Dynamika. Hybnost: p=m v. F= d p. Newtonův zákon síly: , pro m=konst platí F=m dv dt =ma. F t dt. Impulz síly: I = t1. Zákon akce a reakce: F 1 = F 2

Transkript

1 Dynamika Hybnost: p=m v. Newtonův zákon síly: F= d p, pro m=konst platí F=m dv dt =ma. Impulz síly: I = t1 t 2 F t dt. Zákon akce a reakce: F 1 = F 2 Newtonovy pohybové rovnice: d 2 r t 2 = F m. Výsledná síla: i =N F= F i, i =1 Moment síly: M = d L =r F, M =r F sin, Výsledný silový moment: i= N M = M i. i=1. Moment hybnosti hmotného bodu s konstantní hmotnosti m, rychlosti v a polohovém vektoru r je L=m r v. Velikost momentu hybnosti L je L=m r v sin. Dokonale pružná srážka: zachovává se hybnost a energie systému. Dokonale nepružná srážka: zachovává se pouze hybnost systému.

2 Řešený příklad č.1: Ukažte, že v poli centrální síly se zachovává moment hybnosti L hmotného bodu. Řešení: V poli centrální síly platí r F c r F c =0, současně je moment hybnosti L a moment síly M svázán vztahem Odtud a z předchozího vztahu ihned plyne, že d L = M=r F c. d L =0 L=konst. Řešený příklad č.2: Najděte pohybovou rovnici kuličky o průměru D=6mm a hmotnosti 1g, kterou ponoříme do odměrného válce s glycerinem a upustíme ji. Určete od kterého okamžiku se bude pohybovat prakticky rovnoměrným pohybem. Jakou celkovou dráhu urazí za dobu t=5s? Řešení: Na kuličku pohybující se prostředím působí odpor prostředí silou která je úměrná rychlosti kuličky a má opačný směr, tj. F o = k v. Dále na kuličku působí gravitační síla F g =m g, která směřuje ve směru rychlosti kuličky. Dostáváme potom následující pohybovou rovnici m dv dt =mg k v. (1) Když vydělíme obě strany rovnice (1) hmotností kuličky m a zavedeme nový parametr dostaneme rovnici = k m d v = g v. (2) Je snadné určit, že jednotkou veličiny g/ jsou m/s. Zavedeme další parametr v 1 =g/, což je maximální rychlost kterou v odporujícím prostředí kulička dosáhne. Snadno se o tom přesvědčíme dosazením v=v 1 do rovnice (2). V takovém případě totiž je zrychlení kuličky a=dv/dt = 0. Řešíme následující rovnici d v = v 1 v Abychom obdrželi jednoznačné řešení musíme specifikovat počáteční podmínky pohybu. V našem případě ze zadání plyne, že počáteční rychlost kuličky je v0=0 m/s, počáteční čas je t0=0s a položíme-li počátek souřadnic do ŕovně hladiny glycerinu, tak počáteční dráha je s0=0m. Zavedeme substituci a řešíme rovnici.(3) z=v 1 v d z = d v

3 která má řešení kde z 0 =v 1 d z dt = z d z z = dt, ln z ln z 0 = t,(4), protože v 0 =0. Z rovnice (4) dostaneme výsledek v t =v 1 1 e t. (5) Z tohoto výsledku je ihned vidět, že pro dostatečně velký exponent se kulička bude prakticky pohybovat rovnoměrným pohybem rychlostí v=v 1. Koeficient k je dán výrazem k=6 R, kde R je poloměr kuličky a je koeficient viskozity prostředí. Pro glycerin je kg m -1 s -1. Ze zadání je R=D/2=3mm=0.003m a m=1g=0.0001kg. Vezmeme-li za hodnotu gravitačního zrychlení g=9.81 ms -2 bude koeficient = 83.7 s -1. Řekněme, že se kulička bude pohybovat téměř rovnoměrně když dosáhne rychlosti v=0.995 v 1.Z rovnice (5) potom dostaneme, že Dráhu s(t) jako funkci času určíme integrací t= 1 ln v v 1 = 1 ln 0.005=0.06 s. v 1 t s t = v t ' ' =v 1 t v 1 e t v 1. 0 Rychlost v 1 =g/ = 0.12 m/s. Dráhu, kterou urazí kulička za 5 s z klidové polohy je potom s(t=5s)=59.8 cm. Pokud bychom nechali kuličku od začátku pohybu se pohybovat rovnoměrně rychlostí v 1, tak by urazila dráhu s=60 cm. Příklad č.1: Určete vektor síly působíci na hmotný bod o hmotnosti m=0.6kg, jehož polohový vektor je dán rovnicí r t = 1 3t 2 i 2 t 3 j t 4 k. Určete směr a velikost této síly v čase t=1s. Řešení: F t =3.6i 3.6t j 7.2t 2 k, F t=1s =8.8N, cos = F x F = =0.41, cos = F y F = = 0.41, cos = F z F = = Příklad č.2: Jaká síla působí hmotný bod s hmotností m pohybující se v rovině X-Y podle rovnic x t =a ct, y t =b 1 2 2? Určete po jaké trajektorii se hmotný bod pohybuje. Řešení: F= m d j. Trajektorie je parabola y=b 1 2 b c x a 2.

4 Příklad č.3: Najděte závislost polohového vektoru r hmotného bodu, o hmotnosti 1kg, na čase t, který se v čase t=0s nacházel v bodě A=(0,1) a komponenty rychlosti byli v 0 =(1,0) m/s a na který působí síla daná rovnicí F t = 10N i 5 t N j. Řešení: r t =t 1 5t i 1 5 /6t 3 j. Příklad č.4: Ukažte, že zákon zachování hybnosti plyne z 2. a 3. Newtonova pohybového zákona. Pomůcka: F i =d p i / dt, F 1 = F 2. Příklad č.5: Dvě koule se pohybují před srážkou rychlostmi v 1 = 3 i 4 j k m /s a v 2. Po srážce se pohybují rychlostmi v ' 1 = 2i j 2 k m/s a v ' 2 = 4 i 3 j k m/s. Jakou rychlostí se pohybovala koule č.2 před srážkou? Hmotnosti koulí jsou m 1 =1kg a m 2 =0.5kg. Řešení: v 2 = 14 i 9 j 7 k m/ s. Příklad č.6: Dva mladí fyzikové Einstein a Newton se rozhodli uspořádat následující experiment. V tělocvičně umístnili dva míče následujícím způsobem. Míč E položili dorostřeělocvičny na zemi a míč N byl odvážně zavěšen ve výšce 3m nad podlahou a jeho kolmo vržený stín 10 m od míče E. Ve smluvený okamžik Newton přeřízne lano a uvolní míč N a Einstein vykopne míč E tak aby zasáhl padající míč N. Jaký musí být poměr x-ové a y-ové složky rychlosti vykopnutého míče, aby se experimet povedl? Řešení: v 0X v 0Y = Příklad č.7: Einstein a Newton provádějí experiment jehož konfigurace je stejná jako v příkladu č.6. Nyní se bude Einstein snažit zasáhnout míč N v okamžiku kdy bude 0.5 m nad podlahou. Pod jakým úhlem (sevřený vektorem rychlosti a tečným vektorem k podlaze) a jakou rychlostí musí být míč E vykopnut? Řešení: =ArcTan h s =16.7, v 0= g 2 h y2 h2 s 2 =14.6 m/s. Příklad č.8: Bruslař, vážící 70 kg, stojí v klidu na ledové dráze. Na zádech má připevněno speciální zařízení, které vystřeluje puky rychlostí 25 m/s vůči bruslaři s frekvencí 1 s -1. V zásobníku jich má 5 a každý váží 0.2 kg. Jakou rychlostí v se bude bruslař pohybovat v čase t=2 s? Jakou urazí dráhu za dobu 3 s? Řešení: v=0.17 m/s, s=0.37m.

5 Příklad č.9: Automobil o hmotnosti 1000 kg se pohybuje konstantní rychlostí v=50km/h ve směru osy x. V určitém okamžiku řidič přidá plyn a tím efektivně způsobí, že na auto působí výsledná síla o velikosti 1200 N ve směru pohybu auta. Jakou rychlostí se bude automobil pohybovat 10s po začátku akcelerace a jakou dráhu za těch 10 s urazí? Řešení:v(t=10s)=25.9 m/s = 93.2 km/h, s=199m. Příklad č.10: Automobil jede z kopce, jehož úhel klesání je 12. V okamžiku, kdy auto začalo sjíždět z kopce ukazoval jeho tachometr rychlost 60 km/h.ridič vyřadil rychlostní stupeň a pohybuje se na volnoběh. Jakou rychlostí v se bude pohybovat v okamžiku, kdy sjede z kopce v případě, že převýšení je 40m? Jak dlouho bude trvat než auto sjede z kopce dolů? Řešení: v=118.3km/h, t=7.7s. Příklad č.11: Kulečníková koule o hmotnosti 0.2 kg narazila na mantinel stolu pod úhlem 40 rychlostí 4 m/s a odrazila se stejně velkou rychlostí jak je naznačeno na obrázku. Náraz trval po časový interval o velikosti t = 0.1s. Určete: 1. změnu hybnosti koule p, 2. střední sílu F s, kterou působí mantinel na kouli, 3. střední sílu F' s, kterou půsbí koule na mantinel. Řešení: 1. p= p 2 p 1 = 1.23 i[ kgm s 1 ], 2. F s = p t = 12.3 i [ N ], 3. F ' s = F s. Příklad č.12: Výtahová zdviž má hmotnost m=1200 kg. 1. Zdviž se pohybuje zrychleně směrem vzhůru s konstantním zrychlením a=2m/s. Jakou silou T působí lano na zviž? 2. Jaké je v laně napětí T v případě, že zviž zrychluje směrem dolů se zrychlením a=2m/s. Řešení: 1) T = N, 2) T = N. Příklad č.13: Hokejista vypálí svou hokejkou puk o hmotnosti 170g. Urychlí jej z klidu na rychlost 20 m/s na dráze 0.5 m. Jakou silou F působí hokejista na puk za předpokladu, že tření mezi pukem a ledem je zanedbatelné a zrychlení puku je konstantní?

6 Řešení: F = 68 N. Příklad č.14: Chlapec táhne vláček silou F=10N, který se skládá ze dvou vozíků. První vozík má hmotnost m 1 =4kg a druhý vozík má hmotnost m 2 =2 kg. Šňůra, která spojuje oba vozíky má zanedbatelnou hmotnost. Určete: 1) normálovou sílu, kterou působí podlaha na každý vozík, 2) napětí T je v provázku, 3) zrychlení vláčku Řešení: 1) N 1 =40 N, N 2 =20 N, 2) T=m 2 /(m 1 +m 2 ) F=3.33N, 3) a=f/(m 1 +m 2 )=1.67 m/s 2. Příklad č. 15: Kvádr o hmotnosti m 1 =20 kg se může volně pohybovat po horizontálním povrchu je pomocí lana spojen přes kladku s druhým kvádrem o hmotnosti m 2 =10kg (viz. obr). Za předpokladu, že hmotnosti lana i kladky jsou zanedbatelné určete: 1) síly působící na kvádry, 2) jejich zrychlení, 3) za předpokladu, že byly na začátku v klidu, kam se posunou za 2 s. Řešení: 1) N 1 =F g1 =200N, F g2 =100N, T=m 1 m 2 g /(m 1 +m 2 ) = 66.7 N, 2) a 1 =a 2 =a=t/m 1 =3.33 m/s 2, 3) l=6.7 m. Příklad č. 16: Síla F=1.5y i 3x 2 j 0.2 x 2 y 2 k N působí na částici o hmotnosti 1 kg. Při t = 0 má částice polohový vektor r=2i 3 j metrů a pohybuje se rychlostí v=2 j k m/s. Při t = 0 určete 1) sílu, která působí na částici, 2) zrychlení částice, 3) kinetickou energii částice, 4) rychlost změny kinetické energie. Řešení: 1) F t=0 =4.5i 12 j 2.6k N, 2) a t=0 =4.5i 12 j 2.6k m/s 2, 3) E k =5/2 J, 4) d E k /=21.4 J / s.

7 Příklad č.17: Automobil má hmotnost 1 t. Maximální výkon jeho motoru je 120 kw. Nechť automobil dosahuje tohoto maximálního výkonu při rychlosti 60 km/h. Jaké je zrychlení automobilu při této rychlosti? Řešení: a = 7.2 m/s 2. Příklad č. 19: Golfový míček je odpálen střední silou F =2600 N, působící po dobu = s. S jakou rychlostí je míček odpálen, je-li jeho hmotnost m=0.047 kg? Řešení: v=69.1 m/s = km/h. Příklad č. 20: Proveďme následující experiment. Máme dva kvádry o hmotnostech 3 kg a 2 kg, které se pohybují takřka bez tření v koridoru na vzduchovém polštáři. Rychlost prvního je 1 m/s a kvádr jedoucí za prvním v témže směru jede rychlostí 2 m/s. Jakými rychlostmi (velikost a směr) se budou pohybovat oba kvádry po dokonale pružné srážce? Jaké budou rychlosti obou kvádrů po dokonale pružné srážce v případě, že rychlost druhého kvádru je 7 m/s? Řešení: a) v 2 = m 2 P m 1 m 2 [2 m 1 m 2 K P 2 ] m 2 m 1 m 2 = 1 10 m/s, v 1= m P 1 m 1 m 2 [2 m 1 m 2 K P 2 ] =1,1 m/s, m 1 m 1 m 2 kde je K celková kinetická energie soustavy a P celková hybnost soustavy. b) v 2 = 1 5 m/s, v 1 = 29 5 m/s. Příklad č. 21: Jakou rychlostí se musí druhé těleso, z předchozího příkladu, pohybovat, aby se po srážce zastavilo? Řešení: v 02 = 2P 01 m 1 m 2 =6 m/s. Příklad č.22: Umělý satelit se pohybuje po eliptické dráze se Zemí v jednom ohnisku (viz obr.). V bodě A je márychlost v a jeho vzdálenost od středu Země je r. V bodě B je jeho vzdálenost od středu Země 2r. Jaká je rychlost satelitu v bodě B? Řešení: v B =v/2.

8 Příklad č.23: V Bohrově modelu atomu vodíku má elektro na své nejnižší kruhové dráze moment hybnosti kg m 2 /s. Poloměr této orbity je m a hmotnost elektronu je kg. Určete: a) rychlost eletronu na této orbitě, b) určete poměr v/c, kde c= m/s je rychlost světla. Řešení: a) v= m/s, b) v/ c=0.007.