Matematika pro kombinované studium BOZO. Konzultace pátá. RNDr. Libuše Samková, Ph.D. pf.jcu.cz
|
|
- František Bartoš
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Učební texty ke konzultacím předmětu Matematika pro kombinované studium BOZO Konzultace pátá RNDr. Libuše Samková, Ph.D. pf.jcu.cz webová stránka: home.pf.jcu.cz/ lsamkova/ Obsah konzultace: Matematické modely v biologii 1
2 Matematické modelování pomocí diferenciálních rovnic Matematické modelování pomocí diferenciálních rovnic je proces hledání té správné diferenciální rovnice, která by popisovala nějaký vybraný děj. Toto modelování využívá faktu, že derivace vyjadřuje rychlost růstu, okamžitou změnu. Model radioaktivního nebo samovolného rozpadu/rozkladu Radioaktivita je přirozený nebo uměle navozený samovolný rozpad atomového jádra doprovázený radioaktivním zářením. Rychlost rozpadu je přímo úměrná množství nerozpadlých atomů(čím více atomů, tím rychleji se rozpadají). Tedy, čím je více nerozpadlých atomů, tím rychleji klesá jejich počet. Je-li y počet nerozpadlých atomů, charakterizuje proces rozpadu rovnice y = λ y, kde λ > 0 je takzvaná přeměnová konstanta. Hodnota přeměnové konstanty závisí na prvku, který se rozpadá. Známe-li počet atomů na začátku sledování(tedy y(0)), je řešením této rovnice funkce y= y(0) e λx. Často se místo přeměnové konstanty používá konstanta zvaná poločas rozpadu(=čas, zakterýserozpadnepolovinaatomů),označujemeji.mezi λa platínásledující vztah: λ= ln2. Příslušná diferenciální rovnice s využitím poločasu rozpadu má tvar y = ln2 y ařešení y= y(0) e ln2 x. Poločas rozpadu některých prvků: poloniumpo ,5sekundy olovopb minut jódi dní uranu tisíclet Analogicky je možné použít model i pro neradioaktivní rozpad, například pro rozpad toxické látky DDT. Příklad. V radioaktivním mraku po černobylské havárii(v roce 1986) bylo obsaženo cesium Cs-137, které má poločas rozpadu 33 let. Kolik cesia v půdě zůstalo do současnosti? 2
3 Řešení příkladu. Do rovnice y=y(0) e ln2 x dosadíme x= =24 y(0)=100% =33 Dostaneme řešení y=100% e ln =60%. Vpůdějestále60%cesiazčernobylskéhavárie. Poznámka k příkladu. V roce 2008 řešilo Norsko problém s ovčím masem, které obsahovalo více než 10-násobek povoleného limitu cesia. V tom roce totiž byla velká úroda hub,dokterýchsecesiumzpůdydostalo.aovcímnapastvěhoubychutnalyvícenež tráva... Příklad. DDT je toxická látka hojně používaná v 60. letech jako insekticid. V roce 1974 byla zakázána, protože se ukázalo že značně škodí lidskému zdraví. Do přírody tedy již DDT nepřibývá. Poločas rozpadu DDT je 30 let. Limit povoleného obsahu v pitnévoděje0,1 µgnalitr,tedy1gramna10000m 3 (tojebazénorozměrech100 krát100metrůahloubce1metr!).vestudnijeobsaženo0,4 µgddtnalitrvody.za jakdlouhobudemožnévoduzestudněpít? Řešenípříkladu. Poločasrozpaduje30let. Za30lettedybudevevoděpoloviční množstvíddt polovinaz0,4je0,2 µgnalitr. Zadalších30letbudevestudni polovinaz0,2,tedy0,1 µgnalitr. Voduzestudněbudemožnépítpo60letech. Radiokarbonová metoda V roce 1949 objevil americký chemik Willard Libby takzvanou radiokarbonovou metodu na určování stáří archeologických nálezů, v roce 1960 za tento objev obdržel Nobelovu cenu. Princip metody je velice jednoduchý: Do zemské atmosféry neustále dopadá kosmické záření, které způsobuje vznik radioaktivního uhlíku C-14, prvku s poločasem rozpadu 5730 let. Tento uhlík C-14 je absorbován zelenými rostlinami a potravou se dostává idotkáníživočichů. Zaživotarostlinyčiživočichasesicejeho obsahvtěledíky radioaktivnímu rozpadu snižuje, ale zároveň díky kosmickému záření a příjmu nové potravy je jeho množství okamžitě doplňováno. Dalo by se tedy říci, že v živých tkáních je množství C-14 konstantní. Když organizmus zemře, přestane C-14 přijímat(doplňovat), a tak jeho koncentrace v tkáních začne vlivem radioaktivního rozpadu klesat. Budeme-li předpokládat, že aktivita kosmického záření je stále stejná, stačí pak porovnat množství C-14 v odumřelém organizmu a množství C-14 v živém organizmu. Odtud se zjistí, kolik C-14 se rozpadlo, 3
4 a z výše uvedeného modelu dopočítat dobu, která k tomu byla zapotřebí(tedy stáří odumřelého organizmu). Kosmické záření je stabilní cca posledních let, ale situaci trochu komplikují zkoušky jaderných zbraní po roce 1945(ty množství C-14 ve vzduchu zvyšují a zkreslují tak výsledky modelu). Vzhledem k limitům daným přesností měrení obsahu C-14 ve tkáních a vzhledem k limitům daným přesností výpočtu poločasu rozpadu je radiokarbonová metoda vhodná pro určování stáří organických vykopávek s přesností na tisíce let. Příklad. V jeskyni Lascaux ve Francii byly v roce 1950 objeveny kresby namalované dřevěnými uhlíky. Obsah C-14 v těchto kresbách tvořil 14,5% oproti obsahu v živém dřevu. Jak jsou kresby staré? Řešení příkladu. Do rovnice dosadíme y=y(0) e ln2 x y=14,5(%) y(0)=100(%) =5730 Dostaneme řešení ln(0,145) 5730 x= ln2 Kresby jsou staré přibližně 16 tisíc let. = Základní populační modely Popisují počet obyvatel či počet jedinců nějakého zvířecího druhu. Základem těchto modelů je údaj, že zvířata i lidé se rozmnožují rychlostí, která je přímo úměrná jejich počtu. Malthusův zákon(tzv. model exponenciálního růstu) Velice zjednodušený model, který předpokládá, že populace je zcela izolovaná(nikdo se nestěhuje, nikdo populaci neohrožuje zvenčí) a že má vždy dostatek potravy bez ohledu na celkový počet jedinců. Model tedy zahrnuje pouze informaci, že v každém okamžiku je rychlost rozmnožování přímo úměrná aktuálnímu počtu jedinců. Rovnice tohoto modelu: y = a y, kde ajekoeficientpříméúměrnosti. Podrobněji, a=n m,kde njenatalita(poměr nověnarozenýchjedincůvpopulaci)amjemortalita(poměrúmrnosti). Je-li a >0, 4
5 znamenáto,ževpopulacisevícejedincůrodínežumírá,populaceroste. Je-li a <0, pak více jedinců umírá než se rodí, populace klesá. Známe-li stav populace v čase 0(tedy hodnotu y(0)), je řešením Malthusovy rovnice funkce y=y(0) e ax. Kromě požadavku na izolovanost populace je další nevýhodou tohoto modelu pro rostoucípopulace(a >0)jehoplatnostpouzepokrátkoudobu kdyžsepočetjedinců hodně zvýší, začne jim ubývat životní prostor a nedostává se potravy pro všechny, což má samozřejmě za následek zpomalení růstu populace. Příklad. Ve městě s 10 tisíci obyvateli je rozdíl natality a mortality 1 procento. Kolik obyvatelbypodlemalthusovamodelužiloveměstěpo10letech?zajakdlouhobybylo ve městě 20 tisíc obyvatel? Řešení příkladu. Do rovnice y= y(0) e ax dosadíme nejprve y(0)=10000 a=1%=0,01 x=10 adostaneme y=10000 e 0,01 10 = Po10letechbudeveměstě11052obyvatel. Nyní dosadíme adostaneme y(0)=10000 a=1%=0,01 y=20000 x= ln2 0,01 =69. Počet obyvatel města se podle Malthusova modelu zdvojnásobí za 69 let. Verhulstův logistický zákon(tzv. model omezeného exponenciálního růstu) Přidává do Malthusova modelu pro rostoucí populaci(n m > 0) informaci, že každé zvýšení počtu jedinců má na svědomí zmenšení komfortu(méně životního prostoru, méně potravy), a tedy pomalejší růst. 5
6 Rovnice tohoto modelu: y = a y b y 2, kde a, bjsoukonstantytakové,že y(0) < a b. Významparametrů a, bjelépevidětz jiného zápisu téže rovnice: y = by (a b y). Čímjepočetjedinců yblížehodnotě a b,tímmenšíjerozdíl a b y,atedyotopomalejší bude růst. Velikostpopulace,kterásplňujelogistickýzákon,nikdynepřekročíhodnotu a b.číslo a b určujekapacitudanépopulace. Známe-li stav populace v čase 0(tedy hodnotu y(0)), je řešením logistické rovnice funkce a y(0) y= b y(0)+ ( a b y(0) ) e. ax Poznámka. Vytvoříme-li logistický model počtu obyvatel zeměkoule na základě skutečných počtů obyvatel v 60. letech 20. století, dostaneme model popisující poměrně přesněsituacivpočtuobyvatelod60.letaždosoučasnosti. Vtomtomodeluvyjde kapacita světové populace(tedy vlastně kapacita zeměkoule) přibližně 11 miliard. Logistický model se také používá při modelování průběhu epidemií čím více je nemocných, tím méně zbývá těch zdravých, které je ještě možné nakazit. Problémem logistického modelu opět zůstává požadavek na izolovanost populace. Model mezidruhové konkurence Tento model je rozšířením logistického modelu z jedné na dvě populace. Předpokládá se, že populace jsou si podobné, mají podobné zdroje potravy, potřebují k životu podobná místa/prostředí. Pokud by byly populace izolované, z logistického modelu bychom obdrželi rovnice y 1= a 1 y 1 b 1 y 2 1 y 2 = a 2 y 2 b 2 y 2 2, kde y 1 jepočetjedincůprvnípopulaceay 2 početjedincůpopulacedruhé. Kapacita prvnípopulaceje a 1 b 1,kapacitadruhépopulace a 2 b 2. Pokud porušíme izolovanost a obě populace umístíme blízko sebe, začnou brzy využívatzdrojůsvéhosouseda. Nechť α 1 vyjadřujemírutoho,kolikzdrojů(potravy,životníhoprostoru)druhéhodruhubyrádivyužívaliijedincidruhuprvního,podobně α 2 vyjadřuje míru toho, kolik zdrojů prvního druhu by rádi využívali jedinci druhého druhu. Podrobně, α 1, α 2 (0,1,číslo1odpovídá100procentům.Údaj α 1 =1tedyznamená, žejedincůmprvníhodruhuselíbívšechnyzdrojedruhuprvního,údaj α 1 =0,5znamená, že jedincům prvního druhu se polovina zdrojů druhého druhu líbí a o zbylou polovinu nemají zájem. 6
7 Čímvícejejedincůprvníhodruhuačímvětšíjeparametr α 1,tímvícetitojedinci utiskují jedince druhého druhu, a zpomalují tak růst druhé populace. Analogicky to platíipro y 2, α 2 azpomalovánírůstuprvnípopulace.modelznázorňujícítutosituaci se nazývá modelem mezidruhové konkurence a vyjadřuje ho následující soustava diferenciálních rovnic: y 1 = a 1 y 1 b 1 y 2 1 b 1 y 1 α 2 y 2 y 2 = a 2 y 2 b 2 y 2 2 b 2 y 2 α 1 y 1. Vespeciálnímpřípadě,kdy α 1 = α 2 =1,tedyoběpopulacemohouachtějívyužívat totožné zdroje obživy i totožné lokality, dostaneme soustavu y 1= a 1 y 1 b 1 y 2 1 b 1 y 1 y 2 y 2 = a 2 y 2 b 2 y 2 2 b 2 y 2 y 1. Podrobným studiem této soustavy diferenciálních rovnic se ukázalo, že platí tzv. princip vylučovací soutěže v této soutěži dvou podobných druhů vyhraje ten druh, který má větší kapacitu. Druh s menší kapacitou vyhyne. Pokud neznáme kapacitu druhů, nedokážeme o výherci rozhodnout, výsledek soutěže totiž nemá vůbec nic společného s aktuálními velikostmi jednotlivých populací. Klidně může vyhrát i ta populace, která jevčasesetkánímenší(máménějedinců). Vobecnýchpřípadech,kdy α 1 nebo α 2 nejsourovné1,takévětšinoudojdekvyhynutí jednoho z druhů. Pouze v případě, že parametry splňují nerovnici a 2 b 2 α 2 < a 1 b 1 < a 2 b 2 přežijí obě populace a žijí společně na společném území. Model mezidruhové konkurence potvrzuje Darwinovu teorii přirozeného výběru, že ze dvou podobných druhů přežije druh s větší budoucností. Pěknou ukázkou mezidruhové konkurence v praxi je vývoj populací různých lidských ras na jednotlivých kontinentech, resp. na celé zeměkouli. 1 α 1 Volterrův model(tzv. model dravec kořist) Tento model je rozšířením Malthusova modelu na dvě populace, přičemž jedinci jedné populace jsou(výlučnou) potravou pro jedince populace druhé(kořist je potravou pro dravce). Počet jedinců populace kořisti označme w, počet dravců označme y. Malthusův model pro kořist dává rovnici w = a w, 7
8 přičemž předpokládáme, že a > 0, tj. kdyby se neobjevili dravci, populace kořisti by rostla. (Případ klesající populace kořisti nás nezajímá, to by dravcům brzy došla potrava a nebylo by co zkoumat). Tento model ovlivní přítomnost dravce, konkrétně míra kontaktů mezi dravcem a kořistí. Čím více kontaktů, tím více ulovené kořisti, která se stane potravou pro dravce. Počet kontaktů závisí na počtu dravců a počtu kořisti,čímvětšíjesoučin y w,tímjevětšíšance,žesedravecakořistněkde potkají. Upravená rovnice pro populaci kořisti má pak tvar: kde b >0. w = a w b y w, Podobně sestavíme rovnici pro populaci dravce. Vyjdeme z Malthusova modelu y = c y, kde c >0(bezpotravybypopulacedravcevymírala).Apřidámedonějinformaci,že čím více potravy dravci uloví, tím jsou v lepší kondici, méně umírají a lépe se rozmnožují. Množstvípotravyjsmejižzkoumalivminulémodstavci jetopřesnětenpočet,o který se zmenší populace kořisti, tedy b y w. Upravená rovnice pro populaci dravce má tedy tvar: y = c y+ d b y w, kde d >0. Základní model dravec kořist má tedy tvar soustavy rovnic w = a w b y w y = c y+ d b y w. Řešení této soustavy neumíme přesně spočítat, ale dá se dokázat, že řešením jsou periodické funkce se stejnou periodou(tj. počty jedinců v populacích se po nějaké době opakují). Zjednodušeně by se situace dala charakterizovat slovy: Čím více kořisti dravci uloví, tím méně jí zbyde, tím hůře se pak kořist hledá, což způsobuje zhoršení kondice dravce. Dravec ve špatné kondici méně loví, takže kořist není tolik ohrožená a její množství zase stoupá. Více kořisti znamená více potravy pro dravce, který je pak v lepšíkondici,atudížvíceloví. (Ateďznovuodzačátku). Jak již bylo zmíněno, model nelze přesně vyřešit, ale je možné přesně(a jednoduše) určit průměrný počet jedinců v jednom cyklu(periodě). Označme průměrný počet jedinců v populaci kořisti w a průměrný počet jedinců v populaci dravce y. Potom platí w= c d b y= a b. 8
9 Zajímavé je zkoumání vlivu vnějších faktorů, které stejnou měrou ovlivňují obě populace. Jsou-li dravci žraloci a kořist jejich rybí potrava, může takovým faktorem být třebarybolov lovísebezohledunadruhryb,poměrrybvsítíchtedyodpovídá poměru ryb v moři. Je-li kořist nějaký škodlivý hmyz(např. mšice) a jsou-li dravci jiný hmyz, který se těmito škůdci živí(např. slunéčko sedmitečné), může takovým faktorem být třeba insekticid, který hubí oba druhy hmyzu. Označíme-li ε intenzitu takového vnějšího vlivu, ε > 0, dostaneme model neboli w = a w b y w ε w y = c y+ d b y w ε y, w =(a ε) w b y w y = (c+ε) y+ d b y w. Pro průměrné počty jedinců v tomto modelu pak platí w= c+ε d b = c d b + ε d b > c d b y= a ε b = a b ε b < a b. Tedy, vnější vlivy, které působí stejnou měrou na dravce i kořist, snižují průměrnou populaci dravce a zvyšují průměrnou populaci kořisti. Převedeno do praxe, pravidelný rozumný odlov zvyšuje populaci drobných ryb(kvůli kterým se vlastně rybolov provádí) a snižuje populaci žraloků. Naopak, moře bez rybolovu svědčí žralokům. Tento zvláštní fakt potvrdily(a vznik Volterrova modelu vlastně iniciovaly) počty žraloků ve Středozemnímmořivletech1914až1923. Během1.světovéválkybylrybolovutlumena to mělo za následek výrazné zvýšení populace žraloků. Alarmující je závěr druhého praktického příkladu: použití insekticidu, který hubí škodlivý hmyz i jeho predátora, zvýší populaci škodlivého hmyzu!!! Tedy má přesně opačný vliv, než by se očekávalo. Ideálním přípravkem na hubení škůdců je průběžné posilování populace jeho predátora. Jako všechny jednoduché modely Volterrův model nevyhovuje zdaleka všem typům dvojic dravec kořist. Ale je pěknou ukázkou toho, jak se matematické modely postupně tvoří. 9
časovém horizontu na rozdíl od experimentu lépe odhalit chybné poznání reality.
Modelování dynamických systémů Matematické modelování dynamických systémů se využívá v různých oborech přírodních, technických, ekonomických a sociálních věd. Použití matematického modelu umožňuje popsat
VíceFunkce zadané implicitně
Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf
Vícey = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Řádková norma (po řádcích sečteme absolutní hodnoty prvků matice a z nich
Normy matic Příklad 1 Je dána matice A a vektor y: A = 2 0 3 4 3 2 y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Ověřte, že platí Ay A y (1) Ay = (4, 14, 2) T 2 2 Frobeniova norma
VíceRegresní a korelační analýza
Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)
VíceStudium kladného sloupce doutnavého výboje pomocí elektrostatických sond: jednoduchá sonda
1 Úvod Studium kladného sloupce doutnavého výboje pomocí elektrostatických sond: jednoduchá sonda V této úloze se zaměříme na měření parametrů kladného sloupce doutnavého výboje, proto je vhodné se na
Více+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity
Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní
VíceR10 F Y Z I K A M I K R O S V Ě T A. R10.1 Fotovoltaika
Fyzika pro střední školy II 84 R10 F Y Z I K A M I K R O S V Ě T A R10.1 Fotovoltaika Sluneční záření je spojeno s přenosem značné energie na povrch Země. Její velikost je dána sluneční neboli solární
Více9. Úvod do teorie PDR
9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální
VíceZdeněk Halas. Aplikace matem. pro učitele
Obyčejné diferenciální rovnice Nejzákladnější aplikace Zdeněk Halas KDM MFF UK, 2011 Aplikace matem. pro učitele Zdeněk Halas (KDM MFF UK, 2011) Obyčejné diferenciální rovnice Aplikace matem. pro učitele
VíceVektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12
Vektory a matice Lineární (ne-)závislost vektorů n zê Matice a operace s nimi Hodnost matice Determinanty. p.1/12 Lineární (ne-)závislost vektorů zê n Příklad 9.1.1 Rozhodněte, zda jsou uvedené vektory
Vícex y +30x, 12x+30 18y 18y 18x+54
MA Řešené příklady 3 c phabala 00 MA: Řešené příklady Funkce více proměnných: Extrémy.Najděteaklasifikujtelokálníextrémyfunkce f(x,y)=x 3 +9xy +5x +7y..Najděteaklasifikujtelokálníextrémyfunkce f(x,y,z)=x
VíceV praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více
9 Vícerozměrná data a jejich zpracování 9.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat, hledáme souvislosti mezi dvěmi, případně více náhodnými veličinami. V praxi pracujeme
VíceUNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE
UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Testy dobré shody Vedoucí diplomové práce: RNDr. PhDr. Ivo
VíceSkalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.
Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný
VíceBAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír
VíceN-trophy. kvalifikace KVÍK! Soòa Dvoøáèková - Kristýna Fousková - Martin Hanžl. Gymnázium, Brno-Øeèkovice. http://kvik.wz.cz
N-trophy kvalifikace KVÍK! Gymnázium, Brno-Øeèkovice http://kvik.wz.cz KVÍK! O svíèce a plamínku Svíèky jsou vyrábìny z velkého množství rùzných látek, resp. smìsí. Zhruba mùžeme svíèky rozdìlit na parafínové,
VíceMasarykova univerzita. Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n.
Masarykova univerzita Ondřej Došlý Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n. První vydání Brno 2004 Došlý Ondřej Název knihy c prof. RNDr. Ondřej Došlý, DrSc., 2005 Největší životní umění je neoptimalizovat
VíceFotoelektrický jev je uvolňování elektronů z látky vlivem dopadu světelného záření.
FYZIKA pracovní sešit pro ekonomické lyceum. 1 Jiří Hlaváček, OA a VOŠ Příbram, 2015 FYZIKA MIKROSVĚTA Kvantové vlastnosti světla (str. 241 257) Fotoelektrický jev je uvolňování elektronů z látky vlivem
VíceLosos obecný - Salmo salar
Losos obecný - Salmo salar Losos obecný je jednou z nejzajímavějších ryb. Asi nejvíce fascinoval lidi tah losů z moře na vzdálená trdliště na horním toku řek a jejich sebezničující vůle překonat všechny
Více37 MOLEKULY. Molekuly s iontovou vazbou Molekuly s kovalentní vazbou Molekulová spektra
445 37 MOLEKULY Molekuly s iontovou vazbou Molekuly s kovalentní vazbou Molekulová spektra Soustava stabilně vázaných atomů tvoří molekulu. Podle počtu atomů hovoříme o dvoj-, troj- a více atomových molekulách.
Více3. Polynomy Verze 338.
3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci
Více1/15. Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
1/15 Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu 2/15 Vsuvka: Vlastní čísla matic Definice: Bud A čtvercová matice a vektor h 0 splňující rovnici A h = λ h pro nějaké číslo λ R. Potom λ nazýváme
VíceFinanční. matematika pro každého. f inance. 8. rozšířené vydání. věcné a matematické vysvětlení základních finančních pojmů
Finanční matematika pro každého 8. rozšířené vydání J. Radová, P. Dvořák, J. Málek věcné a matematické vysvětlení základních finančních pojmů metody pro praktické rozhodování soukromých osob i podnikatelů
VíceInterdisciplinární využití pojmu voda ve výuce chemie Doc. RNDr. Marie Solárová, Ph.D., Mgr. Jiřina Janišová KCH PřF Ostravské univerzity v Ostravě
Interdisciplinární využití pojmu voda ve výuce chemie Doc. RNDr. Marie Solárová, Ph.D., Mgr. Jiřina Janišová KCH PřF Ostravské univerzity v Ostravě INTERDISCIPLINARITA A INTEGRACE Pojem interdisciplinarita
Více1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)
1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) Pravděpodobnost pojmy 1. Diskrétní pravděpodobnostní prostor(definice, vlastnosti, příklad). Diskrétní pravděpodobnostní prostor je trojice(ω, A, P), kde
VíceAnalýza a vyhodnocení. zdravotního stavu. obyvatel. města TŘEBÍČ. Zdravá Vysočina, o.s. ve spolupráci se Státním zdravotním ústavem
Analýza a vyhodnocení zdravotního stavu obyvatel města TŘEBÍČ Zdravá Vysočina, o.s. ve spolupráci se Státním zdravotním ústavem MUDr. Stanislav Wasserbauer Hana Pokorná Jihlava, září 2012 Obsah: 1 Úvod...4
VíceSvětlo v multimódových optických vláknech
Světlo v multimódových optických vláknech Tomáš Tyc Ústav teoretické fyziky a astrofyziky, Masarykova univerzita, Kotlářská 2, 61137 Brno Úvod Optické vlákno je pozoruhodný fyzikální systém: téměř dokonalý
VíceGeometrie zakřiveného prostoru aplikace s fyzikální tématikou
Gymnázium Přírodní škola, o p s Geometrie zakřiveného prostoru aplikace s fyzikální tématikou Jan Pokorný Petr Martiška, Vojtěch Žák 1 11 2012 Obsah 1 Úvod 3 2 Teoretické základy a použité metody 4 21
VíceŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM. D. Kvasničková a kol.: Ekologický přírodopis pro 7. ročník ZŠ a nižší ročníky víceletých gymnázií, 1. a 2.
Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Přírodopis 3. období 7. ročník D. Kvasničková a kol.: Ekologický přírodopis pro 7. ročník ZŠ a nižší ročníky víceletých gymnázií, 1. a 2. část Očekávané
VíceElektrotechnická fakulta
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Elektrotechnická fakulta OPTIMÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ A ŘÍZENÍ Jan Štecha Katedra řídicí techniky 1999 Předmluva Toto skriptum je určeno posluchačům 4. ročníku oboru technická
VíceSložení hvězdy. Hvězda - gravitačně vázaný objekt, složený z vysokoteplotního plazmatu; hmotnost 0,08 M ʘ cca 150 M ʘ, ale R136a1 (LMC) má 265 M ʘ
Hvězdy zblízka Složení hvězdy Hvězda - gravitačně vázaný objekt, složený z vysokoteplotního plazmatu; hmotnost 0,08 M ʘ cca 150 M ʘ, ale R136a1 (LMC) má 265 M ʘ Plazma zcela nebo částečně ionizovaný plyn,
VíceKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1
Lineární algebra 10. přednáška: Ortogonalita II Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text byl vytvořen
VíceCZ.1.07/1.5.00/34.0880 Digitální učební materiály www.skolalipa.cz. III/ 2- Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy: Číslo a název projektu: Číslo a název šablony klíčové aktivity: Označení materiálu: Typ materiálu: Předmět, ročník, obor: STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA a STŘEDNÍ ODBORNÉ UČILIŠTĚ, Česká Lípa, 28.
VíceMária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek)
Mária adloňová Fajn MATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (vorek) 0 Mgr. Mária adloňová FajnMATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (reklamní vorek) Mgr. Mária adloňová, 0 Vydavatel
VíceMatematika pro studenty ekonomie
w w w g r a d a c z vydání upravené a doplněné vydání Armstrong Grada Publishing as U Průhonu 7 Praha 7 tel: + fax: + e-mail: obchod@gradacz wwwgradacz Matematika pro studenty ekonomie MATEMATIKA PRO STUDENTY
VíceSpojitost funkcí více proměnných
Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.
VíceOperace s maticemi Sčítání matic: u matic stejného typu sečteme prvky na stejných pozicích: A+B=(a ij ) m n +(b ij ) m n =(a ij +b ij ) m n.
1 Sylvestrova věta Platí: Nechť A je symetrická matice řádu n, označme a 11 a 12... a 1i a D i = 21 a 22... a 2i.... a i1 a i2... a ii Pak A(a příslušná KF) je pozitivně definitní, právěkdyž D i >0provšechna
VíceLineární programování
Lineární programování Úlohy LP patří mezi takové úlohy matematického programování, ve kterých jsou jak kriteriální funkce, tak i všechny rovnice a nerovnice podmínek výhradně tvořeny lineárními výrazy.
Vícey n+1 = g(x n, y n ),
Diskrétní dynamické systémy 1. Úvod V následujícím textu budeme studovat chování systému diferenčních rovnic ve tvaru x n+1 = f(x n, y n ), y n+1 = g(x n, y n ), kde f a g jsou dané funkce. Tyto rovnice
VíceUNIVERZITA KARLOVA V PRAZE 3. LÉKAŘSKÁ FAKULTA (tématické okruhy požadavků pro přijímací zkoušku)
UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE 3. LÉKAŘSKÁ FAKULTA (tématické okruhy požadavků pro přijímací zkoušku) B I O L O G I E 1. Definice a obory biologie. Obecné vlastnosti organismů. Základní klasifikace organismů.
VíceEdita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY
Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................
VíceTéma: Světlo a stín. Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc
Téma: Světlo a stín Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Objekty na nebeské sféře září ve viditelném spektru buď vlastním světlem(hvězdy, galaxie) nebo světlem odraženým(planety, planetky, satelity).
VíceKaždý ekosystém se skládá ze čtyř tzv. funkčních složek: biotopu, producentů, konzumentů a dekompozitorů:
9. Ekosystém Ve starších učebnicích nalezneme mnoho názvů, které se v současnosti jednotně synonymizují se slovem ekosystém: mikrokosmos, epigén, ekoid, biosystém, bioinertní těleso. Nejčastěji užívaným
VíceOkoun říční - Perca fluviatilis
Okoun říční - Perca fluviatilis Okoun říční je značně rozšířenou rybou celého severního mírného pásu. Obývá Evropu, značnou část Asie a také Severní Ameriku. kde žije poddruh P. fluviatilis flavescens
VíceJak pracovat s absolutními hodnotami
Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.
VícePOHYBY TĚLESA V ODPORUJÍCÍM PROSTŘEDÍ
POHYBY TĚLESA V ODPORUJÍCÍM PROSTŘEDÍ Studijní text pro řešitele FO, kat. B Ivo Volf, Přemysl Šedivý Úvod Základní zákon klasické mechaniky, zákon síly, který obvykle zapisujeme vetvaru F= m a, (1) umožňuje
VíceRegistrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0553 Elektronická podpora zkvalitnění výuky CZ.1.07 Vzděláním pro konkurenceschopnost
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0553 Elektronická podpora zkvalitnění výuky CZ.1.07 Vzděláním pro konkurenceschopnost Projekt je realizován v rámci Operačního programu Vzdělávání pro konkurence
Více1991L0676 CS 11.12.2008 002.001 1. SMĚRNICE RADY ze dne 12. prosince 1991 o ochraně vod před znečištěním dusičnany ze zemědělských zdrojů (91/676/EHS)
1991L0676 CS 11.12.2008 002.001 1 Tento dokument je třeba brát jako dokumentační nástroj a instituce nenesou jakoukoli odpovědnost za jeho obsah B SMĚRNICE RADY ze dne 12. prosince 1991 o ochraně vod před
VíceSEMINÁŘ IV. Zákon jedné ceny, parita kupní síly a teorie kurzu
OKLAY K SMINÁŘŮM ŘŠNÍ SMINÁŘ IV Zákon jedné ceny, parita kupní síly a teorie kurzu ) Jaký je rozdíl mezi zákonem jediné ceny a absolutní verzí parity kupní síly? Zákon jedné ceny znamená, že na dokonale
Více6. T e s t o v á n í h y p o t é z
6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně
VíceMgr. Karel Pazourek. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.
Mnohočleny z různých stran Mgr. Karel Pazourek Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím online prostředí,
VíceVážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího
VíceOPTIKA Fotoelektrický jev TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY.
OPTIKA Fotoelektrický jev TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY. Světlo jako částice Kvantová optika se zabývá kvantovými vlastnostmi optického
VícePřírodopis - 6. ročník Vzdělávací obsah
Přírodopis - 6. ročník Časový Téma Učivo Ročníkové výstupy žák podle svých schopností: Poznámka Září Příroda živá a neživá Úvod do předmětu Vysvětlí pojem příroda Příroda, přírodniny Rozliší přírodniny
VícePOSOUZENÍ PROVOZNÍ PEZPEČNOSTI VYBRANÝCH DŘEVIN OBEC VRÁTKOV
POSOUZENÍ PROVOZNÍ PEZPEČNOSTI VYBRANÝCH DŘEVIN OBEC VRÁTKOV prosinec 2014 Lokalita Vrátkov 17 282 01 Český Brod Zhotovitel Ing. Václav Bažant Ph.D. Přehvozdí 13 281 63 Kostelec nad Černými lesy Tel.:
Více3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru
3 Vlny 3.1 Úvod Vlnění můžeme pozorovat například na vodní hladině, hodíme-li do vody kámen. Mechanické vlnění je děj, při kterém se kmitání šíří látkovým prostředím. To znamená, že například zvuk, který
VíceA0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly
Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková
VíceELEKTROMAGNETICKÁ INTERAKCE
ELEKTROMAGNETICKÁ INTERAKCE Základní informace Působení výběrové (na Q e 0) Dosah Symetrie IM částice nekonečný U(1) loc γ - foton Působení interakce: Elektromagnetická interakce je výběrová interakce.
VíceZvyšování kvality výuky technických oborů
Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita V.2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji odborných kompetencí žáků středních škol Téma V.2.18 Dřeviny Kapitola 31 Vady tvaru kmene
VíceNěkteré zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení
Přednáška 5/1 Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti 1. Binomické rozdělení Předpoklady: (a) pst výskytu jevu A v jediném pokuse P (A) = π, (b) je uskutečněno n pokusů, (c) pokusy jsou nezávislé, tj.
VíceParametrická rovnice přímky v rovině
Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou
VíceDetekční trubice typu A ke geigeru ALPHA ix Kat. číslo 109.0601
Detekční trubice typu A ke geigeru ALPHA ix Kat. číslo 109.0601 Obsah: 1. Měření velikosti dávky detekční trubicí typu A... 2 2. Statistická chyba měření... 2 3. Mez průkaznosti (NWG)...3 4. Měření kontaminace...
VíceDISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY (II)
DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY (II). Jaá je pravděpodobnost že při deseti poctivých hodech poctivou hrací ostou a) padnou samé šesty b) nepadne ani jedna šesta c) padne alespoň jedna šesta d) padnou právě
VíceSBÍRKA ŘEŠENÝCH FYZIKÁLNÍCH ÚLOH
SBÍRKA ŘEŠENÝCH FYZIKÁLNÍCH ÚLOH MECHANIKA MOLEKULOVÁ FYZIKA A TERMIKA ELEKTŘINA A MAGNETISMUS KMITÁNÍ A VLNĚNÍ OPTIKA FYZIKA MIKROSVĚTA ATOM, ELEKTRONOVÝ OBAL 1) Sestavte tabulku: a) Do prvního sloupce
VícePojistná matematika. Úmrtnostní tabulky, komutační čísla a jejich použití. Silvie Kafková
Úmrtnostní tabulky, komutační čísla a jejich použití 2015 Osnova 1 Délka života 2 Intenzita úmrtnosti 3 Úmrtnostní Tabulky 4 Komutační čísla Obsah 1 Délka života 2 Intenzita úmrtnosti 3 Úmrtnostní Tabulky
VíceNěkolik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie
Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);
VíceAplikovaná ekologie. 2.přednáška. Ekosystém, vztahy na stanovišti, vývoj
Aplikovaná ekologie 2.přednáška Ekosystém, vztahy na stanovišti, vývoj Životní prostředí ÚVOD základní pojmy životní prostředí, ekologie z čeho se skládá biosféra? ekosystém potravní závislosti, vztahy
VíceFYZIKA 4. ROČNÍK. Kvantová fyzika. Fotoelektrický jev (FJ)
Stěny černého tělesa mohou vysílat záření jen po energetických kvantech (M.Planck-1900). Velikost kvanta energie je E = h f f - frekvence záření, h - konstanta Fotoelektrický jev (FJ) - dopadající záření
VíceElektrický náboj, Elektrické pole Elektrický potenciál a elektrické napětí Kapacita vodiče
Elektrické pole Elektrický náboj, Elektrické pole Elektrický potenciál a elektrické napětí Kapacita vodiče Elektrický náboj Elektrování těles: a) třením b) přímým dotykem jevy = elektrické příčinou - elektrický
VíceVybrané problémy lineární algebry v programu Maple
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple Vedoucí bakalářské práce: RNDr.
VíceVÝVOJ KOJENECKÉ ÚMRTNOSTI V ČESKÉ REPUBLICE V LETECH 1950-2011
RELIK 213. Reprodukce lidského kapitálu vzájemné vazby a souvislosti. 9. 1. prosince 213 VÝVOJ KOJENECKÉ ÚMRTNOSTI V ČESKÉ REPUBLICE V LETECH 195-211 Jana Langhamrová Abstrakt Kojenecká úmrtnost se v posledních
Více. Určete hodnotu neznámé x tak, aby
Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 015 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 1 1. Původní cena knihy byla 50 Kč. Pak byla zdražena o 15 %. Jelikož nešla
VíceKapacita. Gaussův zákon elektrostatiky
Kapacita Dosud jsme se zabývali vztahy mezi náboji ve vakuu. Prostředí mezi náboji jsme charakterizovali permitivitou ε a uvedli jsme, že ve vakuu je ε = 8,854.1-1 C.V -1.m -1. V této kapitole se budeme
VíceVeličiny- základní N A. Látkové množství je dáno podílem N částic v systému a Avogadrovy konstanty NA
YCHS, XCHS I. Úvod: plán přednášek a cvičení, podmínky udělení zápočtu a zkoušky. Základní pojmy: jednotky a veličiny, základy chemie. Stavba atomu a chemická vazba. Skupenství látek, chemické reakce,
Více1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.
2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:
VíceJazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
VíceŘešení úloh 1. kola 49. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie C
Řešení úloh kola 49 ročníku fyzikální olympiády Kategorie C Autořiúloh:IČáp6),JJírů5),Kapoun),IVolf3)aPŠedivý,7) 4 úloha převzata z oskevské regionální FO 6 a) Celkovýpohybtělískasestávázvolnéhopádupodobu
VíceFAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004
PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 003 004 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO M 0030 Vyjádřete jedním desetinným číslem (4 ½ 4 ¼ ) (4 ½ + 4 ¼ ) Správné řešení: 0,5 Zjednodušte výraz : ( 4)
VíceReference 10. Předpokládejme stavový popis spojitého, respektive diskrétního systému
Módy systému Teorie dynamických systémů Obsah Úvod 2 Příklady 2 3 Domácí úlohy 8 Reference Úvod Řešení stavových rovnic Předpokládejme stavový popis spojitého, respektive diskrétního systému ẋ(t)=ax(t)+bu(t)
VíceAstronomická pozorování
KLASICKÁ ASTRONOMIE Astronomická pozorování Základní úloha při pozorování nějakého děje, zejména pohybu těles je stanovení jeho polohy (rychlosti) v daném okamžiku Astronomie a poziční astronomie Souřadnicové
Vícezejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.
Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít
VíceExperimentální metody EVF II.: Mikrovlnná
Experimentální metody EVF II.: Mikrovlnná měření parametrů plazmatu Vypracovali: Štěpán Roučka, Jan Klusoň Zadání: Měření admitance kolíku impedančního transformátoru v závislosti na hloubce zapuštění.
VíceELEKTROSTATICKÉ POLE V LÁTKÁCH
LKTROSTATIKÉ POL V LÁTKÁH A) LKTROSTATIKÉ POL V VODIČÍH VODIČ látka obsahující volné elektrické náboje náboje se po vložení látky do pole budou pohybovat až do vytvoření ustáleného stavu, kdy je uvnitř
Více1 ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI TECHNICKÝCH MATERIÁLŮ Vlastnosti kovů a jejich slitin jsou dány především jejich chemickým složením a strukturou.
1 ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI TECHNICKÝCH MATERIÁLŮ Vlastnosti kovů a jejich slitin jsou dány především jejich chemickým složením a strukturou. Z hlediska použitelnosti kovů v technické praxi je obvyklé dělení
VíceVše, co jste chtěli vědět o KŽP, ale nikdo Vám neřekl
Martin Podávka, pro www.penize.cz prosinec 2004 Vše, co jste chtěli vědět o KŽP, ale nikdo Vám neřekl 1) Kapitálové životní pojištění 2) Druhy KŽP 3) Rezerva a odbytné u KŽP 4) Podíl na zisku u KŽP 5)
Více2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC
22 SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC V této kapitole se dozvíte: jak je definováno sčítání matic a jaké má základní vlastnosti jak je definováno násobení matic číslem a jaké má základní vlastnosti zda a proč se
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
VíceČesko ORGANICKÉ MINERÁLY BIOGENNÍ PRVKY VÁPNÍK, ŽELEZO, JÓD, ZINEK, SELÉN,
Česko ORGANICKÉ MINERÁLY BIOGENNÍ PRVKY VÁPNÍK, ŽELEZO, JÓD, ZINEK, SELÉN, CHRÓM, Calcium, Magnesium Organické Minerály ORGANICKÉ MINERÁLY Zásadní zvláštností všech přípravků linie «Organické minerály»
VíceOBECNÁ CHEMIE František Zachoval CHEMICKÉ ROVNOVÁHY 1. Rovnovážný stav, rovnovážná konstanta a její odvození Dlouhou dobu se chemici domnívali, že jakákoliv chem.
VíceLogaritmické a exponenciální funkce
Kapitola 4 Logaritmické a exponenciální funkce V této kapitole se budeme zabývat exponenciálními a logaritmickými funkcemi. Uvedeme si definice vlastnosti a vztah mezi nimi. 4.1 Exponenciální funkce Exponenciální
VíceY36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz
Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat Róbert Lórencz 1. přednáška Úvod http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Róbert Lórencz (ČVUT FEL, 2007) Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování
VíceSMRK ZTEPILÝ PŘEČTI SI TEXT A POTÉ VYŘEŠ ÚKOLY: 1. SMRK POCHÁZÍ Z: a) VYŠŠÍCH NADMOŘSKÝCH VÝŠEK, b) STŘEDNÍCH POLOH, c) NÍŽIN.
SMRK ZTEPILÝ PŘEČTI SI TEXT A POTÉ VYŘEŠ ÚKOLY: V 18. STOLETÍ SE KVŮLI VELKÉ SPOTŘEBĚ DŘEVA ZAČALY ZAKLÁDAT UMĚLÉ LESY A TO ZE SMRKU, PROTOŽE TEN RYCHLE ROSTE A TO SE VYPLATÍ TĚM, KDO HO CHTĚJÍ RYCHLE
VíceZákladní škola Fr. Kupky, ul. Fr. Kupky 350, 518 01 Dobruška 5.6 ČLOVĚK A PŘÍRODA - 5.6.3 PŘÍRODOPIS - Přírodopis - 7. ročník
OBECNÁ BIOLOGIE A GENETIKA RVP ZV Obsah 5.6 ČLOVĚK A PŘÍRODA 5.6.3 PŘÍRODOPIS Přírodopis 7. ročník RVP ZV Kód RVP ZV Očekávané výstupy ŠVP Školní očekávané výstupy ŠVP Učivo P9101 rozliší základní projevy
VíceSolární elektrárna Struhařov
Středoškolská technika 2010 Setkání a prezentace prací středoškolských studentů na ČVUT Solární elektrárna Struhařov Jaroslav Mašek Střední zdravotnická škola Benešov Máchova 400, Benešov Úvod Získávání
VíceMatice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami.
Maticové operace Definice Skalár Představme si nějakou množinu, jejíž prvky lze sčítat a násobit. Pěkným vzorem jsou čísla, která už známe od mala. Prvky takové množiny nazýváme skaláry. Matice Matice
VíceOtevřená ekonomika, měnový kurz
Otevřená ekonomika, měnový kurz Obsah přednášky Determinace úrovně rovnovážné produkce v otevřené ekonomice Nominální a reálný měnový kurz Determinace měnového kurzu v krátkém a dlouhém období Úroková
VíceAplikační úlohy z geometrie
Aplikační úlohy z geometrie JANA HROMADOVÁ Matematicko fyzikální fakulta UK, Praha Na Katedře didaktiky matematiky MFF UK v Praze vzniká sbírka aplikačníchúloh 1 zmatematiky.cílemtohotočlánkujepředstavitněkolik
VíceSoučin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.
Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak
Více3.2. Elektrický proud v kovových vodičích
3.. Elektrický proud v kovových vodičích Kapitola 3.. byla bez výhrad věnována popisu elektrických nábojů v klidu, nyní se budeme zabývat pohybujícími se nabitými částicemi. 3... Základní pojmy Elektrický
Vícec sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.
9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte
Více