Řešení úloh 1. kola 49. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie C

Transkript

1 Řešení úloh. kola 49. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie C Autořiúloh:J.Jírů(),P.Šedivý(2,3,4,5,6),I.VolfaM.Jarešová(7)..Označme v 0souřadnicirychlostikuličkyohmotnosti3mbezprostředněpředrázem a v bezprostředněporázu,dále v 2souřadnicirychlostikuličkyohmotnosti mbezprostředněporázu.souřadnicerychlostikuličkyohmotnosti mpředrázemje v 0. BěhemrázujsousplněnyZZHaZZME: 3mv 0 mv 03mv + mv 2, Po úpravě rovnic dostaneme 2 3mv mv mv2 + 2 mv2 2. 2v 03v + v 2, 4v 2 03v 2 + v 2 2. Vyloučenímneznámé v 2dostanemekvadratickourovnicisneznámou v : v (v v 0)0. Rovnicemákořeny v 0, v v 0, jimžodpovídajíkořeny v 22v 0, v 2 v 0. Čárkovanou dvojici kořenů vyloučíme, neboť udávají souřadnice rychlostí před srážkou.skutečnousituaciposrážceudávánečárkovanádvojice v 0, v 22v 0.Výsledek znamená, že hmotnější kulička se při srážce zastaví a méně hmotná kulička se uvede do pohybu v původním směru pohybu hmotnější kuličky dvojnásobně velikou rychlostí. 5bodů Označme l délku vlákna. Kulička s dvojnásobnou rychlostí po rázu má čtyřnásobnou kinetickou energii, než byla její kinetická energie bezprostředně před rázem, tudíž její energie je dostatečná k tomu, aby vystoupala do výšky 2l. Ze ZZME určíme velikost w 2vnejvyššímbodě: 2 m(2v0)2 mg 2l+ 2 mw2 2. Uvážením v 0 2gl dostaneme w 22 gl. Aby vlákno zůstalo napnuté po celé kružnici, musí mít kulička v nejvyšším bodě trajektorieminimálnírychlost w minsplňujícípodmínku mw 2 min l mg w min gl. Protože w 2 > w min, projdekuličkanejvyššímbodematímiceloutrajektoriípři napnutém vlákně. Po jedné otočce narazí v nejnižší poloze na hmotnější kuličku, která je v klidu, stejnou rychlostí, jakou měla bezprostředně po prvním rázu, tedy rychlostí2v 0.Tentodruhýrázprobíháopačněvzhledemkprvnímu,oběkuličkyse protovychýlívnavzájemopačnýchsměrecho90.tímnastávástavjakonazačátku a celý popsaný cyklus se začíná opakovat. 5bodů

2 2. a) Při pohybu špalíku mají dynamický účinek dvě síly: pohybová složka tíhové síly ovelikosti mgsin αatřecísílaovelikosti fmgcos α.pohybnahorujerovnoměrně zpomalený se zrychlením o velikosti a gsin α+fgcos α. Pro velikost rychlosti špalíku a vzdálenost od dolního konce nakloněné roviny včasovémintervalu(0, t )platí Včase tt je v0, dd m. v v 0 a t, dv 0t 2 at2. Ztohoplyne v 0 a t, dd m v0t 2 2 at2. Pohyb dolů je rovnoměrně zrychlený se zrychlením o velikosti a 2 gsin α fgcos α. Pro velikost rychlosti špalíku a vzdálenost od dolního konce nakloněné roviny včasovémintervalu(t, t + t 2)platí v a 2(t t ), dd m 2 a2(t t)2. Včase tt + t 2 je v v a 2t 2, d0. Ztoho d m 2 a2t2 2 vt2 2. Porovnánímvztahůdostaneme 2 at2 2 a2t2 2, a gsin α+fgcos α a 2 gsin α fgcos α t2 2 t 2 f t2 2 t 2 t 2 2+ t 2 tg α. Po dosazení číselných hodnot vychází: f0,338, a 7,5m s 2, a 2,4m s 2, v 08,58m s, v 3,42m s, d m5,3m. b) Závislost vzdálenosti špalíku od dolního konce nakloněné roviny na čase je zachycenavtabulceagrafu: WV GP GP WV 2

3 3. a) Při ustálené hladině je velikost výtokové rychlosti ztoho H h 8Q2 V gp 2 d 4, v 0 2g(H h) 4QV pd 2, H h+ 8Q2 V gp 2 d 4. Číselněvychází v 0,59m s, H h0,29m, H0,229m. b) Pohyb částice vody, která opustila otvor v nádobě, probíhá jako vodorovný vrh. Částice dopadne za dobu 2h t g ve vzdálenosti Lv 0t 2g(H h) Číselněvychází L0,227m. 2h g 2 (H h)h 4QV 2h pd 2 g. c) Při dopadu částice na vodorovnou rovinu má vodorovná složka její rychlosti velikost v 0asvislásložkavelikost v gt 2gh.Výslednývektorrychlostidopadu má velikost v v0 2+ v2 2g(H h)+2gh 6Q 2gH 2 V p 2 d 4 +2gh aproúheldopaduplatípodleobr.r tg α v0 v 2g(H h) 2gh H h 4QV h pd 2 2gh. Číselněvychází v2,2m s, tg α,36, α48,6. Q V H v v0 h L α v v0 Obr. R 3

4 4. a) Síly vodorovného směru, které působí na jednotlivá tělesa soustavy, jsou vyznačeny naobr.r2. NakvádrApůsobívesvislémsměrutíhovásílaovelikosti m A gaprotiní stejně velká normálová síla od kvádru B. Ve vodorovném směru působí na kvádrasílavláknata aprotinítřecísílaftovelikosti fm A g. VýslednicetěchtosiludělujekvádruAzrychleníaA,kteréjestejněvelkéjako zrychleníab kvádrub,aleopačnéhosměru.můžemetedypoložit a A a B a. NakvádrBpůsobísměremdolůvlastnítíhovásílavelikosti m B gatíhakvádruavelikosti m A g.normálovásložkareakcepodložkydmátedyvelikost (m A )g.vevodorovnémsměrupůsobínakvádrbsílafaprotinísíla vláknatb atřecísíly Ftovelikosti fm A gaft2ovelikosti f(m A )g. VýslednicetěchtosiludělujekvádruBzrychleníaB. NakladkuCpůsobívevodorovnémsměrusílyvláken TA, TBaprotinim síla stěnyfk. Protože moment setrvačnosti kladky je nulový, mají obě síly vlákna Fstejnou velikost. Můžeme tedy položit T A T B T. AaATA TA Fk Ft Ft C TB TB ab B D Obr. R2 b) Pohyb soustavy popisují pohybové rovnice m A at fm A g, m B af T fm A g f(m A )g. Jejich řešením dostaneme Ft2 T m A (a+fg), F(m A )a+f(3m A )g. Číselněvychází F20,9N. c) Třmenpůsobínaosukladkysilouovelikosti F k 2T2m A (a+fg)9,4n. bod d) Kvádry se budou pohybovat rovnoměrně(a 0), jestliže se velikost sílyfzmenší na F r f(3m A )g7,2n. 4

5 5. a) Jedná se o izotermický děj. Podle Boylova-Mariottova zákona platí p V p 2V 2 p 0V 0, kde V Sl, V 2 Sl 2jsouobjemyvzduchovýchsloupcůvesvislépolozetrubice, p, p 2 příslušnétlakyvzduchuvesloupcích, V 0 Sl 0 je objem vzduchových sloupcůvevodorovnépoloze, p 0 h 0 g jeatmosférickýtlaka jehustotartuti. Ztoho Dále platí Postupnými úpravami: p l p 2l 2 p 0l 0. l + l 22l 0, p p 2 hg. ( p p 2 p0l0 p0l0 gh l l 0l 0 2 l ( ) h 0l 0, h l 2l 0 l dojdeme ke kvadratické rovnici l 2 ( ) h0 l 2 0 h + l + h0l2 0 h 0. ) gh, 2l 0 l h 0l 0 h (2l0 2l)2l0l l2 ( ) h0 Protože l < l 0, vyhovujeúlozekořen l l 0 h + h 2 0 h 2+. Prodanéhodnotyvychází l 0,753l 022,6cm, l 237,4cm. ( ) b) Úpravourovnice l0 2 h0 l0 h + h 2 0 h 2+ dostaneme h 2 0 h 2 + h0 h + 2, h 2 0 h 2 + h2 0 h 2 + h0 h + 4, h 0 h 3 4, h4 3 h0. Ke stejnému výsledku můžeme dospět také přímo z Boylova-Mariottova zákona. Platí l l0 2, l23 2 l0 p2p0, p22 3 p0, ghp p p04 3 h0g h4 3 h0. Prodanéhodnotyvychází h0cm > L. Úlohab)tedyprodanéhodnoty nemá řešení. 5

6 6. Ukázka naměřených hodnot a jejich zpracování je v následující tabulce a grafu. Vztah mezi teplotou čidla a napětím voltmetru je mezích přesnosti měření dokonale lineární amůžemehozapsatvetvaru t( 438,8{U}+270,9) C. Napětí odečítáme na milivoltmetru s přesností ± mv. Tomu odpovídá chyba při určení teploty ±0,5 V. Wƒ& 89 W ƒ& \ [ a) Vtomtopřípaděsejednáotepelnouvýměnuprouděnímaplatívztah Q α S t τ 20 (6,2 5,8) J70,5MJ. b) Množství tepla přijatého vodou je dáno vztahem Q 2 cm t ,2 5,8,8 (25 5)J7,37GJ. Výkon Pjedánvztahem P Q2 cm t ,2 5,8,8 (25 5) W3,7kW. τ 2 τ c) Hmotnost uhlí určíme ze vztahu m Q 2 7, H η η 2 2, ,36 0,85 kg927kg 2tuny.. bod 6

7 d) Plochastěnadna,jimižunikáteplodookolnípůdy,mávelikost S(6,2 5,8+2 (,8 6,2+,8 5,8))m 2 77,6m 2. Zadobu τuniknetoutoplochouteplo Q λsτ t 3.Zajednuhodinuje d Q 3 0,82 77, (25 5) 0,2 J87,2MJ. Zadenje Q 424Q 32092MJ. e) Po obklopení betonového korpusu vodovzdornou izolací unikne za dobu τ do okolní půdy teplo Q 3 Sτ t. d + d2 λ λ 2 Zahodinuje Q 77, (25 5) 3 J2,2MJ, 0,2 0,82 +0,05 0, zadenje Q 424Q 3509,5MJ. f) Litinamávelké λ teplolitinousedobřeodvádí(podstatnělépenežbetonem), vana je obklopená vzduchem(zatímco beton zeminou) dochází k odvádění tepla prouděním.vevanějemalémnožstvívody velká vodníhladina opětse odvádí teplo prouděním tentokrát také přímo z vodní hladiny. bod 7