Isingův model. H s J s s h s

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Isingův model. H s J s s h s"

Aleš Macháček
před 7 lety
Počet zobrazení:

1 Ising Isingův model H s J s s h s i, j Motivován studiem fázových přechodů a kritických jevů Užíva se popis pomocí magnetických veličin i j i i

2 Vlastnosti pomocí partiční sumy počítej: měrné teplo, susceptibilitu etc.

3 Historie Isingův model 1920 formulace W. Lenz 1925 vyřesen Isingem v 1D 1944 exaktní řešení v 2D bez vnějšího pole Onsager 1989 exaktní řešení v 2D s vnějším polem 3D Není exaktní řešení jen aproximativní analytické řešení nebo numerické simulace.

4 Chceme určit vlastnosti případně srovnat jinými modely resp. s experimentem. Počítáme: - měrné teplo, - susceptibilitu, - spin-spinovou korelační funkci, - kritickou teplotu - kritické exponenty

5 Vlastnosti Isingova modelu V d=2,3 existuje kritický bod T c. Exaktní výsledek pro dvou-dimenzionální model (Onsager) T c =2J/k B log(1+ 2) 2,269 J/k B Pro T < T c má Isingův model se změnou H fázový přechod prvního druhu v bodě H = 0. Magnetizace, měrné teplo C v a susceptibilita c, mají mocninnou singularitu při T -> T c

6 T<T C Konfigurace Isingova modelu pro různé teploty, hodnota spinu (+-1) je zobrazena černým resp. bílým bodem. T C T>T C Všimněte si velikosti domén stejně orientovaných spinů. Pro vývoj v okolí v T c je třeba měnit velké domény. Růst velikosti domén v okolí T c též naznačuje divergenci pro nekonečný systém v T c.

7 Celkový algoritmus pro Isingův model volba parametrů fyzikální parametry: J, h, T parametry simulace: L, N totmc, N měř, N run FOR m=1 TO N run DO FOR k=1 TO N totmc DO cyklus přes nezávislé běhy MC výpočet 1 MC cyklus = 1 MC krok s každým spinem IF k mod N měř = 0 THEN J-té měření, J=k/N měř END DO středování přes běhy

8 J-té měření počítané veličiny: (index J=k/N měř ) energie: E(J) = H({s} k ) magnetizace: M J 1 N spin N spin i 1 S k i po n měřeních se použije pro výpočet střední hodnoty <X> pomocí: Xn X = E, M 1 n n J = 1 X J

9 Metropolisova MC simulace spinového modelu 1 MC cyklus = 1 MC krok s každým spinem v k-tém kroku máme konfiguraci s (k) 1. vyber uzel I (náhodně nebo sekvenčně) 2. obrať spin s I zkus > s zkus 3. spočti ΔE = H(s zkus ) - H(s (k) ) 4. generuj náhodné číslo u (0,1) 5. srovnej u (0,1) a p = exp{- βδe} u (0,1) p pak s (k+1) = s zkus u (0,1) > p pak s (k+1) = s (k) Pokud ΔE<0 pak změna je vždy přijata. Nemusí se generovat náhodné číslo.

10 Metropolisova MC simulace 2D spinového modelu periodické hraniční podnímky 1 MC cyklus = 1 MC krok s každým spinem Nezbeda a kol. Karolinum, Praha 2003

11 1 MC cyklus = 1 MC krok s každým spinem

12 Experimentální výsledky pro kritické jevy: mocninná divergence měrné teplo susceptibilita v log-log měřítku

13 Simulace vymizení magnetizace v T c

14 Jak počítáme: - měrné teplo, - susceptibilitu U E Aexp H A / Z, C E T A Z Aexp H A k B A 2 log Z 2 měříme fluktuace energie C k B E E 2

15 v bezrozměrných jednotkách počítáme: - měrné teplo 1 T 2 CV E E 2 2

16 v bezrozměrných jednotkách počítáme: - susceptibilitu 2 2 c M M 1 T

17 Úloha p. Brandejs v bezrozměrných jednotkách - susceptibilitu 2 2 c M M 1 T Systém 40x40

Ekvivalentní modely k Isingovovu modelu Mřížový plyn Binární slitina http://borisv.lk.

19 Ekvivalentní modely k Isingovovu modelu Mřížový plyn Binární slitina mřížový plyn n = (1+s)/2 binární slitina

20 Ekvivalentní modely k Isingovovu modelu Mřížový plyn Binární slitina korespondující parametry: mřížový plyn binární slitina J H M q q eaa ebb 2eAB eaa ebb ca cb 4 4

22 Isingův model má kritické chování pro přechod pára-kapalina

23 Kapalina s danou hustotou = Isingův model se zachovávající se magnetizací Místo obrácení spinu podle Metropolise použij Kawasakiho algoritmus (1965) 1. náhodně vyber dvojici uzlů I,J (ze všech možných párů) 2. pokud jsou spiny s I a s J různé tak je vzájemně vyměň a získej tak > s zkus 3. spočti ΔE = H(s zkus ) - H(s (k) ) 4. generuj náhodné číslo u (0,1) 5. srovnej u (1,1) a p = exp{- βδe} u (0,1) p pak s (k+1) = s zkus u (0,1) > p pak s (k+1) = s (k)

24 Kritická teplota T c známý výsledek: Onsager 2D exaktní T c =2J/k B log(1+ 2) 2,269 J/k B Kritickou teplotu určujeme: 1) pomocí divergence, tj. maxima specifického tepla resp. susceptibility, 2) pomocí Binderových kumulantů.

25 teplotní závislot susceptibility pro různé velikost systému V simulacích maxima měnící se s velikostí systému. Podobné chování pro další magnetické systémy.

26 reálný materiál slitina Fe + Co Heisenbergův model teplotní závislot susceptibility pro různé velikost systému

27 Určení kritické teploty z polohy maxima susceptibility T L T L L c c 1 pro Fe 1 1,5

28 Binderův kumulant Herrmann ETH 2010

29 Binderův kumulant Herrmann ETH 2010

30 Wolfův algoritmus klastrový algoritmus Procházej okolí zvoleného spinu a částice přidávej s pravděpodobností: Padd 1 e 2 J

31 následující konfigurace u Wolfova algoritmu

32 1 Magnetizace Havrdová ,8 0,6 0,4 0,2 M 0-0,2 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 M M+ M- -0,4-0,6-0,8-1 T 0,25 Směrodatná odchylka magnetizace 0,2 dm 0,15 0,1 dmdm+ 0, ,05 2,1 2,15 2,2 2,25 T 2,3 2,35 2,4 2,45 2,5

Podobné dokumenty

MODERNÍ APLIKACE STATISTICKÉ FYZIKY I

MODERNÍ APLIKACE STATISTICKÉ FYZIKY I NTMF049, 2/0 Zk - ZS Miroslav Kotrla a František Slanina kotrla@fzu.cz slanina@fzu.cz externě: ÚTF UK kmenově: FZÚ AV ČR, v.v.i., Praha 8 oddělení teorie kondenzovaných