Nerovnosti s podmínkou
|
|
- Jiří Kraus
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Nerovnosti s podmínkou Michael Majkl Bílý ØÖ ØºMnohonerovnostímáusebeještětakzvanouomezujícípodmínku.Příspěvek se zabývá metodami řešení právě takových nerovností od těch základních až po některé pokročilé. Teorie K řešení jednoduchých i těch velmi složitých nerovností budeme potřebovat některé zbraně. Definice. (Homogenita) Výraz V(a, b, c) nazveme homogenní stupně α, pokud existuje α Rtakové,žeprokaždé t >0platí V(ta,tb,tc)=t α V(a,b,c). Definice.(Symetrie) Výraz V(a, b, c) nazveme symetrický, pokud V(a,b,c)=V(a,c,b)=V(b,a,c)=V(b,c,a)=V(c,a,b)=V(c,b,a). Definice.(Cykličnost) Výraz V(a, b, c) nazveme cyklický, pokud se nezmění při provedení libovolné cyklické záměny, tj. V(a,b,c)=V(b,c,a)=V(c,a,b). Tvrzení.(AGnerovnost) Prolibovolnákladnáčísla x,...,x n,n N,platí x + +x n n n x x n. Rovnostnastaneprávětehdy,když x = x 2 = =x n. Tvrzení.(Cauchyhonerovnost) Nechť n N.Dálebuďte u,u 2,...,u n R, v,v 2,...,v n R.Pakplatí (u 2 +u u 2 n)(v 2 +v v 2 n) (u v +u 2 v 2 + +u n v n ) 2. 4
2 MICHAEL MAJKL BÍLÝ Rovnost v Cauchyho nerovnosti nastane právě tehdy, když existuje λ takové, že u = λv,u 2 = λv 2,...,u n = λv n. Teď,kdyžužmámevšechnyzbraně,sepustímedoboje. Příklady Příklad. Reálnáčísla a, b, c, dsplňují ab+cd=, a 2 +b 2 +c 2 +d 2 =4. Dokažte,ženěkterádvěztěchtočíselselišínejvýšeoaněkterádvěselišínejméně o. (MO6 C S 3) Příklad 2. Reálnáčísla a, b, c, dsplňují ab+bc+cd+da=6.dokažte,že některá dvě z nich mají součet nejvýše 4. Jakou nejmenší hodnotu může mít součet a 2 +b 2 +c 2 +d 2? (MO6 C I 4) Příklad 3. Předpokládejme, že pro kladná reálná čísla a, b, c, d platí ab+cd=ac+bd=4 a ad+bc=5. Najdětenejmenšímožnouhodnotusoučtu a+b+c+dazjistěte,kteréčtveřice a, b, c, d ji dosahují. (MO 6 A II 4) Příklad4. Reálnáčísla a, b, c, d, esplňují a+b+c+d+e=8, a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +e 2 =6. Jaké největší hodnoty může nabývat e? Příklad 5. Reálná čísla x, y, z splňují (Bílovec) Dokažte, že x+y+z=2, x 2 +y 2 +z 2 =54. (i) každézčísel xy, yz, zxjealespoň9anejvýše25, (ii) některézčísel x, y, zjenejvýše3ajinéalespoň5. (MO 60 A III 3) Příklad 6. Najděte nejmenší kladné reálné číslo t s následující vlastností: kdykoliv reálnáčísla a, b, c, dsplňují a+b+c+d=6aa 2 +b 2 +c 2 +d 2 =0,lzeztěchto čísel vybrat dvě, jejichž rozdíl je v absolutní hodnotě nejvýše t. (iks, A) 5
3 NEROVNOSTI S PODMÍNKOU Příklad7. Nechť a, b, c, djsoureálnáčíslasplňující a+b+c+d=6aa 2 +b 2 + c 2 +d 2 =2.Dokažte 36 4 ( a 3 +b 3 +c 3 +d 3) ( a 4 +b 4 +c 4 +d 4) 48. Příklad8. Prokladná a, b, csplňující abc=dokažte (IMO shortlist 200, A2) a b + b c + c a a+b+c. Příklad9. Buďte a,b,c R + taková,že abc=.dokažte (MO 52 A III 6) a 2 +b 2 +c 2 a 5 +b 2 +c 2+ a2 +b 2 +c 2 a 2 +b 5 +c 2+ a2 +b 2 +c 2 a 2 +b 2 +c 5 3. Příklad0. Prokladnáčísla a, b, c, dplatí abcd=.dokažtenerovnost (+a) 2+ (+b) 2+ (+c) 2+ (+d) 2. Příklad. Reálnáčísla x,y,z splňují x + y + z =2.Dokažte (IMO 2005) (Čínská MO 2004) x + y + z x+y+z. (Íránská MO 998) Substituce Substituci poznáte podle několika vodítek: () Některé proměnné se ve výrazu chovají jako nějaký goniometrický vzorec. (2) Proměnné jsou stranami trojúhelníka nebo jsou svázány nějakou jinou známou podmínkou. (3) Substituce vám přímo pomůže přeformulovat do hezčího tvaru dokazovanou nerovnost, nebo aspoň její podmínku(občas vás může podmínky zbavit). 6
4 MICHAEL MAJKL BÍLÝ Jednotlivésubstitucesiukážemenapřednášce.Jakmilenanějakou výhodnou substituci přijdete, pravděpodobně jste už na úlohu vyzráli a stačí ji pak umlátit nějakou běžnou metodou. Příklad2. Prokladná a, b, csplňující abc=dokažte a 3 (b+c) 3 2. Příklad3. Prokladnáčísla a, b, csplňující abc=dokažte ( a + )( b + )( c + ). b c a Příklad 4. Nechť a, b, c jsou strany trojúhelníka. Dokažte (i) a2 (b+c a) 3abc, (ii) a2 b(a b) 0. (IMO 995) (IMO 2000) (IMO964) (IMO983) Příklad5. Nechť x, y, zjsoukladnáčíslasplňující x+y+z= xyz.dokažte (i) x+y+z 3 3, (ii) xyz 3 3, (iii) xy+yz+zx 9. Příklad6. Prokladná x, y, zsplňující x+y+z= xyzdokažte +x (Korea 998) Příklad7. Nechť x, y, zjsoukladnáčíslasplňující x+y+z+2=xyz.dokažte (i) x+y+z 6, (ii) xyz 8, (iii) xy+yz+zx 2. Příklad8. Prokladná x, y, zsplňující xy+yz+zx+xyz=4dokažte x+y+z xy+yz+zx. Příklad9. Prokladná x, y, zsplňující x+y+z+2=xyzdokažte x+ y+ z 2(x+y+z+3). (Indie 998) 7
5 NEROVNOSTI S PODMÍNKOU Příklad20. Nechťkladná x, y, zsplňují x 2 +y 2 +z 2 +xyz=4.dokažte 2 x 2 y 2 z 2+x + 2+y + 2+z 3. Příklad2. Kladnáčísla a, b, csplňují ab+bc+ca=.dokažtenerovnost 3 a +6b abc. (IMO shortlist 2004) Příklad22. Pronezápornáčísla x, y, zplatí x 2 +y 2 +z 2 =3.Dokažte x 3 y+z Příklad23. Kladnáčísla a, b, csplňujímin(a,b,c) 4 max(a,b,c).dokažte (ab+bc+ca) ( ) (a+b) (a b) 2 6 (a+b) 2. Literatura a zdroje [] Archiv Matematického Korespondenčního Semináře seriál o nerovnostech [2]StránkyčeskéMatematickéOlympiádyhttp:// rvmo/ [3] Seminář iks 8
2.1. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné x je taková
.. Funkce a jejich graf.. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné je taková binární relace z množin R do množin R, že pro každé R eistuje nejvýše jedno R, pro které [, ] f.
VíceRostislav Horčík. 13. října 2006
3. přednáška Rostislav Horčík 13. října 2006 1 Lineární prostory Definice 1 Lineárním prostorem nazýváme každou neprázdnou množinu L, na které je definováno sčítání + : L L L a násobení reálným číslem
Více10.1.13 Asymptoty grafu funkce
.. Asmptot grafu funkce Předpoklad:, Asmptot grafu už známe kreslili jsme si je jako přímk, ke kterým se graf funkce přibližuje. Nakreslení asmptot, pak umožňuje přesnější kreslení grafu. Například u hperbol
VíceMatematika pro 9. ročník základní školy
Matematika pro 9. ročník základní školy Řešení Ćíselné výrazy 1. Prvočíslo je přirozené číslo, které je beze zbytku dělitelné právě dvěma různými přirozenými čísly, a to číslem jedna a sebou samým (tedy
VíceHra a hry. Václav Vopravil. Teorie kombinatorických her se zabývá abstraktními hrami dvou hráčů. Hra je definována R },
Hra a hry Václav Vopravil Úvod 1 Kombinatorické hry Teorie kombinatorických her se zabývá abstraktními hrami dvou hráčů. Hra je definována pomocí jednodušších her, tj. jako uspořádaná dvojice množin her.
VíceVýrazy lze též zavést v nečíselných oborech, pak konstanty označuji jeden určitý prvek a obor proměnné není množina čísel.
Výrazy. Rovnice a nerovnice. Výraz je matematický pojem používaný ve školské matematice. Prvním druhem matematických ů jsou konstanty. Konstanty označují právě jedno číslo z množiny reálných čísel. Například
VíceDefinice 6.2.1. z = f(x,y) vázané podmínkou g(x,y) = 0 jsou z geometrického hlediska lokálními extrémy prostorové křivky k, Obr. 6.2.1. Obr. 6.2.
Výklad Dalším typem extrémů, kterým se budeme zabývat jsou tzv. vázané extrémy. Hledáme extrémy nějaké funkce vzhledem k předem zadaným podmínkám. Definice 6.2.1. Řekneme, že funkce f : R n D f R má v
VíceNumerická integrace. 6. listopadu 2012
Numerická integrace Michal Čihák 6. listopadu 2012 Výpočty integrálů v praxi V přednáškách z matematické analýzy jste se seznámili s mnoha metodami výpočtu integrálů. V praxi se ale poměrně často můžeme
Více15 s. Analytická geometrie lineárních útvarů
5 s Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý
VíceAnalytická geometrie (3. - 4. lekce)
Analytická geometrie (3. - 4. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 16. června 2011 Příklad 1 Příklad 1. Algebraicky
VíceIII/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor013 Vypracoval(a),
Více2.3.19 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic
.3.19 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic Předpoklad: 307, 311 Př. 1: Vřeš soustavu rovnic + =. Pokud se také o grafické řešení. = 5 Tak jednoduchou soustavu už jsme dlouho neměli: + =
VíceUŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin
VíceLineární algebra. Vektorové prostory
Lineární algebra Vektorové prostory Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu:
VíceGoniometrie trigonometrie
Goniometrie trigonometrie Goniometrie se zabývá funkcemi sinus, kosinus, tangens, kotangens (goniometrické funkce). V tomto článku se budeme zabývat trigonometrií (součást goniometrie) používáním goniometrických
Více(k 1)x k + 1. pro k 1 a x = 0 pro k = 1.
. Funkce dvou a více proměnných. Úvod. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R vzhledem k a rozhodněte zda je množina uzavřená či otevřená. Určete a načrtněte vrstevnice grafu funkce
Více2.6.4 Lineární lomené funkce s absolutní hodnotou
.6. Lineární lomené funkce s absolutní hodnotou Předpoklady: 60, 603 Pedagogická poznámka: Hlavním cílem hodiny je nácvik volby odpovídajícího postupu. Proto je dobré nechat studentům chvíli, aby si metody
Více1) Vypočítej A) 32 B) 44 C) 48 D) 56. 2) Urči číslo, které se skrývá za A ve výpočtu: 8 5 A) 12 B) 13 C) 14 D) 15
Varianta A 4 4 4 4 4 4 4 4 1) Vypočítej A) 32 B) 44 C) 48 D) 56 2) Urči číslo, které se skrývá za A ve výpočtu: 8 5 20 120 A. A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 3) Najdi největší a nejmenší trojciferné číslo skládající
VíceAritmetika s didaktikou II.
Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou II. KM / 0026 Přednáška 0 Desetinnáčísla O čem budeme hovořit: Budeme definovat desetinnáčísla jako speciální racionálníčísla. Naučíme se poznávat různé
VíceÚlohy domácího kola kategorie C
50. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie 1. Najděte všechna trojmístná čísla n taková, že poslední trojčíslí čísla n 2 je shodné s číslem n. Student může při řešení úlohy postupovat
VíceDefinice a vlastnosti funkcí
Definice a vlastnosti funkcí Učební text pro druhý ročník (sextu) gymnázia V tomto textu jsou definovány základní, obecné pojmy týkající se funkcí. Součástí textu nejsou (velmi důležité!) obrázky; ty si
VíceVěty o pravoúhlém trojúhelníku. Vztahy pro výpočet obvodu a obsahu. Eukleidova věta o výšce. Druhá mocnina výšky k přeponě je rovna součinu
Věty o pravoúhlém trojúhelníku Eukleidova věta o výšce. Druhá mocnina výšky k přeponě je rovna součinu b v a obou úseků přepony: v 2 = c a c b c b c a Eukleidova věta o odvěsně A c B Druhá mocnina délky
VíceIRACIONÁLNÍ ROVNICE. x /() 2 (umocnění obou stran rovnice na druhou) 2x 4 9 /(-4) (ekvivalentní úpravy) Motivace: Teorie: Řešené úlohy:
IRACIONÁNÍ ROVNICE Motivace: V řadě matematických úloh je nutno ovládat práci s odmocninami a rovnicemi, které obsahují neznámou pod odmocninou, mj. při vyjádření neznámé z technických vzorců. Znalosti
VíceKapitola I - Množiny bodů daných vlastností I.a Co je množinou všech bodů v rovině, které mají od daných dvou různých bodů stejnou vzdálenost? I.
Kapitola I - Množiny bodů daných vlastností I.a Co je množinou všech bodů v rovině, které mají od daných dvou různých bodů stejnou vzdálenost? I.b Co je množinou středů všech kružnic v rovině, které prochází
Více( ) ( ) 7.2.2 Sčítání vektorů. Předpoklady: 7201
7.. Sčítání ektorů Předpoklady: 70 Pedagogická poznámka: Stdenti ětšino necítí potřeb postpoat při definici sčítání ektorů (obecně při zaádění jakékoli operace) tak striktně, jak yžadje matematika. Upozorňji
VíceGymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY
Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY INDIVIDUÁLNÍ VÝUKA Matematika METODIKA Soustavy rovnic Mgr. Marie Souchová květen 2011 Tato část učiva následuje po kapitole Rovnice. Je rozdělena do částí
VíceIV.7. Potenciální vektorové pole
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (16 IV.7. Poteniální vektorové pole Vektorové pole f (U,V,W se nazývá poteniální pole v oblasti G E 3, jestliže eistuje skalární funke
Vícec sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.
9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte
VíceVY_62_INOVACE_VK53. Datum (období), ve kterém byl VM vytvořen Květen 2012 Ročník, pro který je VM určen
VY_62_INOVACE_VK53 Jméno autora výukového materiálu Věra Keselicová Datum (období), ve kterém byl VM vytvořen Květen 2012 Ročník, pro který je VM určen Vzdělávací oblast, obor, okruh, téma Anotace 9. ročník
VíceJan Březina. Technical University of Liberec. 17. března 2015
TGH03 - stromy, ukládání grafů Jan Březina Technical University of Liberec 17. března 2015 Kružnice - C n V = {1, 2,..., n} E = {{1, 2}, {2, 3},..., {i, i + 1},..., {n 1, n}, {n, 1}} Cesta - P n V = {1,
Vícepříspěvková organizace IČO: 70878030 Telefon: 272 654 151, 3 (linka 112) zahradkova@dszm.cz
Domov pro seniory Zahradní Město, Sídlo: Sněženková 2973/8, 106 00 Praha 10 Zahradní Město Základní informace pro žadatele Název zařízení: Domov pro seniory Zahradní Město Adresa, místo poskytování služby:
VíceŠkola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM
Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM Číslo projektu: Název projektu školy: Šablona III/2: CZ.1.07/1.5.00/34.0536 Výuka s ICT na SŠ obchodní České
Vícea m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.
1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její
VíceŘešení: Dejme tomu, že pan Alois to vezme popořadě od jara do zimy. Pro výběr fotky z jara má Alois dvanáct možností. Tady není co počítat.
KOMBINATORIKA ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 1 Pan Alois dostal od vedení NP Šumava za úkol vytvořit propagační poster se čtyřmi fotografiemi Šumavského národního parku, každou z jiného ročního období (viz obrázek).
Více3. Slimák lezl na strom 10m vysoký. Přes den vylezl 4m ale v noci vždycky sklouzl o 3m. Za kolik dní dosáhl vrcholu stromu?
Logické úlohy 1. Katka přišla k Janě, která krmila na dvoře drůbež. Katka se ptala: Víš, kolik máte kuřat, kolik housat a kolik kachňat? Jana odpověděla: Vím, a ty si to vypočítej: dohromady máme 90hlav.
Více3. Polynomy Verze 338.
3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci
VíceKVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE (početní a grafická řešení)
KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE (početní a grafická řešení) KVADRATICKÉ ROVNICE (početně) Teorie: Kvadratická rovnice o jedné neznámé se nazývá každá taková rovnice, kterou lze ekvivalentními úpravami
VíceDOPRAVNÍ ZNAČENÍ do 30/2001: změna / doplnění nový název
"Stezka pro chodce" (č. C 7a), která přikazuje chodcům užít v daném směru takto označeného pruhu nebo stezky; jiným účastníkům provozu na pozemních komunikacích, než pro které je tento pruh nebo stezka
VícePříprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB
Variace 1 Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné
VíceMatematika 9. ročník
Matematika 9. ročník Náhradník NáhradníkJ evátá třída (Testovací klíč: PFFNINW) Počet správně zodpovězených otázek Počet nesprávně zodpovězených otázek 0 26 Počítání s čísly / Geometrie / Slovní úlohy
Více2. STANOVENÍ TEPELNÉ VODIVOSTI.
METODA M-100-2003 experimentu a výpočtu součinitele tepelné vodivosti pro ultratenké izolační vrstvy, pokyny pro stanovení teploty na povrchu izolační vrstvy. Úvod Tyto metodické pokyny poskytují návod
VíceSpecifikace předmětu plnění veřejné zakázky: Poskytování mobilních hlasových a datových služeb pro potřeby Města Uherské Hradiště
Specifikace předmětu plnění veřejné zakázky: Poskytování mobilních hlasových a datových služeb pro potřeby Města Uherské Hradiště 1. Předmět veřejné zakázky Předmětem plnění veřejné zakázky je poskytování
Více2.4.11 Nerovnice s absolutní hodnotou
.. Nerovnice s absolutní hodnotou Předpoklady: 06, 09, 0 Pedagogická poznámka: Hlavním záměrem hodiny je, aby si studenti uvědomili, že se neučí nic nového. Pouze používají věci, které dávno znají, na
VíceTelefónica O2 Czech Republic, a.s. člen dozorčí rady. Smlouva o výkonu funkce člena dozorčí rady
DNE Telefónica O2 Czech Republic, a.s. a člen dozorčí rady Smlouva o výkonu funkce člena dozorčí rady OBSAH: 1. Povinnosti Člena dozorčí rady...3 2. Povinnosti Společnosti...4 3. Závěrečná ustanovení...5
VíceB Kvantitativní test. Semestrální práce TUR. Novotný Michal novotm60@fel.cvut.cz
B Kvantitativní test Semestrální práce TUR Novotný Michal novotm60@fel.cvut.cz OBSAH 1. Úvod... 2 1.1. Předmět testování... 2 1.2. Cílová skupina... 2 2. Testování... 2 2.1. Nulová hypotéza... 2 2.2. Metoda
VíceZásady o poskytování finančních příspěvků z rozpočtu města Slaného pro sportovní a zájmové organizace (dále jen Zásady )
Město Slaný na základě ustanovení 85 a 102 zákona č. 128/2000 Sb., o obcích (obecní zřízení), ve znění pozdějších předpisů, vydává Zásady o poskytování finančních příspěvků z rozpočtu města Slaného pro
Více6 Extrémy funkcí dvou proměnných
Obsah 6 Extrémy funkcí dvou proměnných 2 6.1 Lokálníextrémy..... 2 6.2 Vázanélokálníextrémy.... 4 6.2.1 Metodyhledánívázanýchlokálníchextrémů..... 5 6.2.2 Přímédosazení..... 5 6.2.3 Lagrangeovametoda.....
VíceModerní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,
Více1)Zapište jako výraz:dekadický logaritmus druhé mocniny součtu 2. odmocnin čísel p,q.
7. průzkum bojem 1)Zapište jako výraz:dekadický logaritmus druhé mocniny součtu 2. odmocnin čísel p,q. 2)Jsou dány vektory u = (5;-3), v = (-6;4), f = (53;-33). Určete čísla k,l R taková, že k.u + l.v
VícePosouzení únosnosti svaru se provádí podle zásad pružnosti a pevnosti v nebezpečném průřezu.
Svarové spoje Posouzení únosnosti svaru se provádí podle zásad pružnosti a pevnosti v nebezpečném průřezu. Vybrané druhy svarů a jejich posouzení dle EN ČSN 1993-1-8. Koutový svar -T-spoj - přeplátovaný
VíceM - Rovnice - lineární a s absolutní hodnotou
Rovnice a jejich ekvivalentní úpravy Co je rovnice Rovnice je matematický zápis rovnosti dvou výrazů. př.: x + 5 = 7x - M - Rovnice - lineární a s absolutní hodnotou Písmeno zapsané v rovnici nazýváme
Více( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2.7.16 Rovnice s neznámou pod odmocninou II. Předpoklady: 2715
.7.6 Rovnice s neznámou pod odmocninou II Předpoklady: 75 Př. : Vyřeš rovnici y + + y = 4 y + + y = 4 / ( y + + y ) = ( 4) y + + 4 y + y + 4 y = 6 5y + 4 y + y = 8 5y + 4 y + y = 8 - v tomto stavu nemůžeme
VíceÚSTAVNÍ PRÁVO. Ústavní pořádek ČR a jeho základní ustanovení. JUDr. Petr Čechák, Ph.D. Petr.Cechak@mail.vsfs.cz
ÚSTAVNÍ PRÁVO JUDr. Petr Čechák, Ph.D. Petr.Cechak@mail.vsfs.cz Ústavní pořádek České republiky Polylegální ústava neuzavřený výčet ústavních zákonů (a mezinárodních smluv o lidských právech) Čl. 112 odst.
VíceEvidence čerpacích stanic pohonných hmot. Zpráva o aktualizaci a stavu Evidence čerpacích stanic pohonných hmot v ČR k 30. 6. 2011
Evidence čerpacích stanic pohonných hmot Zpráva o aktualizaci a stavu Evidence čerpacích stanic pohonných hmot v ČR k 30. 6. 2011 Srpen 2011 Odbor surovinové a energetické bezpečnosti Oddělení surovinové
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Projekt: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.057 Příjemce: Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova
Více1.4.1 Výroky. Předpoklady: Výrok je sdělení, u něhož má smysl otázka, zda je či není pravdivé
1.4.1 Výroky Předpoklady: Výrok je sdělení, u něhož má smysl otázka, zda je či není pradié Číslo π je iracionální. pradiý ýrok Ach jo, zase matika. není ýrok V rozrhu máme deset hodin matematiky týdně.
VíceStřední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1. Podpora digitalizace a využití ICT na SPŠ CZ.1.07/1.5.00/34.
Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Název: Téma: Autor: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Uživatelská nastavení parametrických modelářů, využití
VíceVYHLÁŠKA. číslo 1/2004 O POUŽITÍ SYMBOLŮ MĚSTA, ČESTNÉM OBČANSTVÍ A CENÁCH MĚSTA. Část I. Článek I. Článek II. Města Mělníka, okres Mělník
VYHLÁŠKA Města Mělníka, okres Mělník číslo 1/2004 O POUŽITÍ SYMBOLŮ MĚSTA, ČESTNÉM OBČANSTVÍ A CENÁCH MĚSTA Zastupitelstvo města Mělník v souladu s 84 odst. (2) písm.s) a i) a podle 34a a 36 zák. č.128/2000
VíceKvadratické rovnice pro učební obory
Variace 1 Kvadratické rovnice pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jkaékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratické
VíceFunkce Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková
Funkce Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických předmětů OP
Více(a) = (a) = 0. x (a) > 0 a 2 ( pak funkce má v bodě a ostré lokální maximum, resp. ostré lokální minimum. Pokud je. x 2 (a) 2 y (a) f.
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 5. Lokální extrémy. Budeme uvažovat funkci f = f(x 1, x 2,..., x n ), která je definovaná v otevřené množině G R n. Řekneme, že funkce f = f(x 1, x 2,..., x n
Více4. R O V N I C E A N E R O V N I C E
4. R O V N I C E A N E R O V N I C E 4.1 F U N K C E A J E J Í G R A F Funkce (definice, značení) Způsoby zadání funkce (tabulka, funkční předpis, slovní popis, graf) Definiční obor funkce (definice, značení)
Více( ) 4.2.13 Slovní úlohy o společné práci I. Předpoklady: 040212. Sepiš postup na řešení příkladů o společné práci.
.. Slovní úlohy o společné práci I Předpoklady: 00 Př. : Sepiš postup na řešení příkladů o společné práci. Ze zadání si určíme jakou část práce vykonali účastníci za jednotku času. Vyjádříme si jakou část
VíceVÝSLEDKY DOTAZNÍKOVÉHO ŠETŘENÍ (zjednodušený průzkum veřejného mínění) v rámci zpracování Programu rozvoje města Chrastavy
VÝSLEDKY DOTAZNÍKOVÉHO ŠETŘENÍ (zjednodušený průzkum veřejného mínění) v rámci zpracování Programu rozvoje města Chrastavy Dotazník byl připraven v rámci zpracování Programu rozvoje města a většina jeho
VíceZNALECKÝ POSUDEK. č. 110-3447/12
ZNALECKÝ POSUDEK č. 110-3447/12 o obvyklé ceně pozemků parc.č. 942, 1072/6, 1072/23, 1112 (PK) a 1115 (PK) v k.ú. Lhota u Vsetína, obec Lhota u Vsetína, okr. Vsetín. Objednatel posudku: Exekutorský úřad
VíceČlenění stavby. lovací. Rozdělovac. Dilatační spára. Posuvné spáry Pohybové spáry Stavební spáry. menší. ch, šíčásti budovy.
Členění stavby Dilatační spáry Posuvné spáry Pohybové spáry Stavební spáry Rozdělovac lovací spáry - rozděluj lují stavební objekt a tím t i stavební konstrukce ve svislém směru na menší tuhé celky s možnost
VíceM-10. AU = astronomická jednotka = vzdálenost Země-Slunce = přibližně 150 mil. km. V následující tabulce je závislost doby
M-10 Jméno a příjmení holka nebo kluk * Třída Datum Škola AU = astronomická jednotka = vzdálenost Země-Slunce = přibližně 150 mil. km V následující tabulce je závislost doby a/au T/rok oběhu planety (okolo
VíceZápis z jednání komise pro regeneraci panelového sídliště Šipší ze dne 25.6.2003. Přítomni: Ing.Jirásek, p.nováček, pí Hnátková, p.hlavatý, p.
Zápis z jednání komise pro regeneraci panelového sídliště Šipší ze dne 25.6.2003 Přítomni: Ing.Jirásek, p.nováček, pí Hnátková, p.hlavatý, p.polák Hosté: Ing.Suchánek, Ing.arch.Kremla Omluveni: p.hobl,
VíceSBĚRNÝ DVŮR. Tento pracovní list volně navazuje na projekt EKOPOLIS a metodickou příručku Ekopolis pro II. stupeň ZŠ a gymnázií.
SBĚRNÝ DVŮR Tento pracovní list volně navazuje na projekt EKOPOLIS a metodickou příručku Ekopolis pro II. stupeň ZŠ a gymnázií. Pracovní list je v souladu s Rámcovým vzdělávacím programem pro základní
VíceISŠT Mělník. Integrovaná střední škola technická Mělník, K učilišti 2566, 276 01 Mělník Ing.František Moravec
ISŠT Mělník Číslo projektu Označení materiálu Název školy Autor Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0061 VY_32_ INOVACE_C.2.07 Integrovaná střední škola technická Mělník, K učilišti 2566, 276 01 Mělník
VíceUniverzita Tomáše Bati ve Zlíně
Univerzita Tomáše Bati ve líně LABORATORNÍ CVIČENÍ ELEKTROTECHNIKY A PRŮMYSLOVÉ ELEKTRONIKY Název úlohy: pracovali: Měření činného výkonu střídavého proudu v jednofázové síti wattmetrem Petr Luzar, Josef
Vícejednotky hmotnosti pracovní list Základní škola Zaječí, okres Břeclav Školní 402, 691 05, příspěvková organizace
Jednotky hmotnosti pracovní list Název školy: Číslo projektu: Autor: Základní škola Zaječí, okres Břeclav Školní 402, 691 05, příspěvková organizace CZ.1.07/1.4.00/21.1131 Mgr. Lenka Němetzová Datum vytvoření:
VíceMatematická analýza KMA/MA2I 3. p edná²ka Primitivní funkce
Matematická analýza KMA/MAI 3. p edná²ka Primitivní funkce Denice a základní vlastnosti P íklad Uvaºujme následující úlohu: Najd te funkci F : R R takovou, ºe F () R. Kdo zná vzorce pro výpo et derivací
VíceŘeší parametry kaskády (obvodu složeného ze sériově řazených bloků)
Kaskádní syntéza Kaskádní syntéza Řeší parametry kaskády (obvodu složeného ze sériově řazených bloků) Šumové číslo (N) Dynamický rozsah (I) Bod zahrazeni produkty třetího řádu Dynamický rozsah bez produktů
VíceZA4890. Flash Eurobarometer 261 (Flash eurobarometer on water) Country Specific Questionnaire Czech Republic
ZA4890 Flash Eurobarometer 261 (Flash eurobarometer on water) Country Specific Questionnaire Czech Republic FLASH 261 WATER Q1. Nakolik se cítíte informováni o problémech, kterým čelí jezera a řeky ve
VíceZNALECKÝ POSUDEK. č. 109-3446/12. o obvyklé ceně pozemku parc.č. 2022/63 v k.ú. Velká Bystřice, obec Velká Bystřice, okr. Olomouc.
ZNALECKÝ POSUDEK č. 109-3446/12 o obvyklé ceně pozemku parc.č. 2022/63 v k.ú. Velká Bystřice, obec Velká Bystřice, okr. Olomouc. Objednatel posudku: Exekutorský úřad Ostrava Mgr. Pavla Fučíková - soudní
VíceŘešení: 20. ročník, 2. série
Řešení: 20. ročník, 2. série.úloha Předpokládejme, že hledaná cesta existuje. Pak je možné vyrazit z bodu A do bodu D po žluté cestě (obvodu obdélníka). Abychom splnili všechny podmínky zadání, musíme
VíceCeník služby Balík Do ruky
Ceník služby Balík Do ruky Balík Do ruky Přijde za Vámi, kam budete chtít. Předem se o tom dozvíte díky SMS nebo e-mailu. Snadnější už to snad ani být nemůže. 1. Základní ceny Hmotnost do Cena bez DPH
VíceKALOVÉ KOŠE KOŠE DO ULIČNÍCH VPUSTÍ KOŠE DO DVORNÍCH VPUSTÍ LAPAČE NEČISTOT
KALOVÉ KOŠE KOŠE DO ULIČNÍCH VPUSTÍ KOŠE DO DVORNÍCH VPUSTÍ LAPAČE NEČISTOT KALOVÉ KOŠE KOŠE DO ULIČNÍCH VPUSTÍ Koš do UV A4 vysoký pozinkovaný Ø 385 Koš podle DIN 4052-A4 pro uliční vpusti, vysoký hmotnost:
VíceNávod ke stažení a instalaci bodů zájmu do navigace TomTom řady Via a Go100x
Návod ke stažení a instalaci bodů zájmu do navigace TomTom řady Via a Go100x Holandský výrobce navigací TomTom uvolnil do prodeje na podzim roku 2010 nové řady navigací Via a Go100x. Změnil však u těchto
VíceVÝUKOVÝ MATERIÁL ZPRACOVANÝ V RÁMCI PROJEKTU. Pořadové číslo projektu: CZ.1.07/1:5.00/34.0415 Inovujeme, inovujeme. Šablona: 11
VÝUKOVÝ MATERIÁL ZPRACOVANÝ V RÁMCI PROJEKTU Pořadové číslo projektu: CZ.1.07/1:5.00/34.0415 Inovujeme, inovujeme Šablona: 11 Sada: 3 DUM 01 Ověření ve výuce: Technologie Třída: K 1, KČ 1, K 2. KČ 2, K
VíceTento materiál byl vytvořen v rámci projektu Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost.
Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost. Projekt MŠMT ČR Číslo projektu Název projektu školy Klíčová aktivita III/2 EU PENÍZE ŠKOLÁM CZ.1.07/1.4.00/21.2146
VíceVnitřní pravidla stanovená poskytovatelem pro poskytování služby denní stacionáře
Sociální služby města Nový Bor, příspěvková organizace B.Egermanna 950, 473 01 Nový Bor Vnitřní pravidla stanovená poskytovatelem pro poskytování služby denní stacionáře Služba: Denní stacionáře Aktualizace:
VíceNEKOOPERATIVNÍ HRY CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? JAK SI PORADIT S NEANTAGONISTICKÝM KONFLIKTEM?
NEKOOPERATIVNÍ HRY FORMULACE PROBLÉMU, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÍ ROZŠÍŘENÍ, MODELOVÉ KONFLIKTY CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních
VíceMechanismy. Vazby členů v mechanismech (v rovině):
Mechanismy Mechanismus klikový, čtyřkloubový, kulisový, západkový a vačkový jsou nejčastějšími mechanismy ve strojích (kromě převodů). Mechanismy obsahují členy (kliky, ojnice, těhlice, křižáky a další).
VíceŘÍZENÍ ABSORBERU KMITŮ POMOCÍ MATLABU
ŘÍZENÍ ABSORBERU KMITŮ POMOCÍ MATLABU Jiří Vondřich ; Evžen Thőndel Katedra mechaniky a materiálů, Fakulta elektrotechnická ČVUT Praha Abstrakt Periodické síly působící na strojní zařízení - například
VíceŘešení lineárních a kvadratických funkcí v prostředí programu GeoGebra
Řešení lineárních a kvadratických funkcí v prostředí programu GeoGebra Lineární a kvadratické rovnice jsou součástí velké množiny rovnic. Jejich uplatnění je často velmi praktické, a proto je pojmu rovnice
VíceDruhá mocnina. Druhá odmocnina. 2.8.5 Druhá odmocnina. Předpoklady: 020804. V této hodině jsou kalkulačky zakázány.
.8.5 Druhá odmocnina Předpoklady: 0080 V této hodině jsou kalkulačky zakázány. Druhá mocnina nám umožňuje určit z délky strany plochu čtverce. Druhá mocnina 1 1 9 11 81 11 délky stran čtverců obsahy čtverců
VícePokud se vám tyto otázky zdají jednoduché a nemáte problém je správně zodpovědět, budete mít velkou šanci v této hře zvítězit.
Pro 2 až 6 hráčů od 10 let Určitě víte, kde leží Sněžka, Snad také víte, kde pramení Vltava, kde leží Pravčická brána, Černé jezero nebo Prachovské skály. Ale co třeba Nesyt, jeskyně Šipka, Pokličky nebo
Více7. Odraz a lom. 7.1 Rovinná rozhraní dielektrik - základní pojmy
Trivium z optiky 45 7 draz a lom V této kapitole se budeme zabývat průchodem (lomem) a odrazem světla od rozhraní dvou homogenních izotropních prostředí Pro jednoduchost se omezíme na rozhraní rovinná
Vícetitul před titul za rodné číslo datum narození (nebylo-li přiděleno rodné číslo)
Návrh na vklad do katastru nemovitostí podle 4 zákona č. 265/1992 Sb. Spisová značka Určeno: Katastrálnímu úřadu pro Katastrální pracoviště vyplní katastrální úřad I. Údaje o účastnících řízení fyzických
VícePostup při úmrtí. Ústav soudního lékařství a toxikologie 1.LF UK a VFN v Praze doc. MUDr. Alexander Pilin, CSc
Postup při úmrtí Ústav soudního lékařství a toxikologie 1.LF UK a VFN v Praze doc. MUDr. Alexander Pilin, CSc 1 Postup při úmrtí Úmrtí osoby nebo nález těla mimo zdravotnické zařízení poskytovatele se
Vícedodavatel služby: TyfloCentrum Brno, o.p.s. subdodavatelé:
(smlouva č. 011643/11/OSV) dodavatel služby: TyfloCentrum Brno, o.p.s. subdodavatelé: Tyfloservis, o.p.s. Vodicí pes, o.s. prezentaci připravila: RNDr. Hana Bubeníčková za TyfloCentrum Brno, o.p.s., podíleli
VíceMATERIÁL NA JEDNÁNÍ Zastupitelstva města Doksy
MATERIÁL NA JEDNÁNÍ Zastupitelstva města Doksy Jednání zastupitelstva města dne: 08. 04. 2015 Věc: Odměny uvolněným a neuvolněným členům zastupitelstva a další odměny Předkládá: Ing. Eva Burešová, starostka
VíceŽádost o přijetí. do Domova důchodců Rokytnice nad Jizerou DOMOV SE ZVLÁŠTNÍM REŽIMEM. Datum výplaty: Zažádáno :
Žádost o přijetí do Domova důchodců Rokytnice nad Jizerou DOMOV SE ZVLÁŠTNÍM REŽIMEM Příloha č. 7 Kontaktní údaje: Domov důchodců Rokytnice nad Jizerou, příspěvková organizace Dolní Rokytnice 291 512 44
VíceJEDNACÍ ŘÁD SOCIÁLNÍ KOMISE PRO POSUZOVÁNÍ A HODNOCENÍ ŽÁDOSTÍ O PŘIJETÍ DO DOMOVA PRO SENIORY DOBŘICHOVICE
Domov pro seniory Dobřichovice se sídlem Brunšov 365, Všenory 252 31 JEDNACÍ ŘÁD SOCIÁLNÍ KOMISE PRO POSUZOVÁNÍ A HODNOCENÍ ŽÁDOSTÍ O PŘIJETÍ DO DOMOVA PRO SENIORY DOBŘICHOVICE Číslo předpisu Vypracoval:
Více2.7.15 Rovnice s neznámou pod odmocninou I
.7.15 Rovnice s neznámou pod odmocninou I Předpoklady: 711, 71 Pedagogická poznámka: Látka této hodiny vyžaduje tak jeden a půl vyučovací hodiny, pokud nepospícháte můžete obětovat hodiny dvě a nechat
VíceZadávání tiskových zakázek prostřednictvím JDF a Adobe Acrobat Professional
Zadávání tiskových zakázek prostřednictvím JDF a Adobe Acrobat Professional Nejčastěji se o JDF hovoří při řízení procesů v tiskových provozech. JDF se však má stát komunikačním prostředkem mezi všemi
VíceDodatečné informace č. 3 k zadávacím podmínkám
Dodatečné informace č. 3 k zadávacím podmínkám Zakázka: Zadavatel: Evropské domy v krajích stavební úpravy objektu Nový Hluchák budova bez č.p. v areálu Pospíšilova 365, Hradec Králové Královéhradecký
Víceočekávaný výstup Člověk a příroda 2. stupeň P znát základní funkce hlavních orgánů a orgánových soustav rostlin i živočichů ročník 6. č.
č. 9 název anotace očekávaný výstup druh učebního materiálu Pracovní list druh interaktivity Aktivita ročník 6. Pohlavní a nepohlavní rozmnožování V pracovních listech se žáci seznámí se základními funkcemi
Více