ŘEŠENÍ MULTIPLIKATIVNÍCH ROVNIC V KONEČNÉ ARITMETICKÉ STRUKTUŘE
|
|
- Emil Konečný
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 ŘEŠENÍ MULTIPLIKATIVNÍCH ROVNIC V KONEČNÉ ARITMETICKÉ STRUKTUŘE Naďa Stehlíková 1, Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická fakulta Úvod Příspěvek navazuje na článek Zúžená aritmetika most mezi elementární a abstraktní matematikou uveřejněný v tomto sborníku v roce 2001 (Stehlíková, 2001). Článek přinášel návrh na matematický projekt, který by mohl usnadnit přechod mezi elementární matematikou základní a střední školy a abstraktní matematikou vysoké školy. Matematickou podstatu projektu tvořila konečná aritmetická struktura, tzv. zúžená aritmetika, jejímž autorem je Milan Hejný a jíž jsem rozpracovala v rámci svého výzkumu strukturace matematických poznatků (Stehlíková, 2004). Zúžená aritmetika je vlastně kongruence modulo 99, což však není na první pohled patrné, a studenti účastnící se mého výzkumu si tento fakt často vůbec neuvědomili. Pokud se tak stalo, neuměli tuto skutečnost smysluplně využít. Kongruence modulo složené číslo představují poměrně složitou oblast a jejich pochopení by od studentů vyžadovalo nejdříve prostudování teorie. To však pro ně nebylo příliš motivující, a tak se raději snažili objevit své vlastní postupy, což vyhovovalo cílům mého výzkumu. Zatímco výše zmíněný příspěvek přinášel úlohy matematického projektu s řešeními a komentáři, zde se soustředíme na to, jak studenti uchopili jednu skupinu úloh, a to multiplikativní rovnice. Aditivní a multiplikativní lineární rovnice tvoří jakýsi vstup do matematické podstaty zúžené aritmetiky a otevírají celou řadu dalších problémů, jako např. zavedení odčítání a dělení, definování inverzních prvků, objevení dělitelů nuly 2 a jejich vlastností. Nejdříve stručně zavedeme zúženou aritmetiku. Zúžená aritmetika Základ zúžené aritmetiky tvoří zobrazení r: N N, které budeme nazývat redukce a které můžeme zavést jako instrukci: (i) když n < 100, pak r(n) = n, (ii) když n 100, rozdělíme číslo na dvě části, na poslední dvojčíslí a číslo stojící před tímto dvojčíslím, a obě části sečtěme. Celý postup opakujeme tak dlouho, dokud nedostaneme číslo od 1 do 99. Např. r(7305) = = 78, r(135728) = r( ) = r(1385) = = 98. Označme množinu A 2 = {1,2,3,...,99}. Pomocí redukce r zavedeme binární operace z- sčítání 3 a z-násobení v A 2 takto: x, y A 2, x y = r(x + y) a x y = r(x y). Například = r(167) = 68, = r(6840) = r(108) = 9. Vstupem do problematiky multiplikativních rovnic typu a x = b, kde x A 2 je neznámá a a, b A 2 jsou parametry, je následující sada úloh (výsledky úloh jsou v závorce): 2 x = 40 {20}, 2 x = 1 {50}, 2 x = 99 {99}, 3 x = 30 {10, 43, 76}, 3 x = 1 {}, 3 x = 99 {33, 66, 99}, 3 x = 45 {15, 48, 81}, 14 x = 91 {56}, 13 x = 45 {72}, 6 x = 3 {17, 50, 83}, 93 x = 3 {16, 49, 82}, 50 x = 5 {10}, 6 x = 45 {24, 57, 90}, 3 x 2 = 83 4 {27, 60, 93}, 5 x 10 = 5 {98}. 1 Příspěvek byl vytvořen v rámci grantu GAČR 406/02/ Připomeňme, že dělitelem nuly jsou nenulová čísla a, b, pro která platí a. b = 0. Struktura (A 2,, ) je komutativní okruh s jednotkovým prvkem. 3 Předpona z značí, že se jedná o pojem / operaci v rámci zúžené aritmetiky. 4 Studenti mají sami rozhodnout o přednosti operací. Všichni, s nimiž jsem dosud pracovala, si vybrali přednost násobení a dělení oproti sčítání a odčítání analogicky k běžné aritmetice. 89
2 Klasifikace multiplikativních rovnic v A 2 podle počtu kořenů je poměrně složitá a vyžaduje řešení mnoha rovnic. Pokud není číslo a dělitelné ani 3 ani 11, pak má rovnice vždy jedno řešení. Pokud je a dělitelné 3 (9, 11, 33, 99) a b není, pak rovnice nemá žádné řešení. V ostatních případech má rovnice 3 (9, 11, 33, 99) řešení. Řešitel dostane počáteční sadu úloh a další úlohy si formuluje sám podle potřeby. Je nutné zdůraznit, že studenti nedostávají žádné nápovědy, řešitelské strategie si musí vytvořit sami na základě svých zkušeností jak z běžné aritmetiky, tak z vyšší matematiky, s níž se seznámili na vysoké škole (výzkum je založen na konstruktivistických přístupech k vyučování matematice, viz Hejný, Kuřina, 2001). Experimenty Zúženou aritmetiku jsem využila v longitudinálním výzkumu, jehož se zúčastnili studenti, budoucí učitelé 2. stupně základní školy a střední školy, a to formou individuálních semistrukturovaných rozhovorů (u celkem 9 studentů) a písemných seminárních prácí (u 36 studentů). Rozhovory byly nahrávány, protokolovány a později analyzovány. Pro jejich analýzu i analýzu seminárních prací byla využita atomární analýza a tzv. ukotvená teorie (Strauss, Corbinová, 1999). Tímto způsobem jsem identifikovala kategorie, které popisují proces, v němž si studenti vytvářejí vnitřní reprezentaci zmíněné struktury, tedy jak strukturují matematické poznatky. Jednou z kategorií byl i vývoj porozumění matematickým pojmům v rámci zúžené aritmetiky (podrobněji je celý výzkum popsán v monografii Stehlíková, 2004). Zde se soustředíme pouze na vývoj porozumění struktuře multiplikativních rovnic. Vývoj porozumění struktuře multiplikativních rovnic Výše zmíněná analýza prokázala, že konstrukci vnitřní struktury multiplikativních rovnic lze rozdělit do čtyř fází. Každou z nich stručně charakterizuji a ilustruji příklady studentských prací. Fáze 1: Tvorba řešitelské strategie Většina studentů začala mechanickým přenosem strategie z běžné aritmetiky a vydělila obě strany rovnice číslem a (obr. 1). To však funguje jen pro některé rovnice a je nutné hledat novou strategii. Zde se reakce studentů mohou lišit. Jednou strategií je tzv. strategie zpětné redukce, která spočívá v tom, že se hledají zpětné redukce čísla na pravé straně rovnice tak dlouho, až je nalezen výsledek (obr. 2). Výhodou strategie je, že umožňuje nalézt všechna řešení a též upozornit na fakt existence více řešení. 5 Obr. 1: Ruth Obr. 2: Betty 5 Studenti často předpokládají, že stejně jako v běžné aritmetice existuje pro lineární rovnice nejvýše jeden kořen. 90
3 Objevují se i řešení založené na použití poznatků vysokoškolské matematiky. Např. Tony navrhl strategii pomocí násobení obou stran rovnice převráceným prvkem, což však neumožňuje řešit rovnice, v nichž je číslo a dělitelem nuly. 6 Obr. 3 ukazuje, že pak může dojít i k paradoxní situaci, kdy student neodhalil kořen, který byl na první pohled patrný; v našem případě x = 2 u rovnice x 3 = 6. Obr. 3: Tony Několik studentů také navrhovalo nejdříve zavést operaci z-dělení a teprve pak řešit multiplikativní rovnice. To však také naráželo na problém existence dělitelů nuly. 7 Fáze 2: Uvědomění si některých vztahů a pravidel Po vyřešení několika rovnic si studenti osvojí strategii jejich řešení do té míry, že jsou schopni soustředit se na jiné aspekty a všímají si některých vlastností a pravidel, které se postupně objevují. Zjišťují, že multiplikativní rovnice může mít žádné, jedno i více řešení, a začínají je seskupovat podle počtu kořenů. Tato fáze trvá u různých studentů různou dobu. Například Anita si všimla, že se kořeny rovnice opakují. Ruth zase řekla, že kořeny tvoří aritmetickou posloupnost. Samozřejmě se objevily i nesprávné hypotézy. Např. Frank na základě řešení jedné rovnice formuloval hypotézu, jak budou vypadat všechny kořeny rovnice (obr. 4). Později si svou chybu Obr. 4: Frank uvědomil. Fáze 3: Propojení vztahů a pravidel Zatímco ve druhé fázi existovaly vztahy a pravidla víceméně izolovaně, v této fázi se začínají propojovat a studenti je aktivně vyhledávají. Hranice mezi druhou a třetí fází je samozřejmě neostrá. Příkladem je práce Anity, která systematicky vybírala rovnice z hlediska čísla a a hledala vztahy: No tak když už pro tu čtyřku [a = 4] je jedno řešení, tak pro tu dvojku [a = 2] bude taky jedno řešení. A opakovat se pouze po jednom. Později řekla: Takže s tou šestkou [a = 6] bude asi docela problém.... Protože ta je, to je násobek 2 a 3. Dále zjistila, že rovnice, kde a = 6 a a = 3 mají stejný počet kořenů a že rozdíl mezi nimi je stejný, a použila 6 Dělitelé nuly představují důležitý pojem v rámci zúžené aritmetiky, protože nemají svůj předobraz v běžné aritmetice. Objevují se při řešení úloh z mnoha oblastí zúžené aritmetiky. 7 Operaci z-dělení definujeme takto: Pro z-čísla x, y, kde y 99 není dělitel nuly, platí x y = x y -1, kde y -1 je inverzní prvek k číslu y vzhledem k z-násobení, tj. y y -1 = 1. 91
4 toto zjištění pro zjištění řešení u rovnice, kde a = 18 = 2. 9 (taková rovnice by měla podle ní mít stejné vlastnosti jako rovnice, kde a = 9). Takto pokračovala dále. Později také objevila důležitý vztah mezi počtem kořenů rovnice p a rozdílem d mezi nimi, kde platí p. d = 99. Fáze 4: Vytvoření struktury multiplikativních rovnic V této fázi jsou všechny znalosti o řešitelnosti multiplikativních rovnic dány dohromady, aby tvořily jeden celek, strukturu. Pozorovatel se dozví, že řešitel je v této fázi, jen prostřednictvím písemného vyjádření, které má většinou podobu tabulky. Řešitel je navíc schopen zdůvodnit existenci více kořenů odkazem na dělitele nuly (tj. násobky 3 a 11) a neexistenci kořenů rovnice např. odkazem na z-kritéria dělitelnosti čísel a a b. 8 Je si také vědom, že nelze krátit multiplikativní rovnici číslem 99 ani děliteli nuly. Tabulky řešitelnosti multiplikativních rovnic samozřejmě procházejí vývojem (viz řešení Molly na obr. 5). Obr. 5: Molly Dalším příkladem uchopení struktury multiplikativních rovnic je řešení Martina na obr. 6. Otázkou zůstává, kdy můžeme říci, že si student vytvořil strukturu multiplikativních rovnic. Zřejmě se musí dostat do čtvrté fáze předvedeného modelu. Získá Obr. 6: Martin jakýsi nadhled, který mu umožňuje odhlédnout od jednotlivostí a konkrétních rovnic a popsat strukturu rovnic obecně a její vlastnosti. Na první pohled je také schopen říci, zda bude daná rovnice řešitelná a kolik bude mít řešení. Navíc pokud se k řešení rovnic vrátí po čase, bude schopen zrekonstruovat strategie, které si předtím vytvořil. Studentská řešení je také možné interpretovat z hlediska jejich chápání vztahu mezi běžnou aritmetikou a zúženou aritmetikou. Svou práci začínali vesměs s očekáváním analogie s běžnou aritmetikou a teprve když tato analogie selhala, hledali nové strategie. Některým z nich však nemožnost použití známých strategií znemožnila nalézt správná řešení (např. vyšel-li zlomek jako kořen rovnice, prohlásili, že řešení neexistuje). 8 Každé z-číslo je z-dělitelné z-číslem, které není dělitel nuly a nerovná se 99. Pro z-dělitelnost děliteli nuly platí stejné kritérium dělitelnosti, jako jsou kritéria dělitelnosti číslem 3, 9 a 11 z běžné aritmetiky. 92
5 Závěr Uchopení struktury multiplikativních rovnic je pouze jednou součástí uchopení struktury zúžené aritmetiky jako celku. Můžeme mluvit o tzv. lokálním pojetí. Podobně jsem zkoumala uchopení struktury dělitelů nuly, uchopení inverzních operací (tj. z-dělení a z-odčítání), uchopení zpětné redukce apod. Pomocí těchto lokálních pojetí jsem dospěla ke globálnímu pojetí, tj. uchopení struktury jako celku, které je nutné zkoumat dlouhodobě a které je podrobně zkoumáno v rámci případové studie (Stehlíková, 2004). Literatura [1] Hejný, M., Kuřina, F. (2001). Dítě, škola a matematika. Konstruktivistické přístupy k vyučování. Praha: Portál. [2] Stehlíková, N. (2001). Zúžená aritmetika most mezi elementární a abstraktní matematikou. In Burjan, V., Hejný, M. a Jány, Š. Zborník príspevkov z letnej školy z teórie vyučovania matematiky Pytagoras Bratislava: EXAM, s [3] Stehlíková, N. (2004). Structural understanding in advanced mathematical thinking. Praha: PedF UK, 236 s. [4] Strauss, A., Corbinová, J. (1999). Základy kvalitativního výzkumu. Brno: Sdružení Podané ruce. Boskovice: Nakladatelství Albert. 93
Matematika kr sy. 5. kapitola. V hoda pr ce s grupami
5. kapitola Matematika kr sy V hoda pr ce s grupami Původním úkolem geometrie byl popis různých objektů a vztahů, pozorovaných v okolním světě. Zrakem vnímáme nejen struktury tvaru objektů, všímáme si
VíceKapitola z diplomové práce Marie Brázdové: Využití internetu ve výuce matematiky. PedF UK v Praze, 2009. 4 Jedna z aktivit v praxi
Kapitola z diplomové práce Marie Brázdové: Využití internetu ve výuce matematiky. PedF UK v Praze, 2009. 4 Jedna z aktivit v praxi Pro potřeby této práce jsem pozorovala dvě vyučovací hodiny ve dvou třídách
VíceY36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz
Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat Róbert Lórencz 1. přednáška Úvod http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Róbert Lórencz (ČVUT FEL, 2007) Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování
VíceSlovní úlohy v učivu matematiky 1. stupně základní školy
Slovní úlohy v učivu matematiky 1. stupně základní školy V každé matematické úloze jde o to, abychom dokázali platnost (pravdivost) nějakého výroku. Podle toho, o jaký výrok jde, máme různé druhy úloh.
VíceLenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012
Algebra - třetí díl Lenka Zalabová Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích zima 2012 Obsah 1 Dělitelnost 2 Grupy zbytkových tříd 3 Jedna z
VíceNázev: Elektromagnetismus 3. část (Elektromagnetická indukce)
Výukové materiály Název: Elektromagnetismus 3. část (Elektromagnetická indukce) Téma: Vznik indukovaného napětí, využití tohoto jevu v praxi Úroveň: 2. stupeň ZŠ, případně SŠ Tematický celek: Vidět a poznat
VíceObhajoba na Informační a komunikační technologie 1
Univerzita Jana Evangelisty Purkyně Ústí nad Labem Obhajoba na Informační a komunikační technologie 1 HONZÍKOVA CESTA ANEB DĚTI ZAČÍNAJÍ ČÍST ALENA HNÍZDILOVÁ P11202 ČJ + VV VZ ZS 2011 / 2012 KVK / 6149
VíceŠVP ZV LMP Charakteristika vyučovacího předmětu Matematika na II. stupni
ŠVP ZV LMP Charakteristika vyučovacího předmětu Matematika na II. stupni Obsahové, časové a organizační vymezení vyučovacího předmětu Matematika Vyučovací předmět Matematika je tvořen z obsahu vzdělávacího
VíceKomplexní číslo. Klíčové pojmy: Komplexní číslo, reálná část, imaginární část, algebraické počty s komplexním číslem
Komplexní číslo Cíl kapitoly: seznámení s použitím komplexního čísla v pythonu Klíčové pojmy: Komplexní číslo, reálná část, imaginární část, algebraické počty s komplexním číslem Komplexní číslo Opakování
VíceZlatý řez nejen v matematice
Zlatý řez nejen v matematice Zlaté číslo a jeho vlastnosti In: Vlasta Chmelíková author): Zlatý řez nejen v matematice Czech) Praha: Katedra didaktiky matematiky MFF UK, 009 pp 7 Persistent URL: http://dmlcz/dmlcz/40079
Vícezejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.
Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít
VíceČeské vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská. Matematika ve starověké Babylónii
České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Matematika ve starověké Babylónii Vít Heřman Praha, 22.2.2008 Obsah: 1. Úvod 2. Historický kontext 3. Dostupné historické zdroje
VíceIVA ŽLÁBKOVÁ, LUBOŠ KRNINSKÝ
ZKUŠENOST V PROCESU UČENÍ STUDENTŮ UČITELSTVÍ IVA ŽLÁBKOVÁ, LUBOŠ KRNINSKÝ Anotace Článek je zaměřen na analýzu širších souvislostí využívání zkušeností v procesu učení. Za tímto účelem bylo realizováno
VíceR O Z S U D E K J M É N E M R E P U B L I K Y
9 As 38/2013 68 ČESKÁ REPUBLIKA R O Z S U D E K J M É N E M R E P U B L I K Y Nejvyšší správní soud rozhodl v senátě složeném z předsedy JUDr. Radana Malíka a soudců JUDr. Barbary Pořízkové a JUDr. Petra
VíceMapování neziskového sektoru a společenské odpovědnosti firem v Pardubickém kraji
Výzkumná zpráva z projektu Mapování neziskového sektoru a společenské odpovědnosti firem v Pardubickém kraji 2014 Josef Bernard Renata Mikešová Sociologický ústav AV ČR, v.v.i. Zpracováno s podporou dotace
VíceZákladní škola Moravský Beroun, okres Olomouc
Charakteristika vyučovacího předmětu matematika Vyučovací předmět má časovou dotaci čtyři hodiny týdně v prvním ročníku, pět hodin týdně ve druhém až pátém ročníku, pět hodin týdně v šestém ročníku a čtyři
VíceStaroegyptská matematika. Hieratické matematické texty
Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty Počítání se zlomky In: Hana Vymazalová (author): Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty. (Czech). Praha: Český egyptologický ústav
VíceČtvrtá část odpovědi aneb jak je to vlastně s interakcí <<include>>
Čtvrtá část odpovědi aneb jak je to vlastně s interakcí autor RNDr. Ilja Kraval leden 2008 www.objects.cz Úvod Tento článek navazuje jako pokračování na články předešlé. Minule jsme si zde
VícePříprava a analýza didaktických situací
Příprava a analýza didaktických situací Jarmila Novotná Alena Pelantová Hana Hrabáková Magdalena Krátká Studijní materiály k projektu Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě ŠVP č. projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137
VíceTento materiál byl vytvořen v rámci projektu Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost.
Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost. Projekt MŠMT ČR Číslo projektu ázev projektu školy Klíčová aktivita III/2 EU PEÍZE ŠKOLÁM CZ.1.7/1.4./21.2146
VíceKombinatorický předpis
Gravitace : Kombinatorický předpis Petr Neudek 1 Kombinatorický předpis Kombinatorický předpis je rozšířením Teorie pravděpodobnosti kapitola Kombinatorický strom. Její praktický význam je zřejmý právě
VíceVysoká pec ve vašem nitru
Obsah Předmluva... 7 Úvod... 10 Chcete-li objevit své pravé Já, já musí zemřít... 19 Vysoká pec ve vašem nitru... 49 Jak nechávat vše plynout a pozorovat... 80 Jak kráčet beze stop... 95 Mysl: velká pokladnice
VíceImplementace inkluzívního hodnocení
Implementace inkluzívního hodnocení Závěrečným bodem první fáze projektu Agentury s názvem Hodnocení v inkluzívních podmínkách byla diskuze a posléze výklad konceptu inkluzívní hodnocení a formulace souhrnu
VíceCvičení z matematiky - volitelný předmět
Volitelný předmět : Období ročník : Cvičení z matematiky - volitelný předmět 3. období 8. ročník Učební texty : Sbírky úloh, Testy k přijímacím zkouškám, Testy Scio, Kalibro,... Očekávané výstupy předmětu
VíceMatematika - Prima. množiny zavedení pojmů množina, prvek, sjednocení, průnik, podmnožina
- Prima Matematika Výchovné a vzdělávací strategie Kompetence k řešení problémů Kompetence komunikativní Kompetence občanská Kompetence sociální a personální Kompetence k učení Kompetence pracovní Učivo
Více9. Úvod do teorie PDR
9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální
VíceTeoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno
Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teorie čísel Nekonečno strana 2 Opakování z minulé přednášky Jak je definována podmnožina, průnik, sjednocení, rozdíl? Jak je definována uspořádaná dvojice a kartézský
VíceSOUHRNNAÁ ZAÁVEČ RECČNAÁ ZPRAÁVA DODATEK
III. MATERIÁL SOUHRNNAÁ ZAÁVEČ RECČNAÁ ZPRAÁVA DODATEK Pilotní ověřování organizace přijímacího řízení do oborů vzdělání s maturitní zkouškou s využitím centrálně zadávaných jednotných testů Zíka Jiří
VíceMatematika a její aplikace: - modeluje a určí část celku, používá zápis ve formě zlomku
Matematika a její aplikace: - modeluje a určí část celku, používá zápis ve formě zlomku V očekávaném výstupu má žák prokázat schopnost rozhodnout, co je celek a co jeho část. Za podpory názorných obrázků
VíceR O Z S U D E K J M É N E M R E P U B L I K Y
1 Afs 84/2006-175 ČESKÁ REPUBLIKA R O Z S U D E K J M É N E M R E P U B L I K Y Nejvyšší správní soud rozhodl v senátě složeném z předsedkyně JUDr. Marie Žiškové a soudkyň JUDr. Lenky Kaniové a JUDr. Barbary
VícePojem algoritmus a jeho základní vlastnosti
DUM Algoritmy DUM III/2-T1-1-1 PRG-01A-var1 Téma: Úvod do algoritmů - výklad Střední škola Rok: 2012 2013 Varianta: A Zpracoval: Mgr. Pavel Hrubý VÝKLAD Pojem algoritmus a jeho základní vlastnosti Obsah
VíceGRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY ARNOŠT VEČERKA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ
VíceBAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír
VíceMETODICKÉ LISTY. výstup projektu Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Karlových Varech. číslo)
METODICKÉ LISTY výstup projektu Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Karlových Varech reg. č. projektu: CZ.1.07/1.3.11/02.0003 Sada metodických listů: KABINET MATEMATIKY
VíceProměny představ českých občanů o ideálním zaměstnání v letech 1997 až 2005 1 Naděžda Čadová
Proměny představ českých občanů o ideálním zaměstnání v letech 1997 až 2005 1 Naděžda Čadová Úvod Česká republika prošla v období mezi roky 1997 a 2005 mnoha změnami ve sféře politické i ekonomické. V
VíceJednání se zájemcem, smlouva a individuální plánování v terénních programech pro uživatele drog
Jednání se zájemcem, smlouva a individuální plánování v terénních programech pro uživatele drog vyšlo v Sociální revue, 24. 6. 2009 Když jsem nedávno napsal text Individuální plánování ve veřejných záchodcích,
VíceE L O G O S ELECTRONIC JOURNAL FOR PHILOSOPHY/2006 ISSN 1211-0442
E L O G O S ELECTRONIC JOURNAL FOR PHILOSOPHY/2006 ISSN 1211-0442 Existují morální zákony á priori, nebo jsou pouze vyjádřením soudobých názorů ve společnosti? Ondřej Bečev 1) Vysvětlivky K použitým písmům
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Vladimír Kořínek Poznámky k postgraduálnímu studiu matematiky učitelů škol 2. cyklu Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 12 (1967), No. 6, 363--366 Persistent
VíceNETRADIČNÍ ÚLOHY Matematická gramotnost v mezinárodním výzkumu PISA. Oddělení mezinárodních výzkumů
NETRADIČNÍ ÚLOHY Matematická gramotnost v mezinárodním výzkumu PISA Oddělení mezinárodních výzkumů Praha 2006 Tato publikace byla vydána jako plánovaný výstup projektu 1P05ME774 programu KONTAKT financovaného
VíceAritmetika s didaktikou II.
Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou II. KM / 0026 Přednáška 0 Desetinnáčísla O čem budeme hovořit: Budeme definovat desetinnáčísla jako speciální racionálníčísla. Naučíme se poznávat různé
VíceSeminář z IVT Algoritmizace. Slovanské gymnázium Olomouc Tomáš Kühr
Seminář z IVT Algoritmizace Slovanské gymnázium Olomouc Tomáš Kühr Algoritmizace - o čem to je? Zatím jsme se zabývali především tím, jak určitý postup zapsat v konkrétním programovacím jazyce (např. C#)
VíceZpráva Akreditační komise o hodnocení doktorských studijních programů Pedagogické fakulty Univerzity Karlovy v Praze
Zpráva Akreditační komise o hodnocení doktorských studijních programů Pedagogické fakulty Univerzity Karlovy v Praze duben 2011 1) Úvod Akreditační komise (dále jen AK) rozhodla na svém zasedání ve dnech
VíceAritmetika s didaktikou I.
Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM / Přednáška Struktury se dvěma binárními operacemi O čem budeme hovořit: opakování struktur s jednou operací struktury se dvěma operacemi Struktury
VícePORAĎ SI SE ŠKOLOU Lucie Michálková
PORAĎ SI SE ŠKOLOU Lucie Michálková Copyright 2015 Lucie Michálková Grafická úprava a sazba Lukáš Vik, 2015 1. vydání Lukáš Vik, 2015 ISBN epub formátu: 978-80-87749-89-0 (epub) ISBN mobi formátu: 978-80-87749-90-6
VíceMATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň
MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň Obsahové, časové a organizační vymezení Předmět Matematika se vyučuje jako samostatný předmět v 6. až 8. ročníku 4 hodiny týdně, v 9. ročníku 3
VíceMETODICKÉ LISTY. výstup projektu Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Sokolově
METODICKÉ LISTY výstup projektu Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Sokolově reg. č. projektu: CZ.1.07/1.3.11/02.0005 Sada metodických listů: KABINET MATEMATIKY Název metodického
VíceAntecepční aparát kolektivu konverguje
Kapitola Antecepční aparát kolektivu konverguje úsek text datum Shrnutí Ryby v hejnu se drží pohromadě a zahnou jako na povel. Hejno ptáků letí, a jako na povel změní směr. Lidé sympatizují s určitým kandidátem,
VíceUtajené vynálezy Nemrtvá kočka
Nemrtvá kočka Od zveřejnění teorie relativity se uskutečnily tisíce pokusů, které ji měly dokázat nebo vyvrátit. Zatím vždy se ukázala být pevná jako skála. Přesto jsou v ní slabší místa, z nichž na některá
VíceLaboratorní zdroj - 6. část
Laboratorní zdroj - 6. část Publikované: 20.05.2016, Kategória: Silové časti www.svetelektro.com V tomto článku popíšu způsob, jak dojít k rovnicím (regresní funkce), které budou přepočítávat milivolty
VíceP ř e d m ě t : M A T E M A T I K A
04-ŠVP-Matematika-P,S,T,K strana 1 (celkem 11) 1. 9. 2014 P ř e d m ě t : M A T E M A T I K A Charakteristika předmětu: Matematika vytváří postupným osvojováním matematických pojmů, útvarů, algoritmů a
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VíceSPECIFICKÝCH MIKROPROGRAMOVÝCH ARCHITEKTUR
EVOLUČNÍ NÁVRH A OPTIMALIZACE APLIKAČNĚ SPECIFICKÝCH MIKROPROGRAMOVÝCH ARCHITEKTUR Miloš Minařík DVI4, 2. ročník, prezenční studium Školitel: Lukáš Sekanina Fakulta informačních technologií, Vysoké učení
VíceZákladní škola Fr. Kupky, ul. Fr. Kupky 350, 518 01 Dobruška 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE - 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 6.
5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 6. ročník RVP ZV Obsah RVP ZV Kód RVP ZV Očekávané výstupy ŠVP Školní očekávané výstupy ŠVP Učivo ČÍSLO A PROMĚNNÁ M9101 provádí
VíceAD4M33AU Automatické uvažování
AD4M33AU Automatické uvažování Úvod, historie Petr Pudlák Organizační informace Tyto slidy jsou pomocný studijní materiál. Na přednášce budou uváděny další informace a příklady, které ve slidech nejsou.
VíceTestová ní zář í zení HTC Desiře HD
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE, FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ Testová ní zář í zení HTC Desiře HD Inteřnetový přohlížeč opeřáčního systému Google Android 2.2 Zadal Ing. Adam Sporka Zpracoval Marek Pytela
VíceGeometrie zakřiveného prostoru aplikace s fyzikální tématikou
Gymnázium Přírodní škola, o p s Geometrie zakřiveného prostoru aplikace s fyzikální tématikou Jan Pokorný Petr Martiška, Vojtěch Žák 1 11 2012 Obsah 1 Úvod 3 2 Teoretické základy a použité metody 4 21
VíceÚčetní předpisy versus obchodní zákoník
Účetní předpisy versus obchodní zákoník V souvislosti s platnými účetními předpisy se již v roce 2002 vyskytly některé problémy ve vztahu k obchodnímu zákoníku. Zejména změny v promítání odložené daně
VíceModul 2 Nové metody a postupy hodnocení účinnosti podpory přírodovědné gramotnosti
Modul 2 Nové metody a postupy hodnocení účinnosti podpory přírodovědné gramotnosti Modul 2 představuje základní informace o důvodech a potřebách vyvinutí nových inspekčních standardů pro hodnocení rozvoje
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9.téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9téma Princip testování hypotéz, jednovýběrové testy V minulé hodině jsme si ukázali, jak sestavit intervalové odhady pro některé číselné charakteristiky normálního
VíceMINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem)
MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14.června
Více1.1.1 Jak se budeme učit a proč
1.1.1 Jak se budeme učit a proč Předpoklady: Pedagogická poznámka: Otázky v této hodině nepromítám, ale normálně pokládám. Nechávám žákům čas a chci, aby své návrhy psali do sešitu. Pedagogická poznámka:
VíceCvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět
Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky
VíceVýkaznictví sociálních služeb. 1. hodnotící zpráva
Výkaznictví sociálních služeb 1. hodnotící zpráva Ing. Radovan Hauk 14. září 2015 Stránka 1 OBSAH Úvod... 4 1. Výkaznictví MPSV (OKposkytovatel)... 5 1.1 Náklady a výnosy... 5 1.2 Struktura pracovních
VíceKoncept Hayekova stroje pro řízení robotů Khepera IV
Koncept Hayekova stroje pro řízení robotů Khepera IV Lukáš Mamula Slezská univerzita v Opavě, Filozoficko-přírodovědecká fakulta v Opavě Bezručovo náměstí 13, 74601 Opava mamula.lukas@gmail.com Abstrakt
VícePojem násobení v didaktickém systému základní školy
Univerzita Palackého v Olomouci Pedagogická fakulta Katedra matematiky Marta Miklová V. ročník kombinované studium Obor studia: Učitelství pro 1. stupeň ZŠ Pojem násobení v didaktickém systému základní
VíceSeminář z matematiky. jednoletý volitelný předmět
Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Seminář z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je koncipován pro přípravu studentů k úspěšnému zvládnutí profilové (školní)
Víceučitelské nakladatelství Nová škola Brno
Příruční katalog učebnic a pracovních sešitů pro učitele ZŠ učitelské nakladatelství Nová škola Brno Franzova 66, 614 00 Brno telefon: 530 347 147 e-mail: novaskolabrno@seznam.cz Učebnice a y OBSAH strana
VíceInformační zátěž dopravního systému a mentální kapacita řidiče
Informační zátěž dopravního systému a mentální kapacita řidiče Vlasta Rehnová* Matúš Šucha** Centrum dopravního výzkumu, Praha* Katedra psychologie Filozofické fakulty, Univerzita Palackého Olomouc** vlasta.rehnova@cdv.cz,
VícePolynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30
Počítání modulo polynom 3. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30 Obsah 1 Polynomy nad Zp Okruh Zp[x] a věta o dělení se zbytkem 2 Kongruence modulo polynom,
VíceTen objekt (veličina), který se může svobodně měnit se nazývá nezávislý.
@001 1. Základní pojmy Funkce funkční? Oč jde? Třeba: jak moc se oblečeme, závisí na venkovní teplotě, jak moc se oblečeme, závisí na našem mládí (stáří) jak jsme staří, závisí na čase jak moc zaplatíme
Více4. Ekonomická aktivita obyvatelstva
4. Ekonomická aktivita obyvatelstva Ekonomická aktivita charakterizuje ekonomický status osoby, její zařazení mezi osoby zaměstnané, nezaměstnané nebo ekonomicky neaktivní. Otázku o ekonomické aktivitě
VíceFunkce. Definiční obor a obor hodnot
Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné
VíceMATEMATIKA / 1. ROČNÍK. Strategie (metody a formy práce)
MATEMATIKA / 1. ROČNÍK Učivo Čas Strategie (metody a formy práce) Pomůcky Numerace v oboru do 7 30 pokládání koleček rozlišování čísel znázorňování kreslení a představivost třídění - číselné obrázky -
VíceR O Z S U D E K J M É N E M R E P U B L I K Y
č. j. 2 Afs 6/2004 67 ČESKÁ REPUBLIKA R O Z S U D E K J M É N E M R E P U B L I K Y Nejvyšší správní soud rozhodl v senátě složeném z předsedy senátu JUDr. Jaroslava Vlašína a soudců JUDr. Karla Šimky
VíceTvorba jednotek výsledků učení ECVET na základě standardů profesních kvalifikací v NSK. Verze připravená pro úpravu již vytvořených jednotek
Tvorba jednotek výsledků učení ECVET na základě standardů profesních kvalifikací v NSK Verze připravená pro úpravu již vytvořených jednotek Pracovní návrh 7 září 2015 Pracovní verze metodiky tvorby jednotek
VíceMatematika pro kombinované studium BOZO. Konzultace pátá. RNDr. Libuše Samková, Ph.D. e-mail: lsamkova@ pf.jcu.cz
Učební texty ke konzultacím předmětu Matematika pro kombinované studium BOZO Konzultace pátá RNDr. Libuše Samková, Ph.D. e-mail: lsamkova@ pf.jcu.cz webová stránka: home.pf.jcu.cz/ lsamkova/ Obsah konzultace:
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VícePojmové mapy ve výuce fyziky
Pojmové mapy ve výuce fyziky Renata Holubová Přírodovědecká fakulta UP Olomouc, e-mail: renata.holubova@upol.cz Úvod Rámcové vzdělávací programy mají pomoci dosáhnout u žáků přírodovědné gramotnosti. Tento
VíceZáklady aritmetiky a algebry II
Osnova předmětu Základy aritmetiky a algebry II 1. Lineární rovnice, řešení v tělesech Q, R, C, Z p, počet řešení v okruhu Z n, n N \ P. Grafické řešení, lineární nerovnice. 2. Kvadratická rovnice. Didaktický
VíceMETODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Práce s
VíceÚvod do teorie her. David Bartl, Lenka Ploháková
Úvod do teorie her David Bartl, Lenka Ploháková Abstrakt Předložený text Úvod do teorie her pokrývá čtyři nejdůležitější, vybrané kapitoly z této oblasti. Nejprve je čtenář seznámen s předmětem studia
Více+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity
Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní
VíceM R 8 P % 8 P5 8 P& & %
ážení zákazníci dovolujeme si ás upozornit že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva tzv. copyright. To znamená že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího (aby ètenáø
VíceČasopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Jan Novák Aritmetika v primě a sekundě Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 67 (1938), No. Suppl., D254--D257 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/120798
VíceVYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE. Optimalizace trasy při revizích elektrospotřebičů
VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Hlavní specializace: Ekonometrie a operační výzkum Název diplomové práce Optimalizace trasy při revizích elektrospotřebičů Diplomant: Vedoucí
VíceUkázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz
Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz prof. PhDr. Jarmila Skalková, DrSc. OBECNÁ DIDAKTIKA 2., rozšíøené a aktualizované vydání Vydala Grada Publishing, a.s. U Prùhonu 22, 170 00 Praha
VíceSkalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.
Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný
VíceRekurze - tvorba a zápis algoritmů v jazyce Pascal
Rekurze - tvorba a zápis algoritmů v jazyce Pascal 1 Autor kurzu Zbyněk Hamerník 2 Vyučovací předmět (volitelný) seminář z IVT 3 Ročník maturitní ročník gymnázia 4 Téma Vysvětlení myšlenky rekurze, užití
VíceA B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 6. 4 Klíčové kompetence.
A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 6. 4 Klíčové kompetence Výstupy Učivo Průřezová témata Evaluace žáka Poznámky (Dílčí kompetence) 5 Kompetence
VíceRybí pásma - zákonitosti
Tabulka přípravy učební jednotky s cíli v oblasti průřezových témat a čtenářství Učební jednotka Příprava na vyučování přírodopisu s cíli v oblastech matematika, EV a čtenářství Název učební jednotky (téma)
VíceR O Z S U D E K J M É N E M R E P U B L I K Y
7 As 148/2012-28 ČESKÁ REPUBLIKA R O Z S U D E K J M É N E M R E P U B L I K Y Nejvyšší správní soud rozhodl v senátě složeném z předsedkyně JUDr. Elišky Cihlářové a soudců JUDr. Karla Šimky a JUDr. Jaroslava
VíceO teleskopických součtech a součinech
O teleskopických součtech a součinech JAROSLAV ŠVRČEK Přírodovědecká fakulta UP, Olomouc Stanovení součtusoučinu) několika číselčlenů číselné posloupnosti vyhovující danému předpisu) a řešení úloh, které
VíceDODATEK č. 2 ke dni 1. 9. 2013 KE ŠKOLNÍMU VZDĚLÁVACÍMU PROGRAMU PRO OBOR OBCHODNÍ AKADEMIE
GYMNÁZIUM A STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA ZDRAVOTNICKÁ A EKONOMICKÁ VYŠKOV DODATEK č. 2 ke dni 1. 9. 2013 KE ŠKOLNÍMU VZDĚLÁVACÍMU PROGRAMU PRO OBOR OBCHODNÍ AKADEMIE Dodatkem jsou změněny skutečnosti, které vznikly
VíceAnalýza výkladu zákona o DPH
Analýza výkladu zákona o DPH Tato analýza byla vypracována s cílem odstranit jednu z často diskutovaných, nicméně stále existujících, bariér intenzivnějšího čerpání prostředků na vědu, výzkum a vývoj přicházejících
VíceVyužití aktivizačních metod ve výuce na střední škole s důrazem na společenské vědy. Blok: Ucelený přehled aktivizačních metod
Využití aktivizačních metod ve výuce na střední škole s důrazem na společenské vědy Blok: Ucelený přehled aktivizačních metod 1 Doc. Ing. Lubor Lacina, Ph.D. Mendelova universita v Brně Provozně ekonomická
Více2 Spojité modely rozhodování
2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A
VícePolynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
VíceTěleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
VícePraktikum I Mechanika a molekulová fyzika
Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK Praktikum I Mechanika a molekulová fyzika Úloha č. III Název: Proudění viskózní kapaliny Pracoval: Matyáš Řehák stud.sk.: 16 dne: 20.3.2008
VíceÚvod do teorie dělitelnosti
Úvod do teorie dělitelnosti V předchozích hodinách matematiky jste se seznámili s desítkovou soustavou. Umíte v ní zapisovat celá i desetinná čísla a provádět zpaměti i písemně základní aritmetické operace
Více