Cvičení z NOFY / Termodynamika. 1 Cvičení Totální diferenciál. 1.1 Totální diferenciál Teplota a tlak pro ideální plyn

Transkript

1 Cvičení z NOFY / Termodynamika 1 Cvičení Totální diferenciál 1.1 Totální diferenciál 1. Jsou zadány dva výrazy: df 1 (x, y) = 6xy 3 dx + 9x 2 y 2 dy, df 2 (x, y) = 6xy 2 dx + 9x 2 ydy. Ověřte, zda výrazy na pravé straně představují totální diferenciály. Spočtěte pro ně integrály po křivkách γ 1 a γ 2 a porovnejte získané hodnoty. Křivka γ 1 sestává ze dvou částí. První část, na které se nemění proměnná x, vede z bodu (x 1, y 1 ) do bodu (x 1, y 2 ); druhá, na které se nemění proměnná y, vede z bodu (x 1, y 2 ) do bodu (x 2, y 2 ). Křivka γ 2 sestává také ze dvou částí. Na první se nemění proměnná y a vede z bodu (x 1, y 1 ) do bodu (x 2, y 1 ); na druhé se nemění proměnná x a vede z bodu (x 2, y 1 ) do bodu (x 2, y 2 ). Obě křivky tak mají stejný počátek a konec, jinými slovy křivka γ = γ 1 γ 2 je uzavřená. 1.2 Teplota a tlak pro ideální plyn Mistrovská rovnice ideálního plynu je U(S, V ) = U 0 ( V0 V ) 2 3 e S S 0. Spočtěte totální diferenciál tohoto výrazu. Ve výsledném výrazu využijte definici teploty a tlaku, které zní: ( ) U(S, V ) T (S, V ) =, S V ( ) U(S, V ) p(s, V ) =. V 1 S

2 1.3 Totální diferenciál 2. Integrujte totální diferenciál vnitřní energie ideálního plynu du, získaný v předchozím příkladu po křivkách γ 1 a γ 2 a porovnejte získané výsledky. Křivka γ 1 sestává ze dvou částí. Na první se nemění objem V a vede z bodu (V 0, S 0 ) do bodu (V 0, S p ); na druhé se nemění entropie S a vede z bodu (V 0, S p ) do bodu (V p, S p ). Křivka γ 2, která je definována vztahem ( 5 S(V ) = S 0 3 ln V ) + 1, V 0 vede z bodu (V 0, S 0 ) do bodu (V p, S p ). Obě křivky tak mají stejný počátek a konec, jinými slovy křivka γ = γ 1 γ 2 je uzavřená. 1.4 Grafy rovnovážných dějů pro ideální plyn Využijte znalost rovnic charakterizujících ideální plyn z předchozích příkladů a určete rovnice 1. izotermy (T = T c ) a adiabaty (đq = 0 S = S c ) v p V diagramu. Nalezněte tedy příslušné funkce p = p(v ). 2. izobary (p = p c ) a izochory (V = V c ) v T S diagramu. Nalezněte tedy příslušné funkce T = T (S). Jednotlivé funkce zakreslete do příslušných grafů. Které z nich rostou rychleji. Zkuste zdůvodnit proč (alespoň pro případ p V diagramu). Co lze z grafů vyčíst o teplu a práci přijatých systémem během jednotlivých dějů? 2 Cvičení Rovnovážné procesy a cykly 2.1 Negative slope process Pro plyn byla nalezena rovnice pro vnitřní energii ve tvaru Spočtěte následující: U = 5 2 P V + konstanta. Systém prodělá cyklus A B C A (jednotlivé body jsou v P-V diagramu spojeny přímkami, tj. dostaneme v něm trojúhelníkový cyklus); (p A = 2

3 0, 2MP a, V A = 10l), (p B = 0, 2MP a, V B = 30l), (p C = 0, 5MP a, V C = 10l). Pro jednotlivé větve cyklu vypočítejte teplo, práci a změnu vnitřní energie. Dále spočtěte celkové teplo, práci a celkovou změnu vnitřní energie plynu během cyklu. Prací a teplem myslíme práci a teplo dodané plynu. Spočtěte teplo, práci a změnu vnitřní energie plynu podél paraboly vedené z bodu A do bodu B (viz výše) o rovnici P 0 = 10 5 P a, V 0 = 20l, A = konstanta. P = P 0 + A(V V 0 ) 2. Nalezněte rovnici rovnovážné adiabaty (đq = 0 ds = 0) ve tvaru P = P (V ). 2.2 Nanicovatý (zilch) cyklus Uvažte rovnovážný cyklus A B C D A s ideálním plynem. Větev AB je izoterma o teplotě T 2 = 600K, větev BC je izochora, větev CD je izoterma o teplotě T 1 = 300K a větev DA je adiabata. Dále platí p A > p B, p C > p D nyní již máte potřebné informace ke kvalitativnímu zakreslení cyklu do P-V diagramu. Zjistíte, že je tvořen dvěmi smyčkami dotýkajícími se v jediném bodě. Nechť jsou plochy těchto smyček stejné. Práce vykonaná na systému během větve AB je W AB = J. Pro ideální plyn je rovnice adiabaty dána vztahem pv 5 3 = konstanta, termická rovnice je pv = RT. Spočtěte práci dodanou systému během větve DA. Spočtěte teplo dodané systému a změnu vnitřní energie během větve BC. Spočtěte změny entropie systému pro všechny větve cyklu. Spočtěte entropii předanou chladné lázni (od teplé lázně je čerpáno teplo pouze ve větvi AB) v případě, že izochorický proces je proveden vratně. izochorický proces je proveden nevratně a to tak, že během chlazení je systém v kontaktu s chladnou lázní o teplotě T 1. Překreslete cyklus do T-S diagramu. 3

4 2.3 Ottův cyklus Uvažte rovnovážný cyklus A B C D A s ideálním plynem. Větve AB a CD jsou adiabaty, S C > S B. Větve BC a DA jsou izochory, V A > V B. Tepelné kapacity c V a c p plynu považujte podél cyklu za konstantní, rovnice adiabaty ideálního plynu je dána vztahem pv κ = konstanta, termická rovnice je pv = RT. Zakreslete cyklus do P-V diagramu. Spočtěte účinnost cyklu η = W Q in (W práce vykonaná systémem během cyklu, Q in teplo dodané systému během cyklu) a vyjádřete ji pomocí objemů V A, V B a tepelných kapacit c V a c p. 3 Cvičení Rovnovážné procesy a diagramy 3.1 Negative slope process T-S diagram Systém prodělá cyklus A B C A (jednotlivé body jsou v P-V diagramu spojeny přímkami, tj. dostaneme v něm trojúhelníkový cyklus); (p A = 0, 2MP a, V A = 10l), (p B = 0, 2MP a, V B = 30l), (p C = 0, 5MP a, V C = 10l). Překreslete tento cyklus do T-S diagramu, tj. nelezněte rovnice izobary a izochory jako T = T(S), rovnici přímky CA (přímky se zápornou směrnicí) přesně počítat nemusíte, stačí ji zakreslit kvalitativně. 3.2 Metoda reprezentujícího procesu Absolutně černé těleso (systém, který je v tepelné rovnováze s okolím, přičemž neodráží žádné záření, pouze tepelně vyzařuje podle planckova zákona) splňuje následující stavové rovnice: Kalorická stavová rovnice: U(T, V ) = σv T 4, Termická stavová rovnice: p(t, V ) = 1 3 σt 4. Určete rovnici rovnovážné adiabaty a izotermy v proměnných p, V. (1.1) Uvažujte nerovnovážný adiabatický proces (systém během procesu nepřijme žádné teplo, jeho entropie se však měnit může! - takovým procesem je např. volná expanze do vakua) při němž přejde systém ze stavu A do stavu B (p A, V A < p B, V B ). Spočtěte změnu vnitřní energie a entropie systému během procesu. K výpočtu použijte metodu reprezentujícího procesu. 4

5 3.3 Polytropický proces Polytropický proces je definován rovnicí đq = cdt (tj. během jeho průběhu je konstantní tepelná kapacita systému c). Dokažte, že rovnice polytropy pro ideální plyn je P V N = const., N = cp c c V c (c p a c V jsou teplené kapacity ideálního plynu při konstantním tlaku resp. při konstantním objemu). Uvažte dva polytropické procesy E a D. Polytropa E klesá pomaleji než izoterma (ale stále má záporný sklon), polytropa D klesá rychleji než izoterma, ale pomaleji než adiabata. Dokažte, že pro tepelné kapacity ideálního plynu při těchto procesech platí c E > 0, c D < 0. 4 Cvičení U-formulace 4.1 Vyjádření experimentu U-formulaci 1. Adiabaticky izolovaný válec je rozdělen na dvě časti nepropustnou přepážkou. V první části válce je uzavřen plyn, druhá část je vakuovaná. Po odstranění přepážky dojde k volné expanzi plynu do celého válce. Měříme teplotu plynu před expanzí a po ní. Uvažte, že změna objemu plynu je diferenciálně malá (tj. přepážka je blízko konci válce) a zapište tento experiment jako parciální derivaci (tj. ve tvaru ( ) dx ). Tuto parciální derivaci dy Z následně vyjádřete v U-formulaci. 4.2 Vyjádření experimentu U-formulaci 2. Vyjádřete v U-formulaci termodynamické koeficienty β V, κ S, α S, l V, κ T, α p a c p. Připomeňme, že β V = 1 ( ) dp, κ S = 1 ( ) dv, α S = 1 ( ) ( ) dv ds, l V = T, p dt V V dp S V dt S dp V α p = 1 ( ) dv, κ T = 1 ( ) ( ) dv ds, c p = T. V dt p V dp T dt p 5

6 4.3 Termodynamická identita 1. (90% termodynamiky) Pomocí U-formulace dokažte termodynamickou identitu ( ) ( ) du dp + p = T. dv dt 4.4 Termodynamická identita 2. (Mayerův vztah) T V U-formulaci dokažte, že pro rozdíl tepelných kapacit c p c V platí v případě ideálního plynu vztah c p c V = R n. 5 Cvičení Tepelné kapacity, Integrace stavových rovnic 5.1 Rozdíl tepelných kapacit pro van der Waalsův plyn Spočtěte rozdíl tepelných kapacit c p c v pro van der Waalsův plyn. Tento splňuje stavovou rovnici (p + AV 2 ) kde A a B jsou empirické konstanty. V (V B) = RNT, 5.2 Integrace stavových rovnic 1. (Ideální plyn) Nalezněte mistrovské rovnice ideálního plynu U = U(S, V, N) a S = U(U, V, N) znáte - li rovnice U(T, V, N) = c v RNT, P (T, V, N) = RNT V. Všimněte si, že díky absenci třetí stavové rovnice (N = N(S, V, N)) nelze mistrovské rovnice určit jednoznačně, tj. že v nich bude vystupovat neurčená konstanta či funkce (počtu molů plynu N). Platí Nernstův teorém (tj. je entropie konstantní v limitě T 0)? 5.3 Integrace stavových rovnic 2. (NV U) Jsou dány stavové rovnice plynu: T (s, v) = 3As2 As3, P (T, V, N) = v v, 2 6

7 kde A je konstanta. Nalezněte mistrovské rovnice tohoto plynu U = U(S, V, N) a S = U(U, V, N). Platí Nernstův teorém (tj. je entropie konstantní v limitě T 0)? 5.4 Integrace stavových rovnic 3. (Absolutně černé těleso) Jsou dány stavové rovnice plynu: U(V, T, N) = bv T 4, P (V, T, N) = U 3V, kde b je konstanta. Nalezněte mistrovskou rovnice S = U(U, V, N). Platí Nernstův teorém (tj. je entropie konstantní v limitě T 0)? 6 Cvičení Volná energie, Enthalpie 6.1 Volná energie ideálního plynu Nalezněte volnou energii ideálního plynu, tj. určete funkci F = F (T, V, N). 6.2 Aplikace volné energie Válec je rozdělen na dvě části oddělené pístem. V první části (řekněme levé) se nachází jeden mol ideálního plynu. Ve druhé části válce je k pístu připojena pružina, která jej spojuje s protější (pravou) stěnou válce (tj. která tlačí na píst), tato část válce je evakuovaná. Tuhost pružiny je κ(t ), pružina působí na píst nulovou silou právě tehdy, pokud je vzdálenost pístu od levé stěny válce x rovna hodnotě x 0. Celý válec je umístěn v tepelném rezervoáru o teplotě T c. Uvažme, že vzdálenost pístu od levé stěny válce je na počátku děje rovna hodnotě x 0. Necháme-li píst, aby se volně pohyboval, přejde po nějaké době do nové vzdálenosti (např. x final ). Určete (jako systém uvažujte válec bez tepelného rezervoáru): jaký termodynamický potenciál systému se při ekvilibraci minimalizuje? jaká bude rovnovážná poloha válce x final = x eq? jakou práci vykoná systém na závaží, připojíme-li je k pístu pomocí kladky tak, že se píst přesune rovnovážně ze stavu o x = x 0 do stavu o x = 2x 0? 7

8 6.3 Joule Thompsonův proces, enthalpie Dokažte, že se při Joule Thompsonově procesu nemění enthalpie plynu, který proces prodělává. Odvoďte vztah pro inverzní teplotu T I. Spočtěte tuto inverzní teplotu pro případ van der Waalsova plynu. 7 Cvičení Gibbsova energie, Guma, Tepelné čerpadlo 7.1 Gibbsova energie ideálního plynu Nalezněte gibbsovu energii ideálního plynu, tj. určete funkci G = G(T, p, N). Všimněte si, že určením gibbsovy energie jste určili i chemický potenciál ideálního plynu (na jeden mol). 7.2 Guma Předpokládejte, že napětí v gumovém pásku splňuje rovnici ( ) l τ = AT + l2 0, l 0 l 2 kde l je okamžitá délka pásku, l 0 je klidová délka pásku (τ = 0) a A je konstanta. Práce vykonaná na gumovém pásku je τdl, tj. du = T ds + τdl. Dokažte, že vnitřní energie gumičky závisí pouze na teplotě (tj. U = U(T )). Dokažte, že pokud gumičku adiabaticky rotzáhneme, vzroste její teplota. Jak se změní entropie gumičky natáhnemeli ji izotermicky. Jak se změní vnitřní energie gumičky natáhnemeli ji adiabaticky. Natažením zde rozumíme vzrůst délky gumičky z klidové délky l 0. Natažená gumička tak má délku l > l 0 a tedy při natažení platí τ > 0. 8

9 7.3 Tepelné čerpadlo Vnitřek domu o teplotě T d = C je vytápěn pomocí tepelného čerpadla, které vysává teplo z jezera o teplotě T j = 2.85 C. Èerpadlo je napájeno energií z elektrárny. Spočtěte účinnost tohoto tepelného čerpadla definovanou jako (kladné jsou veličiny dodané) η hp = 7.4 Entropie ideálního plynu 2 Q dum W elektrarna. Spočtěte entropii ideálního plynu za předpokladu, že se počet částic tohoto plynu může měnit. K výpočtu použijte výše zmíněné stavové rovnice ideálního plynu. 7.5 Entropie směsi plynů Spočtěte entropii směsi ideálních plynů obsahující N A částic typu A a N B částic typu B, která se nachází v nádobě o objemu V v tepelném rezervoáru o teplotě T. Jak se liší tato entropie od pouhého součtu entropií jednotlivých ideálních plynů, pokud by tyto byly v dané nádobě za dané teploty uzavřeny samy? 7.6 Chemická rovnováha Uvažte chemickou reakci 2H 2 + O 2 2H 2 O. Jakou podmínku musí splňovat chemické potenciály jednotlivých částic, aby byl systém o teplotě T a objemu V v němž tyto (tam a zpět) reakce probíhají v rovnováze? 2 Statistická fyzika 8 Cvičení Lagrangeovy multiplikátory, vázané extrémy 8.1 Příklad z matematiky Nalezněte extrémy funkce W (x, y, z) = x 2 y 2 z 2 na množině S(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 = c 2. 9

10 8.2 Termodynamický triangl Uvažte třístavový systém. Nechť jsou jednotlivé stavy označeny jako 0, 1, 2. Energie jednotlivých stavů jsou ɛ 0 = 0, ɛ 1 = 1, ɛ 2 = 2. Degenerace jednotlivých stavů jsou g 0 = 1, g 1 = 4, g 2 = 4. Nalezněte pravděpodobnostní rozdělení výskytu částice v systému p i, i = 1,..., 9 maximalizující entropii, definovanou jako S = k B 9 p i ln p i, i=1 kde k B je Boltzmannova konstanta, za předpokladu, že střední hodnota vnitřní energie systému je U. Připomínám, že střední hodnota vnitřní energie je definována vztahem U = 9 ɛ i p i. i=1 Dále vykreslete grafy funkcí S(U), U(S), β(u), U(β), S(β), β(s), c(t ), kde β je kladně braný Lagrangeův multiplikátor příslušející energetické vazbě a c = ( ) du dt je tepelná kapacita systému. 9 Cvičení Kanonické rozdělení diskrétně I. 9.1 Dvouhladinový systém Uvažte dvouhladinový systém. Energie jednotlivých hladin jsou ɛ 0 = 0 a ɛ 1 = 1, degenerace jednotlivých hladin jsou g 0 a g 1. Uvažte systém N nezávislých, rozlišitelných atomů, které se chovají jako výše popsané dvouhladinové systémy. Za předpokladu velkého počtu atomů N určete, kolik atomů bude v základním stavu (energie ɛ 0 ) a kolik jich bude excitovaných (energie ɛ 1 ). Určete tepelnou kapacitu systému c = ( du dt ). Spočtěte volnou energii systému F (T ), tedy jeho mistrovskou funkci. Dále určete entropii systému S(T ). 10

11 9.2 LHO kvantově Mějme systém N nezávislých, rozlišitelných kvantových oscilátorů s energiemi danými vztahem (n = 0, 1,... ) ( ) 1 ɛ n = ω 2 + n. Určete: partiční funkci Z(T ) a z ní termodynamické funkce U(T ), F (T ), S(T ). limitní chování vnitřní energie systému v případech, kdy T 0, k B T ω. pravděpodobnost nalezení oscilátoru ve stavu s energií ɛ n. tepelnou kapacitu systému c(t ). 10 Cvičení Kanonické rozdělení diskrétně II Kvantový plyn v nekonečně hluboké potenciálové jámě Mějme systém N nezávislých, rozlišitelných částic uzavřených v krabici (nekonečně hluboké potenciálové jámě) s energiemi danými vztahem (n = 1, 2,... ) ) 2 1 ɛ n = ) 2 1 ( ) 2 π 1 L 2m n2. V limitách ( π β 1 a ( π β 1 určete přibližným sečtením partiční sumy L 2m L 2m termodynamické funkce U(T ), F (T ), S(T ), c(t ) Magnetický triangl Uvažte triangl s vrcholy označenými čísly 1, 2 a 3 v nichž jsou umístěny spiny m 1, m 2 a m 3, kde m i { 1, 1}. Síla interakce mezi těmito spiny je dána konstantou J > 0, přičemž spiny m2, m3 interagují antiferomagneticky (snaží se natočit se do opačného směru) a ostatní spiny interagují feromagneticky (snaží se natočit se do stejného směru). Celý triangl je ještě umístěn v magnetickém poli intenzity B > 0, do jehož směru se spiny natáčejí. 11

12 Napište hamiltonián tohoto systému. Spočtěte střední magnetizaci M = m, m = m 1 + m 2 + m 3. Spočtěte střední kvadratickou odchylku magnetizace ( M) 2 = m 2 2. Vyjádřete obě tyto veličiny v limitách vysokých a nízkých teplot (tedy v případech, kdy T 0 a T ). Diskutujte získané výsledky. 11 Cvičení Kanonické rozdělení spojitě 11.1 Barometrická formule V homogenním gravitačním poli intenzity g je energie částice hmotnosti m ve výšce h dána vztahem ɛ = mgh. Nalezněte hustotu částic ve výšce h za předpokladu, že systém obsahuje N 1 částic Boltzmannovo a Maxwellovo rozdělení Ve volném neinteragujícím ideálním plynu jsou energie jednotlivých částic hmotnosti m a hybnosti p dány vztahem (x, y, z jsou kartézské souřadnice) Určete ɛ = p2 2m = p2 x + p 2 y + p 2 z. 2m hustotu pravděpodobnosti ρ (px) (p x ) nalezení částice s x-sovou složkou hybnosti velikosti p x a hustotu pravděpodobnosti ρ (vx) (v x ) nalezení částice s x-sovou složkou rychlost velikosti v x (Boltzmannovo rozdělení). hustotu pravděpodobnosti ρ (p) (p) nalezení částice s velikostí hybnosti p a hustotu pravděpodobnosti ρ (v) (v) nalezení částice s velikostí rychlosti v (Maxwellovo rozdělení). 12

13 11.3 Ideální plyn Spočtěte termodynamické vlastnosti (tj. funkce F (T, V ), S(T, V ), p(t, V ), U(T, V )) plynu volných neinteragujících částic hmotnosti m (ideálního plynu). Energie takového plynu je dána vztahem ɛ = p 2 a 2m, a kde sčítáme přez jednotlivé částice a p a určuje velikost hybnosti a-té částice. 12 Cvičení Kanonické rozdělení spojitě i nespojitě 12.1 Entropie polymeru Mějme jednodimenzionální model polymeru, ve kterém je polymer tvořen spojenými neinteragujícími částicemi. Tyto částice se mohou nacházet ve dvou různých stavech, řekněme ve stavech a a b. Energie částic v těchto stavech nechť jsou ɛ a a ɛ b, přičemž platí ɛ a = ɛ + ɛ b, kde ɛ je nějaká kladná konstanta. Určete entropii polymeru o N částicích. střední délku polymeru Olej ve vodě Èástice oleje berme jako neinteragující kuličky o poloměru r a hustotě ρ 0 (ρ 0 < ρ vody ). Určete koncentraci částic oleje v hloubce h znáte-li hodnotu jeho koncentrace na hladině c 0. typickou hloubku, ve které je již koncentrace částic oleje malá Vlákno z dipólů Mějme vlákno, umístěné v kartézské rovině x y, složené z dipólů, které mohou být natočeny pouze takto,,. Tyto dipóly interagují pouze s vnějším magnetickým polem 13

14 a to tak, že energie jednotlivých konfigurací jsou ɛ = ɛ = ɛ, ɛ = ɛ/2, kde ɛ je nějaká kladná konstanta. Spočtěte střední délky vlákna ve směrech x a y Spiny na mříži Na tuhé mříži mějme atomy se spinem 1/2. Díky interakci s vnějším magnetickým polem H jsou energie jenotlivých konfigurací atomu ɛ = µ 0 H, ɛ = µ 0 H. Atomů je na mříži N = N + N. Určete partiční sumu systému Z. celkový magnetický moment systému M = µ = µ 0 (N N ). entropii systému LHO klasicky Mějme systém N nezávislých, rozlišitelných lineárních harmonických oscilátorů s energiemi danými vztahem ɛ = 1 2 mω2 x 2 + p2 2m. Určete partiční funkci Z(T ) a z ní termodynamické funkce U(T ), F (T ), S(T ), c(t ). 14

15 Obsah 1 Termodynamika 1 1 Cvičení Totální diferenciál Totální diferenciál Teplota a tlak pro ideální plyn Totální diferenciál Grafy rovnovážných dějů pro ideální plyn Cvičení Rovnovážné procesy a cykly Negative slope process Nanicovatý (zilch) cyklus Ottův cyklus Cvičení Rovnovážné procesy a diagramy Negative slope process T-S diagram Metoda reprezentujícího procesu Polytropický proces Cvičení U-formulace Vyjádření experimentu U-formulaci Vyjádření experimentu U-formulaci Termodynamická identita 1. (90% termodynamiky) Termodynamická identita 2. (Mayerův vztah) Cvičení Tepelné kapacity, Integrace stavových rovnic Rozdíl tepelných kapacit pro van der Waalsův plyn Integrace stavových rovnic 1. (Ideální plyn) Integrace stavových rovnic 2. (NV U) Integrace stavových rovnic 3. (Absolutně černé těleso) Cvičení Volná energie, Enthalpie Volná energie ideálního plynu Aplikace volné energie Joule Thompsonův proces, enthalpie Cvičení Gibbsova energie, Guma, Tepelné čerpadlo Gibbsova energie ideálního plynu Guma Tepelné čerpadlo Entropie ideálního plynu Entropie směsi plynů

16 7.6 Chemická rovnováha Statistická fyzika 9 8 Cvičení Lagrangeovy multiplikátory, vázané extrémy Příklad z matematiky Termodynamický triangl Cvičení Kanonické rozdělení diskrétně I Dvouhladinový systém LHO kvantově Cvičení Kanonické rozdělení diskrétně II Kvantový plyn v nekonečně hluboké potenciálové jámě Magnetický triangl Cvičení Kanonické rozdělení spojitě Barometrická formule Boltzmanovo a Maxwellovo rozdělení Ideální plyn Cvičení Kanonické rozdělení spojitě i nespojitě Entropie polymeru Olej ve vodě Vlákno z dipólů Spiny na mříži LHO klasicky