Analogové elektronické obvody Přednášky

Transkript

1 FAKLTA ELEKTROTECHNIKY A KOMNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ ČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Analogové elektronické obvody Přednášky Garant ředmětu: rof. Ing. Dalibor Biolek, CSc. Autoři textu: rof. Ing. Dalibor Biolek, CSc. rof. Ing. Karel Hájek, CSc. doc. Ing. Antonín Krtička, CSc. Brno 3.. 7

2 FEKT Vysokého učení technického v Brně Obsah ÚVOD... 3 ZAŘAZENÍ PŘEDMĚT VE STDIJNÍM PROGRAM ÚVOD DO PŘEDMĚT VSTPNÍ TEST ÚVOD DO ANALOGOVÝCH ELEKTRONICKÝCH OBVODŮ A SIGNÁLŮ ELEKTRICKÉ SIGNÁLY ELEKTRICKÉ SYSTÉMY A OBVODY... 7 SHRNTÍ A ZOBECNĚNÍ:... 9 KONTROLNÍ OTÁZKY A PŘÍKLADY KE KAPITOLE ELEKTRICKÉ OBVODY A JEJICH MODELY ZÁKLADNÍ POJMY Stejnosměrný racovní bod... SHRNTÍ A ZOBECNĚNÍ: Pohyb bodu Q vlivem zracovávaného signálu... 5 SHRNTÍ A ZOBECNĚNÍ: Pohyb bodu Q vlivem telotních a dalších změn Chování nelineárního obvodu ři kombinovaném buzení omalým a rychlým signálem OBVOD V NELINEÁRNÍM REŽIM Působení jednoho harmonického signálu Působení dvojice harmonických signálů o různých kmitočtech... 3 SHRNTÍ A ZOBECNĚNÍ: LINEARIZOVANÝ MODEL OBVOD Linearizovaný model obvodu Linearizovaný odorový model nelineárního rvku Linearizovaný kmitočtově závislý model nelineárního rvku Pásmo tzv. středních kmitočtů Obvody rakticky lineární... 4 SHRNTÍ A ZOBECNĚNÍ: OBVOD V LINEÁRNÍM REŽIM Harmonický ustálený stav (HS) Periodický ustálený stav (PS) Modifikace sektra signálu lineárním obvodem Průchod signálu lineárním obvodem Lineární zkreslení. Podmínky nezkresleného řenosu Kmitočtová filtrace jako říklad využití lineárního zkreslení LINEÁRNÍ DVOJBRANY Co je to dvojbran Rovnice neautonomního dvojbranu rčování dvojbranových arametrů ze stavů narázdno a nakrátko Parametry vybraných jednoduchých dvojbranů Modelování dvojbranů omocí řízených zdrojů Zvláštní druhy dvojbranů Sojování dvojbranů... 7 SHRNTÍ A ZOBECNĚNÍ: Obrazové imedance dvojbranu SHRNTÍ A ZOBECNĚNÍ: OBECNÉ VLASTNOSTI LINEÁRNÍCH OBVODŮ A NÁSTROJE PRO JEJICH POPIS ZÁKLADNÍ POJMY Princi suerozice a jeho důsledky Stav, očáteční odmínky a řád lineárního obvodu Vynucená, řirozená a celková odezva lineárního obvodu Stabilita lineárního obvodu... 89

3 Analogové elektronické obvody - řednášky 3 5. ZÁKLADNÍ PŘENOSOVÉ CHARAKTERISTIKY LINEÁRNÍHO OBVOD A JEJICH POŽITÍ Kmitočtová, imulsní a řechodová charakteristika a oerátorová řenosová funkce Přechodová a imulsní charakteristika a jejich vztah ke kmitočtové charakteristice Stanovení vynucené odezvy obvodu z imulsní a řechodové charakteristiky Oerátorová řenosová funkce, její vlastnosti a její vztah k ostatním charakteristikám obvodu SHRNTÍ: VSTPNĚ VÝSTPNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE (DR) LINEÁRNÍHO OBVOD Motivační říklad Základní vlastnosti DR lineárního obvodu Vztah DR a řenosové funkce Fyzikální význam a vlastnosti řešení DR lineárního obvodu ZESILOVAČE PRINCIP ZESILOVAČE PARAMETRY ZESILOVAČE Lineární arametry Nelineární arametry a dynamický rozsah ZESILOVAČE A ZPĚTNÁ VAZBA - ÚVOD Klasifikace signálových zětných vazeb Vliv zětné vazby na arametry zesilovačů Stabilita zesilovačů se zětnou vazbou - arazitní oscilace TŘÍDY ZESILOVAČŮ ZÁKLADNÍ ZAPOJENÍ TRANZISTOROVÝCH ZESILOVAČŮ Hlavní arametry zesilovačů v základních zaojeních Zesilovač v zaojení se solečným emitorem Zesilovač v zaojení se solečným kolektorem (emitorový sledovač) Zesilovač v zaojení se solečnou bází VLIV TEPLOTY NA POLOH PRACOVNÍHO BOD Zětnovazební metody stabilizace racovního bodu Komenzační metody stabilizace olohy racovního bodu VÝKONOVÉ ZESILOVAČE Výkonové zesilovače ve třídě A Výkonové zesilovače ve třídě B Výkonové zesilovače ve třídě C POLEM ŘÍZENÉ TRANZISTORY V ZESILOVAČÍCH OPERAČNÍ (A DALŠÍ INTEGROVANÉ) ZESILOVAČE Ideální OZ, reálný OZ a jeho základní vlastnosti Tyy OZ a jejich základní zaojení Integrované zesilovače s řízenými roudovými zdroji Seciální integrované zesilovače a obvody s OZ OSCILÁTORY KLASIFIKACE A VLASTNOSTI GENERÁTORŮ SIGNÁLŮ A OSCILÁTORŮ PRINCIP FNKCE OSCILÁTOR SE ZÁPORNÝM ODPOREM PRINCIP FNKCE ZPĚTNOVAZEBNÍHO OSCILÁTOR OSCILÁTORY RC OSCILÁTORY ARC (S ATOMATICKO NÁSLEDNO FILTRACÍ) OSCILÁTORY LC A KRYSTALOVÉ STABILNÍ OSCILÁTORY S NASTAVITELNÝM KMITOČTEM... 8 ANALÝZA ELEKTRICKÝCH OBVODŮ METODY A NEJČASTĚJŠÍ CÍLE ANALÝZY... 4 SHRNTÍ A ZOBECNĚNÍ: METODY ANALÝZY LINEÁRNÍCH OBVODŮ Stručně o heuristických a algoritmických metodách Heuristické ostuy ři řešení obvodů s ideálními oeračními zesilovači VFA... 8 SHRNTÍ A ZOBECNĚNÍ: Heuristické ostuy ři řešení obvodů s roudovými konvejory CCII a s ideálními oeračními zesilovači CFA

4 4 FEKT Vysokého učení technického v Brně 8..4 Analýza obvodů se zesilovači OTA... 7 SHRNTÍ A ZOBECNĚNÍ: Algoritmická metoda uzlových naětí ro řešení obvodů s tranzistory... 9 SHRNTÍ A ZOBECNĚNÍ: METODY ANALÝZY NELINEÁRNÍCH OBVODŮ Přehled metod Numerické řešení nelineárních rovnic Přibližná analýza obvodů s diodami a tranzistory Analýza (nejen) nelineárních obvodů s využitím simulačních rogramů SHRNTÍ A ZOBECNĚNÍ: VYŽITÍ OPERÁTOROVÉHO POČT K ANALÝZE OBVODŮ... 4 Dodatky: 9 OPERÁTOROVÝ POČET V ELEKTROTECHNICE OŘÍZNTÝ HARMONICKÝ SIGNÁL A JEHO SPEKTRM VÝSLEDKY TESTŮ VSTPNÍ TEST KAPITOLA SEZNAM POŽITÉ LITERATRY

5 Analogové elektronické obvody - řednášky 5 Seznam obrázků Obr. 3.: Blokové schéma ředzracování analogového signálu ro účely jeho zracování v číslicovém rocesoru. DPdolní roust, SHobvod Hamle-Hold (aměťový vzorkovač), AČPtříbitový analogově číslicový řevodník, φsignál ro vzorkování a synchronizaci. Obr. 3.: Blokové schéma ostzracování číslicového signálu ro účely jeho řevodu na akustický signál. ČAPčíslicově analogový řevodník, DPdolní roust, > nízkofrekvenční zesilovač, φsignál ro vzorkování a synchronizaci. Obr. 4.: a) Tranzistor a soustava jeho naětí a roudů, b) říklad jeho začlenění do obvodu zesilovače. Obr. 4.: Příklad nelineárních vazeb mezi kolektorovým a bázovým roudem a naětím kolektor-emitor tranzistoru. Výsledek očítačové simulace v rogramu Micro-Ca. Obr. 4.3: Proces řiojení zesilovače z obr. 4. b) k naájecímu zdroji. Vstuní signál zatím neůsobí (u in V). Obvod se ustaluje do stejnosměrného ustáleného stavu a vektor obvodových veličin do racovního bodu. Všechna naětí jsou uvažována roti zemi. Výsledek očítačové simulace v rogramu Micro-Ca. Obr. 4.4: Znázornění souřadnic stejnosměrného racovního bodu zesilovače. V kroužku je hodnota naětí mezi říslušným uzlem a zemí (ve voltech), v obdélníčku ak hodnota roudu danou větví (v amérech).výsledek očítačové simulace v rogramu Micro-Ca. Obr. 4.5: Zracování harmonického signálu u in, ro nějž kaacitory C a C ředstavují zkrat. Na kaacitorech jsou ouze stejnosměrná naětí daná klidovým racovním bodem (a), časové růběhy ři amlitudě u in 5mV (b) 5mV (c) 5mV (d). Obr. 4.6: Převodní charakteristika out f( in ) modelu zesilovače z obr. 4.5a). Střídavé malosignálové zesílení je dáno strmostí řevodní charakteristiky v okolí racovního bodu Q. Při silnějším vstuním signálu již dochází k nelineárnímu zkreslení výstuu. Obr. 4.7: Zkreslení harmonického signálu nelineárním obvodem je dorovázeno rozšířením sektra signálu o harmonické složky, které nejsou obsaženy ve vstuním signálu. Obr. 4.8: Příklady nelineárních řevodních charakteristik a jejich obvodových realizací. Obr. 4.9: Princi vzniku kombinačních složek ve sektru výstuního signálu. Obr. 4.: Zjednodušení obvodu neuvažováním stejnosměrných složek signálů. Obr. 4.: Obvod s dvojicí stejnosměrných a jedním střídavým zdrojem naětí. Obr. 4.: Řešení stejnosměrných (a) a střídavých (b) oměrů v obvodu z obr. 4.. Obr. 4.3: Úlné řešení obvodu z obr. 4., souvislost mezi stejnosměrným a střídavým řešením. Obr. 4.4: Postuné zjednodušování modelu zesilovače ro řenos slabého střídavého signálu. a) Náhrada stejnosměrného zdroje naětí zkratem, b) řekreslení schématu z obr. a) do jednodušší formy, c) zanedbání relativně malých reaktancí kondenzátorů jejich náhrada zkratem, d) náhrada tranzistoru jeho linearizovaným nízkofrekvenčním modelem. Obr. 4.5: Výstuní charakteristiky tranzistoru I C I C ( CE ), I B konst. V racovním bodu je definován stejnosměrný (statický) výstuní odor tranzistoru R CE CEQ /I CQ a střídavý (diferenciální) odor r CE u CE~ /i C~. Odory mají odlišný fyzikální význam a odstatně se liší v hodnotách. Velikost stejnosměrného odoru souvisí se strmostí římky rocházející bodem Q a očátkem souřadnic, zatímco velikost střídavého odoru souvisí se strmostí tečny říslušné výstuní charakteristiky v bodu Q. Obr Převodní charakteristiky tranzistoru I C I C (I B ), CE konst. V racovním bodu je definován stejnosměrný (statický) roudový zesilovací činitel tranzistoru B I CQ /I BQ, a střídavý (diferenciální) roudový zesilovací činitel β i C~ /i B~. Veličiny mají odlišný fyzikální význam, avšak jejich hodnoty jsou rakticky stejné v důsledku dobré linearity řevodních charakteristik. 5

6 6 FEKT Vysokého učení technického v Brně Obr. 4.7: Vstuní charakteristiky řechodu báze-emitor tranzistoru I B I B ( BE ), CE konst. V širokém rozsahu naětí kolektor-emitor jsou charakteristiky na tomto naětí rakticky nezávislé. Z toho vylývá zanedbatelná velikost arametru g BC i B~ /u CE~, u BE~. Střídavý vstuní odor r BE souvisí se strmostí tečny k charakteristice v racovním bodu Q. Obr. 4.8: Zjednodušený linearizovaný model tranzistoru vyhovující rovnicím 4.9 a 4. za ředokladu g BC. Obr. 4.9: Linearizovaný kmitočtově závislý model tranzistoru vyhovující rovnicím 4. a 4.3. Komlexní arametry jsou kmitočtově závislé. Obr. 4.: Tranzistorový zesilovač a souřadnice jeho stejnosměrného racovního bodu. Obr. 4.:a) Náhradní schéma zesilovače ro střídavý signál náhrada naájecí baterie zkratem, b) náhrada tranzistoru linearizovaným modelem a řekreslení obvodu. Obr. 4.: Úlné řešení zesilovače z obr. 4., souvislost mezi stejnosměrným a střídavým řešením. Obr. 4.3: a) kázka měření kmitočtové charakteristiky RC článku, b) změřená amlitudová a fázová kmitočtová charakteristika, c) časové růběhy vstuního a výstuního signálu, na základě nichž byly změřeny body, a 3 kmitočtových charakteristik. Obr. 4.4: Souvislosti mezi časovými růběhy vstuního a výstuního naětí, sektry těchto signálů, a amlitudovou a fázovou kmitočtovou charakteristikou RC článku. Obr.4.5: Detail kmitočtových charakteristik RC článku tyu DP v oblasti očátku souřadnic. Obr.4.6: Demonstrace chování různých tyů kmitočtových filtrů. Obr. 4.7: K definici dvojbranu, vstuní a výstuní brány a branových naětí a roudů. Obr. 4.8: Příklady dvojbranů. Obr. 4.9: T-článek jako dvojbran. Obr. 4.3: Možný ostu ři hledání kaskádních arametrů dvojbranu. Obr. 4.3: Analyzovaný článek tyu Π. Obr. 4.3: Rozbor článku Π ve stavu a) výstuu nakrátko, b) vstuu narázdno. Obr. 4.33: ravené ekvivalentní modely dvojbranů tyu a) Π, a b) T. Obr. 4.34: Ekvivalentní články Π a T. Obr. 4.35: Ekvivalentní model článků z obr Obr. 4.36: K vysvětlení rinciu recirocity. Obr. 4.37: Ideální transformátor jako dvojbran. Obr. 4.38: a) biolární tranzistor, b) tranzistor jako dvojbran ro zaojení SE, c) jeho linearizovaný model. Obr. 4.39: a) uniolární tranzistor, b) tranzistor jako dvojbran, c) jeho linearizovaný model. Obr. 4.4: a) ideální zesilovač naětí, b) jeho dvojbranový model. Obr. 4.4: Sojování dvojbranů: a) sériové, b) aralelní, c) hybridní sériově-aralelní, d) hybridní aralelně-sériové, e) kaskádní. Obr. 4.4: Sériová sojení dvojbranů, a) neregulární, b) regulární. Obr. 4.43: a) Náhradní schéma zesilovače ro střídavý signál, R B 5kΩ, R E Ω, R C kω, T: r BE 5kΩ, r CE kω, S ma/v, b) rozklad obvodu na roojené dvojbrany. Obr. 4.44: Analyzovaný říčkový filtr a jeho rozklad na kaskádní tři sekce. Obr. 4.45: Amlitudová kmitočtová charakteristika filtru z obr Obr. 4.46: Ideální transformátor s imedanční zátěží na rimární i sekundární straně. Obr. 4.47: K objasnění vstuní a výstuní obrazové imedance dvojbranu. Obr. 4.48: K objasnění ojmu imedanční řizůsobení. Obr. 4.49: a) Útlumový T-článek, b) výstuní imedance ři zatížení vstuní brány odorem 5Ω musí být rovněž 5Ω. Obr. 4.5: Útlumový článek Π. Obr. 4.5: Analýza imedančně řizůsobeného článku z obr. 4.5 rogramem Micro-Ca. V elisách jsou vyznačena uzlová naětí, v obdélnících větvové roudy. 6

7 Analogové elektronické obvody - řednášky 7 Obr. 5.: a) odorově-kaacitní dělič naětí, b) jeho řechodová charakteristika, c) řenos rudkých signálových změn je určován kaacitním děličem, d) řenos omalých změn a neroměnného signálu je určován odorovým děličem. Obr. 5.: Souvislosti mezi souřadnicemi řechodové charakteristiky h() a h( ) a souřadnicemi amlitudové kmitočtové charakteristiky K( ) a K() obvodu z obr. 5. a). Obrázek c) znázorňuje situaci, kdy v důsledku vhodné volby arametrů obvodu došlo k jeho degeneraci na nesetrvačný obvod. Obr. 5.3: Odezvu obvodu z obr. 5. a) na obdélníkový imuls lze složit ze dvou odezev na skokové signály; ro tato odezva konverguje k imulsní charakteristice. Obr.5.4. Analyzovaný RC článek (viz též obr. 4.3 na str. 47). Obr.5.5: Přechodová a imulsní charakteristika RC článku z obr Protože maximální hodnota imulsní charakteristiky je /τ 65V, ro leší srovnání s řechodovou charakteristikou je imulsní charakteristika 65x zeslabena. Obr. 5.6:Princi náhrady sojitého signálu Diracovými imulsy. Obr. 5.7: Vynucená odezva RC článku na lineárně rostoucí vstuní naětí. Obr. 5.8: Princi náhrady sojitého signálu jednotkovými skoky. Obr. 5.9: Modelování obvodu oerátorovým schématem. Obr. 5.: Modelování RLC obvodu oerátorovým schématem. Obr. 5.: Imulsní a řechodová charakteristika RLC obvodu z obr. 5. ro R a) Ω, b) 5Ω. Obr. 5.: Souvislosti mezi růběhem imulsní charakteristiky g(t) a rozložením ólů. Posouvání ólů doleva znamená růst časových konstant a zomalování řechodného děje. Vzdalování ólů od reálné osy znamená růst frekvence zákmitů v odezvě. Přechod ólů do ravé komlexní oloroviny je dorovázeno neohraničeným růstem odezvy a nestabilním chováním obvodu. Obr. 5.3: Amlitudová kmitočtová charakteristika obvodu získaná z řenosové funkce řezem rovinou jω, a) lineární kmitočtová osa i osa řenosu, b) logaritmická kmitočtová osa a decibelová osa řenosu. Obr. 5.4: Logaritmické kmitočtové charakteristiky, odovídající řenosovým funkcím. řádu a) /a, b) /b, a Bodeho asymtoty ro charakteristiku b). Obr. 5.5: a) Kmitočtové charakteristiky, odovídající řenosové funkci (5.34), b) odovídající asymtotické charakteristiky (silně) jako součty dílčích asymtotických charakteristik. Obr. 5.6: Kmitočtové charakteristiky, odovídající řenosové funkci (5.44), ro různé hodnoty činitele jakosti. Obr. 5.7: Asymtotické kmitočtové charakteristiky a) amlitudová, b) fázová. Veličina δ závisí na činiteli jakosti odle vzorce (5.48), jehož grafické znázornění je na obr. c). Obr. 5.8: a) Kmitočtové charakteristiky filtru o řenosové funkci (5.4), b) konstrukce jeho asymtotických charakteristik. Obr. 5.9: Analyzovaný obvod. Obr. 6.: Blokové schéma zesilovače jako dvojbranu a jeho vstuní a výstuní veličiny. Obr. 6.: K energetické bilanci zesilovače. Obr. 6.3: Příklad ráce tranzistoru v lineárním a nelineárním režimu. Obr. 6.4: a) Příklad frekvenční charakteristiky stejnosměrného zesilovače. Obr. 6.4: b) Příklad frekvenční charakteristiky střídavého zesilovače. Obr. 6.5: Náhradní zaojení (NZ) zesilovače z hlediska vstuu a výstuu. Obr. 6.6: a) Statická řevodní charakteristika u f(u ). Obr. 6.6: b) Příklad dynamické řevodní charakteristiky zesilovače u f(u ). Obr. 6.7: Přeběh výstuního naětí řebuzeného oeračního zesilovače. Obr. 6.8: Příklad dynamického zkreslení signálu ři růchodu oeračním zesilovačem. 7

8 8 FEKT Vysokého učení technického v Brně Obr. 6.9: Ke klasifikaci zětných vazeb odle zůsobu využití zětnovazebního signálu. Obr. 6.: Možné zůsoby roojení zesilovače a zětnovazebního článku. Obr. 6.: Vliv zětné vazby na modulovou (a) a fázovou (b) kmitočtovou char. zesilovače. Obr. 6.: Vztah mezi fází signálu, kmitočtem a časovým zožděním t µs: a) Blokové schéma zesilovače se signálovou zětnou vazbou, b) fázový osuv signálu s a na kmitočtu khz, c) fázový osuv signálu s b na kmitočtu khz, d) fázový osuv signálu s c na kmitočtu 5 khz. Obr. 6.3: Práce aktivního rvku ve třídě A, B a C. Obr. 6.4: Princi zesilovače ve třídě D. Obr. 6.5: Princiální zaojené zesilovačů v zaojení SE, SC (emitorový sledovač) a SB. Obr. 6.6: Obecné náhradní zaojení zesilovače. Obr. 6.7: Základní zaojení střídavého zesilovače ve třídě A a růběhy naětí. Obr. 6.8: Kmitočtová závislost modulové a fázové charakteristiky zesilovače v zaojení SE. Obr. 6.9: Grafické řešení racovního bodu zesilovače ve třídě A. Obr. 6.: Charakteristika PN řechodu a vliv změny olohy racovního bodu na celkové naětí na řechodu. Obr. 6.: Zaojení emitorového sledovače. Obr. 6.: Zesilovač v zaojení SB. Obr. 6.3: Vliv teloty na olohu racovního bodu zesilovače z obr Obr. 6.4: Vliv teloty na olohu racovního bodu a zesílení zesilovače z obr Režim ráce ři telotách -3, 3 a 9 C. Obr. 6.5: Využití kmitočtově závislé záorné zětné vazby ro telotní stabilizaci olohy racovního bodu. a) Sériová roudová ZV, stabilizuje ss kolektorový roud tranzistoru, b) aralelní naěťová ZV, stabilizuje ss výstuní naětí tranzistoru. Obr. 6.6: Využití záorné roudové kmitočtově závislé zětné vazby ke stabilizaci olohy racovního bodu. Obr. 6.7: Náhradní zaojení zesilovače v zaojení SE se stabilizací racovního bodu sériovou roudovou ZV z obr 6.6a). Obr. 6.8: Průběhy naětí v zesilovači SE z obr Obr. 6.9: Využití záorné naěťové kmitočtově závislé zětné vazby ke stabilizaci olohy racovního bodu. Obr. 6.3: Náhradní zaojení zesilovače SE se stabilizací racovního bodu aralelní naěťovou ZV. Obr. 6.3: Zaojení zdroje konstantního roudu s telotní komenzací. Obr. 6.3: Vliv velikosti naětí n a odoru rezistoru R na kolísání roudu PN řechodem T vlivem kolísání teloty (ϑ -3, 3 a 9 ). Obr. 6.33: Jednočinný výkonový zesilovač ve třídě A s transformátorem. Obr. 6.34: Příklad kmitočtové závislosti mo-dulu řenosu zesilovače s transformátorovou vazbou. Obr. 6.35: Dvojčinný zesilovač ve třídě A. Obr. 6.36: Výkonové oměry v tranzistorovém zesilovači. Obr. 6.37: Dvojčinný emitorový sledovač racující ve třídě B. Obr. 6.38: Dvojčinný emitorový sledovač, racující ve třídě B. Obr. 6.39: Rezonanční zesilovač ve třídě C. Obr. 6.4: Poměry v ideálním zesilovači třídy C. Obr. 6.4: Průběh účinnosti zesilovače ve třídě C v závislosti na olovičním úhlu otevření. Obr. 6.4: Příklad výstuní charakteristiky olem řízených tranzistorů. Obr. 6.43: K vlastnostem olem řízených tranzistorů tyu MOS. Obr. 6.44: K vlastnostem olem řízených tranzistorů tyu J FET. Obr Příklad zesilovače s tranzistorem tyu JFET. 8

9 Analogové elektronické obvody - řednášky 9 Obr. 6.46: Možné zůsoby vytváření ředětí olem řízených tranzistorů. Obr. 6.47: a) IOZ, b) jeho model, c) zaojení symetrického naájecího naětí, d) úrava jednoduchého naájecího zdroje na symetrický, e,f,g) standardní zaojení IO s jedním, dvěma a čtyřmi OZ. Obr. 6.48: a) Stejnosměrný model OZ se vstuním diferenčním zesilovačem, b) řevodní charakteristika ro řenos A a nižší zesílení. Obr. 6.49: Ofset invertujícího zesilovače: a) model s naěťovým a roudovými zdroji ofsetu, b) model s řeočtenými roudovými zdroji na naěťové, c) možný zůsob komenzace celkového ofsetu. Obr. 6.5: a) Střídavý model OZ, b) modulová kmitočtová charakteristika ro řenos A, c,d) modulová a fázová charakteristika ro řenosy 8, 4 a db o alikaci záorné zětné vazby viz obr a). Obr. 6.5: Závislost výstuního odoru na kmitočtu ři silné záorné zětné vazbě. Obr. 6.5: Rychlost řeběhu: a) střídavý nelineární model OZ ro jednotkové zesílení, b) odezva na jednotkový skok, c) odezva na malý a velký harmonický signál, d) kmitočtová charakteristika ro malé signály, e) kmitočtová závislost omezení velkých signálů vzhledem k rychlosti řeběhu (LT 8 [I]). Obr. 6.53: Šumový model OZ s naěťovým a roudovými zdroji šumu (n, In, In-). Obr. 6.54: Závislost ekvivalentního šumu na hodnotě odoru zdroje signálu. Obr. 6.55: Naěťové a roudové sektrální šumové hustoty a závislosti ekvivalentního šumu na odoru ro biolární OZ (LT8 a-c) a uniolární OZ (AD745 d-e). Obr. 6.56: Alikační říklady zaojení OZ: a, b) neinvertující a invertující zesilovač, c, d) invertující sumační a diferenční zesilovač, e) řístrojový diferenční zesilovač, f, g) invertující diferenciátor a integrátor, h) neinvertující integrátor s dvěma OZ. Obr. 6.57: Přechodová a frekvenční charakteristika ideálního (neinvertujícího) integrátoru. Obr. 6.58: Oerační usměrňovač: a) schéma, b, c) řevodní charakteristiky. Obr. 6.59: Transkonduktanční (OTA) zesilovač: a) obvodový rinci, b) OTA s uzemněným výstuem, c) jeho model, d) s lovoucím výstuem, d) řízený OTA zesilovač s oddělovacím zesilovačem (LM 37) v zaojení jako neinvertující integrátor. Obr. 6.6: Proudový konvejor. generace CCII: a) schématická značka, b) model. Obr. 6.6: Transimedanční zesilovač: a) schématická značka, b) model s rezistory R a R jako neinvertující zesilovač ( X ), c) orovnání kmitočtových charakteristik s klasickým OZ (VFA). CFA transimedanční OZ bez vyvedené svorky Z. Obr. 6.6: Logaritmický zesilovač AD66: a) blokové schéma, b) řevodní charakteristika. Obr. 6.63: Naěťově řízený zesilovač AD63: a) blokové schéma, b) řídící charakteristika. Obr. 6.64: OZ s otlačeným ofsetem AD857: a) fáze nulování, b) fáze zesílení. Obr. 6.65: a) Analogová čtyřkvadrantová násobička AD633, b) obvod efektivní hodnoty AD637. Obr. 7.: Základní rinci harmonického oscilátoru: a) zaojení, b) časové růběhy ro celkové G Σ < (rostoucí), G Σ (ustálený) a G Σ > (tlumený). Obr. 7.: Oscilátor s tunelovou diodou: a) zaojení, b) závislost G, G - a G Σ na velikosti naětí, c) A-V charakteristika tunelové diody a ekvivalentní záorná vodivost ro malý signál (G -a ) a ro velký signál (G -b ). Obr. 7.3: Zětnovazební oscilátor: a) blokové schéma, b) modulová a fázová charakteristika selektivního bloku B, c) závislost modulu řenosu A na velikosti naětí (slnění amlitudové odmínky). Obr. 7.4: Oscilátor RC: a) základní blokové zaojení, b) říklad zaojení s Wienovým článkem. 9

10 FEKT Vysokého učení technického v Brně Obr. 7.5: Zaojení laditelných oscilátorů RC s jedním OZ: a) varianta zaojení s neinvertujícím zesilovačem, b) varianta zaojení s invertujícím zesilovačem, c) varianta zaojení regulačního obvodu s otočlenem (fotoodor LED). Obr. 7.6: Příklad zaojení oscilátoru se dvěma fázovacími články RC. řádu. Obr. 7.7: Základní tyy zaojení oscilátoru ARC: a) ro velmi nízké kmitočty s nesetrvačnou stabilizací amlitudy, b) ro nízká zkreslení se setrvačnou kvazilineární stabilizací amlitudy, c) s větším otlačením vyšších harmonických složek filtrem tyu DP a kvadraturním výstuem, d) orovnání útlumů vyšších harmonických složek ro výstu PP a DP (Q). Obr. 7.8: Zaojení oscilátoru ARC: a) ro velmi nízké zkreslení s maximálním otlačením 3. harmonické, b) orovnání útlumů vyšších harmonických složek ro výstu PP a DPN (Q), c) zaojení ro kvadraturní stabilizaci amlitudy (kvazilineární a řitom nesetrvačná). Obr. 7.9: Zaojení oscilátoru LC s transformátorem: a) rinciiální střídavé náhradní schéma, b) skutečné zaojení, c) růběhy roudu kolektoru bez saturace (řenos A ) a se saturací (řenos A<A ). Obr. 7.: Střídavé náhradní schéma tříbodových oscilátorů LC: a), b) základní a zětnovazební schéma Hartleyova oscilátoru, c), d) základní a zětnovazební schéma Colittsova oscilátoru, e) úlné zaojení Colittsova oscilátoru. Obr. 7.: Přenosy filtrů tyu DP a HP 3. řádu (bloky B na obr. 7.). Obr. 7.: Krystal: a) symbol, b) náhradní elektrické schéma, c) kmitočtová závislost imedance, d) střídavé náhradní schéma Colittsova oscilátoru s krystalem. Obr. 7.3: Zaojení krystalových oscilátorů s logickými hradly: a) Colittsova varianta, b) se sériovou rezonancí a nulovým fázovým osuvem. Obr. 7.4: Fázový závěs: a) rinciiální blokové schéma, b) řevodní charakteristika VCO, c) řevodní charakteristika FFD. Obr. 7.5: Použití fázového závěsu ro realizaci oscilátoru s nastavitelným kmitočtem a vysokou stabilitou tohoto kmitočtu. Obr. 7.6: Princiiální blokové schéma nastavitelného a stabilního oscilátoru technikou DDS. Obr. 8.: Dělení metod analýzy odle charakteru analyzovaných obvodů. Obr. 8.: Invertující zesilovač s IOZ. Obr. 8.3: Možný ostu analýzy zesilovače z obr. 8.. Obr. 8.4: Neinvertující zesilovač s IOZ. Obr. 8.5: Postuná analýza zesilovače z obr Obr. 8.6: Zaojení zesilovače s T-článkem. Obr. 8.7: Postuná analýza zesilovače z obr Obr. 8.8: Obvod z obr. 8.6 o transfiguraci hvězda trojúhelník a jeho řešení. Obr. 8.9: Analyzovaný zesilovač. Obr. 8.: Postuné řešení obvodu z obr Obr. 8.: Řešení zbytku obvodu metodou jednoho okusu a jednoho omylu. Obr. 8.: Princiiální modely a) roudového konvejoru CCII, b) oeračního zesilovače CFA. Obr. 8.3: Analyzované zaojení s ozitivním roudovým konvejorem CCII. Obr. 8.4: Invertující zesilovač s aktivním rvkem CFA. Obr. 8.5: Schématická značka rvku OTA s vyznačenými obvodovými naětími a roudy. Obr. 8.6: Analyzovaný obvod s dvojicí zesilovačů OTA. Obr. 8.7: Postu řešení obvodu z obr Obr. 8.8: Řešení obvodu metodou uzlových naětí (MN). Obr. 8.9: kázka algoritmického sestavení rovnic MN říčkového filtru. Obr. 8.: Vodivostní (admitanční) matice obvodu se skládá z matic dílčích rvků. Obr. 8.: Tranzistor v obecném zaojení a soustava jeho linearizovaných rovnic odovídajících metodě uzlových naětí.

11 Analogové elektronické obvody - řednášky Obr. 8.: Maticový ois tranzistoru v zaojení se solečným emitorem (a), kolektorem (b) a bází (c). Obr. 8.3: Modelování tranzistoru omocí řízených zdrojů. Obr. 8.4: Náhradní schéma tranzistorového zesilovače ro střídavý signál. Obr. 8.5: Model části integrovaného obvodu RCA 34. Obr. 8.6: K výočtu naěťového zesílení /. Obr. 8.7: Postu ři výočtu výstuního odoru obvodu. Obr. 8.8: Zjednodušené dělení metod analýzy nelineárních obvodů. Obr. 8.9: Obvod s nelineárním rezistorem se zadanou amérvoltovou charakteristikou. Obr. 8.3: Průběh funkce f( x ), získaný z MATLABu. Obr. 8.3: K vysvětlení iterační metody hledání řešení nelineární rovnice. Obr. 8.3: Stabilizátor naětí. Obr. 8.33: a) Jednostuňový tranzistorový zesilovač, b) náhradní schéma ro výočet stejnosměrných oměrů. Obr. 9.: Ilustrace řiřazení oerátorových obrazů k elementárním signálům. Obr. 9. [4]: Lalaceova transformace jako zobecnění Fourierovy transformace signálu. Obr. 9.3: Příklad zobrazení modulu Lalaceova obrazu tlumeného harmonického signálu o kmitočtu 5Hz a časové konstantě tlumení 4ms. Řez v rovině imaginární osy určuje sektrální funkci signálu. Obr. 9.4: Oerátorové modely asivních rvků C a L s nenulovými očátečními odmínkami. Obr. 9.5: a) Analyzovaný obvod, b) jeho oerátorové schéma ro řešení řechodného děje o rozojení sínače. Obr. 9.6: Průběh řechodného děje v obvodu z obr. 9.5 a). Obr. 9.7: Zůsob zjišťování řenosové funkce obvodu řešením jeho oerátorového modelu ři nulových očátečních odmínkách. Obr. 9.8: Přenosová funkce jako sjednocující charakteristika obecného lineárního obvodu. Obr..: Kosinový signál s obecným ořezáním. Obr..: Schulzův diagram. Obr..3: Bergův diagram.

12 FEKT Vysokého učení technického v Brně Seznam tabulek Tab. 4.: Vzájemné řeočty dvojbranových arametrů. Symbol značí determinant dvojbranové matice. Tab. 4.: rčování dvojbranových arametrů z měření narázdno a nakrátko. Tab. 4.3: Parametry základních asivních dvojbranů. Tab. 4.4: Modelování dvojbranů řízenými zdroji odle rovnic tyu Z, Y, H a K. Tab. 4.5: Vzájemné řeočty dvojbranových arametrů unilaterálního dvojbranu. Tab. 4.6: Vztahy mezi arametry seciálních dvojbranů. Tab. 4.7: Vzorce ro výočet obrazových imedancí a řenosů z dvojbranových arametrů. Tab. 4.8: Obrazový ois recirocitního odélně souměrného dvojbranu. Tab. 5.: Přenosové charakteristiky lineárního obvodu a jejich vzájemné vztahy: Komlexní kmitočtová charakteristika K & ( jω), oerátorová řenosová funkce K(), imulsní charakteristika g(t), řechodová charakteristika h(t). Symboly F a L ředstavují Fourierovu a Lalaceovu transformaci. Tab. 5.: Módy ohybu lineárního systému odovídající různým ólům. Tab. 6.: Přehled vlivu ZV v závislosti na hodnotě součinu AB. Tab. 6.: Vliv zětné vazby na základní vlastnosti zesilovače. Tab. 8.: Charakterizace obecných metod analýzy obvodů. Tab. 8.: Výsledky řešení zesilovače z obr odhady a rofesionálním simulačním rogramem. Tab. 9.: Základní vlastnosti Lalaceovy transformace. Symboly a - označují limity zrava a zleva. Tab. 9.: Limitní teorémy. Symbol označuje limitu zrava. Termín ól je vysvětlen na str. 9 a 48. Tab. 9.3: Stručný slovník Lalaceovy transformace.

13 Analogové elektronické obvody - řednášky 3 Úvod Skritum Analogové elektronické obvody řednášky je studijním textem stejnojmenného ovinného ředmětu studijního oboru Mikroelektronika a technologie tříletého bakalářského studijního rogramu Elektrotechnika, elektronika, komunikační a řídicí technika. Navazují na něj skrita Analogové elektronické obvody očítačová cvičení a Analogové elektronické obvody laboratorní cvičení. Zařazení ředmětu ve studijním rogramu Předmět Analogové elektronické obvody je vyučován v zimním semestru. ročníku v rozsahu 39 hodin řednášek a 39 hodin cvičení, čemuž odovídá jeho ohodnocení sedmi kredity. Předmět je zakončen záočtem a zkouškou. Nejdůležitější ředměty. ročníku, na které tento ředmět obsahově navazuje, jsou Elektrotechnika, Elektrotechnika a Elektronické součástky, z volitelných oborových ředmětů ak Mikroelektronické raktikum. Předokládá se aktivní znalost základních zákonů a rinciů teoretické elektrotechniky, metod analýzy lineárních a nelineárních obvodů, jakož i znalost vlastností a funkce základních elektrotechnických součástek. Pokud jde o navazování na ředměty Matematika -, v ředmětu Analogové elektronické obvody je oužíván matematický aarát ro ois a analýzu lineárních a nelineárních elektrických obvodů. To ředstavuje ráci se soustavami lineárních a nelineárních algebraických rovnic ři analýze odorových obvodů a ráci s diferenciálními rovnicemi ři řešení obvodů setrvačných. Lineární diferenciální rovnice budou formálně řeváděny na algebraické rostřednictvím názorového, res. oerátorového očtu. Nelineární rovnice budou řešeny numerickými iteračními metodami. O těchto metodách je třeba mít alesoň uživatelský řehled ve smyslu globálního orozumění mechanismů jejich fungování.. Úvod do ředmětu Elektronické učební texty (ET) Analogové elektronické obvody řednášky jsou rimárně určeny ro studijní obor bakalářského studijního rogramu Mikroelektronika a technologie FEKT VT v Brně. Obsahuje však i rozšiřující texty ro studium magisterské nadstavby. Tématicky učebnice okrývá látku z oblasti analogového zracování signálů lineárními obvody, vyučovanou na elektrotechnických fakultách škol v ČR a SR. čebnice tedy může být využita i studenty těchto škol. Všude tam, kde to bylo účelné a vhodné, je výklad teoretických artií dolněn řešenými říklady. Poznatky z těchto říkladů jsou zobecňovány a jsou z nich formulovány shrnující závěry. V některých částech ET je výklad odořen výstuy rogramu MATLAB. Poisované říklady z oblasti elektrických obvodů je možné jednoduše ověřovat očítačovými rogramy SNAP, Micro-Ca nebo PSice. ET se řitom nezabývají oisem těchto rogramů ani návody na jejich ovládání. Všechny tyto rogramy jsou však odrobně osány v samostatných monografiích, které autoři nasali zejména ro otřeby studentů a které jsou uvedeny v seznamu literatury od oložkami [], [3] a [4]. Programy jsou volně 3

14 4 FEKT Vysokého učení technického v Brně dostuné na Internetu rostřednictvím odkazů [I], [I5] a [I] a studenti s nimi racují jak v organizovaných formách výuky, tak i samostatně na svých očítačích. ET reagují na současnou realitu, kdy racovníci z oboru jsou nuceni využívat informační zdroje nejrůznější ovahy, zejména katalogové listy moderních součástek, stahované z Internetu. Za této situace je roblematické striktně dodržovat mimo jiné zásady oužívání jednotných schématických značek. Studenty by naříklad nemělo řekvait, že kromě v Evroě oužívané schématické značky rezistoru se asi častěji budou setkávat se značkou, běžně oužívanou v katalogových listech, odborných zahraničních článcích a očítačových simulačních rogramech. Neřehledná situace anuje i v označování zdrojů. Proto v ET naleznete různé schématické značky ro zdroje naětí a ro zdroje roudu schématických značkách tranzistorů.. Obdobná oznámka by mohla být učiněna o Tyto ET jsou součástí výukových textů, dalších studijních materiálů a software ro odoru výuky ředmětů ÚMEL FEKT v Brně. Zájemce odkazujeme na www stránky garanta ředmětu htt://user.unob.cz/biolek. 4

15 Analogové elektronické obvody - řednášky 5. Vstuní test Průchod následujícím autotestem vám ukáže, nakolik vaše současné znalosti odovídají vstuním ožadavkům k studiu ředmětu. Výsledky jsou uvedeny v části. Vyznačte srávnou odověď (ke každé otázce existuje rávě jedna): č. obvod otázka varianty odovědí I Naětí X je a) V, b) 3V, c) 4V, d) -6V X X I Naětí Y je a)-v, b) -3V, c) -4V, d) 6V Y Proud I X je a) I X >I Y, b) I X <I Y, c) I X I Y, Ω d) I X -I 3Ω Y Y V Proud I X je a) A, b) -A, c) A, d) -A R Naětí na svorkách R je a) mv, b) 3mV, c) 4mV, d) mv Ω R Naětí baterie B je a) V, b) V, c) 3V, d) 5V 3Ω R 4 Ω Naětí X je a) V, b) V, c) -V, d) V Výkon dodávaný baterií je a) mw, b) 3mW, B R 3 c) 4mW, d) mw 5Ω V X ma Proud I X je a) -8mA, b) ma, c) ma, kω 8kΩ d) 8mA Proud I Y je a) -8mA, b) -ma, c) ma, 3 I Y d) 8mA I X Naětí X je a) V, b) 8V, c) 6V, d) -V V 5V R R V R kω kω X C R R µf kω C R u V khz R Ω D R Ω D µf kω Poměr výkonů na R a na R je a),5, b), c) ),,5, d) 4 Po řiojení baterie se obvod a) sekund, b) milisekund, dostane do ustáleného stavu c) mikrosekund, d) nanosekund řádově za několik V ustáleném stavu bude kaacitor nabit na naětí Amlituda roudu kaacitorem v ustáleném stavu bude asi Obvod se chová jako filtr tyu Mezní kmitočet filtru je zhruba Naětí na R je zhruba Proud diodou je zhruba Při změně R na 5Ω se naětí na R Naětí na R je zhruba Proud diodou je zhruba Při změně R na 5Ω se naětí na R a) V, b) 5V, c) V, d) -V a) A, b) 5mA, c) ma, d) ma a) dolní roust, b) horní roust, c) ásmová roust, d) ásmová zádrž a) Hz, b) 3Hz, c) Hz, d) khz a) V, b),7v, c) 4,35V, d) 5V a) A, b) ma, c) ma, d) 5mA a) nezmění, b) klesne o několik rocent, c) vzroste o několik rocent, d) klesne o desítky rocent a) V, b),7v, c) 4,35V, d) 5V a) A, b) ma, c) ma, d) 5mA a) nezmění, b) klesne o několik rocent, c) vzroste o několik rocent, d) klesne o desítky rocent 5

16 6 FEKT Vysokého učení technického v Brně 3 Úvod do analogových elektronických obvodů a signálů Cíle kaitoly: Objasnit ojmy elektrický signál, systém, obvod. kázat, že signál nemůže existovat bez systému (obvodu) a systém bez signálu. Objasnit rozdíl mezi reálně existujícími signály a obvody a jejich modely. Seznámit s nejčastější klasifikací elektrických signálů a obvodů. 3. Elektrické signály Komunikace mezi lidmi - ať už římá nebo zrostředkovaná stroji - je založena na řenosu informace. Informace je rodukována zdrojem obvykle v neelektrické odobě, které se říká zráva nebo sdělení (řeč, hudba, obraz, text...). Zráva se ro účely řenosu na dálku, uchovávání, zabezečení atd. řevádí na signál, což je fyzikální vyjádření zrávy. Často se signálem zúženě cháe časový růběh fyzikální veličiny, nesoucí informaci. Je-li fyzikální veličinou naětí nebo roud, hovoříme o elektrických signálech. Každý okus o ois skutečně existujícího signálu v matematické nebo grafické formě vede na tvorbu jeho modelu. Analýzou modelu ak zjišťujeme vlastnosti skutečného signálu více či méně řesně odle toho, s jak řesným modelem racujeme. Dělení signálů a jejich modelů tři roviny klasifikace: signály se souvislým časem (continuous-time) analogové (analog) signály souvislé v hodnotách signály s diskrétním časem - - diskrétní signály (discrete-time) signály s nekonečnou dobou trvání signály s konečnou dobou trvání (jednorázové) signály deterministické (určené) signály stochastické (náhodné) číslicové (digital) signály diskrétní v hodnotách - - kvantované (quantized) eriodické neeriodické imulsy aeriodické harmonické jiné kvazieriodické nezanikající imulsy jiné 6

17 Analogové elektronické obvody - řednášky 7 Výše uvedené kategorie signálů nejlée objasníme na říkladech. Příklad 3.: Analogový signál Naětí snímané z mikrofonu je signálem souvislým v čase i v hodnotách: v růběhu doby trvání je tento signál definován ro všechny časové okamžiky a v rozsahu hodnot tohoto signálu jsou všechny úrovně ovoleny (signál může nabýt libovolné hodnoty z intervalu hodnot). Jedná se tedy o signál analogový. Příklad 3.: Diskrétní signál, číslicový signál Záznam o telotě motoru, snímané v minutových intervalech, je možno ovažovat za signál diskrétní v čase: signál existuje ouze v izolovaných (diskrétních) okamžicích odečítání. Pokud je velikost teloty vyjádřená s konečnou řesností na určitý očet desetinných míst, znamená to, že v daném signálovém rozsahu může signál nabývat ouze omezený očet diskrétních hodnot. Pak se jedná o signál diskrétní v hodnotách (kvantovaný). Signál diskrétní v čase i v hodnotách se nazývá číslicový. Signály diskrétní v čase se často získávají ze signálů analogových tzv. vzorkováním. Kvantováním hodnot těchto vzorků a jejich řevodem do určitého kódu ak získáme signál číslicový. Důležitým modelem reálných signálů je signál eriodický, který je tvořen oakováním určitého signálového segmentu. Seciálním eriodickým signálem velkého významu je signál harmonický, který je matematicky osán funkcemi tyu sinus a kosinus. Při modelování řechodových dějů nebo dějů s časově omezeným ůsobením jsou užitečné některé neeriodické signály, naříklad různé imulsy. Často vystačíme s deterministickými modely signálů, které nám umožňují řesně osat budoucí růběh signálu již v řítomnosti. Signál, jehož růběh v budoucnu lze ředovědět jen s určitou (ne storocentní) ravděodobností, je signál náhodný (stochastický). Reálné signály jsou většinou náhodné, rotože arametry technicky generovaných signálů jsou náhodně ovlivňovány rostředím. S velkou řesností je však mnohdy můžeme nahradit deterministickými modely, nař. modely eriodických signálů. Stochastickým modelům se nevyhneme naříklad ři rozboru šumových vlastností systémů. 3. Elektrické systémy a obvody Signál nemůže existovat bez rostředí, v němž vzniká, šíří se, je uchováván nebo se řeměňuje na jiný ty signálu. Takovému rostředí se říká systém. Systémy mohou být nejrůznější ovahy mechanické, elektrické, informační, sociální. Seciálním systémem je elektrický obvod, složený z vzájemně roojených odsystémů součástek, a komunikující s okolím omocí vstuů a výstuů. 7

18 8 FEKT Vysokého učení technického v Brně Dělení systémů a jejich modelů tři roviny klasifikace: systémy, racující souvisle v čase (continuous-time) analogové (analog) systémy se signály souvislými v hodnotách (continuous-value) Systémy, racující diskrétně v čase - diskrétní systémy (discrete-time) lineární systémy (linear) číslicové (digital) hybridní - smíšené - systémy systémy se signály diskrétními v hodnotách (kvantovanými) (quantized) stacionární systémy (s neroměnnými arametry) (stationary) nelineární systémy (nonlinear) nestacionární systémy (s časově roměnnými arametry) (nonstationary, time varying) nelineární systémy, racující v linearizovaném režimu systémy statické (nesetrvačné, bez aměti, bez akumulačních rvků), osané algebraickými rovnicemi systémy dynamické (setrvačné, s amětí, s akumulačními rvky), osané diferenciálními rovnicemi První rovina klasifikace se odvíjí od tyů signálů, které v systému ůsobí. Příklady tyických systémů: Analogový tranzistorový zesilovač, číslicový číslicový filtr. Křížové kombinace (souvislý čas-diskrétní hodnoty a diskrétní čas-souvislé hodnoty) se oužívají zejména k modelování eta analogově číslicového řevodu (vzorkování, kvantování). Této klasifikaci se vymykají smíšené hybridní systémy, které racují jak s analogovými, tak i s číslicovými signály. Druhá klasifikační rovina dělí všechny systémy na lineární a nelineární, stacionární a nestacionární. Systém se chová jako lineární, jestliže mezi jeho výstuem a vstuem latí roorcionální závislost (zdvojnásobením vstuního signálu dojde k zdvojnásobení výstuního signálu) a rinci suerozice (odezva na součet dvou signálů je rovna součtu odezev na tyto signály, ůsobící samostatně). Ostatní systémy jsou nelineární. Tyickým ředstavitelem lineárního systému je stejnosměrný zesilovač, jehož výstuní naětí je x větší než naětí vstuní. Nelineárním systémem je naříklad diodový usměrňovač. V raxi se často vyskytují systémy, fungující na rinciu linearizace. Tyickým ředstavitelem je tranzistorový zesilovač racující ve třídě A. Vstuně-výstuní charakteristika zesilovače je sice nelineární, vstuní signál je však natolik slabý, že využíváme jen jejího úseku, který je rakticky římkový. Podrobnosti budou vysvětleny v části 3.. Stacionární systémy (s neroměnnými arametry) zachovávají své systémové arametry konstantní v čase. Naříklad výše uvedený zesilovač je stacionární systém, rotože jeho systémový arametr zesílení, je neměnný (nař. ). Budeme-li mít možnost zesílení elektronicky nastavovat a budeme-li jej v růběhu zesilování měnit (nař. za účelem modulace), stane se ze zesilovače nestacionární systém (s roměnným arametrem). Je zřejmé, že oba druhy klasifikace (lineární-nelineární, stacionární-nestacionární) dávají čtyři 8

19 Analogové elektronické obvody - řednášky 9 tyy systémů. V tomto ředmětu se budeme zabývat zejména lineárními stacionárními a nelineárními stacionárními obvody. Třetí klasifikační rovina rozlišuje systémy, které nemají vnitřní aměť, a roto se vstu římo koíruje na výstu řes říslušnou lineární či nelineární charakteristiku (systémy statické, nesetrvačné), a systémy s amětí, kde výstu v daném okamžiku je odvozen nejen bezrostředně ze vstuu, ale bude záviset i na stavu aměti, a ta je dána chováním systému v minulosti (systémy dynamické, setrvačné). V analogových elektrických obvodech zastávají úlohu amětí akumulační rvky tyu kaacitor a induktor, v číslicových obvodech jsou to aměťové registry, v magnetických obvodech jsou to jádra z magneticky tvrdých materiálů aod. Obecně vzato většina existujících systémů atří do kategorie systémů nelineárních, nestacionárních dynamických. V řadě říadů jsou však některé rojevy, nař. nelinearita či nestacionarita, tak slabé, že je možné od nich abstrahovat a modelovat zkoumaný systém v rámci jednoduchého modelu, nař. lineárního stacionárního. Shrnutí a zobecnění: Signál je (zjednodušeně) časový vývoj fyzikální veličiny. Elektrický signál je časový vývoj elektrické veličiny, většinou naětí nebo roudu. Signál souvislý v čase a hodnotách je analogový signál. Vzorkováním analogového signálu získáme signál diskrétní v čase. Kvantováním vzorků, tj. jejich řevodem na čísla s konečným očtem číslic, získáme z diskrétního signálu signál číslicový. Signály se dělí na eriodické a neeriodické. Zřejmě nejdůležitějším eriodickým signálem je signál harmonický. Zvláštním říadem neeriodických signálů jsou jednorázové imulsy. Signály se dělí na určené (deterministické) a náhodné (stochastické). Je třeba rozlišovat mezi fyzicky realizovaným signálem a jeho modelem. Systémy jsou objekty s definovanými vstuy a výstuy, které jsou určeny k zracování signálů. Mohou racovat se signály souvislými nebo diskrétními v čase i v hodnotách. Systémy ro zracování analogových/číslicových signálů se nazývají analogové/číslicové. Každý systém je buď lineární nebo nelineární. Nelineární systémy mohou racovat v linearizovaném režimu. Každý systém je buď stacionární nebo nestacionární odle toho, zda se jeho charakteristiky, naříklad zesílení, nemění nebo mění v čase. Každý systém je buď nesetrvačný nebo setrvačný odle toho, zda neobsahuje nebo obsahuje aměťové rvky. Je třeba rozlišovat mezi fyzicky realizovaným systémem a jeho modelem. 9

20 FEKT Vysokého učení technického v Brně Kontrolní otázky a říklady ke kaitole 3 Srávné odovědi naleznete na konci učebního textu. φ 5 khz DP SH 3 4 AČP PROCESOR... ~ 3 t t t } { } } } { { t Obr. 3.: Blokové schéma ředzracování analogového signálu ro účely jeho zracování v číslicovém rocesoru. DPdolní roust, SHobvod Hamle-Hold (aměťový vzorkovač), AČPtříbitový analogově číslicový řevodník, φsignál ro vzorkování a synchronizaci. φ DP PROCESOR 3 ČAP } { } } } } } t { { { { t t Obr. 3.: Blokové schéma ostzracování číslicového signálu ro účely jeho řevodu na akustický signál. ČAPčíslicově analogový řevodník, DPdolní roust, > nízkofrekvenční zesilovač, φsignál ro vzorkování a synchronizaci. ) Signály,,3 na obr. 3. jsou a) všechny analogové, b), jsou souvislé v čase a 3 je diskrétní v čase, c), jsou souvislé v čase a 3 je diskrétní v hodnotách. ) Signál na výstuu AČP na obr. 3. je a) analogový, b) číslicový, c) souvislý v čase a diskrétní v hodnotách.

21 Analogové elektronické obvody - řednášky 3) Signál na obr. 3. je a) analogový, b) souvislý v čase a diskrétní v hodnotách, c) číslicový. 4) Signál 3 na obr. 3. je a) analogový, b) souvislý v čase a diskrétní v hodnotách, c) číslicový. 5) Obvod DP z obr. 3. je a) analogový, b) číslicový, c) hybridní. 6) Obvod SH z obr. 3. je a) analogový, b) číslicový, c) hybridní. 7) Obvod ČAP z obr. 3. je a) analogový, b) číslicový, c) hybridní. 8) Dělič naětí, složený z dvojice rezistorů o odorech RkΩ a R56Ω, je obvod a) lineární nesetrvačný, b) lineární nestacionární, c) nelineární dynamický. 9) Potenciometr, zaojený jako dělič naětí, je obvod a) lineární setrvačný, b) lineární nestacionární, c) nelineární dynamický. ) RC článek o RkΩ a CnF je obvod a) nelineární nesetrvačný, b) lineární setrvačný, c) nelineární dynamický. ) Obvod, vzniklý z děliče z Př. 8) náhradou rezistoru R za diodu, je obvod a) lineární nesetrvačný, b) nelineární nestacionární, c) nelineární nesetrvačný. ) Tranzistorový zesilovač ro zesilování hudebního signálu je obvod a) lineární nestacionární, b) nelineární, racující v linearizovaném režimu, c) nelineární statický.

22 FEKT Vysokého učení technického v Brně 4 Elektrické obvody a jejich modely 4. Základní ojmy Cíle kaitoly: kázat, že analogové elektrické obvody se obecně skládají z nelineárních součástek. Objasnit, co je to stejnosměrný (klidový) racovní bod a roč se nastavuje. Vysvětlit tzv. malosignálové buzení a linearizovaný model nelineárního obvodu, oisující vlastnosti obvodu ři tomto buzení. Posat chování obvodu ři kombinovaném buzení dvěma signály jako řešení linearizovaného arametrického modelu. kázat nelineární chování obvodu ři obecném buzení. 4.. Stejnosměrný racovní bod Obr. 4. a) ukazuje tyickou nelineární součástku tranzistor. Je vyznačeno celkem 6 obvodových veličin trojice naětí a trojice roudů. Tyto veličiny jsou vzájemně sojeny složitými nelineárními závislostmi. Stejnosměrným měřením bod o bodu lze získat známé statické charakteristiky tranzistoru (nař. síť výstuních charakteristik závislost I C na CE ři konstantním roudu I B ). Všechny takovéto nelineární charakteristiky lze cháat jako řezy lochami v šestirozměrném rostoru [I C I B I E CE BE BC ]. B BC I B BE I C I E C T E CE in C u in u R3 6k R4 44k B R 3.3k R 3.3k C NA E u out u C OV a) b) Obr. 4.: a) Tranzistor a soustava jeho naětí a roudů, b) říklad jeho začlenění do obvodu zesilovače. Začleníme-li tranzistor do složitějšího elektrického obvodu (obr. 4. b), který je naájen ouze stejnosměrnými zdroji (tj. zočátku ředokládáme u in ), ustálí se naěťové a roudové oměry s ohledem na uvedené nelineární vlastnosti tranzistoru. Výsledkem jsou konkrétní stejnosměrné hodnoty veličin tranzistoru z vektoru [I C I B I E CE BE BC ]. Graficky si lze tento stav ředstavit jako konkrétní bod v charakteristikách tranzistoru. Tento bod označme symbolem Q a nazvěme stejnosměrný racovní bod (angl. Oerating Point) tranzistoru. Často se rovněž oužívá termín klidový racovní bod (angl. Bias Point).

23 Analogové elektronické obvody - řednášky 3 Podívejme se na obr. 4.. Jde o třírozměrný výřez z výše uvedeného rostoru nelineárních závislostí ro konkrétní křemíkový tranzistor. V souvislosti s obr. 4. b) si můžeme ředstavit, že nastavujeme-li různá naětí baterie (je uváděno V), ak bude docházet k změnám naětí a roudů v obvodu, tj. k ohybu racovního bodu Q. Tento bod však nikdy neoustí zobrazenou lochu nelineárních vazeb tranzistoru. Průměty racovního bodu do jednotlivých kvadrantů oskytují číselné údaje o obvodových naětích a roudech tranzistoru. Index Q značí souřadnici racovního bodu. Ib [ma] 3 [I CQ CEQ ] 9 Ic [ma] [I BQ CEQ ] Q: [I CQ I BQ CEQ ] ce [V] Obr. 4.: Příklad nelineárních vazeb mezi kolektorovým a bázovým roudem a naětím kolektor-emitor tranzistoru. Výsledek očítačové simulace v rogramu Micro-Ca. Obr. 4.3 ukazuje situaci o řiojení naájecího zdroje k zesilovači, jestliže zatím neůsobí na jeho vstu naětí u in, určené k zesilování. V důsledku ůsobení akumulačních rvků v obvodu dojde k řechodnému ději, který se ustálí zhruba o s. Výsledkem je stejnosměrný ustálený stav. Přehledné znázornění ustálených oměrů je ak uvedeno na obr Jak uvidíme dále, nastavení vhodných hodnot stejnosměrných naětí a roudů v nelineárním obvodu, tj. nastavení racovního bodu, je důležitý ředoklad srávné funkce obvodu, v našem říadě zesilování signálu u in. 3

24 4 FEKT Vysokého učení technického v Brně in C u u in V R3 6k R4 44k B R 3.3k R 3.3k C NA E u C t OV u [V] V CQ 4.8V BQ 3.44V EQ t [s] Obr. 4.3: Proces řiojení zesilovače z obr. 4. b) k naájecímu zdroji. Vstuní signál zatím neůsobí (u in V). Obvod se ustaluje do stejnosměrného ustáleného stavu a vektor obvodových veličin do racovního bodu. Všechna naětí jsou uvažována roti zemi. Výsledek očítačové simulace v rogramu Micro-Ca. in C u u in V R3 R 6k 3.3k 98.6u u B.4m 4.8.4m 3.44 E 9.8u R R4 44k 3.3k C.4m.4m V Obr. 4.4: Znázornění souřadnic stejnosměrného racovního bodu zesilovače. V kroužku je hodnota naětí mezi říslušným uzlem a zemí (ve voltech), v obdélníčku ak hodnota roudu danou větví (v amérech).výsledek očítačové simulace v rogramu Micro-Ca. Shrnutí a zobecnění: Po řiojení stabilního nelineárního obvodu k stejnosměrným naájecím zdrojům dojde k řechodnému ději, jehož výsledkem je stejnosměrný ustálený stav: všechna naětí a všechny roudy jsou konstantní. Říkáme, že obvod řešel do stejnosměrného (klidového) racovního bodu. Tento řechod trvá většinou relativně krátkou dobu a ro uživatele zařízení není odstatný. Stejnosměrný racovní bod obvodu je množina stejnosměrných naětí a roudů v obvodu ři neůsobení vstuních signálů, které mají být obvodem zracovávány. Matematicky je osán vektorem sledovaných naětí a roudů. Stejnosměrný racovní bod nelineárního rvku obvodu (nař. tranzistoru) je množina stejnosměrných naětí a roudů tohoto rvku ři neůsobení vstuních signálů, které mají být obvodem zracovávány. Jedná se tedy o odmnožinu racovního bodu celého obvodu. Stejnosměrný racovní bod nelineárního rvku je možné nastavovat ostatními rvky obvodu. V říadě zesilovače z obr. 4.4 lze racovní bod tranzistoru nastavit volbou odorů R až R 4 a naětím baterie. Akumulační rvky nemají na souřadnice racovního 4

25 Analogové elektronické obvody - řednášky 5 bodu vliv. Ovlivňují ouze řechodný děj náběhu obvodu do racovního bodu o řiojení k naájecím zdrojům. Nastavení vhodného stejnosměrného racovního bodu je důležité ro srávnou činnost obvodu. 4.. Pohyb bodu Q vlivem zracovávaného signálu Přivedeme-li na vstu obvodu signál určený k zracování, budou se naětí a roudy v obvodu měnit v závislosti na tomto signálu. Můžeme si ředstavit, že dochází k ohybu bodu Q. Časový rozvoj tohoto ohybu do všech souřadnic ak ředstavuje odezvu obvodu na vstuní signál ve formě sledovaných naětí a roudů ,8V in C u u in R3 6k R4 44k B R 3.3k R 3.3k C NA E 3,44V u C u out OV u [V] a) b) u in u C u out u E u B 5m 5m t [us] u C u out 8.8 u C u out u [V] u [V] m 4.4 5m u E u B u B u E.. 5m 5m - u in u - in t [us] 3 t [us] 3 c) d) Obr. 4.5: Zracování harmonického signálu u in, ro nějž kaacitory C a C ředstavují zkrat. Na kaacitorech jsou ouze stejnosměrná naětí daná klidovým racovním bodem (a), časové růběhy ři amlitudě u in 5mV (b) 5mV (c) 5mV (d). 5

26 6 FEKT Vysokého učení technického v Brně Pro jednoduchost ředokládejme, že vstuní signál u in na obr. 4. je harmonický o relativně vysokém kmitočtu, takže kaacitory C a C (µf a µf) ro tento signál ředstavují zanedbatelnou reaktanci. Naětí na každém rvku v obvodu je nyní určováno ůsobením dvou zdrojů: stejnosměrným naájecím naětím a harmonickým vstuním naětím. Naájecí zdroj vyvolává na C stejnosměrné naětí 4,8V a na C 3,44V (viz obr. 4.4). Harmonický vstuní signál nevyvolává na kaacitorech rakticky žádné naětí v důsledku zanedbatelných reaktancí (kaacitory se chovají ro střídavý signál jako zkraty). Pro účely analýzy si tedy lze ředstavit namísto kaacitorů zdroje říslušných stejnosměrných naětí (viz obr. 4.5a). Z obr. 4.5 a) je zřejmý význam kaacitoru C : stejnosměrně odděluje uzel B, kde je nastaveno ředětí 4,8V (souřadnice klidového racovního bodu) od uzlu in, kde je nulová stejnosměrná složka zesilovaného signálu. Střídavý signál je však řenesen do uzlu B k dalšímu zracování bez zeslabení. Význam kaacitoru C bude objasněn ozději. Bez něj by zesílení signálu výrazně okleslo v důsledku záorné zětné vazby, kterou vyvolává rezistor R. Pro střídavý signál je však R řemostěn kaacitorem C, který tak ůsobení zětné vazby zabraňuje. Z obr. 4.5b) vylývají zesilovací schonosti obvodu: amlituda střídavé složky naětí u out je asi,58v, což je 6x větší hodnota než na vstuu. Patrný je i fázový osun mezi vstuním a výstuním střídavým naětím o 8 (inverze fáze). Obr. 4.5c) ukazuje, že ři silnějším vstuním signálu již dochází k zkreslení tvaru střídavé složky na výstuu (dolní ůlvlna je rotáhlejší a ostřejší). Ještě markantnější zkreslení je atrné na obr. 4.5d). Vysvětlení těchto jevů je možné hledat v následující analýze modelu z obr. 4.5a): Budeme bod o bodu nastavovat naětí u in a ro každou hodnotu určíme u out. Výsledek očítačové simulace je na obr out [V] 8 6 Q 6,58V t in [mv] t Obr. 4.6: Převodní charakteristika out f( in ) modelu zesilovače z obr. 4.5a). Střídavé malosignálové zesílení je dáno strmostí řevodní charakteristiky v okolí racovního bodu Q. Při silnějším vstuním signálu již dochází k nelineárnímu zkreslení výstuu. 6

27 Analogové elektronické obvody - řednášky 7 Shrnutí a zobecnění: Vztah mezi výstuním a vstuním signálem nelineárního obvodu je osán nelineární řevodní charakteristikou. Do této charakteristiky se romítají říslušné souřadnice klidového racovního bodu. Vlivem vstuního signálu dochází k rozmítání bodu Q o řevodní charakteristice. Časovým rozvojem tohoto ohybu získáme výstuní signál. Je-li současně slněno, že bod Q se ohybuje o části řevodní charakteristiky, kterou je možno ovažovat za římkovou, ak výstuní signál, neuvažujeme-li jeho stejnosměrnou složku, je tvarově shodný se vstuním signálem. Dochází ouze k změně jeho velikosti (využíváno nař. k zesilování), říadně k inverzi fáze. Poměr velikostí střídavých složek výstuního a vstuního signálu, tzv. střídavé zesílení, je rovno směrnici tečny k řevodní charakteristice v klidovém racovním bodu. Nelineární obvod racuje v tzv. linearizovaném režimu. Nejsou-li slněny výše uvedené odmínky, dochází k tvarovému zkreslení výstuního signálu. Hovoříme o nelineárním zkreslení. Obvod racuje v nelineárním režimu. Podmínky lineárního režimu lze stručně shrnout takto: vhodně nastavený klidový racovní bod a relativně slabý vstuní signál Pohyb bodu Q vlivem telotních a dalších změn Z obr. 4.6 je zřejmé, že by bylo nežádoucí, kdyby se jednou nastavený klidový racovní bod Q měnil v důsledku takových jevů, jako jsou telotní změny, stárnutí zařízení, nebo naříklad výměna oškozené součástky za stejný ty, ale s částečně odlišnými arametry. Každá změna olohy klidového racovního bodu totiž řináší změnu vlastností obvodu (v našem říadě střídavého zesílení) a je otenciálním zdrojem nelineárního zkreslení. Proto je vhodné olohu klidového racovního bodu stabilizovat, tj. učinit taková oatření, aby bod Q nebyl ovlivňován výše uvedenými jevy. Používané metody stabilizace budou robrány ozději. zesilovače na obr. 4. b) je stabilizace zajišťována rezistorem R, který zavádí do obvodu stabilizující záornou zětnou vazbu. Ta zmenšuje zesílení, tj. citlivost obvodu na relativně omalé změny (nař. změny teloty). Pro rychlé změny, tj. změny vyvolávané vstuním signálem, jsou účinky zětné vazby otlačeny kaacitorem C, který řemosťuje rezistor R svou relativně nízkou reaktancí Chování nelineárního obvodu ři kombinovaném buzení omalým a rychlým signálem Z obr. 4.6 vylývá, že střídavé zesílení obvodu, tj. strmost řevodní charakteristiky v okolí klidového racovního bodu, lze řídit změnou olohy tohoto bodu. Přičteme-li tedy k vstunímu signálu, který je určen k zesilování, další tzv. řídicí signál, který bude vykazovat odstatně omalejší změny, budeme mít možnost řízení zesílení ůvodního signálu. Chování nelineárního obvodu ak můžeme osat tzv. linearizovaným arametrickým modelem: linearizovaným roto, že rychlejší signál neodléhá nelineárnímu zkreslení, a arametrickým roto, že omalý signál mění důležitý arametr zařízení, v našem říadě střídavé zesílení. vedeného rinciu lze využít nař. v modulačních obvodech. 7

28 8 FEKT Vysokého učení technického v Brně 4. OBVOD V NELINEÁRNÍM REŽIM Cíle kaitoly: Objasnit ojem obohacení sektra. kázat, jak se obvod chová v nelineárním režimu ři buzení jedním a dvěma harmonickými signály. Vysvětlení významu veličiny THD. Je-li klidový racovní bod nelineárního obvodu nevhodně nastaven, ak v kombinaci s relativně silným vstuním signálem dochází k ohybu bodu Q o nelineárních úsecích řevodních charakteristik. Důsledkem toho je nelineární zkreslení signálu. Říkáme, že obvod racuje v nelineárním režimu. Rozebereme chování obvodu v říadě jeho buzení jedním a více signály. Omezíme se na harmonické budicí signály, z nichž je možno ve smyslu Fourierovy řady složit obecný eriodický budicí signál. 4.. Působení jednoho harmonického signálu Obr. 4.7 zachycuje situaci, kdy na nelineární obvod (je oužit říklad usměrňovače) ůsobí harmonický signál o kmitočtu F, jehož sektrum obsahuje jedinou sektrální čáru. Po růchodu obvodem s nelineární řevodní charakteristikou již signál není harmonický. Nicméně zůstává eriodický, neboli rozložitelný na jednotlivé harmonické. První harmonická je stejného kmitočtu jako je kmitočet vstuního signálu. Navíc se však ve sektru objevuje stejnosměrná složka a vyšší harmonické. Tento jev se nazývá obohacení sektra signálu nelineárním obvodem. Je to rojev nelineárního zkreslení signálu ve frekvenční oblasti. t s s t F f F F... f Obr. 4.7: Zkreslení harmonického signálu nelineárním obvodem je dorovázeno rozšířením sektra signálu o harmonické složky, které nejsou obsaženy ve vstuním signálu. V tomto konkrétním říadě dochází ke zkreslení harmonického signálu. Pro toto nelineární zkreslení se vžil (ne říliš vhodný) název harmonické zkreslení. V některých říadech je harmonické zkreslení, tj. odchylka tvaru signálu od harmonické křivky, ztěží nebo zcela nerozoznatelné ouhým ohledem na časový růběh. V laboratořích oužívané generátory signálů vyrábějí více či méně čisté harmonické signály. Harmonickou čistotu je možné analyzovat rávě omocí sektrálního analyzátoru, který odhalí míru zastouení vyšších harmonických složek v generovaném signálu. Míra zkreslení se ak vyjadřuje činitelem harmonického zkreslení (angl. Total Harmonic Distortion) THD, THD% THD, (4.) 8

29 Analogové elektronické obvody - řednášky 9 kde k je amlituda k-té harmonické analyzovaného signálu. Je-li činitel THD menší než zhruba -5%, nelze zkreslení rozoznat ouhým okem. Běžné RC generátory signálů oužívané ro rovozní měření mají činitel THD od,5%. Precizní oscilátory lze vyrobit s THD od,%. zesilovače na obr. 4.5a), ři vstuním naětí 5mV je střídavá složka výstuního naětí u out nerozeznatelná od harmonického signálu (viz obr. 4.5b). Přitom očítačová simulace ukazuje, že činitel harmonického zkreslení je asi 4,39% (rvní harmonická má velikost 638mV, druhá 8mV, třetí 75µV, ). Nelineární, res. harmonické zkreslení můžeme vnímat ze dvou hledisek. Podle rvního hlediska je to jev, který se snažíme eliminovat. Jedná se zejména o říady nežádoucího zkreslení tvaru o růchodu signálu různými obvody tyu zesilovač nebo řenosové vedení, nebo o generátory čistých harmonických signálů. Druhé hledisko je oačné: existuje řada obvodů, jejichž činnost je založena na nelineárním zkreslení a s ním sojeném obohacení sektra: nelineární člen vygeneruje harmonické složky na kmitočtech různých od kmitočtu vstuního signálu, a následný filtr vybere harmonickou složku (ří. skuinu složek), které otřebujeme. Na tomto rinciu může racovat naříklad násobič kmitočtu, kdy filtr tyu ásmová roust je naladěn na některou z vyšších harmonických, říadně usměrňovač s vyhlazovacím členem tyu dolní roust, na jehož výstuu je filtrovaná stejnosměrná složka, zbavená všech harmonických složek. Příklad 4.: Zkreslení signálů jejich růchody nelineárními obvody važujte nelineární obvody se statickými řevodními charakteristikami odle obr Na vstu ůsobí harmonický signál ( t) cos( Ωt ), V, Ω F, F khz. u π Vyočtěte časový růběh výstuního naětí a zjistěte jeho sektrální složky. u u u 3 u u u u u u u a) b) c) u u u u u u Obr. 4.8: Příklady nelineárních řevodních charakteristik a jejich obvodových realizací. 9

30 3 FEKT Vysokého učení technického v Brně Řešení: a) u ( t) u ( t) cos ( Ωt) cos( Ωt ),5,5cos( Ω )[ V] t Ve výstuním signálu se objeví stejnosměrná složka a harmonická složka na dvojnásobném kmitočtu než je kmitočet buzení. b) u ( t) u ( t) cos ( Ωt) cos( Ωt) cos( 3Ωt ),75 cos 3 4 ( Ωt),5 cos( 3Ωt)[ V]. 4 Ve výstuním signálu se objeví harmonická složka na stejném a harmonická složka na trojnásobném kmitočtu než je kmitočet buzení. c u ( t) u ( t) [ u ( )]. ) t Vstuní signál bude mít ořezané záorné ůlvlny, bude jednocestně usměrněn. Fourierova řada takového signálu vyadá následovně [ ]: u π ( t) cos( Ωt) cos( Ωt) cos( 4Ωt ) cos( 6Ωt) &,383,5 cos π ( Ωt), cos( Ωt ),44 cos( 4Ωt),84 cos( 6Ωt)...[ V] & Ve výstuním signálu se objeví stejnosměrná složka a nekonečný očet harmonických složek na celistvých násobcích kmitočtu budicího signálu. Poznatky z říkladu: Průchodem harmonického signálu nelineárním obvodem došlo k rozšíření ůvodního jednočárového sektra o řídavné harmonické složky, které nebyly řítomny ve vstuním signálu. Záleží na tyu nelinearity, jaký bude charakter rozšíření sektra: olynomiální hladké závislosti výstuu na vstuu vedou na konečný očet sektrálních čar, ostrá ořezání vyvolají větší rozšíření. Systém a) je římo oužitelný v alikaci zdvojovače kmitočtu. Příklad 4.: rčení činitele harmonického zkreslení Na vstu nelineárního obvodu s kubickou řevodní charakteristikou z obr. 4.8 b) řivádíme harmonický signál u ( t) ( Ωt), mv, Ω F, F 5kHz. u cos π Vyočtěte činitel harmonického zkreslení THD výstuního signálu. Řešení: Výočet výstuního signálu: ( t) u ( t) cos ( Ωt) cos( Ωt) cos( 3Ωt ),75cos( Ωt),5cos( 3Ω )[ mv]. t 3

31 Analogové elektronické obvody - řednášky 3 Výstuní signál je zkreslen ouze 3.harmonickou, která je však oměrně výrazná (/3 rvní harmonické). Výočet THD - vzorec (4.): THD, 5, 75 33, 3% Působení dvojice harmonických signálů o různých kmitočtech Působí-li na vstu nelineárního obvodu dvojice harmonických signálů o kmitočtech f a f, lze zobecněním říadu jediného harmonického signálu ředokládat, že ve sektru výstuního signálu se objeví kromě stejnosměrné složky a originálních složek na kmitočtech f a f rovněž vyšší harmonické na celočíselných násobcích f a f. Obr. 4.9 ukazuje, že tomu tak skutečně je. Kromě toho však ve sektru vznikají další, tzv. kombinační složky, nař. f ±f, f ±f atd. Kmitočty, na nichž se mohou objevit sektrální čáry, lze obecně osat vztahem mf ± nf, (4.) kde m, n jsou řirozená čísla taková, aby výsledný kmitočet vyšel nezáorný. Pro řibližný odhad velikostí kombinačních složek lze oužít zásadu, že čím je větší součet mn, tím větší útlum říslušné složky můžeme očekávat. vedený jev může vyvolávat v některých alikacích nežádoucí účinky. Jde zejména o říady, kdy do kmitočtového ásma, v němž racuje dané zařízení, se dostanou kombinační složky odvozené od užitečného i rušivého signálu. Tyto rušivé složky jsou zařízením zracovány a zůsobují tzv. intermodulační zkreslení. Podrobnosti budou osány v části 6.. na str. 3. t t t s f f f f f f f f... f f ss s3 f-f ff f-f ff t s f f Obr. 4.9: Princi vzniku kombinačních složek ve sektru výstuního signálu. 3

32 3 FEKT Vysokého učení technického v Brně Daného jevu na druhou stranu využívá řada radioelektronických zařízení. Princi je jednoduchý vhodným filtrem se oddělí z výsledného sektra jen jeho část, která je ro nás důležitá. Naříklad vydělením složky o rozdílovém kmitočtu f -f získáme tzv. směšovač, vydělením trojice složek f -f, f, f f amlitudový modulátor aod. Příklad 4.3: Obohacení sektra nelineárním obvodem ři dvoutónovém buzení važujte nelineární obvod s kvadratickou řevodní charakteristikou z obr. 4.8a). Na vstu ůsobí dvojice harmonických signálů u u ( t) cos( Ωt), V, Ω π F, F khz, ( t) cos( Ω t), V, Ω π F, F khz. Vyočtěte časový růběh výstuního naětí a zjistěte jeho sektrální složky. u Řešení: ( t) u ( t) [ cos( Ω t) cos( Ω t) ] cos cos,5cos ( Ω t) cos( Ω t) cos( Ω t) cos( Ω t) ( Ω t) cos( Ω t) cos[ ( Ω Ω ) t] cos[ ( Ω Ω ) t] ( Ω t),5cos( Ω t) cos[ ( Ω Ω ) t] cos[ ( Ω Ω ) t] [ V]. Ve výstuním signálu se objeví stejnosměrná složka, harmonické složky na dvojnásobcích kmitočtu vstuních signálů (khz a khz) a složky na součtovém a rozdílovém kmitočtu (khz a 9kHz). Příklad 4.4: Důsledky filtrace signálu z Př. 4.3 ásmovou roustí Na výstu systému z ř. 4.3 zaojíme ásmovou roust (PP) naladěnou na 9kHz s šířkou ásma khz. Zaište časový růběh výstuního signálu ásmové rousti v ustáleném stavu. Řešení: Využijeme výsledku ř Na výstuu PP mohou být ouze sektrální složky z intervalu 8,5kHz až 9,5kHz: ( ) ( ) [ ] ( ) [ ][ ] u PP t cos Ω Ω t cos Ω Ω t V. Na vstuu systému ůsobí dva harmonické signály o kmitočtech khz a khz, z výstuu odebíráme harmonický signál o rozdílovém kmitočtu 9kHz. Takovému zařízení se říká směšovač. 3

33 Analogové elektronické obvody - řednášky 33 Příklad 4.5: Důsledky filtrace signálu z Př. 4.3 ásmovou roustí Na výstu systému z ř. 4.3 zaojíme ásmovou roust naladěnou na khz s šířkou ásma,khz. Zaište časový růběh výstuního signálu ásmové rousti v ustáleném stavu. Řešení: Využijeme výsledku ř Na výstuu PP mohou být ouze sektrální složky z intervalu od 8,9kHz do,khz: ( ) ( ) [ ] [( ) ] [( ) ] ( ) [ ][ ] u PP t cos Ω Ω t cos Ω Ω t cos Ω Ω t cos Ω Ω t V. Na vstuu systému ůsobí dva harmonické signály o kmitočtech khz a khz, z výstuu odebíráme součet dvou harmonických signálů o součtovém a rozdílovém kmitočtu khz a 9kHz. Na výstuu je tedy amlitudově modulovaný signál s otlačenou nosnou na kmitočtu khz a dvěma ostranními ásmy. Zařízení ředstavuje AM modulátor DSB-SC, signál u je nosná, signál u je modulační signál. Shrnutí a zobecnění: Obvod racující v nelineárním režimu je zdrojem nelineárního zkreslení zracovávaného signálu. V časové oblasti to znamená deformaci jeho tvaru, v kmitočtové oblasti obohacení jeho sektra o složky, které nejsou ve vstuním signálu řítomny. Je-li vstuním signálem harmonický signál, ak hovoříme o harmonickém zkreslení a ohodnocujeme jej faktorem THD odle rovnice (4.). Je-li vstuním signálem signál složený z více harmonických složek, ak rojevem nelineárního zkreslení je vznik tzv. kombinačních složek, které mohou být zdrojem různých intermodulačních zkreslení. Je řada alikací, kdy nelineární zkreslení je nežádoucí jev (zesilovače, řenosové soustavy..) a je třeba roti němu rovádět oatření. Na druhou stranu řada elektronických zařízení je založena na využití jevu obohacení sektra s následnou kmitočtovou filtrací (násobiče kmitočtu, usměrňovače, směšovače, modulátory, demodulátory,..). 4.3 LINEARIZOVANÝ MODEL OBVOD Cíle kaitoly: Objasnění ostuu, jak získat linearizovaný model nelineárního obvodu s malosignálovým buzením. Vysvětlení významu linearizovaných střídavých arametrů nelineárních součástek. Pois náhradního schématu obvodu ro střídavý signál a možností jeho zjednodušování tak, aby bylo oužitelné ro ruční výočty. Vysvětlení ojmů ásmo středních kmitočtů a obvody rakticky lineární Linearizovaný model obvodu Z říkladu tranzistorového zesilovače s modelem na obr. 4.5a) a říslušných časových růběhů na obr. 4.5b) je zřejmé, že v linearizovaném režimu činnosti, ůsobí-li na vstu 33

34 34 FEKT Vysokého učení technického v Brně zařízení harmonický signál, vykazují všechna naětí a roudy v obvodu stejnosměrnou složku, danou souřadnicemi klidového racovního bodu, a střídavou harmonickou složku. živatele zajímají ředevším střídavé složky, tj. změny kolem klidového racovního bodu, neboť to jsou signály, které většinou na výstuu využíváme, nař. u zesilovače k řeměně na akustický výkon rostřednictvím reroduktoru. Porovnáním střídavých složek výstuního a vstuního naětí získáme velikost zesílení, odíl střídavých složek vstuního naětí a roudu udává vstuní imedanci, aod. Zajímáme-li se ředevším o střídavé veličiny v obvodu a stejnosměrné hodnoty, tj. jednou evně nastavené souřadnice klidového racovního bodu, jdou mimo naši ozornost, můžeme si dovolit určité zjednodušení obvodového modelu. Podívejme se na obr. 4.. V levé části je modelována skutečnost, že naětí uzlu A roti zemi je obecně dáno stejnosměrnou složkou Q (souřadnicí racovního bodu) a střídavou složkou u ~ : u u ~. Q u A A Q Q Q u ~ uu ~ u B t u B t u ~ u ~ Obr. 4.: Zjednodušení obvodu neuvažováním stejnosměrných složek signálů. Nezajímají-li nás stejnosměrná osunutí, nahradíme zdroje Q zkratem. Zdůrazněme, že se jedná ouze o zkrat modelový, nikoliv faktický. Toto je třeba rovést se všemi větvemi v obvodu. vědomíme-li si, že jediným zdrojem říčinou stejnosměrných osunutí, je stejnosměrný naájecí zdroj, ostačí nahradit tento zdroj zkratem. Obr. 4.4 ilustruje na říkladu zesilovače z obr. 4. b) raktický ostu řevodu schématu obvodu na linearizovaný model - náhradní schéma ro řenos střídavého signálu. Nejrve je zdroj stejnosměrného naětí nahrazen zkratem (obr. a). Tím dojde k zjednodušení obvodu, který lze řekreslit do formy na obr. b). Jestliže je kmitočet signálu takový, že akumulační rvky v našem říadě kaacitory C a C, mají zanedbatelnou reaktanci, ak úbytek střídavého signálu na nich je zanedbatelný a tyto rvky je možno rovněž nahradit zkratem (obr. c). V osledním kroku je jediný nelineární rvek v obvodu tranzistor nahrazen jeho linearizovaným modelem (vysvětlení bude následovat). Získáme tak náhradní schéma na obr. d), jehož analýzou lze určit všechny střídavé arametry zesilovače, zejména naěťové zesílení u out~ /u in~, vstuní odor u in~ /i in~ a výstuní odor u out~ /i out~. Příklad 4.6: rčení stejnosměrných a střídavých oměrů v obvodu V obvodu na obr. 3. zjistěte stejnosměrná a střídavá naětí a roudy ro všechny rezistory a zdroje. 34

35 Analogové elektronické obvody - řednášky 35 V 5k,5V 5k 5V Obr. 4.: Obvod s dvojicí stejnosměrných a jedním střídavým zdrojem naětí. Řešení: V souladu s rinciem suerozice řešme odděleně naětí a roudy ři ůsobení jen stejnosměrných zdrojů (obr. 4. a) a ak ři ůsobení jen střídavého zdroje (obr. 4. b). Získaná stejnosměrná a střídavá řešení ak sečteme (obr. 4.3). Z obrázku naříklad vylývá, že vzhledem k střídavému zdroji obvod vykazuje střídavý vstuní odor,5v/ma 5kΩ. To souhlasí s obr. 4.b), odle kterého je tento odor tvořen aralelní kombinací dvou odorů 5kΩ. 6uA ua~ V ua 5k 5k 3V V 5V,5V~ ua~ 5k 5k,5V~,5V~ 4uA ua~ a) b) Obr. 4.: Řešení stejnosměrných (a) a střídavých (b) oměrů v obvodu z obr

36 36 FEKT Vysokého učení technického v Brně 5V V~ 5V V,5V~ V 5k V,5V~ 5V V,5V 5k V t 6uA -ua~ 6mA V 5k 4mA 5V ma -ua ua~ 5k ma,5v 4uA ua~ -ma t Obr. 4.3: Úlné řešení obvodu z obr. 4., souvislost mezi stejnosměrným a střídavým řešením Linearizovaný odorový model nelineárního rvku Tento model lze získat linearizací stejnosměrných nelineárních charakteristik nelineárního rvku v okolí stejnosměrného racovního bodu. Modelu je ak možné využít k analýze střídavých signálů, racuje-li obvod v linearizovaném režimu, jestliže kmitočet signálu je takový, že je možné zanedbat vliv reaktančních rvků v obvodu (naříklad arazitní mezielektrodové kaacity tranzistoru). Jestliže vliv těchto rvků není možné zanedbat, ak je třeba dolnit odorový model o říslušné reaktanční rvky. važujme oět tranzistor z obr. 4.a) a jeho statické charakteristiky z obr. 4.. Naěťové a roudové oměry v tranzistoru lze osat soustavou nezávislých naětí a roudů BE, CE, I B, I C. Ostatní veličiny z obr. 4.a), totiž BC a I E, lze doočítat z výše uvedených. Závislosti mezi uvedenými veličinami jsou obecně nelineární. Některé z nich jsou graficky vyjádřeny na obr. 4.. Z tohoto obrázku vylývá, že existuje nelineární závislost mezi roudem kolektoru a naětím kolektor-emitor, tj. veličinami v kolektorovém okruhu. Proud kolektoru však bude současně ovlivňován i oměry v bázovém okruhu, tj. roudem báze, res. naětím báze-emitor. Podobně roud báze bude závislý na naětí báze-emitor a zětně bude ovlivňován i naětím kolektor-emitor, res. roudem kolektoru. Tyto závislosti lze osat soustavou dvou nelineárních rovnic: I I, I ) (4.3) C C ( CE B I I, ) (4.4) B B ( BE CE 36

37 Analogové elektronické obvody - řednášky 37 Představme si, že se nacházíme v stejnosměrném racovním bodu Q. Pak I I, I ), (4.5) CQ C ( CEQ BQ I I, ). (4.6) BQ B ( BEQ CEQ R3 8k R 3k3 C u out~ C u out~ C M u in~ R4 33k B R T E M C in C u in~ B R T E C R a) R4 R3 b) C u out~ in B T in i in~ B i B~ T C i out~ u in~ E R u in~ β i B~ r BE r CE u out~ R4 R3 R4 R3 E R c) d) Obr. 4.4: Postuné zjednodušování modelu zesilovače ro řenos slabého střídavého signálu. a) Náhrada stejnosměrného zdroje naětí zkratem, b) řekreslení schématu z obr. a) do jednodušší formy, c) zanedbání relativně malých reaktancí kondenzátorů jejich náhrada zkratem, d) náhrada tranzistoru jeho linearizovaným nízkofrekvenčním modelem. Sledujme, co se stane s kolektorovým roudem, jestliže se neatrně změní naětí CE a roud I B o diferenciály d CE a di B, a s roudem báze ři odobné změně naětí BE a naětí CE o diferenciály d BE a d CE. Diferencováním rovnic (4.3) a (4.4) v racovním bodu Q dostáváme: di di C B I d I di C C CE B, (4.7) CE I Q B Q I d I d B B BE CE. (4.8) BE Q CE Q Cháeme-li změny souřadnic stejnosměrného racovního bodu jako rojev střídavých složek obvodových veličin, můžeme diferenciály nahradit těmito složkami a sát rovnice (4.7) a (4.8) ve tvaru 37

38 38 FEKT Vysokého učení technického v Brně kde i C~ uce~ β ib~, (4.9) r CE i B~ ube~ g BCuCE~, (4.) r BE u CE~ r CE střídavý odor kolektor-emitor ři neůsobení střídavé složky bázového ic ~ i i B~ i ~ B roudu, C~ β střídavý roudový zesilovací činitel ři neůsobení střídavé složky naětí u u ~ CE kolektor-emitor, BE~ r BE střídavý odor kolektor-emitor ři neůsobení střídavé složky bázového ibe~ i u ~ CE roudu, B~ g BC zětná řenosová vodivost z kolektorového do bázového okruhu ři uce~ u BE ~ neůsobení střídavé složky naětí báze-emitor. I C strmost tečny souvisí se střídavým odorem I CQ Q I BQ u CE~ i C~ IB strmost sečny souvisí se stejnosměrným odorem CEQ CE Obr. 4.5: Výstuní charakteristiky tranzistoru I C I C ( CE ), I B konst. V racovním bodu je definován stejnosměrný (statický) výstuní odor tranzistoru R CE CEQ /I CQ a střídavý (diferenciální) odor r CE u CE~ /i C~. Odory mají odlišný fyzikální význam a odstatně se liší v hodnotách. Velikost stejnosměrného odoru souvisí se strmostí římky rocházející bodem Q a očátkem souřadnic, zatímco velikost střídavého odoru souvisí se strmostí tečny říslušné výstuní charakteristiky v bodu Q. 38

39 Analogové elektronické obvody - řednášky 39 I C CEQ I CQ Q CE I BQ I B Obr Převodní charakteristiky tranzistoru I C I C (I B ), CE konst. V racovním bodu je definován stejnosměrný (statický) roudový zesilovací činitel tranzistoru B I CQ /I BQ, a střídavý (diferenciální) roudový zesilovací činitel β i C~ /i B~. Veličiny mají odlišný fyzikální význam, avšak jejich hodnoty jsou rakticky stejné v důsledku dobré linearity řevodních charakteristik. I B CE I BQ Q strmost sečny souvisí se stejnosměrným odorem strmost tečny souvisí se střídavým odorem BEQ BE Obr. 4.7: Vstuní charakteristiky řechodu báze-emitor tranzistoru I B I B ( BE ), CE konst. V širokém rozsahu naětí kolektor-emitor jsou charakteristiky na tomto naětí rakticky nezávislé. Z toho vylývá zanedbatelná velikost arametru g BC i B~ /u CE~, u BE~. Střídavý vstuní odor r BE souvisí se strmostí tečny k charakteristice v racovním bodu Q. Tyto arametry ředstavují strmosti nelineárních charakteristik tranzistoru v daném racovním bodu v říslušných směrech. Jejich velikosti jsou ochoitelně závislé na tyu 39

40 4 FEKT Vysokého učení technického v Brně oužitého tranzistoru a na volbě racovního bodu. K vytvoření hrubé ředstavy o řádových hodnotách uvádíme tyické hodnoty ro křemíkový tranzistor: r CE kω, β, r BE 5kΩ, g BC. (4.) Poslední údaj hovoří o tom, že ři jednoduchých raktických výočtech obvykle můžeme zanedbat zětný vliv naětí kolektor emitor na roud báze. Fyzikální význam daných arametrů je ilustrován na obr. 4.5 až 4.7. V obrázcích je vždy zdůrazněn rozdíl mezi stejnosměrným a střídavým arametrem včetně říslušné geometrické interretace. Výstuní odor r CE vychází relativně vysoký díky tomu, že výstuní charakteristiky tranzistoru vykazují v oblasti naětí kolektor-emitor větších než asi V oměrně malou strmost (obr. 4.5). Z obr. 4.6 zase vylývá, že ro relativně malé roudy báze je roud kolektoru rakticky římo úměrný roudu báze, sklon říslušných římek závisí na naětí kolektor-emitor. V této oblasti tedy mají stejnosměrný a střídavý roudový zesilovací činitel rakticky stejné hodnoty. Obr. 4.7 zase ilustruje, že amérvoltové charakteristiky řechodu báze-emitor tranzistoru závisejí velmi málo na naětí kolektoremitor, takže v rvním řiblížení je možno zanedbat vodivost g BC, která rerezentuje zětný vliv kolektorového obvodu na obvod bázový. Rovnice 4.9 a 4. můžeme ři zanedbání arametru g BC využít k tvorbě linearizovaného modelu tranzistoru na obr. 4.8 b). B i B~ i C~ C u CE~ B i B~ r BE β ib~ i C~ C r CE u BE~ u BE~ E E a) b) u CE~ Obr. 4.8: Zjednodušený linearizovaný model tranzistoru vyhovující rovnicím 4.9 a 4. za ředokladu g BC. Rovnice 4. vztah mezi naětím báze-emitor a roudem báze - je rerezentována odorem r BE mezi bází a emitorem. Rovnice 3.9 ukazuje, že kolektorový roud se skládá ze dvou částí. První člen rerezentuje roud tekoucí výstuním odorem r CE, na němž je naětí kolektor-emitor. Druhý člen je roud báze zesílený arametrem β. Tato rovnice je tedy modelována aralelním usořádáním odoru r CE a zdroje roudu, jehož velikost je řízena roudem báze. vedený model byl oužit v obr. 4.4 d) jako součást linearizovaného modelu tranzistorového zesilovače Linearizovaný kmitočtově závislý model nelineárního rvku Výše uvedený linearizovaný model nelineárního rvku byl odvozen linearizací stejnosměrných nelineárních charakteristik v okolí stejnosměrného racovního bodu. Model tedy nezahrnuje vliv reaktančních rvků arazitních kaacit a indukčností. Tento vliv je většinou nevýznamný v nízkofrekvenčním audio ásmu. Na druhou stranu jej nelze zanedbat ři modelování tranzistorů ve vysokofrekvenčních alikacích. Pak je nutné ůvodní odorový model dolnit o reaktanční rvky. Je třeba si uvědomit, že tyto rvky bývají rovněž 4

41 Analogové elektronické obvody - řednášky 4 nelineární, takže hodnoty říslušných kaacit a indukčností je nutné oět získat linearizací v okolí stejnosměrného racovního bodu. Příslušné rovnice 4.9 a 4. se ak formálně změní: namísto reálných arametrů budou arametry komlexní (naříklad imedance namísto odorů), střídavé signály nyní oíšeme fázory. Pak I & C & CE & β I& B, (4.) Z& CE I & B & BE Y& BC & CE. (4.3) Z& BE Příslušný linearizovaný kmitočtově závislý model je na obr B C I& B I& C B Y & & CB CE C &βi& I& C B I& B & CE Z& BE Z& CE & BE E & BE a) b) E & CE Obr. 4.9: Linearizovaný kmitočtově závislý model tranzistoru vyhovující rovnicím 4. a 4.3. Komlexní arametry jsou kmitočtově závislé Pásmo tzv. středních kmitočtů važujme oět zesilovač na obr. 4.4 a) a jeho náhradní schémata ro střídavý signál na obr. b) až d). Má-li zesilovaný signál relativně nízký kmitočet, ak zesílení celého obvodu bude nízké ze dvou důvodů:. Kaacitor C solu se vstuním odorem mezi bází a dolním solečným vodičem tvoří kmitočtově závislý dělič (C-R článek), který vykazuje na nízkých kmitočtech velký útlum signálu.. Kaacitor C rerezentuje na nízkých kmitočtech vysokou imedanci, neblokuje tedy emitorový rezistor R, který vyvolává záornou zětnou vazbu. Tato zětná vazba výrazně snižuje zesílení stuně. Zesilujeme-li naoak signál o relativně vysokém kmitočtu, začnou se ulatňovat mezielektrodové kaacity tranzistoru (na obr. 4.4 nejsou vyznačeny). važujeme-li nař. kaacitu mezi kolektorem a emitorem C CE, která činí kolem několika ikofaradů, bude tato kaacita na kmitočtech řádově MHz zkratovávat řechod kolektor-emitor reaktancí řádově stovky ohmů a tím snižovat zesílení. Zjednodušený model na obr. 4.4 d) neobsahuje žádnou reaktanci: racovní kaacity C a C jsou nahrazeny zkraty ředokládá se, že kmitočet signálu není říliš malý (větší než desítky Hz). Parazitní kaacity tranzistoru jsou vynechány, tj. nahrazeny rozojeními ředokládá se, že kmitočet není extrémně velký (menší než jednotky MHz). V tomto kmitočtovém ásmu, tzv. ásmu středních kmitočtů, kdy je možno obvod modelovat čistě odorovým náhradním zaojením, obvod racuje odle ředokladů návrháře. Zesílení je v tomto kmitočtovém ásmu nezávislé na kmitočtu. Lze jej odhadnout analýzou modelu na obr. 4.4 d): u out uin~ uout~ β ~ β ib~ ( rce R ) β ( rce R ) ( rce R ) (k 3,3 k) 64 r u r 5 BE in~ BE 4

42 4 FEKT Vysokého učení technického v Brně Záorné znaménko znamená, že zvětšuje-li se vstuní naětí, klesá naětí výstuní, neboli že zesilovač invertuje signál (otáčí fázi o 8 ). Mohli jsme se o tom řesvědčit z obrázků 4.5 a 4.6. Je třeba oznamenat, že ásmo středních kmitočtů je tyické rávě ro nízkofrekvenční zesilovače, ovšem existuje řada zařízení, u nichž uvedené ásmo nemá smysl definovat. Pracovní režim takových zařízení římo využívá ůsobení vnitřních reaktancí, které ak není možné zanedbávat. Tyickým říkladem jsou rezonanční obvody Obvody rakticky lineární Jedná se o obvody, které vykazují lineární chování ro relativně široký rozsah budicích signálů. Tyickým říkladem jsou asivní kmitočtové filtry, složené z dvojólů tyu R, C a L. Kritickým rvkem z hlediska linearity zde bývají induktory. Dalším říkladem jsou obvody složené z integrovaných obvodů, kde linearita je zajištěna vnitřním rovedením obvodu. těchto alikací se uživatel většinou nemusí zabývat nastavováním stejnosměrného racovního bodu: u lineárních asivních obvodů to není rinciiálně nutné, v říadě integrovaných bloků bývá racovní bod již otimálně nastaven ve vnitřní struktuře. Vždy je však třeba mít na aměti, že i tyto obvody se začnou chovat jako nelineární, dojde-li k řekročení rozsahu budicích signálů mimo ovolený interval. Příklad 4.7: Analýza střídavých oměrů v tranzistorovém zesilovači Na obr. 4. jsou uvedeny stejnosměrné oměry v tranzistorovém zesilovači. Tranzistor má v daném racovním bodě tyto linearizované arametry: r BE 5kΩ, r CE kω, ß5. Analýzou nalezněte střídavá naětí a roudy v obvodu, je-li na vstuu zesilovače střídavé naětí mv o kmitočtu z ásma středních kmitočtů (kolem khz). Zjistěte střídavé zesílení a vstuní odor celého zesilovače.,65v,35v RB M R C k 6V V C V µ V mv~ I BQ 5,675µΑ,65V 6V I EQ I CQ 3mA Obr. 4.: Tranzistorový zesilovač a souřadnice jeho stejnosměrného racovního bodu. Řešení: Nejrve dooručujeme kontrolním výočtem ověřit, zda není v hodnotách stejnosměrných naětí a roudů na obr. 4. žádný rozor. 4

43 Analogové elektronické obvody - řednášky 43 K výočtu střídavých oměrů je třeba nakreslit náhradní schéma zesilovače ro střídavý signál, což v rvním kroku znamená nahradit naájecí baterii zkratem a v druhém kroku zanedbat střídavé naětí na vazebním kaacitoru C V (jde o ásmo středních kmitočtů). Tranzistor je nahrazen jeho linearizovaným modelem. Výsledek je uveden na obr. 4.b), který vznikl z obr. 4.a) jednoduchým řekreslením. R B R C V I & B I & β & C I B Cv & in & out & Cv in & BE R B r BE rce R C & out a) b) tranzistor Obr. 4.: a) Náhradní schéma zesilovače ro střídavý signál náhrada naájecí baterie zkratem, b) náhrada tranzistoru linearizovaným modelem a řekreslení obvodu. Paralelní kombinace R B r BE ředstavuje odor cca 4,988kΩ. Kaacitor C V má na kmitočtu khz reaktanci cca,59ω. Při těchto nesouměřitelných hodnotách to znamená, že rakticky celé vstuní naětí bude rovno naětí báze-emitor, neboli že na kaacitoru bude zanedbatelný úbytek naětí. Pro další analýzu tedy lze kaacitor nahradit zkratem (jsme skutečně v ásmu středních kmitočtů). RB V V~ R C V V 3,9V C V V mv~ µα 4µΑ,65V mv~ RB R C 6V -3,9V~ V 6V,65V V 6mA mv~ mv~ t ma C V 5,675µΑ 4µΑ 3mA ma~ 3mA ma 4µΑ t Obr. 4.: Úlné řešení zesilovače z obr. 4., souvislost mezi stejnosměrným a střídavým řešením. 43

44 44 FEKT Vysokého učení technického v Brně Proud báze bude roven odílu naětí báze-emitor a odoru r BE, neboli mv/5kω4µa. Kolektorový roud získáme vynásobením roudu báze roudovým zesilovacím činitelem ß, což činí ma. Tento roud rotéká zdola nahoru aralelní kombinací r CE a R C, což je asi,96kω. Střídavé výstuní naětí tedy bude out -3,9V. Tomu odovídá střídavé zesílení -3,9V/mV -96. Střídavý vstuní odor zesilovače, jak vylývá z obr. 4.b), je roven odoru aralelní kombinace R B r BE, tedy asi 4,988kΩ. Z obr. 4. je zřejmý fyzikální význam vyočtených hodnot střídavých naětí a roudů, které jsou nasueronovány na klidových naětích a roudech v nastaveném stejnosměrném racovním bodu. Záorné zesílení znamená, že výstuní naětí je oroti vstunímu otočeno o 8 stuňů. Kolektorový roud se mění v rozmezí od ma do 5mA. Přitom možný rozkmit je teoreticky od ma (tranzistor je zavřen) o 6mA (tranzistor je zcela otevřen). Shrnutí a zobecnění: Pro analýzu střídavých oměrů v obvodu, který racuje v linearizovaném režimu, je výhodné sestavit linearizovaný model obvodu ro střídavý signál. Model obvodu ro střídavý signál získáme tak, že v obvodu vyřadíme všechny stejnosměrné zdroje (tj. zdroje naětí zkratujeme a zdroje roudu rozojíme) a všechny nelineární součástky nahradíme jejich linearizovanými modely. Při tvorbě modelů zohledníme, zda je nutné uvažovat vliv akumulačních rvků. Pokud ne, nahradíme říslušné akumulační rvky zkraty nebo rozojeními, odle toho, zda ři racovních kmitočtech ředstavují nízkou nebo vysokou imedanci. Získáme tak maximálně zjednodušený model ro ásmo středních kmitočtů. 4.4 OBVOD V LINEÁRNÍM REŽIM Cíle kaitoly: Rozbor chování obvodu v lineárním režimu ři buzení jedním harmonickým signálem a eriodickým signálem. Objasnění rinciu modifikace sektra signálu lineárním obvodem. Vysvětlení ojmu lineární zkreslení a jeho říčin. kázání odmínek, za nichž lineární obvod nezkresluje signál. Představení lineární kmitočtové filtrace jako zůsobu využití lineárního zkreslení Harmonický ustálený stav (HS) Je-li obvod buzen jediným harmonickým signálem, ak v říadě slnění odmínek stability (viz dále) obvod řechází do eriodického ustáleného stavu. Jsou-li současně slněny odmínky lineárního chování obvodu, budou všechna naětí a všechny roudy v obvodu harmonické. Oakovací kmitočet všech těchto signálů bude stejný a bude roven oakovacímu kmitočtu budicího signálu. Obvod se ak nachází v stavu, který nazýváme harmonický ustálený stav (HS). 44

45 Analogové elektronické obvody - řednášky 45 Pojem HS je možné rozšířit i na nelineární obvody racující v linearizovaném malosignálovém režimu, kdy jednotlivé harmonické signály jsou odloženy říslušnými stejnosměrnými složkami souřadnicemi stejnosměrného racovního bodu obvodu Periodický ustálený stav (PS) Jestliže zaměníme výše uvažovaný budicí zdroj harmonického signálu zdrojem signálu eriodického, řechází daný obvod do eriodického obecně neharmonického ustáleného stavu. Všechna naětí a roudy v obvodu ak budou eriodickými signály. Oakovací kmitočet všech těchto signálů bude stejný a bude roven oakovacímu kmitočtu budicího signálu. Obvod se nachází v eriodickém ustáleném stavu (PS). Z tohoto ohledu je HS zvláštním říadem PS, kdy obvod je buzen eriodickým signálem skládajícím se z jediné harmonické sektrální složky. Základní jevy, které se odehrávají v obvodech v HS a PS, je výhodné analyzovat v kmitočtové oblasti s využitím ředstavy, že budicí signál je osán sektrálními čarami rozloženými na kmitočtové ose, jeho sektrum je růchodem obvodu modifikováno, a to se romítá do změny tvaru výstuního signálu. Tato metodika bude oužita v následujících kaitolách Modifikace sektra signálu lineárním obvodem Protože každý elektrický obvod je setrvačný, neboli obsahující akumulační rvky, jejichž reaktance jsou kmitočtově závislé, bude chování obvodu záviset na kmitočtu budicího signálu. Kmitočtová závislost sledované vlastnosti obvodu, naříklad zesílení, se nazývá kmitočtová charakteristika. Skládá-li se budicí signál z více harmonických složek, ak kmitočtová charakteristika udává, s jakými vahami budou tyto složky ronikat na výstu obvodu, neboli jak bude modifikováno sektrum signálu o růchodu obvodem. Protože tvar signálu je dán jak jeho amlitudovým, tak i fázovým sektrem, je třeba ři modifikaci sektra uvažovat jak amlitudovou, tak i fázovou kmitočtovou charakteristiku obvodu. Oba ojmy zoakujeme na následujícím říkladu. Příklad: Kmitočtová charakteristika RC článku tyu dolní roust. Na obr. 4.3a) je ukázka testování růchodu harmonického signálu RC článkem. Článek je buzen z generátoru harmonických kmitů, jejichž kmitočet máme možnost měnit. Celý obvod se chová jako kmitočtově závislý dělič naětí, s růstem kmitočtu se bude řenos ostuně zmenšovat, tak jak bude ostuně klesat reaktance kaacitoru. Výstuní signál roto bude oroti vstunímu změněn jeho amlituda bude obecně menší a bude atrné určité časové zoždění výstuu v důsledku růchodu signálu článkem. Zeslabení signálu je možné vyjádřit oměrem amlitud výstuního a vstuního naětí / & / &, časové zoždění zase omocí fázového osuvu ϕ-ϕ mezi výstuním a vstuním signálem, kde ϕ, res. ϕ je očáteční fáze výstuního, res. vstuního signálu. Oba sledované faktory budou záviset na kmitočtu. Tyto kmitočtové závislosti jsou vyneseny na obr. 4.3 b) jako amlitudová a fázová kmitočtová charakteristika. Daný bod amlitudové charakteristiky získáme tak, že nastavíme kmitočet generátoru na ožadovanou hodnotu, odečteme amlitudy výstuního a vstuního naětí a jejich oměr vyneseme na svislou osu. Bod fázové charakteristiky ak ředstavuje fázový osuv mezi výstuním a vstuním signálem ři tomto kmitočtu. 45

46 46 FEKT Vysokého učení technického v Brně Z růběhu amlitudové kmitočtové charakteristiky vylývá, že RC článek se chová jako dolní roust signály o nízkých kmitočtech jsou řenášeny bez odstatného zeslabení, útlum roste ro signály o vyšších kmitočtech. Hranice mezi roustným a neroustným ásmem je neostrá. Hraniční kmitočet se obyčejně definuje jako kmitočet, ři kterém oklesne řenos o 3 decibely oroti řenosu na kmitočtu Hz. Tento okles odovídá oklesu řenosu na hodnotu /,77. Z obrázku 4.3b) je zřejmé, že tento kmitočet má hodnotu khz. Z teorie vylývá, že hraniční kmitočet lze určit omocí hodnot R a C z vzorce f khz RC &. π π Z uvedeného je zřejmé, že ři růchodu harmonického signálu lineárním obvodem dochází v ustáleném stavu k změně signálu v tom smyslu, že se obecně změní jeho amlituda i očáteční fáze. Obě tyto veličiny budou záviset na kmitočtu v souladu s danými kmitočtovými charakteristikami obvodu. Jako říklad je možné uvést růchod harmonické nosné vlny telefonním kabelem dané délky: nosná o kmitočtu khz bude rocházet oměrně snadno, ro kmitočet MHz však nebude kabel rakticky růchozí. Příklad 4.8: Kmitočtová charakteristika RC článku Odvoďte vzorec ro kmitočtovou charakteristiku RC článku z obr Na základě tohoto matematického oisu nakreslete v Matlabu amlitudovou a fázovou kmitočtovou charakteristiku. Řešení: Poměr fázorů výstuního a vstuního naětí vede na výočet komlexní kmitočtové charakteristiky: & K& & ω j ω jωc R jωc ω ω RC τ 6µs jωrc RC ω 6,5krad/s e ω jarctg ω.... časová konstanta... mezní kmitočet Protože modul, res. argument výsledku je matematický ois amlitudové, res. fázové kmitočtové charakteristiky, dostáváme: Amlitudová kmitočtová charakteristika K ( ω ). ω ω ω 65 Fázová kmitočtová charakteristika ϕ ( ω ) ω ω arctg arctg. ω 65 46

47 Analogové elektronické obvody - řednášky 47 Ověřte si, že těmto vzorcům odovídají grafy na obr R6k Cn & f & & & a) ϕ ϕ [ ] : fhz, řenos,98 : fkhz, řenos,77 3: f3khz, řenos, f [khz] : fhz, osun,3 stuňů a) - - : fhz, řenos,98, osun,3 stuňů t [ms] : fkhz, řenos,77, osun 45 stuňů u u u u t [ms] -45 : fkhz, osun 45 stuňů 3: f3khz, řenos,36, osun 7,6 stuňů u 3: f3khz, osun 7,6 stuňů b) f [khz] c) u t [ms] Obr. 4.3: a) kázka měření kmitočtové charakteristiky RC článku, b) změřená amlitudová a fázová kmitočtová charakteristika, c) časové růběhy vstuního a výstuního signálu, na základě nichž byly změřeny body, a 3 kmitočtových charakteristik. Příklad rogramu v MATLABu ro vykreslení kmitočtových charakteristik: R6; Ce-9; om/(r*c); fom//i; % zadání odoru % zadání kaacity % výočet mezního kmitočtu v rad/s % řeočet mezního kmitočtu na Hz 47

48 48 FEKT Vysokého učení technického v Brně f:5:5e3; om*i*f; k./(j.*om/om); magabs(k); lot(f,mag); % zadání rozsahu kmitočtů a kroku výočtu % řeočet na kruhový kmitočet % výočet komlexní kmitočtové charakteristiky % výočet amlitudové kmitočtové charakteristiky % vykreslení amlitudové kmitočtové charakteristiky % haseangle(k); % říadný výočet fázové kmitočtové charakteristiky % lot(f,hase); % říadné vykreslení fázové kmitočtové char. Poznámka: Charakteristiky lze získat i elegantněji omocí funkce freqs z SP Toolboxu Průchod signálu lineárním obvodem Průchod eriodického signálu Vzniká otázka růchodu obecného eriodického, nikoliv harmonického signálu obvodem se známou kmitočtovou charakteristikou. Zde si omůžeme ředstavou, že eriodický signál je složen ze stejnosměrné složky, rvní harmonické a vyšších harmonických složek. Je-li obvod lineární, ak můžeme k určení odezvy na tento složený signál oužít rinci suerozice: zjistíme růnik jednotlivých harmonických na výstu omocí kmitočtové charakteristiky obvodu a tyto složky ak sečteme ve výsledný výstuní signál. Tento řístu je ukázán v následujícím říkladu. Příklad: Průchod eriodického signálu RC článkem tyu dolní roust Jednocestně usměrněný harmonický signál u(t) má tvar kladných ůlvln s oakovacím kmitočtem F khz. Tento signál je vyhlazován RC filtrem o mezním kmitočtu khz z říkladu 4.8. Z obr. 4.4 je atrné, že vstuní signál je dobře osatelný stejnosměrnou složkou, rvní a druhou harmonickou. To jsou sektrální složky na kmitočtech, khz a 4kHz. Na těchto kmitočtech má RC článek řenos,,45 a,4 a tyto složky zožďuje o fázové osuny, 63 a 76. Po složení takto modifikovaných sektrálních složek již tvar výstuního signálu nebude odovídat tvaru budicího signálu. Říkáme, že růchodem signálu RC článkem došlo k jeho zkreslení. Protože článek je lineární, hovoříme o lineárním zkreslení. Z obr. 4.4 je dobře atrné, že míra zkreslení bude záviset na oměru mezi mezním kmitočtem článku a kmitočtem rvní harmonické signálu. Pokud je tento oměr mnohem větší než, bude zkreslení zanedbatelné, neboť ak všechny významné harmonické roniknou na výstu rakticky bez útlumu. 48

49 Analogové elektronické obvody - řednášky 49 u u R C u' u' t t sektrum u ϕ ϕ ϕ F F f F F f sektrum u' K u,45,4 f F F f ϕ ϕ f F F f kmitočtová charakteristika harmonické složky u ϕ ϕ harmonické složky u' t. ϕ ϕ t u t, 45 ϕ ϕ u t u t, 4 ϕ ϕ u t Obr. 4.4: Souvislosti mezi časovými růběhy vstuního a výstuního naětí, sektry těchto signálů, a amlitudovou a fázovou kmitočtovou charakteristikou RC článku Lineární zkreslení. Podmínky nezkresleného řenosu V ředchozí kaitole bylo ukázáno, že lineární zkreslení je změna tvaru signálu, vyvolaná růchodem signálu lineárním obvodem. Příčina zkreslení sočívá v tom, že obvod vykazuje různé řenosy signálu na různých kmitočtech, v důsledku čehož ronikají harmonické složky signálu na výstu s různým útlumem a různým fázovým osuvem. 49

50 5 FEKT Vysokého učení technického v Brně V technické raxi je výstuní signál s (t) ovažován za nezkreslený ve vztahu k vstunímu signálu s (t), latí-li s t) A. s ( t ), (4.4) ( τ kde A je reálná konstanta různá od nuly, udávající možné zesílení, res. zeslabení signálu, a τ udává možné časové zoždění signálu. Představíme-li si eriodický signál složený z harmonických složek, ak změna jeho velikosti, rerezentovaná jeho vynásobením konstantou A, vlastně znamená změnu amlitudy každé harmonické složky A krát. Zoždění signálu o čas τ zase znamená zozdit každou dílčí harmonickou o tento čas. Ze sektrální teorie ale víme, že zoždění. harmonické o kmitočtu Ω o čas τ ředstavuje fázové zoždění o úhel Ω τ radiánů, ale stejné zoždění k-té harmonické o kmitočtu k Ω již ředstavuje její fázové osunutí kω τ radiánů. Znamená to tedy, že ideální řenosový článek, který by zajišťoval nezkreslený řenos signálu odle vzorce (4.4), by musel mít konstantní amlitudovou kmitočtovou charakteristiku se zesílením A a lineárně klesající fázovou kmitočtovou charakteristiku, oisující nulový fázový osuv mezi výstuním a vstuním signálem ro kmitočet a lineárně do záorných hodnot (tj. zoždění výstuu oroti vstuu) klesajícím fázovým osuvem ro rostoucí kmitočet. Záorně vzatá derivace této závislosti na kmitočtu je ak konstantní a je rávě rovna časovému zoždění výstuního signálu oroti vstunímu signálu. Nazývá se skuinové zoždění (grou delay, τ g ): d τ S ( ) dω ϕ ω. (4.5) V raxi ostačí, okud jsou obě odmínky, tj. konstantní amlitudová a lineární fázová kmitočtová charakteristika, současně slněny ouze v kmitočtovém ásmu, v němž se nachází sektrum zracovávaného signálu. Naříklad u kvalitního zesilovače hudebního signálu se ožadují tyto vlastnosti jeho kmitočtových charakteristik v kmitočtovém ásmu cca od 5Hz do 5kHz. Pokud naříklad zesilovač vykazuje okles svého nominálního zesílení od dolního mezního kmitočtu 3Hz, nikoliv 5Hz, bude to znamenat, že na jeho výstuu budou otlačeny basy, což je rojev lineárního zkreslení. Příklad 4.9: Ideální řenosový článek Za jakých odmínek se bude chování RC článku z obr. 4.3 blížit chování ideálního řenosového článku? Řešení: Jestliže kmitočtové sektrum vstuního signálu bude rozloženo do oblasti kmitočtů f << f, kde f je mezní kmitočet článku. Pro konkrétní článek z obr. 4.3 je tento kmitočet asi 995Hz. V této oblasti je amlitudová kmitočtová charakteristika řibližně konstantní a fázová charakteristika řibližně lineární - viz obr.4.5: K, ω ω ϕ arctg ωτ. ω ω 5

51 Analogové elektronické obvody - řednášky 5 Pak signál rojde článkem rakticky beze změny tvaru, bude ouze na výstuu zožděn oroti vstuu o osunutí d t τ S ϕ( ω) τ RC 6µ s. dω Pokud tedy RC článek ředstavuje naříklad zjednodušený model vedení ro řenos hudebního signálu, jehož sektrum se rozkládá v ásmu kmitočtů od 5Hz do 5kHz, ak mezní kmitočet f musí být odstatně vyšší než 5kHz. Naříklad ři f 5kHz vychází časová konstanta asi µs. Hudební signál bude kabelem s danou kmitočtovou charakteristikou rocházet rakticky bez zkreslení, na konci kabelu bude zožděn asi o µs. K[ ],,8,6,77,4,, ω ω ϕ [ ], ω arctg ω -45, -9, ω ω ω Obr.4.5: souřadnic. Detail kmitočtových charakteristik RC článku tyu DP v oblasti očátku Kmitočtová filtrace jako říklad využití lineárního zkreslení Tyickým říkladem obvodů, které využívají efektu lineárního zkreslení, jsou kmitočtové filtry. Amlitudová kmitočtová charakteristika filtru je záměrně tvarována tak, aby filtr v určitém kmitočtovém ásmu řenášel signál na výstu (roustné ásmo), a signál v určitých ásmech aby otlačoval (neroustné ásmo). Daná ásma na sebe navazují formou řechodových ásem. Pro kvalitní filtraci je žádoucí, aby šířka těchto ásem byla co nejmenší. Na obr. 4.6 jsou ukázky zracování signálů filtry tyu dolní roust (DP), horní roust (HP), ásmová roust (PP) a ásmová zádrž (PZ). Alikační možnosti filtrů jsou velmi rozsáhlé a odrobněji o nich ojednává naříklad ublikace [4]. 5

52 5 FEKT Vysokého učení technického v Brně dolní roust K u f f u u t f t horní roust K u f f u u t f ásmová roust K u f f u u t f t ásmová zádrž K u f f u u t f t Obr.4.6: Demonstrace chování různých tyů kmitočtových filtrů. 5

53 Analogové elektronické obvody - řednášky LINEÁRNÍ DVOJBRANY Cíle kaitoly: kázat odstatu a výhody modelování lineárního obvodu jako dvojbranu. Pois několika tyických skuin dvojbranů se zjednodušenými modely. Představení v raxi oužívaných matematických oisů dvojbranů a jejich vzájemných souvislostí. kázka fyzikálního významu koeficientů dvojbranu ři měření narázdno a nakrátko. Vysvětlení metody modelování různě vzájemně roojených dvojbranů. Pois tzv. behaviorálního modelování dvojbranů omocí řízených zdrojů. Představení tranzistoru a oeračního zesilovače jako seciálních říadů dvojbranů. Objasnění ojmů obrazové imedance a imedanční řizůsobení dvojbranů a jejich užitečnosti zejména ři návrhu a analýze vysokofrekvenčních obvodů ro rozvod a zracování signálů Co je to dvojbran V raxi často racujeme s obvody, které se chovají jako černé skříňky s čtveřicí vývodů, usořádaných do dvojice tyu vstu a dvojice tyu výstu. Tyto dvojice tvoří tzv. vstuní a výstuní brány, rostřednictvím nichž obvod soluracuje s okolím. Pokud je obvod lineární, lze na něj ohlížet jako na lineární dvojbran. Jestliže nás nezajímá, co se děje uvnitř obvodu a vystačíme lně s informací o chování obvodu na jeho branách, ak je dvojbranové modelování řesně to, co otřebujeme. Výhodou dvojbranového oisu je jeho jednoduchost. kážeme, že bez ohledu na složitost celého obvodu je jeho dvojbranový ois redukován do čtveřice arametrů, které budou lně oisovat vztahy mezi naětími a roudy na vstuních a výstuních branách. Fakt, že naříklad celý složitý integrovaný obvod lze modelovat čtyřmi arametry, lze tedy využít k značnému zjednodušování analýzy rozsáhlých obvodů. Jiný ohled na věc vede k ředstavě, že složitý obvod je vlastně různým zůsobem osojovaná množina dvojbranů, lée řečeno odobvodů, které lze modelovat dvojbrany. Pak je vhodné znát ravidla, jakým zůsobem se dají zjistit arametry výsledného dvojbranu z arametrů dvojbranů dílčích. kážeme, že tato ravidla jsou oměrně jednoduchá, ovšem okud mají latit, musíme se vyhýbat neovoleným tyům sojování dvojbranů je třeba zajistit, aby všechna sojení byla tzv. regulární. Konkrétně to znamená, že u všech roojených dvojbranů musí latit rovnost roudů ve vstuní bráně i ve výstuní bráně (co vtéká řes bránu dovnitř dvojbranu, musí řes bránu z dvojbranu vytékat, tj. I I, I I, viz obr. 4.7). I I dvojbran I I vstuní brána výstuní brána Obr. 4.7: K definici dvojbranu, vstuní a výstuní brány a branových naětí a roudů. 53

54 54 FEKT Vysokého učení technického v Brně Obr. 4.7 ukazuje zavedenou konvenci značení branových naětí a roudů. Všimněte si, že u obou bran je alikována zdrojová orientace čítacích šiek, což znamená, že na rvní ohled atyicky roud výstuní brány teče horním vývodem dovnitř dvojbranu. Pomocí lineárních dvojbranů můžeme mimo jiné modelovat: a) Pasivní lineární obvody, obsahující rvky tyu R, L, C, M. Příslušné dvojbrany se nazývají asivní a neautonomní. b) Pasivní lineární obvody, obsahující rvky tyu R, L, C, M, a nezávislé zdroje naětí a roudu. Příslušné dvojbrany se nazývají asivní a autonomní. c) Linearizované obvody, obsahující kromě asivních rvků i lineární modely aktivních rvků (tranzistory, oerační zesilovače aod.). V těchto modelech již nejsou uvedeny stejnosměrné zdroje naětí a roudu ro nastavování racovních bodů. Příslušné dvojbrany jsou aktivní a neautonomní. Praktické ulatnění mají zejména modely tyu a) a c). Dále se tedy budeme věnovat zejména neautonomním asivním a aktivním dvojbranům. Podle vnitřní toologie se dvojbrany dělí na odélně souměrné a odélně nesouměrné a říčně souměrné a říčně nesouměrné. Větší raktický význam má odélná souměrnost: takový dvojbran nezmění své vlastnosti, okud vzájemně zaměníme jeho vstuní a výstuní brány. Příklad 4.: Klasifikace dvojbranů Rozhodněte, zda uvedené dvojbrany jsou asivní nebo aktivní, autonomní či neautonomní, odélně souměrné nebo nesouměrné. I k 5k I I n I I I I I n 5k a) c) e) g) I n I I I I I I I 5k 5k n b) d) f) h) Obr. 4.8: Příklady dvojbranů. Řešení: Všechny uvedené dvojbrany jsou neautonomní, rotože neobsahují nezávislé zdroje naětí a roudu. Dvojbrany e) a g) modelují součástky, které ke své funkci otřebují externí naájecí zdroje. Tyto zdroje zde nejsou uvedeny, rotože dvojbran ředstavuje linearizované náhradní schéma ro střídavý signál. Díky těmto skrytým zdrojům mohou dané dvojbrany vykazovat schonost zesilovat signál. Činný výkon na výstuní bráně může být větší než činný výkon na vstuní bráně : Naříklad u tranzistoru e) je součin amlitud vstuního naětí a roudu odstatně menší než součin amlitud naětí a roudu na výstuu. Ještě markantnější je to u oeračního zesilovače, kde vstuující výkon je nulový. Jedná se o aktivní dvojbrany. Dvojbran h) může být náhradním modelem diodového obvodu, u něhož nejsou zakresleny 54

55 Analogové elektronické obvody - řednášky 55 stejnosměrné zdroje ro nastavení racovního bodu. Diody ředstavují z hlediska malosignálového ouze střídavé imedance, res. admitance. Jde tedy o asivní dvojbran. Dvojbrany b), d) a f) jsou odélně souměrné, ostatní jsou odélně nesouměrné. Dvojbran a) by byl odélně souměrný za ředokladu rovnosti obou odorů Rovnice neautonomního dvojbranu Ještě než řistouíme k matematickému oisu dvojbranu, je vhodné uvést formální oznámku k zůsobu značení obvodových veličin tyu naětí a roud a arametrů obvodu tyu odor, imedance, admitance aod. lineárních asivních dvojbranů, složených ouze z rezistorů, mohou být naětí a roudy na branách uvažovány v libovolné formě stejnosměrné, střídavé, s libovolným časovým růběhem. Rovnice dvojbranu budou formálně oužitelné ro všechny tyto říady. Budou v nich figurovat vodivosti, res. odory a další stejnosměrné arametry vnitřních rvků. Přidáme-li lineární akumulační rvky, ak můžeme oužít dvojbranové rovnice buď k výočtům v harmonickém ustáleném stavu (naětí a roudy budou osány fázory a akumulační rvky svými reaktancemi), nebo k různým výočtům oerátorovou metodou (naětí a roudy budou rerezentovány jejich Lalacovými obrazy a vnitřek obvodu oerátorovým modelem). V říadě linearizovaných aktivních nebo asivních dvojbranů latí uvedené s tím rozdílem, že namísto skutečných naětí a roudů se racuje ouze s jejich střídavými složkami. Z výše uvedeného je zřejmé, že naětí, roudy a vnitřní arametry dvojbranu mohou mít různý fyzikální význam a tudíž i formálně různé záisy odle toho, o jaký ty dvojbranu se jedná a co je cílem naší analýzy. Pro řehlednost a jednoduchost budeme dále jednotně označovat naětí a roudy dvojbranu velkými ísmeny a arametry dvojbranu (imedance, admitance, bezrozměrné řenosy) malými ísmeny, s tím, že v konkrétním říadě ak lze řejít na konkrétní a zaužívanou formu oisu. Vnitřní zaojení dvojbranu, tj. množina obvodových rvků, sojující vstuní a výstuní bránu, určuje, jak solu souvisí čtveřice naětí a roudů, I,, I. Protože jde o lineární dvojbran, vztahy mezi naětími a roudy musí být roorcionální. Existuje 6 základních tvarů říslušných rovnic dvojbranů, které z šesti různých úhlů oisují to samé vztahy mezi onou čtveřicí. S výjimkou určitých singulárních říadů latí, že známe-li jeden ty rovnic, snadno lze z něho odvodit ostatních ět. Imedanční rovnice rovnice tyu Z: z z I. (4.6) z z Admitanční rovnice rovnice tyu Y: I I y I (4.7) y y y. 55

56 56 FEKT Vysokého učení technického v Brně Sériově-aralelní (hybridní) rovnice rovnice tyu H: h h (4.8) I h h. I Paralelně-sériové (hybridní) rovnice rovnice tyu K: I k. (4.9) k k k I Postuné kaskádní rovnice rovnice tyu A: I a. (4.) a a a I Zětné kaskádní rovnice rovnice tyu B: I b b b b. I (4.) Příslušné čtvercové matice obsahují čtveřice arametrů dvojbranu. Dané matice se nazývají imedanční, admitanční, sériově-aralelní, aralelně- sériová, ostuná kaskádní, zětná kaskádní, a značí se Z, Y, H, K, A, B. Všimněte si, že kaskádní arametry dvojbranu jsou definovány ři uvažování změny znaménka u výstuního roudu. Praktický důvod se dozvíme v následující části, věnované sojování dvojbranů. Pohledem na rovnice (4.6)-(4.) zjistíme, že v dvojicích (4.6)-(4.7), (4.8)-(4.9), (4.)-(4.) jsou vždy zaměněny vektory na levých a ravých stranách. Z toho vylývá, že naříklad rovnice tyu Y lze získat z rovnic tyu Z inverzí matice Z na matici Y aod. Platí tedy: Y Z -, K H -, B A - (4.) Pomocí jednoduchých úrav je možný i vzájemný řeočet mezi ostatními tyy arametrů. Všechny řeočty jsou souhrnně uvedeny v Tab

57 Analogové elektronické obvody - řednášky 57 Tab. 4.: Vzájemné řeočty dvojbranových arametrů. Symbol značí determinant dvojbranové matice. Z Y H K A B Z Y H K A B z z y / y h /h /k a /a -b /b z z -y / y h /h -k /k a /a -/b z z -y / y -h /h k /k /a - b /b z z y / y /h k /k a /a -b /b z z z -z z / y h /h k /k a /a b /b y z / z y /h k /k a /a -b /b y -z / z y -h /h k /k - a /a /b y -z / z y h /h -k /k -/a b /b y z / z y h /h /k a /a -b /b y / z y y -y y h /h k /k a /a b /b h z /z /y h k / k a /a -b /b h z /z -y /y h -k / k a /a /b h -z /z y /y h -k / k -/a - b /b h /z y /y h k / k a /a -b /b h z /z y /y h h -h h / k a /a b /b k /z y /y h / h k a /a -b /b k -z /z y /y -h / h k - a /a -/b k z /z -y /y -h / h k /a b /b k z /z /y h / h k a /a -b /b k z /z y /y / h k k -k k a /a b /b a z /z -y /y - h /h /k a b / b a z /z -/y -h /h k /k a -b / b a /z - y /y -h /h k /k a -b / b a z /z -y /y -/h k /k a b / b a z /z y /y -h /h -k /k a a -a a / b b z /z -y /y /h - k /k a / a b b - z /z /y -h /h k /k -a / a b b -/z y /y -h /h k /k -a / a b b z /z -y /y h /h -/k a / a b b z /z y /y - h /h -k /k / a b b -b b Příklad 4.: rčování imedančních arametrů dvojbranu rčete imedanční arametry T-článku na obr I R 75 R 5 I I I 5 R 3 Obr. 4.9: T-článek jako dvojbran. Řešení: 57

58 58 FEKT Vysokého učení technického v Brně Imedanční rovnice (4.6) jsou tvořeny dvojicí rovnic ro výočet branových naětí z branových roudů. Z obr. 4.9 je zřejmé, že rezistorem R 3 teče součet roudů I a I. Pak naětí a vyočteme z roudů I a I jako součty úbytků na rezistorech: R I R ( I ), R I R I ). 3 I Po úravě 3( I ( R R3 ) I R3I, R3I ( R R3) I Toto jsou však rozesané imedanční rovnice (4.6). Hledané imedanční arametry dvojbranu jsou zde: z R R 3 kω, z R 3 5Ω, z R 3 5Ω, z R R 3 5Ω. Příklad 4.: rčování kaskádních arametrů dvojbranu rčete arametry ostuné kaskádní matice A T-článku na obr Řešení: Postuné kaskádní rovnice (4.) ředstavují výočet vstuního naětí a vstuního roudu z výstuního naětí a výstuního roudu. Jeden z možných ostuů je znázorněn na obr I ( - R I )/R 3 - I ❹ R R ❸ ❷ ( - R I )/R 3 ❶ R I -I I R 3 - R I Obr. 4.3: Možný ostu ři hledání kaskádních arametrů dvojbranu. Z výstuního roudu se odvodí úbytek naětí na R. Z tohoto úbytku a naětí se určí naětí na R 3 a z něj roud tekoucí rezistorem R 3. Z tohoto roudu a z výstuního roudu odvodíme I. Tím dostaneme druhou z ostuných kaskádních rovnic: I R ( )( ). (4.3) R R I 3 3 Získáváme tak dvojici kaskádních arametrů R a 4mS, a. R R 3 3 První rovnici odvodíme tak, že vstuní naětí získáme jako součet naětí na R a R 3 : R R R R[ ( )( I )] RI ( ) ( R R R )( ). R R R R RI RI I Zbylé dva kaskádní arametry jsou 58

59 Analogové elektronické obvody - řednášky 59 R R a 4, a R R R,75kΩ. R R 3 3 Kaskádní arametry jsme mohli ohodlněji získat naříklad řeočtem imedančních arametrů z říkladu 4. omocí tabulky 4.: z zz zz Ω a z / z 4, a z / z 75Ω, a / z 4mS, a z / z. Získávání dvojbranových arametrů heuristickými ostuy z ředchozích říkladů je mnohdy zdlouhavé a neohodlné. Výhodnější bývá níže uvedený ostu, využívající rinciu suerozice rčování dvojbranových arametrů ze stavů narázdno a nakrátko Jako říklad uveďme sériově-aralelní rovnice dvojbranu, řesané z maticové formy (4.8) do dvou rovnic: h I h, I hi h. Pak h-arametry můžeme z rovnic určit naříklad takto: h, I h, I I h, I I h. (4.4) I Parametry h a h tedy můžeme stanovit ři výstuní bráně nakrátko ( ) a arametry h a h ři vstuní bráně narázdno (I ). Vše je ilustrováno v tabulce 4. v řádku H. Při zjišťování arametrů h a h je zkrat výstuní brány zajištěn amérmetrem. Vstuní brána je buzena zdrojem roudu. Voltmetr měří naětí na vstuu. Z údajů měřicích řístrojů a nastaveného roudu budicího zdroje zjistíme oba h arametry. Další dvojici arametrů zjistíme ři vstuní bráně narázdno (aralelně k ní je voltmetr), takže budicí zdroj musí být na výstuu. Z tabulky jsou rovněž zřejmé fyzikální interretace jednotlivých dvojbranových arametrů. Příklad 4.3: rčování hybridních arametrů dvojbranu rčete hybridní h- arametry článku Π na obr. 4.3 ze stavů narázdno a nakrátko. I R 3 5 I R R 5 Obr. 4.3: Analyzovaný článek tyu Π. Řešení: je ilustrováno na obr

60 6 FEKT Vysokého učení technického v Brně Tab. 4.: rčování dvojbranových arametrů z měření narázdno a nakrátko. vstu nakrátko výstu nakrátko Z z.. vstuní imedance ři výstuu z.. výstuně-vstuní transimenarázdno dance ři vstuu narázdno z.. vstuně-výstuní transime- z.. výstuní imedance ři vstuu dance ři výstuu narázdno narázdno V vstu výstu V vstu narázdno I výstu narázdno I z /I, z /I z /I, z /I I I I I V vstu výstu V Y A y I /, y I / y I /, y I / A A vstu výstu vstu výstu A y.. vstuní admitance ři výstuu nakrátko y.. výstuně-vstuní transadmitance ři vstuu nakrátko y.. vstuně-výstuní transadmitance y.. výstuní admitance ři vstuu ři výstuu nakrátko nakrátko H h.. vstuní imedance ři výstuu nakrátko h.. vstuně-výstuní roudový řenos ři výstuu nakrátko V vstu výstu h /I, h I /I h /, h I / I I A A V vstu výstu h.. výstuně-vstuní naěťový řenos ři vstuu narázdno h.. výstuní admitance ři vstuu narázdno K k I /I, k /I k.. vstuní admitance ři výstuu k.. výstuně-vstuní roudový k I /, k / I narázdno řenos ři vstuu nakrátko I k A vstu výstu.. vstuně-výstuní naěťový k.. výstuní imedance ři vstuu A V řenos ři výstuu narázdno nakrátko vstu výstu V A a.. vstuně-výstuní naěťový řenos ři výstuu narázdno a.. vstuně-výstuní transadmitance ři výstuu narázdno a /(-I ), a I /(-I ) a.. vstuně-výstuní transimedance ři výstuu nakrátko I a /, a I / A a.. vstuně-výstuní roudový ře- A V vstu výstu A nos ři výstuu nakrátko V vstu výstu V B b /I, b -I /I b.. výstuně-vstuní naěťový b /, b -I / řenos ři vstuu narázdno I A A vstu výstu V b.. výstuně-vstuní transadmitan- ce V vstu výstu A V ři vstuu narázdno b.. výstuně-vstuní transimedance ři vstuu nakrátko b.. výstuně-vstuní roudový řenos ři vstuu nakrátko 6

61 Analogové elektronické obvody - řednášky 6 I R 3 5 I R 3 5 I I R R R R 5 5 a) b) Obr. 4.3: Rozbor článku Π ve stavu a) výstuu nakrátko, b) vstuu narázdno. Z obr. 4.3 a) vylývá, že rezistory R a R 3 jsou sojeny aralelně a určují velikost arametru h : RR3 h 5Ω. I R R 3 Jsou-li R a R 3 aralelně, ak roud I se dělí do těchto rezistorů odle vzorce ro řenos roudového děliče, neboli I R I h R R3 I R R3 I R Další dva arametry zjistíme z obr. 4.3 b). Zdroj naětí na výstuu vyvolá naětí na vstuu, které je dáno řenosem děliče naětí, tvořeného rezistory R a R 3 : R h R R R R R,5.,5. Parametr h je výstuní admitance obvodu na obr. 4.3 b), což je h ms R R R Parametry vybraných jednoduchých dvojbranů V Tab. 4.3 jsou uvedeny arametry šesti jednoduchých dvojbranů. rvních dvou článků nejsou uvedeny imedanční, res. admitanční arametry. Můžete se výočtem řesvědčit, že dané arametry vycházejí nekonečně velké. Říkáme, že dvojbran nemá definovány všechny své dvojbranové matice, nebo jinými slovy, že dvojbran je degenerovaný. Tabulka může osloužit k rychlému stanovení dvojbranových arametrů konkrétního dvojbranu o dané struktuře, říadně jak uvidíme dále složitějšího dvojbranu, který se skládá z daných tyizovaných dvojbranů. Srovnáváním arametrů uvedených dvojbranů lze dosět k určitým zákonitostem, které jsou shrnuty od tabulkou. Tyto zákonitosti mohou být užitečné, rotože ak některé arametry nemusíme očítat, ale stačí je odvodit z arametrů již známých. Později však uvidíme, že daná ravidla latí jen ro určitou třídu tzv. recirocitních dvojbranů. 6

62 6 FEKT Vysokého učení technického v Brně Tab. 4.3: Parametry základních asivních dvojbranů. Z Z Z Z Z Z Z Z Z 3 Z Z Z 3 Z Y H K A B z Z - Z Z Z Z Z 3 Z (Z Z 3 )/(Z Z Z 3 ) z Z - Z Z Z 3 Z Z 3 /(Z Z Z 3 ) z Z - Z Z Z 3 Z Z 3 /(Z Z Z 3 ) z Z - Z Z Z Z Z 3 Z 3 (Z Z )/(Z Z Z 3 ) y - Y Y Y Y /[Z /(Y Y 3 )] Y Y y - -Y -Y -Y -/(Z Z Z Z /Z 3 ) -Y y - -Y -Y -Y -/(Z Z Z Z /Z 3 ) -Y y - Y Y Y Y /[Z /(Y Y 3 )] Y Y 3 h Z Z Z Z /(Z Z ) Z /(Y Y 3 ) Z Z /(Z Z ) h Z /(Z Z ) Z 3 /(Z Z 3 ) Z /(Z Z ) h Z /(Z Z ) -Z 3 /(Z Z 3 ) -Z /(Z Z ) h Y Y /(Z Z ) /(Z Z 3 ) Y 3 /(Z Z ) k Y /(Z Z ) Y /(Z Z 3 ) Y /(Z Z 3 ) k - - -Z /(Z Z ) - -Z 3 /(Z Z 3 ) -Z 3 /(Z Z 3 ) k Z /(Z Z ) Z 3 /(Z Z 3 ) Z 3 /(Z Z 3 ) k Z Z Z /(Z Z ) Z Z /(Y Y 3 ) Z Z 3 /(Z Z 3 ) a Z /Z Z /Z 3 Z /Z 3 a Z Z Z Z Z Z Z /Z 3 Z a Y Y Y Y 3 Y Y 3 Y Y 3 /Y a Z /Z Z /Z 3 Z /Z b Z /Z Z /Z 3 Z /Z b -Z -Z -Z -(Z Z Z Z /Z 3 ) -Z b -Y -Y -Y -Y 3 -Y - Y 3 - Y Y 3 /Y b Z /Z Z /Z 3 Z /Z 3 z z, y y, h -h, k -k, a b, a b, a - b, a - b a b 6

63 Analogové elektronické obvody - řednášky 63 Všimněte si, že všechny dvojbrany z Tab. 4.3 jsou asivní. Naříklad ro dvojbranové modely tranzistoru ravidla nelatí. Jako výborné cvičení dooručujeme ověřit si rostřednictvím výočtů v režimech narázdno a nakrátko srávnost arametrů z Tab Modelování dvojbranů omocí řízených zdrojů V některých říadech je účelné modelovat základní dvojbranové rovnice (4.6) až (4.9) omocí řízených zdrojů. S touto raxí se setkáváme naříklad ři modelování tranzistorů. Řízené zdroje jsou základním nástrojem ro tzv. behaviorální modelování (ABM Analog Behavioral Modeling) v rofesionálních softwarových simulátorech obvodů, kdy obvod je modelován na základě rovnic, které oisují jeho vstuně-výstuní chování, nikoliv jeho vnitřní strukturu. Takovéto modely ak nemají rakticky nic solečného s tím, jak je obvod fyzicky realizován. Modely, sestavené na základě dvojbranových rovnic tyu Z, Y, H a K jsou shrnuty v Tab Vstuní brána je modelována buď sériovou kombinací imedance a zdroje naětí, nebo aralelní kombinací imedance a zdroje roudu, odle toho, jestli rvní z dvojbranových rovnic hovoří o vstuním naětí jako součtu jiných dvou naětí nebo o vstuním roudu jako součtu jiných dvou roudů. Totéž latí i o modelování výstuní brány. Přiomeňme, že okud k danému dvojbranu existují všechny rovnice tyu Z, Y, H a K, ak jsou všechny dané modely vzájemně ekvivalentní. Je tedy možno volit odle otřeby jeden z daných modelů. Přeočty mezi nimi jsou dány tabulkou 4.. Tab. 4.4: Modelování dvojbranů řízenými zdroji odle rovnic tyu Z, Y, H a K. Z z I z I, z I z I H h I h, I h I h z I z I I h I z I z I h h I h Y I y y, I y y K I k k I, k k I I I I k I y y y y k k I k Jednoduchá úrava imedančních a admitančních rovnic vede na modifikovaná náhradní schémata na obr. 4.33, v nichž jsou eliminovány řízené zdroje na vstuních branách. Kontrolu srávnosti těchto modelů řenecháváme čtenáři jako cvičení. Z obrázků je zřejmé, že v říadě rovnosti arametrů z z a y y (z jedné rovnosti vylývá druhá rovnost, 63

64 64 FEKT Vysokého učení technického v Brně viz Tab. 4.) vymizí z modelů řízené zdroje, takže takový dvojbran je ak osán ouhou trojicí obyčejných imedancí, které jsou zaojeny do odoby vzájemně ekvivalentních článků tyu T nebo Π. O těchto a dalších seciálních dvojbranech bude ojednáno v kaitole Zvláštní druhy dvojbranů. I y I ( y y ) I I z z z z ( z z I ) z y y y y a) b) Obr. 4.33: ravené ekvivalentní modely dvojbranů tyu a) Π, a b) T. Příklad 4.4: Náhrada článku Π ekvivalentním článkem T Nahraďte článek Π na obr. 4.3 ekvivalentním článkem T, tj článkem, který bude mít shodné všechny dvojbranové arametry. Řešení: Z obr vylývá, že kdybychom zjistili z-arametry dvojbranu, ak v říadě rovnosti z z a z toho lynoucí rovnosti y y bychom mohli článek Π římo nahradit článkem T a jeho tři imedance snadno sočítat z arametrů z. Daný článek T byl řešen v říkladu 4.3. Cílem výočtů byly jeho h-arametry: h 5Ω, h,5, h -,5, h ms. Z řeočítávací tabulky 4. vycházejí následující z-arametry: z 37,5Ω, z 5Ω, z 5Ω, z 5Ω. Rovnost arametrů z a z je otvrzena. Článek Π tedy může být nahrazen článkem T odle obr s odory z z,5ω, z 5Ω a z z 5Ω. I 5 Ω I I,5 Ω 5 Ω I 5 Ω Ω 5 Ω Obr. 4.34: Ekvivalentní články Π a T. Příklad 4.5: Modelování článku řízenými zdroji 64

65 Analogové elektronické obvody - řednášky 65 Modelujte článek Π z obr obvodem s řízenými zdroji na základě h-arametrů článku. Řešení: Hybridní arametry oět řevezmeme z říkladu 4.3: h 5Ω, h,5, h -,5, h ms. Z Tab. 4.3 ak vylývá řešení na obr. 4.35: I 5 Ω I,5 5 Ω -,5 I Obr. 4.35: Ekvivalentní model článků z obr Zvláštní druhy dvojbranů Dvojbrany, oužívané k modelování elektronických obvodů, se dělí do několika skuin. K těm nejdůležitějším atří dvojbrany recirocitní a unilaterální. Tyickým ředstavitelem rvní skuiny je dvojbran, složený z asivních rvků R, L a C. Do druhé skuiny atří aktivní rvky, vedoucí signál jedním směrem, naříklad tranzistory. Recirocitní dvojbrany Pro tyto dvojbrany latí rinci recirocity, který je znázorněn na obr vstu výstu I I vstu výstu I vstu výstu vstu výstu I Obr. 4.36: K vysvětlení rinciu recirocity. Obrázek znázorňuje dva ověřovací okusy, zda je dvojbran recirocitní: okus se zdrojem naětí a okus se zdrojem roudu. V rvním okusu se k vstuní bráně řiojí zdroj naětí a změří se roud I, tekoucí zkratovanou výstuní branou. Pak se tentýž zdroj naětí řiojí k výstuní bráně a změří se roud I tekoucí zkratem na vstuní bráně. Pokud je dvojbran recirocitní, musí se roud I rovnat roudu I. 65

66 66 FEKT Vysokého učení technického v Brně V druhém okusu se k vstuní bráně řiojí zdroj roudu a změří se naětí na výstuní bráně narázdno. Pak se tentýž zdroj roudu řiojí k výstuní bráně a změří se naětí na vstuní bráně narázdno. Pokud je dvojbran recirocitní, musí se naětí musí rovnat naětí. Je možné ukázat, že všechny dvojbrany, složené z asivních rvků tyu R, L a C, u nichž je možné rovést výše uvedené exerimenty se zdroji naětí a roudu, jsou recirocitní [6]. Exerimenty nelze rovést v říadě některých degenerovaných dvojbranů, nař. u dvojbranu se zkratem na některé z bran aod. Srovnáme-li obr s definicemi z a y arametrů ři měření narázdno a nakrátko, zjistíme následující: I I, z z. I I y y Pokus se zdrojem naětí tedy ověřuje, zda latí symetrie tyu y y. Pokus se zdrojem roudu zase otvrzuje odmínku z z. Z řeočítávací tabulky 4. je zřejmé, že z rovnosti y y automaticky vylývá rovnost z z a naoak. Znamená to tedy, že k otestování, zda je dvojbran recirocitní, ostačí rovést jen jeden z okusů na obr Z Tab. 4. ak lze odvodit, jak se recirocita romítá do dalších arametrů dvojbranu. Souhrnně jsou tyto odmínky uvedeny v Tab Zvláštním tyem recirocitního dvojbranu je ideální transformátor. Pro jeho branová naětí a roudy latí všeobecně známé transformační vztahy n, (4.5) I I, n (4.6) kde transformační oměr n N /N je oměr očtu závitů na sekundární a rimární straně (na výstuu a vstuu). I n I Obr. 4.37: Ideální transformátor jako dvojbran. Snadno zjistíme, že rovnice (4.5) a (4.6) jsou zětné kaskádní rovnice dvojbranu. Z řeočítávací tabulky 4. ak vylyne, že transformátor má definovány všechny dvojbranové matice s výjimkou matic Z a Y: / n A, n n B, / n / n H, / n n K. n Transformátor tedy aradoxně nemá definovány z a y arametry, omocí nichž lze ověřit, zda jde o recirocitní dvojbran. Nicméně všechny další odmínky recirocity, uvedené v Tab. 4.6, jsou slněny. Pro jednotkový transformační oměr se transformátor navíc chová jako odélně souměrný dvojbran. 66

67 Analogové elektronické obvody - řednášky 67 Je zřejmé, že ideální transformátor je asivním dvojbranem, neboť celkový výkon, vstuující dovnitř řes obě brány, je nulový (vylývá z rovnic 3.7 a 3.8): I I. (4.7) Jinými slovy, výkon vstuující dovnitř dvojbranu se rovná výkonu vystuujícímu druhou branou, takže ideální transformátor je systém, který výkon ani nevytváří, ani nesotřebovává. Další důležitá vlastnost transformátoru, totiž transformace imedance, bude ukázána ozději v říkladu 4. v souvislosti s výkladem různých zůsobů sojování dvojbranů. nilaterární dvojbrany V kaitole 4.3 je odrobně analyzován linearizovaný model biolárního tranzistoru. Převedeme-li rovnice (4.9) a (4.) a obr. 4.8 do dvojbranové symboliky, získáme rovnice (4.8), (4.9) a obr. 4.38: I C CE β I B, (4.8) r CE kde I B BE g BC CE, (4.9) r BE r CE střídavý odor kolektor-emitor ři neůsobení střídavé složky bázového roudu, ß střídavý roudový zesilovací činitel ři neůsobení střídavé složky naětí kolektoremitor, r BE střídavý odor kolektor-emitor ři neůsobení střídavé složky bázového roudu, g BC zětná řenosová vodivost z kolektorového do bázového okruhu ři neůsobení střídavé složky naětí báze-emitor. B BE I B I C C CE BE I I B B C E I I C CE BE E E a) b) c) I I B B βi B rbe C rce I I C CE Obr. 4.38: a) biolární tranzistor, b) tranzistor jako dvojbran ro zaojení SE, c) jeho linearizovaný model. V ásmu středních kmitočtů jsou arametry tranzistoru reálné, neboť ůsobení arazitních reaktancí a kmitočtové závislosti arametrů jsou zanedbatelné. Zětná řenosová vodivost g BC je rovněž zanedbatelná, tedy g BC. (4.3) Na obr b) je tranzistor ředstaven jako dvojbran za ředokladu, že emitor je solečným vývodem tranzistoru jak ro vstuní, tak i výstuní bránu. Jde tedy o zaojení se 67

68 68 FEKT Vysokého učení technického v Brně solečným emitorem (SE). Díky nulové vodivosti g BC je náhradní schéma tranzistoru na obr c) oměrně jednoduché. Srovnáme-li jej s tabulkou 4.3, zjistíme, že schéma odovídá náhradnímu schématu dvojbranu ro h-arametry, kde h r BE, h, h ß, h /r CE. (4.3) Z obr c) vylývá, že tranzistor zrostředkovává ouze řenos signálu ze vstuní brány na výstuní bránu (rostřednictvím řízeného zdroje kolektorového roudu), ale zětné ovlivňování vstuní brány výstuní branou je otlačeno (viz rovnice 4.3). Takový dvojbran se nazývá unilaterální. V náhradním schématu takového dvojbranu chybí řízené zdroje, modelující zětné ůsobení výstuu na vstu. Z Tab. 4.3 vylývá, že unilaterární dvojbran musí slňovat následující odmínky: z y h k. (4.3) V Tab. 4.5 je uvedeno, jak se zjednoduší vztahy mezi arametry unilaterálního dvojbranu. Poznamenejme, že takový dvojbran nemá definovány b-arametry, což lyne z jejich definice. Z tabulky naříklad vylývají tyto zůsoby výočtu základních arametrů tranzistoru v zaojení SE: Tab. 4.5: Vzájemné řeočty dvojbranových arametrů unilaterálního dvojbranu. Z Y H K A Z Y H K A z z /y h /k a /a z z z -y / y -h /h k /k /a z z /y /h k a /a z z z / y h /h k /k a /a y /z y /h k a /a y y -z / z y h /h -k /k -/a y /z y h /k a /a y / z y y h /h k /k a /a h z /y h K a /a h h -z /z y /y h -k / k -/a h /z y h /k a /a h z /z y /y h h / k a /a k /z y /h k a /a k k z /z -y /y -h / h k /a k z /y /h k a /a k z /z y /y / h k k a /a a z /z -y /y - h /h /k a a z /z -/y -h /h k /k a a /z - y /y -h /h k /k a a z /z -y /y -/h k /k a a 68

69 Analogové elektronické obvody - řednášky 69 Vstuní odor r BE h / y (4.33) Výstuní odor r CE / h / y (4.34) Strmost transkonduktance S y h / h (4.35) Proudový zesilovací činitel β h y y S. r (4.36) / Při dalších zaojeních tranzistoru se solečnou bází (SB) nebo se solečným kolektorem (SC) jsou dvojbranové arametry samozřejmě jiné než ři zaojení SE. Pak již neůjde o unilaterární dvojbrany. Zůsob řeočtů dvojbranových arametrů mezi různými zaojeními tranzistoru je osán nař. v [8]. Dvojbranový model tranzistoru MOSFE je v orovnání s modelem biolárního tranzistoru o něco jednodušší. Je to díky rakticky nekonečnému vstunímu odoru tranzistoru mezi elektrodami G (Gate) a S (Source). Průchodnost tranzistoru mezi elektrodami D (Drain) a S je řízena naětím GS, řičemž do vstuní brány (viz obr. 4.39) neteče roud. Proud I D je osán rovnicí BE I D DS g m GS, (4.37) r DS kde g m je strmost transkonduktance tranzistoru MOSFE. Náhradní schéma je na obr c). G GS I D I G D DS GS I G D S I I D DS GS I S S a) b) c) G g m GS D r DS I I D DS Obr. 4.39: a) uniolární tranzistor, b) tranzistor jako dvojbran, c) jeho linearizovaný model. Dalším tyickým unilaterálním dvojbranem je ideální zesilovač naětí. Schématická značka diferenčního zesilovače naětí je na obr. 4.4 a). Poznamenejme, že sodní vývod, vycházející z ouzdra zesilovače, ředstavuje vývody ro řivedení stejnosměrných naájecích zdrojů zesilovače, které jsou však v náhradním schématu linearizovaného modelu ro střídavý signál nahrazeny zkraty. Ideální zesilovač naětí má nekonečný vstuní odor, nulový výstuní odor a výstuní naětí závisí na vstuním naětí a zesílení odle vzorce A. (4.38) Výstuní naětí tedy nezávisí na výstuním roudu (rotože výstuní odor je nulový) a z hlediska výstuních svorek se zesilovač chová jako ideální zdroj naětí. Výstuní roud závisí na tom, co je řiojeno k výstuní bráně. Vstuní roudy jsou nulové. Odovídající náhradní schéma je na obr. 4.4 b). 69

70 7 FEKT Vysokého učení technického v Brně I I I A I A A I I I a) b) Obr. 4.4: a) ideální zesilovač naětí, b) jeho dvojbranový model. Je zřejmé, že tento zesilovač je degenerovaným dvojbranem, rotože některé jeho dvojbranové matice nejsou definovány. Zesilovač lze osat ouze hybridními rovnicemi tyu K: zesílení A je rovno arametru k, ostatní k-arametry jsou nulové. Nejznámějšími integrovanými obvody, které lze modelovat ideálním zesilovačem naětí, jsou tzv. naěťový buffer (jednotkový zesilovač, naěťový sledovač) a oerační zesilovač. Buffer má ouze jeden (neinvertující) vstu a jeho zesílení A je rovno jedné. Oerační zesilovač má dvojici vstuů (neinvertující a invertující) a naěťové zesílení A se v ideálním říadě blíží k nekonečnu. Vstuní naětí je v konkrétní alikaci dáno rozdílem naětí mezi vstuem a vstuem -. Tento rozdíl je v říadě záorné zětné vazby v obvodu automaticky dostavován na nulu. Z uvedeného je zřejmé, že ideální oerační zesilovač je jako dvojbran osatelný jen velmi obtížně, rotože se vlastně vymyká oisu všemi oužívanými tyy dvojbranových rovnic. Lze jej osat hybridními rovnicemi K ro arametr k. I Zjednodušený ois zvláštních druhů dvojbranů Obecný dvojbran je osán čtveřicí dvojbranových arametrů. recirocitního dvojbranu latí navíc vztahy symetrie tyu z z, takže takovýto dvojbran je osán trojicí nezávislých arametrů. Je-li navíc dvojbran odélně souměrný, lze jej osat ouhou dvojicí arametrů. nilaterální dvojbran je obecně osán třemi nezávislými arametry. V Tab. 4.6 jsou shrnuty říslušné zjednodušující odmínky, týkající se uvedených tyů dvojbranů. Tab. 4.6: Vztahy mezi arametry seciálních dvojbranů. dvojbran Z Y H K A B recirocitní z z y y h -h k -k a b odélně souměrný z z y y h k a a b b unilaterální z y h k a Sojování dvojbranů Existuje celkem 5 základních zůsobů, jak roojit dva dvojbrany tak, aby se chovaly jako jeden nový dvojbran: 7

71 Analogové elektronické obvody - řednášky 7. Sériové sojení: Sojíme do série vstuní brány a do série výstuní brány.. Paralelní sojení: Sojíme aralelně vstuní brány a aralelně výstuní brány. 3. Paralelně-sériové (hybridní) sojení: Sojíme aralelně vstuní brány a sériově výstuní brány. 4. Sériově-aralelní (hybridní) sojení: Sojíme sériově vstuní brány a aralelně výstuní brány. 5. Kaskádní sojení: Výstuní bránu rvního dvojbranu sojíme aralelně se vstuní branou druhého dvojbranu. I () I () I I () I () I () () Z () I () () Y () I () I () I () I () I () () Z () () () Y () () Z Z () () Z Y Y Y a) b) () I () I () I () I () I I () () H () I I () () K () () I () I () I () I () () H () () () K () () H H () () H K K K c) d) () I () () () I I () -I -I () () A () () () () () () B A B I A A B B () () e) A B () () Obr. 4.4: Sojování dvojbranů: a) sériové, b) aralelní, c) hybridní sériově-aralelní, d) hybridní aralelně-sériové, e) kaskádní. Všech ět zůsobů je znázorněno na obr Pod zaojením je vždy uvedeno, jak získat dvojbranovou matici výsledného dvojbranu z matic dílčích dvojbranů. V říadě matic 7

72 7 FEKT Vysokého učení technického v Brně tyu Z, Y, H, K se jedná o součet, u kaskádních matic je to součin. Důkaz je snadný a je uveden naříklad v [6]. Z obr. 4.4 je možné ochoit, roč v kaskádních rovnicích figuruje roud I se záorným znaménkem. Při kaskádním sojování dvojbranů se výstuní roud dvojbranu stává vstuním roudem následujícího dvojbranu. Podle klasické definice branových roudů by však byly uvažované směry obou roudů oačné. Proto je výstuní roud řesměrován a tato změna je komenzována změnou jeho znaménka. vedená ravidla ro skládání matic však latí ouze v říadě tzv. regulárního sojení dvojbranů. Důsledkem neregulárního sojení je násilná změna říslušných arametrů (nař. u sériového sojení to budou z-arametry) dílčích dvojbranů. Průvodním znakem takového sojení bývá orušení rovnosti roudů vstuujících a vystuujících z každé brány. Kaskádní sojení je vždy regulární. Ostatní sojení je vhodné vždy otestovat na regularitu ještě řed oužitím ravidla o součtu dvojbranových matic. Následující říklad ukazuje na možné neregulární sojení dvou článků. Příklad 4.6: Ověřování regulárnosti sojení dvojbranů Ověřte regulárnost sériového sojení dvojbranů na obr. 4.4 a) a b). I I 75Ω 5Ω I I 75Ω 5Ω I I 5Ω I I 5Ω 75Ω 5Ω I I a 5Ω b 5Ω I I a b 75Ω 5Ω Obr. 4.4: a) b) Sériová sojení dvojbranů, a) neregulární, b) regulární. Řešení: obvodu a) došlo sojením dvou identických T-článků k tomu, že sodní článek má aralelně sojenou vstuní a výstuní bránu. Vznikl tak modifikovaný dvojbran s jinými z- arametry. Imedanční matice výsledného dvojbranu nebude rovna součtu imedančních matic obou dvojbranů řed sojením. obvodu b) mají oba dvojbrany řed i o sojení stejné imedanční matice. Sojení je regulární. Imedanční matice všech čtyř dílčích dvojbranů na obr. 4.4 jsou ve tvaru (ověřte) 5 Z Ω. 5 5 Pro regulární sojení musí latit, že imedanční matice výsledného dvojbranu je součet imedančních matic dílčích dvojbranů, neboli 7

73 Analogové elektronické obvody - řednášky 73 5 Z reg Z Z Ω. 5 Obvod na obr. 4.4 a) lze zjednodušit: rezistory o odorech 75Ω a 5Ω jsou aralelně a solu s dvojicí sériových odorů 5Ω tvoří odor 687,5Ω. Pak je snadné určit imedanční arametry a zasat je do imedanční matice: 437,5 687,5 Z a) Ω. 687,5 937,5 Pro obvod a) tedy nelatí oučka o součtu imedančních matic. obvodu b) jsou dva vertikální rezistory 5Ω v sérii a tvoří 5Ω. Výočet z- arametrů vede na matici 5 Z b) Ω, 5 takže zde oučka o součtu imedančních matic latí. Pro úlnost ještě ověříme, zda došlo k orušení rovnosti branových roudů. Z obr. 4.4 a) vylývá, že součtový roud I I se dělí na roudy I a a I b v závislosti na oměrů odorů 5Ω a 75Ω, tedy 5 75 I a ( I I ),5( I I ), I b ( I I ),75( I I ) Je zřejmé, že obecně nelatí rovnosti branových roudů I a I a I b I. Rovnost by nastala jen v říadě, že roud I by byl trojnásobkem roudu I. K tomu by došlo ři rovnosti naětí a. Ověření oučky o rovnosti branových roudů u zaojení b) nemá smysl: jaký je oměr roudů, tekoucích dvojicí aralelních zkratů? Existují jednoduché ostuy, jak ověřit regulárnost sojení dvojbranů bez nutnosti zdlouhavých výočtů a rozborů. Zájemce odkazujeme na [6]. Příklad 4.7: Rozložení dvojbranu na regulární sojení dílčích dvojbranů Rozložte náhradní schéma tranzistorového zesilovače z obr a) na regulární sojení dílčích dvojbranů. Řešení: Řešení je na obr b). Sériovým sojením dvojbranu T s dvojbranem R E vznikne další dvojbran, který je v kaskádním sojení s dvojbrany R B a R C. 73

74 74 FEKT Vysokého učení technického v Brně "T" " R C " I I " R B " I T I RB T R E RC R B R E R C " R E " " T RE" a) b) Obr. 4.43: a) Náhradní schéma zesilovače ro střídavý signál, R B 5kΩ, R E Ω, R C kω, T: r BE 5kΩ, r CE kω, S ma/v, b) rozklad obvodu na roojené dvojbrany. Příklad 4.8: Odvození kaskádní matice dvojbranu Odvoďte kaskádní matici A zesilovače z obr Řešení: Nejrve stanovíme imedanční matice sériově sojených dvojbranů T a R E a sečteme je. Tím získáme imedanční matici dvojbranu T R E. Tuto matici řevedeme na kaskádní matici A. rčíme kaskádní matice dvojbranů R B a R C a v konečném kroku získáme výslednou kaskádní matici roznásobením kaskádních matic dvojbranů R B, T R E a R C. S využitím tabulky 4.5 a rovnic (4.33) až (4.36) stanovíme imedanční matici tranzistoru (rvky matice jsou vyčísleny v Ohmech): rbe 5 Z T. Sr r r 5 BE CE CE Imedanční matici dvojbranu R E určíme snadno omocí Tab. 3.3 (v Ohmech): Z RE R R E E R R E E. Imedanční matice dvojbranu T R E bude Z T RE Z T Z RE R r E BE R Sr BE E r CE r CE R E R E Imedanční arametry řevedeme na kaskádní arametry odle Tab. 4.. Prvky jsou vyčísleny v základních jednotkách. 74

75 Analogové elektronické obvody - řednášky 75 A T RE,.. 8 4,,. 3 Kaskádní matice dvojbranů RB a RC stanovíme odle Tab. 3.3: A RB / R B., A 6 RC 4 / RC 5.. Kaskádní matice celého zesilovače bude A A RB A T RE A RC. 6,.. 8 4,, ,57.,34. 6,.,4. 3 Z fyzikálního významu kaskádních arametrů vylývá velikost naěťového zesílení zesilovače ři výstuu narázdno: a 8.. Pro úlnost je řiojen výis M-souboru MATLAB ro automatizaci výše uvedených výočtů: kázka řešení omocí MATLABu: rbe5;rce;s.; zadávání arametrů T Rc;Rb5;Re; zadávání odorů v zesilovači Zt[rbe ;-S*rbe*rce rce]; imedanční matice T Zre[Re Re; Re Re]; imedanční matice RE ZtreZtZre; imedanční matice TRE ddet(ztre); determinant imedanční matice Atre[Ztre(,) d; Ztre(,)]/Ztre(,); řevod na kaskádní arametry Arb[ ;/Rb ]; kaskádní matice RB Arc[ ;/Rc ]; kaskádní matice RC AArb*Atre*Arc; kaskádní matice celého zes. /A(,) zobrazení zesílení Nyní lze ohodlně zjišťovat, jak závisí zesílení naříklad na velikosti emitorového odoru R E. Při R E vychází zesílení -96 (ak neůsobí záorná zětná vazba v obvodu). 75

76 76 FEKT Vysokého učení technického v Brně Příklad 4.9: Modelování řenosu signálu filtrem Pomocí kaskádních matic modelujte řenos naětí říčkového filtru na obr ze vstuní na výstuní bránu. I L L 3 L 5 I 8mH mh 4,7mH 6,9mH 44nF L 4,5mH 8nF L 4 R k C C 3 Obr. 4.44: Analyzovaný říčkový filtr a jeho rozklad na kaskádní tři sekce. Řešení: Filtr rozdělíme na tři jednodušší dvojbrany, které jsou zaojeny v kaskádě. Vynásobíme matice tyu A těchto dvojbranů. Výsledný řenos ak získáme jako recirokou hodnotu arametru a (viz též říklad 4.8). Kaskádní matice A, A a A 3 dvojbranů č., a 3 získáme nař. omocí tabulky 4.3: A jωl jωl3 jωl jωl3 jωl jωl4 jωc jωc, A, A jωl jωl4 jωc jωc 3 jωl R R 5 jωl 5 Následuje ukázka numerického řešení v MATLABu včetně vykreslení kmitočtové závislosti řenosu amlitudové kmitočtové charakteristiky. kázka řešení omocí MATLABu: L.8;L6.9e-3;L3.;L44.5e-3;L54.7e-3; C44e-9;C8e-9;R; flog(:.:5);f.^flog; tvorba logaritmické kmitočtové osy od Hz do khz Nsize(f,); zjištění očtu bodů kmitočtové osy gainzeros(,n); tvorba nulového vektoru řenosu for I:N výočet řenosu gain ro N kmitočtů fxf(i); výběr I-tého kmitočtu z vektoru f jomj**i*fx; výočet komlexního kmitočtu jωf om/(jom*l/(jom*c)); omocná roměnná /(jωl/(jωc)) A[jom*L*om jom*l;om ]; výočet matice A om/(jom*l4/(jom*c)); omocná roměnná /(jωl4/(jωc)) 76

77 Analogové elektronické obvody - řednášky 77 A[jom*L3*om jom*l3;om ]; výočet matice A A3[jom*L5/R jom*l5;/r ]; výočet matice A3 AA*A*A3; výočet výsledné kaskádní matice gain(i)/a(,); výočet řenosu naětí /a end; semilogx(f,*log(abs(gain))) vykreslení aml. kmit. char. grid zobrazení mřížky v grafu Obr. 4.45: Amlitudová kmitočtová charakteristika filtru z obr Filtr lze rozdělit na kaskádní bloky i jinými zůsoby, naříklad na šest vzájemně se střídajících odélných a říčných dvojólů. Výhoda takového řístuu může být ve větší jednoduchosti dílčích kaskádních matic. Nevýhoda větší očet matic je snadno řekonatelná výočetní výkonností MATLABu. Následuje ukázka uraveného textu cyklu ro tento zůsob modelování: for I:N fxf(i); jomj**i*fx; A[ jom*l; ];A[ ;/(jom*l/(jom*c)) ]; A3[ jom*l3; ];A4[ ;/(jom*l4/(jom*c)) ]; A5[ jom*l5; ];A6[ ;/R ]; AA*A*A3*A4*A5*A6; gain(i)/a(,); end; Příklad 4.: rčení hybridních matic dvojbranu Odvoďte hybridní matice H a K dvojbranu na obr

78 78 FEKT Vysokého učení technického v Brně I n I Y Y Obr. 4.46: Ideální transformátor s imedanční zátěží na rimární i sekundární straně. Řešení: Oboustranně zatížený transformátor můžeme cháat jako kaskádní sojení tří dvojbranů: dvojbranu v. slouci tabulky 3.3, ideálního transformátoru, a dalšího dvojbranu stejného tyu jako na začátku kaskády. Nejrve určíme výslednou kaskádní matici A jako součin tří dílčích kaskádních matic: / n / n A. Y n Y Y n Y / n n Pomocí Tab. 3. rovedeme řevod na hybridní matice: / n H, / n Y n Y / Y Yn n K. n Shrnutí a zobecnění: - Zkratujeme-li sekundární bránu ideálního transformátoru, na rimární bráně se objeví nulová imedance (zkrat se z výstuu transformuje na vstu jako zkrat). Vylývá to z nulového arametru h, což je vstuní imedance ři výstuu nakrátko. - Zkratujeme-li rimární bránu ideálního transformátoru, na sekundární bráně se objeví nulová imedance (zkrat se ze vstuu transformuje na výstu jako zkrat). Vylývá to z nulového arametru k, což je výstuní imedance ři vstuu nakrátko. - Poměr výstuního a vstuního naětí je roven transformačnímu oměru n a nezávisí na imedancích, řiojených k branám. Toto vylývá z arametrů h a k. - Poměr velikosti roudů rimárním a sekundárním vinutím je roven transformačnímu oměru n a nezávisí na imedancích, řiojených k branám. Toto vylývá z hodnot arametrů h a k. - Přiojíme-li na výstuní bránu admitanci Y, transformuje se na vstuní bránu jako admitance Y n. Toto vylývá z vzorce ro arametr k. - Přiojíme-li na vstuní bránu admitanci Y, transformuje se na výstuní bránu jako admitance Y n/. Toto vylývá z vzorce ro arametr h. 78

79 Analogové elektronické obvody - řednášky 79 Praktickými říklady využití transformace imedance je výstuní transformátor ro řevod nízké imedance reroduktoru v koncovém stuni zesilovače ve třídě A (dnes již málo oužívané, viz kaitola Zesilovače) nebo řizůsobovací vf transformátorek ro imedanční řizůsobení televizní dvojlinky a koaxiálního kabelu (viz část Obrazové imedance dvojbranu) Obrazové imedance dvojbranu Obrazové imedance a imedanční řizůsobení dvojbranu Pojem obrazové nebo též vlnové či charakteristické imedance dvojbranu je sojován s roblematikou tzv. imedančního řizůsobení, která je důležitá nař. v televizní technice ro minimalizaci tzv. odrazů signálu na rozhraní kabel-kabel nebo kabel sotřebič. Naříklad obrazová imedance koaxiálního kabelu by měla být shodná s imedancí anténních svorek televizoru. Zde je vhodné zdůraznit, že imedanční řizůsobení je něco jiného než výkonové řizůsobení, které je charakteristické tím, že imedance zátěže se v otimálním říadě rovná komlexně sdružené vnitřní imedanci zdroje. Obr znázorňuje následující okus: V rvním kroku řiojíme k vstuní bráně dvojbranu dvojól o imedanci Z. Na výstuní bráně naměříme imedanci Z, která bude obecně záviset na imedanci Z a na vlastnostech dvojbranu. V druhém kroku odojíme dvojól od vstuní brány a výstuní bránu zatížíme dvojólem o imedanci Z, kterou jsme naměřili v rvním kroku. Na vstuní bráně naměříme imedanci Z, která se nemusí rovnat ůvodní imedanci Z. I I vstu výstu Z vstu výstu Z Z Z. Na vstu řiojíme Z a na výstuu naměříme Z.. Na výstu řiojíme Z a na vstuu naměříme Z. Když Z Z, ak Z ZO, Z ZO Obr. 4.47: K objasnění vstuní a výstuní obrazové imedance dvojbranu. Pokud bychom tento okus oakovali ro různé výchozí imedance Z, zjistili bychom, že existuje jen jedna hodnota Z, ro kterou dostaneme o rovedení druhého kroku stejnou imedanci Z Z. Pak imedance Z a Z jsou tzv. vstuní a výstuní obrazové imedance dvojbranu Z O a Z O. Na tomto místě je vhodné zdůraznit následující: Zatížíme-li dvojbran na výstuních svorkách jeho výstuní obrazovou imedancí, bude vstuní imedance dvojbranu rovna jeho vstuní obrazové imedanci. Jinými slovy, dvojbran se bude jevit obvodu, který budí jeho vstuní bránu, jako imedance Z O. Přiojíme-li k vstuní bráně dvojbranu jiný dvojbran o výstuní imedanci Z O, transformuje se tato imedance na výstuní bránu dvojbranu jako Z O. 79

80 8 FEKT Vysokého učení technického v Brně symetrizační člen anténa dvojlinka koax. kabel TV I ant d d s s k k Z O Z O Z O Z O Z O Z O 75Ω 3Ω 3Ω 3Ω 75Ω 75Ω Obr. 4.48: K objasnění ojmu imedanční řizůsobení. Představíme-li si sdělovací řetězec ro řenos signálu jako kaskádní sojení dílčích systémů, které lze modelovat dvojbrany, nař. anténní dvojlinka, řizůsobovací člen, koaxiální kabel, anténní vstu televizoru, ak v každém stykovém bodě mezi jednotlivými částmi řetězce musí být slněna odmínka imedančního řizůsobení, to znamená, že roojované brány musí vykazovat stejnou imedanci. Toho se dosáhne tak, že každý dvojbran musí mít vstuní obrazovou imedanci shodnou s výstuní obrazovou imedancí ředešlého dvojbranu v kaskádě. Poznamenejme, že symetrizační člen na obr. 4.48, který zajišťuje imedanční řizůsobení mezi dvojlinkou a koaxiálním kabelem, lze realizovat vf transformátorkem o transformačním oměru n :. Pak se - v souladu s výsledky říkladu 4. - bude imedance 75Ω, řiojená k sekundáru, transformovat na rimární stranu jako imedance n.75 3Ω a imedance 3Ω z rimární strany se transformuje na sekundární stranu jako 3/ n 75Ω. Příklad 4.: Imedančně řizůsobený útlumový článek Na obr je schéma útlumového článku. Článek se zaojí mezi konce řerušeného koaxiálního kabelu o obrazové imedanci 5Ω. Slouží k zeslabování rocházejícího signálu, nař. říliš silného TV signálu, který by řebuzoval vstuní díl televizoru. Navrhněte odory R a R tak, aby v místech sojení článku s kabely byla dodržena odmínka imedančního řizůsobení. R R R R R 3 Ω 5 Ω R 3 5 Ω Ω a) b) Obr. 4.49: a) Útlumový T-článek, b) výstuní imedance ři zatížení vstuní brány odorem 5Ω musí být rovněž 5Ω. 8

81 Analogové elektronické obvody - řednášky 8 Řešení: Přiojíme-li k jedné z bran článku kabel o imedanci 5 Ω, musíme naměřit na druhé bráně rovněž imedanci 5Ω. Článek tedy musí být odélně souměrným dvojbranem, neboli R R R. Odor R navrhneme odle obrázku 4.49 b). Výstuní imedance, která musí být 5Ω, vychází (5 R). 5 (5 R ) R, neboli 5 R. 5 R Po úravě získáme kvadratickou rovnici R 4R 5 s řešeními R -5Ω a R Ω. Vybereme fyzikálně říustné řešení R Ω. Snadno se můžeme řesvědčit, že latí relace na obr b): 5Ω v sérii s R Ω tvoří 6Ω, toto aralelně se Ω dává odor 4Ω. Po řiočtení R Ω v sérii dostáváme výstuní imedanci 5Ω. Navržený útlumový článek má vstuní a výstuní obrazové imedance 5Ω a lze k němu bez obav řiojit z obou stran dané koaxiální kabely. Shrnutí a zobecnění: - V některých vf alikacích je důležité sledovat odmínky tzv. imedančního řizůsobení obvodů. Pro tyto alikace je tyické, že je lze modelovat kaskádním sojováním dvojbranů. Pokud sojované dvojbrany nejsou imedančně řizůsobeny, vznikají v místě sojení tzv. odrazy vln naětí, res. roudu, s negativními doady nař. na kvalitu řijímaného signálu. - Pro každý dvojbran lze určit jeho tzv. vstuní a výstuní obrazovou imedanci. Pro odélně souměrný dvojbran jsou obě imedance stejné. - Dvojbran je lně imedančně řizůsobený, jestliže je zatížen na vstuní bráně jeho vstuní obrazovou imedancí a na výstuní bráně jeho výstuní obrazovou imedancí. - Pokud dvojbran obsahuje reaktanční rvky, budou jeho obrazové imedance kmitočtově závislé. Ve skutečnosti je ak obtížné zajistit imedanční řizůsobení ro různé kmitočty rocházejícího signálu. Většinou je žádoucí zajistit toto řizůsobení alesoň v omezeném kmitočtovém ásmu, v němž se nachází nejvíce energie zracovávaného signálu. - Tyické odsystémy, které musí být imedančně řizůsobeny v místě jejich sojení: anténa - TV dvojlinka, anténa anténní zesilovač koaxiální kabel, TV dvojlinka řizůsobovací člen koaxiální kabel, koaxiální kabel vstuní díl televizoru, koaxiální kabel rozbočovač TV signálu koaxiální kabel atd. 8

82 8 FEKT Vysokého učení technického v Brně Zjišťování obrazových imedancí ze stavů narázdno a nakrátko Pro raktické výočty jsou užitečné následující oučky, které umožní jednoduše určit obrazové imedance dvojbranu ze stavů narázdno a nakrátko: Vstuní obrazová imedance se určí jako geometrický růměr vstuních imedancí ři výstuu narázdno (Z, ) a ři výstuu nakrátko (Z,k ). Výstuní obrazová imedance se určí jako geometrický růměr výstuních imedancí ři vstuu narázdno (Z, ) a ři vstuu nakrátko (Z,k ): Z O Z, Z, k, Z O Z,Z, k. (4.39) Příklad 4.: Výočet obrazové imedance Vyočtěte vstuní a výstuní obrazovou imedanci článku na obr I 4 Ω I R R 9 Ω 85 Ω Obr. 4.5: Útlumový článek Π. R 3 Řešení: Nejrve vyočteme vstuní/vstuní imedanci článku ři výstuu/vstuu narázdno a nakrátko: Z R ( R R3 ) , 4Ω,, & Z k R R 9 4 8, 7Ω,, 3 & Z R R R ) , 8Ω,, ( 3 & Z k R R , 4Ω. Z (4.39) ak vychází, 3 & Z O 3Ω, Z O 75Ω. Obvod tedy může být oužit jako řizůsobovací článek mezi TV dvojlinkou o imedanci 3Ω a koaxiálním kabelem o imedanci 75Ω. Zjišťování obrazových imedancí z dvojbranových arametrů Protože imedance dvojbranu ve stavech narázdno a nakrátko lze zjistit z dvojbranových arametrů, není obtížné vyjádřit obrazové imedance dvojbranu římo z jeho dvojbranových arametrů. Příslušné vzorce jsou shrnuty v Tab

83 Analogové elektronické obvody - řednášky 83 Tab. 4.7: Vzorce ro výočet obrazových imedancí a řenosů z dvojbranových arametrů. Z Y H K A B z z y y h h Z O, O, z h y z z y y h h k z z y y h h k k Z K O, K O,I z y h z z y y h h k kk k k a a a a bb b b aa a a bb b b k k z y h z h z z y h y y h z k k k k a a y k a aa a bb b z y z z z y z y y h h hh h a k k k k a y a aa a b b b b bb b Obrazové řenosy a útlumy dvojbranu Jsou-li dvojbrany v kaskádním sojení imedančně řizůsobeny, zajímají nás kromě imedančních oměrů i jejich řenosové vlastnosti, zejména řenos naětí a roudu ze vstuu na výstu. Definujme následující obvodové funkce, všechny za ředokladu, že dvojbran je zatížen na výstuní bráně svou výstuní obrazovou imedancí: Obrazový řenos naětí: K O,. (4.4) Obrazový řenos roudu: K O, I I I. (4.4) Obrazový útlum naětí: G O,. (4.4) K O, Obrazový útlum roudu: I GO, I. (4.43) I K O, I 83

84 84 FEKT Vysokého učení technického v Brně Poznamenejme, že v literatuře je někdy zaměňován termín útlum za řenos. Logaritmus obrazového řenosu, res. útlumu, se nazývá obrazová míra řenosu, res. útlumu. V Tab. 4.7 jsou uvedeny vzorce ro výočet obrazových řenosů dvojbranů z jejich dvojbranových arametrů. V říadě seciálních dvojbranů, nař. recirocitních nebo odélně souměrných, lze tyto vzorce dále zjednodušit s využitím odmínek mezi dvojbranovými arametry, které byly shrnuty v Tab Naříklad ro dvojbran recirocitní odélně souměrný vycházejí stejné jak vstuní a výstuní obrazové imedance, tak i obrazové řenosy naětí a roudu. Tabulka 4.8, zjednodušená ro takový říad, je uvedena níže. Tab. 4.8: Obrazový ois recirocitního odélně souměrného dvojbranu. Z Y H K A B Z Z Z O, O, O K O, K O,I K O z z z z z z y h h k k a a b b y y y h k a b y y h k a b Příklad 4.3: Výočet obrazové imedance a obrazového útlumu Pomocí dvojbranových arametrů útlumového článku z obr b) odvoďte jeho obrazové imedance a jeho obrazový útlum. Odor R má hodnotu Ω (vyočteno v říkladu 4.). Řešení: Článek je odélně souměrný, takže jeho vstuní a výstuní obrazové imedance jsou stejné. Podle Tab. 4.3 jsou naříklad kaskádní arametry dvojbranu následující: a a R / R / 3/, 3 a R R / / 5/ 6 Ω, a / R / S. R3 Podle Tab. 4.7 vychází 3 a 5 Z O. 5Ω, a K O a a, G O, 5. 3 K O 84

85 Analogové elektronické obvody - řednášky 85 V říkladu 4. byl článek navrhován tak, aby měl obrazovou imedanci rávě 5Ω. Po vložení článku mezi adesátiohmové koaxiální kabely bude ředstavovat útlum signálu,5 krát, tj. útlum o 3,5dB. Příklad 4.4: Výočet obrazového útlumu naětí a roudu rčete obrazový útlum naětí a roudu článku na obr Řešení: Dvojbran není odélně souměrný, oužijeme tedy vzorce z Tab Z Tab. 4.3 vylývá, že ro daný článek bude nejsnadnější určit arametry y: y & 3.55 ms, y 9 4 &,439 ms, y 4 & 4,4 ms, 4 85 y & 44,476 S. y µ Z Tab. 3.7 ak dostáváme: y y y y K O & 8,855. GOu &,3. y K y y y y K OI &,3543 GOI &,83. y K Fyzikální význam těchto výsledků je atrný z obr. 4.5, který ukazuje výsledky analýzy článku v rogramu Micro-Ca. Článek je zatížen svou výstuní obrazovou imedancí 75Ω a je naájen na vstuní bráně ze zdroje naětí V o vnitřním odoru 3Ω, což je vstuní obrazová imedance článku. Protože je článek na výstuu imedančně řizůsoben, chová se na vstuní bráně jako odor 3Ω. Va vstuní bráně by tedy měla být olovina vnitřního naětí zdroje, tj. ůl voltu. Neatrná chyba je mj. zůsobena tím, že obrazové imedance dvojbranu nejsou zcela řesně 3Ω a 75Ω. Výstuní naětí je 44.8mV, čemuž odovídá obrazový řenos a útlum naětí 44.8 K O & & 8,857. GOu &, K Z výstuního a vstuního roudu článku ak ověříme obrazový řenos a útlum roudu: 59,44 K OI & &,354 GOI &, K OI O OI O 85

86 86 FEKT Vysokého učení technického v Brně Vin Rin 3.667m u 9 R R m 44.8m 4.m 5.954u 85 R 59.44u 75 Rout Obr. 4.5: Analýza imedančně řizůsobeného článku z obr. 4.5 rogramem Micro-Ca. V elisách jsou vyznačena uzlová naětí, v obdélnících větvové roudy. 86

87 Analogové elektronické obvody - řednášky 87 5 OBECNÉ VLASTNOSTI LINEÁRNÍCH OBVODŮ A NÁSTROJE PRO JEJICH POPIS Lineární nebo linearizované obvody, využívané v nejrůznějších alikacích, jsou velmi různorodého charakteru. Přesto je však sojují určité obecné vlastnosti, které vylývají ředevším z toho, že chování těchto obvodů je odřízeno na rozdíl od obvodů nelineárních velmi secifickému rinciu, a to rinciu suerozice. Namátkou jmenujme některé obecné vlastnosti lineárních obvodů: může v nich nastat harmonický ustálený stav, neobohacují sektrum vstuního signálu, lze je modelovat kmitočtovou charakteristikou, ři zdvojnásobení velikosti budicího signálu dojde k zdvojnásobení odezvy na signál, účinky nezávislých budicích zdrojů na obvod se nezávisle sčítají. Díky obecným vlastnostem, které budou v této kaitole osány, můžeme lée cháat chování těchto obvodů ři jejich interakci se signály. Na rinciu suerozice je založeno několik velmi užitečných nástrojů, jak tyto interakce jednoduše oisovat a modelovat. V kaitole se seznámíme mj. s využitím oerátorového oisu lineárních obvodů, který nám umožní elegantně modelovat vlastnosti a chování obvodů v nejrůznějších režimech jejich činnosti. 5. ZÁKLADNÍ POJMY Cíle kaitoly: Přiomenout, co je rinci suerozice, v jakých obvodech latí, a ro které tyy roblémů jej lze využít. kázat, co je to aměť elektrického obvodu, co jsou stavové veličiny a řád obvodu. Vysvětlit ojmy řirozená, vynucená a celková odezva obvodu. Definovat stabilitu elektrického obvodu. 5.. Princi suerozice a jeho důsledky Termínem linearita se označuje roorcionalita (římá úměra) mezi říčinou (vstuem) a účinkem (výstuem). Navíc tento termín zahrnuje i suerozici říčin a účinků. Tyto dva asekty linearity se nazývají homogenita a aditivita (odrobnosti viz [5, ]). Vlastnost homogenity nám oskytuje následující volnost ři exerimentování s lineárními obvody: Je třeba změřit odezvu zesilovače na skokovou změnu vstuního naětí z V na V. Na vstuu však máme k disozici ouze zdroj naětí mv. Zjistíme tedy odezvu obvodu na skok z V na mv a ak zjištěnou odezvu krát zesílíme. Při těchto exerimentech je však třeba dávat ozor na to, že skutečný obvod se chová lineárně jen ro určité rozmezí signálových hodnot, které sice mohou být beztrestně řekročeny v růběhu analýz nad lineárním modelem, nikoliv však u samotného obvodu. Velmi užitečná je i vlastnost aditivity, která nabízí zjednodušovat výočty odezev obvodu na dané buzení, a to v časové i kmitočtové oblasti. Složitý vstuní signál 87

88 88 FEKT Vysokého učení technického v Brně aroximujeme součtem signálů jednodušších. Jsme-li schoni určit odezvy obvodu na každý z těchto jednoduchých signálů, ak o sečtení dílčích odezev získáme odezvu na složitý signál. Na této myšlence je založena nař. metoda výočtu reakce obvodu na signál omocí tzv. konvoluce nebo metoda Fourierovy řady a kmitočtové charakteristiky, kdy růchod eriodického signálu obvodem řešíme rozfázovaně jako růchod harmonických složek, z nichž se vstuní signál skládá (viz obr. 4.4 na str. 49). V části 5.. ukážeme, že okud obvod obsahuje akumulační rvky, ak reakce obvodu na vstuní signál bude záviset i na očátečním stavu těchto rvků. Naříklad o řiojení dvojólu tyu RC k baterii bude růběh naětí naětí na kaacitou záviset i na tom, na jaké očáteční naětí byl kaacitor nabit řed řiojením. Akumulační rvky se totiž chovají jako řídavné zdroje v obvodu, konkrétně nabitý kaacitor jako zdroj naětí a induktor jako zdroj roudu. Princi suerozice nám umožní dívat se na reakci obvodu na vstuní signál jiným ohledem: signály v obvodu lze cháat tak, že jsou složeny ze dvou částí: z reakce na signál a z reakce na očáteční energetický stav akumulačních rvků. Rozložením tzv. celkové odezvy na vynucenou a řirozenou (viz část 5.) můžeme dosáhnout odstatných zjednodušení. Princiu suerozice využijeme i k ředstavě, že odezva obvodu se skládá z tzv. řechodné a ustálené složky. Zajímá-li nás naříklad ouze ustálená odezva, můžeme oužít rychlou metodu, která bude řechodnou složku ignorovat. 5.. Stav, očáteční odmínky a řád lineárního obvodu Akumulační rvky v setrvačném obvodu se chovají jako aměť: energie, nahromaděná v kaacitoru, je úměrná kvadrátu naětí na kaacitoru, energie induktoru zase kvadrátu roudu. vedené naětí a roudy jsou výsledkem nabíjení akumulačních rvků v minulosti a mají vliv na chování obvodu v budoucnosti. Obvod s amětí se nazývá dynamický. Není-li v obvodu aměť, ak jde o obvod statický. Čím větší očet akumulačních rvků je obsažen v obvodu, tím rozsáhlejší je aměť. Obsah -stav aměti v konkrétním okamžiku lze osat množinou čísel velikostí naětí na kaacitorech a roudů induktory v tomto okamžiku. Tyto stavové veličiny mají seciální vlastnost: mohou se v čase měnit jen sojitě, tj v grafech jejich časových závislostí se nemohou objevovat skoky. Pozorujeme-li, res. analyzujeme-li elektrický obvod z určitého výchozího okamžiku, ak hodnoty stavových veličin v tomto výchozím časovém bodu nazýváme fyzikální očáteční odmínky. Tyto odmínky tedy oisují stav aměti obvodu na očátku analýzy. Počet nezávislých stavových veličin, tj. veličin, které se mohou měnit volně jedna nezávisle na druhé, se nazývá řád obvodu n. Závislé veličiny jsou naříklad naětí na kaacitorech, které jsou zaojeny aralelně nebo roudy induktorů v sérii. Závislé jsou rovněž naříklad naětí na kaacitorech v sérii, k nimž je řiojen ideální zdroj naětí, nebo roudy induktorů, které jsou sojeny do uzlu se zdrojem roudu. Platí tedy řád obvodu očet C očet L v obvodu. (5.) V daném okamžiku je výstu určen jednoznačně hodnotou vstuního signálu a stavem aměti Je-li obvod lineární, ak výstuní signál je dán lineární kombinací vstuního signálu a stavových veličin. 88

89 Analogové elektronické obvody - řednášky 89 Stav aměti je výsledkem ůsobení vstuu v minulosti. Porovnáváme-li stav aměti ve dvou o sobě jdoucích okamžicích, ak zjistíme, že se aměť ostuně řeisuje tak, že rychlost změny stavu aměti závisí na momentálním stavu aměti a na vstuním signálu. Naříklad ři nabíjení kaacitoru na naětí baterie řed sériový rezistor bude rychlost nabíjení záviset nejen na naětí baterie, ale i na tom, na jaké naětí je kaacitor momentálně nabitý, kolik mu zbývá do úlného nabití Vynucená, řirozená a celková odezva lineárního obvodu Z ředchozího textu je zřejmé, že obvod reaguje na zdroje dvojího tyu: na vstuní signál a na očáteční energetický stav vnitřních akumulačních rvků (stav aměti), které se chovají jako řídavné zdroje. Jedná-li se o lineární obvod, v němž latí rinci suerozice, ak lze výslednou odezvu obvodu rozložit na dvě části: kde výstu(t) vynucená odezva(t) řirozená odezva(t), (5.) vynucená odezva (angl. Forced Resonse) je odezva obvodu na signál, který ůsobí od očátečního času t ři vynulované aměti v čase t, tj. ři nulových očátečních naětích na kaacitorech a nulových očátečních roudech induktory, řirozená odezva (angl. Zero-Inut Resonse nebo Natural Resonse nebo Free Mode) je odezva obvodu na jeho očáteční stav, tj. na nenulové fyzikální očáteční odmínky ři neůsobení vstuních signálů. Příkladem může být kaacitor, nabitý na naětí V, který je v čase řiojen řes rezistor k baterii o naětí 6V. Nabíjecí exonenciála začíná z výchozího naětí V a směřuje k hodnotě ustáleného stavu 6V. Tento děj lze rozložit na dva dílčí děje: Kaacitor se nabíjí na naětí baterie z očáteční hodnoty naětí V (uvažuje se vynulovaná aměť, vynucená odezva na vstu). Kaacitor se vybíjí z očátečního naětí V řes rezistor (uvažuje se vynulovaný vstu zkrat namísto baterie, řirozená odezva na očáteční stav). Přirozená odezva tedy ukazuje, co se stane, onechá-li se obvod "sám sobě". Je-li naříklad aralelní rezonanční obvod onechán "sám sobě", v důsledku roztylu energie na odorových rvcích obvod nakonec dosěje do nulového stavu. Přechod z výchozího do tohoto konečného stavu se děje formou exonenciálně tlumených harmonických kmitů. Dolníme-li rezonanční obvod řídicím mechanismem, který hlídá stav obvodu a zětně dodává do obvodu energii kryjící jeho ztráty, dostaneme oscilátor. Přirozená odezva bude nyní harmonická bez exonenciálního tlumení. Nebude-li však regulační mechanismus srávně seřízen, může řirozená odezva zanikat (nevykomenzování ztrát), nebo se může naoak objevit tendence jejího neohraničeného růstu (řekomenzování ztrát) Stabilita lineárního obvodu Z ředchozího říkladu je zřejmé, že řirozená odezva může nabývat různých forem: 89

90 9 FEKT Vysokého učení technického v Brně - Časem zaniká. Pak obvod nazýváme asymtoticky stabilní vzhledem k výchozímu stavu. - stálí se v konečných mezích (buď eriodicky se oakující nebo konstantní stav). O obvodu se říká, že je stabilní (říadně že je na mezi stability) vzhledem k výchozímu stavu. - Má tendenci k neohraničenému růstu. Obvod je nestabilní vzhledem k výchozímu stavu. Obvody obsahující ouze asivní rvky tyu R, L a C mají vždy stabilní chování. Přítomnost aktivního rvku s vnějším řívodem energie (tranzistor, oerační zesilovač, tunelová dioda, ) může být zdrojem nestability. Je zřejmé, že růběh řirozené odezvy bude záviset na volbě výchozího stavu. Z ředchozích říkladů je ale vidět, že tendence ohybu (konvergence, divergence) zde není výchozím stavem ovlivněna. Je tomu tak roto, že obvod je lineární. Tendence ohybu je určována vlastnostmi obvodu, které v říadě linearity nezávisejí na jeho stavu. Jiná situace nastává u nelineárních obvodů, kdy ři některých očátečních stavech může řirozená odezva zanikat a ři jiných zase divergovat. Testováním řirozené odezvy tedy můžeme zjišťovat následující informace o obvodu: - Stabilitu (sledováním konvergence). - Linearitu (sledování "odobnosti" odezev ři různých očátečních stavech). - Dynamické vlastnosti (sledování charakteru řechodu obvodu do nového stavu: rychlost řechodu, monotonicita nebo zakmitávání, frekvence zakmitávání aod.) K vyhodnocování těchto testů, zejména osledně jmenovaného, je zaotřebí určitých zkušeností a teoretických znalostí z oblasti časových a sektrálních charakteristik obvodů a jejich souvislostí. Těmito otázkami se budeme zabývat v části Chování obvodu ři buzení vnějším signálem je složitější, neboť je ovlivňováno i charakterem tohoto signálu. Z hlediska osuzování stability buzeného obvodu se oužívají dva základní řístuy: Obvod je stabilní odle Ljaunova, okud se všechny stavové veličiny obvodu budou ohybovat v rámci konečných, ohraničených hodnot. Obvod je stabilní ve smyslu ohraničený vstu ohraničený výstu (angl. BIBO Bounded Inut Bounded Outut), jestliže každý budicí signál, ohraničený v hodnotách, vyvolává výstuní signál, rovněž ohraničený v hodnotách. Lze dokázat, že ro většinu lineárních obvodů je BIBO stabilita totéž co asymtotická stabilita []. Z hlediska konstruktéra nebo uživatele elektronického obvodu, naříklad zesilovače, který má zracovávat signály v lineárním režimu, je rakticky vždy vyžadováno, aby obvod byl asymtoticky stabilní. Obvody, které se teoreticky chovají tak, že se nacházejí na mezi stability, jako naříklad integrátory, mohou v důsledku vždy řítomných reálných vlivů vykazovat nestabilní chování. Tyto negativní jevy lze vyloučit, okud je daný obvod součástí složitějšího obvodu, v němž ůsobí stabilizační účinky záorné zětné vazby. 5. ZÁKLADNÍ PŘENOSOVÉ CHARAKTERISTIKY LINEÁRNÍHO OBVOD A JEJICH POŽITÍ Cíle kaitoly: Vysvětlit ojmy kmitočtová, imulsní a řechodová charakteristika, oerátorová řenosová funkce lineárního obvodu a jejich vzájemný vztah. 9

91 Analogové elektronické obvody - řednášky 9 kázat, jak lze určit vynucenou odezvu obvodu na signál z řechodné a imulsní charakteristiky obvodu. Vysvětlit raktické výočty v obvodech na základě oerátorového očtu a že základem může být sestavení řenosové funkce obvodu. Vysvětlit souvislosti mezi nulovými body a óly řenosové funkce a kmitočtovou charakteristikou obvodu. Vysvětlit souvislosti mezi olohou ólů obvodu v komlexní rovině a stabilitou obvodu. Objasnit zůsoby ráce s Bodeho asymtotickými kmitočtovými charakteristikami. 5.. Kmitočtová, imulsní a řechodová charakteristika a oerátorová řenosová funkce Čtveřice běžně oužívaných charakteristik, které vyjadřují vstuně-výstuní řenosové vlastnosti obvodů, je shrnuta v Tab. 5.. Platí mezi nimi jednoznačné řevodní vztahy. Známe-li jednu z charakteristik g(t), h(t) nebo K(), lze ostatní odvodit. Tab. 5.: Přenosové charakteristiky lineárního obvodu a jejich vzájemné vztahy: Komlexní kmitočtová charakteristika K & ( jω), oerátorová řenosová funkce K(), imulsní charakteristika g(t), řechodová charakteristika h(t). Symboly F a L ředstavují Fourierovu a Lalaceovu transformaci. K & ( jω) K & ( jω) K K ( ) & ( jω) K & ( jω) K ( ) g ( t) h ( t) ro jω { } ( ) K ro jω F { g( t) } jω F{ h( t) } K ( ) L { g( t) } L { h( t) } g ( t) K & F ( jω) L { K( ) } g ( t) { h( t) } jω h ( t) K& F ( jω) K( ) t d dt L g( τ ) dτ h ( t) Kmitočtové charakteristiky: - Jejich odstata je vysvětlena od str. 45. Lze z nich určit ustálenou odezvu obvodu na harmonický signál různého kmitočtu, res. na obecný signál se známým sektrem. Časové charakteristiky: - imulsní charakteristika vynucená odezva obvodu na Diracův imuls δ(t), - řechodová charakteristika vynucená odezva obvodu na jednotkový skok (t). 9

92 9 FEKT Vysokého učení technického v Brně Oerátorové charakteristiky: - řenosová funkce oměr Lalaceových obrazů vynucené odezvy obvodu na vstu a Lalaceova obrazu vstuního signálu. Význam těchto charakteristik sočívá v tom, že z jejich secifických vlastností lze mnohdy odhadnout na rvní ohled chování obvodu ři ůsobení různých signálů, jakož i schonost obvodu řenášet ze vstuu na výstu různě rychlé signálové změny. Každá z charakteristik vyjadřuje dynamické vlastnosti obvodu z jiného úhlu ohledu. Výše uvedené kmitočtové a časové charakteristiky lze oměrně snadno získat exerimentálně. Zůsob měření kmitočtové charakteristiky byl osán v části O zůsobech stanovení časových charakteristik ojednáme níže. Oerátorové řenosové funkce lze určit analýzou obvodu zůsoby, které jsou osány v říloze Oerátorový očet v elektrotechnice. V části bylo ukázáno, že kmitočtová charakteristika obvodu sice oisuje jeho řenosové vlastnosti ři harmonickém buzení, můžeme jí však využít ro zkoumání řenosu neharmonických signálů, okud známe jejich harmonické složky. Obdobný zůsob ráce je běžný i u časových charakteristik: známe-li odezvu na Diracův imuls, res. na jednotkový skok, ak lze určit i odezvu na jiný známý budicí signál. Tento ostu, který vychází z ředstavy rozkladu signálu na elementární segmenty, oíšeme v části Jakýmsi zobecněním, res. komaktní formou výše uvedených charakteristik je oerátorová řenosová funkce. V části 5..4 ukážeme, jak jednoduché je z řenosové funkce vyjádřit kmitočtovou, imulsní i řechodovou charakteristiku, jakož i další vlastnosti obvodu. Souvislosti mezi jednotlivými charakteristikami lineárního obvodu jsou řehledně znázorněny na obr. 9.8 v dodatku Oerátorový očet v elektrotechnice. 5.. Přechodová a imulsní charakteristika a jejich vztah ke kmitočtové charakteristice Přechodová charakteristika (někdy též řechodná, angl. Ste Resonse) obvodu h(t) je jeho vynucená odezva na jednotkový skok. Před řivedením skoku se tedy obvod musí nacházet v nulovém očátečním stavu. Z orovnání řechodové charakteristiky a jednotkového skoku můžeme osoudit, jakým zůsobem byl skok deformován. Z charakteru deformace lze usuzovat na dynamické vlastnosti obvodu. Na obr. 5. je říklad analogového obvodu a jeho odezvy na jednotkový skok. Jde o odorově-kaacitní dělič naětí, omocí něhož lze naříklad modelovat chování měřicí sondy k osciloskou. V čase t, kdy se vstuní signál rudce mění z nuly na úroveň V, je obvod vystaven náročnému testu jak je schoen reagovat na tuto rychlou změnu. Z obr. 5. b) je zřejmé, že skoková změna se řenese na výstu rovněž skokově, ovšem s menší úrovní skoku C /(C C ). Je tomu tak roto, že v rvním okamžiku byly oba kaacitory vybity a ředstavovaly tedy naěťový zkrat, takže zočátku se na řenosu neodílejí "zkratované" rezistory R a R. Skok se tedy na výstu řenese s dělicím oměrem kaacitního děliče (obr. 5. c). Pak dochází k řechodnému jevu a systém sěje do nového ustáleného stavu. Tento stav je charakteristický tím, že kaacitory jsou již lně nabity a neteče jimi roud. V tomto ustáleném stavu se roto na řenosu naětí odílejí ouze rezistory, ustálená úroveň řechodové charakteristiky je dána dělicím oměrem odorového děliče R /(R R ) (obr. 5. d). 9

93 Analogové elektronické obvody - řednášky 93 (t) u R R C C u h(t) C C C t h(t) a) b) (t) t t R R R C R u u u C C C u C c) d) R u u R R R Obr. 5.: a) odorově-kaacitní dělič naětí, b) jeho řechodová charakteristika, c) řenos rudkých signálových změn je určován kaacitním děličem, d) řenos omalých změn a neroměnného signálu je určován odorovým děličem. t.j. Na obvodu je zajímavé, že okud jsou řenosy kaacitního a odorového děliče stejné, C C C R R R, neboli R C R, (5.4) C ak charakteristika nevykazuje řechodovou složku a je skoková stejně jako vstuní signál. Tohoto jevu se využívá k tzv. vykomenzování děliče naětí. Takový dělič se z hlediska vstuně-výstuního chování jeví jako statický systém bez aměti, který do signálu nezanáší lineární zkreslení. Zobecníme-li oznatky z říkladu, můžeme konstatovat, že: Veličina h( ) (limita zrava) udává schonost obvodu řenášet rychlé signálové změny (skoky). Je-li h( ) > (res. <, res. ), ak jsou tyto rychlé změny zesilovány (res. zeslabovány, res. zcela otlačovány). Ve skutečnosti žádný reálný systém není schoen řenést bez zkreslení ze vstuu na výstu úsek signálu s nekonečně velkou derivací, což je dáno jeho setrvačností. Proto řesně vzato jsou řechodové charakteristiky reálných systémů sojité v očátku souřadnic a h( ). Můžeme se o tom řesvědčit na našem obvodu z obr. 5., budeme-li naříklad uvažovat nenulový vnitřní odor zdroje naětí. Ze studia sekter a kmitočtové charakteristiky víme, že schonost řenášet rychlé signálové změny lze vyjádřit i oměrem amlitud výstuního a vstuního signálu systému v harmonickém ustáleném stavu ro kmitočet f. Proto latí ( ) K( ), h (5.5) 93

94 94 FEKT Vysokého učení technického v Brně kde K( ) je limita, k níž se blíží graf amlitudové kmitočtové charakteristiky ro f. Veličina h( ) (okud existuje) udává schonost obvodu řenášet konstantní (neměnný) signál ze vstuu na výstu. Je tomu tak roto, že o odeznění reakce na očáteční skok obvod reaguje už jen na konstantní jednotkovou úroveň vstuu, je v stejnosměrném ustáleném stavu. Zde je rovněž zřejmá souvislost mezi řechodovou a kmitočtovou charakteristikou: Schonost řenášet relativně omalé změny lze vyjádřit i řenosem amlitud harmonického signálu ro f. Je tedy ( ) K( ). h (5.6) Souvislosti mezi limitními body řechodové a amlitudové kmitočtové charakteristiky jsou znázorněny ro říad obvodu z obr. 5. a) na obr. 5.. h(t) K(f) C C C R R R a) R R R t f C C C h(t) K(f) R C C C R R R R R t C C C h(t) f b) c) C C C R R R Obr. 5.: Souvislosti mezi souřadnicemi řechodové charakteristiky h( ) a h( ) a souřadnicemi amlitudové kmitočtové charakteristiky K( ) a K() obvodu z obr. 5. a). Obrázek c) znázorňuje situaci, kdy v důsledku vhodné volby arametrů obvodu došlo k jeho degeneraci na nesetrvačný obvod. Velmi zajímavé jsou souvislosti mezi celkovými růběhy řechodové a kmitočtové charakteristiky. Z růběhu řechodové charakteristiky je možno usuzovat na tyy módů obvodu (viz str. 4 a [5]), které určují i charakter kmitočtové charakteristiky. Objevuje-li se v řechodové charakteristice dominantní kmitavý mód, ak lze očekávat v blízkosti tohoto kmitočtu rezonanční řevýšení amlitudové kmitočtové charakteristiky. Průběh řechodové odezvy je však sjat nejen s amlitudovou charakteristikou, ale silně závisí i na fázové kmitočtové charakteristice. Přechodovou charakteristiku lze exerimentálně stanovit tak, že obvod budíme eriodickým obdélníkovým signálem a na osciloskou sledujeme odezvu. Doba trvání jednoho obdélníkového imulsu musí být tak dlouhá, aby byl dostatek času na vykreslení celé řechodové charakteristiky, tj. aby se obvod dostal do stejnosměrného ustáleného stavu. Před říchodem dalšího imulsu je třeba zajistit nulování očátečního stavu, což lze většinou zabezečit římo ůsobením naětí nulové úrovně v době mezi sousedními imulsy. K(f) t f 94

95 Analogové elektronické obvody - řednášky 95 Imulsní charakteristika (někdy též imulsová, angl. Pulse Resonse) obvodu g(t) je jeho vynucená odezva na Diracův imuls. Přivedením Diracova imulsu na vstu obvodu odrobujeme tento obvod ještě náročnějšímu testu než v říadě jeho vybuzení jednotkovým skokem, kdy obvod reagoval na konečnou změnu signálu v nekonečně krátkém časovém intervalu. Nyní má reagovat na dvě nekonečně velké změny v nekonečně krátkém intervalu o sobě: na změnu z do a z do. Z [7] je známo, že že čím užší je imuls, tím širší má sektrum. Nekonečně úzký Diracův imuls má nekonečně široké sektrum, takže test Diracovým imulsem je ekvivalentní situaci, kdy řivedeme na vstu obvodu současně harmonické signály v kmitočtové škále od Hz až do Hz. Tuto množinu signálů není schoen reálný obvod řenést bez zkreslení, takže na imulsní charakteristiku lze ohlížet jako na zdeformovaný Diracův imuls. Podle charakteru deformace můžeme usuzovat na dynamické vlastnosti obvodu odobně jako v říadě řechodové charakteristiky. Z [5] víme, že Diracův imuls je derivací jednotkového skoku a jednotkový skok je zase integrálem Diracova imulsu. Využijme této souvislosti k určení vztahu mezi řechodovou a imulsní charakteristikou. Z teorie systémů je známa následující oučka [5]: Vynucená odezva lineárního stacionárního systému na časovou derivaci (integrál) signálu je časovou derivací (integrálem) vynucené odezvy na tento signál. Tato oučka vylývá z rinciu suerozice. Důkaz je uveden naříklad v [5]. Z oučky ak vylývá, že: Imulsní charakteristika je derivací řechodové charakteristiky: g ( t) h ( t), (5.7) a naoak řechodová charakteristika je integrálem imulsní charakteristiky: t h( t) g(α ) dα. (5.8) Vztah mezi g(t) a h(t) je vysvětlen na obr. 5.3 na říkladu obvodu z obr. 5. a). Na vstu ůsobí rozdíl dvou jednotkových skoků [(t) (t- )]/, který ro konverguje k Diracovu imulsu δ(t). Odezva, neboli rozdíl odovídajících osunutých a váhovaných řechodových charakteristik, ak konverguje k imulsní charakteristice. Průběh imulsní charakteristiky z obr. 5.3 b) lze získat římo grafickou derivací křivky h(t) z obr. 5. b). V očátku se objeví Diracův imuls o mohutnosti h( ), což je derivace skoku z hodnoty na h( ). Zoakujme, že tento imuls není řítomen v imulsních charakteristikách reálných obvodů, u nichž je řechodová charakteristika sojitá v očátku (h( )). 95

96 96 FEKT Vysokého učení technického v Brně (t)/ g(t) C h( ) C C h(t)/ / t C h( ) C C t C h( ) C C -h(t- )/ / -(t- )/ a) b) Obr. 5.3: Odezvu obvodu z obr. 5. a) na obdélníkový imuls lze složit ze dvou odezev na skokové signály; ro tato odezva konverguje k imulsní charakteristice. Z grafu imulsní charakteristiky lze usuzovat, že obvod dobře reaguje na rychlé změny vstuního signálu, neboť vstuní Diracův imuls byl řenesen na výstu, i když jeho ůvodní mohutnost se zmenšila na C /(C C ). Mohutnost tohoto imulsu tedy udává stejnou informaci jako veličina h( ) v řechodové charakteristice, totiž míru řenosu rychlých signálů. Vstuní Diracův imuls však není řenesen ideálně, o čemž svědčí exonenciální doznívání imulsní charakteristiky. Zbývá objasnit, jak je možné z imulsní charakteristiky určit schonost obvodu řenášet omalé změny signálu. Víme, že řenos omalých změn lze určit z řechodové charakteristiky jako h( ). Ze vztahu mezi řechodovou a imulsní charakteristikou vylývá, že h ( ) g( α ) dα. (5.9) Proto řenos omalých změn je dán celkovou lochou, ohraničovanou imulsní charakteristikou a osou času. V našem konkrétním říadě je tato locha větší, než mohutnost Diracova imulsu v očátku, takže řenos omalých změn je větší než řenos rychlých změn. To je zcela v souladu s našimi ředchozími zjištěními. Nabízí se otázka, jakým zůsobem je možno zjistit imulsní charakteristiku obvodu exerimentálně, rotože, jak známo, vlastní budicí Diracův imuls je nerealizovatelný. Řešení je naznačeno již na obr Obvod je možné budit imulsy, které jsou odobné Diracovým imulsům. Je-li imuls dostatečně úzký, to znamená je-li jeho šířka několikanásobně menší, než kolik činí časové konstanty obvodu, ak odezva na tento imuls je až na multilikativní konstantu rakticky totožná s imulsní charakteristikou. Pak latí: odezva na krátký imuls imulsní charakteristika x locha imulsu. (5.) Je-li naříklad oužit měřicí imuls o úrovni 5V a šířce µs, ak funkční hodnoty imulsní charakteristiky budou oroti změřeným krát větší (/( )). 96

97 Analogové elektronické obvody - řednášky 97 Příklad 5.: Výočet imulsní a řechodové charakteristiky rčete řechodovou a imulsní charakteristiku RC článku na obr R6k Cn u (t) u (t) Obr.5.4. Analyzovaný RC článek (viz též obr. 4.3 na str. 47). Řešení: Přechodovou charakteristiku článku určíme odle její definice jako časový růběh naětí u (t), řivedeme-li v čase t na vstu článku naětí V, řičemž v okamžiku řivedení tohoto naětí byl kaacitor vybitý. Řešením tohoto jednoduchého řechodného děje je exonenciální nabíjecí křivka z očáteční hodnoty V do konečné hodnoty V: t τ h( t) u ( t) ( e )( t). Vzorec řechodného děje je násoben jednotkovým skokem, který matematicky zabezečuje, že řechodová charakteristika je nulová ro záorné časy. Nabíjení robíhá s časovou konstantou τ RC 6µs. Charakteristika je znázorněna na obr Imulsní charakteristiku, tj. vynucenou odezvu na jednotkový imuls, získáme nejohodlněji derivací řechodové charakteristiky: t τ τ τ g( t) h ( t) ( e ) ( t) ( e ) ( t) e ( t). τ τ RC, 6ms /65 t t u u [V] u d/dt u/65,63v u /65,5,5 řechodová charakteristika u,368 imulsní charakteristika/65 t [ms] τ RC, 6ms t [ms] Obr.5.5: Přechodová a imulsní charakteristika RC článku z obr Protože maximální hodnota imulsní charakteristiky je /τ 65V, ro leší srovnání s řechodovou charakteristikou je imulsní charakteristika 65x zeslabena. 97

98 98 FEKT Vysokého učení technického v Brně Při úravě vzorce bylo využito toho, že derivací jednotkového skoku je jednotkový imuls. Ten je násoben funkcí (-e -t/τ ), která je nulová ro čas. Druhý člen imulsní charakteristiky je tedy nulový. Všimněte si, že maximální hodnota imulsní charakteristiky ro t vychází /τ 65 V. Takováto naěťová šička by se skutečně objevila na výstuu ideálního RC článku o řivedení Diracova imulsu. Z raktického ohledu je však třeba vnímat dvě věci: a) Diracův imuls nelze vyrobit, b) odezva obvodu může být ovlivněna arazitními indukčnostmi součástek a sojů. Příklad 5.: Výočet vynucené odezvy RC článku na obdélníkový imuls rčete vynucenou odezvu RC článku z obr. 5.4 na obdélníkový imuls o úrovních V a 5V a šířce µs. Řešení: Délka trvání imulsu je odstatně kratší než je časová konstanta RC článku. Proto můžeme oužít oučku (5.): Odezva na imuls g(t) e -t/τ (t),35 e -t/τ (t) [V]. RC článek tedy zareaguje naěťovou šičkou o úrovni 3,5mV. Výstuní naětí bude exonenciálně zanikat s časovou konstantou 6µs. Pokud by šířka imulsu nebyla zanedbatelná vůči časové konstantě obvodu, uvedený ostu by vedl na velkou výočetní chybu. Přesný výsledek bychom získali složitějšími ostuy, osanými v částech 5..3 a Stanovení vynucené odezvy obvodu z imulsní a řechodové charakteristiky Metoda konvolučního integrálu Vzorec (5.), říadně výsledek říkladu 5. lze okomentovat tak, že okud je imuls, ůsobící na obvod, dostatečně úzký, ak obvod na něj reaguje nezávisle na tvaru tohoto imulsu, nýbrž ouze v závislosti na tom, jaká je jeho mohutnost. Onou reakcí je imulsní charakteristika, násobená mohutností imulsu. Libovolný budicí signál lze tedy myšleně rozložit na dostatečně úzké segmenty odle obr. 5.6 a), každý o šířce t. Z hlediska účinků na obvod je ak tento signál ekvivalentní jinému budicímu signálu na obr. 5.6 b), který je složen z oslounosti Diracových imulsů s modulovanou mohutností. Vynucená odezva obvodu je ak dána součtem říslušných imulsních charakteristik. Přesného řešení dosáhneme ro t. 98

99 Analogové elektronické obvody - řednášky 99 x(k t) t x(k t) t x(t) t t t t k t a) k t Obr. 5.6: Princi náhrady sojitého signálu Diracovými imulsy. b) Matematicky je možno náhradu signálu x(t) Diracovými imulsy zasat následovně: k x ( t) x( k t) δ ( t k t) t. (5.) Pro t řechází suma na ravé straně (5.) v integrál a celý vzorec v nám již známý matematický ois filtračního účinku Diracova imulsu [5]: x ( t) x( α) δ ( t α ) dα. (5.) Předokládejme, že x(t) je vstuní signál obvodu s imulsní charakteristikou g(t). Vynucená odezva obvodu na imuls δ(t-α) tedy bude g(t-α). Vynucená odezva y(t) obvodu na signál x(t) tedy bude y ( t) x( α) g( t α ) dα. (5.3) Integrál na ravé straně rovnice se nazývá konvolučním integrálem neboli konvolucí funkcí x a g. Oerace konvoluce se značí zkráceně symbolem * (konvoluční součin), neboli y ( t) x( t) * g( t). (5.4) Vynucená odezva obvodu na signál x je dána konvolučním součinem tohoto signálu a imulsní charakteristiky obvodu. Lze snadno ukázat, že x(t)*g(t) g(t)*x(t), neboli že současně latí y ( t) g( α ) x( t α ) dα. (5.5) Z rovnice (5.3) vylývá, že řirozenou vlastností obvodu je jeho integrační charakter, tj. tendence integrovat budicí signál. Nejedná se však o čistou, nýbrž váženou integraci: Každá hodnota budicího signálu je řed integrací násobena váhovou funkcí imulsní charakteristikou obvodu. Tato charakteristika tedy rozhoduje o tom, jakou vahou řisívají jednotlivé segmenty vstuního signálu k tvorbě odezvy. Reálný elektrický obvod je kauzální, to znamená, že imulsní charakteristika odezva na Diracův imuls nemůže časově ředbíhat tento imuls, takže g(t) ro t <. Potom lze uravit integrační meze v konvolučních integrálech: horní mez v (5.3) na t, dolní mez v (5.5) na nulu: 99

100 FEKT Vysokého učení technického v Brně ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( α α α α α α d t x g d t g x t y t. (5.6) Je-li navíc vstuní signál nulový ro t <, ak t t d t x g d t g x t y ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( α α α α α α. (5.7) Tvary (5.7) se často objevují v literatuře jako jediné, ovšem je třeba si amatovat, že nejsou obecné a že byly zjednodušeny ze vztahů (5.3) a (5.5) za určitých ředokladů. Příklad 5.3: Výočet vynucené odezvy RC článku na lineárně rostoucí naětí rčete vynucenou odezvu RC článku z obr. 5.4 na naětí, lineárně rostoucí v čase o rychlosti V/s. Řešení: Vstuní naětí lze modelovat rovnicí ) ( ) ( t t t u. Z říkladu 5. známe imulsní charakteristiku RC článku ) ( ) ( t e t g t τ τ. K výočtu odezvy jakožto konvoluce vstuního signálu a imulsní charakteristiky můžeme oužít vzorce (5.7) (vysvětlete roč): α α τ α α τ α α α α α τ α τ τ α d e e d t e d t g u t u t t t t t ) ( ) ( ) ( ) ( ) (. Obě funkce tyu jednotkový skok nabývají v rámci integračních mezí jednotkových hodnot, roto mohly být z integrandu odstraněny. Výsledný integrál lze vyřešit nař. metodou er artes nebo výsledek nalezneme naříklad v tabulkách []: ) ( ) ( τ τ τ τ α τ α α τ τ α τ α t e e d e t t t. Po dosazení do ředchozího vzorce a úravě dostáváme výsledek: ) )]( ( [ ) ( t e t t u t τ τ. První člen na ravé straně rerezentuje vstuní signál. Druhý člen je tedy rozdíl mezi výstuním a vstuním naětím. V ustáleném stavu, tedy ro t, je tedy výstuní naětí oroti vstunímu zmenšeno o hodnotu τ. Jde o tzv. rychlostní chybu, vyvolanou naříklad u mechanických záznamových zařízení setrvačností záznamové části. Výsledky jsou v grafické formě uvedeny na obr. 5.7.

101 Analogové elektronické obvody - řednášky R6k Cn u[mv],8,6 u (t) τ τ u (t) u (t),4, u (t),,4,6,8 t[ms] Obr. 5.7: Vynucená odezva RC článku na lineárně rostoucí vstuní naětí. Metoda konvolučního integrálu se říliš neoužívá k technickým výočtům vynucených odezev. Důvod je zřejmý z říkladu 5.3: zdlouhavé řešení integrálů. Kromě toho nesrávné oužívání vzorců (5.6) a (5.7) může vést k chybám. řednostňují se efektivnější metody, založené na oerátorovém očtu (viz dodatek Oerátorový očet v elektrotechnice ). Přesto není osvojení této metody zbytečné, neboť nám oskytuje metodiku zkoumání tvorby odezvy obvodu na vstuní signály různého charakteru. Daleko širší raktické ulatnění má metoda v obvodech číslicového zracování signálů. Je rovněž narogramována v některých očítačových simulačních rogramech tyu Sice-like a Sice-comatible (viz kaitola na str. 39), ro analýzu Transient ro obvody s tzv. Lalaceovými zdroji. Metoda Duhamelova integrálu Duhamelův (čti Dyhamelův ) integrál umožňuje získávat odezvu obvodu na signál x(t) ze znalosti jeho odezvy na jednotkový skok. Hlavní myšlenka je odobná jako u konvolučního integrálu: budicí signál se aroximuje skokovými signály a odezva se získá sčítáním říslušných řechodových charakteristik. Z obr. 5.8 je zřejmé, že hodnota signálu x(t) v obecném čase t bude dána součtem x( t) x( )( t) x ( t t) x( t t) K x( )( t) xk( t k t) k x t ( )( ) x ( k t)( t k t) t, k kde x značí derivaci signálu x odle času. Pro t řejde řibližná rovnost v řesnou rovnost a suma na ravé straně v integrál: ( t) x( )( t) x ( α )( t α ) dα x. (5.8) Vzorec latí za ředokladu, že signál x(t) má v celém uvažovaném časovém intervalu derivaci. Vykazuje-li signál skokové změny, lze jej osat řídavnými členy omocí jednotkových skoků.

102 FEKT Vysokého učení technického v Brně x(t) t x( ) x(t)... t x x x( ) (k-) t x(t) t k t x ( k t) t x k x x t t. t t t x k k t t Obr. 5.8: Princi náhrady sojitého signálu jednotkovými skoky. V říadě, že signál x(t) je nenulový i ro záorné časy, můžeme rvní člen na ravé straně (5.8) oět složit z osunutých skoků a vzorec ak bude mít obecnější tvar x ( t) x ( α)( t α) dα. (5.9) Protože vynucená odezva obvodu na signál (t - α) je h(t - α), můžeme z (5.8) a (5.9) sát ro vynucenou odezvu y(t) na signál x(t) ( t) x( ) h( t) x ( α ) h( t α ) dα y, x(t) ro t <, (5.) y ( t) x ( α) h( t α) dα, x(t) ůsobí i ro t <. (5.) Vzorec (5.) je obecnější, rotože z něj lyne vzorec (5.) ři resektování skutečnosti, že v bodech nesojitosti ( skoků ) x(t) se v derivaci x (t) objevují Diracovy imulsy. Pro kauzální systémy lze navíc zaměnit nevlastní horní meze integrálů za t. Úravami integrálů lze získat další tvary Duhamelových integrálů, známé z literatury [6]. Je však třeba konstatovat, že metoda Duhamelových integrálů je ro raktické výočty ještě méně vhodná než metoda konvolučních integrálů. Její význam je roto třeba vidět síše v tom, že nám omáhá ři tvorbě fyzikálního názoru na ochody v dynamických systémech Oerátorová řenosová funkce, její vlastnosti a její vztah k ostatním charakteristikám obvodu Motivační říklady

103 Analogové elektronické obvody - řednášky 3 Oerátorový očet (viz dodatek Oerátorový očet v elektrotechnice ) umožňuje výočet vynucené odezvy na vstuní signál daleko ohodlnějším zůsobem, než jak je tomu u konvoluce, říadně Duhamelova integrálu. Nejrve se určí tzv. řenosová funkce obvodu. Pak se vynásobí Lalaceovým obrazem vstuního signálu, čímž získáme Lalaceův obraz odezvy. Následuje řevod na časový růběh odezvy zětnou Lalaceovou transformací. Zde je možno vysledovat analogii se známým řešením lineárních obvodů v harmonickém ustáleném stavu symbolicko-komlexní metodou, kdy se nejrve řeší řenosové vlastnosti obvodu na určitém kmitočtu tak, že kaacitory jsou modelovány reaktancemi /(jωc) a induktory reaktancemi jωl. Vynásobením komlexního řenosu K & (ω) a fázoru vstuního signálu získáme fázor odezvy na výstuu, z něhož ohodlně zjistíme amlitudu a očáteční fázi výstuního signálu. Oerátorová řenosová funkce ředstavuje užitečné zobecnění symbolicko-komlexní metody. Namísto komlexního (imaginárního) kmitočtu jω je uvažován komlexní oerátor σjω, který může mít obecně jak imaginární (jω), tak i reálnou (σ) složku. Namísto klasických reaktancí se racuje s oerátorovými reaktancemi /C a L. Výsledkem řešení řenosu obvodu je nyní oerátorová řenosová funkce K(), z níž se zjistí komlexní řenos obvodu na konkrétním kmitočtu ω jednoduchou substitucí jω. Kromě toho je však možné z řenosové funkce vyčíst řadu dalších informací o obvodu, jak vylývá nař. z obr. 9.8 v dodatku Oerátorový očet v elektrotechnice. Pro ilustraci se okusme vyřešit říklad 5.3 omocí oerátorové řenosové funkce. Příklad 5.4: Výočet vynucené odezvy obvodu omocí jeho oerátorové řenosové funkce. rčete vynucenou odezvu RC článku z obr. 5.4 na naětí, lineárně rostoucí v čase o rychlosti V/s. Použijte metodu oerátorové řenosové funkce. Řešení: V souladu s dodatkem Oerátorový očet v elektrotechnice je nejrve originální schéma obvodu z obr. 5.9 a) řekresleno na oerátorové schéma na obr. b). Kaacitor je modelován oerátorovou reaktancí a časový růběh budicího signálu je nahrazen jeho oerátorovým obrazem odle slovníku Lalaceovy transformace v Tab i(t) R6k Cn R u ( t R ) u ( t) t( ) t u (t) ( ) ( ) C a) b) Obr. 5.9: Modelování obvodu oerátorovým schématem. Nyní vyočteme řenosovou funkci obvodu jako oměr oerátorových obrazů výstuního a vstuního naětí: 3

104 4 FEKT Vysokého učení technického v Brně ( ) C 65 K ( ). (5.) ( ) RC RC 65 R C RC Oerátorový obraz výstuního naětí získáme vynásobením řenosové funkce oerátorovým obrazem vstuního signálu. Poté rovedeme rozklad na arciální zlomky (viz str. 5): 65 A A A3 ( ) K( ) ( ), A τ, A, A3 A. (5.3) 65 Podle slovníku Lalaceovy transformace tomu odovídá signál 65 t 65 t u ( t) A ( t) A t( t) A e ( t) [ t τ ( e )]( ). 3 t Tento výsledek jsme obdrželi v říkladu 5.3 metodou konvoluce, ovšem komlikovanějším zůsobem. Příklad 5.5: rčení řenosové funkce obvodu ro různé výstuní signály. rčete řenosové funkce RLC obvodu z obr. 5. a) za ředokladu, že výstuním signálem je naětí a) u c, b) u L, c) u R, d) u LC. Řešení: Oerátorové schéma je na obr. b). Analýza a jednoduché úravy vedou k těmto výsledkům: i(t) R L H C uf I( ) R L C u R( t ) u L (t) u C (t) R () L () u u LC (t) ( t ) LC ( ) ) a) b) ( C ( ) Obr. 5.: Modelování RLC obvodu oerátorovým schématem. K C C C 5 LC R R L LC RC C L LC, (5.4) 5 K L L L LC LC RC R R L C L LC, (5.5) 5 4

105 Analogové elektronické obvody - řednášky 5 K R R R R RC L, (5.6) LC RC R 5 R L C L LC L LC C LC 5 K LC LC. (5.7) LC RC R 5 R L C L LC Výsledky říkladů využijeme k demonstrování raktického významu řenosových funkcí. Poznatky z říkladů: a) Přenosová funkce lineárního obvodu n-tého řádu má obecně tvar a a.. a K ( ) b m m, m n. (5.8) n b.. bn Ve jmenovateli je olynom stejného řádu jako je řád obvodu. V čitateli je olynom maximálně stejného řádu jako ve jmenovateli. b) Při volbě různých výstuních signálů obdržíme různé řenosové funkce téhož obvodu. Jmenovatel všech řenosových funkcí bude stejný, různé budou čitatele. c) Koeficienty řenosových funkcí závisí na arametrech součástek obvodu, nař. na odorech, indukčnostech a kaacitách u asivních RLC obvodů. Vztah mezi řenosovou funkcí a imulsní a řechodovou charakteristikou obvodu Imulsní charakteristika je vynucená odezva obvodu na jednotkový imuls. Vynásobením Lalaceova obrazu vstuního signálu v tomto říadě jedničky a řenosové funkce tedy získáme Lalaceův obraz imulsní charakteristiky. Jinými slovy, latí tyto důležité oučky: Přenosová funkce je Lalaceovým obrazem imulsní charakteristiky. Imulsní charakteristika je originálem k řenosové funkci. Souhrnně Imulsní charakteristika a oerátorová řenosová funkce tvoří transformační ár Lalaceovy transformace, neboli K( ) L{ g( t)}, g( t) L { K( )}. Přechodová charakteristika je vynucená odezva obvodu na jednotkový skok, jehož Lalaceův obraz je /. Po vynásobení řenosovou funkcí získáme Lalaceův obraz řechodové charakteristiky. Jinými slovy, Přenosová funkce, vydělená oerátorem, je Lalaceovým obrazem řechodové charakteristiky. Přechodová charakteristika je originálem k řenosové funkci, vydělené oerátorem. 5

106 6 FEKT Vysokého učení technického v Brně Souhrnně Přechodová charakteristika a oerátorová řenosová funkce vydělená oerátorem tvoří transformační ár Lalaceovy transformace, neboli K( ) / L{ g( t)}, g( t) L { K( ) / }. Příklad 5.6: rčení imulsní a řechodové charakteristiky z řenosové funkce obvodu. rčete imulsní a řechodové charakteristiky k obvodům z říkladů 5.4 a 5.5. Řešení: RC článek z obr. 5.9: oužijeme informace z řádků 5 a Tab. 9.3 slovníku Lalaceovy transformace: 65 65t K( ) ˆ g( t) L { K( )} 65e ( t), RC 65 RC K( ) 65 65t ) h( t) L { } L { } [ e ]( t). ( 65) K těmto výsledkům jsme již dosěli jiným ostuem v říkladu 5.. Závěry: Imulsní charakteristika RC článku z obr. 5. exonenciálně zaniká s časovou konstantou τ /65 53µs. Přechodová charakteristika monotónně roste z nuly na hodnotu V s toutéž časovou konstantou. Časová konstanta obvodu je záorně vzatá reciroká hodnota kořene jmenovatele řenosové funkce, tedy ólu řenosové funkce -65 (viz dodatek Oerátorový očet v elektrotechnice ). RLC obvod z obr. 5.: Pro ilustraci vyřešíme alesoň říad, kdy výstuní naětí je bráno na kaacitoru. Přenosovou funkci K C () uravíme na tvar, který je uveden na řádku 8 v Tab. 9.3: K LC C R L LC 5 &. ( ) 9, ( ) 5 5 & ( ) 379 6

107 Analogové elektronické obvody - řednášky 7 Tomu odovídá originál g C 5 t t ( t) & e sin(9,47t )( t) & 5,7e sin(9,47t )( t). 9,47 Pro určení řechodové charakteristiky oužijeme informací v řádku slovníku Lalaceovy transformace: h C ( t) & L 5 { { ( ) 9,47 9,47 e t } [sin(9,47 t) 9,47 cos(9,47t )]}( t) & t & { e [,565sin(9,47 t) cos(9,47 t)]}( t). Poznamenejme, že óly řenosové funkce jsou nyní dva: 5 ( ) 9,47 ± j9,47, ± j9,47. Závěry: Imulsní charakteristika RLC obvodu z obr. 5. je exonenciálně tlumený harmonický signál tyu sinus. Odezva zaniká s časovou konstantou τ / 9,9ms. Tlumené kmity mají kmitočet ω & 9,47 rad/s, f & 9,47 /(π ) & 3, Hz. Přechodová charakteristika robíhá od očáteční hodnoty do ustálené hodnoty. Neroste však monotónně, objevují se v ní zákmity které mají stejný kmitočet a stejnou časovou konstantu tlumení jako u imulsní charakteristiky. Časová konstanta obvodu je záorně vzatá reciroká hodnota reálné části ólů řenosové funkce Re{, } -. Kruhový kmitočet zákmitů v odezvách je roven velikosti imaginární části ólů 9,47 rad/s. Pokud jsme ochoili metodiku výočtu časových charakteristik z oerátorové řenosové funkce, okusme se určit g(t) a h(t) RLC obvodu z obr. 5. (výstuní naětí na kaacitoru), jestliže zvýšíme odor R z Ω na 5Ω. Využijeme vzorce ro řenosovou funkci, odvozený v říkladu 5.6: K LC C R L LC 5 &. ( 5), ( 5) & ( 5) 5 Problém je, že ve jmenovateli se objevilo záorné znaménko, což nekoresonduje s oerátorovým tvarem v řádku 8 Tab Vyřešení roblému je jednoduché. Záorné 7

108 8 FEKT Vysokého učení technického v Brně znaménko se objevilo roto, že kořeny jmenovatele jsou nyní reálné, zatímco ro odor Ω vyšly komlexní. Alikací algebraické oučky a -b (ab)(a-b) dostáváme tyto kořeny neřímo, bez klasického ostuu řešení kvadratické rovnice: K C & ( 5) 5,8 5 ( 5,8)( 5,8) 5. ( 36,8)( 3,8) Přenosová funkce tedy vykazuje dva různé reálné óly -36,8, -3,8. K imulsní charakteristice lze nyní dosět buď rozkladem řenosové funkce na arciální zlomky, nebo jednodušeji římým řevodem ze slovníku Lalaceovy transformace, konkrétně oužitím relace v řádku 8: g C 36,8t 3,8t e e 3,8t 36,8t ( t) 5 ( t) &,36( e e )( t). 3,8 36,8 Obdobně řechodovou charakteristiku získáme římo omocí řádku ve slovníku: 5 3,8 hc ( t) & ( e 36,8.3,8 36,8 3,8 & (,68e 36,8t,68e 3,8t )( t). 36,8t 36,8 e 36,8 3,8 3,8t )( t) & Z růběhů řechodných dějů se nyní vytratil kmitavý charakter, neboť ve vzorcích se neobjevují funkce tyu sinus a kosinus. Výsledné charakteristiky jsou srovnány s růběhy řed modifikací odoru na obr. 5.. Byly získány z rogramu SNAP. Analýza tímto rogramem otvrdila i srávnost vzorců ro g(t) a h(t) h(t) h(t) 8m 8m 6m 5 6m 5 4m g(t) 4m g(t) m m -3 m m 3m 4m 5m 6m 7m ste res. time ulse res. -3 m m 3m 4m 5m 6m 7m ste res. time ulse res. a) b) Obr. 5.: Imulsní a řechodová charakteristika RLC obvodu z obr. 5. ro R a) Ω, b) 5Ω. 8

109 Analogové elektronické obvody - řednášky 9 Při růstu odoru, tj. ři růstu tlumení RLC obvodu, se rozložení ólů ostuně mění a ro určitou hodnotu odoru se změní jejich charakter z komlexních na reálné. Z ředchozího ostuu je snadné zjistit, že tato kritická hodnota odoru je L R krit & 447Ω. C Tomu bude odovídat dvojnásobný reálný ól a obvod se bude nacházet na tzv. mezi eriodicity v režimu kritického tlumení. Výsledky z říkladů 5.4 a 5.6 jsou souhrnně ilustrovány na obr. 5.. jim{} komlexně sdružená dvojice ólů jednoduchý reálný ól oblast -Re{} nestability Re{} dvojice reálných ólů dvojnásobný reálný ól -jim{} "kladné" tlumení "záorné" tlumení zánik g(t) neohraničený nárůst g(t) Obr. 5.: Souvislosti mezi růběhem imulsní charakteristiky g(t) a rozložením ólů. Posouvání ólů doleva znamená růst časových konstant a zomalování řechodného děje. Vzdalování ólů od reálné osy znamená růst frekvence zákmitů v odezvě. Přechod ólů do ravé komlexní oloroviny je dorovázeno neohraničeným růstem odezvy a nestabilním chováním obvodu. Souvislost mezi rozložením ólů a stabilitou obvodu Na str. 9 je mj. vysvětlen ojem stabilita lineárního obvodu. Je ukázáno, že obvod je stabilní, okud jeho řirozená odezva na očáteční odmínky konverguje k nule. 9

110 FEKT Vysokého učení technického v Brně V následujícím textu oukážeme na často oužívanou oučku, která vychází z toho, že informace o stabilitě či nestabilitě obvodu je jednoznačně obsažena v oloze ólů obvodu v komlexní rovině oerátoru, konkrétně v tom, zda reálné části všech ólů jsou záorné či nikoliv. Na tomto oznatku jsou založeny všechna v minulosti hojně oužívaná tzv. kritéria stability (Schurovo, Michajlovo, Hurwitzovo aod.). Dnes má velký význam očítačové testování stability navrhovaných zařízení řed jejich výrobou. Klasický očítačový simulační rogram tyu SPICE dokáže simulovat nejrůznější časové odezvy obvodu a z tendence odezvy, tj. zda zaniká nebo diverguje, lze usuzovat na stabilitu. Pokud rogram dokáže očítat óly obvodu, může být testování stability rovedeno jednodušeji. Protože imulsní charakteristika obvodu je jeho reakce na jednotkový imuls, můžeme ji cháat jako seciální říad řirozené odezvy: jednotkový imuls na vstuu obvodu dodá do obvodu určitou energii a skokově změní očáteční odmínky z nulových na nenulové. Poté již imuls neůsobí, rotože je nulový ro kladné časy. Imulsní charakteristika ak doznívá ři nulovém vstuu. Pro stabilní obvod by tedy mělo latit, že lim g ( t). t Souvislosti mezi olohou ólů v komlexní rovině a růběhem imulsní charakteristiky jsou zřejmé z ředchozích říkladů a z obrázku 5.. Na obr. 5. je znázorněna oblast tzv. záorného tlumení, kdy reálné části ólů jsou kladné. K tomu by teoreticky mohlo dojít u výše analyzovaných RC nebo RLC článků ři záorných hodnotách odorů. Záorné odory vlastně ředstavují modely zdrojů, nikoliv sotřebičů energie. Posaný jev může roto být skutečně ozorovatelný u elektronických obvodů s aktivními rvky (tranzistory, oerační zesilovače ), které ke své funkci otřebují vnější zdroje energie. takových obvodů, jako jsou naříklad audiozesilovače, roto v rinciu mohou nastat nežádoucí jevy, sojené s nestabilitou. vedené souvislosti mezi olohou ólů v komlexní rovině a stabilitou obvodu jsou často formulovány do známé oučky: Lineární obvod je stabilní, okud jeho všechny óly leží v levé otevřené komlexní olorovině, tj. okud reálné složky všech ólů jsou menší než nula. Objeví-li se alesoň jeden ól obvodu v ravé olorovině, znamená to nestabilitu obvodu. Jednoduché óly na imaginární ose znamenají mez stability (imulsní odezva konverguje do nenulové konstantní úrovně nebo do ohraničených oscilací), vícenásobné óly na imaginární ose indikují nestabilitu. Podrobnosti jsou uvedeny v [5]. Souvislost řenosové funkce a kmitočtové charakteristiky obvodu važujme řenosovou funkci obvodu n-tého řádu ve tvaru (5.8), res. (5.9): m a a.. am ( )( )..( m ) K ( ) a n m, m n, (5.9) b b.. b ( )( )..( ) n kde symboly tyu a jsou označeny nulové body a óly řenosové funkce (viz dodatek Oerátorový očet v elektrotechnice ). Ze souvislostí mezi Lalaceovou a Fourierovou transformací vylývá, že: n

111 Analogové elektronické obvody - řednášky Komlexní kmitočtovou charakteristiku získáme z řenosové funkce o substituci jω, neboli K & ( jω) K( ). jω Pak kmitočtovou charakteristiku obvodu n-tého řádu získáme z (5.9) ve tvaru K& ( jω) a a jω.. a b b jω.. b m n ( jω) ( jω) m n a m ( jω ( jω )( jω )( jω )..( jω )..( jω m n ), m n, (5.3) ) vědomíme-li si, že K() je komlexní funkce komlexní roměnné σ jω, ak kmitočtová charakteristika se získá řezem této komlexní funkce rovinou jω., tj. ro σ. Konkrétní říklad je uveden na obr. 5.3 a) ro kmitočtový filtr o řenosové funkci K 5, ( j7,7)( j7,7) ) &,. (5.3) 5 ( j9,47)( j9,47) ( Na obrázku je vykreslen modul řenosové funkce nad komlexní rovinou σ jπf. Pro jednoduchost je vykreslen jen druhý kvadrant komlexní roviny, tj. ro σ, f. Je zřejmé, že v nulovém bodě j7,7 jπ.,5, tedy ro kmitočet 7,7 rad/s neboli,5hz rochází řenosová funkce nulovou hodnotou. Oačně, v místě ólu, tedy - j9,47-jπ.3,, roste modul řenosové funkce nade všechny meze. Tomu odovídá hodnota σ - s - a kmitočet 9,47 rad/s neboli 3,Hz. Amlitudová kmitočtová charakteristika je rerezentována okrajovou křivkou v řezu lochou ro σ. Jde o dolní roust s rezonančním řevýšením v okolí kmitočtu 3Hz a s úlným otlačením řenosu na kmitočtu,5hz. Protože v říadě kmitočtové charakteristiky ředstavuje oerátor komlexní kmitočet jω, ak můžeme na základě řenosové funkce velmi rychle otestovat, jaký je řenos obvodu na nízkých a na vysokých kmitočtech: K& ( ω) K( ), (5.3) ω K & ( ω) K( ). (5.33) ω

112 FEKT Vysokého učení technického v Brně modul K() amlitudová kmitočtová charakteristika -σ otlačení řenosu v nulovém bodě -Re{} jim{} a) f [Hz] modul K() v db logaritmická amlitudová kmitočtová char. b) -σ -Re{} jim{} log(f) Obr. 5.3: Amlitudová kmitočtová charakteristika obvodu získaná z řenosové funkce řezem rovinou jω, a) lineární kmitočtová osa i osa řenosu, b) logaritmická kmitočtová osa a decibelová osa řenosu.