Aplikace modelu CAPM na vybrané akciové tituly obchodované ve SPADu na BCPP, a. s.

Transkript

1 Mendlova zemědělská a lesnická univerzita Provozně ekonomická fakulta Aplikace modelu CAPM na vybrané akciové tituly obchodované ve SPADu na BCPP, a. s. Diplomová práce Vedoucí práce: Ing. Roman Ptáček, Ph.D. Bc. Petra Drbalová Brno 009

2 Chci poděkovat zejména vedoucímu diplomové práce Ing. Romanu Ptáčkovi, Ph.D. za vedení a vstřícný přístup, který mi v průběhu psaní poskytoval. Můj dík v neposlední řadě patří také mé rodině, přátelům a známým, kteří mi, aniž by to mnohdy tušili, svojí vstřícností a tolerancí vytvořili skvělé podmínky nejen pro psaní této diplomové práce, ale i po celou dobu mého studia na Mendelově zemědělské a lesnické univerzitě v Brně. Bc. Petra Drbalová

3 Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci vyřešila samostatně s použitím literatury, kterou uvádím v seznamu. V Brně dne 5.dubna

4 Abstrakt: Drbalová, P. Aplikace modelu CAPM na vybrané akciové tituly obchodované ve SPADu na BCPP, a. s.. Diplomová práce. Brno, 009 Práce se zabývá výpočtem optimálního portfolia tvořeného akciemi obchodovanými ve SPADu na BCPP, a.s., které přinese investorovi nejvyšší rizikově vážený výnos. Metoda CAPM patří do moderní teorie prtfolia a navazuje na poznatky modelu H. Markowitze. Práce systematicky popisuje metodologii, jejiž závěrem je výpočet charakteristik vybraného portfolia a porovnání se skutečnými hodnotami za dané období. Abstract: Drbalová, P. Use of method CAPM on choosen stock trade in SPAD on BCPP, a.s.. Graduation theses. Brno, 009 A graduation theses is engaged in compute optimal portfolio created by stock trade in SPAD on BCPP, a.s., which afford the highest risk-weighted return to investor. Method CAPM belongs to modern portfolio theory and comming out of H. Markowitz theory. Graduate thesis systematically describe procedure, whose conclusion is compute charakteristic choosen portfolio and compare with the real rate during the holding date. 4

5 Obsah ÚVOD...6 CÍL PRÁCE...7 METODIKA...8 MODERÍ TEORIE PORTFOLIA Markowitzův model Parametry aktiva a portfolia Množina investičních příležitostí (opportunity set) Krátký prodej (sell short) Bezrizikové aktivum Tvar množiny investičních příležitostí pro dvousložková portfolia Eficientní množina Hledání množiny efektivních portfolií ástin řešení optimalizačních úloh Shrnutí Markowitzova modelu a diverzifikace...5.capital Asset Pricing Model Tvar množiny investičních příležitostí pro vícesložková portfolia Separační teorém...9. Odvození rovnice CML Parametry tržního portfolia Odvození přímky trhu cenných papírů (security market line, SML) Systematické a nesystematické riziko portfolia Beta cenného papíru β Charakteristická přímka Lineární regrese a metoda nejmenších čtverců Alfa koeficient cenného papíru Zeslabování výchozích předpokladů Shrnutí modelu CAPM Jednoindexní model CAPM Charakteristika individuálního aktiva Charakteristika portfolia Určení optimálního portfolia Aplikace modelu CAPM na vybrané akciové tituly obchodované ve SPADu na BCPP, a. s Burza cenných papírů Praha, a.s Typy obchodů Burzovní index PX Výběr dat Předpoklady pro nalezení optimálního portfolia Výpočet koeficientu beta a alfa Výpočet výnosností akcií a trhu Rozptyl náhodných chyb ηi a burzovního indexu σm Výpočet vah vybraných akcií v portfoliu Výpočet výnosu a rizika portfolia Ověření hypotézy...58 VÝSLEDKY A DISKUZE...60 ZÁVĚR...64 SEZAM POUŽITÉ LITERATURY...66 OSTATÍ SEZAMY...68 PŘÍLOHA

6 ÚVOD Možnosti investování jsou v dnešní době téměř neomezené. Potenciální investor může vybírat z široké palety investičních produktů, záleží pouze na jeho postoji k riziku a investičnímu horizontu, tedy po jaké době investor očekává výnos. Právě výnosnost je jedním z klíčových kritérií ovlivňující rozhodování investora. Každý investiční produkt má tři základní vlastnosti výnos, riziko a likviditu. Výnos je to, co aktivum vydělá. Výnosem může být rozdíl mezi prodejní a kupní cenou aktiva, ale také pravidelný důchod z aktiva (např. úrok, dividenda, kupónová platba, ale i nájemné či půdní renta). Riziko je nebezpečí, že skutečný výnos, který dané aktivum přinese, se bude odlišovat od výnosu, který od daného aktiva očekáváme. A likvidita je schopnost daného aktiva se rychle a snízkými náklady přeměnit v peníze. Čím je aktivum likvidnější, tím rychleji a levněji může být přeměněno zpět v peníze. Mezi výnosem, rizikem a likviditou existují vazby. Čím je například aktivum potenciálně výnosnější, tím je také rizikovější. Čím je aktivum likvidnější, tím je méně rizikové a tudíž i méně výnosné. Investor musí vědět, co od svého aktiva očekává, a podle toho najít svůj optimální poměr mezi těmito třemi vlastnostmi. Také zaleží v jaké pozici se trh s vybraným investičním aktivem nachází, zda má býčí trend (roztoucí) nebo medvědí trend (klesající). Pro investora je daleko složitější zvolit optimální portfolio na trhu s medvědím trendem. Proto je diplomová práce zaměřena na nalezení optimálního poměru právě na trhu s medvědím trendem pomocí modelu oceňování kapitálových aktiv (CAPM Capital Assets Pricing Model). Model CAPM navazuje na teorii portfolia H. Markowitze a snaží se o nalezení formule pro oceňování rizikových aktiv. Současně jej rozvinuli W. F. Sharpe [1964], J. Lintner [1965] a někdy opomíjený J. L. Treynor, na nějž dále navázal J. Mossin. V roce 1990 obdržel William F. Sharpe za model oceňování kapitálových aktiv obelovu cenu za ekonomii (společně s H. M. Markowitzem a M. H. Millerem), neboť tímto modelem významně přispěl k pochopení fungování finančních trhů. Model CAPM se stal jedním ze základních pilířů finanční ekonomie a i po čtyřicetipěti letech od svého vzniku, je stále považován za důležitou součást ekonomie svou elegancí a přiměřenou jednoduchostí. 6

7 CÍL PRÁCE Jak již bylo zmíněno v úvodu diplomová práce se zabývá nalezením optimálního porftolia na trhu s medvědím trendem pomocí modelu CAPM. Trhem s medvědím trendem byl zvolen systém pro podporu trhu akcií a dluhopisů (SPAD) na BCPP, a.s.. Diplomová práce se tedy věnuje vybraným titulům akcií obchodovaných ve SPADu na BCPP,a.s., které jsou korelovány s burzovním indexem PX, proto zvolím modifikovanou podobu modelu CAPM nazývanou jednoindexní model CAPM. Jednoindexní model CAPM slouží k oceňování rizikových aktiv, jenž vychází z předpokladu, že existuje jediný společný faktor vysvětlující fundamentální cenový pohyb aktiv, konkrétně v mém případě již zmíněný index PX, přičemž všechny ostatní cenové vlivy lze podřadit pod působení nahodilých výkyvů. Cílem práce je aplikace jednoindexního modelu CAPM na vybrané akciové tituly obchodované ve SPADu na BCPP, a.s. a zvolit tzv. optimální portfolio, které přinese investorovi nejvyšší rizikově vážený výnos. Přínosem diplomové práce je zjištění, zda jednoindexní model CAPM lze aplikovat na vybrané akcie, která se nalézají na trhu s medvědím trendem. Portfolio bude drženo po dobu šesti měsíců od do a bude do něj investováno Kč. Zároveň ověřit hypotézu: Zda optimální portfolio sestavené z vybraných akcií na trhu s medvědím trendem bude mít riziko portfolia menší, než individuální riziko jakékoliv akcie v portfoliu. 7

8 METODIKA Metodické zpracování diplomové práce se skládá z následujících kroků: Definování cíle diplomové práce Studium literatury Výběr dat Sběr dat nutných k výpočtům Výpočet zastoupení vybraných titulů v optimálním portfoliu Výpočet charakteristik optimálního portfolia Vyhodnocení charakteristik získaných metodou CAPM se skutečností Práce jako taková se skládá ze dvou částí. První část je teoretická a obsahuje seznámení s řešenou problematikou. Tedy popis moderní teorie portfolia, do které patří hlavně Markowitz, na kterého později navázal Sharpe s metodou CAPM. áplní první části je také seznámení se statickými metodami nutnými k získání optimálního portfolia, zejména výpočty charakteristik úrovně (průměr, střední hodnota) a variability (rozptyl, směrodatná odchylka, korelace, kovariance). Druhá část je věnována vlastní práci, tedy samotným výpočtům, které vedou k získání optimálního portfolia pomocí metody CAPM. Pro řešení byl použit program Excel a jeho funkce. První kapitola se věnuje H. Markowitzovu modelu z 50.let 0. století, protože je považovaný za základní kámen moderní teorie portfolia. Model obsahuje nový pohled na výběr optimálního portfolia na kapitálovém trhu. Markowitz v modelu požaduje maximální výnos pro investora a jako první ve své teorii zahrnuje riziko změny výnosu portfolia. Při tom tvrdí, že toto riziko jde zmenšit pomocí diverzifikace, tedy vytvořením portfolia z aktiv z nejrůznějších nezávislých oborů. Druhá kapitola navazuje na Markowitzovu teorii portfolia modelem oceňování kapitálových aktiv CAPM ze 60. let 0. století, který ho rozvíjí o množinu portfolií s bezrizikovým aktivem. Za rozvojem stojí hlavně W.F Sharpe, J.Linter, J.L. Treynor a J. Mossin. Původní model byl rozšířen o již zmíněnou efektivní množinu portfolií s bezrizikovým aktivem, ze které Sharpe odvodil rovnováhu na kapitálovém trhu ve tvaru přímky CML (Capital Market Line). Sharpe se ve svém modelu věnuje rozboru rovnováhy na kapitálovém trhu aktiv. Model CAPM je jedním ze základních 8

9 METODIKA pilířů finanční ekonomie. Třetí kapitola popisuje princip jednoindexního modelu CAPM, který vychází ze Sharpeho základního modelu CAPM. Jednoindexní model (single-index model) je ekonometrický přístup k oceňování rizikových aktiv, jenž vychází z předpokladu, že existuje jediný společný faktor vysvětlující fundamentální cenový pohyb aktiv, přičemž všechny ostatní cenové vlivy lze podřadit pod působení nahodilých výkyvů. eboli výnos rizikových aktiv je svázán s velikosti korelace výnosů aktiv s pohybem tržního indexu a součastně podléhá působení náhodných vlivů. Čtvrtá kapitola obsahuje praktickou část, aplikaci modelu CAPM na vybrané akciové tituly obchodované ve SPADu na BCPP, a. s.. Tituly obchodované ve SPADu na BCPP, a.s. jsou vybrány podle dvou kritérií. A to podle podílu na indexu PX a délky obchodování minimálně 5 let. Cílem kapitoly je sestavení optimálního portfolia, které přinese investorovi nejvyšší rizikově vážený výnos. Práce končí shrnutím výsledků a jejich diskuzí. Diskuze je zaměřena na finanční krizi, příčinu vzniku a dopady na ceny vybraných akcií v portfoliu, na kritiku modelu CAPM a nejznámější testy, které provedli v 70. letech zejména Jensen a Scholes, Black, Fama a MacBeth a další. A také jaké modely navázaly na jendoindexní model CAPM. Závěr obsahuje shrnutí celé práce, komentáře k výsledkům a stanovisko, jestli je aplikace jednoindexní modelu CAPM vhodná na trh s medvědím trendem. Zde je vhodné uvést alespoň základní náhled do matematické statistiky, která je obsažena ve všech již zmíněných kapitolách. áhodná veličina R [17] áhodná veličina je veličina, jejíž hodnota je určena výsledkem náhodných pokusů. áhodné pokusy jsou takové, které mají proměnlivé hodnoty v průběhu opakování. To znamená, že není předem možné jednoznačně určit hodnotu náhodné veličiny. Většina náhodných pokusů má výsledek vyjádřený číslem. áhodné veličiny mohou být buď diskrétní nebo spojité. Diskrétní náhodná veličina nabývá pouze izolovaných hodnot, spojitá náhodná veličina nabývá hodnoty z určitého intervalu. K popsání náhodné veličiny slouží její charakteristiky. V rámci diplomové práce jsou charakteristiky (střední hodnota, rozptyl a kovariance) dostačující. Střední hodnota =E R i [19] Je nejběžnější a nejzákladnější charakteristikou náhodné veličiny. Udává polohy hodnot náhodné veličiny R. Známe-li E R i víme, kde jsou hodnoty náhodné veličiny koncentrovány. V případě diskrétní náhodné veličiny bude její střední hodnota 9

10 METODIKA (0.1) E R i = i =1 R i p i kde; p i je pravděpodobnost chování náhodné veličiny. V případě spojité náhodné veličiny se střední hodnota odvozuje jako: (0.) E R i = Rozptyl =var R i [0] R f R d R Rozptyl je charakteristikou variability (proměnlivosti) náhodné veličiny. (0.3) var R=E R E R Je zjevné, že existence střední hodnoty je nutnou podmínkou pro existenci rozptylu. Udává jak jsou hodnoty náhodné veličiny více nebo méně koncentrovány kolem střední hodnoty, udává velikost tohoto kolísání. Důležitou vlastností rozptylu, která se využívá při jeho výpočtu je, že (0.4) var R=E R E R Druhá odmocnina z rozptylu var R se nazývá směrodatná odchylka náhodné veličiny. Kovariance j =cov R i R j [1] Vyjadřuje míru vzájemné vazby mezi dvěma náhodnými veličinami a definuje se takto: (0.5) cov R i R j =E R i E R i R j E R j Pro libovolné náhodné veličiny také platí var R i R j =var R i var R j cov R i R j a kovarianci je také založena další významná charakteristika a to koeficient korelace. (0.6) R i, R j = cov R i, R j R i R j Kde R i e směrodatná odchylka náhodné veličiny R i a j R j e směrodatná odchylka náhodné veličiny. R j Koeficient korelace se používá pro určení míry lineární závislosti mezi veličinami R i 10

11 METODIKA a R j. Koeficient korelace je bezrozměrné číslo a nabývá hodnot z intervalu 1, 1. V případě, že cov R i R j =1 jedná se o přímou úměrnost a mezi veličinami, lineární funkční vztah. Pokud je cov R i R j = 1 pak se jedná o nepřímou úměrnost. A pokud cov R i R j =0 veličiny jsou nezávislé. Jedním z nejvýznamnějších krirérií, které ovlivňuje rozhodování investora je očekávaná míra výnosu. Je třeba rozlišovat mezi očekávaným výnosem a očekávanou mírou výnosu. Kde očekávaný výnos udává absolutní částku, kdežto očekávaná míra výnosu vyjadřuje procentní změnu hodnoty aktiva. Procentní vyjádření očekávaného výnosu získáme pomocí historické metody. Historická metoda Historická metoda pro určení očekávané míry výnosu vychází z historických kurzů cenných papírů. Kurz, neboli tržní cena, odráží skutečnou hodnotu akcie na burze cenných papírů. Tržní cena se utváří na základě nabídky a poptávky po akciích dané akciové společnosti a nezůstává stabilní. Může se výrazně změnit v průběhu jednoho obchodního dne, nebo v průběhu několika hodin či minut. Kurz odráží řadu faktorů, které působí na hodnotu akcie, tedy i na očekávaný výnos. a růst hodnoty akcie působí zejména tyto faktory: - Roste obrat firmy - Roste zisk firmy - Firma provede úspěšnou restrukturalizaci - Vzroste základní jmění společnosti - Roste dividenda na akcii - Vyjde pozitivní zpráva o firmě - Roste produkce odvětví - Roste zaměstnanost - Roste míra investic v ekonomice - Panuje stabilní politické prostředí - Klesnou úrokové sazby - Je na trhu převis poptávky - Jsou akcie přeprodávány [1] Historická metoda vychází z předpokladu, že očekávaný výnos z portfolia za dobu jeho trvání je tvořen součtem krátkodobých výnosů akcií za tuto dobu trvání. Pokud budeme uvažovat pouze kapitálový výnos, potom výnosnost i-tého aktiva můžeme napsat ve formě: (0.7) R itk = P itk P it k P it k Kde: R itk je pozorovaná míra výnosu i-té akcie, P it je tržní cena na začátku následujícího období t+1, P it-k je tržní cena i-té akcie na počátku období t, t je čas, t = 1,, 3, T, T je počet období. 11

12 METODIKA V praxi je nejběžneji vyskytuje k =1, to vyjadřuje jednodenní změnu tržní ceny cenného papíru. Dále uvedu výpočet výnosu i-tého aktiva za celou dobu existence portfolia T: T k (0.8) = 1 T k t=1 R itk 1

13 MODERÍ TEORIE PORTFOLIA 1.MARKOWITZŮV MODEL Harry Markowitz [7] rozvinul na počátku 50.let 0.století teorii portfolia, která obsahuje nový pohled na výběr optimálního portfolia na kapitálovém trhu. Markowitz v modelu požaduje maximální výnos pro investora a jako první ve své teorii zahrnuje riziko změny výnosu portfolia. Při tom tvrdí, že toto riziko jde zmenšit pomocí diverzifikace, tedy vytvořením portfolia z aktiv z nejrůznějších nezávislých oborů za daných předpokladů: Aktiva Uvažovaná aktiva jsou libovolně dělitelná. Investor Investor preferuje vyšší výnos před nižším výnosem, tedy je nenasycený. Investor preferuje nižší riziko před vyšším rizikem, je rizikově aversní. Investor je schopen porovnat všechna portfolia na trhu podle očekávaného výnosu a rizika změny výnosu a rozhodnout se, které portfolio je pro něj nejlepší. portfolio Vzniká v jednom časovém okamžiku, trvá předem stanovenou pevnou dobu a po jejím ukončení se v jediném časovém okamžiku realizuje. Podle Markowitze si investor vybírá své optimální portfolio v následujících fázích: Analýza cenných papírů, Analýza portfolia, Výběr optimálního portfolia. Analýza cenných papírů je zcela závislá na subjektivním odhadu investora, který odhaduje jejich výnosovou míru a riziko, podle nichž si pak cenné papíry vybírá do svého portfolia. Do té doby se vesměs předpokládalo, že investor vybírá portfolio tak, aby maximalizoval jeho výnos. Markowitz upozornil, že je v tomto případě třeba počítat i s rizikem změny výnosu portfolia. Analyzováním portfolia se investor rozhoduje o poměru, v němž budou vybrané cenné papíry v jeho portfoliu zastoupeny. Tato fáze nezávisí na očekávání ani preferencích investora, jedná se 13

14 Markowitzův model o čistě technickou a početní záležitost. V poslední fázi si investor vybere optimální portfolio a tento výběr je již plně závislý na jeho preferencích. Přičemž stále platí, že se investor snaží maximalizovat zisk a minimalizovat riziko. 1.1 Parametry aktiva a portfolia Základy teorie portfolia využívají poznatků matematické statistiky, které popisují základní důležité charakteristiky aktiv, jako je výnos cenného papíru a riziko, ale i výnos a riziko celého portfolia. Parametry rizikového aktiva R i... diskrétní náhodná veličina popisující výnos z i-tého aktiva za určitou dobu 1, má konečný rozptyl a konečnou střední hodnotu. =E R i... je střední hodnota náhodné veličiny i-tého aktiva, nazývá se očekávaný výnos aktiva za určitou dobu 1. ěkdy se střední hodnota označuje také jako x.. Udává číselnou charakteristiku polohy hodnot náhodné veličiny. i... riziko aktiva měřené rozptylem náhodného výnosu okolo očekávané hodnoty. Rozptyl je charakteristikou variability (proměnlivosti) náhodné veličiny. Udává koncentraci náhodné veličiny kolem střední hodnoty. = i... je směrodatná odchylka náhodné veličiny výnos i-tého aktiva, nazývá se riziko změny výnosu i-tého aktiva za určitou dobu 1. Parametry portfolia Portfolio se skládá z aktiv, kde, a výnos z portfolia vnímáme tedy jako náhodný vektor. Jeho jednotlivé složky jsou náhodné veličiny popisující výnos z aktiv, které tvoří portfolio.... počet aktiv v portfoliu P Wi... váha, kterou je i-té aktivum zastoupeno v portfoliu. Platí, že W i =1 R p = W i R i Je výnos portfolia. Výnos portfolia je náhodná veličina závislá na velikosti složkových aktiv. (1.1.1) p = E R p = W i Je očekávaný výnos portfolia. p Je riziko portfolia měřené rozptylem výnosů. 1 "Určitá doba" je pro naše účely pevně zvolená doba trvání portfolia od jeho vzniku do okamžiku realizace. 14

15 Markowitzův model (1.1.) p =E [ R p p ]=E [ W i R i ] =E [ = W i W j i W i W j j = i =1 j =1 W i i W i W j j i W i W j R i R j ]= (1.1.3) p = p = i =1 nazývá se riziko změny výnosu portfolia za určitou dobu. W i W i W j j... je směrodatná odchylka výnosu portfolia, j =1 j = j... je kovariance výnosů i-tého a j-tého rizikového aktiva. j = j... je korelační koeficient náhodných veličin výnos i-tého aktiva a výnos j-tého aktiva nabívá hodnot z intervalu <-1,1>. 1. Množina investičních příležitostí (opportunity set) Množina investičních příležitostí (opportunity set) je množina všech kombinací očekávaného výnosu a rizika dosažitelná různým váhovým zastoupením složkových aktiv daného portfolia. Předpokládejme, že portfolio P se skládá z aktiv s relativními podíly v portfoliu W 1, W, W 3,, W. Pro které platí: W i =1, dalším omezením je: W i 0, pokud by tato podmínka nebyla splněna, situace by se nazývala krátký prodej (sell short) Krátký prodej (sell short) [18] Krátký prodej je prodej cenných papírů (ale i komodit, měn apod.), které prodejce nevlastní. Aktivum mu nejčastěji půjčí jeho broker. Prodávající očekává pokles ceny, aby prodané aktiva mohl koupit levněji a vrátit. Krátký prodej je spekulativní technika na pokles a prodejce je tedy nazýván medvěd. Prostřednictvím krátkého prodeje jde některá portfolia optimalizovat a tím zvýšit efektivnost alokace zdrojů na finančních trzích. Ovšem v praxi sell short naráží na nemalé obtíže. Ve většině zemí existuje určitá omezení, která krátký prodej povolují jen tehdy, jsou-li splněny jisté podmínky. Příkaz ke krátkému prodeji nesmí být vydán, pokud trh cenných papírů má klesající tendenci. Masové příkazy ke krátkým prodejům by mohly způsobit paniku a zhroucení trhu. Málokdo je schopen vytvořit portfolio s vyšším záporným podílem některého z aktiv a to kvůli transakčním nákladům, které se pojí s půjčováním aktiv a také z důvodu záruk, které si vyžadují subjekty na finančním trhu. 15

16 Markowitzův model 1.. Bezrizikové aktivum V Markowitzově přístupu k investování je rozšíření o bezrizikové aktivum důležitým bodem. Bezrizikové aktivum je takové aktivum, jehož riziko změny výnosu je rovno nule. Skutečný výnos je tedy roven očekávanému výnosu a označuje se R f. Z definice vyplývá, že směrodatná odchylka bezrizikového aktiva je rovna nule. Tedy i kovariance mezi výnosností bezrizikového aktiva a výnosností libovolného rizikového aktiva je nula. Bezrizikové aktivum má jistou výnosnost s pevným příjmem bez možnosti neplnění. Za takové aktivum může investor pokládat státní pokladniční poukázky s dobou splatnosti, která odpovídá době držení portfolia. Pokud je část portfolia tvořena bezrizikovým aktivem nebo například vkladem v bance, jedná se o tzv. bezrizikovou půjčku. aproti tomu bezriziková výpůjčka je, když část portfolia je koupená za vypůjčené bezrizikové aktivum, za které se platí poplatky. apříklad aktiva zakoupená z bezhotovostního úvěru v bance. 1.3 Tvar množiny investičních příležitostí pro dvousložková portfolia [1] Tvar množiny investičních příležitostí je ovlivňován zejména korelací mezi jednotlivými aktivy. Jak je vysvětleno výše, korelace libovolného aktiva s bezrizikovým aktivem je rovna nule. Podrobněji budou rozebrány čtyři různé dvousložkové portfolia a jedno vícesložkové portfolio, která se budou lišit korelací svých složek. echť existuje portfolio, které se skládá z aktiv A 1 a A platí: váhaw 1 váhaw =1 Dále předpokládáme, že R 1 R, 1. Riziko změny výnosu je vždy nezáporné. Portfolio 1: Dokonalá kladná korelace výnosů aktiv ( ρ 1 = 1 ) p =W 1 1 W p = W 1 1 W W 1 W 1 =W 1 1 W 16

17 Markowitzův model Obrázek 1: Přípustná množina dokonalé kladné korelace výnosů aktiv Zdroj: [6] V tomto případě, jak snadno zjistíme z výrazu pro směrodatnou odchylku portfolia, je riziko portfolia lineární funkcí rizik jednotlivých akcií a jejich kombinací riziko portfolia nelze snížit. Tedy efekt diverzifikace se neprojevuje, vyšší očekávaný výnos je doprovázen vyšším rizikem. Minimálního rizika změny výnosu portfolia v tomto případě lze dosáhnout volbou aktiva A 1 = 1 tedy, kdy portfolio bude tvořeno právě tímto jedním aktivem. Pokračování přímky za body A 1, A je dosažitelné krátkým prodejem příslušného aktiva (portfolio S je např. tvořeno vahami W 1 = 30%, W = 130% ). Portfolio : Dokonalá záporná korelace výnosů aktiv ( ρ 1 = 1 ) p =W 1 1 W p = W 1 1 W W 1 W 1 = W 1 1 W = W 1 1 W Obrázek : Přípustná množina dokonale záporně korelovaných výnosů aktiv Zdroj: [6] 17

18 Markowitzův model ejnižší úroveň korelace, jakou mohou dvě akcie dosáhnout je dána ρ 1 = 1, neboli jsou-li dokonale negativně korelované. Pohyb aktiva A 1 je plně kompenzován opačným pohybem druhého aktiva A.V tomto případě v bodě H existuje kombinace vah W 1 a W taková, že riziko portfolia klesne až k nule. Vztah pro výpočet vah je následující: W 1 = 1, W = 1 1 σ H = 0 Portfolio 3: ekorelované výnosy aktiv ( ρ 1 = 0 ) p =W 1 1 W p = W 1 1 W Obrázek 3: Přípustná množina nekorelovaných výnosů aktiv Množina investičních příležitostí má tvar paraboly. Horní větev paraboly můžeme označit jako efektivní část množiny investičních příležitostí, dolní větev paraboly jako neefektivní. Bod H představuje kombinaci rizikových aktiv s minimálním rizikem. Váhové zastoupení v bodě H lze získat řešením rovnice: Zdroj: [6] p W 1 =0, W 1 = 1, W = 1 1 Portfolio 4: Jedno bezrizikové a jedno rizikové aktivum p =W F F W M M p = W M M =W m M 18

19 Markowitzův model Obrázek 4: Přípustná množina jednoho bezrizikového a jednoho rizikového aktiva Zdroj [6] Bod F představuje výlučně bezrizikové aktivum, naopak bod M je tvořen pouze rizikovým aktivem. Z toho vyplývá, že investice do bezrizikového aktiva čili zapůjčení peněz je představováno body ležící na úsečce FM. aopak body ležící za bodem M znázorňují vypůjčení peněz za bezrizikovou sazbu za účelem zakoupení rizikového aktiva (sell short). ásledující obrázek 5 představuje všechny přípustné množiny dvousložkových portfolií pro libovolné korelace aktiv. Přípustné množiny absolutně pozitivně a negativně korelovaných aktiv vytvoří vnější trojúhelník, uvnitř něhož jsou křivky ostatních přípustných množin. V bodě H, dotyk trojúhelníka se svislou osou y, odpovídá bezrizikovému aktivu. Obrázek 5: Přípustné množiny dvousložkových portfolií Zdroj [1] Vlastní grafické zpracování 19

20 Markowitzův model Poslední portfolio vícesložkové: Portfolio 5: Velký počet rizikových aktiv Portfolia jsou tvořena množinou investičních příležitostí, která je sestavitelná všemi možnými váhovými zastoupeními existujících aktiv, přesněji, jako dvojice výnosu a rizika ( µ P, σ P ), kde: p = W i p = j =1 W i W j j Obrázek 6: Přípustná množina velkého početu rizikových aktiv Zdro: [6] Pouze konkávní spojnice bodu H, který představuje portfolio s minimálním rizikem, a bodu A, který představuje aktivum s nejvyšším očekávaným výnosem, je efektivní příležitostí. Všechny ostatní vnitřní a hraniční body zobrazují neefektivní neboli dominovaná portfolia. 1.4 Eficientní množina [1] Investoři, kteří stojí před otázkou, jakým způsobem se rozhodnou alokovat své finanční prostředky mezi nejrůznější dostupná aktiva, se rozhodují na základě tzv. principu dominance. Princip dominance Investor při svém jednání vykazuje nenasycenost a odpor k riziku, jak již bylo uvedeno výše. Proto bude z množiny přípustných portfolií vybírat pouze ta, která splňují princip dominance: Tedy investoři budou preferovat ta aktiva: a)která při stejném očekávaném výnosu mají nejnižší riziko Viz. ásledující kapitola 0

21 Markowitzův model b)která při stejném riziku přinášejí nejvyšší očekávaný výnos Efektivní množina investičních příležitostí (effective opportunity set) tedy je množina všech nedominovaných portfolií, tj. takových portfolií, k nimž neexistuje portfolio s vyšším výnosem při stejném riziku resp. portfolio s nižším rizikem při stejném výnosu. eexistuje pouze jediné efektivní portfolio, je jich celá množina, kterou nazýváme eficientní množinou. Eficientní množina E M má v rovině očekávaný výnos-riziko obvykle tvar, znázornění na obrázku 7. Obrázek 7: Eficientní množina Zdroj: [1] Vlastní grafické zpracování Eficientní množinou je plná křivka mezi body E a F. Jiný tvar eficientní množiny ovšem vznikne, pokud je možno do portfolia investičních příležitostí zahrnout výpůjčky a půjčky bezrizikového aktiva. Takové aktivum je vyobrazeno bodem R a z definice efektivní množiny vyplývá, že může být právě jedno a to takové, které má nejvyšší výnos. Tedy například státní pokladniční poukázka, držená do maturity. Jaké portfolio si investor vybere? Záleží na jeho postoji k riziku. Vybere si takové portfolio z efektvní množiny, které mu přinese nejvyšší užitek, tedy maximální zisk s minimálním rizikem změny výnosu. Tvar indiferenčních křivek je různý, záleží na investorově odporu k riziku. Indifereční křivka je množina bodů kombinací očekávaného výnosu a rizika změny výnosu portfolia, které jsou vnímány investorem jako stejně dobré. Vlastnosti indiferečních křivek jsou dány šesti mikroekonomickými axiomy. Axiom je předpoklad chování spotřebitele, v našem případě investora. Z axiomů vyplývá, že indiferenční křivky se neprotínají, prochází každým bodem, jsou 1

22 spojité, mají konkávní tvar. Markowitzův model Obrázek 8: Malá averze vůči riziku Zdroj: Vlastní grafické zpracování Obrázek 9: Velká averze vůči riziku Zdroj: Vlastní grafické zpracování Investor s averzí vůči riziku je takový investor, který mezi rizikovým a bezrizikovým aktivem, z nichž obě generují stejnou očekávanou hodnotu, preferuje bezrizikové aktivum před rizikovým.

23 Markowitzův model Obrázek 10: eutralita k riziku Zdroj: Vlastní grafické zpracování Investor neutrální vůči riziku je takový investor, který je indiferentní mezi rizikovým a bezrizikovým aktivem, pokud obě aktiva generují stejnou očekávanou hodnotu. Obrázek 11: Investor vyhledávající riziko Zdroj: Vlastní grafické zpracování Investor vyhledávající riziko je takový investor, který mezi rizikovým a bezrizikovým aktivem, z nichž obě generují stejnou očekávanou hodnotu, preferuje rizikové aktivum. Pokud zná investor svůj postoj k riziku a zároveň eficientní množinu portfolií, vybere si pak to portfolio, které leží na nejvyšší indiferenční křivce. V našem případě portfolio P, znázorněné na obrázku 1. 3

24 Markowitzův model Obrázek 1: Optimální portfolio P Zdroj: [6] Vlastní grafické zpracování 1.5 Hledání množiny efektivních portfolií Při hledání efektivní množiny vycházíme ze slovní definice efektivní množiny, která má dvě části. Získáme z nich tyto dvě podmínky: 1. efektivní portfolio minimalizuje riziko při stejné nebo vyšší úrovni očekávaného výnosu σ P min za podmínek R p b, b R, X i =1, kde b je stanovená výše požadovaného výnosu. efektivní portfolio maximalizuje očekávaný výnos při stejném nebo nižším riziku změny výnosu R p max za podmínek p a,a 0, X i =1, kde a je stanovená výše požadovaného rizika změny výnosu portfolia. 4

25 Markowitzův model Obrázek 13: Maximalizace očekávaného výnosu Obrázek 14: Minimalizace rizika změny výnosu Zdroj: [1] Vlastní grafické zpracování Zdroj: [1] Vlastní grafické zpracování Efektivní množinu lze v zásadě najít jejich průnikem. Existuje však pár speciálních tvarů přípustné množiny, ve kterých to nestačí. V tomto případě, je třeba z něj vyloučit všechna portfolia, které mají riziko změny výnosu větší, než riziko portfolia s nejvyšším očekávaným výnosem, jako je tomu například v portfoliu, obrázek ástin řešení optimalizačních úloh [6] V prvním kroku je nutné zvolit účelovou funkci, které v dalších krocích budeme hledat její extrém. Buď lze maximalizovat očekávaný výnos: R p = W i, nebo minimalizovat riziko změny výnosu portfolia: p = W i W j j. Funkce by nebyla řešitelná bez stanovení omezujících j=1 podmínek. Omezující podmínky vyplývají z požadavků, které investor klade na portfolio. Omezující podmínky: k dispozici. podstoupit. W i =1, tato podmínka zaručuje investorovi, že využije právě částku, kterou má W i 0,,,...,, podmínka zakazující sell short. viz.kapitola W i W j j =a, podmínkou si investor stanoví maximální riziko a, které je ochoten j=1 5

26 Markowitzův model W i =b, podmínka stanovuje požadovaný výnos b, kterého portfolio musí dosáhnout. Výsledkem řešení bude portfolio s požadovanými vlastnostmi. Metody řešení soustavy rovnic: Jordanova (úplná eliminační) metoda, je metodou lineárního programování. Cílem Jordanovy metody je převést matici soustavy na matici, kde na místě původní matice soustavy bude jednotková matice a na místě pravých stran se pak vyskytne řešení soustavy. V tomto případě má soustava pouze jedno řešení. Pokud soustavu není možné převést na již zmíněný jednotkový tvar, pak soustava nemá řešení nebo jich má nekonečně mnoho. Wolfeho metoda, je metodou kvadratického programování. Spočívá v převedení konvexní kvadratické optimalizační úlohy, pomocí obecně použitelného Wolfeho algoritmu, na tvar lineární, který je řešen simplexovým algoritmem.[13] 1.6 Shrnutí Markowitzova modelu a diverzifikace Markowitzův model je modelem hledání optimálního portfolia pro investora s danými preferencemi, je také důkazem významnosti diverzifikace. Markowitzova diverzifikace, neboli výběr nekorelovaných aktiv, dokáže snížit riziko pod úroveň systematického rizika 3, pokud se podaří manažerovi portfolia nalézt aktiva, které mají dostatečně nízké koeficienty korelace. Toho může být dosaženo pokud se portfolio skládá z akcií investovaných do firem z nejrůznějších odvětví, z různých zemí po celém světě. Faktem ale zůstává, že negativně korelovaná aktiva se na kapitálových trzích téměř nevyskytují. Valná většina akcií spolu koreluje kladně a proto hledání takovýchto nekorelujících nebo negativně korelujících akcií je velmi pracnou a zdlouhavou činností, vyžadující velké množství statistických dat a výpočetní techniku, schopnou vyhodnocovat desítky investičních příležitostí současně a nacházet efektivní portfolia. Analýza založená na Markowitzově diverzifikaci, je především matematickým problémem, jenž je řešen metodami kvadratického programování. 3 Viz kapitola.5 Systematické a nesystematické riziko portfolia. 6

27 .CAPITAL ASSET PRICIG MODEL Základní model oceňování kapitálových aktiv (CAPM Capital Assets Pricing Model) navazuje na teorii portfolia H. Markowitze. Rozvinuli jej W. F. Sharpe [1964], J. Lintner [1965] a někdy opomíjený J. L. Treynor, na něž dále navázal J. Mossin. Sharpe [8] svojí teorií rozšířil dosavadní Markowitzovu efektivní množinu portfolií s bezrizikovým aktivem, ze které odvodil rovnováhu na kapitálovém trhu ve tvaru přímky CML (Capital Market Line), která je v souladu s tehdejšími klasickými teoriemi. Sharpe se ve svém modelu věnuje rozboru rovnováhy na kapitálovém trhu aktiv. Model CAPM je jedním ze základních pilířů finanční ekonomie. ásledně W. F. Sharpe obdržel v roce 1990 obelovu cenu za ekonomii, neboť modelem CAPM významně přispěl k pochopení fungování finančních trhů. I model oceňování kapitálových aktiv má několik předpokladů, z nichž některé se shodují s předpoklady Markowitzova modelu z předešle kapitoly: Aktiva Uvažovaná aktiva jsou libovolně dělitelná, mají známý očekávaný výnos i riziko. Existuje bezrizikové aktivum. Všechna aktiva jsou obchodovatelná na trhu. Investoři Investor preferuje vyšší výnos před nižším výnosem, tedy je nenasycený. Investoři preferují nižší riziko před vyšším rizikem, jsou rizikově aversní. Ke snížení rizika využívají Markowitzovu diverzifikaci. Investor ohodnocuje všechna portfolia na trhu podle očekávaného výnosu, rizika změny výnosu a rozhoduje se, které portfolio je pro něj nejlepší. Investor může realizovat půjčku i výpůjčku peněz za bezrizikovou úrokovou sazbu. Investorům jsou dostupné všechny relevantní informace. Investoři mají stejná očekávání ohledně budoucnosti. 7

28 Capital Asset Pricing Model Portfolio Portfolio vzniká v jednom časovém okamžiku, trvá předem stanovenou pevnou dobu a po jejím ukončení se v jediném časovém okamžiku realizuje. Všechna portfolia jsou nekonečně dělitelná. Trh a trhu nejsou žádné transakční náklady ani daně. Kapitálové trhy jsou efektivní. Je evidentní, že předpoklady splňuje pouze modelový trh. Co je a není reálné z předpokladů? Viz. kapitola.9. ROVOVÁHA V CAPM.1 Tvar množiny investičních příležitostí pro vícesložková portfolia [6] V kapitole 1.4 byly popsány tvary investičních portfolií pro dvousložková portfolia a jedno vícesložkové portfolio tvořené pouze rizikovými aktivy. yní si vyobrazíme, jak vypadá: portfolio 6: jedno bezrizikové aktivum 4 a více rizikových aktiv. Obrázek 15: Efektivní (tangenciální) portfolio Zdroj: [5] Vlastní grafické zpracování Efektivní množina má tvar přímky (je lineární), která prochází bodem bezrizikového aktiva F a bodem dotyku M této přímky s množinou investičních příležitostí. Jakékoli jiné rizikové portfolio jako například A je dominováno nějakým bodem přímky efektivní množiny. Tato lineární efektivní množina se nazývá přímka kapitálového trhu (capital market line, CML). Všechna portfolia na této přímce, která se nacházejí mezi body M a F, jsou složena z bezrizikového aktiva a portfolia M. Pro všechny body na této přímce, které se nacházejí za bodem M, přitom platí, že 4 Množina investičních příležitostí může obsahovat pouze jedno bezrizikové aktivum kvůli podmínkám dominance. 8

29 Capital Asset Pricing Model váha bezrizikového aktiva F je záporná. Tento výsledek je možno si vyložit tak, že investor si půjčuje za bezrizikovou úrokovou míru F a za takto získané prostředky nakoupí více aktiva M. Z toho plyne, že přímka CML je tvořena investicí do tržního portfolia a bezrizikového zapůjčení. Tržní portfolio se značí M (Market) a je tvořeno investicemi do všech 5 rizikových cenných papírů na trhu v takovém poměru, že proporce investovaná do jednoho cenného papíru odpovídá jeho relativní tržní hodnotě, která je rovna agregované tržní hodnotě cenného papíru dělené sumou agregovaných tržních hodnot všech cenných papírů. Tržní portfolio značí rovnováhu na kapitálovém trhu, která se projeví: Každý investor chce vlastnit určité množství každého rizikového aktiva. Bezriziková sazba má takovou úroveň, že se rovná množství vypůjčených peněz poptávanému množství peněz. Tržní ceny aktiv jsou na takové úrovni, kdy se rovná nabízené a poptávané množství těchto aktiv. Proč tržní portfolio musí obsahovat nenulové podíly všech aktiv na kapitálovém trhu? Protože kdyby portfolio M, které by nakupovali všichni investoři, obsahovalo nulový podíl libovolného rizikového aktiva. To by znamenalo, že žádný z investorů by toto aktivum nekupoval. Z toho plyne pokles poptávky po aktivu, tedy klesá i jeho cena a pokud klesá jeho cena dochází k nárůstu očekávané výnosnosti. To bude trvat dokud aktivu nebude přidělena proporce, pak dojde k vyrovnání..1.1 Separační teorém Separační teorém vychází z předpokladů modelu CAPM, kde všichni investoři mají stejné informace, stejné preference a stejné očekávání ohledně budoucnosti, čili výnosu rizikových aktiv a rizika změny výnosů aktiv. A protože jsou všichni investoři na stejném trhu, existuje pro ně stejná lineární efektivní množina, která přináší pro všechny stejnou výši rizika. Ze separačního teorému plyne: Optimální kombinace rizikových aktiv může být stanovena bez znalosti investorova postoje k riziku a výnosnosti. 5 a skladbě tržního portfolia musí mít každý cenný papír nenulový podíl, viz.následující kapitola

30 Capital Asset Pricing Model. Odvození rovnice CML Obrázek 16: Lineární efektivní množina, CML Z obrázku 16 na základě podobnosti trojúhelníků odvodíme rovnici CML. Mějme libovolné portfolio P z efektivní množiny s očekávaným výnosem μ p a rizikem σ p. Stejně tak μ M a σ M pro tržní portfolio. p F = M F p M Po úpravě dostáváme rovnici CML ve tvaru: p = F M F p M, kde μ F je očekávaný (budoucí) výnos bezrizikového aktiva. Zdroj: [6] Vlastní grafické zpracování Jiná možnost zápisu přímky CML: p = F M F M p, p =W M M Výnos efektivního portfolia = bezrizikový výnos + tržní cena rizika množství rizika p F = M F p M Riziková prémie (požadované převýšení bezrizikového výnosu) = jednotková riziková prémie množství rizika Součastná cena portfolia = 1 1 = 1 p 1 požadovaná diskontní sazba CML reprezentuje rovnovážný vztah mezi očekávanou výnosovou mírou a směrodatnou odchylkou efektivních portfolií. 30

31 Capital Asset Pricing Model..1 Parametry tržního portfolia Při výpočtu směrodatné odchylky budeme vycházet z rovnice (1.1.3): M = W im W jm j, kde W im a W jm označují váhy aktiv i a j v tržním portfoliu, j=1 σ ij označuje kovarianci výnosnosti mezi aktivy i a j. Podíl každého z aktiv na směrodatné odchylce tržního portfolia závisí na jeho směrodatné odchylce a je vidět z rovnice: M = W 1M 1 M W M M... W M M, z rovnice vyplývá, že aktiva s většími hodnotami kovariance výnosnosti mezi tržními aktivy budou muset poskytovat úměrně vyšší očekávanou výnosnost, aby je investoři poptávali. Při výpočtu očekávaného výnosu budeme vycházet z rovnice (1.1.1) M =E R M = W i M M, kde W im jsou váhy aktiv v tržním portfoliu a μ im je očekávaná výnosnost aktiv v tržním portfoliu..3 Odvození přímky trhu cenných papírů (security market line, SML) [6] a základě znalostí přímky CML je možné odvodit přímku SML. Pro její odvození je nutné zvolit libovolné rizikové aktivum A, které je součásti tržního portfolia. Toto aktivum bude ležet pod přímkou CML, protože držení samostatného rizikového aktiva není efektivním portfoliem, není diferenciované. V dalším kroku je nutné zvolit libovolné portfolio P, které je tvořeno proporcí W A aktiva A a proporcí (1-W A ) tržního portfolia M. Zároveň portfolio P bude ležet na křivce mezi A a M, která je tečnou k přímce CML v bodě M. Jelikož je CML efektivní množina, není možné, aby ji křivka AP protínala (nebyla tečnou), v takém případě by existovalo portfolio, které by dominovalo CML. Pro lepší názornost je výše popsaný předpoklad znázorněn na obrázku

32 Capital Asset Pricing Model Obrázek 17: Model pro odvození SML Zdroj:[6] Vlastní grafické zpracování Při odvozování přímky SML budu vycházet z již známých vzorců pro riziko (1.1.3) a očekávaný výnos (1.1.1) (pouze změním indexy). p =W A A 1 W A M p = W A A 1 W A M W A 1/W A AM A M Tyto výše zmíněné vzorce jsou použity pro nalezení směrnice tečny ke křivce AP v bodě M, kde se W A = 0, derivací funkce v bodě M. p = W A i 1 W A M A M AM 4W A A M AM W, A W A A 1 W A M W A 1 W A AM A M po dosazení AM = A M AM a W A = 0 dostáváme tvar: p = M AM = AM M W A M M p W A = A M Směrnice tečny ke křivce v bodě M: x y = p p = M A M M AM Přímka CML má předpis: p = F M F p M Směrnice křivky AP v bodě M a směrnice přímky CML se musí rovnat: M A M AM M = M F M 3

33 Capital Asset Pricing Model Upravíme A M = M F AM M F M M = F M M F AM M Pokud (.3.1) A = F M F AM, kde M μ A...očekávaný výnos rizikového aktiva A μ F...bezriziková výnosová míra σ AM...kovariance výnosů aktiva A a tržního portfolia (.3.) AM = AM, kde M σ AM...kovariance výnosů aktiva A a tržního portfolia σ M...rozptyl tržního portfolia β AM... beta koeficient 6 Dostáváme rovnici SML Přeindexujeme rovnici do obecné podoby A = F M F AM (.3.3) = F M F M požadovaný výnos = bezrizikový výnos + cena rizika (riziková prémie) množství rizika yní se ještě vraťme k rovnici (.3.1). Výraz v závorce M F udává směrnici přímky trhu M cenných papírů a vyjadřuje tak tržní cenu systematického rizika 7. Vzath říká, že v rovnováze je očekávaný výnos každého individuálního cenného papíru lineární funkcí kovariance jeho očekávaných výnosů s výnosy tržního portfolia. Jinak řečeno, pro μ A.> μ F,což je obvyklý případ, bude výnos aktiva lineárně rostoucí funkcí jeho systematického rizika. 6 Beta koeficient je vysvětlen v kapitole s názvem: Beta cenného papíru. 7 Systematické riziko je vysvětleno v kapitole s názvem: Systematické a nesystematické riziko portfolia. 33

34 Capital Asset Pricing Model Obrázek 18: Přímka trhu cenných papírů, SML Zdroj: [6] Vlastní grafické zpracování Přímku trhu cenných papírů SML lze zapsat i prostřednictvím beta koeficientu, jak je uvedeno ve vzorci (.3.3). Tato přímka má jinou směrnici a to ve tvaru M F. To však nemění fakt, že obě vyjádření jsou si rovnocenná. Obrázek 19: astavení rovnovážných cen kapitálových aktiv Zdroj: [1] Vlastní grafické zpracování [1] a obrázku 19 jsou znázorněny procesy, které na kapitálovém trhu odpovídají za nastavení rovnovážného stavu. Aktiva, která se nacházejí mimo SML, jako jsou například body U a H na obrázku 19 jsou nesprávně oceněna. Aktivum ležící v bodě U má očekávaný výnos vyšší, než by odpovídalo jeho rizikové třídě, což znamená, že jeho cena je příliš nízká. Tato nerovnováha povede racionální investory k tomu, aby se snažili toto aktivum nakoupit a svou poptávkou zvýší jeho cenu (sníží očekávaný výnos). Tento proces bude pokračovat tak dlouho, dokud se aktivum nedostane do bodu U na SML. V této chvíli bude aktivum poskytovat stejný rizikově vážený výnos jako všechna ostatní aktiva a příčiny k pohybu jeho ceny zmizí. Analogická situace nastane i u aktiva nacházejícího se v bodu H, které je naopak přeceněno. Snaha zbavit se ho sníží jeho cenu až do bodu H na SML, kde opět pominou důvody pro další úpravy ceny. a obrázku 19 je ještě 34

35 Capital Asset Pricing Model zakreslen bod Z. Tomuto bodu odpovídá očekávaný výnos nižší než je výnos bezrizikového aktiva F. Z pohledu teorie kapitálového trhu je nízký očekávaný výnos (a tedy vysoká cena) tohoto aktiva důsledkem jeho negativní korelace s tržním portfoliem a tedy jeho významem pro investory, využívající Markowitzovu diverzifikaci. Zde je na místě upozornit na rozdíl mezi SML a CML. V rovnováze budou všechny jednotlivé cenné papíry (znázorněné jejich hodnotami μ i a σ im ) ležet na přímce trhu cenných papírů SML a mimo přímku kapitálového trhu CML, neboť na této přímce leží pouze efektivní portfolia. Jednotlivé cenné papíry a portfolia, která nepatří do eficientní množiny, tedy leží mimo CML. Přímka trhu cenných papírů SML tak pro každý cenný papír určuje, jaká kombinace μ i a σ im musí pro tento cenný papír platit, aby byl správně tržně oceněn, zatímco přímka kapitálového trhu CML ukazuje investorovi, jak má být sestaveno jeho portfolio, aby dosáhl nejlepšího možného poměru mezi výnosem a celkovým rizikem..4 Systematické a nesystematické riziko portfolia [1] Systematické neboli nediverzifikovatelné riziko je ta část celkové variability očekávaných výnosů aktiva, jež je způsobena faktory, ovlivňujícími simultánně ceny všech obchodovaných cenných papírů, týká se celého trhu. Povaha tohoto rizika je systematická a proto je imunní vůči technikám snižování rizika pomocí diverzifikace. esystematické neboli divezifikovatelné riziko je ta část celkového rizika, která má svůj původ ve faktorech, ovlivňujících pouze danou firmu nebo odvětví. Vliv divrezifikovatelného rizika se omezuje na jednu nebo pouze několik firem a riziko jejich vzniku musí být zvažováno pro každou firmu samostatně. Protože však tato nesystematická rizika jsou pro jednotlivé firmy na sobě navzájem nezávislá, je možno jejich dopad omezit diverzifikací investic. Obě výše zmíněné složky tvoří celkové riziko. Celkové riziko je vyjádřeno variancí nebo směrodatnou odchylkou jeho výnosů. Tuto jeho míru rizika lze rozdělit na vzájemně nezávislé části, a to následujícím způsobem: i = i M i, kde σ εi je reziduální variance Celkové riziko i-tého aktiva jsme rozdělili na dvě složky: systematické riziko představuje člen β i σ M a nesystematické riziko, které představuje člen σ ε, je také někdy nazývána reziduální variance. Důvodem pro rozdělení rizika na dvě části je očekávaná výnosnost. Systematické riziko je spojeno s rizikem tržního portfolia a s koeficientem beta aktiva, mezi kterými je lineární vztah.tedy čím vyšší beta, tím vyšší tržní riziko. aopak nesystematické riziko nesouvisí s koeficientem beta, tudíž nesouvisí ani s očekávanou výnosností. Lze tedy říci, že podle metody CAPM je systematické riziko odměňováno a nesystematické riziko ne. 35

36 Capital Asset Pricing Model Obrázek 0: Složky celkového rizika Zdroj: [6] Systematické riziko tvoří zhruba čtvrtinu celkového rizika aktiva, je spojené s pohybem trhu jako celku čili s neovlivnitelným průběhem hospodářského cyklu 8. Zbývající nesystematická složka rizika může být neutralizována rozložením investic do většího počtu aktiv, nicméně v okamžiku, kdy je celkové riziko sníženo na úroveň systematického rizika, další zvyšování počtu aktiv v portfoliu ke snížení rizika nevede..5 Beta cenného papíru β Z matematického hlediska je beta koeficient aktiva směrnicí regresní přímky. S ohledem na (.3.) ho můžeme psát jako AM = AM, kde M σ AM...kovariance výnosů aktiva A a tržního portfolia σ M...rozptyl tržního portfolia β AM... beta koeficient Koeficient beta je měřítkem systematického rizika. Tento koeficient je možno použít jako vodítko pro uspořádání jednotlivých aktiv podle jejich systematického rizika. Hodnota koeficientu beta teoreticky není ničím omezena, přesto se málokdy pohybuje mimo interval <0,5; >. Podle velikosti βi M dělíme cenné papíry na: Agresivní - βi M > 1, tyto aktiva jsou volatilnější než trh Defenzivní - βi M < 1, volatilita takovýchto aktiv je nižší než volatilita trhu eutrální - βi M = 1, tyto aktiva kolísají zároveň s trhem 8 Kolísání ekonomické aktivity okolo dlouhodobého trendu ve čtyřech fázích: expanze vrchol recese dno. 36

37 Capital Asset Pricing Model Beta vybraných aktiv: Bezrizikové aktivum - F = FM M =0 Tržní portfolio - F = MM M Efektivní portfolio - E = EM M = M =1 M =W M M =W M M Obecné portfolio - Beta portfolia se rovná váženému průměru bet složkových aktiv. = 1 M P = PM = 1 M M W i E [ R i E [ W i R i R M M ]= R M M ]= W i M M = W i.6 Charakteristická přímka [1] Charakteristická přímka je statistickým nástrojem, sloužícím k popisu výše představeného systematického a nesystematického rizika. Vyjadřuje možnou závislost očekávaného výnosu i-tého aktiva v čase t (μ i t ), v případě existence systematického rizika, na očekávaném výnosu trhu (μ M t). Tedy μ i t je závisle proměnou a μ M t je nezávisle proměnou. Charakteristická přímka má tvar: F =α i M F, kde α i...je koeficient alfa pro aktivum i βi... je koeficient beta pro aktivum i ε i je reziduálni výnos netržních složek Po matematické stránce představuje charakteristická přímka lineární regresní křivku proloženou mezi jednotlivými naměřenými hodnotami statistického souboru, přičemž parametry této přímky, tj. koeficienty α i a βi jsou získány standardně metodou nejmenších čtverců..6.1 Lineární regrese a metoda nejmenších čtverců Mějme n pozorování uspořádaných dvojic R M nt ; R int (μ M n t; μ i n t ), kterými jsou v případě charakteristické přímky výnosové míry aktiva a trhu (reprezentovaných například indexem PX) během t časových období (t = n). Cílem lineární regresní analýzy je najít přímku v rovině xy, která pro daná pozorování představuje nejlepší přiblížení, což znamená, že součet druhých mocnin jednotlivých odchylek naměřených hodnot od této přímky je pro tuto přímku minimalizován. Symbolicky lze tento požadavek zapsat jako 37

38 Capital Asset Pricing Model n (.6.1.1) minssq= [ R int α i n R M nt ] = n = t=1 R int nt, kde μ i n t... je očekávaný výnos aktiva i v pozorování n a v čase t = R int nt e odchylka i-tého pozorování od teoretické hodnoty Regresní koeficienty pak získáme parciální derivací rovnice (.6.1.1) podle α i a βi položením rovno nule a řešením následující soustavy dvou lineárních rovnic. SSQ α i =0 SSQ =0 Výraz pro směrnici regresní přímky je rovněž možno upravit na následující ekvivalentní tvary = R i R M M i M = i i R i, kde i Koeficient alfa lze vypočítat podle vztahu podmínky: σ im je kovariance aktiva a trhu α i = M Každá regresní přímka, sestrojená metodou nejmenších čtverců, přitom splňuje následující Prochází bodem (μ M ; μ i ) Součet čtverců odchylek je minimální. n Součet všech odchylek je roven nule =0 Po zjištění hodnot alfa a beta již nic nebrání sestrojení regresní přímky 9. 9 Charakteristické přímky ostatních vybraných akcií josu v příloze 1. 38