Přednášející. Literatura. Co je diskrétní matematika. Příklady úloh. Pojmy #2: 06/10/13. Binární relace. Uspořádání

Transkript

1 #: 06/0/6 Přednášející Literatura Co je diskrétní matematika Příklady úloh Pojmy #2: 06/0/ Binární relace Uspořádání Zobrazení, permutace a faktoriál #: 06/0/20 Zobrazení (pokračoání) Kombinační číslo Binomická ěta Multinomická ěta #4: 06/0/27 Multinomická ěta (z minula) Odhady faktoriálů a kombinačních čísel Princip inkluze a exkluze #5: 06//0 Princip inkluze a exkluze (pokračoání) Úod do teorie grafů Definice. Graf G je uspořádaná dojice (V, E), kde V je liboolná konečná množina (obecněji liboolná) a E (V nad 2) V rcholy (ertices) E hrany (edges) Př.: G = {{a,b,c,d} {{a,b}, {a,c}, {a,d}, {c,d}} a b c d Toto je jen znázornění grafu. Graf je něco jiného:). a b c d Definice. Úplný graf K n (na n rcholech): šechny možné hrany K n = (V,(V nad 2)), V = n Definice. Kružnice

2 C n = ( {,, n }, { {, 2 }, { 2, },, { n, n- }, { n, } ), n C = C 4 = délka = počet rcholů = počet hran #6: 06//0 Úod do teorie grafů (pokračoání) Definice. Cesta P n = ( { 0,, n }, { { 0, }, {, 2 },, { n, n- } } ); n 0 délka = počet hran = počet rcholů - Definice. Úplný bipartitní graf K m,e V = {, m, w, w e } E = { {w i, w j }; i= m, j= e } E(K m,e ) = m e Definice. Bipartitní graf V = {, m, w, w e } = V V 2 E { {, '}; V, ' V 2 } (je podmožinou odpoídajícího úplného grafu) Definice. Isomorfismus Grafy s přeznačením rcholů jsou isomorfní. Formálně: G G' bijekce f mezi V(G) a V(G') takoá, že ( {x, y} E(G) {f(x), f(y)} E(G') ) Zápis: G G' Př.: 4 2! " Pozn.: Isomorfismus je ekialence (RST). Definice. G je podgraf grafu G': (G G') V(G) V(G') & E(G) E(G') (V(G') nad 2) Definice. G je indukoaný podgraf grafu G': (G G') V(G) V(G') & E(G) = E(G') (V(G') nad 2) & $ d a c b Příklad: Pozoroání: Graf na n rcholech má 2 n indukoaných podgrafů (ybírám jen rcholy, hrany se yberou samy, neboli každá podmožina množiny V indukuje indukoaný podgraf). Definice. G je souislý graf x,y V(G) G cesta z x do y 2

3 Příklad: (nesouislý) Značení: x ~ G y G existuje cesta z x do y x ~ G y je ekialence na V(G) Definice. sled: 0, e 0,, e,, e m, m, kde e i = { i-, i ) pro i = m Sleď pacifický, přezato z Encyklopedie Worldbook Důkaz transitiity x ~ G y & y ~ G z sled z x do z ( G) nejkratší sled z x do z je cestou x ~ G z Definice. podgrafy indukoané třídou ekialence ~ G se nazýají komponenty grafu G Poznámka: Souislý graf má tedy jednu komponentu (sebe sama). Poznámka: G souislý x, y V(G) sled z x do y. Definice. zdálenost x,y G: d G (x,y) = délka nejkratší cesty z x do y Poznámka: d G (x,y) má lastnosti metriky: d G (x,y) 0 d G (x,y) = 0 x, y d G (x,y) = d G (y,x) d G (a,c) d G (a,b) + d G (b,c) Definice. y je soused x G pokud {x,y} E(G) Definice. matice sousednosti G = ({,, n}, E) A G = (A ij ) i,j= n, kde a ij = ({i,j} E)? : 0 (záisí na očísloání rcholů) Definice. stupeň rcholu x G: deg G (x) = počet hran obsahujících x = počet sousedů x = součet příslušného řádku (sloupce) A G #7: 06//24 Skóre grafu Věta. Princip sudosti: G = (V, E) : V deg G () = 2 E Vleo každá hrana přispěje dakrát. Důsledek: G: počet rcholů lichého stupně je ždy sudý (jinak by V deg G () nemohlo být sudé). Definice. G = ({,, n }, E): skóre grafu G = D(G) = ( deg G ( ),, deg G ( n ) ), kde skóre jsou stejná, pokud se liší jen pořadím prků. Příklad: Grafy a mají skóre (,2,2,2,), ale nejsou isomorfní. V deg G () = 0, E(G) = 5 Věta o skóre: D = (d,, d n ), 0 d d n

4 D je skóre nějakého grafu D = (d,..., d n dn, d n dn,..., d n ) je skóre nějakého graf Příklad použití: Je (, 2,,,, 4, 4, 4) skóre grafu? 244 je skóre (nějakého grafu) 2222 je skóre 2 je skóre (změna pořadí) 2 je skóre 00 je skóre 00 je skóre 000 je skóre (tři nespojené rcholy). Ano, je to tedy skóre. implikace : G' má skóre D' 2 n-dn n- G' Přidáme noý rchol n a spojíme ho hranou s rcholy n-dn,, n-, dostááme graf se skóre D. implikace : Mějme G = ({,, n }, E) se skóre D, označme d = d n = deg n. případ: z n edou hrany práě do rcholů n-d, n- (tj. do předchozích d rcholů: Odstraněním těchto hran a rcholu n dostaneme graf se skóre G' (jako prní implikaci, ale pozpátku). 2. případ (neplatí prní případ): Potom i < n-d j: { i, j } E, { j, n } E: n 2 i n-d j n- Protože deg i deg j, existuje k takoý, že { j, k } E, { i, k } E: n 2 i k n-d j n- n Přidejme do E hrany { i, k }, { j, n } a odeberme { i, n }, { j, k }, skóre zůstáá D: + x 2 i k n-d j n- x + n Opakoáním postupu dostaneme prní případ. Grafy jednotažky Uzařený tah začíná a končí e stejném rcholu. 4

5 Opakoání: sled: 0, e 0,, e,, e m, m, kde e i = { i-, i ) pro i = m Definice. tah: 0, e 0,, e,, e m, m, kde e i = { i-, i ) pro i = m, e i e j (pro i j) Definice. uzařený tah: 0, e 0,, e,, e m, m, kde e i = { i-, i ) pro i = m, e i e j (pro i j), 0 = m Alternatině: cesta: 0, e 0,, e,, e m, m, kde e i = { i-, i ) pro i = m, e i e j (pro i j), i = j (pro i j) Definice. Graf G je euleroský (lze nakreslit jedním uzařeným tahem), pokud existuje uzařený tah, takoý, že e E!i: e = e i & V i: = i Věta. G je euleroský G je souislý a šechny stupně G jsou sudé implikace : Uzařený euleroský graf dáá souislost (mezi každými děma rcholy existuje tah) i sudé stupně (při procházení sledu, projdu rchol k-krát, připadá na něj tedy 2k hran k donitř a k en, platí i pro počáteční = koncoý rchol) implikace : Pozoroání: Všechny stupně sudé (ne nutně souislý graf) každou hranou ede nějaký uzařený tah nejdelší tah danou hranou je uzařený Předpokládejme, že není uzařený: Chodíme grafu, když se dostaneme do nějaké hrany, můžeme ho ždycky prodloužit (ede z ní neprojitá hrana). G = (V, E) souislý graf, šechny stupně sudé Ukážeme sporem, že nejdelší uzařený tah T G je euleroský: Nechť není euleroský (nenakreslí celý graf), potom (ze souislosti) existuje e E(T) V(T) T e T e #8: 06/2/0 (pokračoání příště) Grafy jednotažky (pokračoání) (Věta. G je euleroský G je souislý a šechny stupně G jsou sudé) () 5

6 implikace (pokračoání): V grafu G' = (V, E-E(T)) jsou šechny stupně sudé, tedy hranou e ede uzařený tah T' G' (podle Pozoroání). Ve rcholu propojíme T, T' do jednoho uzařeného tahu: T T T' e e Delší než T: Spor. Tedy T musel být euleroský. Některé operace na grafech Definice. G = (V, E) graf odebrání hrany e E G G - e = (V, E-{e}) přidání hrany e (V nad 2)-E G G + e = (V, E {e}) odebrání rcholu V G G - = (V, {e E: e})! dělení hrany e = {x, y} E G G % = (V {z}, z V; (E-{e}) {{x, z}, {y, z}}) Definice. G' je dělení grafu G, pokud ho dostaneme z G postupným opakoáním operace dělení hrany. Ekialetně: G' dostaneme z G nahrazením hran cestami délek. 2-souislost grafu Čte se dousouislost. Definice. Graf G = (V, E) je (rcholoě) 2-souislý, pokud V a V: G- je souislý. Moje poznámka (dle skript): Obdobně k-souislý, pokud odebráním liboolných nejýše k- rcholů získáme souislý graf. Příklady: je 2-souislý. není 2-souislý. Definice. Graf G = (V, E) je hranoě 2-souislý, pokud G je souislý a e E: G-e. Pozoroání. G 2-souislý, pak: a) G + e je 2-souislý pro e (V nad 2)-E Dá se snadno ymyslet proč. 6

7 b) G - e je souislý pro e E e = {x, y} E G-x je (z definice) souislý y je G-e jedné komponentě s rcholem x. G-y je souislý y je G-e jedné komponentě s rcholem y. Z předchozích dou plyne, že šechny rcholy jsou jedné komponentě. Tedy G-e má jednu komponentu. TODO: Takže rcholoě hranoě 2-souislý c) G % e je 2-souislý pro e E G' = G%e (s přidaným rcholem z) G'- je souislý pro z G'-z = G-e je souislý podle b) Definice. Přidání ucha ke grafu Přidání cesty mezi u,, nitřní rcholy cesty jsou noé rcholy (pokud {u, } E(G), může být uchem hrana {u, }). G u! G u u! Alternatiní ilustrace, přezato z encyklopedie World Book Lemma o uších nebo o uchách? G je 2-souislý G lze dostat z kružnice postupným přidááním uší. implikace : Přidání ucha lze složit z přidáání a dělená hran: nejdříe rozdělím hranu a pak přidám k půodním koncoým rcholům ucho ( tomhle pořadí to ždycky funguje). implikace : V G kružnice: {x, y} = e E liboolná hrana G-e souislý G-e existuje cesta z x do y, a ta spolu s e toří kružnici. (Našli jsme tedy kružnici e 2-souislém grafu.) Nechť G' je podgraf G, který znikne z kružnice přidááním uší. Stačí ukázat G' G ke G' můžeme přidat další ucho s hranami z E(G). Pokud V(G') = V(G): můžeme přidat liboolnou hranu e E(G) - E(G') Pokud V(G') V(G): souislost G existuje hrana {, w} E(G) mezi V(G') a V(G)-V(G') 7

8 V(G) V(G) - V(G') G u #9: 06/2/08 Nechť P je nejkratší cesta z w do V(G') G-, potom P+hrana {,w} je ucho, které můžeme přidat ke G'. 2-souislost grafu Důsledek lemmatu o uších: G 2-souislý G znikne z K postupným přidááním a dělením hran. Takhle je to e skriptech. z lemmatu o uších. Věta. Ve 2-souislém grafu leží každé da rcholy na společné kružnici. Podle lemmatu o uších stačí dokázat, že ěta platí pro G ěta platí pro G + ucho (skrytá indukce?) G G + ucho x y, w da rcholy G + ucho (x, y koncoé body ucha). Nechť V(G), w V(G) (ostatní případy zřejmé). Nechť C = společná kružnice pro, x. 2 případy: C x w C x w y P y Stromy Nechť P = Nejkratší cesta z y do V(C) G-x. Okomentoat TODO Poznámka: V 2-souislém grafu leží také liboolné dě hrany na společné kružnici. 8

9 Definice. Strom je souislý graf bez kružnice mající alespoň jeden rchol. Poznámka: Podle skript má každý graf aspoň jeden rchol, pak je takoá podmínka pro strom zbytečná. Definice. List je rchol stupně. List (přezato z New Oxford American Dictionary) Trzení: Každý strom s alespoň děma rcholy má alespoň da listy. Koncoé rcholy nejdelší cesty jsou listy. To (říkají to i e skriptech) neplatí pro nekonečné stromy. Pozoroání: G graf, V(G) list, potom G je strom G- je strom G obsahuje kružnici G- obsahuje kružnici & G souislý G- souislý. (Je třeba si uědomit ýznam definice listu.) Důsledek: G strom z G dostaneme graf K postupným odebíráním listů. Věta. Nechť G(V, E) je graf a V. Potom následující trzení jsou ekialentní ( NTJE ): () G je strom (souislý graf bez kružnice mající alespoň jeden rchol) (2) x, y V existuje práě jedna cesta z x do y () G je souislý, ale G-e není souislý pro e E (4) G nemá kružnici, ale G+e má kružnici pro e, které nejsou G. (5) G je souislý a V = E + Podle srkipt se tomu říká Eulerů zorec. Důkazy předchozích ět (stačí dokázat implikace , ale uděláme i nějaké naíc): Důkaz 2 Souislý existuje cesta z x do y. Bez kružnic neexistují 2 cesty z x do y. Nechť P, R jsou různé cesty z x do y P = x e e 2 2 y R = x e ' ' e 2 ' 2 ' y Dejme tomu, že cesty se od sebe určité chíli rozejdou a pak zase sejdou (to se může stát i ícekrát). Tím se ale ytoří kružnice. Spor. (Rozepsáno formálně: kdo to má opisoat furt ) Důkaz 2 Vede cesta mezi každými děma rcholy souislost e = {x, y}, G-e není souislý, jinak by existoaly 2 cesty z x do y. Důkaz 4 9

10 Předpoklad, nechť má kružnici, spor s (ynecháním liboolné hrany kružnice se neporuší souislost), tedy nemá kružnici. Důkaz, že G+e má kružnici: Souislý, přidáme hranu e = {x, y}. Mezi {x, y} je cesta (která neobsahuje e). Hrana e a tato cesta toří dohromady kružnici. Důkaz 4 Bez kružnic Ok. Chceme dokázat 4 souislý: mějme da rcholy {x, y} V(G) a) {x, y} hrana Ok. b) {x, y} ne hrana G+e má kružnici (která nebyla G) pro e = {x, y}, tedy nutně prochází hranou e, když ji umažeme, zbude z ní cesta mezi x a y. Důkaz 5 Máme strom (tedy souislý). Z důsledku ýše (G strom z G dostaneme graf K postupným odebíráním listů.) plyne, že V = E +. (Odebrání listu odebrání hrany.) Důkaz 5 #0: 06/2/5 Souislý a V = E +. G nemá kružnici: Pokud by měl kružnici, odebereme jednu její hranu a neporušíme souislost, má-li stále ještě nějaké kružnice, opět mu odebereme hranu atd. Dostaneme graf G' = (V,E') souislý bez kružnice (tedy strom) tedy V = E' + e sporu s trzením V = E +q Minimální kostra grafu Definice. Kostra souislého grafu G = (V, E) je liboolný strom T = (V, E'), kde E' E. Poznámka: Kostra ždy existuje: dokud G existuje kružnice, odebíráme z G (jednu liboolnou) hranu kružnice, dostaneme tak kostru grafu. Příklad: Definice. Graf s ohodnocenými hranami: G = (V, E) graf, w: E R +, Problém minimální kostry: Pro daný souislý graf G = (V, E) graf, w: E R +, nalézt minimální kostru, tj. kostru K = (V, E') takoou, že její áha w(k) = w(e') = e E' w(e) je minimální /2! Kruskalů (hladoý) algoritmus: G = (V, E) souislý, w: E R + Předpokládejme, že E = {e,, e m }, přičemž w(e ) w(e 2 ) w(e m ). E 0 = 2. pro i =, 2,, m pokládáme E i = = E i- {e i }, pokud (V, E i- {e i }) neobsahuje kružnice = E i- jinak. (V, E m ) ýstup (min. kostra) Výsledek je určitě strom, je ale minimální? Věta. Kostra nalezená hladoým algoritmem je minimální. 0

11 Nechť (V, K) ýsledná kostra, (V, L) jiná kostra. Chceme w(l) w(k). Indukcí podle d = KΔL, symetrická diference KΔL = (K-L) (L-K). d = 0 K=L, zjeně platí 2. d > 0 a platí to pro d' < d K L (i když K = L ) e L-K Vezmeme hranu z L a přidáme do K: (V, L - {e}) má 2 komponenty (zali jsme hranu ze stromu): V a V 2. (V, K {e}) má (jedinou) kružnici C, přičemž e E(C). e' E(C): e' V e' V 2 e' K, e' L (není L, protože jinak by L byla kružnice, je tam přece také e), tedy e' = K - L (V, L') je kostra (zachoáá se nám, že je to strom, přidááme hrany a rušíme kružnice) ' = (L-{e}) {e'} je podobnější K než byla L, takže se nám íc hodí pro zbytek důkazu: L'ΔK < LΔK w(l') w(k) (indukční předpoklad) w(l) w(l') odpoídá w(e) w(e') Hladoý algoritmus přece nezal hranu e, protože by znikla kružnice C, tedy už byla ybrána hrana e', tedy w(e') w(e) Z předchozích dou neroností plyne w(l) w(k) Jarníků algoritmus na minimální kostru. V 0 = {}, kde je liboolný rchol z V 2. pro i =,, n- nechť e i hrana minimální áhy edoucí z V i- do V-V i- V i = V i- e i (neboli přidáme koncoý rchol hrany, ten, který tam ještě není). strom (V, {e, e 2,, e n- }) ýstup Roinné grafy Definice. Oblouk je množina bodů {γ(x), x [0, ]}, přičemž γ:[0, ] R 2 je prosté a spojité zobrazení. Definice. Graf G = (V, E) je roinný, má li roinné nakreslení: rcholy odpoídají různým bodům R 2 a hrany obloukům spojujícím příslušné dojice bodů tak, že mají-li da oblouky společný bod, potom je tento bod pro oba oblouky koncoý. Příklady: K 4 je roinný: C n je roinný. Liboolný strom je roinný. Je známo, že roinný graf lze nakreslit, tak, že hrany odpoídají úsečkám Důkaz je těžký, nebudeme ho dělat. (Búú!:-( Já se tak těšil ) #: 06/2/22 Roinné grafy (pokračoání) Definice. Stěna roinného nakreslení: liboolná maximální souislá oblast množiny R 2 - X, kde X je množina bodů ležících na obloucích nakreslení (souislost bereme intuitině). Příklad:

12 s u t má 4 stěny (nitřní oblasti označené písmeny) Definice. Vždy jedna stěna je neomezená, a to nější stěna. Ostatní jsou nitřní stěny. Definice. Topologická kružnice je uzařený oblouk (tj. γ(0) = γ()) Příklad: Jordanoa ěta o kružnici. Topologické kružnice rozděluje roinu na práě 2 souislé oblasti (nitřek a nějšek dané kružnice) Důkaz je fakt těžký, nebudeme ho dělat:(. Věta. K 5 není roinný. Důkaz sporem: V = {, 2,, 4, 5} Oblouky, 2, toří topologickou kružnici K, 4 leží unitř nebo ně. Kam potom s 5 (žádná stěna nemá na hranici šechny 4 rcholy, 2,, 4). Věta. K, není roinný. Důkaz sporem: Vrcholy, 2,, ', 2', ' ' 2' 2 ' 2 2' ' 2 2' Kam s '? Pozoroání: Graf G roinný každé dělení grafu G je roinný graf. Noé rcholy nakreslím na oblouky. Naopak taky platí: Dělení grafu je i ten graf samotný. Věta (Kuratowski). G je roinný G neobsahuje dělení K 5 ani K,. je jasné, ale zpátky bez důkazu:(. Trzení (Eulerů zorec): Graf G je souislý, roinný graf, V. Nechť s = počet stěn nějakého roinného nakreslení G. Potom V - E + s = 2. Tudíž počet stěn nezáisí na olbě nakreslení. Indukcí podle E : Nejdříe E = 0, graf má nutně jeden rchol, aby splňoal podmínky: V =, s=, +0+=2 E G neobsahuje kružnici: Je to tedy strom: V = E + ; s = takže to ychází. G obsahuje kružnici C: e je liboolná hrana na C nakreslení G-e splňuje Eulerů zorec (z indukčního předpokladu) Má o hranu a stěnu méně (odebráním e se 2 stěny spojí do jedné ně a unitř kružnice). 2

13 Tedy i G splňuje Eulerů zorec. Trzení: Graf G je roinný, 2-souislý. Potom hranice liboolné stěny liboolném nakreslení G odpoídá kružnici G. z lemmatu o uších: platí pro kružnici přidání ucha se platnost neporuší Nechť G (roinný, 2-souislý) = G' + ucho a nechť trzení platí pro G' Vezměme liboolné nakreslení G a ucho yhoďme: Trzení platí G', opětoným dokreslením se jedna stěna ohraničená kružnicí rozdělí na dě trakoé stěny, ostatní stěny se nezmění. Trzení: G = (V, E) roinný, V. Potom (i) E V - 6 Přidááme hrany, dokud nedostaneme maximální roinný graf, určitě dostaneme 2- souislý graf (to intuitině jde). Každá stěna ohraničená kružnicí, dokonce trojúhelníkem (jinak lze přidat nějakou diagonálu ) (ii) G neobsahuje K E 2 V - 4 #2: 07/0/05 Roinné grafy (pokračoání) Trzení: G = (V, E) roinný, V. Potom (dokončení z minula) (i) E V - 6 Přidááme hrany, dokud nedostaneme maximální roinný graf, určitě dostaneme 2- souislý graf (to intuitině jde). Každá stěna ohraničená kružnicí, dokonce trojúhelníkem (jinak lze přidat nějakou diagonálu ) Počet incidentních dojic hrana-stěna = s (haždá stěna má tři hrany) = 2 E (každá stěna je hranicí dou stěn) s = 2 E Eulerů ztah (krát ): E = V + s - 6 Tedy: E = V - 6 pro každý maximální roinný graf (tz. roinná triangulace). (ii) G neobsahuje K E 2 V - 4 Obdobně přidááme hrany, dokud nedostaneme maximální roinný graf bez trojúhelníků. (a) ýsledný graf není 2-souislý, potom je hězdou (jeden bod spojený se šemi ostatními) E = V - 2 V - 4 (protože V a 2 V V + ) (b) ýsledný graf je 2-souislý, proto je každá stěna ohraničená kružnicí délky alespoň 4 (a nanejýš 5, šestiúhelník mohu rozdělit na da čtyřúhelníky) Počet incidentních dojic hrana-stěna = 2 E 4s, tedy 2s E Eulerů ztah (dakrát): 2 E = 2 V + 2s - 4 Tedy obecně E 2 V -4. Důsledky:. každý roinný graf má rchol stupně 5 (šechny rcholy 6 E V spor) 2. K 5 ani K, nejsou roinné. z (i): 0 (není) 5-6 z (ii): 9 (není) Barení map a grafů Modeloý problém: Chceme, aby na politické mapě měly sousední státy různé bary. Předpoklady:. Pro to být sousedem nestačí jeden bod. 2. Každý stát je souislý. Problém čtyř bare: Stačí ždycky 4 bary?

14 5 bare se dá jednoduše dokázat, 4 už těžko:(, několik známých matematiků se prý ztrapnilo špatným důkazem. Teď je to dokázáno pomocí počítače. Definice. Graf G = (V, E) lze (řádně) obarit k barami, pokud existuje zobrazení b: V {, 2,, k} takoé, že {x, y} E b(x) b(y) Definice. Barenost grafu G = χ(g) (chí) = min {k : G lze obarit k barami} Příklady:. χ(k n ) = n 2. χ(k m,n ) = 2, m, n. χ(c 2k ) = 2 4. χ(c 2k+ ) = 5. χ(t) = 2; T je strom Vztah mezi barením map a roinných grafů (náznak) Udělám si silnice mezi hlaními městy sousedních států (tak, aby se nekřížily). A mám z toho barení roinného grafu. A tohle funguje i zpátky. Problém čtyř bare (jinak): χ(g) 4 pro každý roinný graf G? Věta o pěti barách: χ(g) 5 pro každý roinný graf G = (V, E) indukcí podle V Pro V 5 platí. V 6 a ěta platí pro grafy s menším počtem rcholů G má rchol stupně 5 (iz dříe tuto hodinu) (a) deg x 4: obaríme G-x 5 barami (to jde z předpokladu), poté dobaríme x barou rcholu, se kterým x nemá hranu (b) deg x = 5: sousedi u, u 5 G roinný G neobsahuje K 5 BÚNO {u 4, u 5 } E #: 07/0/2 Grafy, počet koster Bez Újmy Na Obecnosti V G-x ztotožníme u 4, u 5 (násobnost hran odstraníme), yjde nám (intuitině) roinný graf Podle indukčního předpokladu existuje obarení tohoto menšího grafu b 0 pěti barami, z toho yrobíme obarení G-x: b() := b 0 () pro u4, u5 b(u4 = b(u5) := b() Dobaríme rchol x barou různou od b(u), b(u2), b(u), b(u4) = b(u5) Cauchy-Schwarzoa neronost: Viz poslední přednáška z lineární algebry. n x i y i n x 2 i n yi 2 pro liboolná x i, y i R i= n i= j= 2 n i= i= n (x i y j x j y i ) 2 0 x 2 i i= j= n n yj 2 2( x i y i ) 2 0 i= Věta. Nechť G=(V,E) je graf na n rcholech obsahující K2,2 (= C4). Potom E (n n+2)/2. (n nad 2) (# cest délky 2 G) = V (deg nad 2) = V (deg )(deg - )/2 u, u' V, u u': nejýše jedna cesta délky 2 z u do u' 4

15 u (Jinak dostaneme C 4 : ) u' /2 V (deg - ) 2 deg (deg -) (n nad 2) V (deg - ) ( V (deg - ) 2 ) ( V 2 ) 2 E -n ( n 2 ) (=n) 2 E -n n n 2 E (n n+n)/2 Věta. (Cayleyho formule): n 2: Počet koster grafu K n je n n-2 (stromů na V = {, 2,, n} ) Příklady: n = 2: 2 0 = kostra n = : = kostry (yhození jedné hrany z trojúhelníku) Důkaz (n 2): Definice. Orientoaný graf (se smyčkami): G = (V, E ), kde V je liboolná konečná množina a E V V Příklad: G = ( {a, b, c}, {(a,b), (b, b), (a, c), (c, a)} ) c a b Definice. Kětina je strom, němž šechny hrany jsou zorientoány směrem od jediného rcholu (kořene kětiny). Pozoroání : (# kětin na {,, n}) = n (# stromů na {,, n}) Každý strom lze zorientoat n různými způsoby na kětinu (odpoídajícími n různým olbám kořene). Definice. Záhon je graf, jehož šechny komponenty jsou kětiny. Pozoroání 2: Kětina se yhozením k hran změní na záhon k+ kětin. Vyhození hrany se kětina rozpadne na 2 kětiny atd. (Vyhodím druhou, jedna ze dou kytek se taky rozpadne na dě, mám tři, atd.) Pozoroání : Přidáním orientoané hrany do záhony dostaneme opět záhon práě, když přidaná hrana ede z liboolného rcholu do kořene jiné komponenty. (TODO obrázek). Kdyby byly komponenty stejné, znikne kružnice. Kdyby needla do kořene, znikly by da kořeny a srazily by se dě šipky na jednom rcholu, takže ne kětina. Vlastní důkaz formule: Z grafu 2 n dostaneme kětinu na {, 2,, n} postupným přidááním orientoaných hran práě, když přidáaná hrana ždy ede z nějaké komponenty do kořene jiné komponenty (kětiny). Na začátku mám jednorcholoé kětiny: mám n(n-) možností olby prní hrany. Máme n- komponent, rcholů je stále stejně. Následně máme n(n-2) možností (lze snadno rozmyslet, TODO obrázek). Máme n-2 komponent, rcholů je stále stejně. Až nakonec máme n možností, jak zolit (n-). (n-minus-prní) hranu. Tedy máme n n- (n-)! možností, jak zolit prní až (n-). hranu. Stejná kětina yjde (n-)!-krát, tedy kětin je n n- (n-)!/(n-)! = n n-. Proto stromů je n n- /n = n n-2. 5