Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné

Transkript

1 . Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x y + ), e) f(x, y) = ln( x y ), f) f(x, y) = x + 8 x y, g) f(x, y) = 9 x y + x + y 4, h) f(x, y) = ln(x + y ) + log(6 x 6y ), ch) f(x, y) = arcsin(xy), i) f(x, y) = arccos x y, j) f(x, y) =, yx +x x k) f(x, y) = +y 4x, x l) f(x, y) = arcsin x, y Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné množiny? a) f(x, y) = x + y 4, b) f(x, y) = x y, c) f(x, y) = x + y + 4x y + 6, d) f(x, y) = x + 4y, e) f(x, y) = x y + 5, f) f(x, y) = x + y, g) f(x, y) = log( x y ), h) f(x, y) = xy +.

2 . Limity, derivace a diferenciál funkcí více reálných proměnných, implicitní funkce, tečná rovina ypočtěte dvojnásobné limity lim lim f(x, y), lim lim f(x, y), limitu po přímkách y = kx, x 0 y 0 y 0 x 0 tj. lim x 0 f(x, y) a lim x 0 f(x, y) pro funkce: y=kx y 0 a) f(x, y) = x y b) f(x, y) = xy y+x c) f(x, y) = x y d) f(x, y) = x y e) f(x, y) = xy f) f(x, y) = x +y yx g) f(x, y) = sin xy xy h) f(x, y) = x sin y Rozhodněte o spojitosti fce f v bodě 0, 0]: a) f(x, y) = x +y xy, f(0, 0) = 0 není spojitá] b) f(x, y) = ( + sin(x y)) ln xy, f(0, 0) = je spojitá] ypočtěte gradient v bodě x 0 : a) f(x, y) = x + xy y, x 0 = 0, 0], v = (, ), b) f(x, y) = x 4 y y, x 0 =, ], v = (, ), c) f(x, y) = y x, x 0 =, ], v = (, ), d) f(x, y) = x y, x 0 =, ], v = (, ), e) f(x, y) = x + y, x 0 =, 0], v = (, ), f) f(x, y) = cos(x) sin(y), x 0 = 0, 0], v = (0, π), gradf(x 0 ) v bodě x 0, vypočtěte derivaci funkce f podle vektoru v g) f(x, y, z) = x y 4z, x 0 =,, 0], v = (, 0, ), h) f(x, y, z) = x + y z, x 0 =, 0, ], v = (0,, ), i) f(x, y, z) = ze x + y, x 0 = 0, 0, ], v = (,, ). Rozhodněte, zda fce f v bodě 0, 0] a ve směru (, ) roste nebo klesá c) f(x, y) = (x + y ) sin x, fce roste] d) f(x, y) = tg y e x, fce klesá] Najděte diferenciál funkce f v bodech 0, 0] a, ] ] e) f(x, y) = xy, f(0, 0) = 0 df = 0dx + 0dy, df = dx + dy

3 f) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = 0 v bodě A = 0, ].. Tečny k hladinám, tečné roviny, derivace vyšších řádů a Hessova matice. Pro následující funkce f a body x 0, y 0 ] nalezněte tečnu τ k hladině funkce f v bodě x 0, y 0 ], tečnou rovinu σ a normálu n ke grafu funkce f v bodě x 0, y 0, f(x 0, y 0 )]. a) f(x, y) = x + y, x 0, y 0 ] =, ]. b) f(x, y) = x + 4y, x 0, y 0 ] =, ]. c) f(x, y) = x + x + y y, x 0, y 0 ] = 0, 0]. d) f(x, y) = x y, x 0, y 0 ] =, ]. e) f(x, y) = xy, x 0, y 0 ] =, ]. f) f(x, y) = xy + x, x 0, y 0 ] =, ]. g) f(x, y) = sin(x 4y), x 0, y 0 ] = π, π ]. h) f(x, y) = xe y, x 0, y 0 ] =, 0]. i) f(x, y) = x y, x 0, y 0 ] =, ]. j) f(x, y) = x y, x 0, y 0 ] = 4, ]. k) Ke grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x + y z = 0. (x ) + (y ) (z ) = 0] l) K nulové hladině funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y, z) = x + y + z, ϱ : x + 4y + 6z = 0. (x ) + 4(y ) + 6(z ) = 0, (x + ) + 4(y + ) + 6(z + ) = 0] Najděte Hessovu matici následujících funkcí f v bodě x 0, y 0 ]. a) f(x, y) = x + xy, x 0, y 0 ] =, ], b) f(x, y) = y x, x 0, y 0 ] =, ], c) f(x, y) = sin(4x) cos(y), x 0, y 0 ] = π, π], d) f(x, y) = 5x y, x 0, y 0 ] =, 4], e) f(x, y) = xy z, x 0, y 0 ] =,, ]. Derivace vyšších řádů. ypočítejte: a) 5 (x y ) x y, b) 0 (e xy ) x 7 y, c) 4 ( xy z ) x y z, d) 6 (sin(x) sin(y) cos(z)) x y z e) (z yx) x y z.

4 4. Optimalizační úlohy Najděte lokální extrémy funkce f a) f(x, y) = x + y 4x b) f(x, y) = x + 4y + xy x + y c) f(x, y) = x + y d) f(x, y) = x + y + xy e) f(x, y) = x 4 + y 4 (x + y) f) f(x, y) = xye xy g) f(x, y) = x 4 + y 4 x xy y, ],, ] min, 0, 0] sedlo] h) f(x, y) = x + xy + y 4 ln x 0 ln y, ] min] i) f(x, y, z) = x + y + z + x + 4y 6z,, ] min] j) f(x, y, z) = xy + z(a x y z) a, a, a ] sedlo] k) f(x, y, z) = x + z y y l) f(x, y, z) = x + y + z 6zy k) f(x, y) = xy ln(x + y ) e, e ] min, e, e ], e, e ] max ] 0, ±], ±, 0] sedla, e, e ], 5. Optimalizační úlohy s vazbami. Najděte lokální extrémy funkce f vzhledem k množině a) f(x, y) = x + y, : x + y =, b) f(x, y) = x y, : x = nebo : y =, c) f(x, y) = x + y, : x + 4 y =, d) f(x, y, z) = x + xy + y, : 4x + y = 5,, 4],, 4] max,, ],, ] min] e) f(x, y) = x + xy y, = {x, y] R x + 5y 0}. f) f(x, y) = x y xy, = {x, y] R x + 0, y x}. g) f(x, y) = x xy + y, = {x, y] R x + 5y 0}. h) f(x, y, z) = x y + z, : x + y + z =,,, ] max,,, ] min] i) f(x, y, z) = xy + yz, : x + y =, y + z =, x 0, y 0, z 0,, ] max] j) f(x, y, z) = x + y + z, : x + y z, min, + max ] k) f(x, y) = x + y + z, : x + y + z 00, 0 min, 00 max] 4

5 6. Dvojné a trojné integrály. Načrtněte množinu Ω R a najděte meze integrálů f(x, y) dxdy, kde Ω je dána: a) Ω = {(x, y) : 0 x ; y } b) vnitřek trojúhelníka tvořeného body 0, 0],, 0], 0, ]. c) vnitřek čtyřúhelníka tvořeného body 0; 0], ; 4], 4; 0], ; ]. d) plocha mezi křivkami x a x. e) Ω = {(x, y) : x y e x ; x } f) Ω = {(x, y) : x + y x 4y 4 0} g) Ω = {(x, y) : x + 4y 4; x 0; y 0} h) Ω = {(x, y) : x + y 4; y 0} i) Ω = {(x, y) : x + y x; x } ypočítejte a) y e x dx dy b) c) y x y+ x y 6x x y 4 d) e) f) x (+y) x y dx dy dx dy Ω e4 + 5 e] dx dy, kde je trojúhelník s vrcholy, ], 5, ], 4, 4] x+y+ (44 ln 4 ln )] 5 x dx dy, kde je dána nerovnostmi x y, 4x + y ] 4 0 x dx dy, kde je dána nerovností x + y 9, ypočtěte trojné integrály. a) b) xy z dx dy dz, kde je dána nerovnostmi, x (+z ) + y z, 0 x, 0 y x yz dx dy dz, kde je dána nerovnostmi 0 x, 0 y x, 0 z xy 0] 9 ] ln 5] ] c) x+y dx dy dz, kde je dána nerovnostmi x + y, 0 y, 0 x, 0 z 4 9 ln ] 4+z d) xy dx dy dz, kde je dána nerovnostmi x + y 4z 6 0] (4+z) e) x yz dx dy dz, kde je dána nerovnostmi 4x + y + z, x 0, y 0, z 0 ] 05 5