3 Chyby měření. 3.1 Hrubé chyby

Transkript

1 3 Chyby měření Za daných podmínek má každá fyzikální veličina určitou hodnotu, kterou ovšem z principiálních důvodů nemůžeme zjitit úplně přeně. Každé měření je totiž zatíženo chybami, které jou nejrůznějšího původu. Výledek měření ovlivňují vlatnoti měřicích přítrojů i amotná ooba, která měření provádí. Dalším zdrojem chyb může být zvolená metoda měření a mnoho jiných, většinou nezjititelných vlivů. Přenot měření vyjadřuje blízkot výledku měření ke kutečné hodnotě měřené veličiny. Skutečná pravá hodnota veličiny je ovšem pojem ideální. V teorii měření ji nahrazujeme tzv. konvenčně pravou hodnotou, což je hodnota, která e kutečné blíží natolik, že jejich rozdíl můžeme považovat za zanedbatelný. Při různých nárocích na přenot můžeme např. za pravou hodnotu Planckovy kontanty jednou považovat 6, J., jindy 6, J.. Při opakovaných měřeních (po korekci outavných chyb) klademe pravou hodnotu veličiny rovnu aritmetickému průměru naměřených hodnot. Přenot, jakou dané měření ukutečníme, muíme vždy tanovit, neboť výledek měření bez uvedení přenoti nemá myl nelze ho totiž porovnat jiným naměřeným výledkem. Součátí každého měření je tedy důkladná analýza všech chyb, které e při něm uplatnily. Chyby měření lze roztřídit do několika kategorií, a to podle různých hlediek. Podle původu (chyby oobní a chyby měřicích přítrojů, metody), podle charakteru (chyby náhodné a chyby outavné) nebo podle analytického vyjádření (chyby abolutní a relativní). Můžeme uvét také chybu krajní (mezní), což je maimální chyba měření, ke které může za daných podmínek dojít, nebo chybu větší než maimální tzv. chybu nadměrnou (hrubou). Ta vědčí o nepolehlivoti měření způobené poruchou přítroje, omylem eperimentátora apod. Některé výše uvedené druhy chyb e vzájemně prolínají a jejich rozlišení je mnohdy obtížné. Například outavné chyby měření zůtávají při opakování měření za tejných podmínek kontantní. Mění-li e však podmínky měření (čato i to ani neuvědomíme), mění e i hodnoty outavných chyb a nadno dojde k jejich záměně náhodnými chybami. Uvedeme-li chybu měření (ať už outavnou, náhodnou nebo hrubou, či jinou) v jednotkách měřené veličiny, hovoříme o chybě abolutní. Lepší předtavu o přenoti měření však dává chyba relativní, vyjádřena jako podíl abolutní chyby a měřené veličiny. Je to bezrozměrné čílo, což je výhodné, máme-li porovnat přenot měření fyzikálních veličin různého druhu. V prai e uvádí obvykle procentuální vyjádření relativní chyby. 3.1 Hrubé chyby Měření zatížené hrubou chybou poznáme nadno, protože dává proti otatním měřením téže veličiny příliš odlišnou hodnotu. Hrubé chyby vznikají nepozornotí nebo únavou (na tupnici čteme 13 míto 18), při zhoršených podmínkách měření (špatná viditelnot), může k nim dojít také při nevhodné volbě měřicí metody a měřicích přítrojů. Např. magnetoelektrické voltmetry uměrňovačem pro měření třídavých napětí jou cejchovány v efektivních hodnotách napětí. Toto cejchování však platí jen pro napětí harmonického průběhu. Jetliže by e takovým voltmetrem měřilo napětí neharmonického průběhu, údaj voltmetru by byl chybný. Při zpracování měření je nutno hrubé chyby vyloučit, aby nezkrelovaly výledek měření. 00-3/1

2 3. Soutavné (ytematické) chyby Největší problém z hledika poouzení přenoti měření předtavují outavné chyby, protože jejich původ a velikot e dá určit mnohdy velmi obtížně. V prai e navíc běžně vykytují outavné chyby polečně chybami náhodnými. Soutavnou chybou měření e rozumí chyba, jejíž hodnota e nemění, opakuje-li e měření za tejných podmínek (což není vždy plněno). Zdroje outavných chyb jou různé: jejich původem jou měřicí metody, používané měřicí přítroje nebo ooby provádějící měření. Na rozdíl od náhodných chyb, u kterých nedovedeme přeně popat příčiny vzniku, lze pečlivým rozborem měření (analýzou) outavné chyby odhalit a odhadnout jejich velikot a znaménko (případně je odtranit). I když nebudeme ve cvičení úlohu opakovat, můžeme voje zkušenoti a poznatky uplatnit u jiné úlohy, kde je použita tejná metoda měření, popřípadě tejné měřicí přítroje. Tak například při měření napětí voltmetrem dotáváme pro napětí hodnoty poněkud menší, protože vnitřní odpor voltmetru není nekonečně velký. Tady můžeme chybu vyloučit početní korekcí, nebo měření nahradit např. kompenzační metodou. Použijeme-li při měření gravitačního zrychlení reverzním kyvadlem vzorce pro dobu kmitu platného pro nulový rozkmit, dotáváme pro gravitační zrychlení hodnotu vždy o něco menší, než je kutečná hodnota. Potřebujeme-li velmi přený výledek, opravíme dobu kmitu podle tabulky na nulový rozkmit. Alepoň čátečné eliminace outavných chyb e dá doáhnout opakováním měření různými metodami. Soutavné chyby tím dotanou charakter proměnlivých chyb e ouměrným rozložením. Po vyhodnocení způobem obvyklým u náhodných chyb dopějeme k přenější hodnotě měřené veličiny. V některých případech (je-li rozptyl takto zíkaných hodnot značný) vyjádříme pouze rozpětí, ve kterém leží měřená veličina intervalem X, X. min ma Eituje celá řada tetů, kterými lze zjišťovat, zda kutečné chyby opakovaných měření (za tejných podmínek) obahují kromě náhodné chyby i chybu outavnou. Nejjednodušší je ledování poloupnoti znamének chyb. Odchylky e ledem znamének (nebo obdobným) jou náhodné, zatímco u odchylek např e dá předpokládat outavná ložka, která e měnila z kladné na zápornou hodnotu. Chyby vnáší do měření i amotný objekt měření. Mnohé materiály delším provozem mění voje vlatnoti (únava materiálu), takže interval, ve kterém určíme naměřenou veličinu e buď čátečně nebo vůbec nekryje intervalem, který udávají tabulky. Např. nižší hodnoty modulů e dají přirozeně vyvětlit a lze je v závěru protokolu zdůvodnit. Opožděné puštění topek při měření čau, chybný způob odečítání hodnot ze tupnice (tzv. paralaktická chyba), příliš hrubý odhad zlomků nejmenšího dílku to jou chyby oobní. Ty e nejúčinněji odtraní automatizací měření. Čatými zdroji outavných chyb jou amotné měřicí přítroje, u nichž může být třeba nerovnoměrně naneená tupnice (ověřujeme cejchováním). Důležité je rovněž právné natavení přítrojů (natavení nuly, citlivoti), a to před měřením i v průběhu měření. Není také vhodné měřit elektronickými měřicími přítroji hned po jejich zapnutí. Jejich vlatnoti jou utálené až po uplynutí dotatečně dlouhé doby. 00-3/

3 Soutavnou chybu, která byla zjištěna, je nutno korigovat. Ve zpracování výledku měření e použijí opravené hodnoty měření. 3.3 Chyby měřicích přítrojů Vzhledem k rozmanitému původu outavných chyb a jejich záviloti na podmínkách měření není ovšem mnohdy možné tanovit jejich hodnotu a opravit výledek měření. V takovém případě určíme (nebo pouze odhadneme) alepoň interval, ve kterém jitotou leží chyba jednoho měření. kde Výledek měření tedy zapíšeme ve tvaru N ux ( ) X N u( X ), r( X ), (3.1) je naměřená hodnota veličiny X, u(x) je mezní chyba měřidla v abolutním tvaru a ( X ) je relativní chyba výledku. Chyby měřidel bývají zařazeny mezi outavné chyby. r U analogových (ručkových) měřicích přítrojů vymezíme interval, ve kterém leží měřená veličina, z třídy přenoti. Ta je definována jako čílo n, které udává, že mezní chyba měření je n % z největší hodnoty zvoleného měřicího rozahu, a to pro všechny hodnoty odečtené na tomto rozahu. Velikot chyby z třídy přenoti je jednoznačně určena zařazeným rozahem. Na různých rozazích je tedy různá, zpravidla větší než deetina nejmenšího dílku dělení. Výrobce zaručuje, že v těchto mezích leží oučet všech dílčích outavných chyb (způobených nepřenotí výroby, oteplením přítrojů vlatní potřebou, tárnutím materiálů, rušivými mechanickými ilami tření, atd.) i mezní náhodná chyba. Snažíme e o co nejpřenější odečítání hodnot, minimálně odhadneme polovinu nejjemnějšího dělení. Zatímco abolutní mezní chyba je pro daný rozah kontantní, velikot relativní chyby závií na hodnotě měřené veličiny. Z hledika přenoti měření je proto volba vhodného měřicího rozahu velmi důležitá. N Příklad: Měřicí přítroj třídy přenoti 0, má na rozahu 1500 ma mezní abolutní chybu 3 ma (tj. 0, % z 1500 ma) pro všechny hodnoty. Odečítáme-li tedy na tomto rozahu 1500 ma, je relativní chyba 0, %, ale při měření proudu 750 ma už 0,4 % a pro hodnotu 150 ma dokonce %. Rozah přítroje muíme proto volit vždy tak, aby e výchylka pohybovala pokud možno v polední třetině nebo alepoň v druhé polovině tupnice, protože pouze tady měříme relativní chybou jen o něco větší než je třída přenoti. U čílicových měřicích přítrojů není mezní chyba doud tanovena normami jako u analogových třídou přenoti. Zpravidla e však celková chyba vyjadřuje oučtem dvou číel. První čílo je čát chyby v % měřené hodnoty, druhé čílo je čát chyby v % plného rozahu (zde e uplatní zejména chyby ouviející kvantováním). Za mezní chybu vážení budeme považovat rozdíl nulových poloh před a po vážení dělený citlivotí vah. U topek byla mezní chyba měření způobená trojem a lidkým faktorem odhadnuta na 0,3 pro jeden odečet čau. U všech měření, kdy odečítáme na tupnici, můžeme za maimální chybu považovat nejmenší dílek dělení (obvykle to bývá 1mm), někdy také jeho polovinu (tanovíme 00-3/3

4 dohodou). Přeně odečteme celé dílky a není-li měřítko opatřeno noniem, deetiny dílku odhadneme. Úroveň vých měřicích chopnotí a tím i přenot odečítání ze tupnice určí nejlépe každý ám. Je ovšem amozřejmé, že e nažíme o co nejlepší výledek. U většiny měření e vykytuje více druhů chyb. Např. při měření napětí voltmetrem chyba odečítání na tupnici i chyba vymezená z třídy přenoti. Srovnáním jejich velikotí zjitíme, kterou z nich můžeme zanedbat. 3.4 Náhodné chyby Opakujeme-li měření dotatečnou rozlišovací chopnotí, pak i při kontantní hodnotě měřené veličiny dotaneme výledky, které e navzájem liší. Příčinu patřujeme v tom, že při každém měření půobí řada víceméně nepotižitelných vlivů, které e náhodně kombinují a způobují náhodné (nahodilé) chyby měření. Těmto chybám není možné e vyhnout a vynikají tím více, čím přenější měření provádíme. Obdobně dotaneme náhodně rozložené výledky opakovaných měření v případě, že měřená veličina má náhodný charakter, i kdyby amotná měření byla bez chyb. Pravděpodobnot a tatitika nám umožňuje vyřešit problém, jak z těchto různých naměřených hodnot určit tu, která je největší pravděpodobnotí kutečnou (pravou) hodnotou naší veličiny. Kdybychom provedli velmi mnoho (a velmi mnoho znamená počet n měření, ukázalo by e, že rozložení hodnot na číelné oe vykazuje jitou zákonitot. Nejvíce jich leží v blízkém okolí hodnoty, kterou nazýváme třední hodnota. Malé odchylky od třední hodnoty jou tedy daleko četnější než velké. Většina veličin měřených ve fyzice má ymetrické rozložení kolem třední hodnoty pro každou kladnou odchylku od třední hodnoty bychom při velkém ouboru hodnot našli tejně velkou zápornou odchylku. Takovéto rozložení e nazývá normální neboli Gauovo rozložení a je popáno funkcí 1 ( ) 1 p ( ) e. (3.) Je to známá zvonovitá křivka (obr. 3.1), která vyjadřuje hutotu pravděpodobnotí hodnot veličiny (jou to všechny hodnoty i, jež by při našem měření mohla nabývat tato fyzikální veličina). Hodnoty i jou dikrétní, ale pro n jou rozloženy tak hutě, že je můžeme aproimovat pojitým rozložením. Funkce p() má jediné maimum právě v bodě a její průběh závií na parametru. Čím menší je, tím vyšší a otřejší je maimum, tj. naměřené hodnoty jou méně rozptýleny. 00-3/4

5 Obr. 3.1 Průběh normálního rozdělení pro různé hodnoty rozptylu Rozptýlenot hodnot na číelné oe vyjadřuje veličina, jež e nazývá rozptyl. Je definována jako průměrný čtverec odchylek jednotlivých hodnot od třední hodnoty : 1 (3.3) n ( i ) Druhá odmocnina z rozptylu e nazývá měrodatná (tandardní) odchylka), v některých publikacích také třední kvadratická odchylka. Patří polu e třední hodnotou k základním charakteritikám Gauova rozložení. Protože p() vyjadřuje rozložení pravděpodobnotí hodnot, dá e řešením integrálu p( ) d (3.4) 1 vyčílit pravděpodobnot, jakou e měřená veličina nachází v určitém intervalu 1,. Definiční obor funkce (3.4) je,, v tomto intervalu e tedy veličina nachází e 100 %-ní pravděpodobnotí. Vymezíme-li na oe význačné body, pak intervalu, příluší 68,6 %-ní pravděpodobnot výkytu náhodné veličiny, intervalu, pravděpodobnot 95,44 %, a v intervalu 3, 3 leží 99,7%- ní pravděpodobnotí kutečná hodnota měřené veličiny (obr.3.). Jinak řečeno, má-li naše veličina normální rozložení, je téměř 100 %-ní pravděpodobnot, že žádná z hodnot, kterou naměříme, e nebude odchylovat od třední hodnoty více než 3. Normální Gauovo rozložení (rozdělení) připouští ice teoreticky i výkyt velmi velkých odchylek od třední hodnoty, ale jejich pravděpodobnot je velmi malá. Obr. 3. Normální Gauovo rozdělení Zkušenot ukazuje, že hodnoty náhodné veličiny nikdy nepřeáhnou určitou mez. Měřímeli vzdálenot 10 m, není prakticky možné, abychom v důledku náhodných chyb naměřili např. 8 m. Za maimální možnou odchylku e bere nejčatěji Δma 3. Hodnoty, které přeáhnou tuto mez, vyloučíme obvykle ze zpracování jako hrubé chyby. Je to známé pravidlo tří igma. Soubor n hodnot pro n e ve tatitice nazývá základní oubor a vými parametry a je popán jednoznačně. V prai je ovšem nemožné provét nekonečně mnoho měření, a to nejen z čaových důvodů. U některých veličin by došlo k nevratným změnám, u jiných měřených objektů dokonce ke zničení. Muíme e proto pokojit menším počtem měření 00-3/5

6 a pokuit e i z tohoto tzv. náhodného výběru odhadnout parametry (tj. třední hodnotu a rozptyl, rep. měrodatnou odchylku) základního ouboru. Bodovým odhadem třední hodnoty je aritmetický průměr naměřených hodnot : 1 i (3.5) n Výběrový rozptyl, kterým odhadujeme rozptyl základního ouboru, je definován i (3.6) ( ) n 1 a výběrová měrodatná odchylka (třední kvadratická odchylka jednoho měření) je potom ( i ) (3.7) n 1 Aritmetický průměr a výběrový rozptyl ovšem nejou obecně (z hledika základního ouboru) kontanty, neboť pro každou adu měření bychom obdrželi poněkud jiné hodnoty jak aritmetického průměru, tak výběrového rozptylu. S jakou přenotí můžeme považovat aritmetický průměr naměřených hodnot za pravou hodnotu měřené veličiny? Tuto přenot odhadu popiuje interval polehlivoti: tn, P, tn, P, (3.8) n n kde je aritmetický průměr naměřených hodnot, je výběrová měrodatná odchylka a t np, je koeficient Studentova rozdělení. Výraz n ( i ) (3.9) nn ( 1) e nazývá výběrová měrodatná odchylka aritmetického průměru. Součin ( X) tnp, (3.10) n je chyba výledku z n měření pravděpodobnotí P (tzv. hladina polehlivoti). Obvykle uvádíme i relativní chybu výledku ( ) r ( ) X X. (3.11) Hodnoty t jou tabelovány v přílušných normách, zde uvedeme pouze zkrácenou tabulku t pro vybrané hodnoty počtu měření n a některé pravděpodobnoti P. t np, n P = 0,50 P = 0,68 P = 0,95 P = 0,99 3 0,817 1,31 4,56 19,10 5 0,741 1,110,968 6, ,703 1,059,30 3, ,69 1,037,145, /6

7 0 0,688 1,07,093,861 Tab. 3.1 Tabulka vybraných hodnot koeficientů Studentova rozdělení V technické prai je obvyklé požadovat 95 %-ní pravděpodobnot výledku (tedy hladinu polehlivoti 0,95). Znamená to zároveň, že je pouze 5 %-ní riziko, že v našem intervalu e pravá hodnota měřené veličiny nenachází. Při běžných měřeních bývají výledky uvedeny hladinou polehlivoti 0,68 (tedy pravděpodobnotí 68 %). U výledku e zapanou chybou vždy uvedeme zvolenou pravděpodobnot a počet měření. Interval polehlivoti e zužuje při rotoucím počtu měření v důledku zmenšujících e hodnot t a rotoucího jmenovatele n ve vztahu (3.9). Na obr. 3.3 je však vidět, že při velkých n kleá jen pozvolna, takže provádění velkého počtu měření je neekonomické. Kromě toho nelze vždy zaručit tálot měřené veličiny a podmínek měření. Za vhodný počet měření e obvykle považuje Obr. 3.3 Závilot výběrové měrodatné odchylky na počtu měření 3.5 Chyby nepřímých měření Přímo naměřené veličiny doazujeme ve většině případů do fyzikálních vztahů, abychom vypočetli hledanou fyzikální veličinu jedná e o nepřímé měření. Vyvtává tedy otázka, jak veliká je chyba výledné veličiny, jetliže známe chyby vtupních hodnot. Předpokládejme, že fyzikální veličina, kterou je nutno určit, ouvií dílčími veličinami vztahem V f ( X, Y,...) Hodnoty veličin X,Y,... změříme přímo a tandardním potupem (. 34) určíme také jejich chyby ( X), ( Y),... Nejpravděpodobnější hodnotu hledané veličiny obdržíme, doadíme-li do vztahu aritmetické průměry změřených veličin, tj. v f (, y,...) (3.1) Pokud jme některou z veličin změřili jednorázově, doadíme tuto hodnotu (např. Chyba takto vypočítané veličiny je dána vztahem y N ). ( ) f f V ( X ) ( Y)... y, (3.13) 00-3/7

8 kde ( X ) je chyba výledku měření veličiny X a ( Y) chyba výledku měření veličiny Y, atd. Nemuí e přitom jednat o tejný druh chyb, neboť velmi čato měříme některé veličiny pouze jednou, jiné opakovaně. Uvedený vztah e nazývá zákon šíření chyb a uvádíme ho bez důkazu. Ve většině případů nám však požadovaná přenot dovolí použít jednoduššího tvaru téhož zákona ( ) f f V ( X ) ( Y)... y (3.14) Pro praktickou potřebu výpočtu přenoti výledku uvedeme několik aplikací vzorce (3.14) pro nejčatěji e vykytující tvary funkce V, kde a, b, k, m jou kontanty, a ( X ) a ( X ) abolutní a relativní chyby. r V ax ( V) a( X ) V ax by ( V) a ( X ) b( Y) V V k ax r( V) kr( X ) k m ax by r ( V) kr ( X ) mr ( Y) X V Y k m ( V) k ( X ) m ( Y) r r r Tab. 3. Výpočet abolutních a relativních chyb pro nejčatěji e vykytující funkce Je-li tedy nepřímo měřená veličina oučtem či rozdílem přímo měřených veličin, rozhoduje o chybě výledku větší z abolutních chyb. V zájmu ekonomického měření je třeba volit metody měření obou veličin tak, aby ( X) ( Y) (bez ohledu na chyby relativní). Nemá tedy v tomto případě ani myl některou z veličin měřit daleko přeněji ( menší abolutní chybou) než otatní, neboť na chybu výledku nemá prakticky vliv. Je-li naopak nepřímo měřená veličina oučinem nebo podílem přímo měřených veličin (a jejich mocnin), platí obdobný závěr pro relativní chyby. Pro velikot výledné relativní chyby je určující největší relativní chyba (eponenty e přitom objevují jako koeficienty u přílušných relativních chyb) tab. 3.. Z toho také plyne, že veličiny, které e v určujícím vzorci vykytují vyššími mocninami, je třeba měřit větší přenotí než otatní. V prai e někdy nakytne i opačný úkol: tanovit, jakou maimální chybou mohou být naměřeny hodnoty výchozích veličin, aby maimální chyba výledku (tj. nepřímo měřené veličiny) nepřetoupila zadanou příputnou mez. Potup e nazývá optimalizace měření. Nejčatěji e přitom vychází ze záady tejného vlivu, tj. z předpokladu, že všechny členy na pravé traně rovnice (3.14) jou tejně velké a tomuto požadavku e přizpůobí výběr měřicích přítrojů a metoda měření. Obvyklá přenot v laboratorním měření je okolo 1 %. Chceme-li pooudit pravděpodobnot, jakou e nepřímo měřená veličina nachází ve vypočteném intervalu, muíme uvážit, jakou pravděpodobnotí máme určeny dílčí veličiny. Nejmenší z těchto pravděpodobnotí je zároveň pravděpodobnot výledku. (Je to aplikace známé záady pevnot řetězu je rovna pevnoti jeho nejlabšího článku.) 00-3/8