Aritmetika s didaktikou I.

Transkript

1 Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM / Přednáška Struktury se dvěma binárními operacemi

2 O čem budeme hovořit: opakování struktur s jednou operací struktury se dvěma operacemi

3 Struktury s jednou binární operací Opakování

4 Přehled vlastností struktur s jednou binární operací Název struktury [M; O] (komutativní) grupoid (komutativní) pologrupa (komutativní) monoid (komutativní) grupa Vlastnosti operace O v M (K) Ú (K) Ú A (K) Ú A N (K) Ú A N I

5 Matematické struktury se dvěma binárními operacemi

6 Definice (komutativního) polookruhu Strukturu [ M; O ; O ] budeme nazývat (komutativním) polookruhem právě tehdy, když struktura [ M; O ] je komutativní pologrupa, struktura [ M; O ] je (komutativní) pologrupa, operace O je distributivní vzhledem k O. Příklady: [ N ; + ;. ] je komutativní polookruh, [ Pot(A) ; ; ] je komutativní polookruh, atd.

7 Definice (komutativního) okruhu Strukturu [ M; O ; O ] budeme nazývat (komutativním) okruhem právě tehdy, když struktura [ M; O ] je komutativní grupa, struktura [ M; O ] je (komutativní) pologrupa, operace O je distributivní vzhledem k O. Příklady: [ Z ; + ;. ] je komutativní okruh, [ Pot(A) ; ; ] není okruh, atd.

8 Poznámka k významům znaménka minus v okruhu [ Z ; + ;. ] Celáčísla zapisujeme takto:, -, -, -,, +, +, +,.. Znaménko minus se užívá ve třech významech: ) jako součást označení zápornýchčísel, například - nebo -, ) jako označení pro unární operaci, kteráčíslu přiřazuje inverzní prvek vzhledem ke sčítání (tzv. opačný prvek), například (+) = - nebo (-9) = +9 ) jako označení pro binární operaci odčítání, která je definována pomocí opačných prvků: a b = a + ( b), například - (-9) = - + ( (-9) ) = - + (+9) = +6

9 Poznámka o nulovém prvku Uvažujme libovolný okruh [ M; ; # ] a označme neutrální prvek první operace symbolem n. Tomuto prvku se říká nulový prvek. Jak se nulový prvek n chová při druhé operaci? Pro libovolné x M jistě platí: (x # n) n = x # n = x # (n n) = (x # n) (x # n), a odtud krácením # n a b c x # n = n. n n n n n Podobně platí a n n # x = n. b n Nulový prvek je tedy c n oboustranně agresivní.

10 Definice dělitelů nuly a oboru integrity Nechť je dán okruh [ M; + ;. ] s nulovým prvkem. Pak jsou dvě logické možnosti: buď ( a,b M) a.b = a b, () anebo ( a,b M) a.b = a = b =. () V prvním případě, když platí (), nazýváme čísla a, b děliteli nuly, a okruh [ M; + ;. ] okruhem s děliteli nuly. V druhém případě, když platí (), v okruhu [ M; + ;. ] neexistují dělitelé nuly a okruh [ M; + ;. ] nazýváme oborem integrity.

11 Příklady oborů integrity ) Okruh [ Z ; + ;. ] s operacemi sčítání a násobení, které jsou definovány těmito tabulkami, je obor integrity. + ) Okruh [ Z ; + ;. ] je také obor integrity. Podmínku pro obor integrity lze přeformulovat do tvaru ( a,b M) a b a.b.

12 Příklad okruhu s děliteli nuly Nechť je dán okruh [ Z 6 ; + ;. ], operace sčítání a násobení jsou dány těmito tabulkami: + Děliteli nuly v okruhu [ Z 6 ; + ;. ] jsou prvky, a.

13 Druhá poznámka o nulovém prvku Uvažujme libovolný okruh [ M; ; # ] s nulovým prvkem n. Již víme, že platí: ( M) n # x = x # n = n. Předpokládejme, že v M existuje neutrální prvek i druhé operace # (budeme mu říkat jednotkový prvek a budeme ho označovat e). Předpokládejme ještě, že = n e. O inverzních prvcích u druhé operace obecně víme, že x # x - = x - # x = e, pro inverzní prvek k nulovému prvku by tedy muselo být n # n - = n - # n = e, což není možné. Nulový prvek n tedy nemá inverzní prvek vzhledem k #.

14 Definice (komutativního) tělesa Strukturu [ M; O ; O ] budeme nazývat (komutativním) tělesem právě tehdy, když struktura [ M; O ] je komutativní grupa (s neutrálním prvkem n) struktura [ M-{n}; O ] je (komutativní) grupa, operace O je distributivní vzhledem k O. Příklady: [ Q ; + ;. ] je komutativní těleso, [ Z ; + ;. ] je komutativní těleso, [ D ; + ;. ] není těleso, atd.

15 Vztah mezi tělesy a obory integrity Dokažme, že každé těleso je oborem integrity. Musíme tedy prokázat, že v žádném tělese neexistují dělitelé nuly. Dokážeme to sporem. Předpokládejme tedy (na chvíli), že v tělese [ M; + ;. ] s nulovým prvkem existují prvky a, b takové, že platí a.b = a b. Protože b, existuje inverzní prvek b -, a pak ( a. b ). b - =. b - a. ( b. b - ) = a =, což je spor!!!

16 Přehled vlastností struktur se dvěma binárními operacemi Název struktury [M; ; #] Vlastnosti [M; ] Vlastnosti [M; #] Další vlastnosti (komutativní) polookruh komutativní pologrupa (komutativní) pologrupa distributivita (komutativní) okruh komutativní grupa (komutativní) pologrupa distributivita (komutativní) obor integrity komutativní grupa (komutativní) pologrupa distributivita, neexistence dělitelů nuly (komutativní) těleso komutativní grupa (komutativní) grupa (!!) distributivita

17 Děkuji za pozornost