0,1. Někdy můžeme také mluvit o opačných jevech k chybě I. a II. druhu, tzn. o podmíněné pravděpodobnosti, že neuděláme chybu I.druhu (spolehlivost testu) nebo že neuděláme chybu II. druhu. Síla testu odpovídá hodnotě (1 - p 0 ). Jedná se tedy o podmíněnou pravděpodobnost, že správně odhalíme testem neplatnost nulové hypotézy: P(neuděláme chybu I. druhu H 0 platí) = 1 - p = spolehlivost P(neuděláme chybu II. druhu H 1 neplatí) = 1 - p 0 = síla testu Cílem při testování nulové hypotézy je omezit úrovně pravděpodobnosti chyb I. a II. druhu. Jinými slovy - usilujeme o maximalizaci spolehlivosti a síly testu. SHRNUTÍ PŘEDCHOZÍCH POZNATKŮ Pravděpodobnost chyby I. druhu = hladina významnosti p volíme. Pravděpodobnost chyby II. druhu nevolíme a neznáme, víme pouze, že s pravděpodobností chyby I. druhu tvoří spojené nádoby, s rostoucí jednou hodnotou druhá klesá a naopak. Zamítneme-li tedy při testování nulovou hypotézu, můžeme se dopustit chyby I.druhu, jejíž pravděpodobnost známe, víme tedy s jakou chybou pracujeme. Pokud ale nulovou hypotézu nezamítneme, je možné, že se dopustíme chyby II.druhu, tudíž nevíme s jakou pracujeme chybou! Velikost hodnoty hladiny významnosti volíme podle toho, která z chyb (I., II.) má pro nás fatálnější následky. V mnoha případech však nevíme zcela přesně, která chyba je pro nás důležitější. Dále: VYBRANÉ STATISTICKÉ TESTY:

5 TEST VÝZNAMNOSTI ROZDÍLU DVOU ROZPTYLŮ (F-TEST) Jsou dány dva výběry o rozsazích n 1, n s rozptyly s 1, s, vybrané ze dvou základních souborů s rozděleními N( 1 ; 1 ) a N( ; ). H 0 : 1 = Alternativní hypotéza: H 1 : 1 n1 n 1. 1 S1 F n n1 1. S má Fisherovo-Snedecorovo rozdělení F(n 1-1, n - 1). Jestliže F F n 1, n 1, zamítáme hypotézu H 0 p 1 (přijímáme H 1 ). Indexy 1, volíme tak, aby testovací kritérium F > 1! Poznámka V případě, že bychom chtěli prokázat hypotézu H 0 proti hypotéze H 1 : 1 >, použili bychom kritickou hodnotu F p (n 1-1,n - 1), podobně jako u následujících testů. TEST VÝZNAMNOSTI ROZDÍLU DVOU VÝBĚROVÝCH PRŮMĚRŮ (T-TEST) Jsou dány dva výběry o rozsazích n 1, n se středními hodnotami m 1, m a disperzemi s 1, s, které pocházejí ze dvou základních souborů s rozděleními N( 1 ; 1 ) a N( ; ). H 0 : 1 = Alternativní hypotéza: H 1 : 1 a) jestliže můžeme předpokládat 1 = (prověříme F-testem), volíme testovací kritérium: T m m 1 n. s n. s 1 1. n. n. n n 1 1 n n 1, které má Studentovo rozdělení t(n 1 + n - ). Jestliže T > t p, zamítneme H 0. b) jestliže předpokládáme 1 (prověříme F-testem), volíme testovací kritérium: m m T n1 n n 1. s1 n1 1. s které má rozdělení, složené ze dvou Studentových rozdělení. Kritické hodnoty určíme podle vzorce: n 1. s1. t pn1 1 n1 1. s. t pn 1 t p n 1. s n 1. s 1 1 Jestliže T > t p (n 1 + n - ), zamítneme H 0., Poznámka t-test používáme např. k ověřování následujících hypotéz: Pocházejí dva vzorky z téhož základního souboru? Nedopustili jsme se při dvou měřeních, jejichž výsledkem bylo určení dvou středních hodnot m 1, m, systematických chyb? Poznámka Má určitý faktor vliv na zkoumaný argument? Zde zkoumáme dva vzorky - jeden při působení daného faktoru, druhý bez jeho působení.

6 TEST VÝZNAMNOSTI ROZDÍLU M - 0 Je dán výběr ze základního souboru s rozdělením N(; ) o rozsahu n se střední hodnotou m a disperzí s. H 0 : = 0 Alternativní hypotéza: H 1 : 0 m T 0. n 1 s má Studentovo rozdělení t(n - 1). Jestliže T > t p (n - 1), zamítáme hypotézu H 0 (přijímáme H 1 ). Poznámka Volíme-li alternativní hypotézu H 1 : > 0, pak hodnotu testovacího kritéria srovnáváme s kritickou hodnotou t p (n - 1). STUDENTŮV TEST PRO PÁROVANÉ HODNOTY Ze dvou normálně rozložených základních souborů s parametry μ 1, σ 1 a μ, σ byly vybrány dva výběry se stejnými rozsahy n. Přitom každému prvku prvého výběru x 1i odpovídá právě jeden prvek druhého výběru x i. Vznikly tedy páry (x 1i ; x i ), i = 1,... n. H 0 : μ 1 = μ, což lze jinak zapsat: d = 0, když d je střední hodnota rozdílů d i = x 1i - x i, tedy: x x 1i i i d x1 x 0 n Alternativní hypotéza: H 1 : μ 1 μ nebo tedy: d 0. d. n1 t s d (s d je směrodatná odchylka hodnot d i ) Veličina t má Studentovo rozložení s n - 1 stupni volnosti t(n - 1). Jestliže t > t p (n - 1), zamítneme hypotézu H 0.

7 PEARSONŮV TEST DOBRÉ SHODY - Χ TEST PRO JEDEN VÝBĚR Nechť výsledky pozorování jsou roztříděny do k skupin a v každé skupině je zjištěna skupinová četnost n ej (četnosti experimentální). Uvažujme určité rozdělení, které budeme považovat za model pro náš výběr. Pro každou třídu určíme teoretické, modelové, očekávané četnosti n oj (j = 1,...,k). H 0 : Základní soubor má očekávané rozložení, tzn. že četnosti n ej a n oj (j = 1,...,k) se liší pouze náhodně. k j1 n ej noj n oj Tato veličina má Pearsonovo rozložení χ s ν = k - s - 1 stupni volnosti. Veličina s značí počet parametrů očekávaného rozložení odhadnutých na základě výběru. Jestliže χ > χ p (k - s - 1), zamítneme hypotézu H 0. Poznámka K výpočtu počtu tříd můžeme využít například Sturgesovo pravidlo: n 13,3 log N Poznámka Při použití tohoto testu se vyžaduje splnění těchto podmínek: - všechny očekávané třídní četnosti mají být větší než 1, - nejvýš 0 % očekávaných třídních četností může být menších než 5, - nedoporučuje se volit počet tříd větší než 0. Poznámka Nejsou-li splněny, lze přikročit k sloučení sousedních tříd v nezbytném rozsahu. Pozn. ke stupňům volnosti: Ověřujeme-li např. normalitu základního souboru, je s rovno, protože teoretické normální rozložení se stanovuje na základě odhadu střední hodnoty a disperze výběru, tedy na základě dvou charakteristik. TEST LINEÁRNÍ NEZÁVISLOSTI V ZÁKLADNÍM SOUBORU Dvojrozměrný základní soubor má normální rozložení a korelační koeficient ρ. Náhodný výběr z tohoto souboru má rozsah n a koeficient korelace r. ρ = 0 r t. n 1 r Tato veličina má Studentovo rozložení s n - stupni volnosti t(n - ). t t n, zamítneme H 0. Jestliže p Poznámka Odmítnutí nulové hypotézy znamená připuštění alternativní hypotézy, že mezi složkami náhodné veličiny je korelace, složky nejsou lineárně nezávislé.

8 TEST NEZÁVISLOSTI KVALITATIVNÍCH ZNAKŮ Máme k dispozici n nezávislých opakování experimentu se dvěma kvalitativními znaky A a B. Znak A má r možných kategorií hodnot, značených A 1, A,, A r, znak B má s možných kategorií hodnot B 1, B,, B s. Výsledek celého složeného experimentu lze shrnout do kontingenční tabulky: Kategorie znaku A / B B 1 B B s Součet A 1 n 11 n 1 n 1s n 1. A n 1 n n s n. A r n r1 n r n rs n r. Součet n.1 n. n.s n V tabulce značí n ij počet experimentů, při kterých znak A nabývá hodnoty (kategorie) A i a znak B hodnoty B j. Symbolem n i. značíme celkový počet opakování, při kterých se vyskytla i-tá kategorie znaku A, symbolem n j. značíme celkový počet opakování, při kterých se vyskytla j-tá kategorie znaku B. Nulová hypotéza H 0 : Kvalitativní znaky A a B jsou nezávislé. r s n ij G n 1 i 1 j 1 nn i.. j má Chi-kvadrát rozdělení s df =(r -1)(s -1) stupni volnosti. Hypotézu H 0 o nezávislosti znaků A a B zamítáme na hladině významnosti α, když hodnota statistiky G padne do kritického oboru C 1 df ;