Principy indukce a rekurentní rovnice

Transkript

1 Principy indukce a rekurentní rovnice Jiří Velebil: X01DML 22. října 2010: Indukce 1/15

2 Příklad Místností rozměru n budeme rozumět šachovnici rozměru 2 n 2 n, ze které je jedno (libovolné) pole vyjmuto. Toto je příklad místnosti rozměru 3: Jiří Velebil: X01DML 22. října 2010: Indukce 2/15

3 Příklad (pokrač.) Trimino je parketa následujícího tvaru: Dokažte indukcí: Každou místnost rozměrů n 1 lze vyparketovat triminy. Jiří Velebil: X01DML 22. října 2010: Indukce 3/15

4 Princip slabé indukce Ať V je nějaká vlastnost přirozených čísel. K tomu, abychom mohli usoudit, že všechna přirozená čísla n n 0 mají vlastnost V, stačí ukázat dvě věci: 1 Základní krok: číslo n 0 má vlastnost V. 2 Indukční krok: číslo n + 1 má vlastnost V, pokud předpokládáme, že číslo n má vlastnost V. Analogie s rekursivním algoritmem Všechny úlohy rozměru n n 0 jsou zpracovány, pokud: 1 Základní krok: úloha rozměru n 0 je zpracována nerekursivně. 2 Rekursivní volání: úloha rozměru n + 1 je zpracována, pokud po dekompozici je zpracována úloha rozměru n. Jiří Velebil: X01DML 22. října 2010: Indukce 4/15

5 Příklad Co je špatně na následujícím důkazu? 1 Je-li maximum dvou přirozených čísel 0, pak jsou si obě čísla rovna. 2 Předpokládejme, že je-li maximum dvou přirozených čísel n, pak jsou si rovna. Vezměme nyní dvě přirozená čísla a, b taková, že jejich maximum je n + 1. Pak maximum čísel a 1 a b 1 je n a podle předpokladu je a 1 = b 1. Tudíž a = b. Podle slabého principu indukce jsou si všechna přirozená čísla rovna. Korektní důkaz indukcí lze spustit jako algoritmus. Jiří Velebil: X01DML 22. října 2010: Indukce 5/15

6 Příklad Prvočíselný rozklad přirozeného čísla x je zápis x = p n 1 1 pn 2 2 pnr r, kde r 1 je přirozené číslo, p 1 < p 2 < < p r jsou prvočísla a n 1, n 2,..., n r jsou kladná přirozená čísla. Dokažte následující tvrzení: Každé přirozené číslo x 2 má prvočíselný rozklad. Jiří Velebil: X01DML 22. října 2010: Indukce 6/15

7 Princip silné indukce Ať V je nějaká vlastnost přirozených čísel. K tomu, abychom mohli usoudit, že všechna přirozená čísla n n 0 mají vlastnost V, stačí ukázat dvě věci: 1 Základní krok: číslo n 0 má vlastnost V. 2 Indukční krok: číslo n + 1 má vlastnost V, pokud předpokládáme, že všechna přirozená čísla k, kde n 0 k < n + 1, mají vlastnost V. Analogie s rekursivním algoritmem Úloha rozměru n n 0 je zpracována, pokud: 1 Základní krok: úloha rozměru n 0 je zpracována nerekursivně. 2 Rekursivní volání: úloha rozměru n + 1 je zpracována, pokud po dekompozici jsou zpracovány úlohy rozměru k, kde n 0 k < n + 1. Jiří Velebil: X01DML 22. října 2010: Indukce 7/15

8 Věta Princip silné indukce je logicky ekvivalentní principu slabé indukce. Náznak důkazu: Platí-li silný princip indukce, platí i slabý princip. Využívá faktu, že každá neprázdná konečná množina přirozených čísel má nejmenší prvek. Má každá neprázdná podmnožina přirozených čísel nejmenší prvek? Jiří Velebil: X01DML 22. října 2010: Indukce 8/15

9 Každá neprázdná podmnožina přirozených čísel má nejmenší prvek. Věta je logicky ekvivalentní principům indukce. Důsledek Přijmeme-li (kterýkoli) princip indukce, musíme přijmout princip dobrého uspořádání. A naopak: přijmeme-li princip dobrého uspořádání, musíme přijmout princip indukce. Jiří Velebil: X01DML 22. října 2010: Indukce 9/15

10 je logicky ekvivalentní s tvrzením V přirozených číslech neexistuje klesající nekonečná posloupnost. Důležité v teorii rekursivních algoritmů: terminaci rekursivního algoritmu zaručí variant (= rozměr dat, který se zmenšuje, nelze však zmenšovat do nekonečna). Jiří Velebil: X01DML 22. října 2010: Indukce 10/15

11 Definice Lineární rekurentní rovnice k-tého řádu s konstantními koeficienty je a k X (n + k) + a k 1 X (n + k 1) + + a 0 X (n) = f (n) kde a k 0. Terminologie: Koeficienty: čísla a k, a k 1,..., a 0 Pravá strana: posloupnost f (n) Příslušná homogenní rovnice: a k X (n + k) + a k 1 X (n + k 1) + + a 0 X (n) = 0 Charakteristická rovnice: a k λ k + a k 1 λ k a 0 = 0 Jiří Velebil: X01DML 22. října 2010: Indukce 11/15

12 Kompletní řešení homogenní rovnice 1 Vyřešíme charakteristickou rovnici a k λ k + a k 1 λ k a 0 = 0. Kořeny: λ 1 (násobnost k 1 ),..., λ r (násobnost k r ). 2 Kořen λ 1 násobnosti k 1 1 přidá k 1 různých posloupností do fundamentálního systému: λ n 1, n λ n 1, n 2 λ n 1,..., n k 1 1 λ n 1 (analogicky přispějí kořeny λ 2,..., λ r ). 3 Fundamentální systém má celkově k různých posloupností, protože k 1 + k k r = k. 4 Kompletní řešení homogenní rovnice je lineární kombinace fundamentálního systému Jiří Velebil: X01DML 22. října 2010: Indukce 12/15

13 Odhad partikulárního řešení pro pravou stranu A n P(n), kde A je číslo a P(n) je polynom 1 d je násobnost A jako kořene charakteristické rovnice. (Násobnost 0 znamená: A není kořen). 2 Odhad partikulárního řešení: n d A n p(n), kde p(n) je polynom stejného stupně jako P(n). 3 Koeficienty polynomu p(n) získáme z požadavku, že n d A n p(n) má řešit danou nehomogenní rovnici. Pro složitější pravou stranu lze použít princip superposice. Jiří Velebil: X01DML 22. října 2010: Indukce 13/15

14 Kompletní řešení nehomogenní rovnice 1 Sečteme kompletní řešení homogenní rovnice a partikulární řešení. 2 Jsou-li zadány počáteční podmínky: nakonec určíme koeficienty lineární kombinace fundamentálního systému. Jiří Velebil: X01DML 22. října 2010: Indukce 14/15

15 1 Důkaz indukcí = rekursivní algoritmus. 2 a variant zaručí terminaci rekursivního algoritmu. 3 Řešení rekurentních rovnic je podobné řešení diferenciálních rovnic. Jiří Velebil: X01DML 22. října 2010: Indukce 15/15