Formální jazyky. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
|
|
|
- Štěpánka Marešová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Formální jazyky Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
2 Abeceda a slovo Definice Abeceda je libovolná neprázdná konečná množina symbolů(znaků). Poznámka: Abeceda se často označuje řeckým písmenem Σ(velké sigma). Definice Slovo v dané abecedě je libovolná konečná posloupnost symbolů z této abecedy. Příklad 1: Σ = {A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z} Slova v abecedě Σ: AHOJ ABRACADABRA ERROR Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
3 Abeceda a slovo Příklad 2: Σ 2 = {A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z, } Slovovabecedě Σ 2 : HELLO WORLD Příklad 3: Σ 3 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Slovavabecedě Σ 3 : 0, ,65536 Příklad 4: Slovavabecedě Σ 4 = {0,1}: ,111, Příklad 5: Slovavabecedě Σ 5 = {a,b}: aababb, abbabbba, aaab Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
4 Abeceda a slovo Příklad 6: Abeceda Σ 6 jemnožinavšechasciiznaků. Příklad slova: class HelloWorld { public static void main(string[] args) { System.out.println("Hello, world!"); } } class HelloWorld { public static void main(str Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
5 Teorie formálních jazyků motivace Jazyk množina(některých) slov tvořených symboly z dané abecedy Příklady typů problémů, při jejichž řešení se využívá poznatků z teorie formálních jazyků: Tvorba překladačů: lexikální analýza syntaktická analýza Vyhledávání v textu: hledání zadaného vzorku hledání textu zadaného regulárním výrazem Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
6 Práce s formálními jazyky Když chceme nějaký jazyk popsat, máme několik možností: Můžeme vyjmenovat všechna jeho slova(což je ale použitelné jen pro malé konečné jazyky). Příklad: L = {aab, babba, aaaaaa} Můžeme specifikovat nějakou vlastnost, kterou mají právě ta slova, která do tohoto jazyka patří: Příklad: Jazyk nad abecedou {0, 1}, obsahující všechna slova, ve kterých je počet výskytů symbolu 1 sudý. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
7 Práce s formálními jazyky V teorii formálních jazyků se používají především následující dva přístupy: Popsat(idealizovaný) stroj, zařízení, algoritmus, který rozpozná slova patřící do daného jazyka vede k použití tzv. automatů. Popsat nějaký mechanismus umožňující generovat všechna možná slovapatřícídodanéhojazyka vedektzv.gramatikáma regulárním výrazům. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
8 Některé základní pojmy Délkaslovajepočetznakůveslově. Například délka slova abaab je 5. Délkuslova woznačujeme w. Pokudtedynapř. w = abaab,pak w =5. Početvýskytůznaku aveslově woznačujeme w a. Proslovo w = ababbtedyplatí w a =2a w b =3. Prázdné slovo je slovo délky 0, tj. neobsahující žádné znaky. Prázdné slovo se označuje řeckým písmenem ε(epsilon). (Pozn.: V literatuře se pro označení prázdného slova někdy používá místo symbolu ε řecké písmeno λ(lambda).) ε =0 Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
9 Zřetězení slov Se slovy je možné provádět operaci zřetězení: Například zřetězením slov OST a RAVA vznikne slovo OSTRAVA. Operace zřetězení se označuje symbolem (podobně jako násobení). Tento symbol je možné vypouštět. OST RAVA =OSTRAVA Zřetězeníjeasociativní,tj.prolibovolnátřislova u, va wplatí (u v) w = u (v w) což znamená, že při zápisu více zřetězení můžeme vypouštět závorky a psátnapříklad w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 místo (w 1 (w 2 w 3 )) (w 4 w 5 ). Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
10 Zřetězení slov Zřetězení není komutativní, tj. obecně pro dvojici slov u a v neplatí rovnost u v = v u Příklad: OST RAVA RAVA OST Zjevněprolibovolnáslova va wplatí: v w = v + w Pro libovolné slovo w také platí: ε w = w ε = w Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
11 Prefixy, sufixy a podslova Definice Slovo xjeprefixemslova y,jestližeexistujeslovo vtakové,že y = xv. Slovo xjesufixemslova y,jestližeexistujeslovo utakové,že y = ux. Slovo xjepodslovemslova y,jestližeexistujíslova ua vtaková,že y = uxv. Příklad: Prefixyslovaabaabjsou ε,a,ab,aba,abaa,abaab. Sufixyslovaabaabjsou ε,b,ab,aab,baab,abaab. Podslovaslovaabaabjsou ε,a,b,ab,ba,aa,aba,baa,aab,abaa, baab, abaab. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
12 Jazyk Množinuvšechslovtvořenýchsymbolyzabecedy Σoznačujeme Σ. Definice (Formální) jazyk L v abecedě Σ je nějaká libovolná podmnožina množiny Σ,tj. L Σ. Příklad1:Množina {00,01001,1101}jejazykvabecedě {0,1}. Příklad 2: Množina všech syntakticky správných programů v jazyce C je jazyk v abecedě tvořené množinou všech ASCII znaků. Příklad 3: Množina všech textů obsahujících sekvenci znaků ahoj je jazyk v abecedě tvořené množinou všech ASCII znaků. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
13 Množinové operace na jazycích Vzhledem k tomu, že jazyky jsou množiny, můžeme s nimi provádět množinové operace: Sjednocení L 1 L 2 jejazyktvořenýslovy,kterápatříbuďdojazyka L 1 nebodojazyka L 2 (nebodoobou). Průnik L 1 L 2 jejazyktvořenýslovy,kterápatřísoučasnědojazyka L 1 idojazyka L 2. Doplněk L 1 jejazyktvořenýtěmislovyze Σ,kteránepatřído L 1. Rozdíl L 1 L 2 jejazyktvořenýslovy,kterápatřído L 1,alenepatří do L 2. Poznámka: Při operacích nad jazyky předpokládáme, že jazyky, se kterými operaci provádíme, používají tutéž abecedu Σ. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
14 Množinové operace na jazycích Formálně: Sjednocení: L 1 L 2 = {w Σ w L 1 w L 2 } Průnik: L 1 L 2 = {w Σ w L 1 w L 2 } Doplněk: L 1 = {w Σ w L 1 } Rozdíl: L 1 L 2 = {w Σ w L 1 w L 2 } Poznámka:Předpokládáme,že L 1,L 2 Σ pronějakoudanouabecedu Σ. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
15 Množinové operace na jazycích Příklad: Uvažujme jazyky nad abecedou {a, b}. Pak L 1 množinavšechslovobsahujícíchpodslovobaa L 2 množinavšechslovsesudýmpočtemvýskytůsymbolub L 1 L 2 množinavšechslovobsahujícíchpodslovobaanebosudý počet symbolů b L 1 L 2 množinavšechslovobsahujícíchpodslovobaaasudý počet symbolů b L 1 množinavšechslov,kteráneobsahujípodslovobaa L 1 L 2 množinavšechslov,vekterýchsevyskytujepodslovobaa, alekdepočetsymbolůbnenísudý Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
16 Zřetězení jazyků Definice Zřetězeníjazyků L 1 a L 2,kde L 1,L 2 Σ,jejazyk L Σ takový,žepro každé w Σ platí w L ( u L 1 )( v L 2 )(w = u v) Zřetězeníjazyků L 1 a L 2 označujeme L 1 L 2. Příklad: L 1 = {abb,ba} L 2 = {a,ab,bbb} Jazyk L 1 L 2 obsahujeslova: abba abbab abbbbb baa baab babbb Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
17 Iterace jazyka Definice Iteracejazyka L,označovanázápisem L,jejazyktvořenýslovyvzniklými zřetězením libovolného počtu slov z jazyka L. Tj. w L právětehdy,když n N : w 1,w 2,...,w n L : w = w 1 w 2 w n Příklad: L = {aa,b} L = {ε,aa,b,aaaa,aab,baa,bb,aaaaaa,aaaab,aabaa,aabb,...} Poznámka: Počet slov, která zřetězujeme, může být i 0, což znamená, že vždyplatí ε L (bezohledunato,zda ε Lnebone). Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
18 Iterace jazyka alternativní definice Nejprvedefinujemeprojazyk Lačíslo k Njazyk L k : L 0 = {ε}, L k = L k 1 L pro k 1 To znamená L 0 = {ε} L 1 = L L 2 = L L L 3 = L L L L 4 = L L L L L 5 = L L L L L... Příklad:Pro L = {aa,b}jazyk L 3 obsahujenásledujícíslova: aaaaaa aaaab aabaa aabb baaaa baab bbaa bbb Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
19 Iterace jazyka alternativní definice Alternativní definice Iterace jazyka L je jazyk L = k 0 L k Poznámka: L k = L 0 L 1 L 2 L 3 k 0 Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
20 Iterace jazyka Poznámka:Používásetakézápis L + jakozkratkaza L L,tj. L + = k 1 L k Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
21 Zrcadlový obraz Zrcadlovýobrazslova wjeslovo wzapsané pozpátku. Zrcadlovýobrazslova wznačíme w R. Příklad: w =AHOJ w R =JOHA Formálněmůžemedefinovat,žepro w = a 1 a 2 a n (kde a i Σ)je w R = a n a n 1 a 1. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
22 Zrcadlový obraz Zrcadlový obraz jazyka L je jazyk tvořený zrcadlovými obrazy všech slov zjazyka L. Zrcadlovýobrazjazyka Lznačíme L R. L R = {w R w L} Příklad: L = {ab, baaba, aaab} L R = {ba, abaab, baaa} Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
23 Uspořádání na slovech Předpokládejme určité(lineární) uspořádání < symbolů abecedy Σ, tj.pokud Σ = {a 1,a 2,...,a n },takplatí a 1 < a 2 <... < a n. Příklad: Σ = {a,b,c},přičemž a < b < c. Namnožině Σ můžemedefinovatnásledující(lineární)uspořádání < L : x < L yprávětehdy,když: x < y,nebo x = y aexistujíslova u,v,w Σ asymboly a,b Σtakové,že platí x = uav y = ubw a < b Neformálněmůžemeříctvuspořádání < L řadímeslovapodledélkya v rámci stejné délky lexikograficky(podle abecedy). Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
24 Uspořádání na slovech Všechnaslovanadabecedou Σmůžemepomocíuspořádání < L seřaditdo posloupnosti w 0,w 1,w 2,... vekterésekaždéslovo w Σ vyskytujeprávějednouakdeprolibovolná i,j Nplatí,že w i < L w j právětehdy,když i < j. Příklad:Proabecedu Σ = {a,b,c}(kde a < b < c)budezačátek posloupnosti vypadat následovně: ε,a,b,c,aa,ab,ac,ba,bb,bc,ca,cb,cc,aaa,aab,aac,aba,abb,abc,... Pokudbudememluvitnapříkladoprvníchdesetislovechjazyka L Σ, mámetímnamyslidesetslov,kterápatřídojazyka Lajsoumezivšemi slovyzjazyka Lnejmenšívzhledemkuspořádání < L. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
25 Regulární výrazy Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
26 Regulární výrazy Regulární výrazy popisující jazyky nad abecedou Σ:, ε, a(kde a Σ)jsouregulárnívýrazy:... označujeprázdnýjazyk ε... označujejazyk {ε} a... označujejazyk {a} Jestliže α, βjsouregulárnívýrazy,paki(α+β), (α β), (α )jsou regulární výrazy: (α+β)... označujesjednoceníjazykůoznačených αaβ (α β)... označujezřetězeníjazykůoznačených αaβ (α )... označujeiteracijazykaoznačeného α Neexistují žádné další regulární výrazy než ty definované podle předchozích dvou bodů. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
27 Regulární výrazy Příklad: abeceda Σ = {0,1} Podledefinicejsou0i1regulárnívýrazy. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
28 Regulární výrazy Příklad: abeceda Σ = {0,1} Podledefinicejsou0i1regulárnívýrazy. Protože0i1jsouregulárnívýrazy,jei(0+1)regulárnívýraz. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
29 Regulární výrazy Příklad: abeceda Σ = {0,1} Podledefinicejsou0i1regulárnívýrazy. Protože0i1jsouregulárnívýrazy,jei(0+1)regulárnívýraz. Protože0jeregulárnívýraz,jei(0 )regulárnívýraz. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
30 Regulární výrazy Příklad: abeceda Σ = {0,1} Podledefinicejsou0i1regulárnívýrazy. Protože0i1jsouregulárnívýrazy,jei(0+1)regulárnívýraz. Protože0jeregulárnívýraz,jei(0 )regulárnívýraz. Protože (0+1)i(0 )jsouregulárnívýrazy,jei((0+1) (0 )) regulární výraz. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
31 Regulární výrazy Příklad: abeceda Σ = {0,1} Podledefinicejsou0i1regulárnívýrazy. Protože0i1jsouregulárnívýrazy,jei(0+1)regulárnívýraz. Protože0jeregulárnívýraz,jei(0 )regulárnívýraz. Protože (0+1)i(0 )jsouregulárnívýrazy,jei((0+1) (0 )) regulární výraz. Poznámka: Jestliže α je regulární výraz, zápisem [α] označujeme jazyk definovaný regulárním výrazem α. [((0+1) (0 ))] = {0,1,00,10,000,100,0000,1000,00000,...} Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
32 Regulární výrazy Strukturu regulárního výrazu si můžeme znázornit abstraktním syntaktickým stromem: (((((0 1) ) 1) (1 1))+(((0 0)+1) )) Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
33 Regulární výrazy Formální definice sémantiky regulárních výrazů: [ ] = [ε] = {ε} [a] = {a} [α ] = [α] [α β] = [α] [β] [α+β] = [α] [β] Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
34 Regulární výrazy Aby byl zápis regulárních výrazů přehlednější a stručnější, používáme následují pravidla: Vynecháváme vnější pár závorek. Vynecháváme závorky, které jsou zbytečné vzhledem k asociativitě operací sjednocení(+) a zřetězení( ). Vynecháváme závorky, které jsou zbytečné vzhledem k prioritě operací (nejvyššíprioritumáiterace( ),menšízřetězení( )anejmenší sjednocení(+)). Nepíšeme tečku pro zřetězení. Příklad: Místo obvykle píšeme (((((0 1) ) 1) (1 1))+(((0 0)+1) )) (01) 111+(00+1) Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
35 Regulární výrazy Příklady:Vevšechpřípadech Σ = {0,1} jazyktvořenýjedinýmslovem0 Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
36 Regulární výrazy Příklady:Vevšechpřípadech Σ = {0,1} jazyktvořenýjedinýmslovem jazyktvořenýjedinýmslovem01 Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
37 Regulární výrazy Příklady:Vevšechpřípadech Σ = {0,1} jazyktvořenýjedinýmslovem jazyktvořenýjedinýmslovem jazyktvořenýdvěmaslovy0a1 Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
38 Regulární výrazy Příklady:Vevšechpřípadech Σ = {0,1} jazyktvořenýjedinýmslovem jazyktvořenýjedinýmslovem jazyktvořenýdvěmaslovy0a jazyktvořenýslovy ε,0,00,000,... Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
39 Regulární výrazy Příklady:Vevšechpřípadech Σ = {0,1} jazyktvořenýjedinýmslovem jazyktvořenýjedinýmslovem jazyktvořenýdvěmaslovy0a jazyktvořenýslovy ε,0,00,000,... (01)... jazyktvořenýslovy ε,01,0101,010101,... Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
40 Regulární výrazy Příklady:Vevšechpřípadech Σ = {0,1} jazyktvořenýjedinýmslovem jazyktvořenýjedinýmslovem jazyktvořenýdvěmaslovy0a jazyktvořenýslovy ε,0,00,000,... (01)... jazyktvořenýslovy ε,01,0101,010101,... (0+1)... jazyktvořenývšemislovynadabecedou {0,1} Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
41 Regulární výrazy Příklady:Vevšechpřípadech Σ = {0,1} jazyktvořenýjedinýmslovem jazyktvořenýjedinýmslovem jazyktvořenýdvěmaslovy0a jazyktvořenýslovy ε,0,00,000,... (01)... jazyktvořenýslovy ε,01,0101,010101,... (0+1)... jazyktvořenývšemislovynadabecedou {0,1} (0+1) jazyktvořenývšemislovykončícími00 Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
42 Regulární výrazy Příklady:Vevšechpřípadech Σ = {0,1} jazyktvořenýjedinýmslovem jazyktvořenýjedinýmslovem jazyktvořenýdvěmaslovy0a jazyktvořenýslovy ε,0,00,000,... (01)... jazyktvořenýslovy ε,01,0101,010101,... (0+1)... jazyktvořenývšemislovynadabecedou {0,1} (0+1) jazyktvořenývšemislovykončícími00 (01) 111(01)... jazyktvořenývšemislovyobsahujícímipodslovo111 předcházené i následované libovolným počtem slov 01 Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
43 Regulární výrazy (0+1) 00+(01) 111(01)... jazyktvořenývšemislovy,kterábuď končí 00 nebo obsahují podslovo 111 předcházené i následované libovolným počtem slov 01 Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
44 Regulární výrazy (0+1) 00+(01) 111(01)... jazyktvořenývšemislovy,kterábuď končí 00 nebo obsahují podslovo 111 předcházené i následované libovolným počtem slov 01 (0+1) 1(0+1)... jazyktvořenývšemislovyobsahujícímialespoň jeden symbol 1 Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
45 Regulární výrazy (0+1) 00+(01) 111(01)... jazyktvořenývšemislovy,kterábuď končí 00 nebo obsahují podslovo 111 předcházené i následované libovolným počtem slov 01 (0+1) 1(0+1)... jazyktvořenývšemislovyobsahujícímialespoň jeden symbol 1 0 (10 10 )... jazyktvořenývšemislovyobsahujícímisudýpočet symbolů 1 Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
Formální jazyky. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 21. března / 50
Formální jazyky Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 21. března 2013 1/ 50 Abeceda a slovo Definice Abeceda je libovolná neprázdná konečná množina symbolů(znaků). Poznámka: Abeceda se často
Regulární výrazy. M. Kot, Z. Sawa (VŠB-TU Ostrava) Úvod do teoretické informatiky 14. března / 20
Regulární výrazy M. Kot, Z. Sawa (VŠB-TU Ostrava) Úvod do teoretické informatiky 14. března 2007 1/ 20 Regulární výrazy Jako například v aritmetice můžeme pomocí operátorů + a vytvářet výrazy jako (5+3)
Formální jazyky. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 7. března / 46
Formální jzyky Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn 2012 1/ 46 Teorie formálních jzyků motivce Příkldy typů prolémů, při jejichž řešení se využívá pozntků z teorie formálních jzyků: Tvor
Predikátová logika 1. řádu shrnutí
Predikátová logika 1. řádu shrnutí Symboly: Syntaxe: Logické symboly: proměnné:x Var,kdeVar = {x 0,x 1,x 2,...} logickéspojky:,,,, kvantifikátory:, závorky: ), ( symbol pro rovnost: = Mimologickésymboly
Množinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ
Abecedou se rozumí libovolná konečná množina Σ. Prvky abecedy nazýváme znaky (symboly) Slovo (řetězec) v nad abecedou Σ je libovolná konečná posloupnost znaků této abecedy. Prázdné posloupnosti znaků odpovídá
Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak
1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen
Automaty a gramatiky(bi-aag) Motivace. 1. Základní pojmy. 2 domácí úkoly po 6 bodech 3 testy za bodů celkem 40 bodů
BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 1. Základní pojmy p. 2/29 Hodnocení předmětu BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 1. Základní pojmy p. 4/29 Automaty a gramatiky(bi-aag) 1. Základní pojmy Jan Holub Katedra teoretické
Formální jazyky a gramatiky Teorie programovacích jazyků
Formální jazyky a gramatiky Teorie programovacích jazyků doc. Ing. Jiří Rybička, Dr. ústav informatiky PEF MENDELU v Brně rybicka@mendelu.cz Připomenutí základních pojmů ABECEDA jazyk je libovolná podmnožina
doplněk, zřetězení, Kleeneho operaci a reverzi. Ukážeme ještě další operace s jazyky, na které je
28 [181105-1236 ] 2.7 Další uzávěrové vlastnosti třídy regulárních jazyků Z předchozích přednášek víme, že třída regulárních jazyků je uzavřena na sjednocení, průnik, doplněk, zřetězení, Kleeneho operaci
Regulární výrazy. Definice Množina regulárních výrazů nad abecedou Σ, označovaná RE(Σ), je definována induktivně takto:
IB102 Automaty, gramatiky a složitost, 6. 10. 2014 1/29 Regulární výrazy Definice 2.58. Množina regulárních výrazů nad abecedou Σ, označovaná RE(Σ), je definována induktivně takto: 1 ε, a a pro každé a
Bezkontextové gramatiky. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 6. května / 49
Bezkontextové gramatiky Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 6. května 2018 1/ 49 Bezkontextové gramatiky Příklad: Chtěli bychom popsat jazyk aritmetických výrazů obsahující výrazy jako například:
2 Formální jazyky a gramatiky
2 Formální jazyky a gramatiky 2.1 Úvod Teorie formálních gramatik a jazyků je důležitou součástí informatiky. Její využití je hlavně v oblasti tvorby překladačů, kompilátorů. Vznik teorie se datuje přibližně
Vyhledávání v textu. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava
Vyhledávání v textu doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 9. března 209 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Vyhledávání v textu 402
Bezkontextové jazyky. Bezkontextové jazyky 1 p.1/39
Bezkontextové jazyky Bezkontextové jazyky 1 p.1/39 Jazyky typu 2 Definice 4.1 Gramatika G = (N, Σ, P, S) si nazývá bezkontextovou gramatikou, jestliže všechna pravidla z P mají tvar A α, A N, α (N Σ) Lemma
/1: Teoretická informatika(ti) přednáška 4
456-330/1: Teoretická informatika(ti) přednáška 4 prof. RNDr Petr Jančar, CSc. katedra informatiky FI VŠB-TUO www.cs.vsb.cz/jancar LS 2009/2010 Petr Jančar (FI VŠB-TU) Teoretická informatika(ti) LS 2009/2010
Množiny. množinové operace jsou mírně odlišné od
Množiny Množina se dá chápat jako soubor prvků. ( Např. lidé na planetě zemi tvoří jednu velkou množinu.) Každá množina tedy obsahuje určitý počet prvků, který může být konečný (lze spočítat) nebo nekonečný
/01: Teoretická informatika(ti) přednáška 5
460-4005/01: Teoretická informatika(ti) přednáška 5 prof. RNDr Petr Jančar, CSc. katedra informatiky FEI VŠB-TUO www.cs.vsb.cz/jancar LS 2010/2011 Petr Jančar (FEI VŠB-TU) Teoretická informatika(ti) LS
Turingovy stroje. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Turingovy stroje Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Jaké znáte algebraické struktury s jednou operací? Co je to okruh,
Pumping lemma - podstata problému. Automaty a gramatiky(bi-aag) Pumping lemma - problem resolution. Pumping lemma - podstata problému
BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 10. Vlastnosti regulárních jazyků p. 2/22 Pumping lemma - podstata problému BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 10. Vlastnosti regulárních jazyků p. 4/22 Automaty a gramatiky(bi-aag)
Z. Sawa (VŠB-TUO) Teoretická informatika 5. listopadu / 43
Zásobníkové automaty Z. Sawa (VŠB-TUO) Teoretická informatika 5. listopadu 2018 1/ 43 Zásobníkový automat Chtěli bychom rozpoznávat jazyk L = {a i b i i 1} Snažíme se navrhnout zařízení (podobné konečným
Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1
Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 1 Po přednášce 14.9. bude text asi mírně modifikován, ale příklady na cvičení se nezmění. (Navíc dodám na web slidy.) Přednáška Na začátku jsme si
AUTOMATY A GRAMATIKY
AUTOMATY A 1 GRAMATIKY Pavel Surynek Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra teoretické informatiky a matematické logiky Stručný přehled přednášky Automaty Formální jazyky, operace
Úvod do programovacích jazyků (Java)
Úvod do programovacích jazyků (Java) Michal Krátký Katedra informatiky VŠB Technická univerzita Ostrava Úvod do programovacích jazyků (Java), 2007/2008 c 2006 2008 Michal Krátký Úvod do programovacích
0. ÚVOD - matematické symboly, značení,
0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní
Pro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 5. Výroková logika, formule výrokové logiky a jejich pravdivostní ohodnocení, splnitelné formule, tautologie, kontradikce, sémantický důsledek, tautologicky ekvivalentní
Bezkontextové jazyky 2/3. Bezkontextové jazyky 2 p.1/27
Bezkontextové jazyky 2/3 Bezkontextové jazyky 2 p.1/27 Transformace bezkontextových gramatik Bezkontextové jazyky 2 p.2/27 Ekvivalentní gramatiky Definice 6.1 Necht G 1 a G 2 jsou gramatiky libovolného
Teorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky.
Teorie množin V matematice je všechno množina I čísla jsou definována pomocí množin Informatika stojí na matematice Znalosti Teorie množin využijeme v databázových systémech v informačních systémech při
Algoritmizace a programování
Algoritmizace a programování Řídicí struktury jazyka Java Struktura programu Příkazy jazyka Blok příkazů Logické příkazy Ternární logický operátor Verze pro akademický rok 2012/2013 1 Struktura programu
Rovnost lze vyjádřit jako predikát, např. můžeme zvolit, že P(x, y) reprezentujetvrzení xjerovnoy.
Rovnost Jedním z nejdůležitějších druhů relací je rovnost(identita). Prvkyxayjsousirovny,cožzapisujeme x =y, jestližesejednáojedenatentýžprvek. Rovnost lze vyjádřit jako predikát, např. můžeme zvolit,
Jednoznačné a nejednoznačné gramatiky
BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 11. Bezkontextové gramatiky p. 2/36 Jednoznačné a nejednoznačné gramatiky BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 11. Bezkontextové gramatiky p. 4/36 Automaty a gramatiky(bi-aag) 11.
Cvičení 1. Úvod do teoretické informatiky(2014/2015) cvičení 1 1
Úvod do teoretické informatiky(2014/2015) cvičení 1 1 Cvičení 1 Příklad 1: Pro každý z následujících formálních zápisů množin uveďte(svými slovy), jaké prvky daná množina obsahuje: a) {1,3,5,7,...} b)
Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
Formální jazyky. M. Kot, Z. Sawa (VŠB-TU Ostrava) Úvod do teoretické informatiky 6. března / 48
Formální jzyky M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 6. březn 2007 1/ 48 Motivce 1: Vyhledávání v textu Potřebujeme řešit následující problém: Máme řdu různých textů(npř. soubory n
Základní pojmy. Úvod do programování. Základní pojmy. Zápis algoritmu. Výraz. Základní pojmy
Úvod do programování Michal Krátký 1,Jiří Dvorský 1 1 Katedra informatiky VŠB Technická univerzita Ostrava Úvod do programování, 2004/2005 Procesor Procesorem je objekt, který vykonává algoritmem popisovanou
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 2. Množiny, funkce MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí
Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak
1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen
V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární
AUTOMATY A GRAMATIKY. Pavel Surynek. Kontextové uzávěrové vlastnosti Turingův stroj Rekurzivně spočetné jazyky Kódování, enumerace
AUTOMATY A 11 GRAMATIKY Pavel Surynek Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra teoretické informatiky a matematické logiky Kontextové uzávěrové vlastnosti Turingův stroj Rekurzivně
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5
NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 Definování množiny a jejích prvků Množina je souhrn nějakých věcí. Patří-li věc do množiny X, říkáme, že v ní leží, že je jejím prvkem nebo že množina X tuto věc obsahuje.
Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α
1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny
Formální jazyky a automaty Petr Šimeček
Formální jazyky a automaty Petr Šimeček Úvod Formální jazyky a automaty jsou základním kamenem teoretické informatiky. Na počátku se zmíníme o Chomského klasifikaci gramatik, nástroje, který lze aplikovat
p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že
KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =
Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík. Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008.
Úvod do informatiky přednáška čtvrtá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Pojem relace 2 Vztahy a operace s (binárními) relacemi
Výpočetní modely pro rozpoznávání bezkontextových jazyků zásobníkové automaty LL(k) a LR(k) analyzátory
Plán přednášky Výpočetní modely pro rozpoznávání bezkontextových jazyků zásobníkové automaty LL(k) a LR(k) analyzátory Obecný algoritmus pro parsování bezkontextových jazyků dynamické programování 1 Zásobníkový
Výroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Výroková logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to formalismus a co je jeho cílem? Formulujte Russelův paradox
Lineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
Programování. Bc. Veronika Tomsová
Programování Bc. Veronika Tomsová Regulární výrazy Regulární výrazy slouží k porovnání a zpracovaní textu PHP podporuje syntaxi POSIX-Extended Regulární výrazy jsou velice vhodné například k ověření emailové
Matematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška šestá Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 3. PREDNÁŠKA - KOMPAKTNÍ PROSTORY.
TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 3. PREDNÁŠKA - KOMPAKTNÍ PROSTORY. PAVEL RŮŽIČKA 3.1. Kompaktní prostory. Buď (X, τ) topologický prostor a Y X. Řekneme, že A τ je otevřené pokrytí množiny Y, je-li
Programovací jazyk Pascal
Programovací jazyk Pascal Syntaktická pravidla (syntaxe jazyka) přesná pravidla pro zápis příkazů Sémantická pravidla (sémantika jazyka) pravidla, která každému příkazu přiřadí přesný význam Všechny konstrukce
Operace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
Pravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
Vlastnosti regulárních jazyků
Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro
Logické operace. Datový typ bool. Relační operátory. Logické operátory. IAJCE Přednáška č. 3. může nabýt hodnot: o true o false
Logické operace Datový typ bool může nabýt hodnot: o true o false Relační operátory pravda, 1, nepravda, 0, hodnoty všech primitivních datových typů (int, double ) jsou uspořádané lze je porovnávat binární
Kapitola 6. LL gramatiky. 6.1 Definice LL(k) gramatik. Definice 6.3. Necht G = (N, Σ, P, S) je CFG, k 1 je celé číslo.
Kapitola 6 LL gramatiky 6.1 Definice LL(k) gramatik Definice 6.1. Necht G = (N, Σ, P, S) je CFG, k 1 je celé číslo. Definujme funkci FIRST G k : (N Σ) + P({w Σ w k}) předpisem FIRST G k (α) = {w Σ (α w
Algoritmizace prostorových úloh
INOVACE BAKALÁŘSKÝCH A MAGISTERSKÝCH STUDIJNÍCH OBORŮ NA HORNICKO-GEOLOGICKÉ FAKULTĚ VYSOKÉ ŠKOLY BÁŇSKÉ - TECHNICKÉ UNIVERZITY OSTRAVA Algoritmizace prostorových úloh Algoritmus Daniela Szturcová Tento
OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA
OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA BAKALÁŘSKÁ PRÁCE 2002 SEDLÁK MARIAN - 1 - OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA INFORMATIKY A POČÍTAČŮ Vizualizace principů výpočtu konečného
4.2 Syntaxe predikátové logiky
36 [070507-1501 ] 4.2 Syntaxe predikátové logiky V tomto oddíle zavedeme syntaxi predikátové logiky, tj. uvedeme pravidla, podle nichž se tvoří syntakticky správné formule predikátové logiky. Význam a
Booleovy algebry. Irina Perfilieva. logo
Booleovy algebry Irina Perfilieva Irina.Perfilieva@osu.cz 25. března 2010 Outline 1 Komplementární svazy 2 Booleovy algebry 3 Věty o Booleových algebrách Outline 1 Komplementární svazy 2 Booleovy algebry
Úvod do teoretické informatiky
Úvod do teoretické informatiky Zdeněk Sawa Katedra informatiky, FEI, Vysoká škola báňská Technická universita Ostrava 17. listopadu 15, Ostrava-Poruba 708 33 Česká republika 11. února 2018 Z. Sawa (VŠB-TUO)
Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace
RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,
Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška desátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle R. Bělohlávek, V. Vychodil: Diskrétní matematika 2, http://phoenix.inf.upol.cz/esf/ucebni/dm2.pdf P. Martinek: Základy teoretické informatiky,
LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 5 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 5.1 Spojitost funkce 2 Řekneme, že funkce f(x) je spojitá v bodě a D f, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x (a δ, a + δ) D f platí nerovnost:
Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce
Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 Úvod do teoretické informatiky (logika) Naivní teorie množin Co je to množina? Množina je soubor prvků
2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se
MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí primitivních pojmů; považuje se totiž rovněž za pojem primitivní. Představa o pojmu množina
Logika. 6. Axiomatický systém výrokové logiky
Logika 6. Axiomatický systém výrokové logiky RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216,
Množiny, základní číselné množiny, množinové operace
2 Množiny, základní číselné množiny, množinové operace Pokud kliknete na některý odkaz uvnitř textu kromě prezentace, zobrazí se odpovídající příklad nebo tabulka. Levý Alt+šipka doleva nebo ikona Vás
2. Definice pravděpodobnosti
2. Definice pravděpodobnosti 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematických struktur a algoritmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou deterministické procesy,
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1 2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A
Vztah jazyků Chomskeho hierarchie a jazyků TS
Vztah jazyků Chomskeho hierarchie a jazyků TS Jan Konečný; (přednáší Lukáš Havrlant) 15. října 2013 Jan Konečný; (přednáší Lukáš Havrlant) Chomskeho hierarchie a jazyky TS 15. října 2013 1 / 23 Rychlé
grupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa
grupa komutativní podgrupa těleso generovaná prvkem, cyklická, řád prvku Malá Fermatova věta konečné těleso charakteristika tělesa polynomy ireducibilní prvky, primitivní prvky definice: G, je grupa kde
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Vyhledávání. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 21.
Vyhledávání doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 21. září 2018 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Vyhledávání 242 / 433 Osnova přednášky
Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i,
[161014-1204 ] 11 2.1.35 Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i, kde i = 0, 1,..., takto: p 0 q právě tehdy, když bud p, q F nebo p, q F. Dokud i+1 i konstruujeme p
3 Množiny, Relace a Funkce
3 Množiny, Relace a Funkce V přehledu matematických formalismů informatiky se v této lekci zaměříme na základní datové typy matematiky, tj. na množiny, relace a funkce. O množinách jste sice zajisté slyšeli
Unární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek
Otázka 06 - Y01MLO Zadání Predikátová logika, formule predikátové logiky, sentence, interpretace jazyka predikátové logiky, splnitelné sentence, tautologie, kontradikce, tautologicky ekvivalentní formule.
Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2017/2018
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2017/2018 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík. Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008.
Úvod do informatiky přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Množiny, relace a funkce úvod Množiny, relace a funkce
4. Kombinatorika a matice
4 Kombinatorika a matice 4 Princip inkluze a exkluze Předpokládejme, že chceme znát počet přirozených čísel menších než sto, která jsou dělitelná dvěma nebo třemi Označme N k množinu přirozených čísel
Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška pátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní
PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy
PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Ukážeme, že každý prvek distributivního svazu odpovídá termu v konjuktivně-disjunktivním (resp. disjunktivně-konjunktivním)
Matice. a m1 a m2... a mn
Matice Nechť (R, +, ) je okruh a nechť m, n jsou přirozená čísla Matice typu m/n nad okruhem (R, +, ) vznikne, když libovolných m n prvků z R naskládáme do obdélníkového schematu o m řádcích a n sloupcích
Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
Množiny, relace, zobrazení
Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,
Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13.
Grafy doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 13. března 2017 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Grafy 104 / 309 Osnova přednášky Grafy
(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
Složitost problémů. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 25. dubna / 23
Složitost problémů Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 25. dubna 2012 1/ 23 Složitost problémů Ukazuje se, že různé(algoritmické) problémy jsou různě těžké. Obtížnější jsou ty problémy, k
Programování v Pythonu
ƒeské vysoké u ení technické v Praze FIT Programování v Pythonu Ji í Znamená ek P íprava studijního programu Informatika je podporována projektem nancovaným z Evropského sociálního fondu a rozpo tu hlavního
Cvičení 5 - Inverzní matice
Cvičení 5 - Inverzní matice Pojem Inverzní matice Buď A R n n. A je inverzní maticí k A, pokud platí, AA = A A = I n. Matice A, pokud existuje, je jednoznačná. A stačí nám jen jedna rovnost, aby platilo,
Výroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2017/2018 1 / 17 Předběžnosti Základní pojmy n-ární relace a funkce
Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1
Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném
Operace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
Pravděpodobnost a její vlastnosti
Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale
Prolog PROgramming in LOGic část predikátové logiky prvního řádu rozvoj začíná po roce 1970 Robert Kowalski teoretické základy Alain Colmerauer, David
Úvod do Prologu Prolog PROgramming in LOGic část predikátové logiky prvního řádu rozvoj začíná po roce 1970 Robert Kowalski teoretické základy Alain Colmerauer, David Warren (Warren Abstract Machine) implementace
Booleova algebra Luboš Štěpánek
Booleova algebra Luboš Štěpánek Úvod Booleovaalgebra(čti búlova ),nazvanápodleirskéhomatematikaalogikageorge Boolea(1815 1864), je užitečná v mnoha matematických disciplínách a má velmi široké uplatnění
1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35
1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný
Základy teoretické informatiky Formální jazyky a automaty
Základy teoretické informatiky Formální jazyky a automaty Petr Osička KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Outline Literatura Obsah J.E. Hopcroft, R. Motwani, J.D. Ullman Introduction to