4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
|
|
|
- Pavel Horáček
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D.
2 2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2
3 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Obecná formulace MM Množina přípustných řešení úlohy LP Optimální řešení úlohy LP Rozbor řešitelnosti úlohy LP Přídatné proměnné v modelu úlohy LP Standardní tvar MM úlohy LP Definice PŘ, ZPŘ a OŘ Základní věta LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 3
4 OBECNÁ FORMULACE MM 1. Rozepíšeme obecně MM úlohy LP: na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n R b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n R b 2... (2.1) a m1 x 1 + a m2 x a mn x n R b m a podmínek nezápornosti x j 0, j = 1, 2,..., n (2.2) nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n (2.3) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 4
5 kde je x j... proměnná modelu (strukturní) a ij... strukturní koeficient b i... pravá strana i-tého omezení c j... cenový koeficient j-té proměnné (cena) R... jedno z relačních znamének,, = n... počet strukturních proměnných modelu m... počet vlastních omezení modelu i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 5
6 EKONOMICKÁ INTERPRETACE x j... úroveň j-tého procesu (počet jednotek j té činnosti) b i... úroveň i-tého činitele (maximální nebo minimální možná hodnota) a ij... norma spotřeby, popř. produkce i-tého činitele na jednotku j-tého procesu c j... cena j-tého procesu i = 1,2,...,m, j = 1,2,...,n Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 6
7 Příklad 2.1 Formulujte MM úlohy z příkladu 1.1 podle (2.1) (2.3): na množině řešení omezení x 1 + 2x x 1 + 4x x 1 x 2 90 x x j 0, j = 1, 2 nalézt maximum účelové funkce z = 40x x 2 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 7
8 kde jsou: x 1, x 2... strukturní proměnné, a 11 = 1, a 12 = 2, a 21 = 1, a 22 = 4, a 31 = 1, a 32 = 1, a 41 = 1, a 42 = 0... strukturní koeficienty, b 1 = 120, b 2 = 180, b 3 = 90, b 4 = pravé strany omezení, c 1 = 40, c 2 = cenové koeficienty Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 8
9 Další způsoby formulace MM 2. Vektorový zápis 3. Maticový zápis 4. Zápis pomocí sumací Různé způsoby zápisu budeme ilustrovat na kapacitní úloze z příkladu 2.1 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 9
10 2. Vektorový zápis obecného MM: na soustavě vlastních omezení a 1 x 1 + a 2 x a n x n R b (2.4) a podmínek nezápornosti x 0 (2.5) nalézt extrém účelové funkce z = c T x... max (min.) (2.6) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 10
11 kde je: x =(x 1, x 2,..., x n ) T... vektor strukturních proměnných a 1 =(a 11, a 21,..., a m1 ) T a 2 =(a 12, a 22,..., a m2 ) T... vektory strukturních koeficientů a n =(a 1n, a 2n,..., a mn ) T b =(b 1, b 2,..., b m ) T c T =(c 1, c 2,..., c n )... vektor pravých stran omezení... vektor cen R... vektor relačních znamének,, = Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 11
12 Příklad 2.2 Formulujte MM úlohy z příkladu 2.1 podle (2.4) (2.6): Dosaďme vektory a 1, a 2, b, R, x, c T : a 1 = x = x x 1 2 a 2 = c T = 40 b = R = Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 12
13 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 13 Po dosazení je: x x z x 1 x x x
14 Rozepište tento vektorový model:...? na množině řešení omezení x 1 + 2x x 1 + 4x x 1 x 2 90 x x j 0, j = 1, 2 nalézt maximum účelové funkce z = 40x x 2 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 14
15 3. Maticový zápis MM Nejstručnější je maticový zápis MM: za podmínek Ax R b (2.7) x 0 maximalizovat (minimalizovat) účelovou funkci z = c T x (2.8) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 15
16 kde je: x = (x 1, x 2,..., x n ) T... vektor strukturních proměnných, A = [a ij ] mxn... matice strukturních koeficientů, b = (b 1, b 2,..., b m ) T... vektor pravých stran omezení, c T = (c 1, c 2,..., c n )... vektor cenových koeficientů, R... vektor relačních znamének,, = Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 16
17 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 17 Příklad 2.3 Z příkladu 2.1 dosadíme A, b, R, c T, x : A b T c 2 1 x x x R
18 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 18 maximalizovat účelovou funkci Na množině omezení x x z x x x x
19 Rozepište tento maticový model:...? na množině řešení omezení x 1 + 2x x 1 + 4x x 1 x 2 90 x x j 0, j = 1, 2 nalézt maximum účelové funkce z = 40x x 2 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 19
20 4. Zápis MM pomocí sumací Za podmínek n j1 a ij x j x j z R n b j1 i 0 maximalizovat účelovou funkci i = 1, 2,..., m j = 1, 2,..., n c j x j (2.9) (2.10) (2.11) Pozn.: Jsou použity dříve definované symboly Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 20
21 POZOR! Při psaní vzorců je nutné dodržovat určitá elementární pravidla Není možno kombinovat libovolně různé způsoby zápisu Je nutno respektovat pravidla maticového počtu Je třeba definovat všechny použité symboly Je nutno určit definiční obor všech použitých indexů Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 21
22 Chybný zápis CHYBY V ZÁPISU VZORCŮ Správný zápis Ax j = b a ij x j = b i, i=1,..., m z = x.c T z = c T.x x.a = b B.u T = x j t = b/c A.x = b u T B = x t i = b i /c i, i = 1,..., m Pozn.: Ve vzorcích byly použity dříve definované symboly Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 22
23 Rozbor řešitelnosti úlohy LP Vysvětleme nejdříve pojmy přípustné řešení a optimální řešení úlohy LP Nezáporné řešení soustavy vlastních omezení (2.1) nazveme přípustné řešení (PŘ) úlohy LP Úloha LP má: - nekonečně mnoho přípustných řešení - žádné přípustné řešení Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 23
24 Grafické znázornění PŘ Množina PŘ je: 1. omezená konvexní množina s konečným počtem krajních bodů (definujte!) krajní bod (vrchol) neleží na spojnici žádných dvou bodů množiny - konvexní polyedr 2. neomezená konvexní množina s konečným počtem krajních bodů 3. prázdná množina Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 24
25 Pokud je množina PŘ omezená, je to konvexní polyedr (definujte!) Která ze zobrazených množin je konvexním polyedrem...? Obr Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 25
26 Optimální řešení úlohy LP Mezi nekonečným množstvím přípustných řešení hledáme to, které je nejlepší, tj. maximalizuje (popř. minimalizuje) hodnotu účelové funkce (2.3) Takové řešení nazveme optimální (OŘ) Úloha LP má: - jedno optimální řešení - nekonečně mnoho optimálních řešení - žádné optimální řešení Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 26
27 Omezená konvexní množina PŘ Je-li množinou PŘ konvexní polyedr, má úloha LP vždy optimální řešení Účelová funkce může na této množině nabývat jak svého maxima, tak minima Optimální řešení může být: 1. jedno (obrázek 2.2) 2. nekonečně mnoho (obrázek 2.3) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 27
28 1. Jediné OŘ je ve vrcholu (krajním bodu) konvexní množiny PŘ 2. Má li úloha LP nekonečně mnoho OŘ, je účelová funkce rovnoběžná s hranicí (hranou, stěnou, nadrovinou) konvexní množiny Optimálním řešením je každý bod této hranice konvexní obal krajních bodů Ve dvourozměrném prostoru je to množina konvexních kombinací dvou krajních bodů této hranice (tj. úsečka mezi nimi) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 28
29 C z... max. x 2 D OPTIMUM B A x 1 Obrázek 2.2 Jediné OŘ úlohy LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 29
30 x 2 z... max. C D OPTIMUM B E OPTIMUM A x 1 Obrázek 2.3 Nekonečně mnoho OŘ úlohy LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 30
31 Neomezená množina PŘ Obsahuje alespoň jednu polopřímku Na této množině může mít úloha LP: - jedno OŘ - nekonečně mnoho OŘ - žádné OŘ 1. Jedno OŘ leží ve vrcholu množiny PŘ (obrázek 2.4) 2. Nekonečně mnoho OŘ tvoří ve dvourozměrném prostoru polopřímku (paprsek) (obrázek 2.5) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 31
32 3. OŘ neexistuje: - konvexní množina PŘ je neomezená ve směru zadaného extrému účelové funkce (obrázek 2.6) - účelová funkce může na této množině nabývat neomezených hodnot - v tomto případě existuje nekonečně mnoho přípustných řešení - nelze ale určit optimální hodnotu účelové funkce Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 32
33 x 2 z... max. C B D OPTIMUM A Obrázek 2.4 Neomezená množina PŘ, jedno OŘ x 1 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 33
34 x 2 E z... max. OPTIMUM C B D OPTIMUM A x 1 Obrázek 2.5 Neomezená množina PŘ, nekonečně mnoho OŘ Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 34
35 x 2 C z... max. B A x 1 Obrázek 2.6 Neomezená množina PŘ, neexistuje OŘ Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 35
36 Prázdná množina PŘ Soustava vlastních omezení MM je nekonzistentní Neexistuje přípustné řešení úlohy LP Množina PŘ je prázdná Tudíž neexistuje optimální řešení této úlohy (obrázek 2.7) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 36
37 Prázdná množina PŘ Obrázek 2.7 Prázdná množina PŘ úlohy LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 37
38 ŘEŠENÍ MM Pro zjednodušení výkladu přijmeme na začátku kurzu tyto předpoklady: 1. Všechna omezení modelu úlohy LP jsou zadána jako nerovnice: - rovnici převedeme na dvě nerovnice opačného typu, např.: 3x 1 + 2x 2 = 60 vyjádříme jako 3x 1 + 2x x 1 + 2x 2 60 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 38
39 2. Budeme uvažovat MM s maximalizační účelovou funkcí Minimalizační funkci f(x) upravíme na maximalizační z(x) podle kde Např. funkci z(x) = f(x)... max. min f(x) = max z(x) f = 20x x 2... min. převedeme na tvar z = 20x 1 10x 2... max. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 39
40 3. Všechny pravé strany omezení jsou nezáporné Není-li tento předpoklad splněn, upravíme omezení vynásobením (-1) Např. omezení upravíme na 3x 1 + 2x x 1-2x 2 60 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 40
41 ÚPRAVA MM K VÝPOČTU Metody řešení úloh LP pracují se soustavou rovnic, nikoliv se soustavou nerovnic Proč? Je proto třeba vlastní omezení zadaná ve tvaru nerovnic převést na rovnice Jak? Model rozšíříme o další proměnné, které nazveme přídatné proměnné Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 41
42 1. Nerovnice typu : a i1 x 1 + a i2 x a in x n b i K levé straně nerovnice přičteme přídatnou proměnnou: a i1 x 1 + a i2 x a in x n + x n+i = b i Odtud je x n+i = b i (a i1 x 1 + a i2 x a in x n ) Např. první omezení v příkladu (2.1) x 1 + 2x upravíme na: x 1 + 2x 2 + x 3 = 120 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 42
43 2. Nerovnice typu : Od levé strany nerovnice typu odečteme přídatnou proměnnou: Odtud je a i1 x 1 + a i2 x a in x n x n+i = b i x n+i = a i1 x 1 + a i2 x a in x n b i Např. třetí omezení v příkladu 2.1 upravíme na: x 1 x 2 90 x 1 x 2 x 5 = 90 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 43
44 Přídatné proměnné jsou nezáporné Mají svoji ekonomickou interpretaci, která je odvozena od ekonomické interpretace omezení Přídatná proměnná v omezení typu ukazuje objem nevyužité kapacity Přídatná proměnná v omezení typu ukazuje velikost překročení požadavku Cena přídatné proměnné je vzhledem k její ekonomické interpretaci rovna nule Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 44
45 Příklad 2.4 Vyrovnejte soustavu vlastních omezení kapacitní úlohy z příkladu 2.1 na soustavu rovnic: x 1 + 2x x 1 + 4x (2.12) x 1 x 2 90 x Vypočtěte hodnoty přídatných proměnných a ekonomicky je interpretujte Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 45
46 Nerovnice vyrovnáme na rovnice pomocí přídatných proměnných: x 1 + 2x 2 + x 3 = 120 x 1 + 4x 2 + x 4 = 180 (2.13) x 1 x 2 x 5 = 90 x 1 + x 6 = 110 Dosadíme x 1 = 110, x 2 = 5 (viz př.1.1- grafické řešení) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 46
47 Hodnoty přídatných proměnných...? x 3 = (x 1 + 2x 2 ) = = 0 x 4 = (x 1 + 4x 2 ) = = 50 x 5 = (x 1 x 2 ) = = 15 x 6 = x 1 = = 0 Ekonomická interpretace...? x 3 = 0 čas na lisu je vyčerpán x 4 = 50 balicí linka má 50 min. volných x 5 = 15 je vyrobeno KŠ x 6 = 0 je vyroben horní limit KŠ Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 47
48 Řešení v LinPro: Obr. 2.8 výsledky řešení Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 48
49 Hodnoty strukturních proměnných : x 1 = 110, x 2 = 5, Hodnoty přídatných proměnných: x 3 = 0, x 4 = 50, x 5 = 15, x 6 = 0 Stručněji: x = (110, 5, 0, 50, 15, 0) T Hodnota účelové funkce: z = 4700 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 49
50 Zvýšíme čas lisu o 1 minutu: Obr změna pravé strany Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 50
51 STANDARDNÍ TVAR MM Po vyrovnání vlastních omezení přídatnými proměnnými dostaneme MM ve tvaru: kde je: Ax = b x 0 (2.14) z = c T x x = (x 1, x 2,..., x n, x n+1,..., x n+m ) T A = [a ij ] m.(m+n), b = (b 1, b 2,..., b m ) T, c T = (c 1, c 2,..., c n, 0,..., 0) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 51
52 1. PŘÍPUSTNÉ ŘEŠENÍ Přípustné řešení úlohy LP (2.14) je vektor x = (x 1, x 2,..., x n+m ) T, jehož složky splňují vlastní omezení a podmínky nezápornosti Počet přípustných řešení (PŘ) : protože počet proměnných je větší než počet rovnic, má úloha LP buď: 1. nekonečně mnoho PŘ nebo 2. žádné PŘ Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 52
53 2. ZÁKLADNÍ PŘÍPUSTNÉ ŘEŠENÍ ZPŘ úlohy LP (2.14) je přípustné řešení, které má maximálně tolik kladných složek, kolik je lineárně nezávislých vlastních omezení, tj. m, zbývající složky (alespoň n) jsou rovny nule. Vektory strukturních koeficientů u proměnných s kladnou hodnotou jsou lineárně nezávislé. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 53
54 Počet ZPŘ je omezený...? Horní hranicí je počet ZŘ soustavy vlastních omezení m m n ( m n)! m! n! Např. soustava rovnic (2.13) má 4 omezení a 2 strukturní proměnné, počet ZŘ je tedy nanejvýš...? ! 15 4!2! Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 54
55 Počet ZPŘ úlohy LP je většinou menší Proč...? Musíme vyloučit všechna řešení se zápornými složkami Rozdíl mezi ZŘ soustavy rovnic a ZPŘ úlohy LP ukážeme na úloze z příkladu 2.1 Grafickým znázorněním ZŘ je průsečík hraničních přímek Grafickým znázorněním ZPŘ je vrchol (krajní bod) množiny přípustných řešení Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 55
56 x C D 0 A B x 1-90 Obrázek 2.8 Grafické znázornění ZŘ Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 56
57 Který z bodů A, B, C a D je PŘ a který ZPŘ úlohy LP...? Určíme souřadnice x 1 a x 2 v těchto bodech, dosadíme do soustavy rovnic (2.13): A [90, 0]: x (1) = (90, 0, 30, 90, 0, 20) T B [100, 5]: x (2) = (100, 5, 10, 60, 5, 10) T C [0, 60] : x (3) = (0, 60, 0, -60, -150, 110) T D [45, 60] : x (4) = (40, 60, -40, -100, -110, 70) T Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 57
58 3. OPTIMÁLNÍ ŘEŠENÍ Optimální řešení (OŘ) úlohy LP (2.14) je přípustné řešení x = (x 1, x 2,..., x n+m ) T, pro které je hodnota účelové funkce maximální Úloha LP má: - jedno OŘ - nekonečně mnoho OŘ - žádné OŘ Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 58
59 ZÁKLADNÍ VĚTA LP Věta, která má zásadní význam pro řešení úloh LP: Má-li úloha lineárního programování optimální řešení, má také optimální řešení základní. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 59
60 VÝZNAM ZÁKLADNÍ VĚTY LP Optimální řešení můžeme hledat mezi konečným počtem základních přípustných řešení, nikoliv mezi nekonečným množstvím přípustných řešení úlohy LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 60
61 KONEC Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 61
4EK201 Matematické modelování. 2. Lineární programování
4EK201 Matematické modelování 2. Lineární programování 2.1 Podstata operačního výzkumu Operační výzkum (výzkum operací) Operational research, operations research, management science Soubor disciplín zaměřených
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. OSNOVA PŘEDNÁŠKY Standardní tvar MM Základní věta LP Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení
4EK311 Operační výzkum. 2. Lineární programování
4EK311 Operační výzkum 2. Lineární programování 2.2 Matematický model úlohy LP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x
4EK212 Kvantitativní management. 2. Lineární programování
4EK212 Kvantitativní management 2. Lineární programování 1.7 Přídatné proměnné Přídatné proměnné jsou nezáporné Mají svoji ekonomickou interpretaci, která je odvozena od ekonomické interpretace omezení
4EK213 Lineární modely. 4. Simplexová metoda - závěr
4EK213 Lineární modely 4. Simplexová metoda - závěr 4. Simplexová metoda - závěr Konečnost simplexové metody Degenerace Modifikace pravidla pro volbu vstupující proměnné Blandovo pravidlo Kontrola výpočtu
4EK212 Kvantitativní management. 1. Úvod do kvantitativního managementu a LP
4EK212 Kvantitativní management 1. Úvod do kvantitativního managementu a LP Mgr. Jana SEKNIČKOVÁ, Ph.D. Nová budova, místnost 433 Konzultační hodiny InSIS E-mail: jana.seknickova@vse.cz Web: jana.seknicka.eu/vyuka
fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
4EK213 Lineární modely. 5. Dualita v úlohách LP
4EK213 Lineární modely 5. Dualita v úlohách LP 5. Dualita v úlohách LP Obecné vyjádření simplexové tabulky Formulace duálního problému Formulace symetrického duálního problému Formulace nesymetrického
Obecná úloha lineárního programování. Úloha LP a konvexní množiny Grafická metoda. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Optimalizace portfolia Investor se s pomocí makléře rozhoduje mezi následujícími investicemi: akcie A, akcie B, státní pokladniční poukázky, dluhopis A, dluhopis
e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010
Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení
Extrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
12. Lineární programování
. Lineární programování. Lineární programování Úloha lineárního programování (lineární optimalizace) je jedním ze základních problémů teorie optimalizace. Našim cílem je nalézt maximum (resp. minimum)
4EK213 Lineární modely. 12. Dopravní problém výchozí řešení
4EK213 Lineární modely 12. Dopravní problém výchozí řešení 12. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování
Matematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
4EK213 Lineární modely. 10. Celočíselné programování
4EK213 Lineární modely 10. Celočíselné programování 10.1 Matematický model úlohy ILP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. GARANT KURZU Prof. Ing. Josef Jablonský, CSc. Místnost: NB 437 Konzultační hodiny: úterý 13:00 15:00 E-mail: jablon@vse.cz
4EK311 Operační výzkum. 3. Optimalizační software a stabilita řešení úloh LP
4EK311 Operační výzkum 3. Optimalizační software a stabilita řešení úloh LP 3.1 Příklad matematický model Lis: 1 x 1 + 2 x 2 120 [min] Balení: 1 x 1 + 4 x 2 180 [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček]
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK p: a x b y c 0 q: a x b y c 0 ROVNOBĚŽNÉ PŘÍMKY (RŮZNÉ) nemají žádný společný bod, můžeme určit jejich vzdálenost, jejich odchylka je 0. Normálové
Parametrické programování
Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou
Funkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
Matematický model. omezující podmínky. Tab. 2.1 Prvky ekonomického a matematického modelu
16 Čeho chceme dosáhnout? Co můžeme ovlivnit? Jaké jsou překážky? Ekonomický model cíl analýzy procesy činitelé Matematický model účelová funkce proměnné omezující podmínky Příklady maximalizace zisku
Lineární funkce, rovnice a nerovnice
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je
Metody lineární optimalizace Simplexová metoda. Distribuční úlohy
Metody lineární optimalizace Simplexová metoda Dvoufázová M-úloha Duální úloha jednofázová Post-optimalizační analýza Celočíselné řešení Metoda větví a mezí Distribuční úlohy 1 OÚLP = obecná úloha lineárního
Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí. Definičním oborem kvadratické funkce je množina reálných čísel.
Kvadratická funkce Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax 2 + bx + c Číslo a je různé od nuly, b,c jsou libovolná reálná čísla. Definičním oborem kvadratické funkce je
Lineární programování
Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za
5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
Ekonomická formulace. Matematický model
Ekonomická formulace Firma balící bonboniéry má k dispozici 60 čokoládových, 60 oříškových a 85 karamelových bonbónů. Může vyrábět dva druhy bonboniér. Do první bonboniéry se dávají dva čokoládové, šest
Operační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování.
Operační výzkum Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu
Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
Funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)
Konvexní množiny Formulace úloh lineárního programování. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Euklidovský prostor E n Pod pojmem n-rozměrný euklidovský prostor budeme rozumnět prostor, jehož prvky jsou uspořádané n-tice reálných čísel X = (x 1, x 2,...,
Funkce - pro třídu 1EB
Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému
7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n.
7 Konvexní množiny Motivace. Lineární programování (LP) řeší problém nalezení minima (resp. maxima) lineárního funkcionálu na jisté konvexní množině. Z bohaté škály úloh z této oblasti jmenujme alespoň
Systémové modelování. Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování
Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování Modelování Modelování je způsob zkoumání reality, při němž složitost, chování a další vlastnosti jednoho celku vyjadřujeme složitostí, chováním a
Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,
Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v
Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.
@021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské
Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6
Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly
Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce
Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro
13. Lineární programování
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI
Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3
3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů
Lineární programování
Lineární programování Úlohy LP patří mezi takové úlohy matematického programování, ve kterých jsou jak kriteriální funkce, tak i všechny rovnice a nerovnice podmínek výhradně tvořeny lineárními výrazy.
Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].
![Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].](/thumbs/91/104981778.jpg "Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].")
Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1
obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].
![obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].](/thumbs/59/44051949.jpg "obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].")
Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený
Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení
2 Spojité modely rozhodování
2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz
Obecná úloha lineárního programování
Obecná úloha lineárního programování Úloha Maximalizovat hodnotu c T x (tzv. účelová funkce) za podmínek Ax b (tzv. omezující podmínky) kde A je daná reálná matice typu m n a c R n, b R m jsou dané reálné
i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především
DIPLOMOVÁ PRÁCE. Petra Váchová Lineární programování ve výuce na střední
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Petra Váchová Lineární programování ve výuce na střední škole Katedra didaktiky matematiky Vedoucí diplomové práce: RNDr. Pavla
CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku
Úvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4
IX. Vyšetřování průběhu funkce
IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde
Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,
1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo
6 Simplexová metoda: Principy
6 Simplexová metoda: Principy V této přednášce si osvětlíme základy tzv. simplexové metody pro řešení úloh lineární optimalizace. Tyto základy zahrnují přípravu kanonického tvaru úlohy, definici a vysvětlení
Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018
Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby
CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde
2.2 Grafické ešení úloh LP
2. Lineární programování 21 zabránili záporným hodnotám produkce, nezabývali jsme se pípady, kdy jako výsledný objem produkce získáme desetinné číslo. Nápravu lze snadno sjednat zahrnutím tzv. podmínek
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R
Parametrická rovnice přímky v rovině
Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
Derivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU
![OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU](/thumbs/55/37186771.jpg "OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU")
OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU Distanční opora RNDr. Miroslav Liška, CSc. OSTRAVA 2002 1 Simplexová metoda je iterační výpočetní postup pro nalezení optimálního
Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018
Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf
ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE
ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.
Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
4. Určete definiční obor elementární funkce g, jestliže g je definována předpisem
4 Určete definiční obor elementární funkce g jestliže g je definována předpisem a) g ( x) = x 16 + ln ( x) x 16 ( x + 4 )( x 4) Řešíme-li kvadratickou nerovnice pomocí grafu kvadratické funkce tj paraboly
IB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
----- Studijní obory. z matematiky. z matematiky. * Aplikovaná matematika * Matematické metody v ekonomice
Minimum Maximum Minimum Maximum Studijní obory z matematiky z matematiky z matematiky z matematiky * Aplikovaná matematika * Matematické metody v ekonomice * Obecná matematika Navazující magisterský studijní
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic
Lineární funkce, rovnice a nerovnice Soustavy lineárních rovnic motivace Využívají se napřklad při analytickém vyšetřování vzájemné polohy dvou přímek v rovině a prostoru. Při řešení některých slovních
4EK311 Operační výzkum. 4. Distribuční úlohy LP část 1
4EK311 Operační výzkum 4. Distribuční úlohy LP část 1 4. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování (plánování
Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou
Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí
Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla.
Lineární funkce Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Číslo b je hodnota funkce f v bodě 0. Definičním oborem lineární funkce je množina
Nerovnice, grafy, monotonie a spojitost
Nerovnice, grafy, monotonie a spojitost text pro studenty Fakulty přírodovědně-humanitní a pedagogické TU v Liberci vzniklý za podpory fondu F Martina Šimůnková 29. prosince 2016 1 Úvod Na druhém stupni
Příklady modelů lineárního programování
Příklady modelů lineárního programování Příklad 1 Optimalizace výroby konzerv. Podnik vyrábí nějaký výrobek, který prodává v 1 kg a 2 kg konzervách, přičemž se řídí podle následujících velmi zjednodušených
Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru
Variace 1 Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz
Katedra matematiky OPERAČNÍ VÝZKUM Mgr. Andrea Kubišová
VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA Katedra matematiky OPERAČNÍ VÝZKUM Mgr Andrea Kubišová 214 ÚVOD Tato skripta jsou základním studijním materiálem pro volitelný předmět Operační výzkum určený převážně
9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi
Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší
6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety
6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení
64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A 1. Středy stran AC, BC označme postupně, N. Střed kružnice vepsané trojúhelníku KLC označme I. Úvodem poznamenejme, že body K, L
f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =
Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu
X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace
@173 15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace Jak jsme se dozvěděli v 3. lekci tohoto kurzu, je obrazem rovnice ax + by + c = 0, a,b,c R (a; b) (0; 0) přímka a obrazem nerovnic ax + by + c 0, a,b,c
Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic
Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326
3. ANTAGONISTICKÉ HRY
3. ANTAGONISTICKÉ HRY ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,
MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
![MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]](/thumbs/58/41721403.jpg "MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]")
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě