Využití neškolských strategií pro řešení úloh v matematice na 2. a 3. stupni

Transkript

1 Využití neškolských strategií pro řešení úloh v matematice na 2. a 3. stupni Jarmila Novotná Univerzita Karlova, Pedagogická fakulta 1

2 Úvod: Řešení úloh Všeobecně přijímáno: Základem úspěšného vyučování matematice je řešení úloh Řešení vhodných úloh pomáhá rozvoji tvořivosti, jejímu rozšiřování a kultivaci Řešení úloh je ukazatelem stavu uchopení myšlenek, se kterými se žáci seznamují Dovednost řešit úlohy se rychle zvětšuje, když řešitel získává nové zkušenosti s touto činností Výkony žáků při řešení se zlepšují, když se opakovaně setkávají s úlohami podobného typu, v případě, že mohou použít své předchozí zkušenosti 2

3 Úvod: Tradiční pojetí matematiky ve škole Učitelé používají úlohy hlavně jako nástroje pro testování, které pomáhají učiteli rozlišit mezi žáky, kteří rozumějí látce a těmi, kteří neuspěli Žáci vidí úlohy hlavně jako nástroj na hodnocení Ale Řešení úloh je ukazatelem stavu porozumění pojmům, kterým se žáci učí Úlohy pomáhají řešitelům rozhodnout, které předchozí znalosti lze aplikovat v nové situaci, jakou roli tato znalost hraje, která znalost je neužitečná nebo dokonce chybná a stává se překážkou pro další 3 rozvoj jejich znalostí a dovedností

4 Úvod: Pozorování z českých škol Žáci (ale i někdy učitelé) dávají přednost úlohám, u kterých je zřejmé, který řešitelský algoritmus je při jejich řešení vhodné použít, kde nejsou pochyby o vhodném algoritmu Odpadá hledání vhodného algoritmu a často zdlouhavá a obtížná cesta k porozumění úloze Role učitele se zjednodušuje na pouhé odhalení míst, kde žáci udělali chyby, a na ohodnocení správnosti jejich řešení 4

5 Úvod: Pozorování z českých škol Jestliže učitel zadává úlohy, pro něž je nalezení vhodného algoritmu snadné, případně napoví vhodný řešitelský postup, pak: Žáci tak místo řešení úlohy aplikují algoritmus, který volí podle signálů ve formulaci zadání Selhávají pak při řešení nestandardních úloh, jejichž formulace neobsahuje to, na co jsou zvyklí a čím se při volbě řešitelského postupu obvykle řídí Cítí se bezmocní, jestliže je jim zadána úloha, která je atypická, neobvyklá nebo je vložena do kontextu, jenž je pro žáky neznámý Tato situace je velice častá u aplikačních úloh, kdy žáci mají matematiku použít k řešení problémů z reálného 5 života, z praxe

6 Úvod: Jak situaci zlepšit? Vyučování matematice založené na řešení úloh bez předávání hotových poznatků žákům 6

7 7

8 Pokus ověření korekce Jde o strategii, při které nejprve na základě našich zkušeností odhadneme řešení předložené úlohy. Následně ověříme, zdali toto řešení vyhovuje zadání. Další případný odhad již uděláme na základě toho, jak vyšel předchozí výsledek. Takto postupujeme dále až do nalezení řešení. 8

9 Pokus ověření korekce: příklad Určete dvě po sobě následující lichá přirozená čísla tak, aby jejich součin byl 323. V tabulce volíme postupně obě lichá čísla a zkoumáme jejich součin. Podle posledního sloupce se pak rozhodujeme, zda čísla zvětšíme nebo zmenšíme, dokud nezískáme řešení. První liché číslo Druhé liché číslo Součin čísel Je to číslo 323? Není. To je (hodně) málo Není. To je málo Není. To je moc Není. To je moc Ano. To je ono. Hledanými čísly jsou čísla 17 a 19. Upraveno z učebnice Matematika 8, Cihlář J., Zelenka M., Praha 1998, str. 89/12 9

10 Systematické experimentování Systematické experimentování je strategie, při které se pokoušíme nalézt řešení úlohy pomocí jednotlivých experimentů. Nejprve vhodně aplikujeme algoritmus, pomocí kterého se snažíme vyřešit úlohu. Pak systematicky měníme vstupní hodnoty algoritmu tak dlouho, až nalezneme správné řešení. 10

11 Systematické experimentování: příklad Část lístků do divadla stála 220 Kč a část byla po 160 Kč. Kolik bylo kterých, jestliže celková cena za 97 lístků byla Kč? Počet lístků za cenu 220 Kč Cena v Kč Počet lístků za cenu 160 Kč Cena v Kč Využijeme tabulkový procesor (tabulka krácena) Celkem v Kč V divadle prodali 63 lístků po 220 Kč a 34 lístků po 160 Kč. 11

12 Strategie analogie Analogie je určitý druh podobnosti. Máme-li řešit zadanou úlohu, najdeme si analogickou úlohu, tj. úlohu, která bude pojednávat podobným způsobem o analogickém objektu. Pokud se nám podaří tuto novou úlohu vyřešit, nebo pokud její řešení známe, můžeme často metodu jejího řešení nebo výsledek použít i při řešení původní úlohy. 12

13 Strategie analogie: příklad Na ujetí 420 km spotřebovalo auto 29 l benzínu. Jaká je jeho průměrná spotřeba benzínu na 100 km? 13

14 Přeformulování úlohy Při použití této strategie přeformulujeme zadanou úlohu na novou, někdy zcela jinou, úlohu, která je pro nás snadnější k řešení a jejíž řešení je buď přímo řešením původní úlohy, nebo nám její řešení podstatně přibližuje. Speciálním a velmi důležitým případem této strategie je překlad úlohy z jednoho matematického jazyka do jazyka jiného. Klasické úlohy geometrie, jako byla např. trisekce úhlu, se podařilo vyřešit ve chvíli, kdy byly přeloženy do jazyka algebry. 14

15 Přeformulování úlohy: příklad 15

16 Řešitelský obrázek Při použití grafické cesty si obvykle úlohu znázorníme pomocí tzv. řešitelského obrázku. V něm vyznačíme to, co je dáno, a často i to, co chceme získat. Někdy nás již pomocí tohoto znázornění napadne řešení dané úlohy (příklad A). Ve většině případů však s obrázkem různě manipulujeme (např. dokreslujeme vhodné pomocné prvky) a pomocí takto doplněného obrázku úlohu vyřešíme (příklad B). 16

17 Řešitelský obrázek: příklad A Na začátku měla Marie o 10 Kč více než Pavla. Obě získaly další peníze. Pavle se podařilo do dnešního dne svou částku zdvojnásobit, Marii přibylo 20 Kč. Nyní mají obě stejně. Kolik Kč měla každá z nich na začátku? 17

18 Řešitelský obrázek: příklad A Na začátku měla Marie o 10 Kč více než Pavla. Obě získaly další peníze. Pavle se podařilo do dnešního dne svou částku zdvojnásobit, Marii přibylo 20 Kč. Nyní mají obě stejně. Kolik Kč měla každá z nich na začátku? Na začátku měla Pavla 30 Kč a Marie 40 Kč. 18

19 Řešitelský obrázek: příklad B Mějme čtverec vepsaný do kruhu, přičemž tento kruh je vepsán do čtverce. Určete, jaký obsah většího čtverce zaujímá menší čtverec: Pomocí vhodného otočení menšího čtverce (viz obr.) a doplnění jeho úhlopříček úlohu již snadno vyřešíme. Menší čtverec zaujímá polovinu obsahu většího čtverce. Poznámka: Při řešení této úlohy jsme využili i strategii pomocného prvku (úhlopříčky menšího čtverce). 19

20 Využití grafů funkcí Pokud jsou v zadání úlohy funkce nebo pokud se při jejím řešení ukáže, že je vhodné nějaké funkce zavést, pak je obvykle vhodné si sestrojit grafy těchto funkcí. Takovéto grafy často velmi podstatným způsobem přispějí k nalezení řešení dané úlohy. 20

21 Využití grafů funkcí: příklad 21

22 Vypuštění podmínky Pokud nejsme schopni při řešení nějaké úlohy splnit najednou všechny požadované podmínky dané úlohy, můžeme se pokusit některou z nich (či postupně i více z nich) vypustit. Pokud se nám povede takto oslabenou úlohu vyřešit, k vypuštěné podmínce se vrátíme a úlohu se pokusíme dořešit. Typickými úlohami tohoto typu jsou úlohy řešitelné pomocí stejnolehlosti. 22

23 Vypuštění podmínky: příklad Sestrojte obdélník ABCD, jehož strany jsou v poměru 3 : 2 a jehož úhlopříčka má délku 7 cm. Vypustíme-li podmínku úhlopříčka má délku 7 cm, dostáváme velmi jednoduchou úlohu. Sestrojíme obdélník AKLM, jehož strany budou mít délku např. 3 cm a 2 cm. Hledaný obdélník je pak se sestrojeným obdélníkem stejnolehlý podle středu A. Vrchol C tedy leží na polopřímce AL ve vzdálenosti 7 cm od vrcholu A. Další část konstrukce je zřejmá. 23

24 Cesta zpět Předpokládáme, že to, co máme dokázat, resp. vypočítat, zkonstruovat, platí, resp. existuje. Pak se snažíme z toho předpokladu odvodit něco, co už víme nebo co se dá snadno dokázat, resp. vypočítat či zkonstruovat. Od koncové situace se tak snažíme přiblížit se co nejvíc k situaci počáteční. Postup pak v konečném důkazu, výpočtu či konstrukci obrátíme. Jedná se o strategii poměrně často v matematice používanou (viz např. rozbor konstrukční úlohy v geometrii nebo rozbor při konstrukci důkazu věty, která má stavbu implikace). Nemusíme však pomocí ní nalézt celou cestu, jak danou úlohu vyřešit. 24

25 Cesta zpět: příklad 25

26 Zobecnění a konkretizace Těmto dvěma strategiím by se ve školské matematice měla věnovat mimořádná pozornost, protože obě stojí v samotném centru toho, čemu se říká matematické myšlení. Velmi úzce spolu souvisejí, skoro by se dalo říci, že jsou to dvě strany téže mince. Máme zadanou úlohu. Někdy se ukáže, že pomocí její konkretizace dostaneme úlohu, kterou umíme vyřešit a že pomocí tohoto řešení dokážeme vyřešit i původní úlohu. Návrat k původní úloze pak představuje zobecnění (příklad A). Někdy naopak zadanou úlohu zobecníme a dostaneme tak úlohu, kterou jsme schopni vyřešit. Pomocí konkretizace se pak následně vrátíme k úloze původní (příklad B). 26

27 Zobecnění a konkretizace: příklad A 27

28 28

29 Zobecnění a konkretizace: příklad B Konkretizací pro n = 124 dostáváme řešení naší úlohy. 29

30 Zavedení pomocného prvku Při řešení matematických úloh se někdy ukazuje vhodné do tohoto řešení vložit pomocný prvek. Můžeme při tom být vedeni např. přesvědčením, že tím převedeme danou úlohu na úlohu, kterou jsme již dříve řešili, nebo že vznikne jednodušší úloha, kterou již budeme schopni vyřešit. Takovým pomocným prvkem při řešení geometrických úloh může být např. bod nebo přímka, někdy to však může být i složitější geometrický útvar. V algebře při řešení rovnic to obvykle bývá nová proměnná, kterou zavedeme. Často pak mluvíme o řešení rovnice pomocí substituce. 30

31 Zavedení pomocného prvku: příklad T a Převzato z Novoveský, Š., Križalkovič, K., Lečko, I. (1968). 777 matematických zábaviek a hračiek z učiva ročníka zákl. devätročnej školy. Bratislava: SPN. T a 31

32 Zavedení pomocného prvku: příklad T a 32

33 Rozklad na jednodušší případy Při této metodě rozložíme zadanou úlohu na několik jednodušších úloh, které vyřešíme. Řešení zadané úlohy dostaneme spojením řešení všech jednodušších úloh. Tato strategie se ve školské matematice typicky používá při řešení rovnic nebo nerovnic s absolutními hodnotami. 33

34 Rozklad na jednodušší případy: příklad Na obrázku je vyznačen rovnoběžník. Vrcholem A veďte dvě přímky tak, abyste tento rovnoběžník rozdělili na tři části stejného obsahu. Rozdělme uvažovaný rovnoběžník úhlopříčkou vycházející z vrcholu A na dva shodné trojúhelníky. Uvažujme např. trojúhelník ABC a pokusme se rozložit jej na tři shodné části. 34

35 Rozklad na jednodušší případy: příklad Na obrázku je vyznačen rovnoběžník. Vrcholem A veďte dvě přímky tak, abyste tento rovnoběžník rozdělili na tři části stejného obsahu. Zadání jednodušší úlohy: Vrcholem A trojúhelníku ABC veďte dvě přímky tak, abyste tento trojúhelník rozdělili na tři části stejného obsahu. 35

36 Rozklad na jednodušší případy: příklad Na obrázku je vyznačen rovnoběžník. Vrcholem A veďte dvě přímky tak, abyste tento rovnoběžník rozdělili na tři části stejného obsahu. Řešení jednodušší úlohy: Rozdělit stranu BC dvěma body na tři shodné části. Návrat k původní úloze: 36

37 Užití falešného předpokladu Strategie řazená mezi experimentování Řešitel na začátku určí odhad výsledku, u kterého si je však vědom toho, že je pravděpodobně nesprávný (falešný). Provede ověření, v rámci kterého zjistí nejen, jestli jeho hodnota vyhovuje zadání úlohy (tak jak to probíhá i u strategií Pokus Ověření Korekce a Systematické experimentování), ale i to, jak moc se od hodnoty požadované liší. Přesněji řečeno, kolikrát je požadovaná hodnota jiná než hodnota námi získaná. Na základě tohoto zjištění provede úpravu předpokládaného výsledku. Podstatný je však charakter této korekce. Řešitel totiž neučiní, tak jako u strategie Pokus Ověření Korekce, další odhad, ale sofistikovaně již provede výpočet vedoucí k výsledku. 37

38 Užití falešného předpokladu Na rozdíl od jiných druhů experimentování tato strategie není univerzální, ale je specifická pro určité typy úloh. Mezi tyto úlohy patří ty, u kterých se v zadání objevuje určitá hodnota, která má poměrový vztah k námi hledané hodnotě. Z matematického pohledu v pozadí těchto úloh stojí linearita vztahů. Na mysli tedy máme úlohy, kde výstupní hodnoty jsou lineárně závislé na vstupních hodnotách. Určením koeficientu podobnosti získáme údaj, jak změnit námi předpokládanou hodnotu výsledku (falešný předpoklad). 38

39 Užití falešného předpokladu: příklad 39

40 Tvorba úloh byla podpořena grantem GAČR P407/12/