Riziko rezerv na jednoletém horizontu. Seminář aktuárských věd, 8. listopadu 2013 Ing. Lucie Hronová

Transkript

1 Riziko rezerv na ednoletém horizontu Seminář aktuárských věd, 8. listopadu 2013

2 Náplň přednášky Jednoletý vs. ultimate horizont BE budoucích závazků ako stochastický proces Přístupy k modelování ednoletého rizika Bootstrap ukázkový příklad 2

3 Jednoletý vs. ultimate horizont 3

4 Ultimate horizont Tradiční přístup Výpočet technických rezerv ako best estimate budoucích závazků a odhad variability (míry rizika) této rezervy Kvantifikace rizika toho, že vytvořená technická rezerva nepokrye budoucí výplaty poistných plnění Stanovení rezervy podle zvolené hladiny spolehlivosti 4

5 Analyzovanou náhodnou veličinou e rozdíl BE ultimate loss (t) - BE ultimate loss (0) Nečastěi používanou mírou rizika e VaR (99.5% kvantil) Standardní případ: VaR(1-year) < VaR(ultimate) BE celkové škody (ultimate loss) 0 1 ultimate t 5

6 k-letý horizont Strategické a taktické plánování srovnání dostupného kapitálu a budoucích závazků pro různé horizonty a různé hladiny spolehlivosti Udržení solventnosti na víceletém horizontu Strategie zaištění Alokace aktiv Tvorba produktů např. nastavení výše spoluúčasti Jednoletý horizont: SCR podle Solvency II 6

7 Proces vypořádání poistných událostí 7

8 Handling times ( T T T T 0 1 ) N ohlášení T 2 T... T N 2 škody; N výplaty/n ové informace; T 0 Ohlášení T 1 Částečné plnění T 2 Dodatečná informace T N=3 Dodatečné plnění 8

9 Payment process ( T X X, X ) 0 - N 1 0 výplatav čase T ; X N X 0 = 0 X 1 X 2 = 0 X 3 T 0 Ohlášení T 1 Částečné plnění T 2 Dodatečná informace T N=3 Dodatečné plnění 9

10 Payment process ( X ( t)): X(t) - rostoucí skoková funkce - X(t) 0 prot T - X( ) lim (X(t),t ) ( U ( t)): U(t) X( ) X ( t) - klesaící skoková funkce -U(t) X ( ) : T t prot T - lim (U(t),t ) 0 X 0... kumulativní výplaty 0 0 X : T t X... budoucí závazky X 1 +X 3 X 1 X 1 +X 3 T 0 T 1 T 2 T N=3 X 3 T 0 T 1 T 2 T N=3 10

11 Settlement process ( T,( X, I )) 0 I - nová informace v čase T ; I 0 = ø I 1 = ø I 2 I 3 = ø X 0 = 0 X 1 X 2 = 0 X 3 T 1 Částečné plnění T 2 Dodatečná informace T N=3 Dodatečné plnění 11

12 Prediction process ( t ) : t ( ) P( X ( ) t ) t {( T, X, I ) 0, T t}...informace t dostupnév čase t (M (V t t ) : ) :V M t t E Var t t (X( )) (X( )) T 0 Ohlášení I 0 = ø X 0 = 0 I 1 = ø T 1 Částečné plnění I 2 X 1 X 2 = 0 X 3 T 2 Dodatečná informace I 3 = ø T N=3 Dodatečné plnění T 0 Ohlášení T 1 Částečné plnění T 2 Dodatečná informace T N=3 Dodatečné plnění 12

13 Podmíněná střední hodnota (BE) celkové škody (ultimate loss) t martingalo vá vlastnost: E (Mu ) M t, t u aktuální odhad budoucího odhadu celkové škody e roven aktuálnímu odhadu celkové škody BE celkové škody (M t ) M ultimate t E t (M1 ) E t (M ultimate ) 13

14 Změna BE celkové škody BE celkové škody 0 1 ultimate t E[ M ( t, t Var[ M ( t, t VaR[ M ( t, t k)] 0 k)]? k)]? 14

15 Zdro: Dorothea Diers, Martin Eling, Christian Kraus, Marc Linde, (2013) "Multi-year non-life insurance risk", Journal of Risk Finance, The, Vol. 14 Iss: 4, pp

16 Zdro: Dorothea Diers, Martin Eling, Christian Kraus, Marc Linde, (2013) "Multi-year non-life insurance risk", Journal of Risk Finance, The, Vol. 14 Iss: 4, pp

17 Změna BE celkové škody t u : M ( t, u) M M ( t, u) [ X ( t, u) E u M, X ( t, u) X ( u) X ( t) t t ( X ( t, u))] [ E u ( U u ) E t ( U u )] chyba v předpovědi poistných plnění v intervalu (t,u] úprava odhadu budoucích závazků (t. v intervalu (u,)) na základě informací získaných v intervalu (t,u] Změna BE celkové škody Úprava odhadu budoucích závazků Odhad výplat v intervalu (u,) Odhad výplat v intervalu (u,) Chyba v předpovědi poistných plnění Odhad výplat v intervalu (t,u] Výplaty v intervalu (-,t] Výplaty v intervalu (t,u] (simulace) Výplaty v intervalu (-,t] 17 t u

18 Metody odhadu ednoletého rizika 18

19 Claims development result V literatuře se změna BE celkové škody obvykle označue ako claims development result (CDR) CDR( t, t 1) BE( t) [ BE( t 1) Claims ( t, t 1)] Změna BE celkové škody Úprava odhadu budoucích závazků Odhad výplat v intervalu (u,) Odhad výplat v intervalu (u,) Odhad výplat v intervalu (t,u] Výplaty v intervalu (-,t] Chyba v předpovědi poistných plnění Výplaty v intervalu (t,u] Výplaty v intervalu (-,t] 19 t u

20 Analytická formule Wuthrich, Merz, Lysenko Založeno na Mackově modelu (Chain ladder) => nutnost splnění předpokladů modelu Rozklad rizika: + Process error Estimation error 20

21 21

22 22

23 Stochastické modelování Obecný princip: 1. Odhad budoucích poistných plnění v čase t 2. Simulace poistných plnění v intervalu (t,t+1] 3. Odhad budoucích poistných plnění v čase t+1, se zohledněním nových (náhodně vygenerovaných) informací z intervalu (t,t+1] Zřemě nečastěi uváděnou metodou e aplikace bootstrapu na vývoové troúhelníky 23

24 Bootstrap ve vývoových troúhelnících Ultimate horizont Jednoletý horizont Výplaty BE(0) Výplaty BE(0) Výplaty simulace Výplaty BE(1) 24

25 Bootstrap ve vývoových troúhelnících Příprava: 1. Best estimate v čase 0 2. Fitování modelu - rekurzivní přepočet hodnot v horním troúhelníku na základě odhadnutých vývoových faktorů 3. Výpočet reziduí Simulace: 4. Vygenerování nového horního troúhelníku ( pseudo ) 5. Výpočet modelových hodnot nové diagonály pro pseudo data ( mean prediction ) 6. Úprava hodnot nové diagonály o process error 7. Best estimte v čase 1 25

26 Ukázkový příklad bootstrap krok za krokem Data: smyšlená Metoda pro BE (a pro fitování troúhelníků): Chain ladder Definice residuí: Adusted Pearsons Residuals 26

27 Vstupní data Original cumulative triangle Occurence period Development period PeriodStart PeriodEnd ,230 2,750 2,820 3,110 3,310 3,310 3,810 3,810 3,870 4, ,120 2,120 2,120 2,120 3,120 3,120 4,020 4, ,750 1,830 4,430 4,430 4,430 6,430 6, ,410 1,530 2,200 2,300 2,300 2, ,130 2,330 2,730 2, ,000 1,050 1,650 2,100 2,100 2, ,130 1,910 2, , Original incremental triangle Occurence period Development period PeriodStart PeriodEnd , , , , , , , , , ,

28 Bootstrap krok 1: Best estimate v čase 0 RESULTS Occurence period No discounting PeriodStart PeriodEnd Latest incurred Triangle ultimate Triangle extrapolated Tail value Total extrapolated Total ultimate ,070 4, , ,020 4, , ,430 6, , ,300 2, , ,730 3, , ,100 3, , ,910 4,360 1, ,450 4, ,020 2,183 1, ,163 2, ,292 1, ,452 2, ,467 2, ,837 3, ,564 3, ,264 3,564 Total 27,350 40,271 12, ,921 40,271 28

29 Bootstrap krok 2a: Fitted cumulative triangle Chain ladder factors 0->1 1->2 2->3 3->4 4->5 5->6 6->7 7->8 8->9 9-> Fitted cumulative triangle Occurence period Development period PeriodStart PeriodEnd ,491 1,902 2,717 2,833 3,024 3,598 3,841 3,870 4, ,549 1,975 2,822 2,943 3,141 3,738 3,989 4, ,238 2,497 3,184 4,548 4,744 5,062 6,024 6, ,216 1,737 1,811 1,933 2, ,346 1,717 2,453 2,558 2, ,105 1,409 2,013 2, ,597 2,037 2, , fit original Ci, J i1 Ci, J i fit fit C ˆ i, Ci, 1 / f 1 29

30 Bootstrap krok 2b: Fitted incremental triangle Fitted incremental triangle Occurence period Development period PeriodStart PeriodEnd , , X X fit i,1 fit i, C C fit i,1 fit i, 1 C fit i, 30

31 Bootstrap krok 3a: Pearsons residuals - unscaled Unscaled Pearson's residuals Occurence period Development period PeriodStart PeriodEnd original fit X i, X i, res unscaled i, X fit i, 31

32 Bootstrap krok 3b: Pearsons residuals - adusted Adusted Pearson's residuals Occurence period Development period PeriodStart PeriodEnd res adusted i, res unscaled i, scale _ factor # observation scale _ factor degrees_of_freedom degrees_of_freedom # observations# parameters 32

33 Bootstrap krok 3c: Residuals sample

34 Bootstrap krok 4a: Residuals resampling Random item Occurence period Development period PeriodStart PeriodEnd Resampled residuals Occurence period Development period PeriodStart PeriodEnd

35 Bootstrap krok 4b: Incremental pseudo-data calculation Pseudodata incremental triangle Occurence period Development period PeriodStart PeriodEnd ,760 1, , , , , , , pseudo fit resampled fit X i, X i, resi, X i, 35

36 Bootstrap krok 4c: Cumulative pseudo-data and development factors calculation Pseudodata cumulative triangle Occurence period Development period PeriodStart PeriodEnd ,242 1,437 1,555 1,431 2,101 3,861 4,986 4,925 5, ,179 1,438 1,786 1,958 2,840 2,752 3,413 3,722 3, ,229 2,888 2,896 3,887 5,839 5,724 5,904 6,331 6, ,058 1,615 1,862 1,645 2,601 2,813 3,151 3, ,637 2,003 3,839 4,015 4, ,006 1,802 2,009 1,881 2, ,218 2, ,971 2, ,138 1, , Pseudo data CH-L factors 0->1 1->2 2->3 3->4 4->5 5->6 6->7 7->8 8->9 9->

37 Bootstrap krok 5a: Mean prediction of next year diagonal Pseudo data CH-L factors 0->1 1->2 2->3 3->4 4->5 5->6 6->7 7->8 8->9 9-> Mean prediction cumulative triangle Occurence period Development period PeriodStart PeriodEnd ,242 1,437 1,555 1,431 2,101 3,861 4,986 4,925 5, ,179 1,438 1,786 1,958 2,840 2,752 3,413 3,722 3,752 3, ,229 2,888 2,896 3,887 5,839 5,724 5,904 6,331 6,896 6, ,058 1,615 1,862 1,645 2,601 2,813 3,151 3,263 3, ,637 2,003 3,839 4,015 4,011 4, ,006 1,802 2,009 1,881 2,022 2, ,218 2,084 2, ,971 2,231 3, ,138 1,442 1, ,445 2, ,254 37

38 Bootstrap krok 5b: Mean prediction incremental payments Mean prediction incremental triangle Occurence period Development period PeriodStart PeriodEnd

39 Bootstrap krok 6a: Residuals resampling for next year diagonal Random item Occurence period Development period PeriodSta PeriodEn rt d Resampled residuals Occurence period Development period PeriodStart PeriodEnd 0->1 1->2 2->3 3->4 4->5 5->6 6->7 7->8 8->9 9->

40 Bootstrap krok 6b: Process error included prediction for next year Process error prediction Occurence period Development period PeriodStart PeriodEnd i simulated X i 3,177 X simulated mean_ prediction resampled i, X i, resi, X mean _ prediction i, 40

41 Bootstrap krok 7a: Updated incremental triangle Updated incremental triangle Occurence period Development period PeriodStart PeriodEnd ,760 1, , , , , , , Incremental pseudo-data triangle & Process error included prediction for next year 41

42 Bootstrap krok 7b: Updated cumulative triangle and Chain-ladder factors calculation Updated cumulative triangle Occurence period Development period PeriodStart PeriodEnd ,242 1,437 1,555 1,431 2,101 3,861 4,986 4,925 5, ,179 1,438 1,786 1,958 2,840 2,752 3,413 3,722 3,752 4, ,229 2,888 2,896 3,887 5,839 5,724 5,904 6,331 6,896 6, ,058 1,615 1,862 1,645 2,601 2,813 3,151 3,263 3, ,637 2,003 3,839 4,015 4,011 3, ,006 1,802 2,009 1,881 2,022 2, ,218 2,084 1, ,971 2,231 2, ,138 1,442 2, ,445 2, ,157 Updated data CH-L factors Updated data CH-L factors - cumulative 0->1 1->2 2->3 3->4 4->5 5->6 6->7 7->8 8->9 9-> >10 1->10 2->10 3->10 4->10 5->10 6->10 7->10 8->10 9->

43 Bootstrap krok 7c: Best estimate v čase 1 RESULTS Occurence period No discounting PeriodStart PeriodEnd Latest incurred Triangle ultimate Triangle extrapolated Tail value Total extrapolated Total ultimate ,156 5, , ,095 4, , ,831 7, , ,418 3, , ,974 4, , ,566 3,723 1, ,157 3, ,967 3,040 1, ,073 3, ,780 4,582 1, ,802 4, ,189 5,097 2, ,908 5, ,005 5,508 3, ,503 5, ,157 5,047 3, ,890 5,047 Total 36,138 51,720 15, ,582 51,720 43

44 Výstup Krok 1: BE(0) Opakováním kroků 4 až 7: empirické rozdělení BE(1) a Claims(1) získané ze simulovaných scénářů nasimulované empirické rozdělení CDR 44

45 Bootstrap pro a proti Přínosy Stochastická metoda výsledkem e kompletní empirické rozdělení CDR Velká variabilita ve volbě modelů pro výpočet BE Omezení Časová náročnost zeména při využití stochastického modelu pro výpočet BE 45

46 Další přístupy Faktorový model Simulueme pouze ultimate loss Problematická může být kalibrace parametru Least Squares Monte Carlo simulations 46 I J i simulace J i I J i I J i I J i i C C C C C I CDR,, 1, 1,, ˆ ) (1 ˆ ˆ ˆ 1) (

47 Použité zdroe a doporučená literatura ARJAS, ELJA. The claims reserving problem in non-life insurance: Some structural ideas. Astin Bulletin, 1989, 19.2: BOUMEZOUED, Alexandre, et al. One-year reserve risk including a tail factor: closed formula and bootstrap approaches. arxiv preprint arxiv: , ENGLAND, Peter D.; VERRALL, Richard J. Stochastic claims reserving in general insurance. British Actuarial Journal, 2002, 8.3: OHLSSON, Esbörn; LAUZENINGKS, Jan. The one-year non-life insurance risk. Insurance: Mathematics and Economics, 2009, 45.2: PINHEIRO, Paulo JR; ANDRADE E SILVA, João Manuel; DE LOURDES CENTENO, Maria. Bootstrap methodology in claim reserving. Journal of Risk and Insurance, 2003, 70.4: SHAPLAND, Mark R. Bootstrap Modeling: Beyond the Basics. In: Casualty Actuarial Society E-Forum, Fall p. 1. WÜTHRICH, Mario V.; MERZ, Michael; LYSENKO, Natalia. Uncertainty of the claims development result in the chain ladder method. Scandinavian Actuarial Journal, 2009, :