PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Metoda momentů Metoda maximální věrohodnosti

Transkript

1 SP3 Odhady arametrů PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Metoda momentů Metoda maimální věrohodnosti

2 SP3 Odhady arametrů Metoda momentů Vychází se z: - P - ravděodobnostní rostor - X je náhodná roměnná s hustotou f θ nebo s ravděodobnostní funkcí - Θ a b a b r r nerázdná množina arametrů θ θ Θ k - nechť eistují obecné momenty E X k r které závisí na θ r

3 SP3 Odhady arametrů Metoda momentů Metoda: - P - ravděodobnostní rostor - Θ a b a b r r nerázdná množina arametrů θ - X X n náhodný výběr n k - nechť M k X i k r jsou výběrové momenty n i - arametry θ r hledáme omocí r-rovnic: k r k M k Θ r

4 SP3 Odhady arametrů metoda momentů Vybraná rozdělení diskrétní NP Alternativní Bernoulliovo rozdělení A Náhodná veličina X s alternativním rozdělením X ~A 0 má základní rostor Z = {0} a ravděodobnostní funkci: 0 Charakteristiky: střední hodnota: E X roztyl: D X koeficient šikmosti: A3 X koeficient šičatosti: A 4 X 6

5 SP3 Odhady arametrů metoda momentů Vybraná rozdělení diskrétní NP Klasické rozdělení diskrétní rovnoměrné rozdělení Cn Náhodná veličina X s klasickým rozdělením X~Cn n N má základní rostor Z = { n} a ravděodobnostní funkci: n Z Charakteristiky: střední hodnota: roztyl: medián: E X n D X n n n liché ~ n n sudé koeficient šikmosti: A3 X 0

6 SP3 Odhady arametrů metoda momentů Vybraná rozdělení diskrétní NP Binomické rozdělení Bin Náhodná veličina X s binomickým rozdělením X~Bin n N 0 má základní rostor Z = {0 n} a ravděodobnostní funkci: n n Charakteristiky: střední hodnota: E X n roztyl: medián: koeficient šikmosti: koeficient šičatosti: D X n ~ n n A A 3 4 X n 6 X n

7 SP3 Odhady arametrů metoda momentů Vybraná rozdělení diskrétní NP Geometrické rozdělení Ge Náhodná veličina X s geometrickým rozdělením X~Ge 0 má základní rostor Z = {0 n } a ravděodobnostní funkci: Pokus oakujeme tak dlouho až nastane úsěch. je ravděodobnost že rovedeme neúsěšných okusů. Charakteristiky: střední hodnota: roztyl: medián: E X D X ~ 0

8 SP3 Odhady arametrů metoda momentů Vybraná rozdělení diskrétní NP Negativní binomické Pascalovo rozdělení NBk Náhodná veličina X s negativně binomickým rozdělením X~NBk kn 0 má základní rostor Z = {0 n } a ravděodobnostní funkci: k k Pokus oakujeme tak dlouho až nastane k úsěchů. je ravděodobnost že rovedeme neúsěšných okusů řed k-tým úsěšným okusem. Charakteristiky: střední hodnota: roztyl: medián: E X k D X k ~ k

9 Náhodná veličina X s hyergeometrickým rozdělením X~HNMn kde N libovolné celé číslo M < N n<n základní rostor Z = {ma{0 M-N+n} min{mn} ravděodobnostní funkci: Hyergeometrické rozdělení HNMn Charakteristiky: střední hodnota: roztyl: medián: n N n M N M N M n X E N n N N M N M n X D ~ N n M N n M Vybraná rozdělení diskrétní NP SP3 Odhady arametrů metoda momentů

10 SP3 Odhady arametrů metoda momentů Vybraná rozdělení diskrétní NP Poissonovo rozdělení Poλ Náhodná veličina X s Poissonovým rozdělením X~Poλ λ R λ>0 má základní rostor Z = {0 n } a ravděodobnostní funkci: e! Charakteristiky: střední hodnota: roztyl: EX DX medián: ~ koeficient šikmosti: A3 X

11 SP3 Odhady arametrů metoda momentů Charakteristiky: střední hodnota: roztyl: medián: koef. šikmosti: koef. šičatosti: Vybraná rozdělení sojité NP Rovnoměrné rozdělení Rab Náhodná veličina X s rovnoměrným rozdělením X~Rab ab R a<b má základní rostor Z = R a hustotu ravděodobnosti: f b a 0 a b E X b a D X ~ a b A3 X 0 6 A4 X 5 a b jinak

12 SP3 Odhady arametrů metoda momentů Charakteristiky: Vybraná rozdělení sojité NP Eonenciální rozdělení Ea λ Náhodná veličina X s eonenciálním rozdělením X~Ea λ aλ R λ >0 má základní rostor Z = R a hustotu ravděodobnosti: e f a 0 a jinak střední hodnota: roztyl: medián: koef. šikmosti: koef. šičatosti: E X a D X ~ a ln A3 X A4 X 9 3

13 SP3 Odhady arametrů metoda momentů Vybraná rozdělení sojité NP Normální rozdělení Nμ σ Náhodná veličina X s normálním rozdělením X~Nμ σ μ σ R σ >0 má základní rostor Z = R a hustotu ravděodobnosti: f { e Charakteristiky: střední hodnota: roztyl: medián: modus: koef. šikmosti: koef. šičatosti: EX D X ~ ˆ A3 X 0 A4 X 0

14 SP3 Odhady arametrů metoda momentů Vybraná rozdělení sojité NP Weibullovo rozdělení Wbδ β Náhodná veličina X s Weibulovým rozdělením X~Wbδ β δ β R δβ>0 má základní rostor Z = R a hustotu ravděodobnosti: f 0 e 0 jinak Charakteristiky: střední hodnota: roztyl: medián: kde E X D X ~ ln k t k t e dt 0

15 SP3 Odhady arametrů metoda momentů Vybraná rozdělení sojité NP Rayleighovo rozdělení Rδ Seciální říad Weibulova rozdělení: X~Rδ=Wbδ. Hustota ravděodobnosti: f e 0 0 jinak Charakteristiky: střední hodnota: roztyl: medián: kde E X 3/ D X ~ ln k t k t e dt 0 3/

16 SP3 Odhady arametrů metoda momentů Vybraná rozdělení sojité NP ognormální rozdělení Nѳ τ Náhodná veličina X je transformací náhodně veličiny Y Nѳ τ tak že X = ey. Hustota ravděodobnosti: f {ln e Charakteristiky: střední hodnota: roztyl: E X e D X e e

17 SP3 Odhady arametrů Metoda momentů - říklady Nechť X X je náhodný výběr z X ~ A n. Určete odhad metodou momentů. Odhadněte revalenci obezity v oulaci v ČR obezita: BMI > 30 z realizace náhodného výběru =... n kde z n = 50 testovaných jedinců bylo k = 4 obézních. Odhad roveďte metodou momentů.

18 SP3 Odhady arametrů Metoda momentů - říklady Nechť X X n je náhodný výběr z X ~ Po. Určete odhad metodou momentů. Stojíte u silnice a chcete odhadnout očet rojíždějících aut za jednu minutu. Pro náhodný výběr o 0 oložkách jste naměřili následující očty rojetých aut: Metodou momentů odhadněte arametr

19 SP3 Odhady arametrů Metoda momentů - říklady Nechť X X n je náhodný výběr z X ~ E a. Určete odhad metodou momentů. θ a T Při koui 0 aut z autobazaru AAA nastala orucha o: měsících. Pomocí metody momentů odhadněte arametry θ a T

20 SP3 Odhady arametrů Metoda momentů - říklady Nechť X X n je náhodný výběr z X ~ N. Určete odhad θ metodou momentů. T

21 SP3 Odhady arametrů Metoda momentů - říklady Během. světové války sojenci oužívali statistické metody ro odhad velikosti německého arzenálu. Odhadněte kolik raket bylo vyrobeno víte-li že eistují rakety se sériovými čísly = byly již odáleny nebo byly zabaveny sojenci. Odhad roveďte metodou momentů.

22 SP3 Odhady arametrů Metoda maimální věrohodnosti Vychází se z: - P - ravděodobnostní rostor - Θ a b a b r r nerázdná množina arametrů θ - X náhodný výběr X n T - X X náhodný vektor s sdruženou hustotou X n nebo s sdruženou ravděodobnostní funkcí θ - ro evnou hodnotu funkci nazveme věrohodnostní funkcí Θ f θ θ f θ θ θ r

23 SP3 Odhady arametrů Metoda maimální věrohodnosti Nechť r= - θ a b - θˆ je maimálně věrohodný odhad MVO arametru θ latí-li θ ˆ θ θ - někdy se využívá tvar ln θˆ ln θ θ - označení se oužívá okud chceme zdůraznit rozsah výběru θˆn

24 Metoda maimální věrohodnosti Nechť r= -věrohodnostní rovnice: nebo SP3 Odhady arametrů 0 ln f f 0 ln 0 ln 0 f 0 0 f 0

25 Metoda maimální věrohodnosti Nechť r= - okud uvažujeme sdruženou hustotu ravděodobnost jako součin marginálních nezávislost náhodného výběru ak odobně SP3 Odhady arametrů n i i n i i f f f ln ln ln ln n i i f ln ln n i i n i i ln ln ln ln n i i ln ln

26 SP3 Odhady arametrů Metoda maimální věrohodnosti - říklady Nechť X X je náhodný výběr z X ~ A n. Určete maimálně věrohodný odhad. Odhadněte revalenci obezity v oulaci v ČR obezita: BMI > 30 z realizace náhodného výběru =... n kde z n = 50 testovaných jedinců bylo k = 4 obézních. Odhad roveďte metodou maimální věrohodnosti.

27 SP3 Odhady arametrů Metoda maimální věrohodnosti - říklady Nechť X X n je náhodný výběr z X ~ Po. Určete maimálně věrohodný odhad. Stojíte u silnice a chcete odhadnout očet rojíždějících aut za jednu minutu. Pro náhodný výběr o 0 oložkách jste naměřili následující očty rojetých aut: Metodou maimální věrohodnosti odhadněte arametr

28 SP3 Odhady arametrů Metoda maimální věrohodnosti - říklady Nechť X X n je náhodný výběr z X ~ E0. Určete maimálně věrohodný odhad. Při koui 0 aut z autobazaru AAA nastala orucha o: měsících. Pomocí metody maimální věrohodnosti odhadněte arametr

29 SP3 Odhady arametrů Metoda maimální věrohodnosti - říklady Nechť X X n je náhodný výběr z X ~ N. Určete maimálně věrohodný odhad

30 SP3 Odhady arametrů Metoda maimální věrohodnosti - říklady Během. světové války sojenci oužívali statistické metody ro odhad velikosti německého arzenálu. Odhadněte kolik raket bylo vyrobeno víte-li že eistují rakety se sériovými čísly = byly již odáleny nebo byly zabaveny sojenci. Odhad roveďte metodou maimální věrohodnosti

31 SP3 Odhady arametrů Metoda maimální věrohodnosti - říklady Platí: Pokud MVO eistuje a je jediný ak je funkcí libovolné ostačující statistiky ale sám nemusí být ostačující.. Platí: Nechť θˆ je maimálně věrohodný odhad θ. Pak uθ ˆ je maimálně * věrohodný odhad uθ kde u : nemusí být rosté. Poznámka: Za jistých ředokladů regulární systém hustot - viz Anděl ro maimálně věrohodný odhad θˆn latí: ˆ as n n N0 J viz. X ~ A X ~ N

32 SP3 Odhady arametrů Metoda maimální věrohodnosti Nechť r> - θ r Θ Θ a b a b r r - θˆ je maimálně věrohodný odhad MVO arametru θ latí-li θˆ θ θ - někdy se využívá tvar ln Θ θˆ ln θ θ Θ

33 Metoda maimální věrohodnosti Nechť r> -věrohodnostní rovnice: nebo SP3 Odhady arametrů k j f j j 0 θ θ k j j j 0 θ θ k j f f j j 0 ln θ θ θ k j j j 0 ln θ θ θ

34 SP3 Odhady arametrů Metoda maimální věrohodnosti - říklady Nechť X X n je náhodný výběr z X ~ E a. Určete maimálně T věrohodný odhad. θ a Při koui 0 aut z autobazaru AAA nastala orucha o: měsících. Pomocí metody maimální věrohodnosti odhadněte arametry T θ a

35 SP3 Odhady arametrů Metoda maimální věrohodnosti - říklady Nechť X je náhodný výběr z X ~ R a b X n. Určete maimálně T věrohodný odhad ro θ a. b Nechť X X n je náhodný výběr z X ~ N. Určete maimálně T věrohodný odhad ro θ.