2. Definice pravděpodobnosti

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "2. Definice pravděpodobnosti"

Transkript

1 2. Definice pravděpodobnosti 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematických struktur a algoritmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou deterministické procesy, které se řídí zákony dovolujícími určit s okamžitého stavu jejich budoucí či minulý stav. Mezi takové patří elektrické obvody popisované Ohmovým zákonem, nebo fyzikální procesy v mechanice, které se řídí Newtonovými zákony. Dokonce i dynamické procesy takového charakteru mají popis pomocí diferenciálních rovnic a jejich budoucnost či minulost je popsána hodnotami jejich řešení. Druhou skupinu tvoří náhodné procesy do jejichž výsledků se promítají náhodné vlivy, které způsobují, že proces realizovaný za týchž podmínek dává různé výsledky. Studiem zákonitostí výskytu výsledků se zabývá matematická statistika. Algoritmy, kterými jsou veličiny tohoto druhu popisovány jsou tématem teorie pravděpodobnosti Definice: Náhodný pokus, náhodný jev. Proces, který při opakování dává za stejných podmínek rozdílné výsledky nazýváme náhodným pokusem. Různé výsledky náhodného pokusu nazýváme náhodnými jevy. Množinu všech možných výsledků náhodného pokusu nazýváme jevovým polem. Značení: V dalším textu budeme označovat symbolem S jevové pole a jeho prvky, náhodné jevy, budeme označovat velkými písmeny, např. A, B, C k, U, V, a pod. Poznámka: Jednotlivé pojmy, které budeme postupně zavádět budeme ilustrovat na příkladech. Několik jich uvedeme a budeme na nich smysl a význam základních pojmů vysvětlovat. Podobně jako v části o kombinatorice budeme uvádět příklad, který odpovídá reálnému procesu a zároveň si uvedeme formulaci ( ) jeho matematického modelu Příklad: 1. Házíme mincí a sledujeme kdy padne rub a kdy líc. Jevové pole S má dva prvky {r, l}. 13

2 Příklad můžeme formulovat abstraktně takto: provádíme pokus, který má dva možné výsledky. První si označíme jako 0 a druhý jako 1. Jevové pole S = {0, 1}. Je vidět, že tento model je univerzální, ztrácí se z něj fyzikální realita pokusu. Pokus je nahrazem matematickým modelem. Čísla 0 a 1 mohou reprezentovat zcela odlišné reálné situace. Např. rub a líc mince, zařízení pracuje, nepracuje apod. 2. Házíme hrací kostkou a sledujeme počet ok na horní stěně kostky. Jevové pole má 6 prvků, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Shodnou strukturu má úloha: náhodně vybereme z množiny n prvků, např. čísel {1, 2,..., n} jeden prvek, číslo. 3. Házíme mincí, resp. hrací kostkou, dokud nepadne rub, resp. nepadne předepsaný počet ok (šestka). Výsledkem pokusu je počet hodů. Jevové pole má nekonečně mnoho prvků, S = {1, 2,...}. Obecně lze situaci popsat takto: konáme náhodný pokus, dokud se jako jeho výsledek neobjeví daný náhodný jev. 4. Házíme n krát mincí, resp. hrací kostkou a počítáme, kolikrát se v serii hodů objeví rub, resp. padne šestka. Jevové pole obsahuje prvky {0, 1, 2, 3,..., n}. Obecný popis situace: Konáme serii n nezávislých náhodných pokusů a sledujeme kolikrát nastal jako výsledek daný náhodný jev. 5. Loterie obsahuje N losů a z nich M vyhrává. Zakoupíme n losů a sledujeme na kolik ze zakoupených losů vyhrajeme. Jevové pole S obsahuje prvky {0, 1, 2,..., min{n, M}}. Musí platit 0 n N, 0 M N. Obecný popis modelované situace: Máme množinu N prvků a znich má M sledovanou vlastnost. Náhodně vybereme skupinu n prvků. Ptáme se kolik prvků z vybrané skupiny má sledovanou vlastnost. 14

3 6. Jdeme náhodně na tramvaj a sledujeme dobu čekání. V některých případech není výsledkem náhodného pokusu jev, který lze popsat jednou veličinou, číslem, ale máme situace je taková, že výsledek má vektorový charakter. Uvedeme příklady. 7. Házíme dvěma hracími kostkami a sledujeme počet ok. Jevové pole má charakter uspořádaných dvojic, S = {(i, j); 1 i, j 6}. Struktura jevového pole. Operace s jevy. Množina všech náhodných jevů, výsledků náhodného pokusu má strukturu podobnou struktuře všech podmnožin neprázdné množiny. Rovněž i s náhodnými jevy zacházíme jako s podmnožinami množiny a zavádíme operace, které známe z operací s množinami. Často si je také budeme tak znázorňovat. Struktura jevového pole je tzv. Booleova algebra, obecněji σ algebra Definice: Jev jistý a jev nemožný. Je-li S jevové pole, pak zavádíme jev jistý jako náhodný jev U S, který vždy nastane. Obdobně je jev nemožný náhodný jev V S, který nikdy nenastane Definice: Jevy opačné. Je-li náhodný jev A S, pak opačným jevem k jevu A nazýváme náhodný jev A = A, který nastane vždy, kdy nenastane jev A Věta: Je U = V, V = U a (A) = A Definice: Implikace. Říkáme, že náhodný jev A S má za následek náhodný jev B S, jestliže jev B nastane, kdykoliv nastane jev A. Tuto skutečnost zapisujeme jako A B Věta: Pro každý náhodný jev A S platí V A U Definice: Rovnost náhodných jevů. Říkáme, že náhodné jevy A, B S se rovnají, jestliže je A B a B A. Píšeme pak A = B. 15

4 2.10. Definice: Sjednocení náhodných jevů. Jsou-li A, B, C S náhodné jevy, pak jejich sjednocením nazýváme jev, který nastane právě když nastane jev A nebo jev B. Tento náhodný jev označujeme symbolem A B Věta: Pro náhodné jevy platí: A B = B A; A V = A; A U = U; A A = U; asociativní zákon (A B) C = A (B C) Poznámka: Asociativní zákon platí pro libovolný systém náhodných jevů a nezáleží na pořadí zápisu. Jsou-li A i S, i α, pak pro jejich sjednocení používáme symbolu A i Definice: Průnik náhodných jevů. Jsou-li A, B S náhodné jevy, pak jejich průnikem nazýváme jev, který nastane právě když nastanou oba jevy A a B. Tento náhodný jev označujeme symbolem A B Věta: Pro náhodné jevy platí: A B = B A; A V = V ; A U = A; A A = V ; asociativní zákon (A B) C = A (B C) Poznámka: Asociativní zákon platí pro libovolný systém náhodných jevů a nezáleží na pořadí zápisu. Jsou-li A i S, i α, pak pro jejich průnik používáme symbolu A i Definice: Rozdíl jevů. Jsou-li A, B S náhodné jevy, pak jejich rozdílem nazýváme jev, který nastane právě když nastane jev A a nenastane jev B. Tento náhodný jev označujeme symbolem A B Věta: Pro náhodné jevy platí: A B B A; A V = A; U A = A; A A = A; A A = V ; de Morganovy zákony A (B C) = (A B) (A C); A (B C) = (A B) (A C) Definice: Disjunktní jevy. Náhodné jevy A, B S, které se navzájem vylučují, tj. A B = V, nazýváme disjunktní. i α i α 16

5 Poznámka: Nesmíme zaměňovat jevy disjuktní a jevy nezávislé. V odstavci o nezávislých jevech se k tomuto problému vrátíme. Poznámka: Elementární jevy. U některých jevových polí umíme utvořit rozklad jevového pole na elementární jevy, tedy jevy, které se nedají dále rozložit. Nedají se vyjádřit jako sjednocení jevů. Je to zejména v případech, kdy je těchto jevů konečně nebo nejvýše spočetně mnoho Definice: Elementární jev. Náhodný jev E S nazýváme elementárním jevem, jestliže pro každý náhodný je A S je buď A E = E, nebo A E = V Příklad: Uvedené pojmy budeme ilustrovat na příkladech některých jevových polí, které jsou uvedeny v příkladu Pro náhodný proces z příkladu 1 vypište: a) elementární jevy; b) jevy k nim opačné. Řešení: a) Jevové pole S má dva elementární jevy: {r} - padne rub, {l} - padne líc. b) Je {r} = {l} a {l} = {r}. 2. Uvažujme náhodný pokus z příkladu 2. a) Vypišme elementární jevy. b) Popišme náhodný jev A padne liché číslo. c) Popišme náhodný jev A. d) Je-li náhodný jev B padne číslo menší než 3, určeme náhodné jevy: B, A B, A B, A B, A B, A B. Řešení: a) Při hodu hrací kostkou padne některé číslo mezi 1 a 6. Jevové pole je generováno šesti elementárnímí jevy: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 17

6 b) Mezi možnými čísly jsou lichá tři, tedy náhodný jev A je tvořen 3 elementárními jevy. Tudíž můžeme např. napsat A = {1, 3, 5}, i když bychom měli správně zapisovat A = {{1}, {3}, {5}}. c) Náhodný jev opačný k jevu A lze vyjádřit jako padne sudé číslo. V používané symbolice je pak A = {2, 4, 6}, nebo přesněji A = {{2}, {4}, {6}}. d) Budeme používat zkrácené symboliky. V ní je A = {1, 3, 5} B = {1, 2}, tedy B = {3, 4, 5, 6}, A B = {1, 3, 5} {1, 2} = {1, 2, 3, 5}, A B = {1, 3, 5} {1, 2} = {1}, A B = {1, 3, 5} {3, 4, 5, 6} = {1, 3, 4, 5, 6}, A B = {2, 4, 6} {1, 2, } = {2}, A B = {1, 3, 5} {1, 2, } = {3, 5}. 3. Uvažujme náhodný pokus z příkladu 7. a) Vypišme elementární jevy. b) Popište náhodný jev A - na obou kostkách padne stejný počet bodů. c) Určete jev opačný k náhodnému jevu A. Řešení: a) Na každé z hracích kostek mohou padnou čísla od 1 do 6. Dostaneme celkem 36 možností, které odpovídají elementárním jevům. Ty mají charakter uspořádané dvojice {(i, j)}, kde i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Lze tedy množinu elementárních jevů zapsat jako jejich sjednocení. S = 1 i,j 6 (i, j). 18

7 b) Náhodný jev A nastane, pokud padne na obou kostkách stejný počet bodů, tedy musí nastat některý z elementárních jevů (1, 1), (2, 2),..., (6, 6). Takových je celkem 6 a lze psát, že A = 1 i 6 (i, i). c) Opačný jev A nastane ve zbývajících 36-6=30 možnostech, kde ve dvojici (i, j) je i j. Například dvojice (1, 2), (3, 5), atd. Definice pravděpodobnosti. Poznámka: Je-li S jevové pole, pak pro jeho prvky, jednotlivé náhodné jevy A zavádíme jejich pravděpodobnost P (A) jako míru jejich výskytu. Uvedeme si její definici Definice: Pravděpodobnost. Je-li S jevové pole, pak reálnou funkci P : S R nazýváme pravděpodobností, jestliže pro ni platí: 1. P : S 0, 1, t.j. 0 P (A) 1 pro každý jev A S. 2. P (U) = 1, P (V ) = A B P (A) P (B). 4. A B = V P (A B) = P (A) + P (B). Poznámka: Některé vlastnosti pravděpodobnosti se dají odvodit z druhých. Uvedené požadavky jsou základními vlastnostmi, jejichž znalost budeme považovat za samozřejmou. Uvedeme si speciální případ definice konkrétní pravděpodobnosti, nazývá se klasická definice, kterou budeme používat v řadě případů, které odpovídají situacím z příkladů 2.3 a Věta: Klasická definice pravděpodobnosti. Nechť je jevové pole S generováno systémem elementárních jevů E i, 1 i n, takových, že mají stejnou možnost výskytu. Jestliže definujeme funkci P předpisem: P (E i ) = 1 n, 19

8 pak je P pravděpodobnost. m Potom pro náhodný jev A S, A = k=1 E ik je P (A) = m n. Důkaz: Vlastnosti s definice snadno ověříme, vyplývají z pravidla pro sčítání zlomků. Poznámka: Vztah pro pravděpodobnost z definice se někdy vyjadřuje slovy: Pravděpodobnost jevů je poměr počtu možností příznivých jevu A ku počtu všech možností Příklad: Pomocí klasické definice pravděpodobnosti určete pravděpodobnosti uvedených náhodných jevů. 1. Házíme dvěma mincemi. Určete pravděpodobnosti náhodného jevu: a) A padne na obou mincích rub; b) B na obou mincích padne shodná strana; c) C na obou mincích padnou různé strany Řešení: Jevové pole S je generováno 4 elementárními jevy. Jsou to {(r, r), (r, l), (l, r), (l, l)} a všechny jsou stejně pravděpodobné.tedy: a) Aby nastal jev A musí padnout (r, r), to je jedna ze 4 možností. Je tudíž P (A) = 1 4 = 0, 25. b) Pro jev B jsou příznivé dvě možnosti, (r, r), (l, l), tedy P (B) = 2 4 = 0, 5. c) Jev C nastane také ve dvou případech, (r, l), (l, r), tedy P (C) = 2 4 = 0, Házíme hrací kostkou a uvažujeme počet bodů na horní stěně kostky. Vypočtěte pravděpodobnost: a) jednotlivých elementárních jevů; 20

9 b) jevu A padne sudé číslo; c) jevu B padne číslo nejvýše rovno 4. Řešení: Při hodu kostkou je celkem 6 možných výsledků, {1, 2, 3, 4, 5, 6}, které jsou stejně pravděpodobné. Předpokládáme, že je kostka homogenní krychle. a) Je-li E i, 1 i 6, elementární jev, padne i bodů, pak je jeho pravděpodobnost rovna P (E i ) = 1 6 = 0, b) Pro jev A jsou příznivé 3 možnosti ze 6, sice {E 2, E 4, E 6 }, je tedy P (A) = 3 6 = 0, 5. c) Jev B nastane ve ve 4 případech, {1, 2, 3, 4}, je tedy P (B) = 4 6 = 2 3 = 0, Máme 10 barevných koulí, 4 bílé a 6 modrých. Vypočtěte pravděpodobnosti náhodných jevů: a) A náhodně vybraná koule je bílá; b) B tři náhodně vybrané koule jsou modré; c) C dvě náhodně vybrané koule mají rozdílnou barvu; d) D vybíráme jednu kouli po druhé a poslední, kterou vybíráme je modrá. Řešení: a) Při výběru má každá koule stejnou pravděpodobnost, že bude zvolena. Je celkem 10 možností a jevu A jsou příznivé 4. Je tedy P (A) = 4 10 = 0, 4. b) Protože jsou při výběru koule nerozlišitelné jsou počty možných výběrů ( ) rovny počtům kombinací. Všech možných výběrů 3 koulí 10 je = = 120, počet možností příznivých jevu A je ( ) 6 = = 20. Je tedy P (A) = = 1 6 = 0, ( ) 10 c) Počet všech vybraných dvojic je roven = 10.9 = 45. Počet všech dvojic, které mají rozdílnou barvu můžeme podle pravi- 21

10 dla součinu vybrat celkem 6.4 = 24 způsoby. Je tedy P (C) = = 8 15 = 0, d) Při postupném výběru koulí má kterákoliv stejnou pravděpodobnost být tažena jako poslední. Je tedy P (D) = 6 10 = 0, 6. Poznámka: V některých případech můžeme výsledky náhodného pokusu, prvky jevového pole přiřadit podmnožinám nějaké omezené množiny v R n, kdy tato množina odpovídá jistému jevu. Všimneme si, že vlastosti pravděpodobnosti jsou shodné s vlastnostmi objemu množin v R n. Toho využíváme v geometrické definici pravděpodobnosti, kterou používáme při řešení obdobných úloh Věta: Geometrická definice pravděpodobnosti. Nechť prvky jevového pole S odpovídájí podmnožinám omezené množiny U R n, množina U odpovídá jevu jistému a operace s jevy odpovídají obdobným operacím s množinami. Jestliže si označíme v n rozměrný objem množiny v R n, pak funkce P definovaná předpisem P (A) = v(a) v(u) má vlastnosti pravděpodobnosti. Takto definovaná pravděpodobnost se nazývá geometrická pravděpodobnost. Poznámka: Skutečnost, že takto definovaná pravděpodobnost splňuje podmínky z definice pravděpodobnosti 2.21 vyplývají z obdobných vlastností objemu v R n Příklad: Volíme náhodně bod X 0, 2. Určete pravděpodobnost náhodného jevu A = 1 2 < X 5 4. Řešení: K řešení úlohy použijeme geometrické pravděpodobnosti. Jestliže volíme bod náhodně, pak je každá volba stejně pravděpodobná. Pravděpodobnost toho, že vybereme bod s nějakého intervalu odpovídá jeho délce. Interval 0, 2 odpovídá jevu jistému, vybraný bod v něm musí vždy ležet. V souladu s definicí je pravděpodobnost náhodného jevu A = a X b, 0 a b 2 rovna P (A) = b a

11 Pro zadaný interval je P ( 1 2 < X 5 4 ) = 1 ( = 2) 3 8 = 0, Příklad: Máme domluvenou schůzku mezi 12 a 13 hodinou. Oba jdeme na schůzku zcela náhodně a čekáme nejvýše 15 minut. Jaká je pravděpodobnost, že se sejdeme. Řešení: Označíme si t 1 okamžik příchodu 1. účastníka po 12 hodině a t 2 okamžik příchodu druhého. Potom příchody obou účastníků setkání odpovídá bodu (t 1, t 2 ) 0, 1 0, 1. Tento čtverec odpovídá jevu jistému a okamžiky, kdy dojde k setkání odpovídá pásu určeného podmínkou t 1 t K výpočtu pravděpodobnosti použijeme geometrické pravděpodobnosti a pro pravděpodobnost setkání P st dostaneme ( P st = ) 2 = 7 = 0, Poznámka: V klasické definici pravděpodobnosti vlastně předpokládáme znalost pravděpodobnosti pro elementární náhodné jevy. V uváděných příkladech můžeme jejich hodnotám věřit. Ve složitejších případech není vůbec jednoduché tyto výchozí hodnoty stanovit. Odstranit tento problém se pokoušel Robert de Mieses pomocí statistické definice pravděpodobnosti, která vychází z hodnot získaných z výsledků náhodného pokusu, který studujeme. Jejím základem je klasická definice. Provádíme opakovaně náhodný pokus tak, že jsou jeho jednotlivé realizace na sobě nezávislé. Jestliže si označíme počet opakování n a počet výsledků, které odpovídají elementárnímu jevu E i označíme m i (n), pak definujeme pravděpodobnost elementárního jevu E i vztahem m i (n) P (E i ) = lim n n. Je zřejmý nedostatek této definice. Můžeme ji použít pouze tak, že provádíme dostatečně dlouhé serie pokusů a za hledanou pravděpodobnost volíme hodnotu, která je průměrem dostatečného počtu hodnot m i(n) n. 23

12 Na začátku 20. století uvedl Kolmogorov definici pravděpodobnosti, která všechny předchozí definice v sobě zahrnuje. Vychází s Lebesgueovy teorie integrálu. Uvedeme ji spolu s jejich základními vlastnostmi. K tomu potřebujeme alespoň uvést definici pojmu σ algebry, která je strukturou požadovanou pro jevové pole Definice: Booleova σ algebra. Jevové pole S je σ algebrou, jestliže platí: 1. U S, V S. 2. Pro náhodné jevy A, B S je A B S. 3. Pro posloupnost (konečnou či spočetnou) posloupnost náhodných jevů A i, 1 i je A i S a A i S. i i Definice: Axiomatická definice pravděpodobnosti. Je-li S jevové pole, které je σ algebrou, pak pravděpodobnost na jevovém poli S je reálná funkce, pro kterou platí: 1. Pro každý náhodný jev A S je 0 P (A) P (U) = Pro disjunktní náhodné jevy A, B S, A B = V je P (A B) = P (A) + P (B) Věta: Vlastnosti pravděpodobnosti. Pravděpodobnost P na jevovém poli S má tyto vlastnosti: 4. Je-li A, B S a A B, pak P (A) P (B). (Monotonie pravděpodobnosti.) 5. Je-li A, B S a A B, pak P (B A) = P (B) P (A). 6. Pro náhodný jev A S je P (A) = 1 P (A). Speciálně P (V ) = Pro náhodné jevy A, B S je P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). 8. Pro posloupnost (konečnou či spočetnou) pod dvou disjunktních jevů A i S, 1 i, i j A i A j = V, pak P ( A i ) = P (A i ). (σ aditivita.) i i 9. Jestliže pro posloupnost náhodných jevů A i S, i N platí A 1 A 2 A 3... P ( A i ) = lim P (A i ). (Spojitost zdola.) i i 10. Jestliže pro posloupnost náhodných jevů A i S, i N platí A 1 A 2 A 3... P ( A i ) = lim P (A i ). (Spojitost shora.) i i 24

13 Poznámka: Jako příklad takto obecně definované pravděpodobnosti jsme uvedli v odst geometrickou pravděpodobnost. Příkladem je pravděpodobnost z příkladu 2.25, kde jevové pole S tvoří všechny podmnožiny intervalu 0, 2, pro které máme definovánu jejich délku. Přesné vymezení všech náhodných jevů je velice složité a vyžaduje znalost teorie míry a integrálu. Jedná se o tzv. měřitelné množiny. 25

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}. 5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.

Více

2. Definice pravděpodobnosti

2. Definice pravděpodobnosti 2. Defnce pravděpodobnost 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematckých struktur a algortmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou determnstcké procesy, které se

Více

Pravděpodobnost a její vlastnosti

Pravděpodobnost a její vlastnosti Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,

Více

Matematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Matematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 27. září 2018 Teorie pravděpodobnosti Teorie pravděpodobnosti je odvětvím matematiky, které studuje matematické modely náhodných pokusu, tedy zabývá se

Více

Intuitivní pojem pravděpodobnosti

Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost

Více

2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST

2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST 2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.

Více

Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel.

Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Poznámka: Výsledek pokusu není předem znám (výsledek

Více

1. Házíme hrací kostkou. Určete pravděpodobností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka;

1. Házíme hrací kostkou. Určete pravděpodobností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka; I Elementární pravděpodonost 1 Házíme hrací kostkou Určete pravděpodoností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka; Řešení: P A) = 1 = 01; Je celkem šest možností {1,,, 4,, } a jedna {} je příznivá

Více

Náhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy

Náhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus skončí jedním z řady možných výsledků předem nevíme, jak skončí (náhoda) příklad: hod kostkou, zítřejší počasí,... Pravděpodobnost zkoumá náhodné jevy (mohou, ale

Více

Základy teorie pravděpodobnosti

Základy teorie pravděpodobnosti Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 1. KAPITOLA - PRAVDĚPODOBNOST 2.10.2017 Kontakt Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. jana.seknickova@vse.cz Katedra softwarového inženýrství Fakulta

Více

Teorie pravěpodobnosti 1

Teorie pravěpodobnosti 1 Teorie pravěpodobnosti 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodný jev a pravděpodobnost Každou zákonitost sledovanou v přírodě lze zjednodušeně charakterizovat jako

Více

Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost

Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 24. 9. 2012 Obsah přednášky 1 Pravděpodobnost 2 Nezávislé jevy 3 Geometrická pravděpodobnost Viděli jsme už

Více

5.1. Klasická pravděpodobnst

5.1. Klasická pravděpodobnst 5. Pravděpodobnost Uvažujme množinu Ω všech možných výsledků náhodného pokusu, například hodu mincí, hodu kostkou, výběru karty z balíčku a podobně. Tato množina se nazývá základní prostor a její prvky

Více

Inženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.

Inženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti. Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je

Více

PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev

PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev RAVDĚODOBNOST Náhodné pokusy okusy ve fyzice, chemii při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek ř. Změna skupenství vody při 00 C a tlaku 00 ka okusy v praxi, vědě, výzkumu při dodržení stejných

Více

3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec

3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec 3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Poznámka: V některých úlohách řešíme situaci, kdy zkoumáme pravděpodobnost náhodného jevu za dalších omezujících podmínek. Nejčastěji má omezující podmínka

Více

(iv) D - vybíráme 2 koule a ty mají různou barvu.

(iv) D - vybíráme 2 koule a ty mají různou barvu. 2 cvičení - pravděpodobnost 2102018 18cv2tex Definice pojmů a záladní vzorce Vlastnosti pravděpodobnosti Pravděpodobnost P splňuje pro libovolné jevy A a B následující vlastnosti: 1 0, 1 2 P (0) = 0, P

Více

TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení

TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není

Více

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,

Více

Úvod do teorie pravděpodobnosti

Úvod do teorie pravděpodobnosti Úvod do teorie pravděpodobnosti Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 33 Obsah 1 Náhodné jevy 2 Pravděpodobnost 3 Podmíněná

Více

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost

Více

Pravděpodobnost je. Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava

Pravděpodobnost je. Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava Pravděpodobnost je Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava ŠKOMAM, 24. 1. 2017 Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Pokus děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně

Více

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého 8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění

Více

a) 7! 5! b) 12! b) 6! 2! d) 3! Kombinatorika

a) 7! 5! b) 12! b) 6! 2! d) 3! Kombinatorika Kombinatorika Kombinatorika se zabývá vytvářením navzájem různých skupin z daných prvků a určováním počtu takových skupin. Kombinatorika se zabývá pouze konečnými množinami. Při určování počtu výběrů skupin

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

KOMBINATORIKA. 1. cvičení

KOMBINATORIKA. 1. cvičení KOMBINATORIKA 1. cvičení Co to je kombinatorika Kombinatorika je vstupní branou do teorie pravděpodobnosti. Zabývá se různými způsoby výběru prvků z daného souboru. 2011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

5 Pravděpodobnost. Sestavíme pravděpodobnostní prostor, který modeluje vytažení dvou ponožek ze šuplíku. Elementární jevy

5 Pravděpodobnost. Sestavíme pravděpodobnostní prostor, který modeluje vytažení dvou ponožek ze šuplíku. Elementární jevy Typické příklady pro zápočtové písemky DiM 70-30 (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 5, 08) 5 Pravděpodobnost 5.. Jiří má v šuplíku rozházených osm párů ponožek, dva páry jsou černé, dva páry modré,

Více

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení

Více

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )

Více

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ Základním pojmem teorie pravděpodobnosti je náhodný jev. náhodný jev : výsledek nějaké činnosti nebo pokusu, o němž má smysl prohlásit že nastal nebo ne. Náhodné jevy se označují

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. 1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015)

Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015) III Pravděpodobnost Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. Odkud se bere pravděpodobnost? 1. Pravděpodobnost, že z balíčku zamíchaných karet vytáhmene dvě esa je přibližně 0:012. Modely a teorie. 2. Pravděpodobnost,

Více

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.

pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. 3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Lineární algebra : Lineární prostor

Lineární algebra : Lineární prostor Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární

Více

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost

Více

pravděpodobnosti a Bayesova věta

pravděpodobnosti a Bayesova věta NMUMP0 (Pravděpodobnost a matematická statistika I) Nezávislost, podmíněná pravděpodobnost, věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesova věta. Házíme dvěma pravidelnými kostkami. (a) Jaká je pravděpodobnost,

Více

Řešené příklady z pravděpodobnosti:

Řešené příklady z pravděpodobnosti: Řešené příklady z pravděpodobnosti: 1. Honza se ze šedesáti maturitních otázek 10 nenaučil. Při zkoušce si losuje dvě otázky. a. Určete pravděpodobnost jevu A, že si vylosuje pouze otázky, které se naučil.

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus

Více

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R... Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -

Více

Náhodné chyby přímých měření

Náhodné chyby přímých měření Náhodné chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně pravděpodobná.

Více

1 Pravděpodobnostní prostor

1 Pravděpodobnostní prostor PaS 1.-10. přednáška 1 Pravděpodobnostní prostor Náhodný pokus je takový pokus, jehož výsledek nelze s jistotou předpovědět. Pokud jsme schopni pokus za stále stejných podmínek opakovat (například házíme

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek

4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek cvičící 4. cvičení 4ST201 Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina Vysoká škola ekonomická 1 Pravděpodobnost Co je třeba znát z přednášek 1. Náhodný jev, náhodný pokus 2. Jev nemožný, jev jistý 3. Klasická

Více

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019 Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 2. Množiny, funkce MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.

Více

Množiny, relace, zobrazení

Množiny, relace, zobrazení Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,

Více

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika Šárka Hudecová Katedra i a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 1 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Organizační pokyny k přednášce přednáškové

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2016/2017 Tutoriál č. 1: Kombinatorika, úvod do teorie pravděpodobnosti Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Kombinatorika Kombinatorika

Více

Kapitola Základní množinové pojmy Princip rovnosti. Dvě množiny S a T jsou si rovny (píšeme S = T ) prvek T je také prvkem S.

Kapitola Základní množinové pojmy Princip rovnosti. Dvě množiny S a T jsou si rovny (píšeme S = T ) prvek T je také prvkem S. 1 Kapitola 1 Množiny 11 Základní množinové pojmy Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je souhrn, nebo soubor navzájem rozlišitelných objektů, kterým říkáme prvky 111 Princip rovnosti

Více

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad 1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky

Více

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017 Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka

Více

Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě.

Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Náhodný jev jakékoli tvrzení

Více

Motivace. 1. Náhodné jevy. Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma

Motivace. 1. Náhodné jevy. Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19 Matematika 1 Jiří Fišer 19. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 19. září 2016 1 / 19 Zimní semestr KMA MAT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie

Více

Obsah. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Pravděpodobnost. Pravděpodobnost. Děj pokus jev

Obsah. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Pravděpodobnost. Pravděpodobnost. Děj pokus jev Obsah Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Definice pojmů Náhodný jev Pravděpodobnost Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi;-) roman.biskup(at)email.cz

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

8. Normální rozdělení

8. Normální rozdělení 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá

Více

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných

Více

Jevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy. Příklad: při hodu hrací kostkou padne trojka

Jevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy. Příklad: při hodu hrací kostkou padne trojka Náhodný jev Mějme určitý soubor podmínek. Provedeme pokus, který budeme chtít zopakovat. Pokud opakování pokusu při zachování nám známých podmínek nevede k jednoznačnému výsledku, můžeme se domnívat, že

Více

Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název projektu: Inovace výuky na GSN

Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název projektu: Inovace výuky na GSN Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 Šablona: III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název projektu: Inovace výuky na GSN prostřednictvím ICT Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0940

Více

Populace vs. data. popisná (deskriptivní) popis konkrétních dat. letní semestr 2012 1

Populace vs. data. popisná (deskriptivní) popis konkrétních dat. letní semestr 2012 1 ? Šárka Hudecová Katedra i a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1? Statistika = věda o získávání, zpracování a interpretaci informace obsažené v

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se

2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí primitivních pojmů; považuje se totiž rovněž za pojem primitivní. Představa o pojmu množina

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor012 Vypracoval(a),

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PRAVDĚPODOBNOST

Více

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny 1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat

Více

1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat

1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat 1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina Význam statistické analýzy dat Sběr a vyhodnocování dat je způsobem k uchopení a pochopení

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Sbírka řešených příkladů z pravděpodobnosti: náhodný jev Vedoucí bakalářské práce:

Více

Náhodné (statistické) chyby přímých měření

Náhodné (statistické) chyby přímých měření Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně

Více

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik

Více

Posloupnosti a jejich konvergence

Posloupnosti a jejich konvergence a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace, integrály.

Více

Úvod do lineární algebry

Úvod do lineární algebry Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky

Více

Množiny, základní číselné množiny, množinové operace

Množiny, základní číselné množiny, množinové operace 2 Množiny, základní číselné množiny, množinové operace Pokud kliknete na některý odkaz uvnitř textu kromě prezentace, zobrazí se odpovídající příklad nebo tabulka. Levý Alt+šipka doleva nebo ikona Vás

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

náhodný jev je podmnožinou

náhodný jev je podmnožinou Pravděpodobnost Dovednosti a cíle - Chápat jev A jako podmnožinu množiny, která značí množinu všech výsledků náhodného děje. - Umět zapsat jevy pomocí množinových operací a obráceně umět z množinového

Více

Lineární prostory. - vektorové veličiny(síla, rychlost, zrychlení,...), skládání, násobení reálným číslem

Lineární prostory. - vektorové veličiny(síla, rychlost, zrychlení,...), skládání, násobení reálným číslem Lineární prostory - vektorové veličiny(síla, rychlost, zrychlení,...), skládání, násobení reálným číslem - volné vektory a operace s nimi(sčítání, násobení reálným číslem) -ve 2 nebove 3 vázanévektorysespolečnýmpočátkem

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Jaroslav Michálek A STATISTIKA

Jaroslav Michálek A STATISTIKA VUT BRNO FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ Jaroslav Michálek PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA BRNO 2006 preprint Kapitola 1 Úvod Prudký rozvoj výpočetní techniky, jehož jsme v posledních desetiletích svědky, podstatně

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose.

TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose. TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose. Kvůli těmto těžkostem se měření zúžilo jen na délku

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti

Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti PRAVDĚPODOBNOST anotace Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti VM vytvořil: Mgr. Marie Zapadlová Období vytvoření VM: září 2013 Klíčová

Více