STROMY. v 7 v 8. v 5. v 2. v 3. Základní pojmy. Řešené příklady 1. příklad. Stromy

Transkript

1 STROMY Základní pojmy Strom T je souvislý graf, který neobsahuje jako podgraf kružnici. Strom dále budeme značit T = (V, X). Pro graf, který je stromem platí q = n -, kde q = X a n = V. Pro T mezi každou dvojicí vrcholů u, v V, u v existuje právě jedna cesta, každá hrana stromu je mostem a každý vrchol stromu mající st(v) je artikulací. Les je nesouvislý graf, jehož komponentami jsou stromy (popř. triviální grafy). Hvězda speciální případ stromu, ve kterém jeden vrchol má st(v) = n a n vrcholů má stupeň st(v) =. e( v) = max d( u, v) Excentricita (výstřednost) vrcholu v e(v) je číslo, které udává { } u V Vážená excentricita vrcholu v ec(v) je číslo, které udává ec( v) = max{ d( u, v) w( u) } kde w(u) je váha vrcholu u V Rádius (poloměr) grafu T = (V, X) r(t) je číslo, které udává r( T ) = min{ e( v) } v V Diametr (průměr) grafu T = (V, X) d(t) je číslo, které udává d( T ) = max{ e( v) } Centrální vrchol je vrchol v V pro který platí e(v) = r(t). Centrum grafu množina všech centrálních vrcholů. Větev vrcholu pro v V nazýváme podgraf, který je stromem, obsahuje vrchol v a maximální počet vrcholů a platí v něm st(v) =. Síla vrcholu s(v) udává počet vrcholů větve, která obsahuje maximální počet vrcholů. Centroidní vrchol vrchol s minimální silou. Centroid množina všech centroidních vrcholů. u V v V, Řešené příklady. příklad V hranově a vrcholově ohodnoceném grafu T = (V, X) zobrazeném obr., který je stromem určete hodnoty excentricity e(v) pro každý vrchol v V. Dále určete rádius r(t), diametr grafu d(t) a centrum tohoto stromu v 0 Obr. Teorie grafů - úlohy - -

2 Řešení: Hodnota excentricity vrcholu e(v) je definována jako maximum ze vzdáleností vrcholu v k ostatním vrcholům sítě u V. Hodnota excentricity pro vrchol v je maxiem ze vzdáleností d(v, v ), d(v, ), d(v, ), d(v, ), d(v, ), d(v, ), d(v, ), d(v, ), d(v, ), d(v, ), tedy: e(v ) = max { d(v, v ), d(v, ), d(v, ), d(v, ), d(v, ), d(v, ), d(v, ), d(v, ), d(v, ), d(v, )} = max {0, 9,,,,,, 7,, } = Pro ostatní vrcholy zadaného grafu jsou hodnoty excentricit: e( ) = max {9, 0,,,,,,, 6, } = e( ) = max {,, 0, 7,, 7, 6, 0,, } = 7 e( ) = max {,, 7, 0, 7, 0, 9,,, 7} = e( ) = max {,,, 7, 0, 7, 6, 0,, 7} = e( ) = max {,, 7, 0, 7, 0, 9,,, 0} = e( ) = max {,, 6, 9, 6, 9, 0,, 0, 9} = 9 e( ) = max {7,, 0,, 0,,, 0,, } = e( ) = max {, 6,,,,, 0,, 0, 7} = e( ) = max {,,, 7, 7, 0, 9,, 7, 0} = 0 Rádius grafu je číslo rovnající se minimální hodnotě excentricity vrcholu zadaného grafu. Pro strom na obr. tedy platí: r(t) = min { e(v ), e( ), e( ), e( ), e( ), e( ), e( ), e( ), e( ), e( )} = = min {,, 7,,,, 9,,, 0} = Diametr grafu je naopak číslo rovnající se maximální hodnotě excentricity vrcholu zadaného grafu. Pro strom na obr. tedy platí: d(t) = max { e(v ), e( ), e( ), e( ), e( ), e( ), e( ), e( ), e( ), e( )} = = max {,, 7,,,, 9,,, 0} = Centrum grafu je množina vrcholů, pro které platí, že hodnota excentricity se rovná hodnotě radiusu e(v) = r(t). Centrem v zadaném grafu obr. je vrchol, ke e(v) = r(t) =.. příklad V grafu na obr. určete hodnoty vážené excentricity ec(v) pro každý vrchol v V. Řešení: Hodnota vážené excentricity vrcholu ec(v) je definována jako maximum ze součinu vzdáleností vrcholu v k ostatním vrcholům sítě u V a váhy vrcholu u V. Hodnotu vážené excentricity pro vrchol v určíme z následujícím způsobem: ec(v ) = max { d(v, v ) w(v ), d(v, ) w( ), d(v, ) w( ), d(v, ) w( ), d(v, ) w( ), d(v, ) w( ), d(v, ) w( ), d(v, ) w( ), d(v, ) w( ), d(v, ) w( )} = max {0, 9,,,,,, 7,, 6} = max {0, 9,,,, 7, 9, 6,, } = - - Teorie grafů - úlohy

3 Hodnoty vážených excentricit pro další vrcholy zadaného stromu jsou: e( ) = max {9, 0,,,,,,, 6, 6} = = max {9, 0,, 0,,,,,, 0} = e( ) = max {,, 0, 7,, 7, 6, 0,, 6} = = max {,, 0,,,,, 0,, } = e( ) = max {,, 7, 0, 7, 0, 9,,, 7 6} = = max {,,, 0,, 0, 7,,, } = e( ) = max {,,, 7, 0, 7, 6, 0,, 7 6} = = max {,, 6,, 0,,, 0,, 0} = 0 e( ) = max {,, 7, 0, 7, 0, 9,,, 0 6} = = max {,, 6, 0, 0, 7, 9, 6, 0} = 0 e( ) = max {,, 6, 9, 6, 9, 0,, 0, 9 6} = = max {,,,,, 7, 0,, 0, } = 7 e( ) = max {7,, 0,, 0,,, 0,, 6} = = max {7,, 0, 6, 0, 69, 6, 0,, 7} = 7 e( ) = max {, 6,,,,, 0,, 0, 7 6} = = max {, 6, 6,, 6, 6, 0, 6, 0, } = 6 e( ) = max {,,, 7, 7, 0, 9,, 7, 0 6} = = max {,,,,, 60, 7,,, 0} = 60. příklad V hranově neohodnoceném grafu zobrazeném obr., který je stromem určete centrální vrchol popř. vrcholy, které tvoří centrum tohoto grafu. v v v v v Obr. Řešení: Jestliže hledáme centrum stromu, který je hranově neohodnocen, nebo ohodnocení hran je stejné pro h X je možné použít zjednodušený algoritmus na vyhledání centra stromu. Během hledání centra není potřebné určovat hodnotu excentricit vrcholů grafu a poloměru stromu.. krok: V grafu označíme visící hrany (silnější čárkované označené hrany obr. a). Visící hranou rozumíme hranu po jejímž projití do jednoho z krajních vrcholů není možné pokračovat po jiné hraně dále. Visícími hranami jsou (, v ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, v ), (, v ), (v, v ). Teorie grafů - úlohy - -

4 Visící hrany (obr. a) z grafu vypustíme a dále uvažujeme se vzniklým podgrafem viz. obr. b. v v v v a) b) Obr. Dále opakujeme uvedený postup značení a vypouštění hran ze vzniklého podgrafu. Výsledkem krácení v následujícím kroku je vypuštění hran (, ), (, v ) čímž vznikne podgraf na obr. b. v v v a) b) Obr.. krok: Proces označování a vypouštění hran se opakuje do doby, kdy z původního grafu zůstane pouze jedna hrana (nebo jeden vrchol). V tomto případě postupně vykrátíme hrany (, ), (, ). Výsledkem krácení je hrana (, ) viz. obr. b. Centrum je v tomto případě tvořeno dvojicí krajních vrcholů nevykrácené hrany (jestliže po krácení zbývá jeden vrchol je pouze ten centrem). a) Obr. Centrum stromu na obr. tvoří vrchol a. b). příklad V hranově neohodnoceném grafu zobrazeném na obr., který je stromem určete sílu vrcholu pro v V a nalezněte centroid zadaného stromu. Řešení: V první části určíme sílu vrcholů zadaného stromu. Síla vrcholu s(v) udává maximální počet vrcholů v jedné větvi. Větví vrcholu rozumíme maximální podgraf grafu T, který - - Teorie grafů - úlohy

5 obsahuje vrchol v, pouze jednu hranu s incidencí h = (v, u), kde u V a maximální počet vrcholů. Počet větví vrcholu se rovná stupni tohoto vrcholu st(v). POZNÁMKA! Někdy bývá v síle vrcholu s(v) započten i vrchol v. Vrchol v má v zadaném grafu pouze jednu větev st(v ) =, tato větev obsahuje všechny vrcholy stromu kromě vrcholu v. Síla vrcholu v v zadaném stromu je s(v ) =. Vrchol má větví, které jsou pomocí různých druhů čar vyznačeny na obr. 6. Tyto větve obsahují,, nebo vrcholů. Síla vrcholu je tedy s( ) =. v v v v v Obr. 6 Pro zbývající vrcholy stromu jsou nalezené hodnoty uvedené v následující tabulce: Vrchol Počet větví vrcholu Vrcholy v jedné větvi Počet vrcholů v dané větvi Síla vrcholu s(v) v,,,,,,,,,, v, v, v, v v,,,, v, v, v, v,, v,,,,,,,, v, v, v, v v,,,,,,,, v, v, v, v v,,,,,,,,,, v, v, v, v v,,,,,,,,,, v, v, v, v v,,,,,,,,,, v, v, v, v v,,,,,,,,,, v, v, v, v v,,,,,,,,,, v, v, v, v v,,,,,,,, 9, v, v, v, v 9 v,,,,,,,,,, v, v, v v v v,,,,,,,,,,, v, v, v Teorie grafů - úlohy - -

6 v v,,,,,,,,,,, v, v v v v,,,,,,,,,,, v, v, v v v,,,,,,,,,,, v, v, v Centroidním vrcholem nazveme vrchol s minimální silou. V zadaném stromu je pouze jeden vrchol s minimální silou vrchol. Vrchol je centroidním vrcholem stromu a tvoří centroid grafu Teorie grafů - úlohy

7 Cvičení. příklad V grafu, který je na obr. 7 nalezněte podgrafy, které jsou stromy T = (V, X) a zároveň mohutnost množiny vrcholů je V =, V =, V =, V =. v Obr. 7. příklad V hranově ohodnoceném grafu zobrazeném obr., který je stromem určete hodnoty excentricity e(v) pro každý vrchol v V. Dále určete rádius r(t), diametr grafu d(t) a centroid tohoto stromu. v v 7 9 v 6 v 7 v v 6 v Obr.. příklad V hranově neohodnoceném grafu zobrazeném obr. 9, který je stromem určete centrální vrchol popř. vrcholy, které tvoří centrum tohoto grafu. Teorie grafů - úlohy - 7 -

8 v v v v v Obr. 9. příklad V hranově neohodnoceném grafu zobrazeném na obr. 9, který je stromem určete sílu vrcholu pro v V a nalezněte centroid zadaného stromu.. příklad V grafu na obr. 0 určete hodnoty vážené excentricity ec(v) pro každý vrchol v V. v 0 v v v Obr příklad V hranově ohodnoceném grafu zobrazeném obr., který je stromem určete hodnoty excentricity e(v) pro každý vrchol v. Dále určete rádius r(t), diametr grafu d(t) a centum tohoto stromu. - - Teorie grafů - úlohy

9 v v 9 v 0 v 6 9 v v v 7 v v v 6 Obr. 7. příklad V grafu zadaném na obr. nalezněte libovolný podgraf, který je: a) stromem, b) hvězdou, c) lesem, d) faktorovým podgrafem příklad 0 v Obr. V grafu na obr. určete hodnoty vážené excentricity ec(v) pro každý vrchol v V. 9. příklad V hranově neohodnoceném grafu zobrazeném obr., který je stromem určete centrální vrchol popř. vrcholy, které tvoří centrum tohoto grafu. 6 0 Teorie grafů - úlohy - 9 -

10 v 7 v v v v v 9 v v v 6 Obr. 0. příklad V hranově neohodnoceném grafu zobrazeném na obr., který je stromem určete sílu vrcholu pro v V a nalezněte centroid zadaného stromu Teorie grafů - úlohy

11 Výsledky příkladů 0. příklad Ukázka řešení, které není jediné: v V = v V = V = V =. příklad e(v ) = 7, e( ) =, e( ) =, e( ) = 7, e( ) =, e( ) = 9, e( ) =, e( ) =, e( ) =, e( ) = 7, e( ) =, e(v ) = 9, e(v ) =, e(v ) = 6, e(v ) = 7, e(v 6 ) =, e(v 7 ) = 7 r(t) = d(t) = 7 s(v ) =, s( ) = 6, s( ) =, s( ) = 6, s( ) = 9, s( ) =, s( ) = 6, s( ) = 6, s( ) =, s( ) = 6, s( ) = 6, s(v ) =, s(v ) = 6, s(v ) =, s(v ) = 6, s(v 6 ) =, s(v 7 ) = 6 Vrchol je centroid zadaného stromu.. příklad Vrchol je centrálním vrcholem stromu a tvoří centrum grafu.. příklad s(v ) =, s( ) = 0, s( ) = 7, s( ) =, s( ) =, s( ) =, s( ) =, s( ) =, s( ) =, s( ) = 9, s( ) =, s(v ) =, s(v ) =, s(v ) =, s(v ) = Centroid zadaného grafu je vrchol.. příklad ec(v ) =, ec( ) =, ec( ) = 0, ec( ) = 96, ec( ) = 6, ec( ) = 9, ec( ) =, ec( ) = 0, ec( ) =, ec( ) =, ec( ) =, ec(v ) = 0 6. příklad e(v ) =, e( ) =, e( ) = 0, e( ) =, e( ) = 6, e( ) = 9, e( ) =, e( ) =, e( ) =, e( ) =, e( ) =, e(v ) =, e(v ) = 7, e(v ) =, e(v ) =, e(v 6 ) =, e(v 7 ) =, e(v ) =, e(v 9 ) =, e(0 ) = r(t) = 0 d(t) = Vrchol je centrem grafu. Teorie grafů - úlohy - -

12 7. příklad Ukázky možného ne jediného řešení: v strom hvězda v v les faktorový podgraf. příklad ec(v ) = 00, ec( ) = 0, ec( ) = 0, ec( ) = 00, ec( ) = 0, ec( ) = 00, ec( ) = 00, ec( ) = 0, ec( ) = 0, ec( ) = 0 9. příklad Vrchol a v jsou centrální vrcholy stromu a tvoří centrum grafu. 0. příklad s(v ) = 6, s( ) =, s( ) =, s( ) =, s( ) =, s( ) = 6, s( ) = 6, s( ) = 7, s( ) =, s( ) =, s( ) =, s(v ) =, s(v ) =, s(v ) =, s(v ) =, s(v 6 ) =, s(v 7 ) =, s(v ) =, s(v 9 ) = Vrchol je centroid zadaného stromu. - - Teorie grafů - úlohy