Minimalizace KA - Úvod
|
|
|
- Dagmar Doležalová
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Minimalizace KA - Úvod Tyto dva KA A,A2 jsou jazykově ekvivalentní, tzn. že rozpoznávají tentýž jazyk. L(A) = L(A2) Názorně lze vidět, že automat A2 má menší počet stavů než A, tudíž našim cílem bude ukázat jakými způsoby lze zmenšit počet stavů KA a tak dospět k automatu s nejmenším počtem stavů. A q q A2 q q, q 2 q 3
2 Minimalizace KA - Úvod Zredukování počtu stavů KA sestává ze dvou kroků: Eliminace nedosažitelných stavů
3 Minimalizace KA - Úvod Zredukování počtu stavů KA sestává ze dvou kroků: Eliminace nedosažitelných stavů Sjednocení ekvivalentních stavů
4 Eliminace nedosažitelných stavů q q q 2 q 3 q 4 q 5, Automat příjímá jazyk L = {w, w obsahuje podslovo } Pro žádnou posloupnost vstupních symbolů se automat nedostane do stavů q 2, q 3 nebo q 4.
5 Eliminace nedosažitelných stavů q q q 5, Automat příjímá jazyk L = {w, w obsahuje podslovo } Pro žádnou posloupnost vstupních symbolů se automat nedostane do stavů q 2, q 3 nebo q 4. Pokud tyto stavy odstraníme, automat pořád přijímá stejný jazyk L = {w, w obsahuje podslovo }
6 Eliminace nedosažitelných stavů Nyní si ukážeme na příkladu, jak lze odstranit z automatu nedosažitelné stavy. q q q 2 q 3 q 4 q 5,
7 Eliminace nedosažitelných stavů Princip spočívá v tom, že procházíme graf a tak určujeme dosažitelné stavy. Z toho plyne, že které nejsou dosažitelné, jsou nedosažitelné a můžeme je vynechat, aniž by se změnil jazyk přijímaný automatem. q q q 2 q 3 q 4 q 5,
8 Eliminace nedosažitelných stavů Nyní začneme procházet automat. Počáteční stav q je označen jako dosažitelný. Jakmile probereme všechny jeho výstupní šipky, kterými se dostáváme do dalších stavů, označíme jej jako vyřízený (zpracovaný). q q q 2 q 3 q 4 q 5, Dosažitelné stavy = [ q, Vyřízené stavy = [ Nedosažitelné stavy = [
9 Eliminace nedosažitelných stavů Nyní se z počátečního stavu q dostaneme slovem do stavu q. Označíme jej tedy jako dosažitelný. q q q 2 q 3 q 4 q 5, Dosažitelné stavy = [ q, q, Vyřízené stavy = [ Nedosažitelné stavy = [
10 Eliminace nedosažitelných stavů Nyní ze stavu q přejdeme slovem do dalšího stavu. Vidíme, že tímto slovem se dostáváme do stavu q. Ten je již označen jako dosažitelný. Stav q označíme jako vyřízený, protože jsme probrali všechny jeho výstupní šipky. q q q 2 q 3 q 4 q 5, Dosažitelné stavy = [ q, q, Vyřízené stavy = [ q, Nedosažitelné stavy = [
11 Eliminace nedosažitelných stavů Nyní budeme přecházet ze stavu, který je označen jako dosažitelný, ale není přitom označen jako vyřízený, a to je stav q. Přejdeme tedy z tohoto stavu slovem do dalšího stavu. Vidíme, že tímto slovem se dostáváme do stavu q. q q q 2 q 3 q 4 q 5, Dosažitelné stavy = [ q, q, Vyřízené stavy = [ q, Nedosažitelné stavy = [
12 Eliminace nedosažitelných stavů Nyní ze stavu q přejdeme slovem do dalšího stavu. Je zřejmé, že tímto slovem se dostáváme do stavu q 5. Tento stav označíme jako dosažitelný. Zároveň jsme vyřídili stav q a je tedy označen jako vyřízený. q q q 2 q 3 q 4 q 5, Dosažitelné stavy = [ q, q, q 5 Vyřízené stavy = [ q, q, Nedosažitelné stavy = [
13 Eliminace nedosažitelných stavů Nyní budeme vycházet ze stavu, který je zařazen mezi dosažitelné stavy, ale zároveň ještě není označen jako vyřízený. A to je stav q 5. Z tohoto stavu přejdeme slovem do dalšího stavu. Z toho plyne, že tímto slovem se dostáváme do stavu q 5. q q q 2 q 3 q 4 q 5, Dosažitelné stavy = [ q, q, q 5 Vyřízené stavy = [ q, q, Nedosažitelné stavy = [
14 Eliminace nedosažitelných stavů Nyní ze stavu q 5 přejdeme slovem do dalšího stavu. Je zřejmé, že tímto slovem se dostáváme do stavu q 5. V tomto stavu jsme probrali všechny výstupní šipky, tudíž jej označíme jako vyřízený. q q q 2 q 3 q 4 q 5, Dosažitelné stavy = [ q, q, q 5 Vyřízené stavy = [ q, q, q 5 Nedosažitelné stavy = [
15 Eliminace nedosažitelných stavů Všechny stavy, které byly označeny jako dosažitelné, jsou nyní označeny i jako vyřízené. Tím algoritmus končí. q q q 2 q 3 q 4 q 5, Dosažitelné stavy = [ q, q, q 5 ] Vyřízené stavy = [ q, q, q 5 ] Nedosažitelné stavy = [
16 Eliminace nedosažitelných stavů Nyní stavy, které nejsou označené jako dosažitelné, označíme jako nedosažitelné a můžeme je z automatu vypustit, aniž by se změnil jazyk přijímaný tímto automatem. q q q 2 q 3 q 4 q 5, Dosažitelné stavy = [ q, q, q 5 ] Vyřízené stavy = [ q, q, q 5 ] Nedosažitelné stavy = [ q 2, q 3, q 4 ]
17 Eliminace nedosažitelných stavů Automat již neobsahuje nedosažitelné stavy. q q Dosažitelné stavy = [ q, q, q 5 ] q 5, Vyřízené stavy = [ q, q, q 5 ] Nedosažitelné stavy = [ q 2, q 3, q 4 ]
18 Eliminace nedosažitelných stavů Algoritmus pro eliminaci nedosažitelných stavů Vstup : Konečný automat M = (Q,Σ,δ, q, F) Výstup : Ekvivalentní automat M bez nedosažitelných stavů i = S i = repeat S i+ := S i {q } {q p S i, a Σ : δ(p, a) = q} i := i + until S i = S i Q := S i M := (Q,Σ,δ/Q, q, F Q )
19 Eliminace nedosažitelných stavů - Shrnutí Definice Necht M = (Q,Σ,δ, q, F) je konečný automat. Stav q Q nazveme dosažitelný, pokud existuje w Σ takové, že ˆδ(q, w) = q. Stav je nedosažitelný, pokud není dosažitelný. Do nedosažitelných stavů nevede v grafu automatu žádná orientovaná cesta z počátečního stavu.
20 Eliminace nedosažitelných stavů - Shrnutí Definice Necht M = (Q,Σ,δ, q, F) je konečný automat. Stav q Q nazveme dosažitelný, pokud existuje w Σ takové, že ˆδ(q, w) = q. Stav je nedosažitelný, pokud není dosažitelný. Do nedosažitelných stavů nevede v grafu automatu žádná orientovaná cesta z počátečního stavu. Nedosažitelné stavy můžeme z automatu odstranit se všemi přechody vedoucími z nich. Jazyk příjímaný automatem se nezmění.
21 Normovaný tvar Jeden automat lze prezentovat mnoha různými způsoby, proto nás zajímá nějaká jednoznačná prezentace. Automat je v normovaném tvaru, jestliže jeho stavy jsou očíslované,2,...,n v abecedním pořadí nejmenších slov, kterými tyto stavy dosáhneme.
22 Normovaný tvar Postup je stejný jako u hledání dosažitelných stavů. Rozdíl je v tom, že stavy neznačíme (q, q,...q n ) jak byly zadány, ale značíme jej čísly (,2,3...n). Postup: Počáteční stav označíme. Dále např. v případě abecedy {a,b} zjistíme stav q, do něhož automat přejde ze stavu symbolem a. Pokud q není označen, označíme jej 2. Pak zjistíme stav q, do něhož automat přejde ze stavu symbolem b. Pokud stav q není dosud označen, označíme jej nejmenším dosud nepoužitým číslem. Takto pokračujeme dále, dokud nezískáme všechny dosažitelné stavy.
23 Normovaný tvar Na jednoduchém příkladu si znázorníme postup převodu do normovaného tvaru. q q q 2 q 3 q 4 q 5
24 Normovaný tvar Nejprve počáteční stav označíme číslem. q q 2 q 3 q 4 q 5
25 Normovaný tvar Nyní z počátečního stavu přejdeme slovem do dalšího stavu. Pokud tento stav již není označen žádným číslem, označíme jej číslem 2. q q2 q 3 q 4 q 5
26 Normovaný tvar Nyní z počátečního stavu přejdeme slovem do dalšího stavu. Vidíme, že tímto slovem se dostáváme do stavu q, který není označen číslem. Označíme jej tedy číslem 3. Z počátečního stavu jsme přešli všemi výstupními hranami do stavů, které jsou dosažitelné. Tudíž začneme procházet graf z následujícího stavu a to ze stavu označeného číslem 2. q3 q2 q 3 q 4 q 5
27 Normovaný tvar Nyní tedy přejdeme ze stavu, který je označen číslem 2, slovem do dalšího stavu. Z toho vyplývá, že tímto slovem se dostáváme do stavu q 4. Označíme jej číslem 4. q3 q2 q 3 q4 q 5
28 Normovaný tvar Nyní tedy přejdeme ze stavu, který je označen číslem 2, slovem do dalšího stavu. Vidíme, že tímto slovem se dostáváme do stavu q 5. Označíme jej číslem 5. Opět jsme prošli všechny výstupní hrany ze stavu označeného číslem 2. Začneme tedy procházet graf ze stavu označeného číslem 3. q 3 q2 q 3 q 4 q5
29 Normovaný tvar Nyní tedy přejdeme ze stavu, který je označen číslem 3, slovem do dalšího stavu. Je zřejmé, že tímto slovem se dostáváme do stavu, který je označen číslem 4. q3 q2 q 3 q4 q5
30 Normovaný tvar Nyní tedy přejdeme ze stavu, který je označen číslem 3, slovem do dalšího stavu. Tímto slovem se dostáváme do stavu, který je již označen číslem 2. Opět jsme prošli všechny výstupní hrany ze stavu označeného číslem 3. Začneme tedy procházet graf ze stavu označeného číslem 4. q 3 q2 q 3 q 4 q5
31 Normovaný tvar Nyní tedy přejdeme ze stavu, který je označen číslem 4, slovem do dalšího stavu. Vidíme, že tímto slovem se dostáváme do stavu q 3, který není označen, označíme ho tedy číslem 6. q3 q2 q6 3 q 4 q5
32 Normovaný tvar Nyní tedy přejdeme ze stavu, který je označen číslem 4, slovem do dalšího stavu. Z toho plyne, že tímto slovem se dostáváme do stavu, který není označen, označíme ho tedy číslem 5. q3 q2 q6 3 q 4 q5
33 Normovaný tvar Nyní vidíme, že všechny stavy jsou očíslovány {,2,3...,n}. Automat je tedy převeden do normovaného tvaru. q 3 q2 q6 3 q 4 q5
34 Sjednocení ekvivalentních stavů Definice Pro každý stav q automatu M = (Q,Σ,δ, q, F) definuje L(q) = L(M q), kde M q = (Q,Σ,δ, q, F) Definice Stavy q, q 2 automatu M = (Q,Σ,δ, q, F) nazýváme jazykově ekvivalentní nebo zkráceně ekvivalentní, jestliže L(q ) = L(q 2 ) Jsou-li dva stavy q, q 2 automatu ekvivalentní, můžeme jeden vypustit. Všechny šipky, které do něj směřují, musíme přesměrovat do druhého. Pokud byl vypouštěný stav počáteční, bude počáteční ten druhý.
35 Sjednocení ekvivalentních stavů Stavy q a q 2 jsou ekvivalentní, můžeme tedy jeden z nich vypustit a všechny šipky do něj směřující přesměrovat do stavu druhého. q q 2 q 3
36 Sjednocení ekvivalentních stavů Vynecháme-li tedy stav q, který je počáteční, stane se počátečním stavem stav q 2. q q 2 q 3
37 Sjednocení ekvivalentních stavů Vynecháme-li tedy stav q, který je počáteční, stane se počátečním stavem stav q 2. Hrany směřující do stavu q přesměrujeme do stavu, který ponecháváme - tedy do q 2. q q 2 q 3
38 Sjednocení ekvivalentních stavů Vynecháme-li tedy stav q, který je počáteční, stane se počátečním stavem stav q 2. Hrany směřující do stavu q přesměrujeme do stavu, který ponecháváme - tedy do q 2. q q 2 q 3
39 Sjednocení ekvivalentních stavů Vynecháme-li tedy stav q, který je počáteční, stane se počátečním stavem stav q 2. Hrany směřující do stavu q přesměrujeme do stavu, který ponecháváme - tedy do q 2. Nyní tedy odstraníme stav q a hrany z něj vycházející. q 2 q 3
40 Sjednocení ekvivalentních stavů Dvojice vzájemně ekvivalentních stavů lze hledat rychlým algoritmem.
41 Sjednocení ekvivalentních stavů Dvojice vzájemně ekvivalentních stavů lze hledat rychlým algoritmem. Postupujeme tak, že rozkládáme množinu všech stavů automatu na neekvivalentní podmnožiny. Pokračujeme v jednotlivých krocích tak dlouho, dokud ještě dochází k dalšímu rozložení.
42 Sjednocení ekvivalentních stavů Dvojice vzájemně ekvivalentních stavů lze hledat rychlým algoritmem. Postupujeme tak, že rozkládáme množinu všech stavů automatu na neekvivalentní podmnožiny. Pokračujeme v jednotlivých krocích tak dlouho, dokud ještě dochází k dalšímu rozložení. Po ukončení procedury jsou podmnožiny nerozlišitelných stavů sloučeny do jednotlivých stavů.
43 Sjednocení ekvivalentních stavů Nejprve množinu všech stavů rozdělíme na dvě skupiny. První skupina bude obsahovat stavy nepřijímací. Druhá skupina bude obsahovat stavy přijímací. q q 2 q 3 q 4, q q 3 q 2 q 2 q 4 q 2 q 3 q 4 q 3 q 4 q 4 q 4 I q q 3 q 2 q 4 q 4 q 4 II q 2 q 4 q 2 q 3 q 4 q 3
44 Sjednocení ekvivalentních stavů Do tabulky si místo přechodů do konkrétních stavů vyznačíme skupinu, do které přecházíme. q q 2 q 3 q 4, q q 3 q 2 q 2 q 4 q 2 q 3 q 4 q 3 q 4 q 4 q 4 I q q 3 q 2 q 4 q 4 q 4 II q 2 q 4 q 2 q 3 q 4 q 3 I q II II q 4 I I II q 2 I II q 3 I II
45 Sjednocení ekvivalentních stavů Z tabulky vyplývá, že se skupina I rozpadá na dvě další. Stav q se liší od q 4, protože se dostává slovem nebo do skupiny, která následně přijímá slovo. Ze stavu q 4 přejdeme slovy nebo do skupiny, která následně nepřijímá prázdné slovo a tudíž nemohou být ekvivalentní. q q 2 q 3 q 4, q q 3 q 2 q 2 q 4 q 2 q 3 q 4 q 3 q 4 q 4 q 4 I q q 3 q 2 q 4 q 4 q 4 II q 2 q 4 q 2 q 3 q 4 q 3 I q II II q 4 I I II q 2 I II q 3 I II
46 Sjednocení ekvivalentních stavů Znovu vyplníme tabulku, protože se změnily skupiny. q q 2 q 3 q 4, q q 3 q 2 q 2 q 4 q 2 q 3 q 4 q 3 q 4 q 4 q 4 I q q 3 q 2 q 4 q 4 q 4 II q 2 q 4 q 2 q 3 q 4 q 3 I q II II q 4 I I II q 2 I II q 3 I II I q III III II q 4 II II III q 2 II III q 3 II III
47 Sjednocení ekvivalentních stavů Nyní se už žádná skupina nerozpadá, algoritmus tedy končí. Stavy, které jsou v jedné skupině, jsou ekvivalentní, tudíž můžeme stavy sloučit. q q 2 q 3 q 4, q q 3 q 2 q 2 q 4 q 2 q 3 q 4 q 3 q 4 q 4 q 4 I q q 3 q 2 q 4 q 4 q 4 II q 2 q 4 q 2 q 3 q 4 q 3 I q II II q 4 I I II q 2 I II q 3 I II I q III III II q 4 II II III q 2 II III q 3 II III I III III II II II III II III
48 Sjednocení ekvivalentních stavů Algoritmus pro sjednocení ekvivalentních stavů Vstup : Konečný automat M = (Q,Σ,δ, q, F) bez nedosažitelných stavů s totální přechodovou funkcí. Výstup : Redukt M/ i := := (p, q) p F p F repeat i+ := {(p, q) p i q a Σ : δ(p, a) i δ(q, a)} i := i + until i= i := i M/ := (Q/,Σ,η,[q ], F/ )
49 Sjednocení ekvivalentních stavů - Shrnutí Necht M = (Q,Σ,δ, q, F) je konečný automat bez nedosažitelných stavů.
50 Sjednocení ekvivalentních stavů - Shrnutí Necht M = (Q,Σ,δ, q, F) je konečný automat bez nedosažitelných stavů. Definice Stavy p, q nazveme jazykově ekvivalentní, psáno p q, pokud (p q x Σ : (ˆδ(p, x) F ˆδ(q, x) F))
51 Sjednocení ekvivalentních stavů - Shrnutí Definice Reduktem automatu M nazveme konečný automat M/ = (Q/,Σ,η,[q ], F/,) tj. automat, kde
52 Sjednocení ekvivalentních stavů - Shrnutí Definice Reduktem automatu M nazveme konečný automat M/ = (Q/,Σ,η,[q ], F/,) tj. automat, kde Stavy jsou třídy rozkladu Q/
53 Sjednocení ekvivalentních stavů - Shrnutí Definice Reduktem automatu M nazveme konečný automat M/ = (Q/,Σ,η,[q ], F/,) tj. automat, kde Stavy jsou třídy rozkladu Q/ Přechodová funkce η je nejmenší funkce splňující: (p, q Q), a Σ : δ(q, a) = p η([q], a) = [p]
54 Sjednocení ekvivalentních stavů - Shrnutí Definice Reduktem automatu M nazveme konečný automat M/ = (Q/,Σ,η,[q ], F/,) tj. automat, kde Stavy jsou třídy rozkladu Q/ Přechodová funkce η je nejmenší funkce splňující: (p, q Q), a Σ : δ(q, a) = p η([q], a) = [p] Stavy jsou třídy rozkladu Q/
55 Sjednocení ekvivalentních stavů - Shrnutí Definice Reduktem automatu M nazveme konečný automat M/ = (Q/,Σ,η,[q ], F/,) tj. automat, kde Stavy jsou třídy rozkladu Q/ Přechodová funkce η je nejmenší funkce splňující: (p, q Q), a Σ : δ(q, a) = p η([q], a) = [p] Stavy jsou třídy rozkladu Q/ Počáteční stav je třída rozkladu Q/ obsahující q.
56 Sjednocení ekvivalentních stavů - Shrnutí Definice Reduktem automatu M nazveme konečný automat M/ = (Q/,Σ,η,[q ], F/,) tj. automat, kde Stavy jsou třídy rozkladu Q/ Přechodová funkce η je nejmenší funkce splňující: (p, q Q), a Σ : δ(q, a) = p η([q], a) = [p] Stavy jsou třídy rozkladu Q/ Počáteční stav je třída rozkladu Q/ obsahující q. Koncové stavy jsou právě ty třídy rozkladu Q/, které obsahují alespoň jeden koncový stav.
57 Věta o isomorfismu Pro libovolné dva redukované konečné automaty jsou následující tvrzení ekvivalentní:
58 Věta o isomorfismu Pro libovolné dva redukované konečné automaty jsou následující tvrzení ekvivalentní: automaty jsou ekvivalentní
59 Věta o isomorfismu Pro libovolné dva redukované konečné automaty jsou následující tvrzení ekvivalentní: automaty jsou ekvivalentní automaty jsou isomorfní
60 Věta o isomorfismu Pro libovolné dva redukované konečné automaty jsou následující tvrzení ekvivalentní: automaty jsou ekvivalentní automaty jsou isomorfní Důsledky Dva redukty libovolných dvou ekvivalentních konečných automatů se shodují až na isomorfismus. Pro každý KA je jeho redukt určen až na isomorfismus jednoznačně.
61 Minimalizace KA - Příklad A nyní si vše předešlé názorně ukážeme na jednoduchém příkladu.
62 Minimalizace KA - Příklad q q q 2 q 5 q 8 q 4 q 7 q 3 q 6 q q q q q 2 q q 2 q 3 q 2 q 3 q 4 q 3 q 4 q 2 q 4 Nyní začneme minimalizaci.
63 Minimalizace KA - Příklad q q q 2 q 5 q 8 q 4 q 7 q 3 q 6 q q q q q 2 q q 2 q 3 q 2 q 3 q 4 q 3 q 4 q 2 q 4 V prvním kroku odstraníme nedosažitelné stavy pomocí algoritmu, který byl zmíněn výše. Zjistíme, že stavy q 5, q 6, q 7, q 8 jsou nedosažitelné a můžeme je vypustit.
64 Minimalizace KA - Příklad q q q 2 q 4 q 3 q q q q q 2 q q 2 q 3 q 2 q 3 q 4 q 3 q 4 q 2 q 4 Nyní máme automat již bez nedosažitelných stavů. Můžeme tedy nalézt množiny vzájemně ekvivalentních stavů.
65 Minimalizace KA - Příklad q q q 2 q 4 q 3 q q q q q 2 q q 2 q 3 q 2 q 3 q 4 q 3 q 4 q 2 q 4 I : (q, q, q 3, q 4 ),II : (q 2 ) Stavy automatu rozdělíme na dvě množiny, jedna množina I = (q, q, q 3, q 4 ) obsahuje stavy, které nejsou přijímací. Množina druhá II = (q 2 ) obsahuje stavy přijímací.
66 Minimalizace KA - Příklad q q q 2 q 4 q 3 q q q q q 2 q q 2 q 3 q 2 q 3 q 4 q 3 q 4 q 2 q 4 I : (q, q, q 3, q 4 ),II : (q 2 ) q I I q II I q 3 I I q 4 II I q 2 I II Nyní vyplníme přechodovou tabulku symboly množiny ekvivalence.
67 Minimalizace KA - Příklad q q q 2 q 4 q 3 q q q q q 2 q q 2 q 3 q 2 q 3 q 4 q 3 q 4 q 2 q 4 I : (q, q, q 3, q 4 ),II : (q 2 ) q I I q II I q 3 I I q 4 II I q 2 I II Z přechodové tabulky vyplývá, že se skupina I = (q, a, q 3, q 4 ) rozkládá na dvě podmnožiny -ekvivalentních stavů a to na (q, q 3 ) a (q, q 4 )
68 Minimalizace KA - Příklad q q q 2 q 4 q 3 q q q q q 2 q q 2 q 3 q 2 q 3 q 4 q 3 q 4 q 2 q 4 I : (q, q, q 3, q 4 ),II : (q 2 ) q I I q II I q 3 I I q 4 II I q 2 I II I : (q, q 3 ),II : (q, q 4 ),III : (q 2 ) Nyní máme tři množiny -ekvivalentních stavů. Stavy v těchto množinách jsou vzájemně rozlišitelné slovy délky nejvýše.
69 Minimalizace KA - Příklad q q q 2 q 4 q 3 q q q q q 2 q q 2 q 3 q 2 q 3 q 4 q 3 q 4 q 2 q 4 I : (q, q, q 3, q 4 ),II : (q 2 ) I : (q, q 3 ),II : (q, q 4 ),III : (q 2 ) q I I q II I q 3 I I q 4 II I q 2 I II q II I q 3 II I q III II q 4 III II q 2 I III Nyní vyplníme přechodovou tabulku symboly množiny ekvivalence.
70 Minimalizace KA - Příklad q q q 2 q 4 q 3 q q q q q 2 q q 2 q 3 q 2 q 3 q 4 q 3 q 4 q 2 q 4 I : (q, q, q 3, q 4 ),II : (q 2 ) I : (q, q 3 ),II : (q, q 4 ),III : (q 2 ) q I I q II I q 3 I I q 4 II I q 2 I II q II I q 3 II I q III II q 4 III II q 2 I III Žádná z těchto množin se již dále nerozkládá. Tj. stavy v nich jsou vzájemně 2-ekvivalentní.
71 Minimalizace KA - Příklad q q q 2 q 4 q 3 q q q q q 2 q q 2 q 3 q 2 q 3 q 4 q 3 q 4 q 2 q 4 I : (q, q 3 ),II : (q, q 4 ),III : (q 2 ) q II I q 3 II I q III II q 4 III II q 2 I III I II I II III II III I III Nyní každou množinu ekvivalentních stavů nahradíme stavem jediným.
72 Minimalizace KA - Příklad q q q 2 q 4 q 3 q q q q q 2 q q 2 q 3 q 2 q 3 q 4 q 3 q 4 q 2 q 4 I : (q, q 3 ),II : (q, q 4 ),III : (q 2 ) I I II I II III II III I III III II A nyní vytvoříme automat podle přechodové tabulky.
73 Minimalizace KA - Příklad q q q 2 q 4 q 3 q q q q q 2 q q 2 q 3 q 2 q 3 q 4 q 3 q 4 q 2 q 4 I I II I II III II III I III III II Daný minimalizovaný automat je jediný až na isomorfismus, tzn. různé pojmenování stavů. Toto můžeme odstranit převodem do normovaného tvaru.
Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i,
[161014-1204 ] 11 2.1.35 Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i, kde i = 0, 1,..., takto: p 0 q právě tehdy, když bud p, q F nebo p, q F. Dokud i+1 i konstruujeme p
Množinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ
Abecedou se rozumí libovolná konečná množina Σ. Prvky abecedy nazýváme znaky (symboly) Slovo (řetězec) v nad abecedou Σ je libovolná konečná posloupnost znaků této abecedy. Prázdné posloupnosti znaků odpovídá
Regulární výrazy. Definice Množina regulárních výrazů nad abecedou Σ, označovaná RE(Σ), je definována induktivně takto:
IB102 Automaty, gramatiky a složitost, 6. 10. 2014 1/29 Regulární výrazy Definice 2.58. Množina regulárních výrazů nad abecedou Σ, označovaná RE(Σ), je definována induktivně takto: 1 ε, a a pro každé a
doplněk, zřetězení, Kleeneho operaci a reverzi. Ukážeme ještě další operace s jazyky, na které je
28 [181105-1236 ] 2.7 Další uzávěrové vlastnosti třídy regulárních jazyků Z předchozích přednášek víme, že třída regulárních jazyků je uzavřena na sjednocení, průnik, doplněk, zřetězení, Kleeneho operaci
Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak
1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen
Základy teoretické informatiky Formální jazyky a automaty
Základy teoretické informatiky Formální jazyky a automaty Petr Osička KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Outline Literatura Obsah J.E. Hopcroft, R. Motwani, J.D. Ullman Introduction to
Pumping lemma - podstata problému. Automaty a gramatiky(bi-aag) Pumping lemma - problem resolution. Pumping lemma - podstata problému
BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 10. Vlastnosti regulárních jazyků p. 2/22 Pumping lemma - podstata problému BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 10. Vlastnosti regulárních jazyků p. 4/22 Automaty a gramatiky(bi-aag)
5 Orientované grafy, Toky v sítích
Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5 Orientované grafy, Toky v sítích Nyní se budeme zabývat typem sít ových úloh, ve kterých není podstatná délka hran a spojení, nýbž jejich propustnost
Vlastnosti regulárních jazyků
Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro
= je prostý orientovaný graf., formálně c ( u, v) 0. dva speciální uzly: zdrojový uzel s a cílový uzel t. Dále budeme bez
Síť Síť je čtveřice N = ( G, s, t, c) kde G ( V, A) = je prostý orientovaný graf a každé orientované hraně ( u, v) je přiřazeno nezáporné číslo, které se nazývá kapacita hrany ( u, v), formálně c ( u,
4 Pojem grafu, ve zkratce
Petr Hliněný, FI MU Brno, 2014 1 / 24 FI: IB000: Pojem grafu 4 Pojem grafu, ve zkratce Třebaže grafy jsou jen jednou z mnoha struktur v matematice a vlastně pouze speciálním případem binárních relací,
8 Přednáška z
8 Přednáška z 3 12 2003 Problém minimální kostry: Dostaneme souvislý graf G = (V, E), w : E R + Našim úkolem je nalézt strom (V, E ) tak, aby výraz e E w(e) nabýval minimální hodnoty Řešení - Hladový (greedy)
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy Jan Březina Technical University of Liberec 5. března 2013 Počátek teorie grafů Leonard Euler (1707 1783) 1735 pobyt v Královci (Prusko), dnes Kaliningrad (Rusko) Úloha:
Výroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2015/2016 1 / 18 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
Kapitola Základní množinové pojmy Princip rovnosti. Dvě množiny S a T jsou si rovny (píšeme S = T ) prvek T je také prvkem S.
1 Kapitola 1 Množiny 11 Základní množinové pojmy Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je souhrn, nebo soubor navzájem rozlišitelných objektů, kterým říkáme prvky 111 Princip rovnosti
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy Jan Březina Technical University of Liberec 31. března 2015 Počátek teorie grafů Leonard Euler (1707 1783) 1735 pobyt v Královci (Prusko), dnes Kaliningrad (Rusko)
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
Výroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2013/2014 1 / 20 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
Automaty a gramatiky. Na zopakování X*/~ Roman Barták, KTIML. Iterační (pumping) lemma. Pravidelnost regulárních jazyků
2 utomaty a gramatiky Roman Barták, KTML bartak@ktiml.mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak Na zopakování Víme, co je konečný automat = (Q,X,δ,q,F) Umíme konečné automaty charakterizovat (Myhill-)Nerodova
3.10 Rezoluční metoda ve výrokové logice
3.10. Rezoluční metoda ve výrokové logice [070405-1102 ] 27 3.10 Rezoluční metoda ve výrokové logice Rezoluční metoda rozhoduje, zda daná množina klausulí je splnitelná nebo je nesplnitelná. Tím je také
H {{u, v} : u,v U u v }
Obyčejný graf Obyčejný graf je dvojice G= U, H, kde U je konečná množina uzlů (vrcholů) a H {{u, v} : u,v U u v } je (konečná) množina hran. O hraně h={u, v} říkáme, že je incidentní s uzly u a v nebo
Teoretická informatika - Úkol č.1
Teoretická informatika - Úkol č.1 Lukáš Sztefek, xsztef01 18. října 2012 Příklad 1 (a) Gramatika G 1 je čtveřice G 1 = (N, Σ, P, S) kde, N je konečná množina nonterminálních symbolů N = {A, B, C} Σ je
Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
Jan Pavĺık. FSI VUT v Brně 14.5.2010
Princip výškovnice Jan Pavĺık FSI VUT v Brně 14.5.2010 Osnova přednášky 1 Motivace 2 Obecný princip 3 Příklady Světové rekordy Turnajové uspořádání Skupinové hodnocení Rozhledny 4 Geografická výškovnice
Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak
1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen
Informatika navazující magisterské studium Přijímací zkouška z informatiky 2018 varianta A
Informatika navazující magisterské studium Přijímací zkouška z informatiky 2018 varianta A Každá úloha je hodnocena maximálně 25 body. Všechny své odpovědi zdůvodněte! 1. Postavte na stůl do řady vedle
Výroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2017/2018 1 / 17 Předběžnosti Základní pojmy n-ární relace a funkce
Množiny, relace, zobrazení
Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,
Výroková a predikátová logika - III
Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2017/2018 1 / 16 2-SAT 2-SAT Výrok je v k-cnf, je-li v CNF a
Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace
RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,
Kongruence na množině celých čísel
121 Kapitola 4 Kongruence na množině celých čísel 4.1 Relace kongruence na množině celých čísel Vraťme se k úvahám o dělení se zbytkem. Na základní škole jsme se naučili, že když podělíme číslo 11 číslem
Obsah prezentace. Základní pojmy v teorii o grafech Úlohy a prohledávání grafů Hledání nejkratších cest
Obsah prezentace Základní pojmy v teorii o grafech Úlohy a prohledávání grafů Hledání nejkratších cest 1 Základní pojmy Vrchol grafu: {množina V} Je to styčná vazba v grafu, nazývá se též uzlem, prvkem
Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13.
Grafy doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 13. března 2017 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Grafy 104 / 309 Osnova přednášky Grafy
Operační výzkum. Síťová analýza. Metoda CPM.
Operační výzkum Síťová analýza. Metoda CPM. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
α β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace
Monotónní a Lineární Funkce 1. Relace předcházení a to Uvažujme dva vektory hodnot proměnných α = α,, 1 αn ( ) a β = ( β β ) 1,, n x,, 1 xn. Říkáme, že vekto r hodnot α předchází vektor hodnot β (značíme
Automaty a gramatiky(bi-aag) Motivace. 1. Základní pojmy. 2 domácí úkoly po 6 bodech 3 testy za bodů celkem 40 bodů
BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 1. Základní pojmy p. 2/29 Hodnocení předmětu BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 1. Základní pojmy p. 4/29 Automaty a gramatiky(bi-aag) 1. Základní pojmy Jan Holub Katedra teoretické
Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem
1.1 Úvod Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem Naprogramoval jsem v Matlabu funkci, která dokáže určit nejkratší cestu v orientovaném grafu mezi libovolnými dvěma vrcholy. Nastudoval
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy Jan Březina Technical University of Liberec 28. února 2017 Metainformace materiály: jan.brezina.matfyz.cz/vyuka/tgh (./materialy/crls8.pdf - Introduction to algorithms)
Formální jazyky a automaty Petr Šimeček
Formální jazyky a automaty Petr Šimeček Úvod Formální jazyky a automaty jsou základním kamenem teoretické informatiky. Na počátku se zmíníme o Chomského klasifikaci gramatik, nástroje, který lze aplikovat
Kapitola 6. LL gramatiky. 6.1 Definice LL(k) gramatik. Definice 6.3. Necht G = (N, Σ, P, S) je CFG, k 1 je celé číslo.
Kapitola 6 LL gramatiky 6.1 Definice LL(k) gramatik Definice 6.1. Necht G = (N, Σ, P, S) je CFG, k 1 je celé číslo. Definujme funkci FIRST G k : (N Σ) + P({w Σ w k}) předpisem FIRST G k (α) = {w Σ (α w
Analýza Petriho sítí. Analýza Petriho sítí p.1/28
Analýza Petriho sítí Analýza Petriho sítí p.1/28 1. Základní pojmy Základní problémy analýzy bezpečnost (safeness) omezenost (boundness) konzervativnost (conservation) živost (liveness) Definice 1: Místo
9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),
0. ÚVOD - matematické symboly, značení,
0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní
Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Vztah jazyků Chomskeho hierarchie a jazyků TS
Vztah jazyků Chomskeho hierarchie a jazyků TS Jan Konečný; (přednáší Lukáš Havrlant) 15. října 2013 Jan Konečný; (přednáší Lukáš Havrlant) Chomskeho hierarchie a jazyky TS 15. října 2013 1 / 23 Rychlé
Kostry. 9. týden. Grafy. Marie Demlová (úpravy Matěj Dostál) 16. dubna 2019
Grafy 16. dubna 2019 Tvrzení. Je dán graf G, pak následující je ekvivalentní. 1 G je strom. 2 Graf G nemá kružnice a přidáme-li ke grafu libovolnou hranu, uzavřeme přesně jednu kružnici. 3 Graf G je souvislý
Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?
Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti
Matematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Výroková a predikátová logika - V
Výroková a predikátová logika - V Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - V ZS 2015/2016 1 / 21 Dokazovací systémy VL Hilbertovský kalkul Hilbertovský
Složitost Filip Hlásek
Složitost Filip Hlásek Abstrakt. Příspěvek popisuje dva základní koncepty teoretické informatiky, Turingovy stroje a složitost. Kromě definic důležitých pojmů uvádí také několik souvisejících tvrzení,
Báze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň
Pro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 5. Výroková logika, formule výrokové logiky a jejich pravdivostní ohodnocení, splnitelné formule, tautologie, kontradikce, sémantický důsledek, tautologicky ekvivalentní
Z. Sawa (VŠB-TUO) Teoretická informatika 5. listopadu / 43
Zásobníkové automaty Z. Sawa (VŠB-TUO) Teoretická informatika 5. listopadu 2018 1/ 43 Zásobníkový automat Chtěli bychom rozpoznávat jazyk L = {a i b i i 1} Snažíme se navrhnout zařízení (podobné konečným
10 Podgrafy, isomorfismus grafů
Typické příklady pro zápočtové písemky DiM 470-2301 (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 25, 2018) 1 10 Podgrafy, isomorfismus grafů 10.1. Určete v grafu G na obrázku Obrázek 10.1: Graf G. (a) největší
PŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů
PŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Definujeme svazové kongruence a ukážeme jak pro vhodné binární relace svazu ověřit, že se jedná o svazové kongruence. Popíšeme svaz Con(A) kongruencí
METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.
Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými
Lineární programování
Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za
AUTOMATY A GRAMATIKY
AUTOMATY A 1 GRAMATIKY Pavel Surynek Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra teoretické informatiky a matematické logiky Stručný přehled přednášky Automaty Formální jazyky, operace
Výroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Výroková logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to formalismus a co je jeho cílem? Formulujte Russelův paradox
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Logické programy Deklarativní interpretace
Logické programy Deklarativní interpretace Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 7 1 Algebry. (Interpretace termů) Algebra J pro jazyk termů L obsahuje Neprázdnou
Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly.
Kapitola Reprezentace grafu V kapitole?? jsme se dozvěděli, co to jsou grafy a k čemu jsou dobré. rzo budeme chtít napsat nějaký program, který s grafy pracuje. le jak si takový graf uložit do počítače?
1. přednáška 1. října Kapitola 1. Metrické prostory.
1. přednáška 1. října 2007 Kapitola 1. Metrické prostory. Definice MP, izometrie. Metrický prostor je struktura formalizující jev vzdálenosti. Je to dvojice (M, d) složená z množiny M a funkce dvou proměnných
Grafy. RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta.
6 RNDr., Ph.D. Katedra didaktiky matematiky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz http://surynkova.info množina vrcholů a množina hran hrana vždy spojuje
Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VEKTOROVÝ PROSTOR. Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru.
VEKTOROVÝ PROSTOR Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru. Soubor n-složkových vektorů je libovolná skupina vektorů,
Základy informatiky. Teorie grafů. Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová
Základy informatiky Teorie grafů Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová Obsah přednášky Barvení mapy Teorie grafů Definice Uzly a hrany Typy grafů Cesty, cykly, souvislost grafů Barvení mapy
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří
Teorie množin Pavel Podbrdský
Teorie množin Pavel Podbrdský V matematice se s pojmem množina setkáváte na každém kroku. Jistě jste obeznámenispojmemmnožinyvšechpřirozenýchčísel,množinyvšechbodůvrovině,... Cílem této přednášky bude
4. NP-úplné (NPC) a NP-těžké (NPH) problémy
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA 4. NP-úplné (NPC) a NP-těžké (NPH) problémy Karpova redukce
Formální systém výrokové logiky
Formální systém výrokové logiky 1.Jazyk výrokové logiky Nechť P = {p,q,r, } je neprázdná množina symbolů, které nazýváme prvotní formule. Symboly jazyka L P výrokové logiky jsou : a) prvky množiny P, b)
Stromové rozklady. Definice 1. Stromový rozklad grafu G je dvojice (T, β) taková, že T je strom,
Stromové rozklady Zdeněk Dvořák 25. října 2017 Definice 1. Stromový rozklad grafu G je dvojice (T, β) taková, že T je strom, β je funkce přiřazující každému vrcholu T podmnožinu vrcholů v G, pro každé
Čísla značí použité pravidlo, šipka směr postupu Analýza shora. Analýza zdola A 2 B 3 B * C 2 C ( A ) 1 a A + B. A Derivace zleva:
1) Syntaktická analýza shora a zdola, derivační strom, kanonická derivace ezkontextová gramatika gramatika typu 2 Nechť G = je gramatika typu 1. Řekneme, že je gramatikou typu 2, platí-li: y
IB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
Úlohy klauzurní části školního kola kategorie B
65. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie B 1. Kolika způsoby je možno vyplnit čtvercovou tabulku 3 3 čísly,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4 tak, aby součet čísel v každém čtverci
Výroková a predikátová logika - IV
Výroková a predikátová logika - IV Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IV ZS 2018/2019 1 / 17 Tablo metoda Tablo Tablo - příklady F (((p q)
4 Stromy a les. Definice a základní vlastnosti stromů. Kostry grafů a jejich počet.
4 Stromy a les Jedním ze základních, a patrně nejjednodušším, typem grafů jsou takzvané stromy. Jedná se o souvislé grafy bez kružnic. Přes svou (zdánlivou) jednoduchost mají stromy bohatou strukturu a
Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2015/2016
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2015/2016 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
Vztah teorie vyčíslitelnosti a teorie složitosti. IB102 Automaty, gramatiky a složitost, /31
Vztah teorie vyčíslitelnosti a teorie složitosti IB102 Automaty, gramatiky a složitost, 2. 12. 2013 1/31 IB102 Automaty, gramatiky a složitost, 2. 12. 2013 2/31 Časová složitost algoritmu počet kroků výpočtu
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)
Teorie grafů Jirka Fink
Teorie grafů Jirka Fink Nejprve malý množinový úvod Definice. Množinu {Y; Y X} všech podmnožin množiny X nazýváme potenční množinoumnožiny Xaznačíme2 X. Definice. Množinu {Y; Y X, Y =n}všech n-prvkovýchpodmnožinmnožiny
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Teorie grafů BR Solutions - Orličky Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
Teorie grafů Petr Hanuš (Píta) BR Solutions - Orličky 2010 23.2. 27.2.2010 Píta (Orličky 2010) Teorie grafů 23.2. 27.2.2010 1 / 66 Pojem grafu Graf je abstraktní pojem matematiky a informatiky užitečný
Vektorový prostor. d) Ke každému prvku u V n existuje tzv. opačný prvek u, pro který platí, že u + u = o (vektor u nazýváme opačný vektor k vektoru u)
Hodnost matice Vektorový prostor Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání vektorů a reálný násobek vektoru, přičemž platí: a) V n je uzavřenou množinou vůči
Definice 9.4. Nedeterministický algoritmus se v některých krocích může libovolně rozhodnout pro některé z několika možných různých pokračování.
9.5 Třída NP Definice 9.4. Nedeterministický algoritmus se v některých krocích může libovolně rozhodnout pro některé z několika možných různých pokračování. Příklad. Uvažujme problém IND a následující
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 2.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 2. Homomorfismy V souvislosti se strukturami se v moderní matematice studují i zobrazení,
1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
PQ-stromy a rozpoznávání intervalových grafů v lineárním čase
-stromy a rozpoznávání intervalových grafů v lineárním čase ermutace s předepsanými intervaly Označme [n] množinu {1, 2,..., n}. Mějme permutaci π = π 1, π 2,..., π n množiny [n]. Řekneme, že množina S
13. přednáška 13. ledna k B(z k) = lim. A(z) = M(z) m 1. z m.
13. přednáška 13. ledna 2010 Důkaz. M = n=0 a nz n a N = n=0 b nz n tedy buďte dvě mocninné řady, které se jako funkce shodují svými hodnotami na nějaké prosté posloupnosti bodů z k C konvergující k nule.
Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
Konečný automat Teorie programovacích jazyků
Konečný automat Teorie programovacích jazyků oc. Ing. Jiří Rybička, Dr. ústav informatiky PEF MENDELU v Brně rybicka@menelu.cz Automaty v běžném životě Konečný automat Metoy konstrukce konečného automatu
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1 2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A
Riemannův určitý integrál
Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami
10 Přednáška ze
10 Přednáška ze 17. 12. 2003 Věta: G = (V, E) lze nakreslit jedním uzavřeným tahem G je souvislý a má všechny stupně sudé. Důkaz G je souvislý. Necht v je libovolný vrchol v G. A mějme uzavřený eurelovský
Základy logiky a teorie množin
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin (I/2007) 1 1 Struktura přednášky Matematická logika 2 Výroková logika Základy logiky a teorie množin Petr Pajas pajas@matfyz.cz Predikátová logika 1. řádu
Statistická teorie učení
Statistická teorie učení Petr Havel Marek Myslivec přednáška z 9. týdne 1 Úvod Představme si situaci výrobce a zákazníka, který si u výrobce objednal algoritmus rozpoznávání. Zákazník dodal experimentální